Zomercursus Wiskunde. Module 17 Integralen aan het werk (versie 22 augustus 2011)

Transcriptie

1 Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 17 Integralen aan het werk (versie 22 augustus 2011)

2

3 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Het integraalbegrip 1 3 De hoofdstelling van de integraalrekening 5 4 Evolutie van het waterpeil in een meer Probleemstelling Wiskundige formulering van het probleem Oplossing van het probleem Gemiddelde van functies Probleemstelling Oplossing Extra: CFK s onder controle? Probleemstelling Oplossing

4

5 Inleiding In deze module willen we het begrip integralen herhalen, en meteen in een aantal toepassingen aan het werk zetten. Telkens worden we geconfronteerd met één of ander probleem waarvan de wiskundige formulering een beroep zal doen op het integraalbegrip. Bij het oplossen van de problemen zal de hoofdstelling van de integraalrekening een prominente rol spelen. Bewust hebben we hier gekozen voor probleemsituaties waarbij voor de verschillende functies die erin voorkomen, geen concreet expliciet functievoorschrift voorhanden is. Zo focusseren we onze aandacht eerder op het conceptuele aspect dan op het (minder belangrijke) rekentechnische aspect van integralen. Bovendien is het ontbreken van expliciete functievoorschriften ook de dagdagelijkse realiteit in de meeste echte toepassingen. In zeer vele disciplines weet men immers wel dat één grootheid afhangt van, dus functie is van, een andere grootheid, maar de functie kent men slechts via een aantal metingen die men in een grafiek uitzet. 2 Het integraalbegrip Probleem 1: Als een begrensde functie f : [a,b] R + gegeven is, kunnen we dan de oppervlakte vinden onder deze grafiek? Y. f S =? a b X Probleem 2: Veronderstel dat we op elk ogenblik de snelheid van een rijdende auto kennen. Is er een manier om te bepalen hoeveel afstand deze auto aflegt tussen twee tijdstippen? Probleem 3: Het rendement van een zonnepaneel varieert in de tijd: zonnestralen vallen niet altijd onder dezelfde hoek op het paneel, er kan bewolking zijn, enzovoort. Als we gedurende een dag op elk tijdstip het vermogen van de invallende zonnestralen kennen, kunnen we dan berekenen hoeveel energie dat zonnepaneel op die dag levert? Al deze problemen kunnen worden opgelost dankzij integralen. We zullen het tweede probleem in detail uitwerken. Een auto rijdt op de snelweg. Op elk tijdstip t (gemeten

6 17-2 in seconden) heeft deze auto een bepaalde snelheid, die we noteren met v(t) (gemeten in meter per seconde). Op onderstaande grafiek kan je bijvoorbeeld aflezen dat op tijdstip t = 0 de auto rijdt met een snelheid van 10 m/s en dat tussen t = 10 en t = 15 de auto rijdt met een constante snelheid van 30 m/s. We zijn geïnteresseerd in de afgelegde afstand (genoteerd S) tussen t = 0 en t = 20. Kan je beredeneren welke afstand er werd afgelegd tussen de tijdstippen t = 10 en t = 15? Je merkt dat, wanneer de snelheid constant is, de afgelegde weg gelijk is aan de oppervlakte onder de grafiek. Dit zal ook nog waar zijn als de snelheid niet constant is: laten we, om dit in te zien, eerst de horizontale as onderverdelen in een aantal delen, bijvoorbeeld in 4 delen van 5 seconden. Bekijk dan de gearceerde oppervlakte in onderstaande figuur links, die bekomen werd door de laagste snelheid van elk tijdsinterval te nemen. Deze oppervlakte is duidelijk kleiner dan de gezochte afgelegde weg. Op gelijkaardige manier bekomen we de rechterfiguur door telkens de hoogste snelheid uit een tijdsinterval te gebruiken. De gearceerde oppervlakten uit de figuren links en rechts noemen we respectievelijk de onder- en bovensom horend bij deze onderverdeling van de horizontale as, we noteren ze respectievelijk S 1 en S 1. Je merkt dat er nog een behoorlijk groot verschil is tussen S 1 en S 1. Laten we daarom de onderverdeling wat verfijnen: we delen de horizontale as nu op in 20 delen van 1 seconde. Op dezelfde manier kunnen we ook voor deze verdeling de onder- en bovensom terugvinden, zie onderstaande figuur. We noteren deze ondersom met S 2, de bovensom met S 2. Met de notaties die we hebben ingevoerd, gelden volgende ongelijkheden. Ga goed na of je ze allemaal kan verklaren! S 1 S 2 S S 2 S 1

7 17-3 Je zal allicht wel vermoeden dat door de onderverdeling steeds verder te verfijnen, de onder- en bovensom steeds dichter bij elkaar zullen komen. Deze vaststelling leidt ons naar de definitie van integreerbaarheid en integraal. Definitie integraal Laat f : [a,b] R een begrensde functie zijn. Beschouw een rij van steeds fijner wordende onderverdelingen van [a,b]. Noteer telkens met S n de ondersom, en met S n de bovensom die hoort bij de n de onderverdeling. We noemen dan f integreerbaar over [a,b] als lim S n = lim S n. n n Wanneer dit geldt dan noemen we deze gemeenschappelijke limiet de integraal van f over [a,b], en we noteren dit getal met Opmerkingen b a f(t)dt. 1. Het symbool dt in b f(t)dt geeft aan dat t de integratievariable is, dus dat het a deze variabele is die bij het opstellen van de ondersommen en bovensommen de waarden op het interval [a, b] aanneemt. Merk op dat deze variabele niet voorkomt in de uitkomst van de integraal en dat we ze een andere naam kunnen geven zonder de uitkomst te veranderen: b f(t)dt = b f(u)du. a a 2. Het symbool dt herinnert er ook aan dat in de ondersommen en bovensommen de functiewaarden vermenigvuldigd worden met de breedte van kleine intervalletjes. De notatie suggereert eigenlijk een som over een oneindig fijne verdeling van

8 17-4 het interval [a, b]. Maar in een wiskundig exacte redenering wordt niet gewerkt met een oneindig fijne verdeling: er worden alleen sommen gemaakt over eindige verdelingen (de ondersommen en bovensommen hierboven) en van die sommen wordt een limiet beschouwd. Nadenken over een integraal als over een som van oneindig veel oneindig kleine bijdragen levert vaak wel nuttige intuïtie op voor het begrijpen van de toepassingen. 3. Bij toepassingen in de fysica helpt het symbool dt ook om de juiste fysische eenheden af te lezen. In het voorbeeld hierboven is f(t) een snelheid die we bijvoorbeeld in meter per seconde kunnen uitdrukken. Als we a en b (en in gedachten dt) dan in seconden uitdrukken, levert de integraal een resultaat in meter. Merk op dat we in fysische situaties ook moeten opletten met de al te letterlijke interpretatie van bepaalde integralen als oppervlaktes. Het gaat om een oppervlakte op de grafiek van f(t) als functie van t, maar als de grootheid op de horizontale as, zoals hier, wordt uitgedrukt in seconde, en de grootheid op de verticale as in meter per seconde, dan is deze oppervlakte in werkelijkheid een lengte: de afgelegde weg, uitgedrukt in meter. 4. Niet elke functie zal integreerbaar zijn. Dit is echter enkel een zorg voor wiskundigen. Men heeft immers aangetoond dat zeer veel functies integreerbaar zijn: bv. continue functies en functies met een eindig aantal discontinuïteitssprongen. Voor wat de toepassingen betreft zal de integreerbaarheid daarom zelden of nooit een probleem stellen.

9 17-5 Kijken we nu terug naar het voorbeeld van de rijdende auto, dan vinden we dat de afgelegde weg tussen t = 0 en t = 20 wordt gegeven door S = 20 0 v(t) dt. We hebben nu t = 20 gekozen als eindtijd, maar we hadden hiervoor natuurlijk ook een andere keuze kunnen maken. In het algemeen kunnen we zeggen dat de afgelegde weg tussen de tijdstippen t = 0 en t = x wordt gegeven door S(x) = x 0 v(t) dt. Het is dit type uitdrukkingen dat in de volgende paragraaf een belangrijke rol speelt. 3 De hoofdstelling van de integraalrekening In het bovenstaande inleidende voorbeeld vonden we dat de afstand die in een bepaald tijdsinterval door de auto wordt afgelegd, gegeven wordt door de integraal van de snelheidsfunctie over dat interval. Anderzijds werd bij de module over afgeleiden al vermeld dat de snelheid verkregen wordt door de positie (of afgelegde weg) af te leiden. Dit doet vermoeden dat afleiden en integreren in zekere zin elkaars omgekeerden zijn. De exacte formulering vinden we terug in de volgende stelling. Hoofdstelling Beschouw een continue functie f : [a,b] R. Definieer g : [a,b] R : x g(x) door g(x) = x a f(t)dt. Dan is g afleidbaar in ]a,b[ en g (x) = f(x) voor elke x ]a,b[. Deze stelling is zeer belangrijk, zowel conceptueel als rekentechnisch. Conceptueel, omdat ze het verband tussen integralen en afgeleiden rigoureus beschrijft. Vanuit rekentechnisch standpunt is ze interessant omdat ze ons toelaat eenvoudig integralen b a f(t)dt te berekenen voor een continue functie f waarvoor een primitieve1 F gekend is. Als rechtstreeks gevolg van de hoofdstelling leidt men immers volgende formule af: b a f(t)dt = F(b) F(a). Ook in berekeningen waarin functies voorkomen waarvoor geen concreet expliciet functievoorschrift gegeven is (zoals zo vaak het geval is in echte toepassingen) kan de hoofdstelling bijzonder nuttig zijn, zoals zal blijken uit de nu volgende toepassingen. 1 Een primitieve voor f is een afleidbare functie F zo dat F = f.

10 Evolutie van het waterpeil in een meer 4.1 Probleemstelling Een meer wordt gevoed door regen en instromende rivieren. Het debiet van het water dat het meer binnenstroomt hangt af van de tijd. Het tijdsgedrag van dit debiet beschrijven we met een functie b : R + R : t b(t) waarbij b(t) = de hoeveelheid water die per tijdseenheid het meer binnenstroomt (bv. gemeten in m 3 /dag) op het tijdstip t (gemeten in dagen vanaf een gekozen beginmoment 0). Het is realistisch te veronderstellen dat b een continue functie is. Uiteraard zal men in de praktijk geen concreet expliciet functievoorschrift kennen voor b; men zal b veeleer kennen via metingen die men op een grafiek uitzet. Typisch zal die grafiek eruit zien zoals op de tekening hieronder.. v. b t Anderzijds wordt het meer ook gebruikt om het omliggende land te irrigeren. Het waterverbruik zal ook afhangen van de tijd. We beschrijven het verbruik met een functie v : R + R : t v(t) waarbij v(t) = de hoeveelheid water die per tijdseenheid verbruikt wordt (bv. gemeten in m 3 /dag) op het tijdstip t (gemeten in dagen vanaf het beginmoment 0). Weer is het realistisch te veronderstellen dat v een continue functie is. De grafiek van v zou er kunnen uitzien zoals op de tekening hierboven. We kunnen ons dan volgende vragen stellen: Wanneer zal het waterpeil in het meer het hoogst staan, wanneer het laagst? Wat is het verschil in hoeveelheid water in het meer tussen hoogwaterstand en de daaropvolgende laagwaterstand?

11 Wiskundige formulering van het probleem We moeten de (lokale) extrema (d.i. minima en maxima) zoeken van de functie H : R + R : t H(t) waarin H(t) = hoeveelheid water in het meer (gemeten in m 3 ) op het ogenblik t (gemeten in dagen vanaf het beginmoment 0). We nemen aan dat het meer nooit droog komt te staan en nooit overloopt. Bovendien verwaarlozen we alle andere (secundaire) effecten die het waterpeil kunnen beïnvloeden (zoals verdamping,... ). Opdracht 1. Stel dat we de hoeveelheid water in het meer op het ogenblik 0 noteren met H 0. Bepaal dan het voorschrift voor H(t), waarbij je gebruik maakt van de functies v en b. Antwoord: de functie die het waterpeil weergeeft, wordt gegeven door H : R + R : t H(t) = Oplossing van het probleem Nu we een formule hebben gevonden voor de functie H, kunnen we de gestelde vragen beantwoorden. Aangezien gevraagd was naar het hoogste en laagste waterpeil, gaan we op zoek naar de lokale maxima en minima van H. Om deze te vinden gaan we de nulpunten van de afgeleide van H zoeken en een tekenonderzoek van de afgeleide functie H in de omgeving van die nulpunten uitvoeren. Opdracht 2. (a) Gebruik de hoofdstelling van de integraalrekening om de afgeleide H van H te berekenen. (b) Zoek de nulpunten van H. Lokaliseer die punten op de tekening met de grafieken van b en v. (c) Welke van die punten corresponderen met (lokale) maxima voor H, welke met lokale minima? Doe hiervoor een tekenonderzoek voor H. (d) Stemmen de resultaten die je gevonden hebt voor de momenten van extremale waterstand overeen met wat je intuïtief kon verwachten? (e) Vind een formule die het verschil in hoeveelheid water in het meer tussen twee opeenvolgende extremale waterstanden uitdrukt in termen van b en v.

12 Gemiddelde van functies 5.1 Probleemstelling Bij NASA wordt een nieuw type raket getest. Tijdens de eerste proefvlucht worden tientallen gegevens door de boordcomputer geregistreerd en on-line naar het vluchtcontrolecentrum doorgestuurd. Deze gegevens zijn uiteraard onmisbaar voor een verdere optimalisering van de raket. Zo is men bijzonder geïnteresseerd in de evolutie van het brandstofverbruik gedurende de hele lanceringsprocedure. De boordcomputer registreert het ogenblikkelijke brandstofverbruik (bv. in liter/sec) én het (tijds)gemiddelde brandstofverbruik (ook in liter/sec) sinds de ontsteking van de motor. Door een stomme fout in de software stuurt de boordcomputer enkel de gegevens over het gemiddeld brandstofverbruik door naar de aarde. De verantwoordelijke voor het departement Brandstof, Dr. Alfredo Pollo, verbleekt als hij op zijn computerscherm enkel de grafiek van dat gemiddeld brandstofverbruik ziet verschijnen. gemiddeld verbruik. tijd Moet Dr. Pollo met klamme handen bij zijn oversten gaan aankloppen met de vraag of ze alstublieft per toeval geen 10 miljoen dollar over hebben om het experiment nog eens opnieuw te doen, of kan hij (of jij?) met enige wiskundige creativiteit alsnog zijn baan redden door de gegevens voor het ogenblikkelijke verbruik uit de meting van het gemiddelde verbruik af te leiden? 5.2 Oplossing We noteren de (continue) functie die de evolutie van het ogenblikkelijke brandstofverbruik beschrijft met v, dus v : R + R : t v(t) waarbij v(t) = het ogenblikkelijke brandstofverbruik (gemeten in liter/sec) op het ogenblik t (gemeten in seconden vanaf het moment van de ontsteking van de motor). Het is deze functie waarin we uiteindelijk geïnteresseerd zijn, maar waar we geen rechtstreekse gegevens over hebben. We kennen wel de functie g : R + R : t g(t)

13 17-9 waarbij g(t) = het gemiddelde brandstofverbruik (gemeten in liter/sec) over het tijdsinterval [0,t]. Het is intuïtief vrij duidelijk dat g volledig bepaald is door v, d.w.z. hadden we v gekend, dan hadden we zeker g via berekening kunnen terugvinden. We verwachten dus dat er een formule moet zijn die g uitdrukt in termen van v. Het probleem waar Dr. Pollo echter mee geconfronteerd wordt, is eigenlijk het omgekeerde: is v volledig bepaald door g? Het antwoord op dit omgekeerde probleem is voor de modale intuïtie minder duidelijk. Om een antwoord te vinden gaan we als volgt te werk: we zoeken eerst een formule die g uitdrukt in termen van v; vervolgens onderzoeken we of we die formule kunnen inverteren tot een formule die v uitdrukt in termen van g. Opdrachten 3. Vind een formule die g uitdrukt in termen van v. Je vertrekt hiervoor best van de definitie van gemiddeld brandstofverbruik: g(t) = 1 t totaal brandstofverbruik in het tijdsinterval [0,t] en druk daarna het totaal brandstofverbruik in het interval [0, t] uit in termen van v. 4. Neem nu de afgeleide van beide leden van de formule die je in Opdracht 3 gevonden hebt. Zo vind je een formule die v uitdrukt in termen van g (en zijn afgeleide g, die in principe gekend is eens g gekend is), een formule waarvoor Dr. Pollo je minstens op een pint zal trakteren! 5. Maak bij wijze van toemaatje Dr. Pollo extra gelukkig door hem op het volgende te wijzen: op de momenten waar g een (lokaal) minimum of maximum bereikt, is het ogenblikkelijke brandstofverbruik onmiddellijk (dus zonder enige berekening) af te lezen uit de grafiek van g. Toon namelijk het volgende aan: als g een (lokaal) extremum bereikt op een tijdstip t 0 > 0, dan is v(t 0 ) = g(t 0 ). 6. In Opdracht 3 heb je een formule gevonden die het gemiddelde van v over het tijdsinterval [0,t] gaf. Hoe zou je dit kunnen abstraheren? M.a.w. als f : [a,b] R een (continue) functie is op een interval [a, b], welke definitie zou je voorstellen voor het gemiddelde van f over [a,b]? Confronteer je algemene abstracte definitie nu met volgende concrete situatie: de snelheid van een rijdende auto wordt als functie van de tijd beschreven door een (continue) functie v : R R : t v(t). Reproduceert je abstracte definitie de vertrouwde notie van gemiddelde snelheid nl. gemiddelde snelheid in een tijdsinterval = afstand afgelegd in dat tijdsinterval tijd verstreken om die afstand af te leggen?

14 Extra: CFK s onder controle? 6.1 Probleemstelling CFK s, die onder meer gebruikt worden in koelinstallaties en in drijfgassen, hebben een kwalijke reputatie. Zij zouden in hoge mate verantwoordelijk zijn voor de aantasting van de levensnoodzakelijke ozonlaag in de atmosfeer. CFK s vervallen omdat ze allerlei reacties en verbindingen aangaan. Zo n vervalproces kan zeer realistisch beschreven worden met een (dalende) exponentiële functie: als er nu een hoeveelheid c (bv. gemeten in kg) in de atmosfeer terecht komt, dan zal er na een tijd t (bv. gemeten in dagen) van die oorspronkelijke hoeveelheid nog c e αt overblijven. Hierin is α een positief reëel getal waarvan de waarde via metingen kan vastgesteld worden. Laat ons er nu van uitgaan dat die waarde gekend is. De evolutie van de uitstoot van CFK s in de atmosfeer beschrijven we met een functie u : R + R : t u(t) met u(t) = hoeveelheid uitgestoten per tijdseenheid (bv. gemeten in kg/dag) op het ogenblik t (bv. gemeten in dagen vanaf een gekozen beginmoment 0). De evolutie van de hoeveelheid CFK s in de atmosfeer modelleren we met een functie c : R + R : t c(t) met c(t) = hoeveelheid CFK s (gemeten in kg) op het ogenblik t (gemeten in dagen). We kunnen ons volgende vragen stellen: (a) Veronderstel dat men een prognose heeft voor de functie u. Kan men dan een prognose maken voor c? (b) Realisten merken op dat de uitstoot van CFK s wel nooit helemaal tot nul zal kunnen herleid worden. Uiteindelijk zal er steeds een zekere restuitstoot zijn. Veronderstel dat we dit modelleren door te stellen dat lim u(t) = r met r > 0. t + Betekent dit dan dat c onbeperkt zal blijven toenemen (want er komen steeds CFK s bij), m.a.w. voorspellen de realisten een uiteindelijke catastrofe? 6.2 Oplossing Probleem (a) komt eigenlijk op het volgende neer: kunnen we een formule vinden die c uitdrukt in termen van u? Eens we zo n formule gevonden hebben, kunnen we ook probleem (b) aanpakken. Kies een ogenblik t. We gaan op zoek naar een formule die c(t) uitdrukt in termen van u. Om die formule te vinden benaderen we eerst het continue uitstootproces door een

15 17-11 discreet proces. We verdelen het interval [0, t] in n deelintervallen, bijvoorbeeld alle met dezelfde lengte t = t/n. De hoeveelheid CFK s die uitgestoten worden in het k-de tijdsinterval [ k 1 n t, k n t] bedraagt dan benaderend met t k ] k 1 n t, k n t[. u(t k ) t, 0 t n (k 1)t n t k kt n (n 1)t n t Die hoeveelheid zal gedurende (ongeveer) (t t k ) dagen vervallen. Op het ogenblik t zal van die hoeveelheid, uitgestoten in het k-de interval, benaderend nog overblijven. Opdracht u(t k )e α(t t k) t 7. Vind een benadering voor c(t) door de benaderende bijdragen van elk van de deelintervallen op te tellen. Vergeet ook niet rekening te houden met de hoeveelheid CFK s, zeg c 0, die op het ogenblik 0 reeds in de atmosfeer aanwezig was. Deze benadering wordt exact als we de limiet n nemen. De som zal bij deze limiet overgaan naar een integraal. Zo vinden we t c(t) = c 0 e αt + e αt e αs u(s)ds. Hiermee is probleem (a) in principe opgelost. Nu zijn we gewapend voor probleem (b). Opdrachten 8. Veronderstel dat u constant is, bv. u(t) = r voor alle t R + (met r > 0). Bereken eerst c(t) voor alle t R + en vervolgens lim c(t). Resulteert een t + constante uitstoot, hoe klein ook, uiteindelijk in een doomsday-scenario? 9. Beschouw nu de situatie waarbij lim u(t) = r (met r > 0). Merk op dat dit de t + situatie van Opdracht 8 veralgemeent. Argumenteer dat in dit geval lim t + t 0 0 e αs u(s)ds = +. Je kunt nu via de regel van de l Hôpital lim c(t) berekenen. t +

16