Wiskunde in het eerste bachelorjaar handelsingenieur

Transcriptie

1 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Wiskunde in het eerste bachelorjaar handelsingenieur Wat en hoe? Departement Wiskunde, K.U.Leuven Lerarendag Wiskunde FEB, 6 mei 2010

2 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Overzicht 1 Positie van wiskunde in de opleiding HIR

3 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Positie van wiskunde in de opleiding HIR Twee wiskundevakken van 6 stp in het eerste jaar: Hogere Wiskunde I, Hogere Wiskunde II Vakken die rechtstreeks verwijzen naar wiskunde als nodige voorkennis: Bedrijfseconomie (1Ba) Beschrijvende statistiek en kansrekenen (2Ba) Bedrijfsstatistiek (2Ba) Conceptuele natuurkunde met technische toepassingen (2Ba) Productie en logistiek management (2Ba) Lineaire optimalisatie (2Ba) Elektrische en elektronische systemen met technische en economische toepassingen (3Ba) Theorie van de industriële organisatie (3Ba (keuze)) Vakken die verder bouwen op vorige (bv. in majors Productie en logistiek en Business Research)

6 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Hulpwetenschap én vormend Doelstellingen Begintermen Wiskunde is nodig als taal en middel levert concepten en technieken Wiskunde is vormend haarscherp formuleren nauwkeurig redeneren en argumenteren problem solving attitude mentale conditietraining

7 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Hulpwetenschap én vormend Doelstellingen Begintermen Wiskunde is nodig als taal en middel levert concepten en technieken Wiskunde is vormend haarscherp formuleren nauwkeurig redeneren en argumenteren problem solving attitude mentale conditietraining

8 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Hulpwetenschap én vormend Doelstellingen Begintermen Doelstellingen Hogere Wiskunde I Na het volgen van dit opleidingsonderdeel: beschikt de student(e) over de concepten, inzichten, resultaten en technieken uit de reële analyse (één variabele en een inleiding op meerdere variabelen) en uit de elementaire lineaire algebra waarmee hij/zij eenvoudige economische en bedrijfskundige problemen kwantitatief kan formuleren, bestuderen en begrijpen, heeft de student(e) een deel van de voorkennis opgebouwd die nodig is voor het kunnen volgen van de optimaliserings- en statistische vakken en de technologische vakken in het handelsingenieurprogramma, heeft de student(e) zich geoefend in het nauwkeurig en correct formuleren en argumenteren.

9 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Hulpwetenschap én vormend Doelstellingen Begintermen Doelstellingen Hogere Wiskunde II Dit opleidingsonderdeel vervolledigt wat reeds geïnitieerd werd in Hogere Wiskunde I. Na het volgen van dit opleidingsonderdeel: beschikt de student(e) over meer gevorderde concepten, inzichten, resultaten en technieken uit de reële analyse (meerdere variabelen, impliciet gedefinieerde functies, optimalisatie onder randvoorwaarden, integralen, differentiaalvergelijkingen) en uit de lineaire algebra waarmee hij/zij economische en bedrijfskundige problemen kwantitatief kan formuleren, bestuderen en begrijpen, heeft de student(e) de wiskundige voorkennis vervolledigd die nodig is voor het kunnen volgen van de optimaliserings- en statistische vakken en de technologische vakken in het handelsingenieurprogramma, heeft de student(e) zijn/haar vaardigheid in het nauwkeurig en correct formuleren en argumenteren verder aangescherpt.

10 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Hulpwetenschap én vormend Doelstellingen Begintermen Verwachte instroom: 6 uur wiskunde in derde graad (wiskunde poolvak) Dit zou zonder problemen moeten gelukt zijn...

11 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Hulpwetenschap én vormend Doelstellingen Begintermen Verwachte instroom: 6 uur wiskunde in derde graad (wiskunde poolvak) Dit zou zonder problemen moeten gelukt zijn...

12 Positie van wiskunde in de opleiding HIR 1 Bouwstenen 2 Analyse 3 Lineaire algebra 4 Aanvullingen analyse

13 Positie van wiskunde in de opleiding HIR 1 Bouwstenen Logica en wiskundig taalgebruik Getallenverzamelingen Functies van één en meerdere veranderlijken: definities, grafische voorstellingen. Rijen 2 Analyse 3 Lineaire algebra 4 Aanvullingen analyse

14 Positie van wiskunde in de opleiding HIR 1 Bouwstenen 2 Analyse Lineaire en eerstegraadsfunctie van R m naar R n Het limietbegrip voor rijen Limieten en continuïteit van functies Afgeleiden (en partiële afgeleiden) voor functies van één (en meerdere) veranderlijken Taylorreeksontwikkelingen Ongebonden optimalisatieproblemen voor functies van één en twee veranderlijken Numerieke aspecten Economische toepassingen 3 Lineaire algebra 4 Aanvullingen analyse

15 Positie van wiskunde in de opleiding HIR 1 Bouwstenen 2 Analyse 3 Lineaire algebra Lineaire stelsels Matrixrekenen Determinanten Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Toepassing: lineaire differentievergelijkingen Elementaire meetkunde in het vlak en de ruimte Eigenwaarden en eigenvectoren Economische toepassingen 4 Aanvullingen analyse

16 Positie van wiskunde in de opleiding HIR 1 Bouwstenen 2 Analyse 3 Lineaire algebra 4 Aanvullingen analyse Impliciet gedefinieerde functies Optimalisatie van functies van meerdere veranderlijken (zonder en met randvoorwaarden) Integralen van functies van één en twee veranderlijken Differentiaalvergelijkingen Numerieke aspecten Economische toepassingen

17 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Twee uitgangspunten Voorbeeld 1: integralen Voorbeeld 2: lineaire stelsels Voorbeeld 3: impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld 4: opbouw optimalisatie Onderwijs Kan je me de weg wijzen naar...?

18 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Twee uitgangspunten Voorbeeld 1: integralen Voorbeeld 2: lineaire stelsels Voorbeeld 3: impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld 4: opbouw optimalisatie Twee uitgangspunten Uitgangspunt 1 Opdat wiskunde echt toepasbaar zou zijn, moet ze voldoende diepgang hebben en voldoende abstract zijn. Uitgangspunt 2 Opdat wiskunde diepgang zou hebben en beklijven, moet er voldoende aandacht uitgaan naar de structuur, de opbouw en de samenhang van de theorie.

19 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Twee uitgangspunten Voorbeeld 1: integralen Voorbeeld 2: lineaire stelsels Voorbeeld 3: impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld 4: opbouw optimalisatie Twee uitgangspunten Uitgangspunt 1 Opdat wiskunde echt toepasbaar zou zijn, moet ze voldoende diepgang hebben en voldoende abstract zijn. Uitgangspunt 2 Opdat wiskunde diepgang zou hebben en beklijven, moet er voldoende aandacht uitgaan naar de structuur, de opbouw en de samenhang van de theorie.

20 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Twee uitgangspunten Voorbeeld 1: integralen Voorbeeld 2: lineaire stelsels Voorbeeld 3: impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld 4: opbouw optimalisatie Twee uitgangspunten Uitgangspunt 1 Opdat wiskunde echt toepasbaar zou zijn, moet ze voldoende diepgang hebben en voldoende abstract zijn. Afhankelijkheden zijn vaak niet gekend via een expliciet functievoorschrift maar enkel kwalitatief. (bv. stijgend, convex, concaaf, homogeen,... ). Hoe meer concrete getallen er in een context staan, hoe minder realistisch.

21 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Twee uitgangspunten Voorbeeld 1: integralen Voorbeeld 2: lineaire stelsels Voorbeeld 3: impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld 4: opbouw optimalisatie Twee uitgangspunten Uitgangspunt 2 Opdat wiskunde diepgang zou hebben en beklijven, moet er voldoende aandacht uitgaan naar de structuur, de opbouw en de samenhang van de theorie. Metafoor: je plan leren trekken in een nieuwe vreemde taal. lijstje losse handige zinnen aandacht voor grammatica Aha-Erlebnis stimulans Mentaal fitnesscentrum

24 Positie van wiskunde in de opleiding HIR HOE wordt één en ander gezien? Twee uitgangspunten Voorbeeld 1: integralen Voorbeeld 2: lineaire stelsels Voorbeeld 3: impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld 4: opbouw optimalisatie Voorbeeld: integralen Verschillende aspecten: Concept: wat bereken je met een integraal? Inzien aanvaarden! Hoofdstelling Berekenen van (eenvoudige) integralen m.b.v. primitieven Numerieke methoden Oneigenlijke integralen Meervoudige integralen Toepassingen (ook niet-klassieke )...

25 Voorbeeld: integralen Het energieverbruik van een productie-eenheid als functie van de tijd wordt beschreven door een functie V : R R + : t V (t) waarbij het verbruik V (t) in kilowatt (kw) wordt uitgedrukt en de tijd t in dagen (bv. t = 2.25 correspondeert met dag 2 om 6 uur s ochtends). De grafiek van V is hieronder weergegeven. Zij G : R R + : t G(t) de functie die het gemiddelde energieverbruik over de laatste 24 uur als functie van de tijd beschrijft. Dus G(t) = gemiddelde verbruik (in kw) over het tijdsinterval [t 1, t].

26 Voorbeeld: integralen Zij G : R R + : t G(t) de functie die het gemiddelde energieverbruik over de laatste 24 uur als functie van de tijd beschrijft. Dus G(t) = gemiddelde verbruik (in kw) over het tijdsinterval [t 1, t]. (d) Duid op bovenstaande grafiek minstens één moment aan waarop G een lokaal extremum bereikt. Is dit dan een lokaal maximum of minimum? Maak een nauwkeurige wiskundige redenering!

27 Voorbeeld: integralen Zij G : R R + : t G(t) de functie die het gemiddelde energieverbruik over de laatste 24 uur als functie van de tijd beschrijft. Dus G(t) = gemiddelde verbruik (in kw) over het tijdsinterval [t 1, t]. (a) Geef een formule die G(t) uitdrukt in termen van de gegeven functie V. (d) Duid op bovenstaande grafiek minstens één moment aan waarop G een lokaal extremum bereikt. Is dit dan een lokaal maximum of minimum? Maak een nauwkeurige wiskundige redenering!

28 Voorbeeld: integralen Zij G : R R + : t G(t) de functie die het gemiddelde energieverbruik over de laatste 24 uur als functie van de tijd beschrijft. Dus G(t) = gemiddelde verbruik (in kw) over het tijdsinterval [t 1, t]. (a) Geef een formule die G(t) uitdrukt in termen van de gegeven functie V. (c) Bereken de afgeleide van G en druk het resultaat uit in termen van de functie V. (d) Duid op bovenstaande grafiek minstens één moment aan waarop G een lokaal extremum bereikt. Is dit dan een lokaal maximum of minimum? Maak een nauwkeurige wiskundige redenering die gebruik maakt van de formules die je hierboven gevonden hebt!

29 Voorbeeld: integralen Zij G : R R + : t G(t) de functie die het gemiddelde energieverbruik over de laatste 24 uur als functie van de tijd beschrijft. Dus G(t) = gemiddelde verbruik (in kw) over het tijdsinterval [t 1, t]. (a) Geef een formule die G(t) uitdrukt in termen van de gegeven functie V. (b) Zij F een primitieve functie van V. Herschrijf de formule die je in (a) gevonden hebt als een formule die G(t) uitdrukt in termen van F. (c) Bereken de afgeleide van G en druk het resultaat uit in termen van de functie V. (d) Duid op bovenstaande grafiek minstens één moment aan waarop G een lokaal extremum bereikt. Is dit dan een lokaal maximum of minimum? Maak een nauwkeurige wiskundige redenering die gebruik maakt van de formules die je hierboven gevonden hebt!

30 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Twee uitgangspunten Voorbeeld 1: integralen Voorbeeld 2: lineaire stelsels Voorbeeld 3: impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld 4: opbouw optimalisatie Voorbeeld: lineaire stelsels Verschillende aspecten: Modelleren met stelsels Oplossen (met inzicht!!!) transformeren van een moeilijk probleem naar een equivalent gemakkelijker probleem. Structuur van oplossingsverzameling Oplosbaarheid, bestaan van oplossingen met bepaalde eigenschappen (bv. positiviteit) Stelsels met parameters...

31 Voorbeeld: lineaire stelsels Open Leontief input-output-model Economische sectoren: Landbouw, Industrie en Rest Voor elke euro landbouwproductie (output) is er als input 1 4 euro landbouwproductie en 1 2 euro industrieproductie nodig. Voor elke euro industrieproductie (output) is er als input 1 4 euro landbouwproductie en 1 4 euro industrieproductie nodig. Vanuit sector R is een vraag naar een bedrag v 1 landbouwproducten en een bedrag v 2 industrieproducten.

32 Voorbeeld: lineaire stelsels Open Leontief input-output-model Bij een statisch systeem moet { x1 = 1 4 x x 2 + v 1 De oplossing van dit stelsel is x 2 = 1 2 x x 2 + v 2 (x 1, x 2 ) = 4 7 (3v 1 + v 2, 2v 1 + 3v 2 ).

33 Voorbeeld: lineaire stelsels Open Leontief input-output-model Veralgemening tot een open systeem met n sectoren. Systeem wordt gemodelleerd door (n n)-stelsel: x 1 x 2. x n = a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n a n,1 a n,2 a n,n x 1 x 2. x n + v 1 v 2. v n met x i = output van i-de sector S i a i,j = inputbijdrage van sector S i om sector S j 1 euro te laten produceren. v i = externe vraag (van sector R) naar product van sector S i. Merk op dat a i,j 0 voor alle i en j en dat n i=1 a i,j < 1 voor alle j. Stelsel in matrixvorm: AX + V = X of dus (1l A)X = V

34 Voorbeeld: lineaire stelsels Open Leontief input-output-model Veralgemening tot een open systeem met n sectoren. Systeem wordt gemodelleerd door (n n)-stelsel: x 1 x 2. x n = a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n a n,1 a n,2 a n,n x 1 x 2. x n + v 1 v 2. v n met x i = output van i-de sector S i a i,j = inputbijdrage van sector S i om sector S j 1 euro te laten produceren. v i = externe vraag (van sector R) naar product van sector S i. Merk op dat a i,j 0 voor alle i en j en dat n i=1 a i,j < 1 voor alle j. Stelsel in matrixvorm: AX + V = X of dus (1l A)X = V

35 Voorbeeld: lineaire stelsels Open Leontief input-output-model met n sectoren Probleemstelling Zij A een willekeurige input-output-matrix van een open Leontiefmodel. Heeft het stelsel (1l A)X = V voor elke positieve V een (unieke) positieve oplossing voor X?

36 Voorbeeld: lineaire stelsels Open Leontief input-output-model met n sectoren Probleemstelling Zij A een willekeurige input-output-matrix van een open Leontiefmodel. Heeft het stelsel (1l A)X = V voor elke positieve V een (unieke) positieve oplossing voor X? (a) Noteer m = max { n i=1 a } i,j j = 1,..., n. Merk op dat 0 m < 1. Toon aan dat voor alle k N 0 en alle i, j {1,..., n} geldt dat 0 (A k ) i,j m k. (b) Argumenteer dat lim k A k = 0.

37 Voorbeeld: lineaire stelsels Open Leontief input-output-model met n sectoren Probleemstelling Zij A een willekeurige input-output-matrix van een open Leontiefmodel. Heeft het stelsel (1l A)X = V voor elke positieve V een (unieke) positieve oplossing voor X? (a) Noteer m = max { n i=1 a } i,j j = 1,..., n. Merk op dat 0 m < 1. Toon aan dat voor alle k N 0 en alle i, j {1,..., n} geldt dat 0 (A k ) i,j m k. (b) Argumenteer dat lim k A k = 0. (c) Gebruik (a) samen met het feit dat een stijgende naar boven begrensde rij in R convergent is om aan te tonen dat lim (1l n + A + A A k 1 ) k bestaat in R n n. Noteer die limiet met B.

38 Voorbeeld: lineaire stelsels Open Leontief input-output-model met n sectoren Probleemstelling Zij A een willekeurige input-output-matrix van een open Leontiefmodel. Heeft het stelsel (1l A)X = V voor elke positieve V een (unieke) positieve oplossing voor X? (a) Noteer m = max { n i=1 a } i,j j = 1,..., n. Merk op dat 0 m < 1. Toon aan dat voor alle k N 0 en alle i, j {1,..., n} geldt dat 0 (A k ) i,j m k. (b) Argumenteer dat lim k A k = 0. (c) Gebruik (a) samen met het feit dat een stijgende naar boven begrensde rij in R convergent is om aan te tonen dat lim (1l n + A + A A k 1 ) k bestaat in R n n. Noteer die limiet met B.

39 Voorbeeld: lineaire stelsels Open Leontief input-output-model met n sectoren Probleemstelling Zij A een willekeurige input-output-matrix van een open Leontiefmodel. Heeft het stelsel (1l A)X = V voor elke positieve V een (unieke) positieve oplossing voor X? (b) Argumenteer dat lim k A k = 0. (c) Gebruik (a) samen met het feit dat een stijgende naar boven begrensde rij in R convergent is om aan te tonen dat lim (1l n + A + A A k 1 ) k bestaat in R n n. Noteer die limiet met B. (d) Argumenteer dat voor alle k N 0 geldt dat (1l n A)(1l n + A + A A k 1 ) = 1l n A k. Gebruik dit dan samen met het vorige om aan te tonen dat 1l n A inverteerbaar is en dat B de inverse van 1l n A is.

40 Voorbeeld: lineaire stelsels Open Leontief input-output-model met n sectoren Probleemstelling Zij A een willekeurige input-output-matrix van een open Leontiefmodel. Heeft het stelsel (1l A)X = V voor elke positieve V een (unieke) positieve oplossing voor X? (c) Gebruik (a) samen met het feit dat een stijgende naar boven begrensde rij in R convergent is om aan te tonen dat lim k (1l n + A + A A k 1 ) bestaat in R n n. Noteer die limiet met B. (d) Argumenteer dat voor alle k N 0 geldt dat (1l n A)(1l n + A + A A k 1 ) = 1l n A k. Gebruik dit dan samen met het vorige om aan te tonen dat 1l n A inverteerbaar is en dat B de inverse van 1l n A is. (e) Wat weet je over het teken van de matrixelementen van B? Leg uit.

41 Voorbeeld: lineaire stelsels Open Leontief input-output-model met n sectoren Probleemstelling Zij A een willekeurige input-output-matrix van een open Leontiefmodel. Heeft het stelsel (1l A)X = V voor elke positieve V een (unieke) positieve oplossing voor X? (d) Argumenteer dat voor alle k N 0 geldt dat (1l n A)(1l n + A + A A k 1 ) = 1l n A k. Gebruik dit dan samen met het vorige om aan te tonen dat 1l n A inverteerbaar is en dat B de inverse van 1l n A is. (e) Wat weet je over het teken van de matrixelementen van B? Leg uit. (f) Concludeer nu dat als v i 0 voor alle i = 1,..., n, dan ook x i 0 zal zijn voor alle i = 1,..., n.

42 Positie van wiskunde in de opleiding HIR (niet-lineair) IS-LM-model Twee uitgangspunten Voorbeeld 1: integralen Voorbeeld 2: lineaire stelsels Voorbeeld 3: impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld 4: opbouw optimalisatie Voorbeeld: impliciet gedefinieerde functies Grootheden: G = overheidsuitgaven, C = consumentenuitgaven, T = belastingen, I = investeringen, M s = geldvoorraad, r = rentevoet, Y = bruto inkomen. Verbanden: Y = C + I + G C = c(y T ) I = i(r) M s = m(y, r) waarbij c : R R, i : R R en m : R 2 R functies zijn met continue (partiële) afgeleiden die voldoen aan 0 < c < 1, i m < 0, Y > 0 en m < 0. r

43 Positie van wiskunde in de opleiding HIR (niet-lineair) IS-LM-model Twee uitgangspunten Voorbeeld 1: integralen Voorbeeld 2: lineaire stelsels Voorbeeld 3: impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld 4: opbouw optimalisatie Voorbeeld: impliciet gedefinieerde functies Grootheden: G = overheidsuitgaven, C = consumentenuitgaven, T = belastingen, I = investeringen, M s = geldvoorraad, r = rentevoet, Y = bruto inkomen. Verbanden: Y = C + I + G C = c(y T ) I = i(r) M s = m(y, r) waarbij c : R R, i : R R en m : R 2 R functies zijn met continue (partiële) afgeleiden die voldoen aan 0 < c < 1, i m < 0, Y > 0 en m < 0. r

44 Voorbeeld: impliciet gedefinieerde functies (niet-lineair) IS-LM-model F 1 (G, T, M s ; Y, C, I, r) := C + I + G Y = 0 F 2 (G, T, M s ; Y, C, I, r) := c(y T ) C = 0 F 3 (G, T, M s ; Y, C, I, r) := i(r) I = 0 F 4 (G, T, M s ; Y, C, I, r) := m(y, r) M s = 0 waarbij c : R R, i : R R en m : R 2 R functies zijn met continue (partiële) afgeleiden die voldoen aan 0 < c < 1, i m < 0, Y > 0 en m < 0. r Probleem Zijn de grootheden Y, C, I en r éénduidig functie van (G, T, M s )? Zo ja, wat gebeurt er met Y, C, I en r als één of meerdere van de grootheden G, T of M s stijgen of dalen? Bijvoorbeeld, wat gebeurt er als de overheid de belastingen T optrekt? Impliciete functiestelling

45 Voorbeeld: impliciet gedefinieerde functies (niet-lineair) IS-LM-model F 1 (G, T, M s ; Y, C, I, r) := C + I + G Y = 0 F 2 (G, T, M s ; Y, C, I, r) := c(y T ) C = 0 F 3 (G, T, M s ; Y, C, I, r) := i(r) I = 0 F 4 (G, T, M s ; Y, C, I, r) := m(y, r) M s = 0 waarbij c : R R, i : R R en m : R 2 R functies zijn met continue (partiële) afgeleiden die voldoen aan 0 < c < 1, i m < 0, Y > 0 en m < 0. r Probleem Zijn de grootheden Y, C, I en r éénduidig functie van (G, T, M s )? Zo ja, wat gebeurt er met Y, C, I en r als één of meerdere van de grootheden G, T of M s stijgen of dalen? Bijvoorbeeld, wat gebeurt er als de overheid de belastingen T optrekt? Impliciete functiestelling

46 Voorbeeld: impliciet gedefinieerde functies Mogelijke examenvraag In een bepaald economisch model beschrijft men de verbanden tussen 3 economische grootheden, x, y en z, aan de hand van twee vergelijkingen: { F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 Hierin zijn F, G : R + 0 R+ 0 R+ 0 R functies met continue partiële afgeleiden. Een expliciet functievoorschrift voor F en G heeft men niet. Uit economische overwegingen weet men wel dat voor alle (x, y, z) R + 0 R+ 0 R+ 0 geldt dat G x (x, y, z) > F x F G (x, y, z) > 0, y F (x, y, z) > 1, z 0 (x, y, z) > 0, (x, y, z) < 0, y < G (x, y, z) < 1. z De variabele x kan beschouwd worden als exogeen; de variabelen y en z zijn endogeen. Veronderstel dat de huidige waarde van de drie grootheden gegeven wordt door (x, y, z ), een drietal dat dus een oplossing is van het stelsel ( ). (a) Argumenteer nauwkeurig op basis van de impliciete functiestelling dat de endogene variabelen y en z éénduidig functie zijn van de exogene variable x (althans voor waarden van x in de buurt van x ). (b) Veronderstel dat x stijgt. Onderzoek wat er dientengevolge met y en z zal gebeuren. Zullen die grootheden stijgen of dalen? ( )

47 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Twee uitgangspunten Voorbeeld 1: integralen Voorbeeld 2: lineaire stelsels Voorbeeld 3: impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld 4: opbouw optimalisatie Voorbeeld: opbouw optimalisatie Leerlijn Herhaling: extrema van afleidbare functies van één veranderlijke nodige voorwaarde, voldoende voorwaarde Wat voor functies van twee (en meer) veranderlijken? Nodige voorwaarde eenvoudig, maar voldoende voorwaarde??? M.b.v. middelwaardestelling van Taylor naar een voldoende voorwaarde voor extrema van functies van twee veranderlijken (2de orde conditie) Wat houdt ons nog tegen om het vorige te doen voor meer dan 2 veranderlijken? M.b.v. lineaire algebra (determinanten en eigenwaarden) kunnen we een voldoende voorwaarde opstellen in geval van n veranderlijken.

52 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Twee uitgangspunten Voorbeeld 1: integralen Voorbeeld 2: lineaire stelsels Voorbeeld 3: impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld 4: opbouw optimalisatie Voorbeeld: opbouw optimalisatie Leerlijn Extrema onder randvoorwaarden (in termen van gelijkheden): eenvoudig indien expliciete substitutie van de RVW in de doelfunctie mogelijk is herleiding naar vrij optimalisatieprobleem met minder veranderlijken. Indien expliciete substitutie niet kan, impliciete functiestelling! Methode van Lagrange (nodige voorwaarde), economische betekenis Lagrangemultiplicator(en), voldoende voorwaarde...

55 Positie van wiskunde in de opleiding HIR Contacturen hoorcolleges (2 lessen van 1,5 uur per week) werkcolleges: oefenzittingen (1 sessie van 1,5 uur per week) monitoraatssesies (1,5 u/week, aanbod- én vraaggestuurd) monitoraat op maat TOLEDO communicatiemiddel extra materiaal (applets, einduitkomsten oefeningen,... ) toetsplatform Usolv-IT discussieforum agenda! Voorbereidingscultuur is ABSOLUUT NOODZAKELIJK