Schatten van reserve-risico voor niet-levensverzekeringen bij Solvency II

Transcriptie

1 Schatten van reserve-risico voor niet-levensverzekeringen bij Solvency II J.P. Kunst ABSTRACT Met de invoering van Solvency II is de nadruk voor het bepalen van reserves van een ultieme horizon naar een eenjarige horizon verschoven. Dit artikel beschrijft enkele schattingsmethoden voor het volschatten van een schadedriehoek. Vervolgens worden enkele simuleringsmethoden besproken. Op basis van de nieuwe regelgeving van de Europese Commissie voor het bepalen van de kapitaalvereisten wordt een predictieverdeling van het eenjarige Claim Development Result gesimuleerd. Deze gesimuleerde verdeling komt goed overeen met analytisch bepaalde waarden van het Claim Development Result en is een goede basis voor een benadering van de complexe berekening van kapitaalvereisten. Universiteit van Amsterdam Juni 2012 Bachelorscriptie Jasper Kunst Studentnummer: Opleiding: Actuariële Wetenschappen Begeleider: dr. K. Antonio In samenwerking met Lianne Westinga

2 Inhoud 1. Inleiding Technieken voor schadereservering: ultieme tijdshorizon Introductie Chain ladder Chain laddermethode Mack Gegeneraliseerde Lineaire Modellen De exponentiële familie Schatters vinden met GLM Een schadedriehoek met GLM Uitbreiding van het multiplicatieve model Bootstrapping Van ultieme naar éénjarige tijdshorizon Solvency Capital Requirement Het Claim Development Result Bepalen van het Clain Development Result Schattingsfouten van het claim development result Simulatie van het claim development result Simuleren met ontwikkelingsfactoren SCR voor het reserve risico De Cost of Capital marge Risicomarge volgens QIS Numeriek voorbeeld Ontwikkelingsfactoren met de chain laddermethode Coëfficiënten met de GLM methode Volschatting met chain ladder en GLM Het werkelijke claim development result Berekening werkelijk CDR Prediction error van het CDR Simulering van de reserve met de bootstrapmethode Predictieverdeling van de reserve... Error! Bookmark not defined. 4.7 Simulatie van het eenjarige CDR Conclusie

3 Bibliografie Bijlage I... Error! Bookmark not defined. 3

4 1. Inleiding Om een langdurig stabiel financieel systeem te krijgen legde in 2002 de Europese Unie regels vast voor de solvabiliteitsmarge die banken en verzekeraars aan moeten houden. Deze regels stonden in de richtlijnen Solvency I. Na de bankencrisis in 2008 en de daaropvolgende onzekerheid in de financiële sector heeft de Europese Commissie de regels herzien en 1 januari 2012 zullen daarom de Solvency II richtlijnen ingevoerd worden. In Solvency II zal meer nadruk liggen op de solvabiliteit van verzekeraars. Het inschatten, kwantificeren en managen van risico s wordt daarmee veel belangrijker (European Commission, 2009). Voor een goede bepaling van de solvabiliteit is het voor de verzekeraar essentieel zijn verplichtingen op de juiste manier te waarderen. In dit artikel zal onderzocht worden hoe volgens de nieuwe richtlijnen het risico bepaald moet worden dat de voorzieningen van een schadeverzekeraar ontoereikend zijn. Dit zal gebeuren aan de hand van het schatten van toekomstige betalingen van schadeverzekeringen. Verplichtingen van de verzekeraar dienen boekhoudkundig verwerkt te worden onder het jaar waarin de schade zich heeft voorgedaan. De premies in dit jaar moeten dus toereikend zijn voor al deze verplichtingen tot uitkeren. Omdat nog niet alle uitkeringen bekend zijn moet de verzekeraar voldoende geld reserveren. Voor deze reservering worden de toekomstige schades geschat. Onder Solvency I was het voldoende dat verzekeraars een vrij eenvoudige schatting maakten van het uit te keren bedrag: het ultimate viewpoint. Solvency II vereist dat verzekeraars naast de totale betalingen ook naar een projectie van de cash flows kijken met een eenjaarshorizon kijken: het one-year viewpoint. Naast de meerjarige risico s is nu dus ook het eenjarige risico van belang. Het doel van dit artikel is om op basis van een literatuurstudie technieken voor te stellen die aangewend kunnen worden om een predictieverdeling van de uitstaande schadelast te bepalen. Het bepalen van de verwachte betaling gebeurt door middel van het volschatten van een schadedriehoek. Dit is het zogenaamde ultimate viewpoint, waarbij gekeken wordt naar de volledige afwikkeling van de openstaande schades. Gebruikt worden de chain-ladder en vervolgens de Mack, bootstrap en verschillende Generalized Linear Model (GLM) technieken (England & Verrall, 2002). Daarna worden de nieuwe richtlijnen volgens Solvency II belicht om dan van een ultieme horizon naar een eenjaarshorizon te gaan. 1

5 Een verzekeraar loopt het risico dat haar reserveringen onvoldoende zijn om aan het eind van jaar aan haar verplichtingen te voldoen: het reserverisico. De Europese Commissie legt regels op om dit risico te ondervangen. Deze Solvency Capital Requirements (SCR) worden in Solvency II beschreven. Met de predictieverdeling van de reserveringen kan een risicomaat voor het reserverisico bepaald worden. Met de regels voor kapitaalvereiste kan uit deze risicomaat het SCR bepaald worden. Hoofdstuk 2 bespreekt aan de hand van een literatuurstudie de theorie rond het bepalen van de reserve. In hoofdstuk 3 wordt vervolgens overgegaan van de ultieme naar de eenjaarshorizon. In paragraaf 3.2 wordt het eenjarige resultaat bepaald waarna in paragraaf 3.3 de kapitaalvereisten volgens Solvency II worden besproken. Ten slotte beschrijft hoofdstuk 4 de technieken in een numeriek voorbeeld en in hoofdstuk 5 worden conclusies en aanbevelingen voor verder onderzoek besproken. 2

6 2. Technieken voor schadereservering: ultieme tijdshorizon 2.1 Introductie In dit artikel wordt het reserveren voor niet-levensverzekeringen zoals brand-, auto- en andere schadeverzekeringen besproken. Het doel is om een juiste inschatting te kunnen maken van de onzekerheid in toekomstige betalingen. Bij de afwikkeling van een schade bij een nietlevensverzekering zijn een aantal momenten te onderscheiden. In figuur 1 is de ontwikkeling van een individuele claim weergegeven. Het eerste jaar, waarin premie betaald wordt en een schade gemeld wordt heet het schadejaar. Vanuit het premie-inkomen van dit schadejaar moeten alle betaling voor deze schade gedaan worden. De jaren na dit schadejaar tot de sluiting van de claim worden ontwikkelingsjaren genoemd. Uiteindelijk eindigt de ontwikkeling van de claim met de afsluiting. Figuur 1 Tijdlijn die afwikkeling van een individuele claim geeft (Antonio & Plat, 2011). 1 Er kan niet alleen naar jaarlijkse incrementele betalingen gekeken worden maar ook naar de cumulatieve betalingen. Voor een bepaald schadejaar worden de bekende betalingen opgeteld tot een cumulatieve betaling. De cumulatieve betalingen kunnen in een schadedriehoek of afwikkelingsdriehoek zoals in tabel 1 gezet worden. 1 IBNR: Incured But Not Reported; RBNS: Reported But Not Settled. 3

7 Tabel 1 Cumulatieve betalingen Ontwikkelingsjaar j Schadejaar i k k In tabel 1 zijn de cumulatieve betalingen D in de bovendriehoek weergegeven. Het schadejaar wordt i genoemd met 1. Het ontwikkelingsjaar j op de verticale as loopt ook van 1. De jaarlijkse betalingen zijn, en de cumulatieve betaling van schadejaar i, met betalingen tot jaar j wordt genoemd en berekend zoals in formule 1. (1) Op de diagonalen van deze tabel staan de betalingen in een bepaald kalenderjaar. Het kalenderjaar wordt berekend door 1. Tot jaar k zijn de groottes van de betalingen bekend. Voor toekomstige jaren na k in de benedendriehoek zijn deze onbekend. Dit zijn dus de verplichtingen waarvan de waarde nog onbekend is. Een verzekeraar wil voor de nog onbekende betalingen een reserve bepalen die nodig is om aan deze verplichtingen te kunnen voldoen. Met de informatie over betalingen van eerdere jaren, de bovendriehoek van de schadedriehoek, wil de verzekeraar tabel 1 verder invullen om zo een schatting te maken van de toekomstige betalingen. Met de geschatte toekomstige betalingen kan voor elk schadejaar een reserve bepaald worden die nodig is om de verwachte betalingen te kunnen uitkeren. De reserve is de totale hoeveelheid betalingen minus het reeds uitgekeerde bedrag., (2) 4

8 In de volgende paragrafen worden twee methodes besproken om deze reserve te bepalen aan de hand van het schatten van de betalingen. 2.2 Chain ladder Chain laddermethode Als eerste wordt de chain-ladder techniek besproken aan de hand van een voorbeeld. Om de onbekende benedendriehoek te schatten wordt bij de chain-laddertechniek aangenomen dat de kolommen evenredig zijn (England & Verrall, 2002). De chain-laddermethode maakt gebruik van die evenredigheid door een ontwikkelingsfactor λ j te berekenen voor elk ontwikkelingsjaar j vanuit voorgaande 1 cumulatieve betalingen., (3) Voorbeeld 1 Als voorbeeld wordt hier de berekening volgens de chain-laddertechniek gegeven voor de cumulatieve betalingsgrootte in ontwikkelingsjaar 3 van schadejaar 3 van tabel 2. Tabel 2 Voorbeeld schadedriehoek Ontwikkelingsjaar j Schadejaar i Dit is kalenderjaar 15 dus wordt alleen informatie uit de bovendriehoek tot 4 gebruikt. De schatting volgens de chain-laddertechniek voor is dan 5

9 Op deze manier wordt de gehele onderdriehoek van onbekende betalingen berekend. In de laatste kolom staan dan de totale betalingsgroottes. In dit voorbeeld zijn dat tot. Voor een schadedriehoek kunnen op dezelfde manier als in voorbeeld 1 de ontwikkelingsfactoren geschat worden. Met bekende betalingen tot geeft dit:,, λ λ λ (4) Hiermee kan de reserve voor toekomstige betalingen bepaald worden door het totale bedrag minus het al uitgekeerde bedrag te berekenen:, λ λ λ -, =, λ λ λ Mack Mack (1993) vult de chain-laddermethode aan door een schatting te maken van de standaardfout van de geschatte reserves. Hij specificeert hiervoor de onderstaande aannames - zijn random variabelen. - Er is een bovendriehoek van betalingen bekend. - Er zijn ontwikkelingsfactoren,, zodanig dat het verwachte betalingsbedrag gelijk is aan de met de chain-laddertechniek berekende ontwikkelingsfactor maal de bekende betalingen,,,, voor 1 en 1 1. De ontwikkelingsfactoren berekent Mack met de chain-laddertechniek (formule 3). - De bedragen voor verschillende jaren zijn onafhankelijk. Met bovengenoemde aannames bewijst hij dat de ontwikkelingsfactoren zuiver en onderling ongecorreleerd zijn. Deze ongecorreleerdheid is verrassend omdat elke schatter van geschat is vanuit dezelfde informatie van bekende betalingen. Voor één paar factoren geldt dus (5) 6

10 En voor alle geschatte factoren geldt: Dit laatste laat direct zien dat formule 4 en formule 5 als schatters voor betalingen respectievelijk reserves zuiver zijn. Vervolgens beschrijft Mack de conditionele variantie van Dij en gebruikt hiervoor weer de bovengenoemde aannames. Neem de tot zover bekende informatieset 1, de bekende bovendriehoek. Dan is de mean squared error (mse) van de cumulatieve betalingen Dij geconditioneerd op de bekende informatie : (6) Mack laat met een eenvoudige stap zien dat de mse ook gelijk is aan de mse van de geschatte reserve. Voorlopig wordt hier gerekend met de mse van de betalingsgrootte. Later wordt ook de mse van de reserves bepaald (formule 9). Met een rekenregel uit de statistiek kan formule 6 worden herschreven naar (7) De mse is dus procesvariantie plus de parameter estimation error van. Mack geeft als schatting voor de procesvariantie met,,met 12 (8) Voor het geval er na 2 nog betalingen komen moet er een voor 1 gevonden worden. Dit kan bijvoorbeeld door eenvoudig de verhouding tussen de voorlaatste twee varianties ( 3 en 2) ook te gebruiken voor de verhouding tussen de laatste twee varianties. Deze verhouding is dan / /. Daarna kan de schatter van de variantie van de reserve voor jaar i en de totale reserve worden berekend zoals in het artikel van Mack (1993). (9) 7

11 2.3 Gegeneraliseerde Lineaire Modellen De methode van Mack schat alleen de eerste twee momenten van de verdeling van de betalingen. Hieronder wordt een methode beschreven om met een stochastisch model een volledige predictieverdeling van de betalingen te verkrijgen. Hierbij wordt de driehoek met incrementele betalingen in plaats van cumulatieve betalingen gebruikt en een Generalised linear model (GLM) opgesteld. Een GLM is een uitbreiding van gewone lineaire regressie waarmee een schatting met Maximum Likelihood kan worden gedaan. De keuze voor GLM komt door de twee bruikbare mogelijkheden die dit model heeft. Ten eerste vereist GLM, anders dan bij gewone lineaire modellen, geen normale verdeling van de residuen. Ten tweede kan door een transformatie van beschikbare informatie een model voor het gemiddelde opgesteld worden (in plaats van rechtstreeks het gemiddelde modelleren). Met GLM kan dan een multiplicatief model opgesteld worden. Van dit model kan onder bepaalde aannames bewezen worden dat dit dezelfde voorspelling van betalingsgroottes berekent als het chainladder model (Kaas et al., 2001). De GLM-voorspelling is dan volgens het bewijs van Mack ook zuiver. Eerst wordt hieronder het gegeneraliseerde model algemeen beschreven en geïllustreerd met een voorbeeld. Daarna wordt uitgelegd hoe de schatters gevonden worden. Vervolgens wordt beschreven hoe met GLM een schadedriehoek volgeschat kan worden De exponentiële familie Een Generalised Linear Model werkt als een normale lineaire regressie maar met de volgende drie kenmerken (Renshaw & Verrall, 1998) 1. Een stochastische component, uit de familie van exponentiële verdelingen. Deze geeft van onafhankelijke variabelen de eerste twee momenten weer. en waarbij een schaalfactor voor dispersie, w een factor voor weging en V(.) een (gekend veronderstelde) variantiefunctie. Deze worden samengevoegd in. 2. Een systematische component. Dit is een lineaire voorspeller die zorgt dat de informatie over de onafhankelijke variabelen in het model terecht komt. Vaak gebruikte notatie hiervoor is 3. Een linkfunctie, deze verbindt het gemiddelde van de verdelingsfunctie aan de lineaire voorspeller. Noem de linkfunctie g(.). Als, dan 8

12 De familie van exponentiële verdelingen heeft de volgende dichtheid: ;, exp ; (10) waarbij y behoort tot de drager van (daar waar 0 dus de dichtheid meegewogen wordt). is de parameter die het gemiddelde bepaalt en de linkfunctie. De functie c(y) zorgt ervoor dat de dichtheid optelt tot 1. is de dispersion factor. Deze geeft informatie over de variantie. Voorbeeld 2 Als voorbeeld voor het gebruik van formule 10 wordt hier de veel gebruikte Poissonverdeling bekeken. De Poissonverdeling is lid van de exponentiële familie, dus kunnen voor formule 10 de verschillende onderdelen van de exponentiële dichtheid geïdentificeerd worden (Antonio & Kling, 2011). Gekozen wordt voor log, de parameter wordt de logaritmische transformatie van., 1, als linkfunctie wordt de exponentiële functie gekozen. als wegingsfactor van schaalfactor voor de variantie worden 1 en 1 gekozen zodat. log!, om te zorgen dat uitintegreert tot 1. De dichtheid voor een Poissonverdeling wordt dan: exp logy!.! 9

13 2.3.2 Schatters vinden met GLM Alle verdelingen uit de exponentiële familie hebben een dichtheidsfunctie zoals hierboven beschreven. Als de dichtheid bekend is kan vervolgens met Maximum Likelihood (ML) de likelihoodfunctie l(.) gemaximaliseerd worden. log, ;,,..,, log, ;,, log L, ; log,,,;,,, (11) Een schadedriehoek met GLM In hoofdstuk 2.2 werd de benedendriehoek van betalingen met de chain-laddertechniek ingevuld. Hier wordt een schatting voor de betalingsgroottes gemaakt met een GLM-model. Voor de schadedriehoek wordt het volgende multiplicatieve model opgesteld voor incrementele betalingen. (12) Neem aan dat de betalingsgroottes een bepaalde verdeling volgen. De parameters en worden vervolgens met de GLM methode geschat zodat de schadedriehoek in tabel 3 net zoals bij de chain-laddertechniek gevuld wordt. Tabel 3 Jaarlijkse betalingen Ontwikkelingsjaar j Schadejaar i n Schatter n 10

14 Verder wordt aangenomen dat betalingen voor jaar i (zie laatste kolom tabel 3). 1 zodat gelijk is aan de schatting van de totale Het is gebruikelijk om een logaritmische of exponentiële transformatie toe te passen op de factoren die geschat worden. Voor de verdeling wordt vaak de over-dispersed 2 Poissonverdeling gebruikt. De betalingen zijn dan en ~ met 1. exp (13) Met de geschatte parameters kunnen de verwachte betalingen en hun variantie berekend worden: exp, (14) De verwachte betalingen en hun variantie kan de verzekeraar gebruiken om een goede inschatting van de betalingsgroottes te maken Uitbreiding van het multiplicatieve model Aan het multiplicatieve model voor (formule 12) kan nog een extra factor voor een jaarlijkse trend toegevoegd worden om bijvoorbeeld inflatie of nieuwe regelgeving die in een bepaald kalenderjaar geldt te modelleren. Het model waarbij wordt dan uitgebreid met de factor. Deze heeft een waarde die voor alle betalingsgroottes op een diagonaal k dezelfde bijdrage geeft. Tabel 4 Kalenderjaren Ontwikkelingsjaar j Schadejaar i Schatter Poissonverdeling waarbij de variantie proportioneel aan maar wel groter dan het gemiddelde is. 11

15 Met betalingen op de diagonaal (zie tabel 4) worden betalingen bedoeld waarvoor 1. De betaling krijgt in het model dus een extra factor en de betalingen en een factor, enzovoort. Geschat wordt dan. Door aannames over de verdeling van de betalingen kunnen met Maximum Likelihood verschillende schatters voor, en bepaald worden. Het model bevat op deze manier erg veel parameters. Gekeken wordt of dit teruggebracht kan worden. Uiteraard is er voor in toekomstige jaren weinig bekend. Gekozen kan worden voor bijvoorbeeld 1 of. Voor de ontwikkelingsjaren kan ook een vast patroon gemodelleerd worden. Vaak zijn de betalingen in het eerste jaar veel groter dan bijvoorbeeld in het laatste jaar. Dit kan in het model terugkomen door de parameters voor ontwikkelingsjaren te laten afnemen. Dan kunnen tot teruggebracht worden tot twee parameters en waarbij voor 1 wordt gekozen (Kaas et al., 2001). England & Verrall (2002) gaan nog uitgebreider in op de modellering van de verschillende verdelingen, gebruikelijk zijn de (over-dispersed) Poisson, lognormaal, gamma en negatief binomiaal. Kaas et al. (2001) vergelijken verschillende mogelijkheden van invulling van, en en het effect van meer of minder parameters op de variantie. 2.4 Bootstrapping Om een predictieverdeling van de reserve te bepalen wordt de hierboven beschreven GLMmethode in combinatie met de bootstraptechniek gebruikt. England en Verrall (2006) beschrijven de voordelen van deze methode, namelijk dat bootstrapping trekkingen uit de predictieverdeling geeft zodat risicomaten van de benodigde reserve berekend kunnen worden, maar vooral dat bootstrapping eenvoudig is en zelfs in een spreadsheet is toe te passen. Het bootstrapproces Gebruikt wordt een schadedriehoek van bekende betalingen en een bovendriehoek waarvan een eerste schatting met GLM is gemaakt. Noodzakelijke voorwaarde voor het toepassen van de bootstraptechniek is het trekken met teruglegging uit onafhankelijke en identiek verdeelde observaties. Omdat er geen identieke verdeling is in de schadedriehoek wordt niet naar de betalingen maar naar residuen gekeken. Deze zijn bij benadering wel identiek verdeeld. England en Verrall (2006) en Kaas et al. 12

16 (2001) vermelden dat het gebruikelijk is een trekking te doen uit de Pearsonresiduen dus dat wordt in dit artikel ook gedaan. De Pearsonresiduen zijn, (15) Waarbij een betaling uit de bekende bovendriehoek is en het gemiddelde van de eerste GLM-schatting. Van elke betaling wordt het residu bepaald. Vervolgens worden de residuen geschaald om te corrigeren voor onzuiverheid op dezelfde manier als bij het bepalen van een zuivere schatter voor de variantie.,, (16) Hier is het aantal bekende betalingen en het aantal geschatte coëfficiënten. Voor elke cel uit de bovendriehoek wordt random een residu, getrokken. Met het geschatte gemiddelde van de waargenomen betalingen wordt een nieuwe geschiedenis van betalingen gecreëerd., (17) (afhankelijk van welke verdeling wordt gebruikt bij het schatten van factoren moeten negatieve waarden van op nul gezet worden) Met deze driehoek van bootstrapbetalingen wordt opnieuw een inschatting gemaakt van de benedendriehoek. De benedendriehoek wordt door middel van puntschattingen gevuld. Vervolgens wordt nog rekening gehouden met de procesonzekerheid ten gevolge van de onderliggende verdeling die voor onzekerheid zorgt. In het GLM-voorbeeld in paragraaf 4.5 gebeurt dit door voor elke onbekende betaling een trekking te nemen uit de Poissonverdeling met als gemiddelde de bovengenoemde puntschatting. Op deze manier wordt een schatting verkregen van de benodigde reserve. Door deze werkwijze een groot aantal keer te herhalen wordt een predictieverdeling verkregen van de openstaande reserve (Lowe, 1994). 13

17 Stappen van de bootstrapmethode Stap 1. Maak een eerste schatting met een bekende bovendriehoek. Stap 2. Bepaal de Pearsonresiduen. Stap 3. Sample uit de residuen een nieuwe bovendriehoek. Stap 4. Vorm uit de residuen in de nieuwe bovendriehoek bootstrapbetalingen. Stap 5. Maak voor de bovendriehoek een schatting van de toekomstige betalingen. Stap 6. Voeg procesonzekerheid toe. Stap 7. Herhaal stap 3 tot 6 een groot aantal keren om tot een predictieverdeling te komen. De gemiddelde kwadratische predictiefout Nu de predictieverdeling van de reserve bepaald is, kan een verzekeraar verschillende risicomaten bereken aan de hand van de gesimuleerde waarden uit de predictieverdeling van de openstaande reserve. De verzekeraar kan bijvoorbeeld de standaard deviatie of een hoog kwantiel berekenen. Een maat voor dit risico bij de bootstrapmethode is de prediction error van de reserve. De mean squared error of prediction van de bootstrapschatting wordt eenvoudig bepaald door de standaarddeviatie van de schatting van de reserve te nemen (England, 2010). Een andere maat voor reserverisico is de eerder genoemde mean squared error van Mack (zie paragraaf 2.2). 3. Van ultieme naar éénjarige tijdshorizon Hierboven is beschreven hoe de benodigde totale reserves bepaald worden via het inschatten van de ultieme schadelast. Dit ultimate viewpoint is niet meer voldoende volgens de nieuwe solvabiliteitsrichtlijnen van de Europese Unie (vanaf hier Solvency II genoemd). In artikel 101 van Solvency II over het berekenen van de solvabiliteitskapitaalvereisten staat: Het [solvabiliteitskapitaalvereiste] stemt overeen met de Value at Risk (VaR) van het kernvermogen van een verzekerings- of herverzekeringsonderneming met een betrouwbaarheidsgraad van 99,5 % over een periode van één jaar. (European Commission, 2009, p. 51) 14

18 Het kernvermogen van de verzekeraar moet dus zodanig zijn dat de verzekeraar met 99,5% zekerheid aan haar verplichtingen over een periode van één jaar kan voldoen. Het kernvermogen is modulair opgebouwd. Een van deze modules is de uitstaande reserve voor een schadeverzekering. De verzekeraar loopt het risico dat de reserves voor deze uitstaande schades één jaar later onvoldoende blijken, het reserverisico. Solvency II legt een kapitaalvereiste op, de Solvency Capital Requirement (SCR), zodat de verzekeraar voldoende kapitaal heeft om (onder andere) het reserverisico te ondervangen over een horizon van één jaar. Hieronder volgt eerst een algemene bespreking van de SCR. Vervolgens wordt het Claim Development Result, het verschil tussen twee opeenvolgende inschattingen van de ultieme schadelast, besproken. Daarna wordt in paragraaf 3.3 beschreven op welke manieren vanuit het Claim Development Result de SCR voor het reserverisico bepaald kan worden. 3.1 Solvency Capital Requirement Het kapitaal dat nodig is voor de afwikkeling van de uitstaande verplichtingen in het kader van schadeverzekeringen is maar één component van de totale kapitaalvereiste van de verzekeraar. Hieronder wordt kort uitgelegd met welke aspecten de verzekeraar rekening dient te houden. De regels voor de Solvency Capital Requirement (SCR) staan in de Solvency II richtlijnen. Artikel 104 van Solvency II zegt dat de SCR voor een verzekeraar uit de risicomodules weergegeven in figuur 2 moet bestaan (European Commission, 2009). Figuur 2 Modulaire opbouw van de SCR Dit zijn de vijf basismodules: 15

19 - Tegenpartijrisico (SCR Default ) - Marktrisico (SCR Market ) - Ziektekostenverzekeringstechnisch risico (SCR Health ) - Schadeverzekeringtechnisch risico (SCR Non Life ) - Levensverzekeringstechnisch risico (SCR Life ) Deze basismodules kunnen indien nodig aangevuld worden met de module Operationeel risico. Het SCR wordt dan berekend met de formule uit bijlage IV van de Solvency II richtlijnen:, (18) met en de risicomodules en voor de correlatiecoëfficienten 3 uit de bijlage van Solvency II (European Commission, 2009, p. 124). Elk van deze risico s wordt bepaald met een VaR 4 -maatstaf met 99,5% betrouwbaarheid voor een interval van één jaar. Voor het berekenen van het schadeverzekeringstechnische risico, SCR schade, worden ondermodules gebruikt namelijk: - SCR schade - SCR premie - SCR reserve - SCR schade ramp Deze ondermodules kunnen dan voor en ingevuld worden in, (19) Als aangetoond kan worden dat de hierboven beschreven standaardberekening niet passend is vanwege de aard, omvang of billijkheid van de risico s dan mag de standaardformule vereenvoudigd worden (artikel 109). Ook mogen door de toezichthouder goedgekeurde interne modellen gebruikt worden (artikel 112). In artikel 129 worden tenslotte nog enkele absolute minima aan kapitaalvereisten van enkele miljoenen euro s per module genoemd (European Commission, 2009). 3 De correlatiecoëfficiënten van SCR schade zijn 0.25 en 0.5 met de modules marktrisico respectievelijk tegenpartijrisico. 4 VaR: Value-at-Risk is de hoeveelheid kapitaal die met 99.5% kans voldoende is om aan de uitkeringsverplichtingen voor één jaar te voldoen. 16

20 3.2 Het Claim Development Result De basis voor de SCR voor reserverisico onder Solvency II is het Claim Development Result (CDR). Dit resultaat ontstaat als er één jaar extra informatie over betalingen bekend is. In deze paragraaf staan de berekeningen en de schattingsfouten van het CDR beschreven. In paragraaf wordt de simulatie van het CDR besproken en daarna volgt een voorbeeld van een simulatiemethode Bepalen van het Clain Development Result Noteer met 1 de bovendriehoek, waarbij en lopen van 1 tot. Dit is de informatie die bekend is op tijdstip. Met deze informatie is de reserve,,. Op analoge manier wordt de reserve op tijdstip 1 bepaald. Vervolgens is de verwachting dat bij een goede schatting de totale betalingsgroottes dezelfde waarde hebben. De eerste geschatte ultieme schadelast zou gelijk moeten zijn aan de nieuwe schadelast in het ultimate viewpoint. De eerste geschatte reserve is echter niet gelijk aan de nieuwe geschatte reserve plus de uitbetalingen in jaar 1. Om dit verschil te berekenen wordt het CDR bepaald (Merz & Wütrich, 2008). Met formule 20 kan het eenjarige resultaat berekend worden dat verkregen wordt doordat er één jaar aan nieuwe betalingen bekend is. Op de verwachte eerste reserve wordt een jaar aan nieuwe en de nieuwe verwachte reserve in minderinggebracht. Dit kan herschreven worden naar het geschil tussen de ultieme schadelasten met bekende informatie respectievelijk. 1,,. Waarbij, de incrementele betalingen zijn in kalenderjaar 1, en, de ultieme betaling in jaar. Als hierbij de geschatte waarden voor en ingevuld worden is het geobserveerde Claim Development Result: 1,,. Voor de verwachting van het CDR geldt dat deze gelijk is aan nul: 1 0. (20) (21) 17

21 3.2.2 Schattingsfouten van het Claim Development Result De precisie van de schatting van het CDR kan op twee manieren bepaald worden. Prospectief door te kijken in welke mate de schatting afwijkt van de verwachte neutrale uitkomst of retrospectief door het verschil tussen het geobserveerde en werkelijke CDR te kwantificeren. Merk op dat voor de retrospectieve msep de werkelijke betalingen voor het volgende kalenderjaar bekend moeten zijn. Voor de prospectieve msep is alleen de schatting van het CDR nodig. Prospectief: (22) Retrospectief: Merz en Wütrich (2008) bespreken deze schattingen van de msep voor het CDR. Ze werken een analytische formule uit die gebaseerd is op de aanpak van Mack (1993). Verder merken ze op dat voor long tail business, verzekeringen met een lange periode van ontwikkelingsjaren, het eenjarige reserverisico lager is dan voor short tail business Simulatie van het claim development result Ohlsson, Esbjörn en Lauzeningks (2009) en Diers (2011) stellen dat de analytische methode van Merz en Wütrich (2008) vaak niet voldoende is en dat simulatie nodig is om een beter beeld te krijgen van het reserverisico. Via simulatie kan een predictieverdeling van het CDR bepaald worden. Stel daarvoor het volgende model voor het eenjarige CDR door Ohlsson, Esbjörn en Lauzeningks (2009) op: 1 (24) Waarbij de uitkeringen in jaar zijn en de bijbehorende reserves. Hiermee wordt vervolgens de verdeling van gesimuleerd in een aantal stappen. Aan de hand van figuur 3 uit de paper van Diers (2011) worden deze stappen hieronder uitgelegd. (23) 18

22 Figuur 3 Simulatie van het Claim Development Result (Diers, 2011) Als eerste wordt de openingsreserve 0 bepaald. Dit is de reserve die bepaald kan worden op basis van de betalingen tot op heden. Vervolgens wordt de incrementele betaling voor het nieuwe jaar gesimuleerd. Als derde stap wordt aan de hand van deze informatie opnieuw de reserve bepaald met de methode die ook voor 0 gebruikt is. Met formule 24 kan dan de CDR berekend worden. Deze stappen worden vaak herhaald totdat een verdeling van het CDR bepaald is Simuleren met ontwikkelingsfactoren In het numerieke voorbeeld in hoofdstuk 4 worden de betalingen in het volgende kalenderjaar (de extra diagonaal in figuur 3) gesimuleerd aan de hand van de GLM-methode besproken in paragraaf 2.4 Devineau et al. (2011) bespreken een andere manier om de simulatie uit te voeren, gebaseerd op De Felice en Moriconi (2006). Zij gaan uit van de chain-ladder methode en gebruiken residuen van de ontwikkelingsfactoren in plaats van residuen van de betalingen. De aannames voor dit algoritme (in dit geval zonder staartfactoren) zijn die van de chainladder van Mack (paragaaf 2.2.2). Als eerste worden de ontwikkelingsfactoren geschat zoals in formule 3. Daarnaast worden de individuele ontwikkelingsfactoren, geschat aan de hand van de cumulatieve betalingen., (3) λ,, (25) Met de algemene ontwikkelingsfactoren wordt de benedendriehoek volgeschat (formule 4) en een eerste schatting gemaakt van de reserve. Per schadejaar is de reserve de cumulatieve betaling in jaar minus de cumulatieve betaling op de diagonaal. Deze reserves worden over 19

23 schadejaren opgeteld: in formule 8.,,. De procesvariantie wordt bepaald zoals Vervolgens worden de residuen bepaald en deze worden gecorrigeerd voor onzuiverheid met een factor.,, (26) Vervolgens begint het bootstrapproces. Voor een groot aantal iteraties worden de volgende stappen uitgevoerd: (Begin van een iteratie.) De bovendriehoek wordt gevuld met pseudo-ontwikkelingsfactoren (individueel).,,. (27) Met de chain-laddertechniek worden de ontwikkelingsfactoren voor alle gesampelde bovendriehoeken opnieuw geschat ( ). Met deze ontwikkelingsfactoren wordt een nieuw jaar aan betalingen gesimuleerd:,,. De totale uitbetaling in dat jaar is dan de som van de incrementele betalingen op de subdiagonaal.,,, (28) Op de bovendriehoek met de gesimuleerde subdiagonaal kan opnieuw de chainladdermethode toegepast worden. Vervolgens wordt uit de geschatte benedendriehoek de nieuwe reserve bepaald.,, (29) Het CDR is dan (Einde van een iteratie.) zoals in formule 24. Op deze manier kan een predictieverdeling van het CDR verkregen worden. Devineau et al. (2011) repliceren met deze bootstrapmethode de analytische predictiefouten van het 20

24 numerieke voorbeeld van Merz en Wüthrich (2008). Ook bewijzen ze dat de variantie van de gesimuleerde verdeling gelijk is aan de analytische variantie. Voor een uitbreiding van deze techniek met betrekking tot het in rekening brengen van staartfactoren zie Devineau et al. (2011). Vergelijking met de simulatie met tailfactor op de illustratieve schadedriehoek van Merz en Wütrich (2008) levert Devineau et al. (2011) een grotere variantie op. De parameter estimation error wordt groter maar ook de procesvariantie wordt groter doordat er een nieuw ontwikkelingsjaar wordt toegevoegd. De prediction error van de empirische CDR verdeling is dus groter geworden door het toevoegen van een schatting van de staart. Stappen voor het simuleren van het CDR Stap 1. Bepaal de openingsreserve 1. Stap 2. Simuleer de betalingen voor eerstvolgende kalenderjaar. Stap 3. Bepaal opnieuw de reserve aan de hand van de nieuwe betalingen. Stap SCR voor het reserverisico Met de berekende CDR worden de nodige kapitaalvereisten om het reserverisico af te dekken bepaald. Het SCR moet ten eerste voldoende zijn voor de best-estimate van de reserves en daarbij moet het als buffer kunnen fungeren voor schommelingen in het CDR in de komende jaren. Salzmann en Wüthtrich (2010) beschrijven vier manieren om het SCR te berekenen. A. The Regulatory Solvency Approach B. The Split of the Total Uncertainty Approach C. The Expected Stand-Alone Risk Measure Approach D. The Multiperiod Risk Measure Approach Deze manieren worden hieronder kort uitgelegd waarna de bevindingen uit de vijfde Quantitative Impact Study (QIS5) over deze methoden worden beschreven De Cost of Capital marge Voor de vier methodes (A tot D) van Salzmann en Wüthrich is allereerst een risicomaat, voor elk schadejaar en kalenderjaar bepaald. Deze bepaalt hoe groot het bedrag is dat wordt aangehouden voor de best-estimate en de buffer. Hierbij drukt de Cost-of-Capital rate 21

25 c, de kosten uit voor de verzekeraar om dit bedrag vast te houden. De totale kosten van deze risicomarge zijn dan. Deze risicomarge wordt de Cost-of-Capital marge, genoemd.,, Naast best-estimate, voor de betalingen in kalenderjaar en schadejaar moet er dus ook een reserve voor de cashflows horend bij de Cost-of-Capital marge aangehouden worden. De totale technische voorziening is,,, waarbij de, voor elk van de vier methodes op een andere manier met,,,,, en, bepaald wordt. De toekomstige risicomaten worden bepaald voor de jaren na jaar 0. Methode A: The Regulatory Solvency Approach neemt voor de risicomaat, alleen het risico van het eerst komende kalenderjaar 1 mee. Hiervoor wordt alleen de onzekerheid van het eerst komende kalenderjaar gebruikt. Voor de jaren daarna ( 1 ) wordt simpelweg deze onzekerheid herschaald naar de verwachte betalingsgroottes van deze latere jaren. Methode B: De Split of the Total Uncertainty Approach is een uitbreiding van methode A. Deze benadering is gebaseerd op de onzekerheid in het CDR voor élk komend kalenderjaar 1,2,3, maar baseert, alleen op de initiële informatie beschikbaar op 0. Methode C: The Expected Stand-Alone Risk Measure Approach gebruikt voor, net als methode B ook een aparte schatting voor de onzekerheid van het CDR voor elk komend jaar =1,2,3 maar gebruikt hierbij meer informatie namelijk die tot respectievelijk 0,1,2, Methode D: The Multiperiod Risk Measure Approach is de meest uitgebreide methode en de meest technische en complexe. De methode neemt naast de onzekerheid van het CDR ook de onzekerheid in de ontwikkeling van de CoC mee., kan dus alleen recursief bepaald worden uit de voorgaande jaren. 5 5 Voor het formulewerk om de risicomaten te bepalen zie Salzmann & Wüthrich (2010). 22

26 Salzmann & Wüthrich menen dat methode A geen goede bescherming biedt tegen schokken in het CDR. Methode B, C en D geven alle ongeveer dezelfde schatting van de totale reserve waarbij D prudenter is dan B en B dan C:,,,. Methode B of C kan dus goed als benadering voor de uitgebreide berekeningen van methode D dienen Risicomarge volgens QIS5 In de vijfde Quantitative Impact Study voor Solvency II (EIOPA, 2011) wordt geschreven dat het volledig berekenen van alle risicomaten voor het bepalen van de SCR vaak te complex is om uit te voeren. De toezichthouder staat daarom vaak vereenvoudigingen in de berekeningen toe. Figuur 4 geeft aan hoe weinig de volledige berekeningen gebruikt worden. Figuur 4 Frequenties van gebruik van methodes (EIOPA, 2011, p. 49) Van links naar rechts geeft figuur 4 het gebruik van de benaderingen van de volledige berekening weer. Full calculation is de volledige berekening van alle toekomstige SCR s zonder vereenvoudigingen (Methode D). Risks approximation gebruikt voor sommige (sub)modules (zie paragraaf 3.1) een benadering. SCR approximation benadert het SCR volgens methode A, de toekomstige SCR wordt proportioneel aan de eerste onzekerheid in het CDR bepaald. Duration is een vereenvoudigde inschatting welke alle SCR s in een keer bepaalt. Als laatste is bij 5% BE de risicomarge 5% van de best-estimate van de reserve (EIOPA, 2010, p. 59). Circa 6% gebruikt de meest uitgebreide methode om het SCR te berekenen. Een vergelijkbaar aantal verzekeraars gebruikt vijf procent van de best-estimate als risicomarge. Het grootste gedeelte (circa 40%) gebruikt de SCR approximation. Toezichthouders claimen dat een risicomarge proportioneel aan de best-estimate (methode A, B en methodes 3 tot 5 uit figuur 3) geen juiste aanname is. Daarom raadt de toezichthouder 23

27 aan, alleen vereenvoudigingen te gebruiken die meer informatie dan alleen de best-estimate meenemen. Wanneer risicomarges bij verschillende methodes sterk uiteenlopen moet ook opgepast worden dat er geen prikkel ontstaat om de voordeligste methode in plaats van meest passende te kiezen ( regulatory arbitrage ). Uit paragraaf en kan geconcludeerd worden dat ondanks dat methode A veel gebruikt wordt, het beter is om een goede benadering (bijvoorbeeld methode B) van de volledige SCR berekeningen te gebruiken om de juiste risicomarge te bepalen. 4. Numeriek voorbeeld Na het uitgebreide literatuuronderzoek in de voorgaande secties worden hier de analytische benadering van Mack en de schatting met GLM van een voorbeeld schadedriehoek bekeken. Met het softwarepakket R 6 worden de ontwikkelingsfactoren van het chain-laddermodel en de coëfficiënten van het GLM-model gezocht waarmee vervolgens de schadedriehoek wordt volgeschat. Daarna worden het geobserveerde CDR bekeken met een extra jaar aan schadeclaims. Tenslotte wordt met een de bootstrapmethode een predictieverdeling van de reserve en de eenjarige CDR s gesimuleerd. De schadedriehoek uit het artikel van Merz en Wütrich (2008) wordt hiervoor gebruikt. Tabel 5 Schadedriehoek van Merz en Wütrich (2008) Schadejaar i Ontwikkelingsjaar j R is open-source software en te downloaden via de volgende site: 24

28 In tabel 5 is de cumulatieve schadedriehoek weergegeven. Hieruit volgt eenvoudig de driehoek met incrementele betalingen. Voor de incrementele driehoek kan een algoritme opgesteld worden dat voor elk schadejaar de incrementele berekent,. Het gebruikte script in R is te vinden in bijlage Ontwikkelingsfactoren met de chain laddermethode Voor de bovendriehoek in tabel 5 worden met R de ontwikkelingsfactoren en daarmee de schatting van de schadedriehoek volgens de chain-laddermethode bepaald. De gevonden factoren staan in tabel 6. Tabel 6 Ontwikkelingsfactoren volgens de chainladder methode Ontwikkelingsjaar Ontwikkelings -factor Tabel 6 toont de factoren. Om een schatting te maken van bijvoorbeeld de betalingen in kolom 2 moet de eerste betalingen met vermenigvuldigd worden. Met deze factoren kan uit de bovendriehoek de geschatte benedendriehoek verkregen worden. De volgeschatte driehoek wordt in paragraaf 4.3 besproken. 4.2 Coëfficiënten met de GLM methode Ook met de GLM-methode wordt een schatting gemaakt van de benedendriehoek. Met behulp van deze methode kunnen de factoren voor schadejaar en ontwikkelingsjaar bepaald worden. Daarvoor moet de schadedriehoek met jaarlijkse (niet-cumulatieve) betalingen gebruikt worden. Als onderliggende verdeling wordt de Poissonverdeling gekozen en als model het eenvoudigste multiplicatieve model (formule 3.3). Van de gevonden waarden voor en wordt de e-macht genomen (zie formule 13) omdat deze beter te interpreteren zijn. Dit geeft de factoren in tabel 7 voor de ontwikkelingsjaren en schadejaren. Tabel 7 De effecten van ontwikkelingsjaren en schadejaren en

29 Door deze factoren in het multiplicatieve model in te vullen, kan de schatting van de benedendriehoek van tabel 5 verkregen worden. In de volgende paragraaf worden de volgeschatte driehoeken vergeleken. 4.3 Volschatting met chain ladder en GLM De chain-laddermethode en GLM-methode geven vergelijkbare (maar niet identieke) volgeschatte driehoeken. De ultieme reserves komen overeen maar per cel kunnen verschillen voorkomen (zie tabel 8 en 9). Tabel 8 Volschatting met de chain ladder methode Schadejaar Ontwikkelingsjaar j i

30 Tabel 9 Volschatting met de GLM methode Schadejaar Ontwikkelingsjaar j i Tabel 8 en 9 geven een totale schatting van de som van de rechthoek van (de totale betaling van de verzekeraar aan haar klanten) met een geschatte benodigde reserve van (de schatting van toekomstige betalingen). Deze reserve komt overeen met de reserve die Merz en Wütrich (2008) berekenen. In figuur 5 is de ontwikkeling van de geobserveerde en geprojecteerde betalingen voor de 9 schadejaren geïllustreerd waarbij duidelijk zichtbaar is dat het grootste deel van de totale uitbetaling direct in het eerste jaar valt. Figuur 5 Chainladder schatting per schadejaar De ingebouwde chain-ladderfunctie van R geeft ook Mack s mse (zie formule 2.7) 27

31 De mse van Mack per schadejaar wordt in paragraaf 4.7 besproken. 4.4 Het werkelijke claim development result Na de inschatting van de benedendriehoek wordt aan tabel 5 een nieuw jaar 10 aan betalingen op de diagonaal toegevoegd. In paragraaf 4.1 tot en met 4.3 is dus de bekende informatie beperkt tot 9 kalenderjaren. Nu wordt ook het tiende bekende kalenderjaar toegevoegd. Wederom worden de waarden van Merz en Wütrich (2008) gebruikt. In tabel 10 zijn de geschatte betalingen uit de vorige paragraaf (4.3 ) en de werkelijke waarden van betalingen van Merz en Wütrich weergegeven. Deze werkelijke waarden zijn pas achteraf bekend, normaal kan het geobserveerde CDR dus alleen geschat worden. Tabel 10 Een jaar geobserveerde betalingen Geschat in Geobserveerd In tabel 11 zijn de nieuwe incrementele waarden opgeteld toegevoegd. In het rood staan op de diagonaal de cumulatieve betalingen. Tabel 11 Nieuwe schadedriehoek Schadejaar i Ontwikkelingsjaar j

32 De som van de geobserveerde betalingen in het nieuwe jaar k is Voor tabel 10 worden opnieuw de ontwikkelingsfactoren en de verwachte toekomstige betalingen berekend. Hiermee kan dan het CDR bepaald worden Berekening werkelijk CDR Het totaal aan toekomstige betalingen na jaar 10, de nieuwe reserve, is volgens de chainladder methode Het CDR volgens formule 24 wordt dan Uit deze voorbeeldberekening wordt duidelijk dat ondanks dat het verwachte CDR nul is, het uiteindelijke resultaat over een nieuw kalenderjaar uiteraard van nul af kan wijken. Om dit resultaat beter te analyseren worden twee analytische maten van de eenjarige predictiefout bekeken Prediction error van het CDR Voor het bepalen van de prediction error wordt het resultaat van Merz en Wüthrich (2008) gerepliceerd. Hiervoor wordt het R-script van Lacoume (2009) gebruikt. Met dit script kan de msep tussen de werkelijke en geobserveerde CDR ( / ) bepaald worden. Ook de geschatte standaard deviatie tussen nul en het geschatte wordt bepaald ( 0 /. Deze twee worden in tabel 12 vergeleken met de msep van formule 9 van Mack ( ). Tabel 12 Analytische predictiefouten (de predictiefouten per schadejaar staan in paragraaf 4.7) Prediction error Totaal over alle schadejaren / 0 / In paragraaf was een CDR van gevonden. Vergeleken met de geschatte msep tussen het werkelijke en geobserveerde CDR (33.856) is het negatieve resultaat van dezelfde ordegrootte. Voordat de nieuwe betalingen bekend waren was de verwachting van het CDR nul (zie paragaaf 3.2). De gevonden standaarddeviatie tussen nul en het CDR onderschrijft dit, ligt namelijk ruim binnen de 0 / van

33 De mse van Mack als maat voor de totale onzekerheid van de schatting is De eenjarige predictiefout van is niet veel kleiner dan de Dit laat zien dat een groot deel van de onzekerheid in de schatting in het eerste jaar ligt. Om een beter beeld te krijgen van de verdeling van de betalingen, reserves en het CDR worden deze in paragraaf 4.5 en 4.6 gesimuleerd. 4.5 Simulatie van de reserve met de bootstrapmethode Voor het bepalen van een verdeling van de reserve wordt in deze paragraaf de bootstrapmethode uit paragraaf 4.1 uitgevoerd op de schadedriehoek van Merz en Wütrich (2008). In bijlage 1 is het script voor R te vinden dat gebruikt is voor de berekeningen en illustraties hieronder. Eerst worden de betalingen gesimuleerd, hiermee wordt vervolgens de predictieverdeling van de reserve bepaald Als residuen worden de Pearsonresiduen gebruikt en voor de procesonzekerheid wordt een random trekking uit de Poissonverdeling gedaan. De bootstrapsimulatie wordt voor 100, 1000 en iteraties uitgevoerd. Er worden dus 100, 1000 en driehoeken aan pseudodata gecreëerd welke met de GLM-methode geschat worden waarna de geschatte reserves bepaald worden. Voor de onderliggende verdeling van de betalingsgroottes wordt de overdispersed Poissonverdeling gekozen. Dit levert de volgende histogrammen op voor de dichtheid van de nog komende betalingen. 30

34 Histogram van betalingen voor n="100" Histogram van betalingen voor n="1000" Density 0.0e e e e-06 Density 0.0e e e e betalingen betalingen Histogram van betalingen voor n="10000" Density 0.0e e e e betalingen Figuur 6 Histogrammen van nog komende betalingen De blauwe lijn is de schatting van de dichtheid en de rode lijn is de dichtheid van een normale verdeling met als gemiddelde en standaarddeviatie het empirische gemiddelde en de empirische standaarddeviatie van de gesimuleerde betalingen. Voor grotere waarden van lijkt de dichtheid van de betalingen steeds meer op de curve van de normale verdeling. Na het bekijken van de betalingen worden de gesimuleerde reserve besproken. Voor is wordt een histogram van de gesimuleerde reserve bekeken in figuur 7. 31

35 Histogram van reserves voor n="10000" Density 0e+00 1e-06 2e-06 3e-06 4e reserves Figuur 7 Predictieverdeling van reserves Figuur 7 laat zien dat de predictieverdeling van de reserve een normaal verdeelde klokvorm vertoont. De empirische verdeling (blauw) en de normale verdeling (rood) vallen nagenoeg samen. Het gemiddelde van de simulatie verschilt minder dan 1 procent van de analytisch berekende reserve versus bij de analytische berekening uit 4.3 De prediction error van de reservesimulatie is de standaard deviatie van de predictieverdeling: Deze is van vergelijkbare grootte als de mse van Mack ( ). 4.6 Simulatie van het eenjarige CDR In paragraaf 4.5 zijn de totale reserves gesimuleerd. Dit ultimate viewpoint wordt hier losgelaten. Voor het bepalen van de SCR is de eenjarige CDR nodig (zie 3.3.1). De stappen om het CDR te simuleren staan in paragraaf beschreven. Voor elk schadejaar wordt het eenjarige CDR gesimuleerd en van deze gesimuleerde predictieverdeling wordt de predictiefout bepaald. Deze worden vervolgens vergeleken met de analytische predictiefouten uit paragraaf Als eerste wordt de beginreserve met de GLM-methode bepaald, deze is gelijk aan de analytische reserve uit paragraaf 4.3. Vervolgens wordt met de bootstrapmethode uit paragraaf 2.4 een nieuw jaar aan betalingen keer gesimuleerd. Met deze extra diagonaal toegevoegd aan de originele driehoek wordt de reserve opnieuw geschat. Hiermee kunnen dan de CDR s bepaald worden. Een histogram van de geschatte CDR s staat in figuur 8. 32