MECHANICAII FLUIDO 55

Transcriptie

1 MECHANICAII FLUIDO 55 Figuur (3.4): De atmosferische druk hoeft niet in rekening te worden gebracht aangezien ze in alle richtingen werkt. Opmerking 3: In sommige gevallen dient met een controlevolume te beschouwen dat beweegt met een zekere snelheid, bijvoorbeeld wanneer krachten moeten worden onderzocht op bewegende objecten. In die situaties dient men de snelheid v in vergelijkingen 3.9 en 3.10 te vervangen door de relatieve snelheid v r ten opzichte van het controlevolume (zie figuur 3.5). Controlevolume Controlevolume v straal v c v r = v straal - v c (a) absoluut referentiekader (a) relatief referentiekader Figuur (3.5): (a) Stilstaand controlevolume. (b) Bewegend controlevolume: om de kracht op de wagen te berekenen dient de snelheid van de wagen (controlevolume) in mindering te worden gebracht. Voorbeeldoefening: Krachten in een taps bochtstuk Water stroomt met een massadebiet van 14 kg/s in een hellend (30 ) en taps bochtstuk om vervolgens in de atmosfeer terecht te komen. De dwarsdoorsnede van het bochtstuk is 113 cm² aan de inlaat en 7 cm² aan de uitlaat. Het hoogteverschil tussen de zwaartepunten van de in- en uitlaten bedraagt 30 cm. Het gewicht van het bochtstuk en het water erin wordt verwaarloosbaar verondersteld. Bepaal (a) de druk in het midden van de inlaat en (b) de nodige kracht om het bochtstuk op zijn plaats te houden. F Rz z x p atm 2 mv 2 1 F Rx p 1 mv cm Oplossing: Een gebogen buisstuk stuwt water naar omhoog. De druk aan de inlaat en de kracht om het bochtstuk te verankeren worden gevraagd. Veronderstellingen: (1) De stroming is stationair. (2) De wrijvingskrachten zijn verwaarloosbaar. (3) Het gewicht van het bochtstuk en het water zijn verwaarloosbaar. (4) Het water komt in de atmosfeer terecht, de overdruk is daar nul (p 2 = 0).

2 MECHANICAII FLUIDO 56 Eigenschappen: De dichtheid van water bedraagt 1000 kg/m³. Uitwerking: (a) Het bochtstuk is het controlevolume (zie bovenstaande figuur). De in- en uitlaat worden aangeduid met 1 en 2. De x- en z-coördinaten zijn eveneens aangeduid. De continuïteitsvergelijking voor dit stationaire systeem met één inlaat en één uitlaat resulteert in: m 1 m 2 m 14 kg/ s Aangezien m A v kunnen we de snelheden aan de in- en uitlaat schrijven als m 14 kg / s v1 1, 24 m/ s A1 (1000 kg/ m³)(0, 0113 m²) m 14 kg / s v 20, 0 m/ s A (1000 kg/ m³)(7 10 m²) De vergelijking van Bernoulli laat ons toe om de druk aan de inlaat te schatten (opmerking: verder in de cursus zien we hoe we de wrijvingsverliezen langsheen de wanden in rekening kunnen brengen). Het zwaartepunt van de inlaat wordt als referentieniveau gekozen (z 1 = 0). Wetende dat p 2 = p atm levert de vergelijking van Bernoulli langs een stroomlijn door het midden van het bochtstuk de waarden voor p 1 (overdruk): 2 2 p1 v1 p2 v2 z z g 2 g g 2 g v2 v1 p1 p2 g ( z2 z1) 2 g (20 m/ s)² (1, 24 m/ s)² 1kN p 1 patm (1000 kg/ m³)(9, 81 m/ s²) 0, , 81 m/ s² 1000 kg m/ s² p 202,2 kn / m² 202,2 kpa 1 (b) De impulsvergelijking voor een stationaire eendimensionale stroming is F m v m v uit in We noemen de x- en de z-component van de verankeringskracht van het bochtstuk F Rx en F Rz respectievelijk en veronderstellen voorlopig dat ze in de positieve richting werken. De vergelijkingen in de x- en z-richting worden

3 MECHANICAII FLUIDO 57 FRx p A m v cos m v F m v sin Rz Wanneer we dit oplossen naar F Rx en F Rz en de gegeven waarden invullen, krijgen we: F m ( v cos v ) pa Rx N (14 kg / s) [(20 cos 30 1,24) m / s] ( N / m²)(0, 0113 m²) 1 kg m / s² N 1N F Rz m v2 sin (14 kg/ s) (20 sin 30 m/ s) 140 N 1 kg m / s² Het negatieve resultaat voor F Rx geeft aan dat de veronderstelde zin verkeerd is, en dat deze kracht in de negatieve x-richting werkt. Bespreking: De werkelijke druk in punt 1 zal hoger liggen dan de berekende omwille van wrijvingsverliezen en andere onomkeerbare verliezen in het bochtstuk.

4 MECHANICAII FLUIDO 58 Voorbeeldoefening: Waterstraal op een stilstaande plaat Water met een massadebiet van 10 kg/s ondervindt een versnelling in een spuitkop en raakt vervolgens een stilstaande plaat met een snelheid van 20 m/s. Daardoor spat het water in alle richtingen in het vlak van de plaat. Bepaal de kracht die op de plaat moet uitgeoefend worden om er voor te zorgen dat de plaat niet horizontaal kan bewegen. p atm mv 1 1 in F R z x v 2 uit Oplossing: Een waterstraal raakt loodrecht een stilstaande plaat. De kracht nodig om de plaat vast te houden wordt gevraagd. Veronderstellingen: (1) De stroming is stationair en eendimensionaal. (2) Het water verdeelt zich homogeen in alle richtingen, maar enkel in het vlak van de plaat. (3) De waterstraal is blootgesteld aan de atmosfeerdruk. De druk van de waterstraal en het wegspattende water is daardoor gelijk aan de atmosfeerdruk. (4) De verticale krachten en momenten worden niet in acht genomen omdat ze geen effect hebben op de horizontale reactiekracht. Uitwerking: Het controlevolume wordt zodanig geschetst dat het de volledige plaat omvat en de waterstraal en het bevestigingsmechanisme van de plaat doorsnijdt. De impulsvergelijking van de stationaire eendimensionale stroming wordt gegeven door: F m v m v uit in In de x-richting wordt deze uitdrukking omgevormd tot (rekening houdende met v 1,x = v 1 en v 2,x = 0) FR m v1 Substitutie met de opgegeven waarden levert: 1N F R m v1 (10 kg/ s) (20 m/ s) 200 N 1 kg m / s² Er wordt dus een kracht van 200 N uitgeoefend op de plaat, d.i. tevens de kracht die het bevestigingsmechanisme moeten kunnen weerstaan opdat de plaat niet zal bewegen.

5 ~ ~ ~ -=EfJ)~ \J -;::~CC> ~~ \-\ ==- \.2-~ ~ ~ -- ~~..e ' Ar

6 ~~~ ~~~ ~ ~C0 \j u.tk = ~!t.. "0 ~ ( \\' :1 - b.3- ~ 9. '.0 ~ \ ~ 'IC: \ \ f S x Q.'& ~ ~ }(. l-~,,\0 ~ \C) ~ IT\\ ::= ~~.to.j -\\ - - ~ == 0> \ S ~ \(!) I.<) ~. 'b \ ~\J ::= ~~'" J - ~I'. t.. ~, 'I t \ ~ -T - -\" -I- y~ ;::.",~ ""'!>~,.s _ "'~Qt) '"

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19 'UXNLQGRRUVQHGH%

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51