HYDRODYNAMICA EN TURBULENTIE

Transcriptie

1 INSTITUUT VOOR MARIEN EN ATMOSPHERISCH ONDERZOEK UTRECHT Han van Dop HYDRODYNAMICA EN TURBULENTIE D xx-xx februari 2009

2 2

3 Inhoudsopgave 1 INLEIDING De ruimte- en tijdschalen van bewegende vloeistoffen Fysische tijdschalen Dimensieloze getallen Turbulentie BEGRIPPEN EN DEFINITIES Lagrangiaanse en Euleriaanse beschrijving Lagrangiaanse beschrijving Euleriaanse beschrijving Hydrostatica Hydrodynamica Continuïteitsvergelijking Vorticiteit Circulatie Het circulatietheorema van Kelvin POTENTIAALSTROMINGEN De vergelijking van Bernoulli De stroomfunctie De snelheidspotentiaal De complexe potentiaal Stroming rond een cilinder Stroming rond een cilinder met circulatie Krachten op een cilinder Conforme afbeeldingen De Joukowski transformatie VISCEUZE STROMINGEN Behoud van massa (continuïteitswet) en impuls (tweede wet van Newton) De spanningstensor De Navier-Stokes vergelijkingen

4 4 INHOUDSOPGAVE Opmerkingen en benaderingen Energiebehoud Toestands- en constitutionele vergelijkingen Visceuze stromingen van vloeistoffen met constante dichtheid Parallelle stromingen NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN Fenomenologie De gegeneraliseerde Newtoniaanse vloeistof Inleiding Krachten en vervorming De lineaire viscoelastische vloeistof WARMTETRANSPORT Warmtetransport in een stilstaand medium De Laplace transformatie De Fourier transformatie Warmtetransport door convectie en geleiding Gedwongen convectie: Ra/Re 1, F r Vrije convectie: Ra/Re = O(1) STABILITEIT VAN STROMINGEN Instabiliteit van vlakke Poiseuille stroming Kelvin-Helmholtz instabiliteit De overgang naar turbulentie TURBULENTIE Het spectrum van turbulentie en de energiecascade Fourier representatie van de bewegingsvergelijkingen Statistische theorie De Autocorrelatiefunctie Het turbulentie spectrum De correlatie tensor Isotrope turbulentie De Von Karman-Howarth vergelijking Kolmogorov s 4/5 wet Turbulentie en schaalinvariantie WISKUNDIG GEREEDSCHAP Vectoridentiteiten Integraal relaties Differentiaal relaties in verschillende coordinatenstelsels Bolcoordinaten 3-D Cilindercoordinaten

5 INHOUDSOPGAVE Poolcoordinaten 2-D Integraal transformaties Laplace transformatie Fourier transformatie Opgaven werkcollege 135

6 6 INHOUDSOPGAVE

7 Hoofdstuk 1 INLEIDING Sinds het begin van zijn bestaan is de mens met het verschijnsel stroming geconfronteerd. Niettemin is het pas laat als wetenschap erkend. Eigenlijk werd er pas in de Middeleeuwen en Renaissance (Leonardo da Vinci, Galileo) vanuit een wetenschappelijke hoek naar stromingen gekeken. Voor die tijd werd de kennis van stromingen natuurlijk allang in het voorbijgaan gebruikt bij aanleg van waterwegen en waterleidingen in bijvoorbeeld de Romeinse tijd. Bij de bouw van zeilschepen werd bijna intuïtief gebruik gemaakt van de eigenschappen van stromingen. De theorie daarvoor werd pas aan het begin van de 20 e eeuw geformuleerd. Systematische studie van de hydrodynamica begon in de 18 e eeuw en de reden daarvan is dat in de hydrodynamica vele bouwstenen uit de fysica en thermodynamica een rol spelen: bij het bestuderen en beschrijven van stromingen komen zoveel aspecten aan bod en is de complexiteit zo groot dat de stromingsleer pas laat tot ontwikkeling is gekomen. Een van de voorbeelden van complexe stromingen is de atmosferische- en oceaancirculatie, die in hoge mate ons klimaat bepalen. In deze stromingen spelen thermodynamica, straling en chaotische processen (turbulentie) een belangrijke rol. Om deze stromingen goed te beschrijven moet een groot aantal processen in hun onderlinge samenhang worden geformuleerd. Een vloeistof is een continu medium dat onder invloed van een kracht in beweging kan komen. De vloeistofdynamica beschrijft de beweging van vloeistofelementjes. De afmeting van die vloeistofelementjes is zo klein gekozen worden, dat de fijnste structuur van vloeistofbeweging kan worden beschreven. Anderzijds is het elementje niet zo klein, dat de beweging van individuele atomen en molekulen daarin een belangrijke rol gaan spelen: voor de bestudering van stroming doen de eigenschappen van individuele atomen en molekulen niet direct ter zake. Daarom bevat een vloeistofelementje zeer veel atomen en molekulen, waarvan alleen de statistische aspecten van belang zijn voor de vloeistof beweging. 7

8 8 HOOFDSTUK 1. INLEIDING Vloeistoffen onderscheiden zich in samendrukbare (bijv. gassen) en (vrijwel) onsamendrukbare vloeistoffen (bijv. water en ijs). Van de laatste twee is de dichtheid ongeveer constant. Alle vloeistoffen vervormen echter als er krachten op worden uitgeoefend. 1.1 De ruimte- en tijdschalen van bewegende vloeistoffen Voor een goede formulering van de dynamica van stroming zullen alle significante krachten die op de vloeistof werken in beschouwing moeten worden genomen. De kunst is om de dominante krachten te identificeren. De manier om dat te doen is door naar de karakteristieke grootheden te kijken, bijv. de ruimte- en tijdschalen van de stroming. Aan de hand daarvan kan men schattingen maken van de dominante processen in het tijdsbestek waarin men naar die stroming kijkt. De drie belangrijkste schalen van beweging zijn: de lengteschaal (L), de snelheidsschaal (U) en de daarmee samenhangende tijdschaal (L/U). Bij de lengteschaal van een stroming is het duidelijk dat deze anders is voor de stroming in een buis dan voor een stroming in de oceaan, zo ook voor de snelheidsschaal. Als de lengte- en snelheidsschaal zijn vastgelegd, is daarmee ook een tijdschaal van beweging vastgelegd, als de verhouding van die twee. Hieronder worden een paar voorbeelden gegeven van hoe sterk de snelheidsschalen (m/s) uit elkaar kunnen lopen in verschillende geofysische stromingen: Tabel 1.1: Enkele typische snelheden in uiteenlopende turbulente media inwendige van aarde, mantelconvectie ijs oceaan atmosfeer 10 1 interstellair plasma Uit bovenstaande getallen blijkt dat schalen zeer sterk van elkaar verschillen. Niettemin vertonen processen in die stromingen vaak een grote onderlinge gelijkenis (zie figuur 1.1) 1.2 Fysische tijdschalen Naast de tijdschalen van stromingen zelf, is het ook mogelijk om tijdschalen te identificeren die gebaseerd zijn op de fysische eigenschappen van het

9 1.2. FYSISCHE TIJDSCHALEN 9 Figuur 1.1: Stofband in Centaurus A. De complexe turbulente structuur is vermoedelijk het gevolg van een botsing tussen twee sterrenstelsels met veel gasvormig materiaal.(zie Hoewel de tijd- en ruimteschalenschalen vele ordes van grootte verschillen is de visuele structuur niet veel verschillend van een wolkendek of een rookpluim. medium. Daarbij moeten we denken aan de viscositeit (ν) ( stroperigheid ), met een dimensie lengte maal snelheid zoals we straks zullen zien). Zonder in detail in te gaan op de dynamica is het bijv. mogelijk om met behulp van de lengteschaal van de stroming (L) en de viscositeit een tijdschaal te schatten waarover een in beweging gebrachte vloeistof tot rust komt: de tijdschaal van de wrijving, L2 /ν. Er zijn meer van dit soort fysische eigenschappen zoals (moleculaire) warmtegeleiding, diffusie en magnetische eigenschappen, die alle hun eigen karakteristieke tijdschalen hebben. Bij geofysische stromingen kan de rotatie van de aarde, (Ω), (rad/s). belangrijk zijn, afhankelijk van de tijdschaal van de processen die we bekijken. Dichtheidsverschillen, bijv. ontstaan door verwarming of afkoeling in een vloeistof in een zwaartekrachtveld leiden tot zg. Archimedes krachten ( buoyancy ). Ook daar wordt een typerende tijdschaal ingevoerd waarbij de dicht-

10 10 HOOFDSTUK 1. INLEIDING Tabel 1.2: Tijdschalen voor een aantal fysische eigenschappen en processen. In de derde kolom staan deze in dimensieloze vorm (in verhouding tot de stromingstijdschaal L/U). De afkortingen Re, Pr, Sc, Ro, Fr staan voor respectievelijk het Reynolds-, Prandtl-, Schmidt-, Rossby- en Froudegetal. grootheid corresponderende dimensieloze kental τ tijdschaal, τ tijdschaal L/U viscositeit L 2 /ν UL/ν Re warmtegeleiding L 2 /κ (UL/ν) x (ν/κ) Re Pr diffusie L 2 /γ (UL/ν) x (ν/γ) Re Sc (aard)rotatie Ω U/(LΩ) Ro Archimedeskracht {L/(g ρ/ρ)} 1/2 { U 2 gl ρ/ρ} 1 2 Fr heidsverschillen en zwaartekracht een rol spelen. Hieronder hebben we bovenstaande tijdschalen samengevat. 1.3 Dimensieloze getallen Er zijn dus verschillende karakteristieke schalen voor de stroming zelf en voor zijn fysische eigenschappen. Uit de verhoudingen (dimensieloze getallen) kunnen we opmaken welke processen wel en niet belangrijk zullen zijn. We geven drie voorbeelden: om te bepalen of in een stroming de viscositeit wel of niet belangrijk is, wordt de verhouding van de tijdschalen van viscositeit en beweging bekeken, deze verhouding levert het Reynoldsgetal: U L/ν. Als het Reynoldsgetal heel groot is, (viscositeit klein) zijn alleen de tijdschalen van de beweging van belang, de viscositeit hoeft dus niet in beschouwing genomen te worden. Is daarentegen het Reynoldsgetal heel klein dan zijn de visceuze krachten belangrijker en zullen in de beschrijving van een proces naar voren moeten komen. Voor geofysische stromingen geldt de vraag: wanneer is het van belang om de rotatie van de aarde, die 2π radialen per dag roteert (ca rad s 1 ), mee te nemen in de beschrijving van een stroming? Worden de tijdschaal van de rotatie en de tijdschaalvan het medium (oceaan, atmosfeer, aardmantel) vergeleken dan volgt daaruit een ander dimensieloos getal, het Rossby getal. Een dimensieloos getal dat aangeeft of er een belangrijk verschil is tussen transport van impuls van een stroming en het transport van warmte is het Prandtl getal. Zo zijn er nog vele andere dimensieloze getallen die het relatieve belang vastleggen van de verschillende krachten die op een vloeistof inwerken. Als deze bepaald zijn kunnen (bij benadering) de bewegingsvergelijkingen opgesteld worden. Hierbij is de wet van Newton uitgangspunt, en worden alle krachten in de stroming op een verstandige manier gekozen, d.w.z. met weglating van die krachten die geen rol van betekenis spelen. Zo blijft er uiteindelijk een beperkte, complexe differentiaal vergelijking over,

11 1.4. TURBULENTIE 11 waarmee de stroming bij benadering beschreven kan worden. 1.4 Turbulentie Stromingen worden turbulent als niet lineaire krachten domineren. In de totale afgeleide van de snelheid komen niet-lineaire termen voor, die leiden tot onstabiliteit en uiteindelijk chaotisch gedrag. De formulering van turbulentie is nog steeds niet rond. Daarom kan turbulentie slechts bij benadering wiskundig geänalyseerd worden. Het is niet eenvoudig om in woorden een goede beschrijving van turbulentie te geven zonder in tautologieën te vervallen. Ongeordende beweging, chaos en turbulentie zijn vrijwel equivalente begrippen. Beschrijving in wiskundige zin houdt in dat we behoudswetten en dynamische vergelijkingen voor turbulente systemen kunnen formuleren. In die zin is de turbulentie beschreven omdat er meestal verondersteld wordt dat de Navier-Stokes vergelijkingen een goede representatie zijn van vloeistofbeweging. De vergelijkingen zelf tonen chaotisch gedrag, wat impliceert dat minieme veranderingen in uitgangscondities tot onevenredig sterk afwijkende situaties in het verdere verloop van de stroming aanleiding kunnen geven. De voorspellende waarde van de vergelijkingen is dus beperkt. Daarom moeten we vaak genoegen nemen met de fenomenologische en statistische beschrijving van turbulentie. Pas in de laatste jaren is het mogelijk om met computers rechtstreeks uit de bewegingsvergelijkingen het gedrag van zwak turbulente stromingen te berekenen. We onderscheiden twee klassen vloeistofstromingen: - de laminaire stromingen: rustige gelijkmatige bewegingen die i.h.a. alleen in de tijd variëren als de externe condities of krachten veranderen; deze stromingen kunnen in principe wiskundig nauwkeurig worden opgelost. - de turbulente stromingen: chaotische bewegingen; de banen van individuele (vloeistof)deeltjes zijn niet te berekenen. Alleen statistische eigenschappen van de stroming kunnen bepaald worden. In de geofysica komen turbulente stromingen zeer vaak voor. Belangrijke kenmerken van turbulentie zijn: - turbulente stroming is onregelmatig, chaotisch en onvoorspelbaar; - er is grote uitwisseling van impuls, warmte en massa ; - in turbulentie zijn krachten op vaste lichamen veel groter en is de wrijving veel groter dan in laminaire stromingen

12 12 HOOFDSTUK 1. INLEIDING Figuur 1.2: Opname van de rode vlek op het zuidelijk halfrond van Jupiter. Deze wervel (doorsnede km) is ingebed in een zonale stroming (ca. 300 km/h). Er zijn meer turbulente structuren waarneembaar die goeddeels onverklaard zijn. (Bron: Lesieur (1994)) - er is een grote verscheidenheid in tijd- en ruimteschalen in een turbulente stroming. In dit collegedictaat worden de fundamentele aspecten van hydrodynamica en turbulentie behandeld. Na een uiteenzetting van het begrippenkader volgen eerst de bewegingsvergelijkingen voor een niet visceuze stroming gebaseerd op bekende klassieke behoudswetten. Voor een grote klasse van stromingen is de potentiaaltheorie van toepassing. Deze wordt besproken aan de hand van stromingen rond objecten. Daarna wordt viscositeit geïntroduceerd. Een aantal voorbeelden van visceuze stromingen wordt gegeven. In aparte hoofdstukken wordt warmtegeleiding en stromingen van niet-newtoniaanse vloeistoffen behandeld. De groei van onstabiliteiten en de overgang naar turbulentie wordt behandeld in hoofdstuk 7. Tenslotte worden een inleiding gegeven in de theorie van volledig ontwikkelde turbulente stromingen.

13 Hoofdstuk 2 BEGRIPPEN EN DEFINITIES Bij gebruik van een orthogonaal assenstelsel zullen we aannemen dat als we de +x-as tegen de klok in naar de +y-as draaien, de positieve z-as de richting heeft die gegeven wordt door de kurkentrekker-regel. Het is verder gebruikelijk om in orthogonale geofysische coordinaatsystemen de oorsprong in een vast punt op aarde te kiezen. De +x-as loopt van west naar oost, en de +y-as van zuid naar noord. De +z-as is dan omhoog gericht en parallel aan de zwaartekracht. Bedenk dat in de technische stromingsleer (in windtunnels bijv.) de y-as meestal de verticale coordinaat voorstelt. We zullen ons hier verder beperken tot een een medium (vloeistof of gas) dat slecht uit één component bestaat, zonder tussen vloeistof en gas een onderscheid te maken. Verder nemen we aan dat het medium continu is, zodat positie en snelheid van individuele vloeistofelementen voldoende gladde functies van ruimte en tijd zijn om deze te kunnen differentiëren etc. 2.1 Lagrangiaanse en Euleriaanse beschrijving Lagrangiaanse beschrijving In een Lagrangiaanse beschrijving wordt de plaats van elk vloeistofelement gegeven in de vorm van een baan, pad of trajectorie ( trajectory ) als functie van de tijd. Men gaat uit van een aanvangstijdstip t = t 0, waarop de plaats van een vloeistofdeeltje door a of a i (i = 1, 2, 3) wordt gekenmerkt. De onafhankelijke parameters zijn dus a i en t. De afhankelijke parameters zijn deeltjeseigenschappen zoals positie en snelheid van het vloeistofelement. De positie wordt beschreven met de coördinaten X i. In formulevorm wordt de baan van een vloeistofdeeltje gegeven door: X i (t, a) (2.1) 13

14 14 HOOFDSTUK 2. BEGRIPPEN EN DEFINITIES 2 velocity, W(t) position, Z(t) time(t) Figuur 2.1: De verticale snelheid (a) en positie (b) van een vloeistofdeeltje dat op t = 0 de oorsprong verliet. Merk op dat de gemiddelde snelheid vrijwel nul is. met X i = a i voor t = 0 De snelheid in de Lagrangiaanse beschrijving is gedefinieerd als de snelheid van een vloeistofelement: V i (t, a) = dx i(t, a) dt (2.2) In figuur 2.1 hebben we met een eenvoudig algoritme een willekeurig snelheids signaal geconstrueerd. (Het signaal heeft een autocorrelatie en is een zg Wiener proces ). Dit signaal is geïntegreerd in de onderste grafiek. Een stroomlijn is gedefinieerd als de raaklijn aan de baan en heeft dus voor ieder moment de richting van de snelheid. Een strijklijn is de kromme die onstaat door alle vloeistof elementen die eens door een bepaald punt gegaan zijn, met elkaar te verbinden. Je kan je dit voorstellen door bijv. met een injectienaald kleurstof in de stroming te brengen. De gekleurde lijn die dan ontstaat is een strijklijn. In een stationaire stroming, waarbij de lokale eigenschappen van de stroming niet van de tijd afhangen, vallen trajectorie, strijk- en stroomlijn samen Euleriaanse beschrijving In een Euleriaans stelsel geven we op elk moment een volledige ruimtelijke beschrijving van het stromingsveld t.o.v. een vast assenstelsel. De onaf-

15 2.1. LAGRANGIAANSE EN EULERIAANSE BESCHRIJVING 15 hankelijke parameters zijn de cordinaten x of x i (i = 1, 2, 3) en t. De afhankelijke parameters zijn de eigenschappen van het stromingsveld, bijvoorbeeld de snelheid of de druk. In formulevorm wordt de beschrijving van het snelheidsveld op ieder tijdstip en plaats gegeven door u i (x, t). De Langriaanse en Euleriaanse snelheid zijn gekoppeld volgens V (t; t 0 ) = u(x(t, a), t) (2.3) Bij de beschrijving van de dynamica van stromingen gaan we uit van stelsels vergelijkingen voor een aantal stromingsvariabelen als functie van plaats en tijd, zoals snelheid (3 componenten u i (i = 1, 2, 3), druk (P ), dichtheid (ρ) en temperatuur (T ). Materiële afgeleide In één dimensie wordt de tijdsafgeleide van de variabele u(x, t), de versnelling, gegeven door: du dt = u t + u dx (2.4) x dt De eerste term rechts is de lokale versnelling, de tweede de advectieve. Vergelijking (2.4) leidt tot: du dt = u t + u u x. (2.5) De operator d/dt kan dus geschreven worden als d dt = t + u x. (2.6) In drie dimensies is de notatie voor de differentiaaloperator d/dt of in vectornotatie d dt = t + u i, (2.7) x i d dt = t + u.. (2.8) Men noemt dit de meebewogen of ook wel de materiële of convectieve afgeleide. Is f een eigenschap in de stroming dan geldt dus df dt = f t + (u. u. )f. (2.9) De locale verandering van f wordt dus gegeven door f t. In een stationaire stroming is deze term 0. De term (u. u. )f is de verandering van f als we met de stroom meebewegen en (u. u. )f = 0 betekent dus dat f langs de baan niet verandert. Zo betekent df dt = 0 dat de eigenschap f constant is voor het beschouwde vloeistofelementje.

16 16 HOOFDSTUK 2. BEGRIPPEN EN DEFINITIES Figuur 2.2: Voor een vloeistof in rust zijn de krachten (F ) op het oppervlakje x y ter weerszijde een denkbeeldig vlak P in de vloeistof in balans. 2.2 Hydrostatica Een kenmerkende eigenschap van vloeistoffen is dat ze vervormen als we er krachten op uitoefenen. We onderscheiden volumekrachten, die op het hele vloeistofelementje aangrijpen en oppervlaktekrachten die op het oppervlak van het elementje aangrijpen (zie figuur 2.2). Een voorbeeld van een volumekracht is de zwaartekracht: F vol = ρ g x y z, waarin g = (0, 0, g) de versnelling van de zwaartekracht is en ρ de dichtheid van de vloeistof (zie figuur 2.3). De kracht op een willekeurig oppervlakje in een vloeistof kan ontbonden worden in een kracht loodrecht op het oppervlak, per definitie de druk p, en een kracht evenwijdig aan het oppervlak, de spanning ( stress ), T, (beide per

17 2.2. HYDROSTATICA 17 Figuur 2.3: De druk in een vloeistof in rust in een zwaartekrachtsveld. oppervlakte eenheid). In een vloeistof in rust is T gelijk aan 0, omdat anders de vloeistof in beweging zou komen. Verder is de druk in alle richtingen even sterk ( de bal is rond ). In een zwaartekrachtveld moet er dus altijd een evenwicht zijn tussen drukgradiënt en zwaartekracht, dat voor een klein volume als volgt formuleerd kan worden: of {p(z + z) p(z)} x y = ρg x y z p z = ρg, (2.10) de hydrostatische vergelijking. Omdat we de zwaartekracht als de gradiënt van de zwaartekrachtspotentiaal (geopotentiaal) φ kunnen schrijven 1, g = φ, is in wat algemenere vectornotatie: p = ρ φ. (2.11) Deze vergelijking heeft in het algemeen geen oplossing omdat een willekeurig dichtheidsveld tot een inhomogeen drukveld zou leiden dat de vloeistof in beweging zou zetten. Alleen voor ρ is constant en ρ = ρ(p) zijn er realistische oplossingen. (In het eerste geval is deze p + ρφ = constant). Verder zien we uit (2.11) dat de richting van de drukgradiënt en de zwaartekracht dezelfde is: drukvlakken en geopotentiaal vlakken samen. Nemen we de rotatie van (2.11) dan volgt (zie de appendix voor vectordifferentiatie): φ ρ = 0. 1 Als we langs een willekeurig pad in een g-veld weer naar de beginpositie terugkeren, dan hebben we energie gewonnen noch verloren. In formulevorm H g.dl = 0. Met de stelling van Stokes volgt direct g = 0, en dus kan het veld g geschreven worden als de gradiënt van een ander veld, het potentiaalveld: g = φ.

18 18 HOOFDSTUK 2. BEGRIPPEN EN DEFINITIES Figuur 2.4: Illustratie bij de afleiding van de continuiteitsvergelijking. Ook de dichtheidsvlakken vallen samen met de geopotentiaal vlakken. We stappen nu af van de hydrostatica en gaan over naar bewegende vloeistoffen. 2.3 Hydrodynamica Als de krachten in een vloeistof niet in balans zijn leidt dit tot versnellingen. We nemen (2.11) als voorbeeld. De onbalans tussen de krachten leidt weer volgens Newton 2 tot een versnelling die voor een eenheidsvolume geformuleerd kan worden als 3 : ρ du dt = p ρ φ. (2.12) De differentiaal van het snelheidsveld u(x, t) kunnen we uitschrijven zodat u t + (u. )u = p ρ φ, (2.13) wat met gebruik making van de vectorrelaties in de appendix (zie sectie 9.1) geschreven kan worden als u t + ( u) u u2 = p φ, (2.14) ρ de Eulervergelijking. 4 Deze vergelijking is nog niet oplosbaar. 2 Isaac Newton ( ) 3 We zullen er voorlopig van uitgaan dat de viscositeit van de vloeistof verwaarloosbaar is. We spreken dan van een droge vloeistof (waarom?). De enige krachten die op het oppervlak van een vloeistof elementje werken zijn dus normaalkrachten ( de druk ). Een meer rigoureuze afleiding van de bewegingsvergelijkingen voor visceuze vloeistoffen volgt later in het diktaat. 4 Leonhard Euler ( )

19 2.3. HYDRODYNAMICA Continuïteitsvergelijking We zullen hier aannemen dat de vloeistof onsamendrukbaar (incompressibel) is, ρ is constant. Dit heeft een belangrijke consequentie want de netto massatoename in tijdstapje t, in een vast volumetje x y z, is gelijk aan de netto instroom: ρ(t + t) ρ(t) x y z t {(ρu(x + x) ρu(x)) y z + (ρv(y + y) ρv(y)) z x + (ρw(z + z) ρw(z)) x y}. (zie figuur 2.4). Een Taylor-reeksontwikkeling leidt in eerste orde tot ρ t =.(ρu), (2.15) de continuiteitsvergelijking. De consequentie van constante dichtheid is dat.u = 0. (2.16) Een stroming die aan conditie (2.16) voldoet heet divergentieloos of divergentievrij. Een niet-visceuze onsamendrukbare vloeistof wordt een ideale vloeistof genoemd. In dat geval hebben we een systeem van 4 vergelijkingen (2.14 en 2.16) met 4 onbekenden (p en u), dat in principe oplosbaar is. Dit systeem staat bekend als de Euler vergelijkingen en is (historisch gezien) een voorloper van de Navier-Stokes vergelijkingen Vorticiteit De vorticiteit ω is gedefinieerd als ω = u. (2.17) In een linksom roterende stroming is, de kurkentrekker-regel volgend, de vorticiteit positief. Een stroming met vorticiteit hoeft niet noodzakelijkerwijs te roteren. Neem als voorbeeld een uniforme 2-D schuifstroming u(z) langs een wand, in een geofysisch coördinatensysteem. Hiervoor geldt ω = (0, u/ z, 0), dus met een y-component ongelijk 0. Anderzijds hoeft een roterende stroming geen vorticiteit te hebben. Neem bijv. een 2-D lijnwervel gekarakteriseerd door u = (0, k r, 0) (in cilindercoördinaten, (r,ϕ,z)). Hiervoor vinden we ω = 0 (behalve in de oorsprong).

20 20 HOOFDSTUK 2. BEGRIPPEN EN DEFINITIES De vergelijking voor de evolutie van de vorticiteit kan voor een ideale vloeistof eenvoudig afgeleid worden. Neem de rotatie van (2.14): ω + ω u = 0. (2.18) t Deze vergelijking kan met behulp van de relaties in de appendix (leid dit zelf af) worden omgeschreven als dω dt = (ω. )u, de vorticiteitsvergelijking. Merk op dat de druk en de zwaartekracht niet meer in deze vergelijking voorkomen en dat het stromingsveld volledig beschreven wordt door de vergelijkingen dω dt = (ω. )u.u = 0 (2.19) ω = u (Merk de analogie van de laatste twee vergelijkingen met de Maxwell vergelijkingen voor het magnetische veld B op:.b = 0 en µ 0 j = B) Voor een 2-D stroming u = (u(x, y, t), v(x, y, t), 0) is het rechterlid 0 in 2.19a (leid dit af) zodat dω = 0, (2.20) dt wat betekent dat de vorticiteit langs de baan van ieder vloeistofelementje behouden is. Een stroming zonder vorticiteit wordt rotatievrij ( irrotational ) genoemd. Een belangrijke conclusie die we uit (2.20) kunnen trekken is dat als een 2-D stroming initieel rotatievrij was, deze dat altijd zal blijven Circulatie Voor latere toepassing is het nuttig het begrip circulatie in te voeren. De circulatie, Γ, langs een gesloten kromme in de vloeistof wordt gegeven door de lijnintegraal: Γ = u.dl. (2.21) C In een rotatievrije stroming is de circulatie 0, want met het theorema van Stokes (zie appendix) kan de lijn-integraal als een oppervlakte-integraal geschreven worden over een willekeurig oppervlak S begrensd door de kromme C: u.dl = ( u).nds = ω.n ds. (2.22) C S S

21 2.3. HYDRODYNAMICA Het circulatietheorema van Kelvin Om dit theorema af te leiden beschouwen we een gesloten materiële kromme in de vloeistof. Een materiële kromme is een denkbeeldige curve gevormd door gemerkte vloeistofelementjes. Zo n kromme is niet stationair want ieder elementje van de kromme beweegt met vloeistofsnelheid ter plekke van dat elementje. De circulatie langs zo n kromme kunnen we formuleren als Γ = u.dl, (2.23) en de tijdsafgeleide als dγ dt = C(t) C(t) du dt.dl + u.d dl C(t) dt, (2.24) omdat ook het lijnelementje met de tijd verandert 5. Voor de tweede integraal geldt u.d dl dt = 1 u.du = C(t) C(t) 2.d(u)2 = 0. (2.25) C(t) De eerste integraal van (2.24) schrijven we met de Eulervergelijking (2.13) als dγ dt = p + φ dl. ρ Voor constante dichtheid volgt C(t) dγ dt = 0, het circulatietheorema van Kelvin. Een belangrijke consequentie is, dat een stroming die initieel rotatievrij is, dat ook zal blijven. Is de dichtheid niet constant, dan is volgens (2.14) met de stelling van Stokes dγ dt = ( 1 ρ p) n ds, (2.26) S het theorema van Bjerkness. Dus als druk- en temperatuurvlakken evenwijdig zijn, dan is dγ/dt gelijk aan 0. In dat geval spreken we van een barotrope stroming. Als ze niet evenwijdig zijn dan verandert de circulatie en dus ook de vorticiteit! In dat geval spreken we van een barokliene stroming. 5 een meer rigoureuze afleiding wordt gegeven in bijv. Batchelor, hfdst. 3

22 22 HOOFDSTUK 2. BEGRIPPEN EN DEFINITIES

23 Hoofdstuk 3 POTENTIAALSTROMINGEN Voor deze klasse van stromingen geldt.u = 0 ω u = 0. We zullen ons beperken tot 2-D potentiaal stromingen. 3.1 De vergelijking van Bernoulli We keren terug naar de Eulervergelijkingen (2.14). stroming kan deze geschreven worden in de vorm: Voor een rotatievrije u t + {1 2 u2 + p + φ} = 0, (3.1) ρ de Bernoulli 1 vergelijking. In het stationaire geval volgt dat 1 2 u2 + p ρ + φ (3.2) constant is. Op een geopotentiaalvlak reduceert de vergelijking verder tot 1 2 u2 + p = constant. (3.3) ρ Is het snelheidsveld van de stroming bekend, dan kan met (3.3) het drukveld worden berekend. Op plaatsen in de stroming waar de snelheid 0 is (stuwpunten), is de druk het hoogst. Dit gegeven wordt gebruikt om de snelheid in de stroming te meten. Het instrument dat hiervoor is ontworpen is de zg. Pitot buis (zoek op hoe deze werkt). We kunnen met (3.2) uitrekenen wat de uitstroomsnelheid uit een vloeistofvat is. Langs de stroomlijn is de druk aan het vloeistofoppervlak de druk 23

24 24 HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN Figuur 3.1: Uit een vat stromende vloeistof. p 0 en de snelheid 0 (zie figuur 3.1). Als in de uitstroomopening de snelheid u uit is dan geldt volgens (3.2) ρ g h + p 0 = p ρu2 uit zodat u uit = 2gh. (We hebben de niveaudaling verwaarloosd). 3.2 De stroomfunctie De stroomfunctie, ψ, is gedefinieerd als of in vectornotatie: ψ y = u ψ x = v, ψ e 3 = u, waarin e 3 = (0, 0, 1) de eenheidsvector in de z-richting is. 1 Daniel Bernoulli ( )

25 3.3. DE SNELHEIDSPOTENTIAAL 25 Met deze definitie is automatisch voldaan aan de continuiteitswet. De stroomfunctie is constant langs een stroomlijn: (u. )ψ = 0. Realiseer je dat de snelheid altijd raakt aan de stroomlijn en dat de snelheid loodrecht op de stroomlijn altijd 0 is. Volgens deze definitie is dus de begrenzing van een vast object in de stroming tevens een stroomlijn. Verder is de stroming rotatievrij, zodat ω z u y v x = 2 ψ x ψ = 0, (3.4) y2 dus ψ voldoet aan de Laplace vergelijking: 3.3 De snelheidspotentiaal ψ = 0. (3.5) Omdat de stroming rotatievrij is kunnen we een tweede potentiaalfunctie definiëren: ϕ = u, (3.6) de snelheidspotentiaal. Ook deze functie voldoet aan de Laplace 2 vergelijking: ϕ = 0. (3.7) Leggen we de randvoorwaarden op, dan is met de Laplace vergelijking de stroming geheel bepaald. De Laplace vergelijking is een lineaire vergelijking: als ϕ 1 en ϕ 2 oplossingen zijn, dan voldoet ook ϕ 1 + ϕ 2 als oplossing. Voor deze speciale klasse van stromingen (niet-visceuze, onsamendrukbare, rotatievrije stromingen), kan een meer ingewikkelde stroming worden verkregen door superpositie van stromingspotentialen. Zo kan als voorbeeld de Bernoulli vergelijking (3.1) ook geschreven worden als ϕ t ( ϕ)2 + p + gz = constant, (3.8) ρ waarin we voor de volumekracht de zwaartekracht hebben genomen. De twee harmonische functies 3 ϕ en ψ voldoen aan de Cauchy-Riemann 4 condities: ψ y = ϕ x ψ x = ϕ y. (3.9) 2 Pierre-Simon Laplace ( ) 3 Een willekeurige reëele functie u(x,y) met continue tweede afgeleiden, die voldoet aan de Laplace vergelijking, wordt een harmonische functie genoemd 4 Augustin-Louis Cauchy ( ), Georg Friedrich Bernhard Riemann ( )

26 26 HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN Deze speciale condities maken het arsenaal van de complexe functietheorie toegankelijk, waarmee we een aantal aspecten van 2-D potentiaalstromingen op een elegante manier kunnen beschrijven. 3.4 De complexe potentiaal We definiëren een complexe functie w(z) als w = ϕ + iψ, met i = 1 en z een willekeurig punt in het complexe vlak (z = x + i y). Als de functies φ(x, y) en ψ(x, y) voldoen aan de Cauchy-Riemann condities (3.9), dan is w een analytische functie, wat impliceert dat w differentieerbaar is, en dat zijn afgeleide niet afhangt van de differentiatierichting in het z- vlak. (Verifieer zelf dat differentiatie van w in de x-richting (δz = δx) en in de y-richting (δz = i δy) hetzelfde resultaat, u i v, oplevert.) Het algemene bewijs gaat als volgt. Daarin wordt ook duidelijk dat ϕ and ψ aan de Cauchy voorwaarden moeten voldoen. De afgeleide van de functie w ϕ + iψ in het complexe vlak is gedefinieerd als dw dz = lim w(z + h) w(z), h 0 h waarin h een complex getal is, h = j +i k. We schrijven het differentiaal quotient uit als w(z + h) w(z) h = ϕ(x + j, y + k) ϕ(x, y) ψ(x + j, y + k) ψ(x, y) +i, j + i k j + i k en ontwikkelen ϕ en ψ in een Taylor-reeks 5 ontwikkeling. Bijv. voor ϕ Na substitutie volgt: ϕ(x + j, y + k) = ϕ(x, y) + j ϕ x + k ϕ y dw dz = lim ϕ {j h 0 x + k ϕ y + i(j ψ x + k ψ y ) +... }. Gebruiken we nu de Cauchy-Riemann condities (3.9) en herschikken we de termen, dan leidt dit tot dw dz = lim 1 ϕ ψ {(j + ik) + i(j + ik) h 0 h x x +... } = u iv. Verder volgt uit de Cauchy-Riemann condities ϕ. ψ = ϕ ψ x x + ϕ y ψ y = 0. (3.10)

27 3.4. DE COMPLEXE POTENTIAAL Figuur 3.2: Stromingsveld van een stagnerende stroming (linksboven) en equipotentiaalvlakken voor achtereenvolgens, een put, een vortex en een dipool. De gradient van de stroomfunctie staat dus overal loodrecht op de gradient van de snelheidspotentiaal. De functie w legt de stroming geheel vast want u(x, y) = R { dw dz } v(x, y) = I { dw dz }. We zullen nu een aantal voorbeelden van potentiaal stromingen geven met de daarbij behorende complexe potentialen (zie figuur 3.2). Niet iedere functie w(z) zal echter een realistische potentiaal stroming opleveren. Parallel stroming De complexe potentiaal van een uniforme stroming (snelheid U) onder een hoek α met de x-as is w(z) = Uze iα. (3.11)

28 28 HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN stroming met een stagnatiepunt Voor k > 0 is de complexe potentiaal w(z) = k 2 z2 (3.12) gegeven. Met z = x + iy vinden we w(x, y) = k 2 (x2 y 2 ) + ikxy. Dus ϕ(x, y) = k 2 (x2 y 2 ) en het snelheidsveld is u(x, y) = kx v(x, y) = ky wat een stroming met een stagnatiepunt voorstelt. (Potentiaal)bron of -put Voor een bron (Q > 0) in locatie z 1 is w = Q 2π ln(z z 1). (3.13) Dit stelt een radiale stroming voor, waarvan de stroomlijnen convergeren in z 1. De circulatie langs iedere gesloten kromme die niet z 1 omvat is 0. Ligt z 1 wel binnen de kromme dan is de circulatie gelijk aan Q. Wervel ( vortex ) Voor een wervel met sterkte Γ, (nb. met de klok mee is Γ < 0) en centrum in z 1 is w = iγ 2π ln(z z 1). (3.14) Ook voor deze stroming is de circulatie die z 1 uitsluit 0 en anders Γ Dipoolstroming Dit is de lineaire combinatie van een bron en een put, die op afstand 2a van elkaar geplaatst zijn. Voor een dipool met bron en put (sterkte respectievelijk +µ en µ) op de x-as, op a, 0 en a, 0 is de potentiaal w = µ 2π ln(z + a ). (3.15) z a Doublet Dit is een bijzonder geval van de dipoolstroming, waar de limiet a 0 en µ genomen wordt met de conditie dat het produkt 2µa eindig (=m) is: Voor een doublet met sterkte m is w = m 2π 1 z. (3.16) (Leid af). In tabel 3.1 zijn nu een aantal voorbeelden gegeven van complexe potentialen en de corresponderende (fysisch realistische) stromingen.

29 3.5. STROMING ROND EEN CILINDER 29 Figuur 3.3: Stroming rond een cilinder). 3.5 Stroming rond een cilinder Omdat de Laplace vergelijking linear is, mogen we potentialen superponeren. We verkrijgen daarmee een nieuwe potentiaalstroming. De complexe potentiaal w(z) = Uz + m 1 2π z is de som van het veld van een parallelle stroming en een doublet. De stroomlijnen vinden we uit ψ(x, y) = I(w) = Uy m 2π y (x 2 + y 2 ). (3.17) Voor x 2 + y 2 = m/(2πu) is ψ constant (= 0). Dit stelt in het 2 D vlak de vergelijking van een cirkel voor. Er is dus een cirkelvormige gesloten stroomlijn met straal m/(2πu). Omdat er geen vloeistof over een stroomlijn gaat (u. ψ = 0) kunnen we zonder de stroming te verstoren (geen wrijving!) een cilinder met deze straal in de stroming plaatsen. De stroming rond een cilinder volgt dus uit (3.17). Op grote afstand van de cilinder wordt de invloed van het doublet steeds kleiner en de stroming convergeert naar de uniforme

30 30 HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN (achtergrond)stroming. Op de snijpunten van de x-as met de cilinder is de snelheid 0. Dit zijn de stagnatiepunten (zie figuur 3.3).

31 3.5. STROMING ROND EEN CILINDER 31 Tabel 3.1: Voorbeelden van potentiaal stromingen type complexe potentiaal complexe snelheid stroomfunctie ψ Parallelle stroming onder een hoek α met de x-as U z e iα U e iα U{y cos α x sin α} Bron (Q > 0) of put (Q < 0) in z = z1 Wervel met centrum in z1, rechtsom (Γ < 0) of linksom (Γ > 0) Doublet in z1 met as in positieve (m < 0) of negatieve (m < 0) richting Q 2π ln(z z 1) Q 2π(z z1) Qθ 2π, (z z 1 = r e iθ ) iγ 1) Γ 2π ln r, (z z 1 = r e iθ ) iγ 2π ln(z z 2π(z z1) m 2π 1 z z1 m 2π [ ] 2 1 m z z1 2π y r 2

32 32 HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN Stroming rond een cilinder met circulatie We kunnen zonder problemen de potentiaal van een wervel aan de cilinderstroming toevoegen: het is een louter tangentiële stroming die de gesloten stroomlijn met straal m/(2πu) niet aantast. De potentiaal is dan De stroomlijnen vinden we uit w(z) = Uz + m 2π ψ(x, y) = I{w} = Uy m 2π 1 z iγ ln z (3.18) 2π y (x 2 + y 2 ) Γ 2π ln(x2 + y 2 ) 1/2 (3.19) en we zien direct dat op de cirkel x 2 + y 2 = m/(2πu) a 2 geldt dat ψ(x, y) = constant, d.w.z. de cirkel met straal a is een (gesloten) stroomlijn. In poolcoordinaten (x = r cos ϑ, y = r sin ϑ) wordt (3.19): ψ(r, ϑ) = U(r a r 2 Γ ) sin ϑ ln r. (3.20) 2π In poolcoordinaten (zie hoofdstuk 9) zijn de snelheidscomponenten u r en u θ u r = 1 ψ r ϑ = U(1 a r 2 2 ) cos ϑ (3.21) u θ = ψ a2 = U(1 + r r 2 ) sin ϑ + Γ 2πr Voor het schetsen van het stromingsbeeld zijn de markante punten de stuwpunten van de stroming. Daar geldt u = 0. Definiëren we B = Γ/(2πaU) dan zien we dat voor 0 B < 2 twee stuwpunten op de cirkel liggen. Voor B = 2 is er precies één stuwpunt op de cirkel en voor B > 2 is er een stuwpunt in het buitengebied van de cirkel (zie kader). Het complete plaatje is geschetst in figuur 3.4. Uit u r = 0 volgt i) r = a (het stuwpunt ligt op de rand) of ii) cos ϑ = 3π/2. In het eerste geval volgt uit u ϑ = 0 en de definitie van B dat B + 2 sin ϑ = 0. Deze vergelijking levert voor 0 B < 2 twee waarden voor ϑ dus twee stuwpunten op de cilinder, en voor B = 2 één stuwpunt. Uit de tweede voorwaarde volgt 0 = 1 + a2 r 2 B a r, een vierkantsvergelijking met reëele oplossingen voor B 2 en r a.

33 3.5. STROMING ROND EEN CILINDER 33 Figuur 3.4: Stroming rond een cilinder bij verschillende circulatie sterktes (bron Acheson (1994)) Krachten op een cilinder De kracht (F ) die de stroming op de cilinder uitoefent kan berekend worden als de drukverdeling op wand bekend is. In het algemeen geldt dat F = p n ds, S waarin n de normaal is van het infinitesimale oppervlakje ds. Voor een cilinderoppervlak heeft n de componenten (cos θ, sin θ, 0) zodat de kracht in de y-richting (per lengte-eenheid) op een cilinder met straal a gegeven wordt door 2π F y = p sin θ adθ. 0 Op de stroming kunnen we de wet van Bernoulli toepassen (3.1): F y = 2π ρ u2 θ sin θ adθ. (nb. u r = 0 op de cilinder). Met de uitdrukking (3.21) volgt F y = ρuγ, (3.22)

34 34 HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN U F Figuur 3.5: Een honkbal in een uniforme windtunnelstroming. De stromingsrichting is van links naar rechts en de bal roteert rechtsom ( slice ). De kracht op de bal is in dit plaatje van onder naar boven. (bron: bekend als het Kutta Joukowski theorema 6. De lift is evenredig met de snelheid en de circulatie. De cilinder ondervindt dus een kracht loodrecht op de richting van de achtergrondstroming. Dit staat bekend als het Magnus effect. (Deze kracht treedt ook op bij sferische objecten, bijv. een tennisbal die met slice of topspin wordt geslagen, zie figuur 3.5). Berekenen we de kracht in de stromingsrichting ( drag ), F x, dan vinden we analoog F x = 0. In de stromingsrichting ondervindt de cilinder geen kracht. Omdat dit zo in tegenspraak met de werkelijkheid is, wordt dit resultaat de paradox van d Alembert 7 genoemd. 3.6 Conforme afbeeldingen De introductie van complexe variabelen heeft, behalve wat elegantere, beknopte notaties, tot nu toe niet veel meerwaarde. Bij de bestudering van draagvlakken of vleugels (aerofoils), blijkt het echter een zeer nuttig hulpmiddel te zijn. In het complexe vlak, ζ = ξ + iη, beschouwen we weer een 6 Martin Wilhelm Kutta ( ), Nikolai Egorovich Joukovsky ( ) 7 Jean d Alembert ( )

35 3.6. CONFORME AFBEELDINGEN 35 potentiaalstroming rond een cilinder, w(ζ). We beelden dit vlak af op het complexe vlak z = x + iy door de transformatie z = f(ζ), waarin f een nader te specificeren analytische functie heeft, waarvan de inverse bestaat: ζ = f 1 (z). Deze functie beeldt ieder punt van het ζ-vlak af in het z-vlak. Als f een analytische functie is, dan is de afbeelding conform, d.w.z. hoekbehoudend. Equipotentiaallijnen en en stroomlijnen in het ζ-vlak staan dus ook in het z-vlak loodrecht op elkaar. De met w corresponderende functie in het z-vlak noemen we W : W (z) = W (z(ζ)) = w(ζ). (3.23) Als w(ζ) een complexe potentiaal in het ζ-vlak voorstelt dan stelt W (z) de corresponderende (rotatievrije)stroming in het z-vlak voor. W is ook een analytische functie die aan de Cauchy-Riemann voorwaarden voldoet. Ook de circulatie langs willekeurige, corresponderende krommen in beide vlakken is gelijk volgens eigenschap (3.23). De afbeelding van een cilinder, een stroomlijn in het ζ-vlak, is dus ook een stroomlijn in het z-vlak De Joukowski transformatie Voor stromingen rond vleugels is deze transformatie belangrijk, omdat het cilinders afbeeldt op vleugelachtige objecten. De transformatie wordt gegeven door z = ζ + c2 ζ. (3.24) Merk op dat voor ζ en z de stromingen identiek zijn. transformatie is De inverse ζ = 1 2 z z2 c 2, (3.25) waar we alleen de oplossing met het + teken kiezen zodat ζ z voor z. We gaan nu uitzoeken hoe deze transformatie (de doorsnede van) een cilindervormig object afbeeldt op het z-vlak. Neem in het ζ-vlak een cirkel met straal a, (a c), ζ = ae iθ. Deze transformeert volgens (3.24) Als we hieruit θ elimineren volgt x + iy = (a + c2 a ) cos θ + i(a c2 ) sin θ. (3.26) a x 2 (a + c 2 /a) 2 + y 2 (a c 2 = 1, (3.27) /a) 2

36 36 HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN Figuur 3.6: Vier Joukowski transformaties van een cirkel.(a = 1) de vergelijking van een ellips. In figure 3.6 is een aantal voorbeelden gegeven van een tranformatie van een cirkel naar een vleugelachtig object. Hierbij zijn het middelpunt van de cirkel (ξ m, η m ) en de transformatie parameter gevarieerd. De algemene vergelijking van een ellips is x 2 p 2 + y2 q 2 = 1, waarin p en q de assen zijn. De brandpunten op de x-as (p > q) worden gegeven door ±(p 2 q 2 ) 1 2. In het bovenstaande worden de brandpunten gegeven door ±2c. We beschouwen nu in het ζ-vlak een stroming rond de cilinder met circulatie (zie sectie 3.5.1) in het iets algemenere geval van een parallel- en een dipoolstroming die een oriëntatie hebben van een hoek α t.o.v. de ξ-as. De complexe potentiaal is (vergelijk (3.18)): w(ζ) = Uζe iα + Ua 2 1 ζ eiα iγ ln ζ (3.28) 2π (ga dit na). Voeren we de transformatie uit volgens (3.23) met gebruikmaking van (3.25), dan volgt W (z) = U[ z + 4 z2 c 2 ]e iα + U a2 c 2 eiα [ z 4 z2 c 2 ] iγ 2π ln[1 2 z z2 c 2 ].

37 3.6. CONFORME AFBEELDINGEN 37 Figuur 3.7: Stroming rond een vlakke plaat. (a) circulatie 0; (b) met circulatie (Γ) 4πUa sin α (bron Acheson (1994)). Het is nog een heel werk om hieruit de stroomfunctie (= I{W }) te berekenen. We zullen ons beperken tot het limiet geval c = a, waarin de ellips (de doorsnede van) een vlakke plaat wordt met lengte 4a (zie 3.27). De snelheidscomponenten in het z-vlak volgen simpel uit: Uitwerken leidt tot: u iv dw dz = dw dζ dζ dz. u iv = Ue iα U a2 ζ 2 e iα iγ 2πζ 1 a2 ζ 2 Uit deze vergelijking zien we direct dat snelheden oneindig groot worden voor ζ = ±a, wat correspondeert met z = ±2a, de uiteinden van de plaat. Dit kan dus nooit een erg realistische stroming zijn. Zo n stroming is getekend in figuur 3.7. De singulariteit in het stromingsveld voor ζ = a kan geëlimineerd worden door ook de teller in de vergelijking 0 te maken: Ue iα Ue iα iγ 2πa = 0. Hieraan is voldaan als Γ = 4πUa sin α, de Kutta voorwaarde. We vinden dan voor de uitstroomrand van de plaat u = U cos α en v = 0 (Ga dit na). Dit betekent dat de stroming bij het eind van de plaat ongeveer parallel met de plaat is. Aan de loefzijde van de plaat is er nog steeds een singulariteit, maar die kan verwijderd worden door de straal en positie van het middelpunt van de cirkel in het ζ-vlak te veranderen. Als we het middelpunt van de cirkel over de ξ-as bewegen, zodanig dat de cirkel nog steeds door ζ = a gaat, onstaan in het z-vlak symmetrische profielen met een stompe neus en een scherp uiteinde. Als we de straal van de cirkel groot genoeg kiezen dan valt het singuliere punt ζ = a binnen de

38 38 HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN Figuur 3.8: Krachtverdeling rond de omtrek van een vleugel. Rechts is de resulterende draagkracht geconstrueerd. cilinder (en zijn afbeelding) en is (met de Kutta voorwaarde) de stroming overal eindig. Als we het middelpunt van de cirkel van de x-as af kiezen dan onstaan er asymmetrische profielen. (maak je vertrouwd met de website De vraag blijft natuurlijk wat er in werkelijkheid zal gebeuren als we een vlakke plaat onder een kleine hoek in een stroming houden. In eerste instantie zal om het uiteinde de stroming sterk versneld en gekromd worden. De viscositeit zal deze grote snelheidsgradiënten niet toestaan en zal vorticiteit opwekken: er zal zich een werveltje vormen aan het uiteinde dat vervolgens met de stroom wordt meegevoerd. Een willekeurige lijnintegraal in de rotatievrije stroming dat de vleugel en de wervel omsluit zal gelijk aan 0 zijn (en blijven volgens het theorema van Kelvin). Dat betekent dat de afgevoerde vorticiteit precies moet corresponderen met de circulatie rond de vleugel. Deze circulatie maakt dat het stagnatie punt naar het uiteinde verschuift en brengt de stroming in lijn met de vleugel. Er ontstaat dan een stationaire situatie, waarin de circulatie bepaald wordt door de Kutta voorwaarde. De bijbehorende opwaartse kracht wordt gegeven door de Kutta-Joukowski relatie (3.22). Uit figuur 3.11 kunnen we zien dat de theorie voor rotatievrije stromingen voor kleine invalshoeken uitstekend overeen komt met de werkelijkheid 8. 8 De draagkracht van een cilinder (of zijn afbeelding) is uiteraard gebaseerd op het simpele principe van de tweede wet van Newton en kan dan ook eenvoudig geschat worden uit de impulsverandering per seconde. Als de circulatie om een cilinder (straal a) de stroming (stroomsnelheid U) onder een (kleine) hoek α doet afbuigen, dan is de opwaartse kracht (F y gelijk aan impulsverandering per seconde ρu 2 aα. Dit resultaat is op een constante na gelijk aan de theoretische waarde voor een rotatievrije stroming

39 3.6. CONFORME AFBEELDINGEN 39 Figuur 3.9: Vortex aan het uiteinde van een vliegtuigvleugel. (bron: NASA Langley Research Center) Figuur 3.10: Omdat de totale circulatie in een rotatievrije stroming nul is (bijv langs rand ABCD) wordt de circulatie rond een vleugel (ABFE) gecompenseerd door de circulatie van de afgesnoerde vortex (EFCD). (bron Batchelor (1970))

40 40 HOOFDSTUK 3. POTENTIAALSTROMINGEN Figuur 3.11: Waargenomen en theoretische draagkracht en wrijving van een vleugel als functie van de invalshoek. (In het theoretische geval is de wrijving nul. (bron Batchelor (1970))

41 Hoofdstuk 4 VISCEUZE STROMINGEN Tot nu toe hebben we voornamelijk niet visceuze vloeistoffen bekeken. In werkelijkheid zijn alle vloeistoffen in zekere mate visceus 1 en we zullen nu de gevolgen daarvan op de stroming behandelen. Het meest in het oog springende verschil is dat bij de stroming rond een cilinder niet alleen de normale snelheidscomponent op de cilinder nul is, maar dat ook de tangentiële snelheidscomponent nul is. In realistische stromingen is de snelheid van de vloeistof aan het oppervlak van een vast object exact gelijk aan nul (of zo je wilt, gelijk aan de snelheid van het object). Eerst zullen we echter een formele afleiding van de behoudswetten in een vloeistof samenvatten. 4.1 Behoud van massa (continuïteitswet) en impuls (tweede wet van Newton) De behoudswetten in een vloeistof kunnen in algemenere zin als volgt worden afgeleid. Laat Ψ een vloeistofeigenschap zijn (bijv. dichtheid, temperatuur etc). De verandering van Ψ in het volume V (zie figuur 4.1) tengevolge van de in- of uitstroom wordt dan gegeven door Ψ dv = Ψ u.n ds + S(Ψ), t V S waarin S(Ψ) een eventuele bron- of verliesterm is. De stroom (flux) van Ψ door het oppervlakje ds met orientatie n wordt gegeven door Ψ u.n. Met behulp van de stelling van Gauss kunnen we dit herschrijven als: Ψ +.(Ψ u) dv = S(Ψ), t V of, met de kettingregel Ψ + u. Ψ + Ψ.u dv = S(Ψ). t V 1 een uitzondering is Helium dat afgekoeld tot vlak bij het absolute nulpunt supervloeibaar wordt, een effect dat in zekere zin vergelijkbaar is met supergeleiding 41

42 42 HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN u V ds n Figuur 4.1: Willekeurig volume-elementje (volume V, oppervlak S) in de stroming. Omdat Ψ t + u. Ψ dψ/dt vinden we uiteindelijk dψ + Ψ.u dv = S(Ψ), (4.1) dt V de behoudswet voor Ψ in het denkbeeldige volume V. De continuïteitswet kan nu eenvoudig worden afgeleid door Ψ = ρ te kiezen. Als we aannemen dat er geen bron of verlies termen zijn volgt uit 4.1 dρ + ρ.u dv = 0, dt V en omdat dit moet gelden voor iedere willekeurig volume volgt dρ + ρ.u = 0, dt de continuïteitsvergelijking. De wet van behoud van impuls volgt op analoge wijze door Ψ = ρu te kiezen. Omdat er in het algemeen krachten zullen werken op een vloeistof, zal het rechterlid van (4.1) ongelijk 0 zijn. Als we onderscheid maken tussen krachten die op het oppervlak en het volume werken, respectievelijk F opp en F vol, dan is S(ρu) = F opp ds + F vol dv. S V Passen we op de eerste term in het rechterlid de stelling van Gauss toe, dan volgt uit 4.1 V dρu dt + ρu.u dv = V.F opp + F vol dv.

43 4.1. BEHOUD VAN MASSA (CONTINUÏTEITSWET) EN IMPULS (TWEEDE WET VAN NEWTON)4 Met de kettingregel kunnen we de linker integrand herschrijven als ρ du dt + u(dρ + ρ.u) dv =.F opp + F vol dv. dt V Uit de continuïteitsvergelijking volgt dat de term tussen haakjes in de linkerintegrand 0 is, zodat, de tweede wet van Newton voor een vloeistof De spanningstensor V ρ du dt =.F opp + F vol, (4.2) De oppervlaktekracht verdient nadere beschouwing. In sectie 2.3 hebben we gezien dat in niet-visceuze vloeistoffen deze kracht alleen maar loodrecht op het oppervlak kan staan (per oppervlakte eenheid is deze gelijk aan de druk, p). In visceuze stromingen kan deze kracht ook een component evenwijdig aan het oppervlak hebben, de wrijvingskracht. De kracht heeft dus in het algemeen drie componenten en is bovendien gerelateerd aan een specifiek oppervlakje, dat we kunnen karakteriseren met zijn grootte ds (= δo ABC ) en richtingsvector n (zie figuur 4.2). Voor een eenduidige definitie van de oppervlaktekracht moet er dus ook informatie zijn over de stand van het oppervlak waarop de kracht werkt: F opp = Σ(n) ds. De vektor van oppervlaktekracht is dus afhankelijk van de oriëntatie n van het oppervlak. Dit leidt tot de invoering van de spanningstensor zoals het volgende voorbeeld laat zien (zie figuur 4.2): in ieder punt van de vloeistof kunnen we drie vlakjes definiëren (door hun richtingsvectoren e x, e y en e z )(e x = (1, 0, 0) enz.) en in ieder van die vlakjes werkt een oppervlaktekracht, respectievelijk, Σ(e x ) δyδz/2, Σ(e y ) δxδz/2 en Σ(e z ) δxδy/2, waarbij e x,y,z refereren aan het desbetreffende oppervlakje. Ieder van die oppervlaktekrachten heeft drie componenten. Zo heeft Σ(x) de componenten Σ x (e x ), Σ y (e x ) en Σ z (e x ). We definiëren de spanningstensor σ ij als de i e component van de kracht per eenheid van oppervlak, op het oppervlak met normaal in j-richting (i, j = x, y, z). Als voorbeeld geven we de y-component van de kracht op het oppervlakje met normaal e x σ yx = Σ y (e x ). We kunnen nu de algemene oppervlakte kracht Σ(n) ds als volgt uitdrukken in de spanningstensor: Beschouw een viervlak (ABCD, zie figuur 4.2), waarvan het vlak ABC de normaal n heeft. De x-component van de totale kracht die op dit viervlak werkt, wordt met bovenstaande definitie gegeven door: Σ x (n)o ABC + σ xx O BCD + σ xy O ACD + σ xz O ABD,

44 44 HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN Figuur 4.2: Geometrie van oppervlaktekrachten op een tetraeder. en vergelijkbare uitdrukkingen voor de y- en z-componenten. (Het minteken voor de eerste term is conventioneel omdat Σ is gedefinieerd als de kracht uitgeoefend door de omringende vloeistof op het volume). Nu is het oppervlak van bijv. de driehoek ABD een projectie van driehoek ABC op het xy-vlak, zodat O ABD = n z, O ABC (Voor de andere twee driehoeken ACD en BCD gelden analoge relaties, ga dit na) zodat { Σ x (n) + σ xx n x + σ xy n y + σ xz n z } O ABC, (4.3) de totale oppervlaktekracht is. Als de term tussen accolades eindig blijft bij willekeurige verkleining van het viervlak (met inachtneming van de proporties) dan zal de versnelling van de vloeistof binnen het viervlak willekeurig groot worden (versnelling = totale kracht/massa), want haar massa (ρdv ) neemt af met de derde macht van een lineaire schaal, terwijl volgens (4.3) de oppervlaktekracht ( δo ABC ) slechts met de tweede macht van dezelfde lineaire schaal afneemt. Dit is fysisch niet realistisch en de term tussen accolades moet dus gelijk aan nul zijn: Σ x (n) = σ xx n x + σ xy n y + σ xz n z. (4.4) We maken gebruik van tensornotatie om (4.4) te schrijven als Σ i (n) = σ ij n j, (4.5)

45 4.1. BEHOUD VAN MASSA (CONTINUÏTEITSWET) EN IMPULS (TWEEDE WET VAN NEWTON)4 σ σ σ σ σ σ σ σ Figuur 4.3: De componenten van de spanningstensor op een kubusvormigvloeistofelementje. (Alleen de x-y krachten zijn weergegeven) waarbij i en j staan voor x,y of z, en waar we voor een efficiënte notatie de conventie volgen dat als in een term twee gelijke indices voorkomen, sommatie over die index inbegrepen is. Dus σ ij n j j=x,y,z σ ij n j. In coördinaatvrije notatie kunnen we (4.5) ook schrijven als Σ(n) = σ.n. (4.6) De spanningstensor heeft dus negen componenten, die echter niet allemaal onafhankelijk zijn. Om dat te laten zien beschouwen we een klein kubusje waarvan we de zijden parallel aan de coördinaat-assen denken (zie figuur 4.3). Als we de dimensie van de kubus klein genoeg denken zullen de spanningen σ xy op boven- en ondervlak en σ yx op linker - en rechterzijvlak tegengesteld en ongeveer even groot zijn. (De z-component van) het totale koppel dat op de kubus wordt uitgeoefend is dan (σ xy σ yx ) 3, waarbij de lineaire afmeting van de kubus is. Ook hier geldt weer een vergelijkbare redenering als boven: als de term tussen haakjes ongelijk nul is, dan gaat de kubus willekeurig snel om zijn centrum roteren, omdat de

46 46 HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN traagheid als 5 naar nul gaat (de massa als 3 en het kwadraat van de straal als 2 ) 2. Dus de term tussen haakjes moet nul zijn: σ xy = σ yx. In de andere richtingen gaat het analoog zodat voor i, j = x, y, z (i j). σ ij = σ ji, De Navier-Stokes vergelijkingen We kunnen nu het impulsbehoud met 4.6 en 4.2 schrijven als ρ du dt =.σ + F vol. (4.7) De spanningstensor in een niet visceuze vloeistof had, zoals we in sectie 2.2 zagen, alleen maar normaal-componenten, die we als de druk konden interpreteren 3, σ = p I, zodat.σ = x j p δ ij = p x i. In visceuze vloeistoffen heeft de spanningstensor ook niet-diagonaal elementen en we schrijven σ dan als σ = p I + d, waarin d de tangentiële spanningstensor is met de eigenschap d ii = 0. We veronderstellen dat de wrijvingskrachten evenredig zijn met snelheidsverschillen in de vloeistof. We spreken dan van Newtoniaanse vloeistoffen. We kunnen de tangentiële spanningstensor dan schrijven als d ij = A ijkl u k x l, (4.8) waarin A ijkl de 81 elementen van een 4 e -orde tensor zijn (voor de duidelijkheid zullen we hier de tensornotatie gebruiken). We nemen aan dat de vloeistof isotroop is ( de vloeistof kent geen voorkeursrichting ). In dat geval kan A ijkl slechts een lineaire combinatie van eenheidstensoren zijn: A ijkl = λ δ ij δ kl + µ δ il δ jk + µ δ ik δ jl, (4.9) 2 Bedenk dat de verandering van impulsmoment N/I, waarin I de traagheid is en N het koppel. 3 We nemen hier en in het vervolg aan dat de op deze manier gedefinieerde druk identiek is aan de thermodynamische druk

47 4.1. BEHOUD VAN MASSA (CONTINUÏTEITSWET) EN IMPULS (TWEEDE WET VAN NEWTON)4 waarin λ, µ en µ coëfficiënten zijn die met de vloeistofeigenschappen samenhangen. Omdat σ symmetrisch is, geldt A ijkl = A jikl. Substitutie in (4.9) levert µ = µ µ, de dynamische viscositeit. λ wordt de tweede viscositeitscoëfficient genoemd. A wordt dan A ijkl = λ δ ij δ kl + µ(δ ik δ jl + δ il δ jk ). De tangentiële spanningstensor kunnen we nu schrijven als d ij = λδ ij u k x k + 2µe ij, waarmee we e de vervormingsnelheid(s-tensor) hebben gedefinieerd door e ij = 1 2 { u i x j + u j x i }. Tenslotte volgt nog uit d ii = 0 dat 3λ+2µ = 0. De uiteindelijke vergelijking voor de spanningstensor wordt dan: σ = pi + 2µ(e 1 tr(e)i). (4.10) 3 waar tr(e) het spoor van e is, i.e. de som van de diagonaal elementen en I de eenheidsmatrix. Merk op dat tr(e) =.u, zodat de tweede viscositeitscoëfficient slechts van belang is voor samendrukbare vloeistoffen. Deze uitdrukking werd, onafhankelijk van elkaar, voor het eerst geformuleerd door Navier(1822), Poisson(1829), Saint-Venant(1843) en Stokes(1845). Ingevuld in de behoudswet (4.7) geeft dit ρ du dt = F p +.{2µ(e 1 tr(e)i)}. (4.11) 3 Deze vergelijking staat bekend als de Navier-Stokes vergelijking. In veel gevallen kan µ constant worden genomen. Is verder de vloeistof onsamendrukbaar dan reduceert (4.11) tot ρ du dt = F p + µ u, (4.12) met 2. Een Newtoniaanse vloeistof is perfect als µ = 0, en is ideaal als bovendien de vloeistof onsamendrukbaar is. Een perfecte vloeistof kan dus geen tangentiaalkrachten veroorzaken op een oppervlak.

48 48 HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN U(z+λ) λ a U(z) Figuur 4.4: Voorstelling van de verticale uitwisseling van impuls in een schuifstroming τ 13 = transport horizontale impuls per oppervlakte eenheid in de verticale richting Opmerkingen en benaderingen viscositeit Tot slot willen we wijzen op de conceptueel belangrijke observatie dat wrijving niets ander is dan het transport van impuls, waarbij transport- en impulsrichting loodrecht op elkaar staan. Aan de hand van de volgende kwalitatieve redenering kunnen we dit aanschouwelijk maken: in een 1-D stroming in de x-richting is de gemiddelde horizontale vloeistof snelheid op niveau z, U(z). De moleculaire snelheid is gelijk aan de vloeistof snelheid met daarop gesuperponeerd de (veel grotere) moleculaire snelheid, zeg van ordegrootte a. De moleculaire impulsoverdracht gaat dus met snelheid a, (a >> U), maar gemiddeld over de vele moleculen in een vloeistofdeeltje wordt over een verticale afstand λ (zie figuur 4.4) slechts een hoeveelheid impuls overgedragen van de orde grootte ρ[u(z + λ) U(z)]. Het impuls transport (per eenheidsvolume) is dus gelijk is aan aρ[u(z + λ) U(z)]. Ontwikkeling in een Taylor reeks leidt tot aρλ U z [1 + 1 λ 2 L +... ], waarbij de lengteschaal L U z / 2 U z 2, geen fysische lengteschaal is, maar een

49 4.1. BEHOUD VAN MASSA (CONTINUÏTEITSWET) EN IMPULS (TWEEDE WET VAN NEWTON)4 grootheid die correspondeert met de (macroscopische) turbulente stroming. Deze is in de troposfeer en oceaan veel groter dan de vrije weglengte (L >> λ). De impulsoverdracht is dus in goede benadering aρλ U z. We kunnen nu aρλ als de viscositeit µ interpreteren en we zien (vgl. 4.10) dat we een element uit de spanningsmatrix, een wrijvingsterm, hebben verkregen: σ 13 µ U z. De kinematische viscositeit is gedefinieerd als ν µ/ρ, en wordt bepaald door de aard van de vloeistof; voorbeeld: in de atmosfeer is bij 1 atmosfeer en 20 o C de vrije weglengte λ 70 nm en a 300 ms 1, wat leidt tot ν= m 2 s 1, dicht bij de werkelijke waarde ( m 2 s 1 ). Hiermee hebben we de relatie tussen de wrijving en de snelheidsgradiënt ook fysisch aannemelijk gemaakt. schaalanalyse, het Reynoldsgetal. Zij L een karakteristieke lengte in x-richting (bijv. de koorde van de vleugel), U (de achtergrond stroming) een karakteristieke snelheid en P een karakteristieke druk. We definiëren ũu = u/u x = x/l t = t/(l/u) p = p/p, als dimensieloze, geschaalde variabelen (d.w.z. deze zijn O(1)). Om de grootte van de verschillende termen in de impulsbalans (4.12) te bekijken schrijven we deze in geschaalde variabelen: ρu 2 dũu L d t = F P L p + µ U ũu, (4.13) L2 waarin we de zwaartekracht, de enige volumekracht, desgewenst in potentiaal vorm kunnen schrijven als F = ρ φ. We zien dat we de verhouding van inertiële en visceuze termen kunnen schrijven als ρu 2 L µu L 2 = UL µ/ρ = UL ν Re. De dimensieloze grootheid Re is het Reynolds getal 4. Nu is de viscositeit van een gas relatief klein (t.o.v. een vloeistof), µ 10 6 kgm 1 s 1 en met 4 Osborne Reynolds ( )

50 50 HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN ρ = 1kg m 3 zal dus gelden voor een vleugel (UL niet klein) dat Re 1. Inertiële effecten zijn dus veel belangrijker dan visceuze en als Re 1 kunnen we dan ook de wrijving verwaarlozen. Het gas is dan als perfect gas te beschouwen. onsamendrukbaarheid Dynamisch gezien kan een gas, zoals bijv. de atmosfeer, vaak in zeer goede benadering als onsamendrukbaar worden beschouwd. De voorwaarden van geldigheid volgen uit onderstaande orde van grootte beschouwing. We kiezen als uitgangssituatie een vloeistof zonder wrijving, waarin de druk stationair is ( p t = 0) en waarin de zwaartekracht de enige volume kracht is (F = g). De N-S vergelijking (bijv. 4.11) reduceert dan tot ρ du dt = p ρg. (4.14) Vermenigvuldiging met u en herschikking van termen geeft dp dt = ρg.u 1 2 ρdu2 dt. Verder nemen we aan dat de druk p een eenduidige functie is van ρ (dit is zo voor bijv. een isotherm of een adiabatisch ideaal gas). Met de definitie van de geluidssnelheid, c = dp/dρ, volgt (zie kader) dp dt = c2 dρ dt. Na eliminatie van dp/dt uit bovenstaande vergelijkingen volgt 1 dρ ρ dt = 1 c 2 (g.u + 1 du 2 2 dt ). Voor een (vrijwel) onsamendrukbare stroming moet het linkerlid van deze vergelijking klein zijn. Dat betekent dat de twee termen rechts elk ook klein moeten zijn. Nadat we de vergelijking geschaald hebben met U en L leidt deze voorwaarde tot gl c 2 1 U 2 c 2 1. Het Mach-getal M wordt gedefiniëerd als M = U/c. Met een representatieve waarde voor de geluidssnelheid in de atmosfeer (c = 340 ms 1 ) bijv., zal altijd aan de tweede voorwaarde zijn voldaan, maar niet altijd aan de eerste (L << 10 km).

51 4.1. BEHOUD VAN MASSA (CONTINUÏTEITSWET) EN IMPULS (TWEEDE WET VAN NEWTON)5 Geluidsgolven planten zich in een gas (samendrukbaar! ) voort met de geluidssnelheid (c). Voor een ideaal gas volgt de geluidssnelheid uit de volgende beschouwing. We verwaarlozen de viscositeit en nemen aan dat geluid zich adiabatisch voortplant. De eerste hoofdwet luidt 0 = c pdt 1 ρ dp, waarin p, ρ en T de druk, dichtheid en temperatuur zijn. Met de toestandsvergelijking, p = ρrt elimineren we de temperatuur en vinden p ρ γ (γ = c p/c v), waaruit eenvoudig kan worden afgeleid dat ( dp dρ )s = γ p ρ. Het onderschrift s geeft aan dat we een adiabatisch proces beschouwen. Dit resultaat zullen we straks gebruiken. We wekken in het gas (in rust) een kleine verstoring op (aangegeven met een accent) van de uitgangstoestand (index 0), p = p 0 + p ρ = ρ 0 + ρ T = T 0 + T, die uiteraard moet voldoen aan de Euler- en continuiteitsvergelijking: ρ u + u. u t = p ρ +.(ρu) t = 0. We vullen de verstoring in, nemen aan dat de uitgangstoestand aan de vergelijkingen voldoet en behouden alleen de lineaire termen in de verstoring. Het resultaat is u ρ 0 t = p ρ t + ρ.u = 0. Uit deze vergelijkingen elimineren we de snelheid en vinden 2 ρ t 2 p = 0. Omdat we zojuist hebben gezien dat p ρ γ verstoring op toepassen, in eerste orde volgt, als we hier ook de p = γ p0 ρ 0 ρ. Als we dit resultaat substitueren in bovenstaande vergelijking voor de dichtheidsverstoring dan volgt 2 ρ t 2 γ p0 ρ 0 ρ = 0. Aan deze vergelijking voldoet een lopende golf met frequentie ω, golflengte λ = 2π/k en voortplantingssnelheid c = ω/k, Na substitutie volgt ρ e k.x ωt. c 2 = γ p0 ρ 0 = ( dp0 dρ 0 ) s, het resultaat dat we in de hoofdtekst hebben gebruikt.

52 52 HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN 4.2 Energiebehoud Omdat we nu naar stromingen kijken waarin de druk geen unieke functie van de dichtheid hoeft te zijn en wrijving ook een rol speelt, zijn de bewegingsenergie en de thermische energie niet meer ontkoppeld: dichtheidsverschillen leiden dan in een zwaartekrachtsveld tot beweging en anderzijds wordt beweging uiteindelijk weer omgezet in warmte door het wrijvingsproces. Verder kunnen electromagnetisme, absorptie van straling of chemische processen als interne warmte of bewegingsbronnen dienen. Bij het opstellen van een behoudswet voor energie moeten met deze processen rekening worden gehouden. Hier zullen we ons echter beperken tot vloeistoffen waarin alleen de dissipatie als interne energiebron zal dienen. Als interne energie per eenheid van massa met e wordt aangegeven dan is de verandering van de totale energie per tijdseenheid in het volume gelijk aan de arbeid verricht door de volumekracht, de wrijving en het transport van de energie door het omhullend oppervlak. Op de bekende manier (pas vgl.(4.1) toe met Ψ = ρ(e+ 1 2 u2 ) leidt dit tot ρ d dt (e u2 ) =.q + F.u +.(u σ), (4.15) waarin q het moleculaire warmtetransport door het oppervlak voorstelt. We vermenigvuldigen de impulsbalans (4.7) met u en vinden we alleen de mechanische energiebalans: 1 2 ρ du2 dt = F.u + u.(.σ) (4.16) Als we (4.16) van (4.15) aftrekken vinden we de thermische energiebalans: ρ de dt =.q + (σ. ).u. In deze uitdrukking substitueren we (4.10) met als resultaat ρ de dt = ɛ p.u.q, (4.17) waarin ɛ, de dissipatie, in cartesische vorm gegeven wordt door ɛ = 2µ(e ij 1 u k δ ij ) 2 3 x k (leid dit af). De eerste term in (4.17) is de interne energie toename(ɛ > 0) en de tweede de interne energieverandering ten gevolge van expansie,.u > 0 of compressie,.u < 0. Met de eerste hoofdwet van de thermodynamica T ds = de+pdα, waarin S de entropie en α het specifiek volume is, volgt uit (4.17) onder verwaarlozing van het warmtetransport door de wand, (.q = 0): ρt ds dt = ɛ,

53 4.3. VISCEUZE STROMINGEN VAN VLOEISTOFFEN MET CONSTANTE DICHTHEID53 de entropie neemt dus toe tengevolge van de wrijving. Omdat er verder geen andere vorm van energieuitwisseling is verondersteld betekent dit volgens de tweede hoofdwet van de thermodynamica dat het visceuze stromingsproces onomkeerbaar is Toestands- en constitutionele vergelijkingen Het behoud van massa, impuls en thermische energie levert 5 vergelijkingen voor de 6 variabelen (u, e, ρ en p). Als p een eenduidige functie van ρ is (ideale adiabatische gassen) dan is in een isotherm systeem (waar ρ constant is (vloeistof)) de dynamica losgekoppeld van de thermodynamica. We houden dan 5 variabelen over en kunnen in principe naar oplossingen zoeken. Voor ideale gassen is de extra relatie p = ρrt, (4.18) de toestandsvergelijking, waarbij R de gasconstante (R = R /M, met M de molmassa en R = 8.3 JK 1 mol 1 ) is. Voor vloeistoffen is de relatie ρ = ρ 0 (1 β(ϑ ϑ 0 )), (4.19) waarbij ρ 0 en ϑ 0 een referentie dichtheid en temperatuur zijn, en β een (constante) uitzettingscoefficient is. Een benadering die veel wordt toegepast is de dichtheid constant te veronderstellen, behalve in de termen met volumekrachten (één van de Boussinesq benaderingen). 4.3 Visceuze stromingen van vloeistoffen met constante dichtheid In het vorige hoofdstuk bekeken we stromingen waarvoor het Reynoldsgetal groot was, zodat behalve in een grenslaag, de stroming inertieel gedomineerd was. Hier bekijken we stromingen waarin visceuze krachten belangrijk zijn, bijv. stromingen van vloeistoffen rond en binnen geometrische constructies, zoals de stroming van water door een pijp. Compressibele effecten zijn te verwaarlozen: we nemen ρ constant. De zwaartekracht is de enige volumekracht. De bewegingsvergelijkingen zijn in dit geval.u = 0 u t + (u. )u = 1 ρ p + ν u ge 3 (4.20) waarbij ν = µ/ρ de kinematische viscositeit is. In het algemeen dienen deze vergelijkingen numeriek opgelost te worden. Er zijn echter een aantal situaties waar analytische resultaten kunnen worden verkregen.

54 54 HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN h z x Figuur 4.5: Vlakke Poiseuille stroming Parallelle stromingen Voor een stationaire evenwijdige stroming zijn twee van de drie snelheidscomponenten nul en hangt de derde maar van één coordinaat af. In dat geval reduceren de vergelijkingen (4.20) enorm. Vlakke Poiseuille stroming Beschouw een stationaire stroming t.g.v. een constante horizontale drukgradient tussen twee horizontale platen zoals geschetst in figuur 4.5 Er bestaat een oplossing u = (u(z), 0, 0), p = p(x, z). De vergelijkingen (4.20) worden. p x = u µ 2 z 2 p z = g. Met u(0) = u(h) = 0 en p/ x = α = constant, volgt u(z) = α 2µ (z2 zh) Falling film Een vloeistof-film (figuur 4.6) beweegt verticaal langs een plaat onder invloed van de zwaartekracht en een schuifspanning τ (bijv. veroorzaakt door langsstromende lucht). In dit geval bestaat een oplossing u = (0, 0, w(x)). De vergelijkingen zijn p x = 0 p z = µ 2 w x 2 ρg

55 4.3. VISCEUZE STROMINGEN VAN VLOEISTOFFEN MET CONSTANTE DICHTHEID55 L Figuur 4.6: Geometrie van een dunne vloeistoffilm die verticaal langs een vlakke wand beweegt onder invloed van de zwaartekracht. met randvoorwaarden w(0) = 0 µ w (L) x = τ. Neem p z = α = constant en β = µ 1 (α + ρg) dan is de oplossing w(x) = β(x 2 /2 Lx) + τx/µ. Dit geeft een familie van oplossingen geparametriseerd door α en τ. Stokes stromingen (Re < 1) Het karakter van visceuze stromingen hangt sterk af van de relatieve grootte van de termen (u. )u en ν 2 u in (4.20). In parallelle stromingen is de term (u. )u niet van invloed vanwege de geometrie van de stroming. Er zijn echter ook twee andere (belangrijke) situaties waarbij (u. )u veel kleiner is dan ν 2 u: als het Reynolds getal Re = UL/ν klein is (kleine snelheden, grote viscositeit), Stokes stromingen, of als in een dunne film (L klein)

56 56 HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN Figuur 4.7: Een bolvormig deeltje dat onder invloed van zijn eigen gewicht in een verticale vloeistofkolom naar beneden beweegt (u. )u te verwaarlozen is in verhouding met visceuze termen. gevallen reduceren de vergelijkingen tot.u = 0 In beide (4.21) 0 = 1 ρ p + ν 2 u d.w.z. drukgradiënt en wrijving zijn in balans. Omdat deze vergelijkingen lineair zijn is er veel bekend over de oplossing van dit type stromingen. We zullen ons beperken tot een voorbeeld van een Stokes stroming en een grenslaagstroming Stokes stroming om een bol Veronderstel dat een bolletje (dichtheid ρ f en straal a) zich in een verticale kolom vloeistof (dichtheid ρ) met constante snelheid naar beneden beweegt onder invloed van zijn eigen gewicht, zie figuur 4.7. We willen de sedimentatiesnelheid bepalen als functie van de andere parameters van het systeem. We gaan als eerste stap het stromingsveld uitrekenen en daarna de kracht bepalen die een stromende vloeistof vloeistof op het bolletje uitoefent. Zet het bolletje in een stroming parallel met de z-as met snelheid U (de sedimentatiesnelheid). Het Reynoldsgetal gebaseerd op de straal van de bol

57 4.3. VISCEUZE STROMINGEN VAN VLOEISTOFFEN MET CONSTANTE DICHTHEID57 is dan Ua/ν. Met typische waarden: a = 10 4 m, U = 10 3 ms 1 en ν = 10 6 m 2 s 1 (water) is Re = Veronderstellen we dat de resulterende stroming rondom het deeltje sferisch symmetrisch (u = (u(r, ϑ), v(r, ϑ), 0)) is dan worden de continuiteitsvergelijking en de bewegingsvergelijkingen in bolcoordinaten (volumekrachten afwezig) 0 = u r + 2 r u + 1 v r ϑ + 1 r v cot ϑ = µ( 2 u r r 2 v r 2 p r 1 p r u r 2 r 2 u + 1 r 2 2 u ϑ r 2 u ϑ cot ϑ ϑ 2 v cot ϑ) (4.22) r2 ϑ = v µ( 2 r v r r 1 (r sin ϑ) 2 v v r 2 ϑ v r 2 ϑ cot ϑ + 2 u r 2 ϑ ) (nb de snelheidsvector is hier gedefinieerd als u = dr dt De randvoorwaarden zijn voor r = a: u(a) = v(a) = 0 en v = r dθ dt ). en voor r : u U cos ϑ, v U sin ϑ, p p We berekenen nu de kracht (Σ) op de bol (de weerstand) gegeven door σ ij n j, waarbij n de uitwendige normaal op de bol is (n = (1, 0, 0) in bolcoordinaten) en σ de spanningstensor, met de componenten (zie (4.10 en de appendix)) Σ 1 = σ 11 = p + 2µ u r v r + 1 r Σ 2 = σ 21 = µ(r r Σ 3 = σ 31 = 0. u ϑ ) De kracht is gericht in de negatieve z-richting (figuur 4.9) en vanwege symmetrie is de kracht d per oppervlakte eenheid op de rand r = a gelijk aan

58 u(r, ϑ) = 1 2 U cos ϑ{2 + ( a r )3 3 a r } (4.24) 58 HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN We bepalen de oplossing van dit probleem door het invoeren van een stroomfunctie ψ(r, ϑ) : u = 1 1 ψ r 2 sin ϑ ϑ v = 1 ψ r sin ϑ r, (4.23) waarmee automatisch aan (4.21a) is voldaan. Gebruik (4.23) in (4.22) en elimineer de druk:» 2 r + sin ϑ» 2 1 ψ = 0. 2 r 2 ϑ sin ϑ ϑ Omdat voor r : ψ(r, ϑ) 1 2 Ur2 sin 2 ϑ, proberen we een oplossing te vinden van de vorm ψ(r, ϑ) = f(r) sin 2 ϑ. Invullen levert ` d 2 dr 2 2f = 0. 2 r 2 Deze vergelijking heeft oplossingen f(r) r α indien [(α 2)(α 3) 2][α(α 1) 2] = 0 α = 1, 1, 2, 4 en dus is de algemene oplossing f(r) = r 1 A + Br + Cr 2 + Dr 4 De condities voor r geven: C = U/2 en D = 0. De condities op r = a bepalen de constanten A en B. De oplossing is ψ(r, ϑ) = 1 4 U(r sin ϑ)2 {2 + ( a r )3 3 a r }, waaruit het snelheidsveld volgt: v(r, ϑ) = 1 4 U sin ϑ{4 ( a r )3 3 a r }. De druk wordt bepaald door terugsubstitutie in (4.22): p(r, ϑ) = p 3µa U cos ϑ (4.25) r2 Het stromingspatroon is geschetst in figuur 4.8. d = Σ 1 cos ϑ Σ 2 sin ϑ Na substitutie van de snelheden en de druk (zie 4.24 en 4.25) volgt d = p cos ϑ + 3 µu 2 a

59 4.3. VISCEUZE STROMINGEN VAN VLOEISTOFFEN MET CONSTANTE DICHTHEID59 Figuur 4.8: Stromings patroon rond een bol. De totale kracht D is dus D = 2π π 0 0 d a 2 sin ϑdϑdφ = 4πa 2 d = 6πµaU. Veronderstel nu dat een deeltje t.g.v. zwaartekracht (en opwaartse kracht) naar beneden valt met een constante snelheid. Deze sedimentatiesnelheid volgt nu uit de krachtenbalans: (m m )g = D, waarbij m de massa van het bolletje is en m de hoeveelheid verplaatste vloeistof. Met m = 4πa 3 ρ f /3 en m = 4πa 3 ρ/3 volgt de bekende formule van Stokes Grenslaagstromingen U = 2(ρ 2 f ρ)ga. (4.26) 9µ In visceuze stromingen is de vector van de vloeistofsnelheid op het oppervlak gelijk aan 0. Dit is een belangrijk verschil met potentiaalstromingen. Visceuze krachten zorgen ervoor dat ook de tangentiële snelheidscomponent aan het oppervlak naar nul gaat. De laag waarin die krachten een belangrijke rol spelen wordt de grenslaag genoemd. Wiskundig gezien is dit een delicaat probleem, want de introductie van wrijving leidt tot een extra term, de enige van de tweede orde, in de Navier-Stokes vergelijkingen. De sterke gradiënt in de buurt van het oppervlak correspondeert ook met een grote vorticiteit. Bij de achterrand van een vleugel ontstaan initieel

60 60 HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN z Σ 1 d θ θ Σ 2 x y Figuur 4.9: Geometrie van de krachten op de bol (stippellijn) wervels die niet door de potentiaaltheorie voorspeld worden en die maken dat aan de Kutta voorwaarde wordt voldaan (zie hoofdstuk 3 ). Voor een nadere beschouwing nemen we een stationaire parallelle stroming langs een vlakke plaat (zie figuur 4.10). Aan het begin van deze plaat zal door visceuze effecten vorticiteit gegenereerd worden die zich geleidelijk aan omhoog zal verplaatsen door diffusieve processen: er zal zich een grenslaag vormen, waarvan de dikte (δ), gerekend vanaf het begin van de plaat, geleidelijk zal toenemen. In een uniform stromingsveld (U) met een coordinatenstelsel waarvan de x-as langs de plaat valt, zal op dimensionele gronden de dikte van de grenslaag toenemen als: δ = νx/u, zodat δ ν x = Ux 1/ Re x. (4.27) Omdat Re x >> 1 zal de grenslaagdikte klein zijn ten opzichte van de (horizontale) lengteschaal. (bijv. de koorde van de vleugel). Het feit dat grenslagen dun zijn, leidt tot aanzienlijke vereenvoudigingen bij het oplossen van stromingsproblemen. We illustreren dit aan de hand van een 2-D, onsamendrukbare stroming langs een vlakke plaat (zie boven). De lengteschaal in de x-richting is L. De continuiteitsvergelijking is: u x + w z = 0.

61 4.3. VISCEUZE STROMINGEN VAN VLOEISTOFFEN MET CONSTANTE DICHTHEID61 z U u(z) δ(x) x Figuur 4.10: De ontwikkeling van een grenslaag langs een vlakke plaat. De eerste term is O(U/L) en de tweede O(w/δ), zodat w Uδ/L een maat is voor de snelheid in de z-richting. De bewegings vergelijking in de x-richting is uitgeschreven: u t + u u x + w u z = 1 ρ p x + u ν( 2 z u x 2 ). Als we een schaalanalyse van deze vergelijking maken, dan vinden met gebruikmaking van het resultaat (4.27) dat de laatste term O(Re 1 ) kleiner is dan de overige termen (ga dit na). Het volledige stelsel vergelijkingen wordt dan u x + w z u t + u u x + w u z p z = 0 = 1 p ρ x + ν 2 u z 2 = 0, de grenslaagvergelijkingen. De laatste vergelijking geeft aan dat in eerste benadering de druk niet met de hoogte verandert en dat dus de horizontale drukgradiënt p/ x in de grenslaag gelijk moet zijn aan die daarbuiten. Deze kiezen we voor de eenvoud gelijk aan 0. De randvoorwaarden zijn u, w = 0 voor z = 0, en voor z convergeert de stroming naar de achtergrondstroming, die we met de theorie uit de vorige hoofdstukken kunnen behandelen als een wrijvingsloze potentiaal stroming. Gezien de geringe dimensie van de grenslaag verwaarlozen we de invloed die deze daarop heeft.

62 62 HOOFDSTUK 4. VISCEUZE STROMINGEN De grenslaagvergelijkingen reduceren dan in het stationaire geval tot u x + w z u u x + w u z = 0 = ν 2 u z 2. De vorm van de continuiteitsvergelijking vraagt om de invoering van een stroomfunctie. We definiëren eerste de dimensieloze (gelijkvormigheids)variabele η als: η = z δ(x), met δ = νx/u. We voeren nu de dimensieloze stroomfunctie f(η) in: ψ = (νux) 1 2 f(η) in. De functie f moet dan voldoen aan d 3 f dη f d2 f dη 2 = 0 (4.28) (leid dit af). Met deze substitutie reduceert de grenslaag vergelijking tot een gewone differentiaal vergelijking. Overigens kan (4.28) slechts numeriek worden opgelost. Zo volgt voor de oppervlaktespanning τ (µdu/dz) z=0 τ = 0.33ρU 2 ν Ux, waar de coefficiënt uit de numerieke resultaten volgt. Als we tenslotte de dikte van de grenslaag definiëren als de waarde van z waarvoor u(z)/u = 0.99 dan volgt uit de numerieke resultaten ν δ/x = 5 Ux.

63 Hoofdstuk 5 NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN Dit hoofdstuk vormt een inleiding tot de stromingsleer van niet-newtoniaanse vloeistoffen. Voorbeelden van niet-newtoniaanse vloeistoffen, d.w.z. vloeistoffen waarvoor de relatie tussen spanning en vervorming gegeven door (4.8) geen goed model is, zijn polymeeroplossingen, (stop)verf, ijs etc. Deze vloeistoffen vertonen zowel visceuze als elastische (en nog andere) eigenschappen veroorzaakt door de moleculaire structuur van die vloeistoffen. Hier beperken we ons tot de continuum theorie van isotherme, incompressibele vloeistoffen. In 5.1 laten we een aantal voorbeelden zien van typische experimenten, die het verschil tussen Newtoniaanse en niet-newtoniaanse vloeistoffen illustreren. De kinematica van niet-newtoniaanse vloeistoffen zal voor een aantal eenvoudige stromingen bekeken worden in In 5.2 wordt het model van de gegeneraliseerde Newtoniaanse vloeistof ingevoerd en in bekijken we modellen voor een lineaire viscoelastische vloeistof. 5.1 Fenomenologie In het eerste experiment bekijken we twee identieke vertikale cilinders waarvan de bodem tot het tijdstip t = 0 bedekt is met een plaat. De ene cilinder is gevuld met een Newtoniaanse vloeistof (bijvoorbeeld een water-glycerine oplossing), de andere met een polymeer oplossing. Deze polymeer oplossing is zo gekozen dat de viscositeit van de oplossing dezelfde is als die van de Newtoniaanse vloeistof bij klein Reynolds getal. De stationaire valsnelheid van een kleine bol is bijvoorbeeld in beide vloeistoffen gelijk. Op t = 0 wordt de bodemplaat verwijderd. Als de rechter cilinder veel sneller leegstroomt dan de linker noemen we de polymeeroplossing pseudoplastisch. Bedenk dat in het Newtoniaanse geval het debiet omgekeerd evenredig is met de (constante) viscositeit. Bij een pseudoplastische vloeistof neemt dus de viscositeit af bij toenemende schuifspanning. Veel polymeeroplossingen 63

64 64 HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN A B Figuur 5.1: In een bak wordt een vloeistof door een draaiende staaf in beweging gebracht. (links) een Newtoniaanse vloeistof en (rechts) een viscoelastische vloeistof. A en B verwijzen naar het integratiepad in de tekst. met een spanningsafhankelijke viscositeit zijn pseudoplastisch. Er zijn echter niet-newtoniaanse vloeistoffen waarvoor de rechter cilinder minder snel leegstroomt dan de linker. Deze vloeistoffen worden dilatant genoemd. Voor een dilatante vloeistof neemt de viscositeit toe bij een grotere schuifspanning. Dan zijn er nog vloeistoffen die helemaal niet gaan stromen tenzij er een kritische schuifspanning is overschreden. Dit is de zogenaamde vloeigrens ( yield stress ). Deze vloeistoffen worden viscoplastisch genoemd. Bij een parallelle stroming met snelheidsveld u = (0, 0, w(r)) in een cilinder t.g.v. de zwaartekracht wordt de balans van krachten gegeven door schuifspanning σ 31 gegeven door ρg = 1 [ ] d r dr (rσ 31 ) (5.1) waar de schuifspanning σ 31 is, ρ de dichtheid van de vloeistof, g de zwaartekrachtsversnelling en r de radiële coördinaat. Integratie geeft 1 2 ρgr = σ 31 Als voor zekere r 0 < R (R de straal van de cilinder) de vloeigrens is bereikt dan zal de vloeistof voor r < r 0 als een prop stromen en varieert de snelheid met r alleen in het gebied r 0 < r < R. Als de vloeigrens groter is dan ρgr/2, dan zal de vloeistof niet gaan stromen. In het tweede experiment (zie figuur 5.1 en 5.2) bekijken we de stroming veroorzaakt door een roterende cilinder. In de linker beker bevindt zich een glycerine oplossing, in de rechter een polymeer oplossing. Het stromingspatroon in de Newtoniaanse vloeistof is zoals verwacht: de vloeistof nabij de draaiende cilinder wordt naar buiten gedrukt door de centrifugale kracht en

65 5.1. FENOMENOLOGIE 65 Figuur 5.2: Illustratie van het Weissenberg effect. De vloeistof heeft zich opgehoopt rond de draaiende staaf. bron: Rheological Phenomena in Focus van D.V.Boger en K.Waters het vloeistofpeil is maximaal aan de rand van de cilinder. Het gedrag van de polymeeroplossing is echter totaal anders: de vloeistof klimt omhoog tegen de cilinder. Dit fenomeen wordt het Weissenberg-effect genoemd. Bekijken we de impulsbalans in radiële richting voor een stationaire axisymmetrische stroming met snelheidsveld u = (0, v(r), 0), ρv2 r = 1 r [ ] r [rσ 11 ] σ 22 (5.2) dan volgt door integratie van A naar B (zie figuur 5.2) σ 11 (r B ) σ 11 (r A ) = rb r A ρv 2 r + 1 r (σ 11 σ 22 ) dr (5.3)

66 66 HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN Bedenk dat in een cilindrisch assenstelsel (r, θ, z), de tangentiële krachten die op een klein volume elementje werken niet parallel zijn (zie de figuur in deze box). De resultante (normaal) stress op de oppervlakjes drdz is σ 22 dθ (een min-teken omdat de kracht binnen is gericht). De kracht per volume elementje rdrdθdz is dan σ22 dθ drdz = σ22 rdrdθdz r. In de radiële richting is de resultante kracht σ 11(r + dr) (r + dr)dθdz σ 11(r) rdθdz. Na een Taylor reeks ontwikkeling volgt dat de resultante kracht gelijk is aan σ 11 r dθdzdr, r en dus per volume eenheid 1 r σ 11 r. r Als we veronderstellen dat deze krachten en de centrifugale kracht (ρv 2 /r) balanceren, dan volgt direct (5.2). dr r dθ σ 22 dθ σ 22 dθ σ 22 dθ σ 22 σ 22 σ 22 σ 11 (r+dr) Voor een Newtoniaanse vloeistof bestaat de integrand in het rechterlid (bedenk dat voor de parallelstroming σ 11 = σ 22 = p) alleen uit de centrifugale kracht en daarom is het rechter lid negatief en dus p A < p B. Het experiment met de polymeer oplossing geeft aan dat in dit geval het rechterlid positief is en daarom moet dus σ 11 σ 22 negatief zijn en groter dan de centrifugale term. Er treden dus merkwaardige normaalkrachten op. Het derde experiment betreft een vloeistof die vanuit een groot reservoir door een cylindrische buis met lengte L en diameter D geperst wordt (figuur 5.3). Als een Newtoniaanse vloeistof (bijvoorbeeld een siliconen olie) stroomafwaarts in een groot reservoir uitstroomt (de vloeistof heet dan geëxtrudeerd) dan is de uittredende diameter D e kleiner dan D. Voor een polymeer oplossing is in het algemeen D e groter dan D; dit wordt extrudate swell of jet

67 5.1. FENOMENOLOGIE 67 Figuur 5.3: Uitstroom van een viscoelastische vloeistof; (boven) schematisch: door de schuifspanning langs de wand in de buis treedt elastische uitrekking op. bij het uittredende veert de vloeistof terug (lengterichting) waardoor ten gevolge van continuiteit verdikking optreedt; (onder) een fotoopname laat zien dat de plaats waar de verdikking optreedt verschuift afhankelijk van de uitstroomsnelheid. (bron: Luca Brandt & Christophe Duwig, / luca/html lib/dieswell.html swell genoemd. Men kan het verschijnsel ten dele verklaren door aan te nemen dat de vloeistof de capaciteit heeft om de intree regio van de cilinder te herinneren. Als de lengte van cilinder niet te lang is, dan zal de vloeistof bij stroming uit de cilinder zijn oorspronkelijke vorm aannemen. De diameter verhouding D e /D wordt inderdaad kleiner bij grotere L. De verhouding nadert echter niet naar 1 voor L/D en de geheugen eigenschap van de vloeistof is niet voldoende om het totale verschijnsel te verklaren. Het belang van deze jet swell in de plastic- en vezelindustrie is enorm. Als rayon wordt gesponnen, neemt de diameter van de vezel met ongeveer 10% toe (afhankelijk van procescondities). Beschouw in het volgende experiment een stilstaande polymeer oplossing in een horizontale bak. Een hoeveelheid actieve kool wordt vertikaal in de vloeistof aangebracht. Op t = 0 wordt een drukgradiënt aangelegd zodat de vloeistof gaat stromen. Na enige tijd wordt deze gradient opgeheven. Waargenomen wordt dat de actieve kool zich terugtrekt (figuur 5.4, de drukgradient wordt opgeheven net voor t 4 ); de vloeistof springt dus terug ( recoils ). De twee belangrijkste eigenschappen die naar voren komen uit dit experiment zijn elasticiteit (net zoals vaste stoffen gaat het medium terug naar de

68 68 HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN Figuur 5.4: Een paar schetsen van een terugspringend vloeistoffront ten gevolge van het opheffen van de drukgradiënt. onvervormde toestand, als de spanning wordt opgeheven) en een vervagend geheugen ( fading memory ). Dit laatste impliceert dat de vloeistof herinnert waar het vandaan kwam, maar dat het geheugen recente configuraties beter herinnert dan degene daarvoor. Vanwege dit vervagend geheugen springt de vloeistof niet helemaal terug naar de begintoestand. Samenvattend hebben we gezien dat niet-newtoniaanse vloeistoffen zich nogal anders gedragen dan Newtoniaanse vloeistoffen. Deze vloeistoffen bezitten elastische eigenschappen, een (vervagend) geheugen, merkwaardige normaalkrachten en een afhankelijkheid van viscositeit en schuifspanning. 5.2 De gegeneraliseerde Newtoniaanse vloeistof Inleiding Een grondige beschouwing van de kinematica van een algemene niet- Newtoniaanse vloeistof valt buiten dit college; een grondige kennis van tensorrekening is noodzakelijk. We zullen ons hier en de volgende paragrafen beperken tot enkele simpele reologische modellen die toegepast worden op een beperkte klasse van stromingen en vloeistoffen. Eerder hebben we gezien dat een incompressibele, isotherme Newtoniaanse vloeistof gekarakteriseerd wordt door twee grootheden, de dynamische viscositeit µ en de dichtheid ρ. Deze karakterisatie is onafhankelijk van het stromingsveld en de geometrie; voor elk experiment vindt men dezelfde waarde van ρ en µ. Voor niet-newtoniaanse vloeistoffen is deze situatie afwezig en leidt elk experiment tot zogenaamde materiaalfuncties die afhangen van schuifspanning en bijvoorbeeld tijd. Deze materiaalfuncties worden gebruikt om vloeistoffen te klassificeren en om constanten in reologische modellen te bepalen. In deze paragraaf worden een aantal standaard stromingstypen besproken die hiervoor worden gebruikt.

69 5.2. DE GEGENERALISEERDE NEWTONIAANSE VLOEISTOF 69 a Figuur 5.5: Geometrie van de deformatie van het lijnsegment AB Krachten en vervorming Voor niet-newtoniaanse vloeistoffen is de relatie tussen krachten uitgeoefend op de vloeistof en de daarop volgende vervorming complexer. Dat kan het geval zijn voor normaalkrachten en voor schuifkrachten. Alvorens we op een aantal toepassingen ingaan, zullen we dit proces eerst in wat meer detail bekijken. De vervorming kunnen we definiëren als de verschilvector tussen de vectoren die twee gemerkte punten, zeg A en B, met elkaar verbinden op twee opeenvolgende tijdstippen (zie figuur 5.5). De (infinitesimale) verschilvector, da, kunnen we in een cartesisch coordinatensysteem in eerste orde schrijven als of in componenten als da = a x j dx j, da i = a i x j dx j. Deze uitdrukking kunnen we formeel herschrijven als a i = 1 ( ai + a ) j + 1 x j 2 x j x i 2 ( ai x j a j x i De eerste term in deze relatie staat voor de vervorming en de tweede voor ).

70 70 HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN de rotatie. De vervormingstensor is dus gedefinieerd als ( 1 ai + a ) j. 2 x j x i De diagonaaltermen leiden tot strekking of opeenpersing, de overige termen tot afschuiving ( shearing ). Nemen we de afgeleide naar de tijd dan vinden we de vervormingssnelheidstensor, e, e ij = 1 2 ( ui + u ) j, x j x i die in sectie al was ingevoerd. Voor het vervolg voeren we de deviante spanningstensor, τ, in als τ = σ 1 3 tr(σ)i en op overeenkomstige wijze de deviante vervormingssnelheid: γ γ γ = e 1 3 tr(e)i waarin γ dγ/dt. Merk op dat tr(τ) en tr( γ γ γ) gelijk aan nul zijn. We beschouwen een reologisch model van een niet-newtoniaanse vloeistof dat in staat is de schuifspanningsafhankelijke viscositeit te beschrijven: de gegeneraliseerde Newtoniaanse vloeistof. Hiervoor formuleren we algemene relatie tussen de vervormingssnelheid en de schuifspanning als τ = η γ γ γ, waar η een scalaire functie is, die van een nog nader te speciferen aantal factoren afhankelijk kan zijn. Deze functie legt een relatie tussen twee tensoren die ongeacht de keuze van het coordinatensysteem steeds dezelfde moet zijn. Voor Newtoniaanse vloeistoffen is η alleen gerelateerd aan de materiaaleigenschappen en dus een (temperatuurafhankelijke) constante voor een bepaalde vloeistof. Voor niet-newtoniaanse vloeistoffen variëert η enorm met de afschuifspanning, soms wel met een factor Het is duidelijk dat dit soort effecten niet verwaarloosd kunnen worden. Als η afhangt van τ of γ γ γ, kan dat alleen maar zijn via de invarianten van die tensoren, want die blijven bij een coordinatentransformatie onveranderd. Voor een gegeneraliseerde Newtoniaanse vloeistof geldt dan τ = η (I γ γ γ, II γ γ γ, III γ γ γ ) γ γ γ De functie η is dus een functie van de invarianten van de tensor γ γ γ

71 5.2. DE GEGENERALISEERDE NEWTONIAANSE VLOEISTOF Uit de definitie van γ γ γ volgt dat I γ γ γ = 0. De afhankelijkheid van de derde variant wordt verwaarloosd zodat τ = η (II γ γ γ ) γ γ γ (5.4) In de hierna volgende toepassingen gaan we uit van een uniforme schuifstroming (u(z), 0, 0). Dan is en vereenvoudigt (5.4) tot II γ γ γ = 2 γ 2 = 2( du dz )2, τ = η ( γ) γ γ γ (5.5) De relatie tussen de niet-newtoniaanse viscositeit η en γ wordt meestal via empirische weg vastgelegd. We introduceren twee veel gebruikte modellen. Power-law vloeistof Dit model is gemotiveerd door resultaten zoals in figuur 5.6, waar voor grote afschuifsnelheden een log log plot van η tegen γ een rechte lijn geeft. Voor η veronderstellen we η( γ) = m γ n 1 waarbij m en n constanten zijn die van het type vloeistof en de procescondities afhangen. Hiermee wordt (5.5) τ = m γ n 1 γ γ γ. De inverse relatie staat in de glaciologie bekend als de wet van Glen. Voor n < 1 is de vloeistof pseudoplastisch en voor n > 1 is de vloeistof dilatant ( uitzettend ). In het geval m = µ en n = 1 is de vloeistof Newtoniaans. Bingham vloeistof Dit is een model voor een vloeistof met een vloeigrens τ 0. Voor de viscositeit geldt 1 Een tweede orde tensor τ met componenten τ ij, i, j = 1,..., 3 heeft drie invarianten I τ, II τ en III τ, d.w.z. de waarden van deze grootheden hangen niet af van de keuze van het coördinatenstelsel. Zij zijn gedefinieerd als I τ = tr(τ) = X i τ ii II τ = tr(τ τ) = X X τ ijτ ji i j III τ = tr(τ (τ τ)) = X X X τ ijτ jk τ ki. i j Vaak worden combinaties van deze invarianten ook gebruikt. det (τ) = 1 6 (I3 τ 3I τ II τ + 2III τ ). k Zo is bijvoorbeeld

72 72 HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN Figuur 5.6: log-log plot van η als functie van de vervormingssnelheid γ. η( γ) = voor τ < τ 0 η( γ) = µ + τ 0 / γ voor τ > τ 0 Om inzicht te krijgen in deze modellen behandelen we nu twee simpele voorbeelden. Vlakke Couette/Poiseuille stroming van een Power-law vloeistof Beschouw een stroming tussen twee vlakke platen waarvan de bovenste met snelheid U naar rechts beweegt. De stroming wordt tevens aangedreven door de constante horizontale drukgradient (p L p 0 )/L = α. Een stationaire parallelle stroming met snelheidsveld u = (u(z), 0, 0) is het gevolg. De impulsbalans in x-richting (met σ = pi + τ) is p x + τ 13 z = 0, met als oplossing τ 13 = αz λ, waarbij λ een integratieconstante is. Voor een Power-law vloeistof geldt zodat τ 13 = η( γ) γ = m γ n = m ( u z )n, m ( u z )n = λ αz (5.6)

73 5.2. DE GEGENERALISEERDE NEWTONIAANSE VLOEISTOF 73 Hieruit blijkt dat we onderscheid moeten maken tussen twee gevallen: I. u(z) heeft geen extreem op z (0, H). II. u(z) heeft een extreem op z (0, H). In het eerste geval kunnen we (5.6) rechtstreeks integreren en vinden we u(z) = β ( m λ α(s + 1) m α z ) s+1 (5.7) m met s = 1/n en β een tweede integratieconstante. Deze constanten worden bepaald door de randvoorwaarden u(0) = 0, u(h) = U en we vinden u(z) U waar de constante λ 0 volgt uit αh m = λs+1 0 (λ 0 z H )s+1 λ s+1 0 (λ 0 1) s+1, met λ 0 = λ/αh, ( ) H 1/s ( ) s + 1 1/s = U λ s+1. 0 (λ 0 1) s+1 Voor het geval II moeten we het interval splitsen en krijgen we eenzelfde type resultaat. Stroming van een Bingham vloeistof tussen twee vertikale platen Beschouw een Bingham vloeistof die zich tussen twee platen bevindt die op een afstand d van elkaar zijn geplaatst. De stroming tussen de platen wordt veroorzaakt door de zwaartekracht; een axiale drukgradient is afwezig. De impulsbalans in x-richting wordt met als oplossing τ 31 x = ρg τ τ 31 = ρgx + λ, waar λ een integratieconstante is. Vanwege symmetrie moet gelden dat τ(d/2) = 0 en dus wordt λ = ρgd/2; we hoeven ook alleen maar de situatie op (d/2, d) te bekijken. Veronderstel dat de vloeigrens gegeven wordt door τ 0. Indien dan de vergelijking τ 0 = ρg(x d 2 ) (5.8) geen oplossing heeft voor x (d/2, d) dan zal de vloeistof niet gaan stromen: de maximale schuifspanning τ max = τ(d) = ρgd/2 < τ 0. Indien de vergelijking wel een oplossing x (d/2, d) heeft dan wordt het snelheidsprofiel op het interval (x, d) bepaald door

74 74 HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN Figuur 5.7: Snelheids- en schuifspanningsprofiel van een Bingham stroming tussen twee vlakke platen waaruit volgt τ + τ 0 = µ w x (5.9) w(x) = ρg 2µ (x2 dx) τ 0 (x d)/µ. (5.10) Het stromings- en schuifspanningspatroon is geschetst in figuur De lineaire viscoelastische vloeistof Hoewel het model van de gegeneraliseerde Newtoniaanse vloeistof erg waardevol is voor toepassingen in stromingen waar grote deformaties optreden, is het formeel alleen toepasbaar op stationaire afschuifstromingen. Het reologische model is niet in staat om een tijdafhankelijke effecten, zoals een elastische respons, te beschrijven. In deze paragraaf wordt een reologisch model behandeld dat enkele temporele effecten kan beschrijven; het is echter alleen toepasbaar voor stromingen waarin kleine deformaties optreden. Dit is het model van de viscoelastische vloeistof.

75 5.2. DE GEGENERALISEERDE NEWTONIAANSE VLOEISTOF 75 Als we een ring van rubber strekken en het daarna loslaten, zal het rubber na een korte tijd terugkeren in de oorspronkelijke toestand. Het rubber is elastisch en kan de oorspronkelijke toestand goed herinneren. Polymeeroplossingen hebben ook elastische- en geheugen-eigenschappen, Een simpel model om deze elastische- en geheugen-eigenschappen te beschrijven is het Maxwell-model. Beschouwen we de spanning in een materiaal dat vrij kan bewegen tussen twee horizontale platen dan vinden we voor een Newtoniaanse vloeistof τ 13 = µ u z = µ γ(t). (5.11) Anderzijds geldt voor een elastische vaste stof (de wet van Hooke) in deze eenvoudige geometrie τ 13 = G a z, waarin a de uitwijking is in de x-richting t.o.v. een evenwichtstoestand op t = t 0, a = t t 0 u(z)dt. Hieruit volgt voor de gradiënt van a in de z-richting: a z = t t u(z)dt = z t 0 t 0 u t z dt γ(t) dt γ(t, t 0 ), t 0 zodat τ 13 = G γ(t, t 0 ). (5.12) We hebben hier gebruikt dat γ de (hoek)vervorming is (nb. γ(t) = γ/ t). G is de glijdingsmodulus van het materiaal. Het Maxwell-model is een lineaire combinatie van de vergelijkingen (5.11, 5.12): τ 13 + µ τ 13 = µ γ(t) (5.13) G t In het stationaire geval reduceert bewegingen reduceert (5.13) tot (5.11). Voor snel veranderende spanningen domineert de tijdafgeleide in het linkerlid en (na integratie) volgt (5.12). Dus (5.13) modelleert een vloeistof met zowel visceuze als elastische eigenschappen. We stellen nu η 0 = µ en λ 0 = µ/g (λ 0 is hiermee een tijdconstante) en schrijven (5.13) als τ + λ 0 τ t = η 0 γ(t), een eerste orde differentiaalvergelijking in t die na integratie t { } η0 τ(t) = exp[ (t s)/λ 0 ] γ(s) ds λ 0

76 76 HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN oplevert. De uitdrukking tussen accolades is de relaxatiemodulus G(t s). Partiële integratie geeft: τ(t) = t { η0 λ 2 0 } exp[ (t s)/λ 0 ] γ(t, s) ds, waarin de term tussen accolades bekend staat als de geheugenfunctie M(t s). Hierbij is verondersteld dat de τ eindig is voor t. De gegeneraliseerde lineaire viscoelastische vloeistof wordt voorgesteld door of t τ ij = G(t s) γ ij (s) ds (5.14) τ ij = t M(t s)γ ij (t, s) ds waarvan het Maxwell-model een speciaal geval is. Het reologisch model (5.14) is bruikbaar voor afschuifstromingen, rekstromingen en elk ander type stroming zolang de deformaties t.o.v. de referentietoestand klein zijn. Het is het correcte startpunt voor de beschouwing van niet-lineaire effecten. Tot slot behandelen we twee voorbeelden m.b.t. dit algemene model. Stationaire afschuifstroming Als een vloeistof een lange tijd tussen twee platen heeft gestroomd met afschuifsnelheid γ 13 constant, dan wordt (5.14) t τ 13 = G(t s) γ 13 ds = γ 13 G(σ) dσ = η 0 γ 13 Hieruit zien we dat de viscositeit η 0 gelijk is aan de integraal over de relaxatiemodulus. Via het model van de lineaire viscoelastische vloeistof vinden we in dit geval alleen de viscositeit voor kleine afschuifsnelheden. Terugspringen van een vloeistof Beschouw weer een vloeistof tussen twee horizontale platen die een stationaire afschuifstroming ondergaat tot t = 0 met constante afschuifsnelheid γ (figuur 5.8). Op t = 0 wordt de spanning opgeheven en springt de vloeistof terug. We willen de vervorming γ(0, t) volgen als functie van de tijd. Door de afstand tussen de platen klein genoeg te kiezen blijft gedurende het terugspringen het lineaire snelheidsprofiel gehandhaafd (inertie is niet belangrijk). Laat γ de uiteindelijke vervorming zijn, d.w.z. 0 γ = lim γ(0, t) = t 0 γ(s) ds. (5.15)

77 5.2. DE GEGENERALISEERDE NEWTONIAANSE VLOEISTOF 77 Δz τ 13 γ γ o α Figuur 5.8: Horizontale stroming met constant snelheidsprofiel. We bepalen γ met (5.14) voor t > 0. Uit τ(t) = 0 volgt: of met σ = t s 0 0 = G(t s) γ 0 ds 0 = γ 0 G(σ) dσ Laat nu G n = 0 G(σ)σ n dσ dan volgt t t γ 0 G 0 + γ 0 G(σ) dσ = 0 t 0 t 0 t 0 G(t s) γ(s) ds G(σ) γ(t σ) dσ (5.16) G(σ) γ(t σ) dσ. Voer de Laplace getransformeerden Ḡ(p) = L{G(t)} en ḡ(p) = L{ γ(t)} in. Transformatie van bovenstaande vergelijking leidt tot (zie sectie 6.1.1) γ 0G 0 p + γ 0Ḡ(p) p = Ḡ(p) ḡ(p) en dus ḡ(p) = 1 p We ontwikkelen Ḡ(p) in een Taylor reeks, ( γ 0 γ ) 0G 0. Ḡ(p) Ḡ(p) = G 0 G 1 p + O(p 2 ) zodat ḡ(p) = γ 0 ( G 1 G 0 + G 1 (p) + O(p2 ) ).

78 78 HOOFDSTUK 5. NIET-NEWTONIAANSE VLOEISTOFFEN Uit (5.15) vinden we zodat tenslotte { t } γ = lim pl p 0 0 γ(s) ds = lim ḡ(p), p 0 γ = lim p 0 ḡ(p) = γ 0 G 1 G 0. Op deze manier hebben we de integraalvergelijking (5.16 ) voor γ niet expliciet opgelost, maar de uiteindelijke vervorming als integraal via deze integraalvergelijking berekend. Men kan deze uiteindelijke vervorming expliciet uitrekenen door een uitdrukking voor de relaxatiemodulus te nemen, bijvoorbeeld die van het Maxwell-model met als resultaat γ = γ 0 λ 0. Als we het model van een lineaire viscoelastische vloeistof proberen toe te passen op stromingen waar de deformaties niet klein zijn, komen we in moeilijkheden. Er is dan namelijk een afhankelijkheid van zowel de spanning als de rotatie van een vloeistofdeeltje in de stroming, d.w.z. het model is niet objectief. Meer algemene modellen beschouwen dan ook de spanning in een coördinatenstelsel dat meeroteert met de stroming.

79 Hoofdstuk 6 WARMTETRANSPORT 6.1 Warmtetransport in een stilstaand medium We zullen eerst ingaan op een bewegingsloze vloeistof. We laten interne warmteproductie (zoals wrijving, straling of chemische processen) buiten beschouwing. Dan vindt het transport van warmte alleen plaats door middel van (moleculaire) diffusie, die we evenredig nemen met de temperatuurgradiënt, q = k T. Dan volgt uit (4.17): ρc v T t =.(k T ). We hebben hierbij aangenomen dat e = c v T, waarbij ρ en c v de dichtheid en de warmtecapaciteit van de vloeistof zijn en k de warmtegeleidingscoëfficiënt. In vele gevallen (waaronder vaste stoffen) kunnen ρ, c v en k als constanten worden beschouwd. In dit geval is de thermische diffusiecoëfficiënt κ = k/(ρc v ) constant, zodat T t = κ 2 T. (6.1) Deze vergelijking kan met geschikte rand- en beginvoorwaarden worden opgelost. Als voorbeelden geven we twee veel gebruikte methoden: de Laplace transformatie en de Fourier transformatie. Uit de voorbeelden zal blijken welke methodiek geschikt is voor een bepaald type probleem De Laplace transformatie We beschouwen voor reële s > 0 de integraal F (s) = 0 e st f(t)dt. De functie F (s) is gedefiniëerd voor die waarden van s waarvoor de integraal bestaat en heet de Laplace getransformeerde van f, ook wel aangeduid als 79

80 80 HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT L(f). Het gaat om een lineaire transformatie, d.w.z. voor twee functies f 1, f 2 waarvoor geldt L(c 1 f 1 + c 2 f 2 ) = c 1 Lf 1 + c 2 Lf 2. Een aantal rekenregels kan relatief gemakkelijk worden afgeleid. Als F (s) = L{f(t)} dan geldt L{f(at)} = a 1 F (sa 1 ), (a > 0) L{e at f(t)} = F (s + a) L{f (t)} = sf (s) f(+0) L{f (n) (t)} = s n F (s) s n 1 f(+0)... sf (n 2) (+0) f (n 1) (+0) waarin f(+0) = lim t 0 f(t). Een laatste belangrijke regel betreft de Laplace getransformeerde van het convolutie product f g, gedefiniëerd voor t > 0 door met de eigenschap f g = t 0 f(τ)g(t τ)dτ, L{f g(t)} = F (s)g(s) waarbij G(s) = L{g(t)}. In de appendix zijn een aantal veel voorkomende functies en hun Laplace getranformeerde gepresenteerd. De belangrijkste toepassing van de Laplace transformatie vinden we bij het oplossen van beginwaarde problemen voor lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coefficiënten, zoals bijvoorbeeld (6.1). We zullen deze toepassing geven aan de hand van een voorbeeld. Warmtegeleiding in een half-oneindige staaf Beschouw een half-oneindig dikke staaf, die op t = 0 een temperatuur T 0 heeft, terwijl bij x = 0 voor t > 0 de temperatuur een constante waarde T 1 heeft (T 1 T 0 ). Als we bovendien aannemen dat de staaf uit homogeen materiaal bestaat en dat deze geen warmte verliest aan de omgeving, wordt de formulering van het probleem gegeven door (6.1): met begin- en randvoorwaarden, voor t = 0: T (x, 0) = T 0 (x > 0), voor x = 0: T (0, t) = T 1 (t > 0) T t = κ 2 T x 2,

81 6.1. WARMTETRANSPORT IN EEN STILSTAAND MEDIUM 81 Figuur 6.1: Temperatuurverloop bij drie verschillende tijdstippen als functie van de afstand tot de wand. en voor x T (x, t) <. De Laplace getransformeerde, Θ(s, x), van T (t, x) is Θ(s, x) = Met behulp van de rekenregels vinden we 0 e st T (t, x)dt. κ 2 Θ x 2 = sθ T 0 De oplossing van deze gewone differentiaalvergelijking is (T 0 is constant) Θ(s, x) = A(s) exp{ x(s/κ) 1/2 } + B(s) exp{x(s/κ) 1/2 } + T 0 s 1 (6.2) Uit de randvoorwaarden volgt dat B(s) = 0 en A(s) = (T 1 T 0 )s 1 zodat Θ(s, x) = (T 1 T 0 )s 1 exp{ x(s/κ) 1/2 } + T 0 s 1. Terugtransformatie geeft (zie appendix) T (t, x) = (T 1 T 0 ) Erfc{ x } + T 0 4κt Ercf(x) is de complementaire error-functie gedefinieerd als Erfc(x) = 1 Erf(x) = 1 2 x exp z 2 dz, x [0, ) π met Erf( ) = Erfc(0)= 1. 0

82 82 HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT T T T Figuur 6.2: Definitie van de indringdiepte, δ Voor T 1 > T 0 is het temperatuurverloop als functie van x geschetst in figuur 6.1 voor verschillende waarden van t. De warmteflux op x = 0 op tijdstip t > 0 wordt gegeven door q(t) = ρc v κ T (t, 0) (6.3) x Laat L{q(t)} = Q(s) dan volgt Q(s) = ρc v κa(s)(s/κ) 1/2 = ρc v (T 1 T 0 )( κ s )1/2 (6.4) Na terugtransformatie (zie appendix) volgt dat [ κ ] 1/2 q(t) = ρc v (T 1 T 0 ) (6.5) πt Definiëren we de warmteoverdrachtscoëfficiënt α(t) door α(t) (T 1 T 0 ) = q(t) dan volgt α(t) = ρc v (κ/(πt) 1/2. Dit resultaat wordt vaak in de praktijk gebruikt. Een maat voor het interval op de x-as waarover de verandering van temperatuur op x = 0 merkbaar is, is de penetratiediepte of indringdiepte δ. Deze is gedefiniëerd als het snijpunt van de raaklijn aan het temperatuurprofiel op x = 0 met de lijn T = T 0 (zie figuur 6.2). Dit snijpunt heeft x -coördinaat δ = (T 1 T 0 )k/q(t) = (κπt) 1/ De Fourier transformatie Indien een functie niet meer periodiek is zullen we alle frequenties moeten toelaten in de representatie in Fourier componenten. We definiëren de

83 6.1. WARMTETRANSPORT IN EEN STILSTAAND MEDIUM 83 Fourier getransformeerde F(f) van f als F{f(x)} = ˆf(k) = met de inverse transformatie: met de eigenschappen: f(x) = 1 2π f(x) e ikx dx, ˆf(k)e ikx dk, F{f (n) (x)} = (ik) n ˆf(k) F{x n f(x)} = i n ˆf (n) (k) F{f(x) g(x)} = ˆf(k)ĝ(k) F{f(bx)e iax } = b 1 ˆf(b 1 (k a)) waarbij f g het convolutieproduct is gedefiniëerd door f(x) g(x) = f(u)g(x u)du. (6.6) Ook van de Fourier transformatie zullen we een toepassing geven. Warmtegeleiding in een onbegrensd medium Beschouw het volgende proces (x, t) op respectievelijk (, ) en [0, ), met de rand- en beginvoorwaarden T t = T κ 2 x 2, lim T (x, t) x ± = 0 T (x, 0) = T 0 (x), dat de warmtegeleiding door een onbegrensd medium t.g.v. de beginverdeling T 0 (x) beschrijft. We definiëren de Fourier getransformeerde Θ(t, k) door F{T (x, t)} = Θ(k, t) = T (x, t)e ikx dx Invullen en gebruik maken van een van de eigenschappen geeft Θ t = k 2 κθ, zodat Θ(k, t) = A(k) exp( k 2 κt) De coëfficiënten A(k) volgen uit de beginvoorwaarde A(k) = Θ(k, 0) = T 0 (x)e ikx dx

84 84 HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT Figuur 6.3: Diffusie van warmte vanuit een puntbron. De drie curves corresponderen met de tijdstippen t = 0.1, 0.5 en 1.0. De algemene oplossing volgt nu door de inverse transformatie toe te passen T (x, t) = 1 ˆT 0 (k)e ikx exp( k 2 κt) dk. 2π Indien T 0 (x) = Q ρc p δ(x), de Dirac deltafunctie, wat een puntbron in de oorsprong voorstelt, dan geldt ˆT 0 (k) = Q ρc p, zodat T (x, t) = Q ρc p (4πκt) 1/2 exp{ x 2 /(4κt)}. De oplossing voor een paar willekeurige tijdstippen is geschetst in figuur 6.3 Het meer algemene probleem met T 0 (x) willekeurig kan worden opgelost door superpositie; de oplossing is dan T (x, t) = (4πκt) 1/2 T 0 (ξ) exp{ (x ξ) 2 /(4κt)} dξ. (6.7) 6.2 Warmtetransport door convectie en geleiding Stromingen waar temperatuurveranderingen optreden zijn van groot praktisch belang. Gedacht moet worden aan warmtewisselaars gebaseerd op stromende vloeistoffen, kristallisatieprocessen, circulatie van lucht/warmte in gebouwen etc. Andere voorbeelden zijn de warmtetransportprocessen in de atmosfeer en oceaan. In deze sectie zullen we alleen vloeistoffen beschouwen met constante dynamische viscositeit µ en constante thermische diffusiecoëfficiënt κ. Tevens

85 6.2. WARMTETRANSPORT DOOR CONVECTIE EN GELEIDING 85 nemen we aan dat de dichtheidsveranderingen t.g.v. temperatuurverschillen klein zijn t.o.v. de gemiddelde dichtheid. Dichtheidsveranderingen hebben alleen invloed op de dynamica in combinatie met de zwaartekracht, de enige volumekracht. Bovendien bekijken we alleen situaties zonder warmtebronnen/putten. Onder deze benaderingen reduceren de balansen tot.u = 0 du ρ 0 dt = ρge 3 + µ 2 u p (6.8) dt ρ 0 c v dt = k 2 T + ɛ met de toestandsvergelijking ρ = ρ 0 (1 β(t θ 0 )), waarbij ρ 0 en θ 0 referentie waarden van de dichtheid en temperatuur voorstellen en β 1/θ 0. De warmte productie door dissipatie is ɛ. Zoals bekend zijn β[k 1 ], c v [Jkg 1 K 1 ] en k[w m 1 K 1 ] de volume expansie coëfficiënt, de warmtecapaciteit en de thermische geleidingscoëfficiënt; κ = k/(c v ρ 0 )[m 2 s 1 ] is de thermische diffusiecoëfficiënt. Met U en L als een snelheid en een lengte die de stroming globaal karakteriseren, definiëren we de dimensieloze variabelen t = tu/l ũu = u/u x = x/l T = T θ 0 T p p = ρ 0 U 2 ɛ = ɛ L2 µu 2 waarbij T een karakteristiek temperatuurverschil is. De vergelijkingen worden dan in dimensieloze variabelen (de tilde is weggelaten).u = 0 Re du dt = e 3 ( Re Fr 1 + Ra T ) + 2 u Re p P r Re dt dt = 2 T + Br ɛ We zullen situaties bekijken waarbij Br 1, zodat visceuze dissipatie te verwaarlozen is. Het Prandtlgetal is een vloeistofeigenschap, onafhankelijk

86 86 HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT Tabel 6.1: Enige dimensieloze getallen met hun definities. Ra Re βgρ 0 L 2 T µu Rayleighgetal a ρ 0 LU µ Reynoldsgetal P r µ ρ 0 κ Prandtlgetal b F r U 2 gl Froudegetal c Br µu 2 k T Brinkmangetal Pé P r Re = LU κ Pécletgetal d Gr Ra P r 1 = gl2 α T ρ 2 0 κ µ 2 U Grashofgetal e a John William Strutt (Lord Rayleigh), b Ludwig Prandtl ( ) c William Froude ( ) d Jean Claude Eugene Péclet ( ) e Franz Grashof ( )

87 6.2. WARMTETRANSPORT DOOR CONVECTIE EN GELEIDING 87 T 0 T 1 R p 1 r z p 2 Figuur 6.4: Geometrie van een geforceerde pijpsstroming. L van het type stroming. Het zegt iets over de relatieve sterkte van transport van impuls en warmte t.g.v. moleculaire diffusie. Voor gassen is Pr < 1, voor water geldt Pr = 7 en, bijvoorbeeld voor kwik, geldt Pr = Het Péclet getal geeft de verhouding van convectief transport en transport door diffusie; voor P e 1 is convectie het dominante transportmechanisme, voor P e 1 diffusie. Stromingen met convectief warmte transport kunnen grofweg worden verdeeld in drie categorieën; gedwongen convectie, vrije convectie en gemengde convectie Gedwongen convectie: Ra/Re 1, F r 1 Bij gedwongen convectie zijn de traagheidseffecten veel groter dan Archimedeskrachten ( buoyancy ). De temperatuurverdeling heeft dan geen invloed op het stromingsveld en in dit geval zijn thermodynamica en dynamica ontkoppeld. De snelheidsverdeling u wordt niet door dichtheidsverschillen beïnvloed. Is u bekend, dan kan het temperatuurveld afzonderlijk worden uitgerekend. In het volgende voorbeeld wordt dit geïllustreerd Warmtetransport bij gedwongen laminairepijpstroming Een constante drukgradient (β p ) genereert een stationaire stroming in een cilinder met straal R en lengte 2L, (L R), zie figuur 6.4 Voor z < 0 is de temperatuur aan de wand (r = R) gelijk aan T 0, voor z > 0 neemt deze lineair toe met z en is T 1 op z = L. De resulterende stroming wordt parallel verondersteld (eindeffecten verwaarloosd) en het temperatuurprofiel heeft geen invloed op het stromingsprofiel. Het snelheidsveld u = (0, 0, w(r)) volgt uit (6.8b): µ( 2 w r w r r ) = β p. Met randvoorwaarden w(0) < en w(r) = 0 is de oplossing w(r) = β p 4µ (r2 R 2 )

88 88 HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT Figuur 6.5: Rayleigh-Bénard convectie voor een vloeistof tussen twee vlakke platen waarbij de onderste verhit wordt. Omdat L R, is de axiale geleiding (de term 2 T/ z 2 ) veel kleiner dan de radiale en daarmee wordt het probleem voor de temperatuur onder verwaarlozing van de dissipatie (6.8c) w T z = T κ( 2 r T ). (6.9) r r In het linkerlid staat het warmtetransport door convectie, en in het rechterlid door geleiding. In een stationaire toestand zijn deze in balans. De randvoorwaarden zijn voor r = 0, z 0 : T <, en voor r = R, z > 0 : T w = T 0 + (T 1 T 0 ) z L, waardoor T (r, z) de volgende vorm kan hebben: T (r, z) = T w + Θ(r), (6.10) voor een zekere functie Θ(r) met Θ(R) = 0 en Θ(0) <. Invullen in de bewegingsvergelijking (6.9) geeft waarin γ = βp(t 1 T 0 ) 4µκL. De oplossing is 2 Θ r Θ r r = γ(r2 R 2 ), Θ(r) = γr4 16 [ ( r R ) ( r R )2].

89 6.2. WARMTETRANSPORT DOOR CONVECTIE EN GELEIDING 89 Van de door een bepaalde doorsnede van de buis stromende vloeistof kan een gemiddelde temperatuur T F worden gedefiniëerd volgens T F = R 0 T wrdr R 0 wrdr = 2πρ 0 G m R 0 T wrdr (6.11) waarbij G m de totale massa is, die per tijdseenheid door de buis stroomt. De reden waarom de snelheid in deze definitie is betrokken, is dat het centrum van de stroming het meest bijdraagt (snelheid het grootst) tot de warmtestroom door een dwarsdoorsnede. Ook in dit geval kan een partiële warmte-overdrachtscoëfficiënt α worden gedefiniëerd als α (T w T F ) = κ( T r ) r=r waarbij T w = T 0 + z(t 1 T 0 )/L de wandtemperatuur is. Gebaseerd op α wordt een dimensieloos kental gedefiniëerd dat de extra overdracht door convectief transport (t.o.v. geleiding) aangeeft. Dit is het Nusselt getal, N u gegeven door Nu = α D/κ, waar D = 2R de diameter van de buis is. Voor bovenstaande oplossing vinden we dat N u onafhankelijk is van z (vanwege het verwaarlozen van eindeffecten) en gelijk aan Nu = = Vrije convectie: Ra/Re = O(1) Bij vrije convectie (ook wel natuurlijke convectie genoemd) zijn alleen dichtheidsverschillen verantwoordelijk voor de stroming van de vloeistof. Ook hiervoor zullen we volstaan met een voorbeeld. Rayleigh -Bénard convectie In dit bekende voorbeeld gaat het om een vloeistof tussen twee vlakke horizontale platen, waarvan de onderste warmer is dan de bovenste. Bekijk een vloeistof element bij de onderste plaat dat een iets hogere temperatuur heeft dan de omgeving. Ten gevolge van de opwaartse kracht zal het element gaan stijgen. Als deze beweging niet te zeer wordt gedempt door visceuze effecten, en als het temperatuurverschil niet te snel wordt vereffend door diffusie, dan zal er een opwaartse stroming optreden die bij de bovenste plaat in zijwaartse richting wordt afgebogen. Door continuiteit zal er ook een neerwaartse beweging onstaan, en dus een volledige circulatie die de oorspronkelijke verstoring versterkt. Of zo n circulatie ontstaat hangt af van de verhouding van de sterkte van de opwaartse kracht en de dempende effecten van diffusie van impuls en warmte, het Rayleighgetal. De formulering gaat als volgt. Beschouw een horizontaal onbegrensde laag vloeistof met dikte H tussen twee horizontale platen, waarvan de onderste op temperatuur T 1 en de bovenste op temperatuur T 0 wordt gehouden, met T 1 > T 0 (figuur 6.5). Veronderstel dat de vloeistof initieel bewegingsloos is. Door geleiding zal er

90 90 HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT een lineair temperatuurprofiel ontstaan T = T 1 ( T ) z H (6.12) met bijbehorend dichtheid met β = 1/T 0, zie (4.19), en drukveld: ρ = ρ 0 [1 β( T T 1 )], (6.13) p(z) = p 0 ρ 0 gz 1 β 2 H T ρ 0gz 2. (6.14) T staat voor T 1 T 0. De vraag is of dit temperatuurprofiel stabiel is, d.w.z. of het de stroming wel of niet in beweging brengt. Een noodzakelijke conditie voor instabiliteit is dat storingen waarvan de amplitude initieel willekeurig klein is, aangroeien. Uit een lineaire storingsanalyse (zie kader) resulteren de volgende vergelijkingen ũ x + w z 1 ũ P r t 1 w P r t = 0 = p x + ( 2 ũ x ũ z 2 ) = p z + w ( 2 x w ) + Ra T (6.15) z2 T t w = ( 2 T x T z 2 ). Na eliminatie van de druk laat het stelsel vergelijkingen (6.15) oplossingen toe van de vorm ũ(x, z, t) = nπψ 0 cos nπz e ik(x ct) w(x, z, t) = ikψ 0 sin nπz e ik(x ct) (6.16) T (x, z, t) = Θ 0 sin nπz e ik(x ct), waarin Ψ 0 en Θ 0 nog willekeurige constanten zijn. Het getal c is de complexe groeifactor, c = c R + ic I, waarbij c R de fase snelheid is van de verstoring en c I de aangroeifactor. Indien c I > 0 voor zekere k, dan groeit een verstoring met golfgetal k en de basisoplossing is instabiel; indien c I < 0 voor alle golfgetallen k dan is de basistoestand lineair stabiel. Het is dus interessant om te kijken naar die waarden van Ra en k waarvoor c I = 0. Men kan bewijzen dat c volledig imaginair is, d.w.z. indien c I = 0 dan is c = 0. Vullen we de oplossing (6.16) in (6.15) dan volgt

91 6.2. WARMTETRANSPORT DOOR CONVECTIE EN GELEIDING 91 De afleiding gaat als volgt. We bekijken (in 2-D (x,z)) de verstoringen, die we met een tilde aangeven: p = p(z) + p (6.17a) ρ = ρ(z) + ρ (6.17b) T = T (z) + T (6.17c) u = 0 + ũ (6.17d) w = 0 + w (6.17e) We gaan uit van de Navier Stokes vergelijkingen in de vorm (6.8), waarin we voor de volumekracht de zwaartekracht substitueren en de dissipatie verwaarlozen u x + w z du ρ 0 dt dw ρ 0 dt dt dt = 0 = p x + µ( 2 u x u z 2 ) = p z + µ( 2 w x + 2 w 2 z ) ρg 2 = κ( 2 T x T z 2 ), waarin d dt = t + u x + w z. We substitueren nu (6.17), verwijderen de termen die alleen de gemiddelde stroming beschrijven en verder alle termen die kwadratisch zijn in de verstoring. We houden dan een vergelijking over die lineair is in de verstoring: ũ x + w z ũ ρ 0 t w ρ 0 t T t + w T z = 0 = p x + µ( 2 ũ x ũ z 2 ) = p z + µ( 2 w x + 2 w 2 z ) ρg 2 = κ( 2 T x T z 2 ) Met behulp van (6.13) en (6.12) vinden we voor ρ en T z zodat T t ũ x + w z ũ t w t T z ρ = ρ ρ = ρ 0β T = 0 = T H = 1 ρ 0 p x + ν( 2 ũ x ũ z 2 ) = 1 p ρ 0 z + ν( 2 w x 2 w T H = κ( 2 T x T z 2 ) + 2 w ) + βg T z2 Als we aannemen dat op de horizontale platen de schuifspanning nul is, dan zijn de randvoorwaarden voor z = 0 en z = H: ũ, w en T = 0. We z maken de (lineaire) vergelijkingen dimensieloos door een snelheidsschaal κ/h, een tijdschaal H 2 /κ, een lengteschaal H en een drukschaal µκ/h 2 in te voeren. De resulterende vergelijkingen zijn dan (6.15).

92 92 HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT Figuur 6.6: Stabiliteits diagram voor Rayleigh-Bénard convectie. (k 2 + (nπ) 2 ) 2 Ψ 0 ikra Θ 0 = 0 ikψ 0 + (k 2 + (nπ) 2 )Θ 0 = 0, twee homogene vergelijkingen voor de constanten Ψ 0 en Θ 0 met alleen een niet-triviale oplossing indien de coëfficiënten determinant nul is. Dit geeft Ra = k 2 (k 2 + (nπ) 2 ) 3. De laagste waarden van Ra waarvoor c I = 0 wordt gevonden bij n = 1. Deze curve is geschetst in figuur 6.6. Bij het minimum van de curve hoort het kritieke Rayleighgetal Ra c en het kritieke golfgetal k c, gegeven door Ra c = 27π 4 /4 en k c = (π 2 /2) 1/2. Als Ra groter is dan Ra c dan groeien verstoringen aan, in eerste instantie exponentieel (volgens de voorgaande theorie), maar later worden niet-lineaire termen belangrijk en voor niet te grote waarden van Ra organiseert de stroming zich in celpatronen, de zogenaamde rolcellen. Een voorbeeld van een celpatroon is geschetst in figuur 6.7. Afhankelijk van de waarden van Ra en P r en de geometrie kunnen verschillende stationaire stromingspatronen maar ook tijdsafhankelijke stromingen ontstaan. Voor Pr >> 1 is er een groot gebied met toenemende Ra waarin de stroming zich ontwikkelt van twee dimensionale rolcellen via drie dimensionale rolcellen en tijdsafhankelijke patronen naar uiteindelijk turbulent gedrag.

93 6.2. WARMTETRANSPORT DOOR CONVECTIE EN GELEIDING 93 Figuur 6.7: Illustratie van Rayleigh-Bénard convectie (bron: psc.edu/science/gunton/gunton.html).

94 94 HOOFDSTUK 6. WARMTETRANSPORT

95 Hoofdstuk 7 STABILITEIT VAN STROMINGEN Een beroemd geworden experiment van Reynolds (1983) betreft de stroming van een visceuze vloeistof door een pijp bij verschillende (constante) drukgradiënten. Bij lage snelheden is de stroming stationair en laminair, de z.g. Poiseuille stroming, waar bij alle stroomlijnen evenwijdig zijn aan de as van de pijp. Kleurstof die met een holle naald in de vloeistof wordt ingebracht maakt dit goed zichtbaar (figuur 7.1. Bij het opvoeren van de druk komt er plotseling een moment dat de stroming destabiliseert. Bij een zeker Reynoldsgetal, gevormd door de snelheid U, de diameter d van pijp en de viscositeit van de vloeistof, wordt de beweging chaotisch. Bij welk Reynoldsgetal dit precies gebeurt bleek nog niet zo eenvoudig vast te stellen (hoe minder initiële turbulentie de vloeistof bevatte hoe hoger het kritische Reynoldsgetal was), suggererend dat pijpstroming stabiel is onder infinitesimale verstoringen. Een ander voorbeeld is Rayleigh-Bénard convectie (zie sectie 6.2.2), waar bij het opvoeren van het temperatuurverschil de stroming (in stapjes) steeds chaotischer wordt. We zullen aan de hand van vlakke Poiseuillestroming laten zie hoe we met de Navier-Stokes vergelijkingen een stabiliteitsanalyse kunnen uitvoeren. 7.1 Instabiliteit van vlakke Poiseuille stroming We gaan uit van de vergelijkingen voor een visceuze, divergentievrije stroming tussen twee vlakke platen. We maken deze op de bekende manier dimensieloos en schrijven du dt = p + Re 1 u. We veronderstellen homogeniteit in de zijwaarste richting en kiezen de z-as loodrecht op de platen en de x-as in de stromingsrichting. De schuifstroming 95

96 96 HOOFDSTUK 7. STABILITEIT VAN STROMINGEN Figuur 7.1: Herhaling van het beroemde experiment (1883) van Reynolds met de originele apparatuur. Van boven naar beneden neemt het Reynolds getal toe. (bron: Dyke (1982) U = (U(z),0,0), is een exacte oplossing van deze vergelijkingen. We brengen nu in het druk- en snelheidsveld een kleine verstoring aan (in het x z vlak) : p = P +p en u = (U(z)+u, 0, w), waarin p, u en w functie van x, z en t zijn. we voeren een lineaire analyse uit dus termen waarin producten van u en w voorkomen worden verwaarloosd. Substitutie in de bewegingsvergelijkingen geeft u t + U u x + wu = p x + Re 1{ 2 u x u } z 2 w t + U w x = p z + Re 1{ 2 w x w } z 2 u x + w = 0, z waar we kortheidshalve de notatie U/ z U hebben gebruikt. We voeren de stroomfunctie ψ in, u = ψ/ z en w = ψ/ x en elimineren de druk. De vergelijking voor de stroomfunctie wordt: ψ t + U ψ x ψ U x = Re 1 2 ψ, waarin = met de randvoorwaarden dat ψ en ψ x 2 z 2 z nul zijn. De coëfficienten in deze vergelijking zijn alleen functies van z. Daarom substi-

97 7.1. INSTABILITEIT VAN VLAKKE POISEUILLE STROMING 97 Figuur 7.2: (bron: Acheson) tueren we oplossingen van de vorm met de Orr-Sommerfeld vergelijking als resultaat: ψ(x, z, t) = ˆψ(z)e i(kx ωt), (7.1) ire 1 ( ˆψ 2k 2 ˆψ + k 4 ˆψ) + (Uk ω)( ˆψ k 2 ˆψ) U k ˆψ = 0. (7.2) Het hiermee corresponderende eigenwaardeprobleem leidt tot een relatie tussen ω, k en Re, zeg F(ω, k, Re) = 0. Als I(ω) > 0 dan groeit (7.1) exponentieel en zal de verstoring tot instabiliteit leiden en in het geval I(ω) < 0 zal de verstoring uitdempen. De voorwaarde I(ω) = 0 geeft dus de overgang van stabiel naar onstabiel. De functie F(ω = 0, k, Re) = 0 is geschetst in figuur 7.2. In het gearceerde gebied is I(ω) > 0. Beneden het kritische Reynoldsgetal, Re cr is de stroming stabiel voor alle golfgetallen. Daarboven wordt de stroming onstabiel voor een golfgetallen in het bereik dat gegeven wordt door de snijpunten van een verticale lijn met de curve. De kritische waarde Re cr = In een niet visceuze stroming reduceert (7.2) tot ˆψ k 2 ˆψ U k ˆψ Uk ω = 0, (7.3) 1 Bedenk dat dit een lineaire stabiliteits analyse is, die ervan uitgaat dat de verstoringen klein zijn. Er komt dus een moment dat door de (ongelimiteerde) groei de verstoring zo groot wordt dat niet meer aan de uitgangspunten van de analyse wordt voldaan

98 98 HOOFDSTUK 7. STABILITEIT VAN STROMINGEN met de randvoorwaarden ˆψ(0), ˆψ(1) = 0. Vermenigvuldig (7.3) met ˆψ, de complex toegevoegde van ˆψ, en integreer over z: 1 0 { ˆψ ˆψ k 2 U ˆψ ˆψ U c ˆψ } ˆψ dz = 0, waarin we tevens de fasesnelheid c ω/k hebben ingevoerd. De eerste term in de integraal integreren we partieel en we schrijven ˆψ ˆψ { ˆψ 2 + k 2 ˆψ 2} 1 dz + 0 U U c ˆψ 2 dz = 0. De eerste term is nul door de randvoorwaarden en de eerste integraal is reëel. Het imaginaire gedeelte van de tweede integraal moet dus nul zijn: I(c) 1 0 U U c 2 ˆψ 2 dz = 0. Een noodzakelijke voorwaarde voor instabiliteit, I(c) > 0, is dus dat deze integraal nul moet zijn. Dat kan alleen als U van teken wisselt, ofwel de functie U(z) heeft op het interval [0,1] minstens één buigpunt, het Theorema van Rayleigh. Een niet visceuze, vlakke Poiseuille stroming (parabolisch snelheidsprofiel) is dus altijd stabiel en blijkbaar werkt de viscositeit destabiliserend op de stroming: kleine verstoringen groeien door visceuze effecten aan de plaat oppervlakken en diffunderen naar het inwendige van de vloeistof. Aan de andere kant speelt de viscositeit ook een dempende rol, want bij toenemende viscositeit neemt ook de kritische snelheid toe waarbij de stroming instabiel wordt: U cr = ν/dre cr. 7.2 Kelvin-Helmholtz instabiliteit Deze vorm van instabiliteit ontstaat op een grensvlak tussen twee ideale vloeistoffen die in dichtheid verschillen. Neem twee vloeistoffen (dichtheid ρ 1 en ρ 2 ) met respectievelijk uniforme basisstroming U 1 op het interval (0, ) en U 2 op het interval (0, ). (zie figuur 7.3). Op het grensvlak (z = 0) veronderstellen we een verstoring in het snelheidsveld, zodat de totale snelheidspotentiaal ϕ i = U i x + ϕ i (i = 1, 2), (7.4) wordt voor z > 0 en z < 0. Het scheidingsvlak is een wervelvlak, ( vortex sheet ), en dus een materieel oppervlak in de stroming. Door de verstoring verandert zijn positie, die we met de functie η(x, t) zullen weergeven. (Omdat het stromingsveld parallel is met het xz-vlak verwachten we in eerste instantie dat de verstoring ook in dat vlak het belangrijkst zal zijn, en laten de eventuele y-afhankelijkheid weg).

99 7.2. KELVIN-HELMHOLTZ INSTABILITEIT 99 Figuur 7.3: schets van een Kelvin Helmholtz instabiliteit. We veronderstellen nu dat op het grensvlak (z = η) zowel de druk als de verticale snelheid continu moeten zijn: p 1 = p 2 en w 1 = w 2. De eerste voorwaarde schrijven we, gebruikmakend van de vergelijking van Bernoulli (3.8) als ρ 1 ( ϕ 1 t ( ϕ 1) 2 + gη) = ρ 2 ( ϕ 2 t ( ϕ 2) 2 + gη), en de tweede, omdat de verticale snelheid op z = η, ϕ/ z, gelijk is aan de beweging van het scheidings vlak, dη/dt: ϕ 1 z ϕ 2 z = η t + ϕ 1 η x x = η t + ϕ 2 η x x. We substitueren (7.4) en kijken slechts naar de eerste orde verstoring met als resultaat ρ 1 ( ϕ 1 t + U ϕ 1 1 x + gη) = ρ 2( ϕ 2 ϕ 1 z ϕ 2 z t + U 2 = η t + U η 1 x = η t + U η 2 x. ϕ 2 x + gη) (7.5)

100 100 HOOFDSTUK 7. STABILITEIT VAN STROMINGEN We veronderstellen een periodieke verstoring van de vorm: ϕ 1 = A 1 e kz e i(kx ωt) ϕ 2 = A 2 e kz e i(kx ωt) η = a e i(kx ωt). De snelheidspotentialen van het verstorende snelheidsveld zijn rotatievrij en zo gekozen dat het totale stromingsveld convergeert naar de basisstroming voor z ±. Substitutie in (7.5) levert op z = 0 een stelsel van drie homogene vergelijkingen in A 1, A 2 en a. De voorwaarde dat de determinant van coëfficienten nul moet zijn geeft de dispersie relatie: (ρ 1 ρ 2 ) g k + ρ 1(c U 1 ) 2 + ρ 2 (c U 2 ) 2 = 0, waarin we weer de fasesnelheid c ω/k hebben ingevoerd. We lossen hier c uit op: c = ρ 1U 1 + ρ 2 U 2 g ρ 1 ρ 2 ± ρ 1ρ 2 ρ 1 + ρ 2 k ρ 1 + ρ 2 (ρ 1 + ρ 2 ) 2 (U 2 U 1 ) 2. Als de term onder het wortelteken negatief wordt, (U 2 U 1 ) 2 > g k ρ 2 2 ρ2 1 ρ 1 ρ 2, is c imaginair en groeit de storing exponentieel. Voor kleine dichtheidsverschillen en met λ = 2π/k (λ is de golflengte van de verstoring) volgt, met de notatie g g ρ 2 ρ 1 ρ 1, als voorwaarde voor onstabiliteit: 2 (U 2 U 1 ) g > 1 λ π, waarmee een kritisch Froude getal gedefinieerd is gebaseerd op de golflengte van de verstoring De overgang naar turbulentie Het mechanisme van het ontstaan van turbulentie en de daarmee samenhangende wiskundige beschrijving zijn nog niet ontrafeld. Uitgaande van de Navier-Stokes vergelijkingen zijn er twee hoofdvisies: De oplossingen van de N-S vergelijkingen worden voor Re >> 1 singulier in eindige tijd. 2 De invloed van de oppervlaktespanning, die een stabiliserende werking heeft vooral voor kleine golflengtes, is hier buiten beschouwing gelaten

101 7.3. DE OVERGANG NAAR TURBULENTIE 101 Figuur 7.4: Bifurcatie diagram. De verticale as geeft een eigenschap(oplossing) van de stroming als functie van een stabiliteitsparameter (λ). Voor grote Re ontstaan strange attractors met een complexe geometrische structuur in de faseruimte. De 1-D Navier-Stokes vergelijking (De Burgers vergelijking ) vertoont (bij niet-stochastische randvoorwaarden) geen turbulent gedrag. In 2-D is aangetoond dat gladde oplossingen voor t = 0 glad blijven voor t. In 3-D is dit nog niet aangetoond. In de tweede visie wordt verondersteld dat een stroming een aantal overgangen doormaakt voordat deze volledig turbulent wordt. We kunnen dat als volgt schetsen. In een bifurcatiediagram (zie figuur 7.4) wordt een maat voor de verstoring uitgezet tegen een stabiliteitsparameter. Tot een zekere waarde is de basisstroming stabiel. Bij het eerste bifurcatiepunt zijn er twee stabiele oplossingen die bij grotere waarden van de stabiliteitsparameter zelf weer instabiel worden totdat uiteindelijk volledig ontwikkelde turbulentie ontstaat. Van dit proces is nog geen sluitende wiskundige theorie bekend.