Warmtehuishouding woonhuis project Modelleren B

Transcriptie

1 Den Dolech 2, 5612 AZ Eindhoven Postbus 513, 56 MB Eindhoven Auteur Marco ten Eikelder & Wouter van der Heide ID (resp.: & Begeleider: prof.dr.ir. E.H. van Brummelen Opdrachtgever: dr. S.W. Rienstra Faculteit: W&I Vakcode: 2WH2 Datum September Oktober 211 Warmtehuishouding woonhuis Where innovation starts

2 Inhoudsopgave Titel Warmtehuishouding woonhuis 1 Summary Inleiding Probleemomschrijving Blokmodel Model AB Model AB met warmtebronnen Model ABC Model ABCDE Blokmodel A 1,...,A Variabele buitentemperatuur Tocht Warmtestroom door muren/ramen Warmtestroom door muur bestaande uit meerdere lagen (serie Totale warmtestroom door muren en ramen (parallel 19 8 Model op basis van de warmtewet van Newton Wet van Fourier Fourierreeksen Simulatie dimensionaal in de plaats dimensionaal in de plaats Fourier versus simulatie Resultaten Insteltijd Plaatsing verwarming Wet van Fourier dimensieloos Where innovation starts

3 Inhoudsopgave Titel Warmtehuishouding woonhuis 15 Conclusie Bijlage 1: Energiebalans Bijlage 2: aplace transformatie Bijlage 3: Warmtestroom Bijlage 4: Dimensieloos maken Bijlage 5: Verwarming s nachts Bibliografie Where innovation starts

4 1 Summary Heating in houses is essential for our living comfort. Many people prefer a constant temperature of about 18 degrees Celsius in their rooms. But what is needed to keep it that way? In this report the most important effects on heating in houses are investigated. A model is created using Newton s law of cooling, that states that temperature change is proportional to the temperature difference between inside and outside. The model describes the heat flow through the walls to other rooms and to the outside. Draft can be an important factor in the model based on Newton s law. The model shows how important it exactly is and how effective it is to reduce draft. Of course the changing outside temperatures due to the day-night cycle are studied. How much does the temperature inside vary because of the variations outside? This model uses linear temperature functions in the walls. A more detailed model using Fourier s law also takes the buffer effect of walls into account. Temperature changes on the outside need some time to be passed on by the wall, but when is that important? An exact solution and simulations show what happens in the wall. Questions like where to place the heating and at which temperature the heating should be at night, can be answered using the model. 3 Warmtehuishouding woonhuis

5 2 Inleiding De warmtehuishouding in huizen is een onderwerp waar iedereen mee te maken heeft. Iedereen wil het aangenaam warm hebben zonder te hoge kosten of energieverspilling. Uit ervaring weten de meeste mensen best wat af van warmte. Zo heeft het geen zin om de verwarming op volle kracht te zetten als alle ramen open staan. Ook de dikte en het materiaal van de muren en ramen is van belang. Ramen met dubbel glas isoleren beter dan ramen met enkel glas, dikke betonnen muren isoleren beter dan dunne houten muren. Het is duidelijk dat een goed geïsoleerd huis de warmte beter vast hou dan een slecht geïsoleerd huis. Maar hoeveel scheelt het dan? Waar moet de verwarming staan en hoe hard moet die werken? Hoeveel warmte lekt er weg door de muren en ramen? Specifieke factoren in de warmtehuishouding die extra aandacht krijgen in dit verslag zijn tocht en warmte-opslag in de muren. Hoe belangrijk zijn deze factoren en welk effect hebben ze? Voor het warmteverloop in de muren worden twee methodes gebruikt, analytisch en numeriek. Beiden zijn nuttig om het probleem te bestuderen. 3 Probleemomschrijving De hoeveelheid warmte in een woonhuis wor bepaald door de hoeveelheid warmte die wor (en werd geproduceerd en de hoeveelheid die van binnen naar buiten en omgekeerd gaat (en ging. Het idee is om een model te maken van de temperatuur in een woonhuis gebaseerd op de warmtewet van Newton. De vragen waar we antwoord op willen geven zijn: 1. Hoe ziet een model van blokken/kamers gebaseerd op de warmtewet van Newton eruit? 2. Wat is de invloed van een warmtebron/meerdere warmtebronnen? 3. Wat is de invloed van een variabele buitentemperatuur? 4. Hoe zit het met warmteverlies door ramen/deuren? 5. Wat is de invloed van tocht? Vervolgens zal het model verfijnd worden met warmte-opslag in de muren. Dat gebeurt met de wet van Fourier, die iets zegt over temperatuurverandering afhankelijk van de tijd én de plaats. Dit model zal zowel exact als met een simulatie bekeken worden. Vragen die we daarmee willen beantwoorden zijn: 1. Hoe ziet een model gebaseerd op de warmtewet van Fourier eruit? 2. Hoe kunnen Fourierreeksen de oplossing benaderen? 3. Hoe is het probleem numeriek te simuleren? 4. Wanneer is warmte-opslag in muren van belang? 5. Waar kan een warmtebron het beste geplaatst worden? 4 Warmtehuishouding woonhuis

6 4 Blokmodel Om de temperatuur in een kamer te modelleren, wor er eerst gekeken naar een eenvoudig blokmodel. De temperatuur wor berekend met de warmtewet van Newton. Deze wet zegt dat de verandering van de temperatuur van een object dt evenredig is aan het verschil tussen de temperatuur van het object T (t en de omgevingstemperatuur T omgeving : dt = k(t T omgeving (1 waarin k een constante is afhankelijk van het object en de omgeving, zoals dichtheid, massa, contactoppervlak, etc. Een formele afleiding met behulp van een energiebalans is te vinden in de bijlage. Bij een grote k verandert de temperatuur sneller dan bij een lagere k. Als we een model van de temperatuur van een kamer willen maken, is het handig om de tijd in uren te nemen in plaats van in seconden. De oplossing van de differentiaalvergelijking (1 met een constante T omg is: T (t = (T begin T omg e kt + T omg (2 Op een aantal manieren is te zien of dit inderdaad de correcte functie is. Er gel T ( = T begin en de temperatuurfunctie is stijgend als de omgevingstemperatuur hoger is dan de begintemperatuur. Bovendien gel T (t T omg voor t. Met het blokmodel wor de interacties tussen kamers bestudeerd. Er wor verondersteld dat elke kamer een uniforme temperatuur heeft. In de eerste twee voorbeelden wor verondersteld dat er alleen warmteoverdracht is tussen de kamers onderling, niet naar buiten. In de overige voorbeelden is de buitenwereld gemodelleerd als een oneindig grote kamer, zodat deze een k van heeft. De temperatuur verandert dus niet. 4.1 Model AB Er wor gekeken naar het temperatuurverloop van twee aangrenzende identieke objecten A en B (zie figuur 1. De temperatuur van A en B worden respectievelijk weergegeven met T A en T B. Figuur 1: Twee aangrenzende identieke blokken A en B Er wor verondersteld dat elk blok op een bepaald tijdstip slechts een temperatuur kan 5 Warmtehuishouding woonhuis

7 hebben, ofwel de temperatuur in een blok is overal hetzelfde. Er gel dan: dt A = k(t A (t T B (t dt B = k(t B (t T A (t. Dit stelsel kan ook in matrixvorm geschreven worden: ( ( ( TA (t k k TA (t =. T B (t k k T B (t Dit kan worden opgelost met eigenwaarden en eigenvectoren. De karakteristieke vergelijking is k λ k k k λ = λ(λ + 2k =. Er zijn dus twee eigenwaarden, λ 1 = en λ 2 = 2k. De eigenruimte bij λ 1 : E = (1, 1 en bij λ 2 : E 2k = (1, 1. We vinden dan ( ( ( TA (t 1 1 c1 = T B (t 1 1 c 2 e 2kt waarin c 1, c 2 R. Als T A ( = T A en T B ( = T B, dan levert dit T A (t = T A + T B 2 + T A T B e 2kt 2 T B (t = T A + T B 2 T A T B e 2kt. 2 Als t dan T A T A+T B en T 2 B T A+T B ; de temperatuur van zowel blok A als blok B 2 gaat uiteindelijk (in het evenwicht naar het gemiddelde. Dit hadden we ook kunnen vinden door te bedenken dat in het evenwicht dt A = dt B =, waaruit volgt dat T A ( = T B ( = T A +T B. 2 In figuur 2 is voor k =, 36h 1, T A = 283K, T B = 293K, het temperatuurverloop van A en B getekend. 6 Warmtehuishouding woonhuis

8 T 292 A 29 B t Figuur 2: Temperatuurverloop blokken A en B 4.2 Model AB met warmtebronnen We beschouwen net als in het vorige model 2 aangrenzende blokken A en B, maar nu zijn de blokken niet identiek en hebben beide een warmtebron en verschillende constanten. Temperaturen van de blokken A en B worden weer aangegeven met T A en T B, de warmtebronnen geven we weer met Q A en Q B. Er gel nu: dt A = k 1 (T A (t T B (t + Q A dt B = k 2 (T B (t T A (t + Q B. De homogene differentiaalvergelijking lijkt erg op de differentiaalvergelijking uit het model zonder de warmtebronnen; de k s zijn vervangen door k 1 en k 2. Als we de homogene differentiaalvergelijking op een analoge manier oplossen vinden we: T A (t = T Ak 2 + T B k 1 k 1 + k 2 + k 1(T A T B k 1 + k 2 e (k 1+k 2 t T B (t = T Ak 2 + T B k 1 k 1 + k 2 + k 2(T B T A k 1 + k 2 e (k 1+k 2 t. We zoeken dus slechts nog een ( particuliere ( oplossing ( van de differentiaalvergelijking. ( We proberen ut + v + we (k 1+k 2 t u1 v1 w1 met u =, v = en w = als particuliere oplossing. Invullen geeft: u 2 ( k1 k u = 1 (ut + v + we (k 1 +k 2 t + Q, k 2 k 2 ofwel ( ( u1 (k 1 + k 2 w 1 e (k 1+k 2 t k1 (u u 2 (k 1 + k 2 w 2 e (k 1+k 2 t = 1 t + v 1 + w 1 e (k 1+k 2 t + k 1 (u 2 t + v 2 + w 2 e (k 1+k 2 t + Q A k 2 (u 1 t + v 1 + w 1 e (k 1+k 2 t k 2 (u 2 t + v 2 + w 2 e (k 1+k 2 t. + Q B v 2 w 2 7 Warmtehuishouding woonhuis

9 Hieruit volgt het stelsel: u 1 = k 1 v 1 + k 1 v 2 + Q A = k 1 u 1 + k 1 u 2 u 2 = +k 2 v 1 k 2 v 2 + Q B = +k 2 u 1 k 2 u 2 (k 1 + k 2 w 1 = k 1 w 1 + k 1 w 2 (k 1 + k 2 w 2 = k 2 w 1 k 2 w 2 v 1 + w 1 = (voorwaarde op t = v 2 + w 2 = (voorwaarde op t = u 1 = Q Ak 2 +Q B k 1 k 1 +k 2 u 2 = Q Ak 2 +Q B k 1 k 1 +k 2 v 1 v 2 = k 1(Qa Qb (k 1 +k 2 2 = k 2(Qb Qa (k 1 +k 2 2 w 1 w 2 = k 1(Qb Qa (k 1 +k 2 2 = k 2(Qa Qb (k 1 +k 2 2 Dus de oplossing van de differentiaalvergelijking is: T A (t = T Ak 2 + T B k 1 + k 1(T A T B e (k 1+k 2 t + Q Ak 2 +Q B k 1 k k 1 + k 2 k 1 + k 1 +k 2 t + k 1 k 1 +k 2 (Q A Q B (1 e (k 1+k 2 t 2 T B (t = T Ak 2 + T B k 1 k 1 + k 2 + k 2(T B T A k 1 + k 2 e (k 1+k 2 t + Q Ak 2 +Q B k 1 k 1 +k 2 t + k 2 k 1 +k 2 (Q B Q A (1 e (k 1+k 2 t. Als we t = invullen volgt inderdaad T A ( = T A en T B ( = T B. Merk op als Q A > of Q B > en t dan T A en T B. In dit geval gaat er geen warmte verloren en wor er constant warmte toegevoegd (Q A > of Q B >, dus is het logisch dat T A en T B als t. 4.3 Model ABC Er wor nu gekeken naar een model met 3 blokken: A, B en C. Blok A en C zijn net buiten het huis en hebben een constante temperatuur (bijvoorbeeld voor en achter het huis een 8 Warmtehuishouding woonhuis

10 verschillende constante temperatuur. Blok B stelt de lucht in een huis voor. Blok B bevat een warmtebron Q(zie figuur 3. Er gel nu: Figuur 3: Blokken A, B en C dt B = k 1 (T B (t T A k 2 (T B (t T C + Q. Dit is makkelijker op te lossen dan het stelsel differentiaalvergelijkingen uit Model AB, nu hebben we immers 1 vergelijking. Deze kan opgelost worden aan de hand van de integrerende factor methode. De differentiaal vergelijking kan als volgt herschreven worden: T B (t + T B(t (k 1 + k 2 = k 1 T A + k 2 T C + Q e (k 1+k 2 t T B (t + e(k 1+k 2 t T B (t (k 1 + k 2 = e (k 1+k 2 t (T A k 1 + T C k 2 + e (k 1+k 2 t Q ( e (k 1+k 2 t T B (t = e (k 1 +k 2 t (T A k 1 + T C k 2 + e (k 1+k 2 t Q e (k 1+k 2 t T B (t = T Ak 1 + T C k 2 k 1 + k 2 e (k 1+k 2 t + e (k 1+k 2 t Q k 1 + k 2 + d waarin d R. T B (t = T Ak 1 + T C k 2 k 1 + k 2 + Q k 1 + k 2 + d e (k 1+k 2 t Met de randvoorwaarde T B ( = T B levert dit: T B (t = T Ak 1 + T C k 2 k 1 + k 2 + Q k 1 + k 2 + T B (t = e (k 1+k 2 t waarin d R. ( T B T Ak 1 + T C k 2 k 1 + k 2 Q k 1 + k 2 e (k 1+k 2 t ( T B T Ak 1 + T C k 2 + T Ak 1 + T C k 2 + Q ( 1 e (k 1 +k 2 t. k 1 + k 2 k 1 + k 2 k 1 + k 2 In figuur 4 is T B (t getekend met k 1 =.2 h 1, k 2 =.5 h 1, T A = 278 K, T B = 293 K, T C = 283 K en Q = 2 K h Model ABCDE Er wor gekeken naar een blokmodel met 5 aangrenzende blokken (zie figuur 5. De blokken stellen een model van een huis voor, de blokken zijn niet identiek. Blok A en blok E zijn net buiten het huis en hebben constante temperatuur. Tussen zowel blok A en B als blok D en E 9 Warmtehuishouding woonhuis

11 32 T B t Figuur 4: Temperatuur blok B Figuur 5: Vijf aangrenzende blokken zit een muur van het huis. De blokken B, C en D zijn luchtblokken binnen het huis. In blok B staat een warmtebron Q. Er gel dan dt B dt C = k 1 (T B (t T A k 2 (T B (t T C (t + Q = k 2 (T C (t T B (t k 2 (T C (t T D (t dt D = k 2 (T D (t T C (t k 1 (T D (t T E. Dit stelsel differentiaalvergelijkingen is op een analoge manier op te lossen als gedemonstreerd in Model AB, maar dat oplossen gaat niet zo makkelijk met de hand. De eigenwaarden van een 3 x 3 matrix moeten dan gevonden worden, er moet dan dus een derdegraadsvergelijking in λ opgelost worden. Voor k 1 = 1 h 1, k 2 = 2 h 1, T A = T E = 283 K, T B = 283 K, T C = 288 K, T D = 293 K en Q = 3 K h 1 geeft dit (m.b.v. Mathematica de volgende oplossing: T B (t = e 3t ( e 1 2(7 33t + ( T C (t = T D (t e 1 2 (7 33t + ( e 1 2 (7+ 33t 33 = e 3t ( e 1 2(7 33t + ( e 1 2(7+ 33t 33 ( e 1 2(7+ 33t 33 Merk op dat in het evenwicht (t = : T B ( > T C ( > T D (. Dit is niet zo raar, want in blok B staat de warmtebron en blok C staat dichter bij blok B dan blok D bij blok B staat. 1 Warmtehuishouding woonhuis

12 T B C D t Figuur 6: Temperatuurverloop blokken B, C en D Om de temperaturen van de blokken in het evenwicht te weten te komen, was het oplossen van deze differentiaalvergelijking niet nodig. In het evenwicht verandert de temperatuur niet meer, dus gel dan dt =. Dit levert dan een stelsel vergelijkingen met als oplossing: T B ( = T Ek 1 k 2 +T A k 1 (2k 1 +k 2 +(2k 1 +k 2 Q 2k 1 (k 1 +k 2 T C ( = T Ak 1 +T E k 1 +Q 2k 1 T D ( = T Ek 1 (2k 1 +k 2 +k 2 (T A k 1 +Q 2k 1 (k 1 +k 2. Als we de waardes invullen, dan levert het inderdaad respectievelijk 285 K, op voor T B (, T C ( en T D (. K en 284 K 4.5 Blokmodel A 1,...,A 1 Een realistischer model dan het model met 5 blokken is een model met 1 blokken, A 1,...,A 1. Net als in het vorige model stellen de blokken aan de zijkant (blok A 1 en A 1 de plaatsen net buiten het huis voor en deze hebben weer een constante temperatuur. De blokken A 2 en A 9 hebben warmtebronnen respectievelijk Q 2 en Q 9. De differentiaalvergelijkingen zijn dan dt A2 = k 1 (T A2 (t T A1 k 2 (T A2 (t T A3 (t + Q 2 dt Ai = k 2 (T Ai (t T Ai 1 (t k 2 (T Ai (t T Ai+1 (t voor i = 3,..., 8 dt A9 = k 2 (T A9 (t T A8 (t k 3 (T A9 (t T A1 + Q Warmtehuishouding woonhuis

13 We kunnen dit stelsel ook als volgt opschrijven: + T A2 (t (k 1 + k 2 T A2 (t T A3 (t k 2 2k 2 k 2 T A3 (t T A4 (t k 2 2k 2 k 2 T A4 (t T A5 (t T A6 (t = k 2 2k 2 k 2 T A5 (t k 2 2k 2 k 2 T A6 (t T A7 (t k 2 2k 2 k 2 T A7 (t T A8 (t k 2 2k 2 k 2 T A8 (t T A9 (t k 2 (k 2 + k 3 T A9 (t k 1 T A1 + Q 2. k 3 T A1 + Q 9 aat A de vierkante matrix in de bovenstaande formule zijn en de I de 8x8 vierkante identiteitsmatrix zijn. Dit stelsel kan worden opgelost door een aplace-transformatie toe te passen. We noteren de aplace-transformatie van T Ai als T Ai = T i, dan is T A i = st i T Ai ( (zie bijlage aplace transformatie. Invullen geeft: T 2 T A2 ( T 2 k 1 T A1 + Q 2 T 3 T A3 ( T 3 T 4 T A4 ( T 4 s T 5 T 6 T A5 ( T A6 ( = A T 5 T s T 7 T A7 ( T 7 T 8 T A8 ( T 8 T 9 T A9 ( T 9 k 3 T A1 + Q 9 T A2 ( T 2 k 1 T A1 + Q 2 T A3 ( T 3 T A4 ( T 4 T A5 ( T A6 ( = (A s I T 5 T s T A7 ( T 7 T A8 ( T 8 T A9 ( T 9 k 3 T A1 + Q 9 In deze berekening gebruiken we dat de matrix (A s I inverteerbaar is. Deze matrix is inverteerbaar dan en slechts dan als gel: A s I =. Voor de determinant van (A s I vinden we A s I = 15k 1 k k k 1k 6 2 k k 7 2 k 3 =, want k 1, k 2, k 3 >. 12 Warmtehuishouding woonhuis

14 Hieruit vinden we dan een stelsel vergelijkingen waaruit T i bepaald kan worden: ( T A2 ( = (k 1 + k 2 + st k1 T s A1 + Q 2 T Ai ( = k 2 T i 1 (2k 2 + st i + k 2 T i+1 voor i = 3,..., 8 T A9 ( = (k 2 + k 3 + st s ( k3 T A1 + Q 9 Volgens kan de temperatuursfunctie T Ai (t bepaald worden door de laplace getransformeerde T i terug te transformeren. De oplossing voor bepaalde constantes zijn getekend in de figuren 7 en 8. In figuur 7 is de oplossing getekend voor dunne muren (k 1 = k 3 = 1 2 h 1, k 2 = 2 h 1, T A1 = T A1 = 283 K, T A2 = T A3 =... = T A9 = 293 K en een sterke verwarming in A 2 en een zwakkere in A 9 : Q 2 = 7 K h 1 en Q 9 = 2 K h 1. Dit gaat in de limiet naar een continu model. Figuur 7: Temperatuurverloop blokken A 1,...,A 1 Merk op dat de temperatuur erg snel naar de temperatuur in het evenwicht convergeert. In figuur 8 zijn dikkere muren gebruikt en is de verwarming lager gezet: k 1 =.5 h 1, k 3 =.1 h 1 en Q 2 = 1 2 K h 1 en Q 9 = 1 K h 1. Verder is k 2 = 2 h 1 en is in de begintoestand de temperatuur binnen net als buiten: 283 K. 13 Warmtehuishouding woonhuis

15 Figuur 8: Temperatuurverloop blokken A 1,...,A 1 5 Variabele buitentemperatuur In werkelijkheid is de temperatuur buiten niet constant, maar varieert met de tijd. In de middag zal het buiten het warmst zijn en s nachts wor de minimale temperatuur bereikt. In de warmtewet van Newton is de omgevingstemperatuur dan ook een functie in plaats van een constante. Een voor de hand liggende benadering is een sinus. Deze heeft de periodiciteit die in het echt ook voorkomt. Een combinatie van sinussen en cosinussen zou realistischer resultaten opleveren, maar zou ook de berekeningen moeilijker maken en de resultaten zouden lastiger te begrijpen worden. Vandaar de keuze voor een eenvoudige sinus. Definieer T omg (t = T gem + A sin ωt Hierin is T gem = de gemiddelde temperatuur of evenwichtsstand van de functie A = de amplitude ofwel de afwijking van de evenwichtsstand ω = frequentie (in s 1 die de periode van de sinus bepaalt t = de tijd (in s De sinus heeft periode 2π en er zitten = 864 seconden in een dag, dus zal ω de waarde 2π moeten hebben om de buitentemperatuur een periode van 24 uur te geven. 864 De warmtewet van Newton wor na invullen van de buitentemperatuur-functie: dt = k(t (t T omg (t = k(t (t T gem A sin ωt (3 Oplossingen van dit type differentiaalvergelijkingen zijn van de vorm homogene oplossingen + particuliere oplossing. De homogene oplossingen zijn weer e-machten: Ce kt. De particuliere oplossing zal waarschijnlijk een sinus en een constante term bevatten, net als de 14 Warmtehuishouding woonhuis

16 functie van de buitentemperatuur. Verder zal er een cosinus in de oplossing voorkomen, omdat de afgeleide van de sinus de cosinus is. Zowel sinus en cosinus zullen dezelfde periode als de buitentemperatuur hebben. Invullen in vergelijking (3 geeft als particuliere oplossing: T particulier (t = T gem + k2 A sin ωt ωk A cos ωt (4 ω 2 + k2 ω 2 + k2 Nu homogene oplossingen + particuliere oplossing en de voorwaarde T ( = T begin : T (t = Ce kt + T gem + k2 A sin ωt ωk A cos ωt (5 ω 2 + k2 ω 2 + k2 ( T (t = T begin T gem + ωk ω 2 + k A e kt + T 2 gem + k2 A sin ωt ωk A cos ωt (6 ω 2 + k2 ω 2 + k2 Ter controle de afgeleide van deze temperatuurfunctie: dt ( = k T begin T gem + En de andere kant van vergelijking 4: ωk ω 2 + k A e kt + ωk2 A cos ωt + ω2 2 ω 2 + k2 k A sin ωt (7 ω 2 + k2 k (T (t T gem A sin ωt ( = k( T begin T gem + ωk ω 2 + k A e kt + T 2 gem + k2 A sin ωt ω 2 + k2 ωk ω 2 + k A cos ωt T 2 gem A sin ωt ( = k T begin T gem + ωk ( k ω 2 + k A e kt 2 k 2 ω 2 + k 1 A sin ωt + ωk2 2 ( = k T begin T gem + ωk ω 2 + k A e kt + ωk2 A cos ωt + ω2 2 ω 2 + k2 k A sin ωt ω 2 + k2 A cos ωt ω 2 + k2 Beiden zijn gelijk, dus deze temperatuurfunctie voldoet aan de warmtewet van Newton. T 2 Binnen 18 Buiten t Figuur 9: Temperatuurfuncties voor binnen en buiten met t in uren en T in graden Celsius In afbeelding 9 is een plot te zien met de volgende waardes: T gem = 15, A = 5, ω = 2π 24, k =, De tijd wor dus in uren bekeken en de relatief kleine k-waarde geeft aan 15 Warmtehuishouding woonhuis

17 dat het huis behoorlijk geïsoleerd is. Daarom schommelt de temperatuur binnen (blauwe lijn tussen 13 en 17 graden Celsius, lang niet zo sterk als buiten (paarse lijn. De toppen van de temperatuurfunctie binnen liggen niet toevallig op de snijpunten van beide grafieken. In die snijpunten is er geen temperatuurverschil en dus ook geen temperatuurverandering. Interessant is de invloed van de constante k op de temperatuurfunctie. Voor zeer kleine k, bij extreme isolatie en nauwelijks warmte-uitwisseling, schommelt de temperatuur zeer weinig. Voor relatief grote k, corresponderend met een slechte isolatie en veel warmteuitwisseling, volgt de temperatuur binnen die van buiten sneller en schommelt meer. De variërende temperatuur buiten heeft dus minder invloed op een beter geïsoleerde kamer, zoals te verwachten. ( lim T (t = lim T begin T gem + k k = T begin lim T (t = lim k k ( T begin T gem + = T gem + A sin ωt = T omg ωk ω 2 + k A e kt + T 2 gem + k2 A sin ωt ωk ω 2 + k2 ωk ω 2 + k A e kt + T 2 gem + k2 A sin ωt ωk ω 2 + k2 A cos ωt ω 2 + k2 A cos ωt ω 2 + k2 Merk op dat k niet realistisch is, omdat de benodigde tijd om de temperatuur aan te passen dan naar gaat. In werkelijkheid duurt warmte-overdracht altijd even. Het is wel bemoedigend dat de formule dan ook T (t = T omg geeft. 6 Tocht Door drukverschillen buiten een huis kan er lucht gaan stromen door kieren in het huis. Deze tocht heeft invloed op de temperatuur in huis. Een eenvoudige modellering van dit verschijnsel is te kijken naar het volume lucht dat per tijdseenheid in en uit de kamer stroomt. Een deel lucht op kamertemperatuur wor vervangen door lucht met de temperatuur van buiten. Door een kier met oppervlakte A stroomt in t seconden lucht over een afstand. Het volume van deze lucht is A. Per seconde stroomt dus A kubieke meter lucht weg. De lucht stroomt t met snelheid v = en dus A = Av. Het totale volume in de kamer verandert niet, dus gel: t t A in v in = A uit v uit = ξ (8 Veronderstel dat de dichtheid van lucht in dit model constant is. In werkelijkheid hangt de dichtheid van lucht af van de temperatuur, maar deze aanname zorgt voor behoud van het totale volume en de totale massa in de kamer. Vermenigvuldigen met de dichtheid van lucht levert namelijk dat de totale massa ook behouden blijft: ρ A in v in = ρ A uit v uit = ρξ. Hierin is ρξ de massa die per seconde vervangen wor. De eenheden kloppen: [ρ][ξ] = [ρ][a][v] = kg m 3 m 2 m s = kg s 16 Warmtehuishouding woonhuis

18 A t Figuur 1: Blok lucht dat wegstroomt door tocht Er komt even veel massa bij als er wegstroomde, maar er is wel een verschil in energie tussen beide massa s. ucht uit de kamer heeft de temperatuur van de kamer en lucht van buiten heeft de buitentemperatuur. De totale energie in het systeem verandert dus: d E Invullen van e = c p T : = m tot d e = m ine in m uit e uit = ρ A in v in e in ρ A uit v uit e uit (9 m tot c p d T = ρ A inv in c p T omg ρ A uit v uit c p T binnen (1 Nu komt vergelijking (8 van pas: dt = ρξ m tot (T binnen T omg (11 Neem γ = ρξ m tot, dan is de bijdrage van tocht aan de temperatuurverandering: dt = γ (T binnen T omg (12 Omdat ρ constant is verondersteld, is γ als volgt te interpreteren: γ = massa die per seconde vervangen wor totale massa in de kamer = volume dat per seconde vervangen wor totale volume in de kamer (13 Hoe kleiner γ, hoe minder temperatuurverandering door tocht per tijdseenheid. γ kan kleiner gemaakt worden door het oppervlak van de kier te verkleinen, de stroomsnelheid van de lucht te verminderen of de kamer groter te maken. Kieren dichtstoppen is hiervan verreweg de makkelijkste oplossing. Maar wanneer is tocht een factor van belang? In hoofdstuk 8 wor hierop ingegaan. 17 Warmtehuishouding woonhuis

19 7 Warmtestroom door muren/ramen Voor het eenvoudige model op basis van de wet van Newton wor verondersteld dat het temperatuurverloop in de muren lineair is. Verandert er buiten iets, dan merk je dat binnen direct. Die aanname is redelijk als de veranderingen relatief langzaam gaan en de muur dun is. Onder deze aanname is een hele wand of kamer met meerdere isolerende lagen en met ramen te vatten in één k-waarde. ater wor in meer detail gekeken naar warmteuitwisseling via de muur. 7.1 Warmtestroom door muur bestaande uit meerdere lagen (serie Een muur in een normaal woonhuis bestaat niet uit slechts een laag baksteen of beton; er worden meerdere lagen gebruikt. We bekijken de warmtestroom door een muur bestaande uit meerdere lagen, waarbij verondersteld wor dat de binnen en buitentemperatuur constant zijn. Er wor gekeken naar een muur bestaande uit 3 verschillende lagen van verschillende diktes (d 1, d 2 en d 3. De drie lagen hebben alledrie een eigen warmteoverdrachtscoëfficient: λ 1, λ 2 en λ 3, zie figuur 11. Met de formule voor warmtestroom op pagina 42 uit de bijlage: Figuur 11: Warmtestroom door muur bestaande uit 3 lagen q = λ 1 A d 1 (T binnen T 1 q = λ 2 A d 2 (T 1 T 2 q = λ 3 A d 3 (T 2 T buiten. 18 Warmtehuishouding woonhuis

20 Het stelsel vergelijkingen uit (7.1 kan herschreven worden tot: T binnen T 1 = q A d1 λ 1 T 1 T 2 = q A d2 λ 2 T 2 T buiten = q A d3 λ 3. Het optellen van deze drie vergelijkingen levert: T binnen T buiten = q A hieruit volgt dan voor de warmtestroom q: ( d1 + d 2 + d 3 λ 1 λ 2 λ 3 q = A(T binnen T buiten. 3 d i i=1 λ i Dit resultaat kan eenvoudig gegeneraliseerd worden naar n lagen, dan is de warmtestroom q: q = A (T binnen T buiten 1 = n d i 1 n d i (T binnen T buiten. (14 A λ i=1 i λ i=1 i Merk op dat de warmteweerstand R als vervangingsweerstand voor meerdere lagen in serie gegeven wor door: R = 1 n d i n = R i. (15 A λ i i=1 i=1 7.2 Totale warmtestroom door muren en ramen (parallel Net als in Warmtestroom door muur bestaande uit meerdere lagen (serie kan een vervangingswaarde voor de constantes gevonden worden, als de lagen parallel geschakeld worden. Er worden gekeken naar de warmtestroom door verschillende lagen naast elkaar (parallel, dus bijvoorbeeld een muur met daarin een raam. De lagen hebben verschillende oppervlakte (A, dikte (d en warmteoverdrachtscoëfficient (λ. De warmtestroom naar buiten, q, door laag i wor weer gegeven door vergelijking (37 op pagina 42: q = λ i A i d i (T binnen T buiten. Dit gel voor elke laag i, dus als er n lagen zijn wor de totale warmtestroom naar buiten gegeven door: n λ i A i q = (T binnen T buiten. (16 d i i=1 19 Warmtehuishouding woonhuis

21 Merk op dat de warmteweerstand R als vervangingsweerstand voor meerdere parallele lagen gegeven wor door: R = 1 n λ i A i d i i=1 = n i=1 1 1 ( di λ i A i = 1 n i=1 1 R i. (17 8 Model op basis van de warmtewet van Newton Het hele model met warmtebron en tocht wor beschreven met de volgende vergelijking: dt = k ( T T omg γ ( T Tomg + Q (18 Door dt = te stellen, kan uitgerekend worden wat het eindniveau van de temperatuur wor. Omgekeerd kan iedere gewenste constante temperatuur bereikt worden door Q aan te passen. Als de warmtebron op een bepaald moment net zo veel energie toevoegt als er door de muren en door tocht wor verloren, blijft de temperatuur constant. Het model kan ook in de vorm van de oorspronkelijke warmtewet opgeschreven worden: ( ( ( dt = (k + γ T T omg + Q (19 k + γ Q k+γ Volgens dit model is de situatie met warmtebron identiek aan de situatie zonder warmtebron maar met een omgevingstemperatuur die K hoger is. Een daling in de omgevingstemperatuur met 1 K kan dus volledig teniet gedaan worden door een warmtebron die K aan warmte afgeeft. Q k+γ meer Bovendien heeft beperking van de tocht (verlaging van γ hetzelfde effect als betere isolatie (verlaging van k als de verlaging van γ of k even groot is. Tocht is een belangrijke factor als niet te klein is. γ k 2 Warmtehuishouding woonhuis

22 9 Wet van Fourier In dit deel van het verslag wor het temperatuurverloop in de muur nader bekeken. Als de buitenkant van de muur opwarmt of afkoelt, hoe lang duurt het dan totdat daar binnen iets van te merken is? Bij dunne muren zal dat vrijwel direct zijn, bij dikke muren zoals van een bunker kan dat heel lang duren. De wet van Newton zegt niets over plaatsafhankelijkheid van de temperatuur en dus gebruiken we de wet van Fourier: u t ku xx = (2 Deze wet geeft een verband tussen de afgeleide naar de tijd en de tweede afgeleide naar de plaats van een temperatuurfunctie u(x, t. Als de tweede afgeleide in een punt positief is, zal de temperatuur daar stijgen, is de tweede afgeleide negatief, dan zal de temperatuur dalen. Hoe groter de tweede afgeleide, hoe sneller de temperatuur verandert. Dit verband geeft aan dat scherpe pieken en dalen snel uitvlakken. Als er geen grote schommelingen in de temperatuur zijn, zal de verandering veel langzamer gaan. Is er ook een stabiele toestand? In dat geval verandert de temperatuur niet meer met de tijd, ofwel u t =. Maar dan moet gelden u xx =. Als de temperatuurfunctie een rechte lijn is, zal de temperatuur dus niet meer veranderen. Er zal blijken dat het temperatuurverloop inderdaad convergeert naar een rechte lijn. Wanneer die convergentie heel snel gaat, was de aanname van een lineair verloop misschien voldoende. Bij relatief langzame convergentie vergeleken met andere effecten moet het verloop in de muren wel meegenomen worden. Vanuit een bepaalde begintoestand willen we het temperatuurverloop op latere tijdstippen kunnen voorspellen. Dat wor in dit verslag op twee manieren gedaan. De eerste manier is door de begintoestand te benaderen met Fourierreeksen, de tweede manier is het numeriek benaderen van het probleem in een simulatie. Beide manieren hebben hun voor- en nadelen, en samen geven ze meer inzicht in warmtediffusie. 1 Fourierreeksen De eerste aanpak gaat met behulp van Fourierreeksen. De aanpak is om een algemene oplossing van vergelijking (2 te zoeken van de vorm u(x, t = X (x T (t, dus een oplossing die het product is van een functie van x en een functie van t. Zo n gescheiden oplossing is makkelijk, want uit de begintoestand kunnen we X (x bepalen. Aan T (t is dan te zien hoe groot de veranderingen in temperatuur op een tijdstip zijn. Merk verder op dat elke lineaire combinatie van oplossingen weer een nieuwe oplossing is. Daarmee kan een hele familie van eenvoudige oplossingen bepaald worden. Vervolgens kiezen we de oplossing die de begintoestand het beste benadert. Het stelsel dat we willen oplossen is: u t = ku xx, < x <, t > u(x, = f (x, x 21 Warmtehuishouding woonhuis u(, t = T, u(, t = T, t >,

23 waarbij f (x differentieerbaar en f ( = T en f ( = T. Een mogelijke temperatuurfunctie is weergeven in figuur 12. u 1 u x, 8 T 6 4 T x Figuur 12: Een mogelijke temperatuurgrafiek op t = De stationaire oplossing u s is (t = : ( T T u s (x = x + T. Definieer v(x, t := u(x, t u s (x. Dan volgt dat v t = u t, v xx = u xx en v(x, = f (x u s (x =: g(x. Zodat het stelsel equivalent is aan: v t = kv xx, < x <, t > v(x, = g(x, x v(, t = = v(, t, t >. De beginsituatie na transformatie is weergeven in figuur 13. We proberen als oplossing: v(x, t = X (x T (t. Dan volgt dat v t (x, t = X (xt (t en v xx (x, t = X (xt (t. We vinden dan T (t kt (t = X (x X (x. Merk op dat de linkerkant alleen van t afhangt en de rechterkant alleen van x afhangt. Omdat t en x onafhankelijk zijn, volgt dan dat ze gelijk moeten zijn aan een constante. Noem deze constante λ. Dus dan gel: ofwel T (t kt (t = λ en X (x X (x = λ, T (t + λkt (t = en X (x + λk X (x =. De eerste differentiaalvergelijking heeft als algemene oplossing T (t = Ce λkt. Nu zoeken we dus nog een oplossing van X + λx = met randvoorwaarde X ( = X ( =. We 22 Warmtehuishouding woonhuis

24 v v x, x 2 4 Figuur 13: Een mogelijke temperatuurgrafiek na transformatie op t = onderscheiden nu 3 gevallen: i : λ =, ii : λ <, iii : λ >. Geval i: X (x = X (x = ax + b met a, b R. Uit de randvoorwaarde volgt nu dat X (x =, zodat v(x, t =. Hierin zijn we niet geïnteresseerd. Geval ii: Noem λ = r 2, dan zoeken we een oplossing voor X r 2 X =. Probeer als oplossing X (x = Ce λx, met C R. Het wor dan Zodat de algemene oplossing wor Invullen van de randvoorwaarden geeft Cλ 2 e λx Cr 2 e λx = λ = ±r. X (x = C 1 e r x + C 2 e r x met C 1, C 2 R. = X ( = C 1 + C 2 = X ( = C 1 e r + C 2 e r, waaruit volgt dat C 1 (e r e r =. Omdat r = vinden we dat C 1 = C 2 = zodat weer X (x =. Geval iii: Noem λ = ω 2, dan X + ω 2 X =. Dit heeft als algemene oplossing: X (x = a cos(ωx + b sin(ωx met a, b R. Uit de randvoorwaarde volgt dan dat a = en b sin(ω =, zodat sin(ω =. We vinden dan dat ω = nπ met n Z. Dit levert op λ n = ω 2 = n2 π 2 2 ( nπ x X n (x = b sin. 23 Warmtehuishouding woonhuis

25 Hieruit volgt ook dat De totale oplossing wor dan: T n (t = C n e λ nkt v(x, t = n= = C n e n2 π 2 2 kt. C n e n2 π 2 2 kt sin ( nπ x. (21 Om aan te tonen dat deze reeks uniform convergent is, gebruiken we het M-criterium. We nemen hierbij aan dat n C n begrensd is. ( Definieer Y n (x := C n e n2 π 2 2 kt nπ x sin. Merk op dat e π2 2 kt < r < 1 voor zekere r R + zodat e n2 π 2 2 kt < r n2 < 1. Dan vinden we: Y n < C n r n2. Om te laten zien dat de reeks C n r n2 convergent is, maken we gebruik van het wortelcriterium: lim n n C n r n2 = lim n n= n Cn r n = < 1 is begrensd. Volgens het M-criterium is nu de reeks C n r n2 is convergent (want n C n n= Y n (x uniform convergent. Voor elke verzameling constanten C n is dit een oplossing van de differentiaalvergelijking. Nu moeten we alleen nog waarden voor C n bepalen zodat (21 op tijdstip t = aan de beginconditie voldoet. Invullen van de beginconditie v(x, = g(x levert g(x = v(x, = n= ( nπ x C n sin n=1 We berekenen de volgende integraal met p Z vast. 2 ( pπ x g(x sin = 2 ( nπ x C n sin n=1 ( = 2 ( nπ x C n sin n=1 dx sin sin. ( pπ x ( pπ x dx dx. Om het gelijkteken ( = te mogen gebruiken, moeten we aantonen dat de reeks uniform convergeert, zodat we integratie en sommatie mogen verwisselen. Dit gaat ( weer op eenzelfde nπ x ( pπ x manier als zojuist beschreven: het M-criterium. We gebruiken dat sin sin 1 en dat n C n begrensd is. Om dit verder uit te rekenen, moeten we dus de volgende integraal berekenen: 24 Warmtehuishouding woonhuis ( nπ x sin sin ( pπ x dx.

26 Als p = n dan is de integraal als volgt te berekenen 1 ( ( (n pπ x (n + pπ x cos cos 2 = 1 ( (n pπ x 2 (n pπ sin =, want n, p Z. dx (n + pπ sin ( (n + pπ x Als p = n dan staat er Zodat We vinden dus dat: ( nπ x sin C p = 2 ( sin 2 nπ x dx = 2. sin ( pπ x ( pπ x g(x sin { p = n dx = p = n. 2 dx p Z. (22 Beschouw het volgende stelsel: v t = 1 1 v xx, < x < 1, t > v(x, = 4x 2 + 4x, x 1 v(, t = = v(1, t, t >. In figuur 14 is de beginsituatie (t = getekend. 1. v.8 v x, x Figuur 14: Temperatuur op t= We verwachten natuurlijk dat naarmate de tijd verstrekt, de temperatuur grafiek afplat. Immers de randen (x = en x = 1 zijn constant en er wor geen energie toegevoegd. Dit 25 Warmtehuishouding woonhuis

27 v v x, v x,3 v x,6 v x,9 v x,12 v x,15 v x, x Figuur 15: Temperatuur op tijdstip t is ook te zien in de exacte oplossing: met C n = 2 1 v(x, t = n= C n e n2 π 2 1 t sin (nπ x, (23 ( 4x 2 + 4x sin (nπ x dx. Als t toeneemt wor de temperatuur v(x, t afplat door de e-macht. In figuur 15 is de oplossing weergeven voor een aantal waarden van t. Beschouw nu het volgende voorbeeld. Stel dat de buitenmuur van een huis een constante temperatuur heeft. Als de zon die op de buitenmuur schijnt ineens achter een wolk komt, zal de temperatuur van de muur aan de buitenkant in een korte tijd snel dalen. In figuur 16 is zo n situatie weergegeven. De positie x = 1 stelt de binnenzijde van de buitenmuur voor, x = stelt de buitenzijde van buitenmuur voor. De gebruikte functie die de temperatuur van de buitenmuur op t = voorstelt is u(x, = x x log x. Als de binnen en buitentemperatuur niet verder veranderen, dan zal zich een evenwicht instellen. We weten al voordat we iets uitgerekend hebben hoe het evenwicht eruit zal zien: u(x, = x. Maar we weten nog niet hoe de temperatuur grafiek zal convergeren naar het evenwicht. Het stelsel dat we nu willen oplossen is (kies k = 1 1 : u t = 1 1 u xx, < x < 1, t > u(x, = x x log x, x 1 u(, t =, u(1, t = 1, t >, (24 Omdat de temperatuur op de randen niet gelijk aan is, passen we de transformatie v(x, t := u(x, t x toe. In figuur 17 is de temperatuurfunctie v(x, weergegeven. 26 Warmtehuishouding woonhuis

28 u 1..8 u x, x Figuur 16: Temperatuur buitenmuur op tijdstip t= v v x, x Figuur 17: Temperatuurfunctie na transformatie op tijdstip t= Dit levert dan het volgende stelsel waarbij wel gel dat de temperatuur op de randen gelijk aan is. v t = 1 1 v xx, < x < 1, t > v(x, = x x log x x = x log x, x 1 De oplossing van dit stelsel is v(, t = = v(1, t, t >. v(x, t = n= C n e n2 π 2 1 t sin (nπ x, (25 27 Warmtehuishouding woonhuis

29 met C n = 2 1 ( x log x sin (nπ x dx. De temperatuurfunctie v(x, kan worden benaderd door de som niet tot oneindig te laten lopen, maar op een gegeven moment af te breken: v M (x, M C n sin (nπ x, waarbij M N +. n= Het zal duidelijk zijn dat hoe groter men M kiest hoe beter de benadering zal zijn. In figuur 18 is de temperatuurfunctie v M (x, voor verschillende waarden van M getekend. v x, v 1 x, v 1. v 2 x, v 3 x,.8.6 v 4 x, v 5 x, v 6 x, x Figuur 18: Temperatuurfunctie v(x, voor verschillende waarden van M De oplossing van het stelsel voor M = 15 voor verschillende waarden van t is weergegeven in figuur 19. Merk op dat voor kleine t de temperatuurgrafiek v(x, t alleen aan de linkerkant verandert, links verdwijnt de bult snel maar rechts gebeurt niets. Dit is te verklaren door het feit dat aan de rechterkant bij x = 1 de v(x, t-grafiek bij benadering een rechte lijn is. Immers v xx (x, t is dan bijna gelijk aan, zodat er geen verandering optree. Merk ook op dat dit komt omdat de stationaire oplossing van dit stelsel een rechte lijn is. We zien dat de convergentiesnelheid van de reeks v M (x, niet erg hoog is. Voor t > is in figuur 19 te zien dat er geen schommelingen meer in de temperatuurgrafiek te zien zijn. 28 Warmtehuishouding woonhuis

30 v x, v 15 x, v 15 x,1 v 1. v 15 x,2.8 v 15 x,5 v 15 x, x Figuur 19: Temperatuurfunctie v 15 (x, voor verschillende waarden van t Hier lijkt de convergentiesnelheid wel erg hoog. We berekenen: v(x, t v M (x, t µ:= π2 kt 2 = y:= µn = = = n=m+1 2 C n e n2 π 2 2 kt g(x dx 2 g(x dx 2 g(x dx 1 2 µ n=m+1 M M g(x dx e n2 π 2 2 kt e n2 π 2 2 kt dn e n2µ dn µm e y2 dy π g(x dx erfc( µm µ π g(x dx erfc( µm µ 29 Warmtehuishouding woonhuis

31 waarin we gebruik hebben gemaakt van het feit dat en dat C n 2 g(x dx erfc(x := 1 erf(x = 2 e ξ 2 dξ. π Omdat de erfc-functie erg snel afneemt naarmate de M toeneemt, concluderen we dat (voor normale beginvoorwaarde de convergentiesnelheid voor t > van de fourierreeks erg hoog is. x 11 Simulatie De manier waarop warmte overgedragen wor kan ook gesimuleerd worden. Het idee is dat de ruimte wor opgedeeld in kleine vakjes van breee x. Ook de tijd loopt met discrete stapjes t. Vervolgens kan door de computer voor elk vakje na elk tijdstapje de temperatuur berekend worden. De temperatuur in vakje i op tijdstip n geven we aan met ui n. Het resultaat van de simulatie is een matrix ter grootte [aantal vakjes] [aantal tijdstappen] met temperaturen. Deze losse punten vormen samen een benadering voor het continue probleem. Naarmate x en t kleiner worden, verwacht je een betere benadering dimensionaal in de plaats Warmtediffusie moet voldoen aan de wet van Fourier: u t ku xx = De afgeleiden kunnen benaderd worden met behulp van Taylorreeksen: u(t t = u(t u (t t + u (t( t u (t( t 3 + O( t 4 u u(t u(t t (t = + O( t, t waarbij O( t een functie aangeeft die begrensd is door een constante maal t. u(x + x = u(x + u (x x + u (x( x u (x( x 3 + O( x 4 u(x x = u(x u (x x + u (x( x u (x( x 3 + O( x 4 u (x = Met de notatie u n i krijgen we u (n t un i u n 1 i t u (i x un 1 i 1 2un 1 i ( x 2 3 Warmtehuishouding woonhuis u(x x 2u(x + u(x + x ( x 2 + O( x 2 + u n 1 i+1 (achterwaartse differentie (centrale tweede differentie

32 Door de termen van O( t en O( x 2 af te kappen, ontstaat een benadering. Deze benadering heeft een afbreekfout T ( t, ( x 2. Kleinere t en x verkleinen de fout. Uiteindelijk wor de benaderde wet van Fourier: u n i u n 1 i t k un 1 i 1 2un 1 i + u n 1 i+1 = ( x 2 En dus is, met behulp van de temperaturen op tijdstip n 1 in een vakje en de buurvakjes, ook de temperatuur op tijdstip n te berekenen. Alleen de begintoestand is nodig om de rest van de matrix te vullen. Gaat dit altijd goed? Definieer s := k t ( x 2. ui n = u n 1 i + k t ( x 2 (un 1 i 1 2un 1 i + u n 1 i+1 = (1 2su n 1 i = (1 2su n 1 i + s(u n 1 i 1 + un 1 i+1 + 2s un 1 i 1 + un 1 i+1 2 Bij warmtediffusie vlakken pieken en dalen uit totdat een lineair verloop ontstaat. ui n moet dus dichter bij het gemiddelde van de temperaturen in de twee buurvakjes komen te liggen na een tijd t. Dat geeft de conditie 2s < 1 ofwel s = k t < 1. Voor een stabiel systeem ( x 2 2 is het dus van belang dat t voldoende klein is ten opzichte van ( x 2. Om de ruimte in 1 keer zo kleine vakjes op te kunnen delen moeten de tijdstapjes 1 keer zo klein worden! De hoeveelheid rekenwerk neemt snel toe als je een betere benadering wilt krijgen. MSE n Figuur 2: Mean squared error voor verschillende aantallen punten in de simulatie voor beginfunctie u = sin(π x op t = 1. Met behulp van Fourierreeksen kunnen we de exacte oplossing bepalen voor beginfunctie u = sin(π x op tijdstip t = 1. Daarmee kunnen we dus de fout die de simulatie maakt benaderen. Kies k =.1 en t =.4. Varieer nu het aantal punten n in de simulatie ( x = 1/n en bereken de Mean Squared Error (MSE. Daarvoor gel 31 Warmtehuishouding woonhuis MSE = 1 n+1 (u benaderd (i u exact (i 2. n + 1 i=1

33 In figuur 2 is voor diverse n de MSE uitgezet op een loglog-schaal. Voor n 5 is dit een rechte lijn met helling ongeveer 2, want de dominante term in de fout is dan ( x 2. Voor n > 1 zijn ( x 2 en t van dezelfde ordegrootte en dan begint de fout in de tijdstapjes mee te spelen. Bovendien is het temperatuurverschil tussen buurcellen dan zo klein, dat ook het afronden van java belangrijk wor. Als de verschillen tussen buurcellen te klein worden voor het aantal decimalen dat java gebruikt, werkt de iteratiestap slecht. Dit veroorzaakt de enorme stijging in de MSE van n = 1 naar n = 5. Paradoxaal genoeg moet x dus niet te klein worden om de fout te minimaliseren. Natuurlijk kan de simulatie ook gebruikt worden om de aanpak met Fourierreeksen te verifieren en andersom. Het voorbeeld van de functie v = x log x is ook uitgevoerd in de simulatie met t =, 25, x =, 5 en k =, 1. Merk op dat voldaan is aan de stabiliteitsconditie, k t < 1. Dit levert figuur 21. Vergelijk deze met figuur 19, te zien is dat ( x 2 2 beide aanpakken hetzelfde temperatuurverloop laten zien. v x Figuur 21: Temperatuurfunctie v simulatie (x, voor verschillende waarden van t Toch is er natuurlijk een verschil tussen de Fourierreeks die afgekapt is na 15 termen en de numerieke simulatie. Dit verschil op t = 2 en t = 1 is te zien in figuur 22. De fout is het grootst op t = 2 rond.1 < x <.2. Al eerder was te zien dat de Fourierreeks de functie daar niet zo goed benaderde op t = (Figuur 18. Voor grotere t (bijvoorbeeld t = 1, wor de fout kleiner. De simulatie voorspelt dan iets langzamere convergentie dan de afgekapte Fourierreeks. Het verschil is ongeveer van de orde 1 5 graad, dus niet iets om wakker van te liggen dimensionaal in de plaats Een groot voordeel van het simuleren van de heat equation, is dat het eenvoudig kan worden uitgebreid naar 3 dimensies in de plaats. Hiervoor gebruiken we de wet van Fourier in 3 dimensies: ( u 2 t k u x + 2 u 2 y + 2 u =. (26 2 z 2 32 Warmtehuishouding woonhuis

34 Err x x Figuur 22: Fourier - simulatie voor de functie v = x log x op t = 2 (rood en t = 1 (blauw. Er is nu dus een warmteflux in zowel de x, y als z richting. We verdelen de 3 dimensionale ruimte in kleine blokjes met afmetingen x y z. De tijd loopt nog steeds met discrete stapjes t. We noteren de temperatuur van het i, j, l e blokje in de respectievelijk x, y, z-richting op tijdstip n met u n i, j,l. We vinden dan: u (n t un i, j,l un 1 i, j,l t u (i x un 1 i 1, j,l 2un 1 i, j,l + un 1 i+1, j,l ( x 2 u ( j y un 1 i, j 1,l 2un 1 i, j,l + un 1 i, j+1,l ( y 2 u (l z un 1 i, j,l 1 2un 1 i, j,l + un 1 i, j,l+1 ( z 2 (achterwaartse differentie (centrale tweede differentie in de x-richting (centrale tweede differentie in de y-richting (centrale tweede differentie in de z-richting. Merk op dat de temperatuur van een blokje nu afhangt van de 6 aangrenzende buren en zijn vorige temperatuur. De benaderde wet van Fourier wor nu dan: ui, n j,l ( un 1 i, j,l u n 1 i 1, j,l k 2un 1 i, j,l + un 1 i+1, j,l + un 1 i, j 1,l 2un 1 i, j,l + un 1 i, j+1,l + un 1 i, j,l 1 2un 1 i, j,l + un 1 i, j,l+1 = t ( x 2 ( y 2 ( z 2 We nemen de stapgrootte in de plaats voor alledrie de richtingen gelijk ( x = y = z. Net als in het 1 dimensionaal geval vinden we een uitdrukking voor de temperatuur van blokje 33 Warmtehuishouding woonhuis

35 u n i, j,k (we gebruiken weer s = k t ( x 2 : u n i = u n 1 i, j,l + k t ( x 2 (un 1 i 1, j,l 2un 1 i, j,l + un 1 i+1, j,l + un 1 i, j 1,l 2un 1 i, j,l + un 1 i, j+1,l + un 1 i, j,l 1 2un 1 i, j,l + un 1 i, j,l+1 = (1 6su n 1 i, j,l + s(un 1 i 1, j,l + un 1 i+1, j,l + un 1 i, j 1,l + un 1 i, j+1,l + un 1 i, j,l 1 + un 1 i, j,l+1 = (1 6su n 1 un 1 i 1, j,l i, j,l + 6s + un 1 i+1, j,l + un 1 i, j 1,l + un 1 i, j+1,l + un 1 i, j,l 1 + un 1 6 i, j,l+1 De temperatuur in een kamer kunnen we visualiseren door elk blokje afhankelijk van zijn temperatuur een kleur te geven. Het model bestaat uit 1 kamer in de vorm van een kubus. Aan de randen van de kamer zitten muren en buiten die muren is de buitenlucht. We veronderstellen dat de buitenlucht een constante temperatuur heeft. Aan elk blokje geven we een k-waarde. De blokjes aan de rand, dus de muren, hebben een erg lage k-waarde. De andere blokje midden in de kamer hebben een hogere k-waarde. Dus de muren houden de warmte dus goed vast. Aan het model voegen we een verwarming toe. De verwarming hou niet een aantal blokjes op constante (hoge temperatuur, maar voegt aan een aantal blokjes extra warmte toe. In figuur 23 is dezelfde kamer na een aantal tijdseenheden weergegeven. De temperatuur is dan dicht naar de evenwichtssituatie genaderd. Net zoals we in het 1 dimensionaal model. Figuur 23: Evenwichtssituatie in een kamer met verwarming gezien hebben, is dit systeem niet altijd stabiel. Het systeem is stabiel als voor elk blokje 34 Warmtehuishouding woonhuis

36 de vorige temperatuur wor meegenomen. We vinden dan dus als stabiliteitsvoorwaarde < 1 6s < 1 ofwel < s < 1 6. Als we bijvoorbeeld kiezen: s = 1, dan is het systeem zeker 5 niet stabiel. In figuur 24 zien we het resultaat van het programma voor s = 1 5. Figuur 24: Onstabiel systeem 35 Warmtehuishouding woonhuis

37 12 Fourier versus simulatie Er zijn nu twee methodes besproken om het probleem aan te pakken. Maar waarom is één aanpak niet genoeg? Een voordeel van de simulatie is dat er eenvoudig een warmtebron toegevoegd kan worden. Dat kan bijvoorbeeld door één cel altijd op constante temperatuur te houden. Ook de temperaturen aan de rand hoeven niet voortdurend te blijven. Dit kan iedere andere constante zijn of zelfs een variabele waarde hebben. Bovendien is de simulatie ook 3-dimensionaal uit te breiden. Bij Fourierreeksen is een warmtebron toevoegen moeilijk of ronduit onmogelijk. Bovendien is er bij Fourierreeksen eerst een transformatie nodig om aan de rand constante temperatuur te krijgen. Daarna moeten dan veel integralen uitgerekend worden en is het nodig om een oneindige reeks af te kappen. Wat overblijft is dus ook maar een benadering. Toch is er een goede reden om Fourierreeksen te gebruiken. Fourierreeksen geven meer inzicht in warmtediffusie. De simulatie blijft een black box, waar wat getallen in worden gestopt en even later grafiekjes uitkomen. De gebruiker moet zelf nadenken of de simulatie wel in de buurt van de werkelijkheid komt. Een goed voorbeeld hoe het mis kan gaan, is te zien als niet wor voldaan aan de stabiliteitsconditie k t < 1 ( x 2 2. In figuur 25 staat mogelijke uitvoer. Daarom zijn Fourierreeksen ook belangrijk om de simulatie te controleren. v x Figuur 25: Resultaat van simulatie die niet aan de stabiliteitsconditie voldoet 13 Resultaten In dit hoofdstuk zal bestudeerd worden hoe Fourierreeksen het begrip voor het probleem kunnen vergroten. De simulatie zal handig blijken om lastigere situaties te bekijken. 36 Warmtehuishouding woonhuis

38 13.1 Insteltijd Bekijk nog eens de standaard gedaante van de oplossingen met Fourierreeksen. v(x, t = n= ( C n e n2 π 2 2 kt nπ x sin Voor t gaat de hele uitdrukking naar, de stationaire toestand is de nulfunctie. Als er getransformeerd was met v(x, t = u(x, t u s (x, blijkt dit te corresponderen met een lineair verloop tussen de twee randpunten. Hoe lang duurt het voordat dit lineaire verloop zich heeft ingesteld? De sinussen worden snel gedempt met snelheid e n2 π 2 2 k. Hoe groter n, hoe sneller de term naar convergeert. We zagen al eerder dat scherpe pieken veel sneller uitvlakken dan brede pieken. De dominante term is dus de term voor n = 1, alle andere termen gaan veel sneller naar. Aan e kπ2 2 t is te zien hoe snel het systeem naar de stabiele toestand convergeert. Dikke muren (grote met veel isolatie (kleine k doen er veel langer over om in stabiele toestand te raken. Het evenwicht is ongeveer ingesteld als er nog maar 5% van de oorspronkelijke pieken over is. Dit correspondeert met een factor e ofwel t = 2. Deze tijd totdat kπ 2 het evenwicht zich ongeveer heeft ingesteld noemen we de insteltijd. De insteltijd geeft aan of warmteopslag in muren van belang is. Als de muren bijvoorbeeld een insteltijd van 1 seconden hebben, terwijl de temperatuur buiten er uren over doet om te veranderen, kan het temperatuurverloop in de muren gerust verwaarloosd worden. In een bunker of kasteel met metersdikke muren kan de insteltijd in de muren veel langer zijn en dan moet het warmteverloop in de muren wel gemodelleerd worden. Het meenemen van het effect van de muren heeft een demping van temperatuurveranderingen tot gevolg. De kamer opwarmen gaat langzamer, want de muren zijn nog kouder. Plaatselijk wor de helling van de temperatuurfunctie aan de binnenkant van de muur steiler, dus is er meer warmteflux. Omgekeerd gaat afkoelen door een tochtvlaag ook minder snel, nu omdat de helling juist minder steil wor en er dus minder warmteflux is. Als de verwarming langere tijd aan is of er is langere tijd tocht, verandert de temperatuur in de kamer wel terwijl het evenwicht in de muur zich instelt Plaatsing verwarming Waar in huis kan de verwarming het beste staan? Veel huizen hebben een verwarming bij het raam. De warmte vliegt zo naar buiten. Is het niet beter om de verwarming ergens anders te zetten? Dit is een typisch probleem dat te lastig is om met Fourierreeksen te doen. Het is wel mogelijk om verschillende isolatiewaarden van materialen en een warmtebron te simuleren. Aan de overgangen tussen verschillende materialen moet een extra voorwaarde opgelegd worden: u i u i 1 u i+1 u i k = k 1 x x 37 Warmtehuishouding woonhuis