Dat je op het examen moet rekenen, lijkt me duidelijk. Maar hoe je dat precies moet doen, leg ik nog eens uit in deze samenvatting.

Transcriptie

1 Examenstof 2006 wiskunde VMBO 1 Inleiding Deze samenvatting is bedoeld voor alle leerlingen van het VMBO. De leerlingen van de basisberoepsgerichte leerweg leren alleen de stukken die er hetzelfde uitzien als dit stukje inleiding. De leerlingen van de kaderberoepsgerichte leerweg leren ook de onderstreepte stukjes en de leerlingen van de gemengde en theoretische leerweg leren ook de schuingedrukte stukken. Deze samenvatting zou zo volledig mogelijk moeten zijn. Mocht je iets missen, twijfelen of je een ander onderwerp ook moet leren, kom dan naar het forum en vraag het aan de docent. 2 Rekenen Dat je op het examen moet rekenen, lijkt me duidelijk. Maar hoe je dat precies moet doen, leg ik nog eens uit in deze samenvatting. 2.1 Grote getallen Heel grote getallen kun je lastig lezen. Er zijn een aantal manieren om het makkelijker te maken. Schrijf als Gebruik de woorden miljard ( = 10 9 ), miljoen ( = 10 6 ) en duizend (1 000 = 10 3 ) : 16 miljoen 250 duizend Negatieve getallen Je kunt negatieve getallen van elkaar aftrekken en bij elkaar optellen: Het is buiten -4º C en de temperatuur daalt nog 7 graden: -4 7 = -11 Het is weer 4 graden onder nul en de temperatuur stijgt 3 graden: = -1 Je kunt negatieve getallen ook met elkaar vermenigvuldigen, hierbij moet je onthouden: - x - = + ; x + = - en + x - = -. Natuurlijk is + x + gewoon +. Een paar voorbeelden: -7 x -3 = +21; -4 x 6 = -24; 4 x -4 = Afronden van antwoorden Antwoorden op opgaven moet je zo handig mogelijk opschrijven. Afronden helpt daarbij. Een 5,50 is op je rapport nog net een 5,5, terwijl een 5,49 je een 5,4 oplevert. Bij grote getallen kun je soms afronden op miljarden, miljoenen of duizenden. Zo hebben we in Nederland ongeveer 16 miljoen inwoners. Eurocenten hebben we wel, maar kleiner dan dat niet. Daarom rond je geldbedragen altijd af op twee decimalen. Dus niet 195,9478 maar 195,95. Soms kun je deze regels niet helemaal toepassen. Als je uit moet rekenen hoeveel rollen behang je moet kopen en je rekent uit 8,45 rollen, dan kun je niet in de winkel 8,45 rollen kopen. Afronden op 8 rollen (wiskundig juist) is ook niet goed, want dan kom je bij het behangen tekort. In dit soort situaties moet je dus van de regels afwijken en afronden op 9 rollen. 1

2 Om afrondingsfouten te voorkomen, moet je tussenantwoorden niet afronden. Doe je dat toch, rond dan af op minimaal één decimaal meer dan je eindantwoord. 2.4 Wetenschappelijke notatie Als je antwoord te groot is voor het venster van je rekenmachine, dan zie je soms dit in je scherm: 4, Dat betekent 4, x In de werkelijkheid staat er dan eigenlijk 0, De komma is 5 plaatsen naar links gegaan (-5). Dit rond je af op 4,58 x Als er 1,25 x 10 5 staat, dan gaat de komma 5 plaatsen naar rechts (5). Er staat dan Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord Machten / Machtsverheffen 2 8 spreek je uit als twee tot de achtste (macht). Het betekent eigenlijk 2x2x2x2x2x2x2x2. Dit is in dit voorbeeld nog te doen op je rekenmachine, maar als er 2 80 had gestaan, niet meer. Daarom kun je dit op je rekenmachine doen. De knopjes x y en y x zitten daarvoor op je rekenmachine. Soms heb je een knopje met het teken ^ erop. 2 8 op je rekenmachine: toets in 2 knopje x y 8 = Worteltrekken / Wortels Dit is het tegenovergestelde van machtsverheffen. De 4 is 2, en 2 2 is 4. Soms hebben we het over de derdemachtswortel, dat betekent dit: 2 3 = 8, 3 8 = MVDWOA Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord. Het beroemde ezelsbruggetje voor het uitvoeren van berekeningen. Machtsverheffen eerst, dan Vermenigvuldigen, dan Delen, dan Worteltrekken, dan Optellen en dan tot slot Aftrekken. Alleen haakjes gaan nog voor deze regel. Een voorbeeldsom: ( ) 8+10/5 =... stap 1: haakjes wegwerken. Binnen de haakjes eerst Machtsverheffen, dan Worteltrekken, dan aftrekken = ; 3 8 = 2 à = stap 2: eerst Vermenigvuldigen, dan Delen, dan Optellen = ; 10/5 = 2 ; = Als er in één som twee keer hetzelfde gedaan wordt (2 x vermenigvuldigen bijvoorbeeld), dan begin je links en eindig je rechts. 2.6 Lengtematen, oppervlaktematen en inhoudsmaten en gewicht Lengtematen km hm dam m dm cm mm In dit rijtje één stapje van links naar rechts = x 10. In dit rijtje één stapje van rechts naar links = / 10. 2

3 1000 m = x 10 x 10 x 10 mm = mm m = 1000 / 10 / 10 / 10 km = 1 km Oppervlaktematen km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 In dit rijtje één stapje van links naar rechts = x 100. In dit rijtje één stapje van rechts naar links = / m 2 = 100 x 100 dm 2 = dm m 2 = 100 / 100 dam 2 = 1 dam Inhoudsmaten m 3 dm 3 cm 3 (de rest van het rijtje wordt nauwelijks gebruikt) In dit rijtje één stapje van links naar rechts = x In dit rijtje één stapje van rechts naar links = / dm 3 = 1 x 1000 cm 3 = cm 3. 1 dm 3 = 1 / 1000 m 3 = 0,001 m 3 Bijzonder hierbij is nog de volgende regel: 1 dm 3 = 1 l (= 1 liter) en 1 cm 3 = 1 ml. 1 dm 3 = 1 l = 1000 ml = 1000 cm 3! Gewicht Op dezelfde manier als bij lengtematen kun je ook een rijtje voor gewicht maken: kg hg dag g dg cg mg. Meestal gebruik je alleen kg g mg. 1 kg = g = mg. 2.7 Schatten en tijd Schatten Soms krijg je op het examen een vraag die begint met Schat.... Om deze vragen goed te beantwoorden, leer je een paar regeltjes uit je hoofd: Een man is ongeveer 1,80 m lang. Een deur is ongeveer 2,00 m lang. Je loopt met ongeveer 5 km/uur, elke stap is circa 75 cm, fietsend leg je 20 km/uur af. Een verdieping van een huis is ongeveer 3,00 m hoog. In Nederland wonen ongeveer 16 miljoen mensen bij elkaar Tijd Weet alsjeblieft de volgende dingen: 1 jaar = 365 dagen. 1 dag = 24 uur, ook wel een etmaal genoemd. 1 uur = 60 minuten. 1 minuut = 60 seconden. 1 uur is dus 60 minuten x 60 seconden = 3600 seconden lang. 1 jaar heeft 12 maanden en ongeveer 52 weken. Dit moet je ook kunnen omdraaien. Een activiteit duurt 2000 minuten, dat is 2000/60 = 33,33333 uur is 33 uur en 0,33 x 60 minuten = 33 uur en 20 minuten. 2.8 Schaal en snelheid 3

4 2.8.1 Schaal Bij aardrijkskunde leer je wat schaal is, bij wiskunde ook. Bij kaarten en plattegronden staat vaak 1: Dat betekent: 1 cm op papier is in het echt cm. Handiger is het om te schrijven: 1 cm op papier is 10 km. Je kunt hiervan een schaallijn maken. Als je weet dat 1 cm 10 km is, en je tekent 10 cm, dan zet je bij elke cm hoeveel km dat is Als je een schaallijn hebt gekregen, kun je daarmee ook zelf de schaal uitrekenen (meet 1 cm, kijk wat er op de schaallijn, bijvoorbeeld 20 km, en schrijf dan op 1 cm: 20 km) Snelheid Op het examen krijg je soms de snelheid in km per uur (km/h), en soms in meters per seconde (m/s). Soms ook allebei door elkaar in één opgave. Dus is het handig als je ze naar elkaar kunt omrekenen. 1 km = 1000 m en 1 h = 1 uur = 3600 seconden. 1 km/ h = 1000 m/h = 1000/3600 m/s = 0,28 m/s. 1 m = 0,001 km en 1 h = 1 uur = 3600 seconden. 1 m/s = 0,001 km/s = 0, km/h = 3,6 km/h. 2.9 Breuken, procenten en de verhoudingstabel Breuken De meest gebruikte breuken zijn 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/10. Soms ook 2/3 en 3/4. Sommen met breuken kun je door je rekenmachine laten maken, door de a b / c toets te gebruiken. 2 1/2 + 3/4 toets je zo in: 2 a b / c 1 a b / c a b / c 4 = 3 1/4. Om te vermenigvuldigen, doe je precies hetzelfde, delen ook. 2 1/2 / 3/4 = 3 1/3. Controleer maar of dat lukt! Procenten 1 procent = 1/100 deel van iets (pro cent betekent per honderd). Op een artikel dat een inkoopprijs heeft van 10,00 wordt 30% winst gevraagd. 30% van 10,00 = 30/100 x 10,00 = 3,00. De verkoopprijs is de inkoopprijs plus de winst. Of anders gezegd: de verkoopprijs is de inkoopprijs verhoogd met 30% winst. Twee manieren: 1. 10, /100 x 10,00 = 13, ,00 x (30+100)/100 = 13,00 Opmerking: in plaats van 30/100 kun je natuurlijk ook schrijven 0,30. Sommige boeken doen dat. Andersom wordt ook veel gedaan. In een klas zitten 28 leerlingen. 5 van hen dragen een bril. Bereken het percentage leerlingen met een bril. Uitwerking: deel/geheel x 100%; 5/28x100 = 17,9 %. In een pak koffie zat vroeger 500 gram. Nu, als tijdelijke aanbieding, zit er 550 gram koffie in. Hoeveel procent extra is dat? Uitwerking: (nieuw-oud)/oud x 100% à ( )/500 x 100% = 10%. In een zak chips zat vroeger 250 g. Nu zit er nog maar 200 g in. Met hoeveel procent is de inhoud van de zak afgenomen? Uitwerking: (oud-nieuw)/oud x 100% = ( )/250x100% = 20 % Verhoudingstabellen 4

5 Dressing maak je van 5 delen olie en 2 delen azijn. Een kok wil in totaal 200 ml dressing maken. Hij kan natuurlijk met eetlepels gaan werken, of met kopjes, maar hij wil liever precies weten hoeveel ml olie en hoeveel ml azijn hij nodig heeft. Gebruik bij dit soort opgaven verhoudingstabellen! Olie 5 Azijn 2 Totaal = dressing ml Vraag je dan af: hoeveel keer 7 is 200? Antwoord: 200/7 keer zoveel. Want 200/7 x 7 = 200. Dan heb je 200/7 x 5 ml olie nodig en 200/7 x 2 ml azijn. Olie 5 200/7 x 5 = 143 ml Azijn 2 200/7 x 2 = 57 ml Totaal = dressing ml (= ) Dit werkt ook als je wilt berekenen hoeveel procent olie en hoeveel procent azijn er nodig is. Olie 5 Azijn 2 Totaal = dressing % Vraag je eerst weer af: hoeveel keer 7 is 100? Antwoord: 100/7 keer zoveel. Dan heb je dus 100/7 x 5 % olie en 100/7 x 2% azijn. Olie 5 100/7 x 5 = 71 % Azijn 2 100/7 x 2 = 29 % Totaal = dressing % (= ) Misschien iets lastiger, maar ook te doen is dit. In een zak snoepjes zitten 65 rode winegums. Dit is 13 % van het totaal aantal snoepjes in de zak. Hoeveel snoepjes zitten er in de zak? Aantal snoepjes 65 Percentage Vraag je dus eerst af wat je weet. Je weet dat 13 % van de snoepjes 69 snoepjes is. Bereken dan hoeveel snoepjes 1 % is. 65/13 = 5 snoepjes. Je weet nu 1 % is 5 snoepjes, 100 % (dus 100 x zoveel) is dan 5 x 100 = 500 snoepjes. Aantal snoepjes 65 65/13 = 5 5 x 100 = 500 Percentage Verbanden 3.1 Formule en tabel Een boek heeft 200 bladzijden. Iemand leest het boek en leest 20 bladzijden per uur. Maak hiervan een tabel. Woordformule hiervan: bladzijden = x tijd; (tijd in uren) Formule (niet voor VMBO-B): b = x t Tijd (uur) Bladzijden Opmerking: je begint op het tijdstip 0, dan moet je nog 200 bladzijden lezen. Elk uur gaan er 20 bladzijden af van het aantal dat je nog lezen moet. 3.2 Hoe teken je een assenstelsel? 5

6 Schrijf bij de twee assen welke variabele het is, denk ook aan de eenheid. Maak de stappen op de horizontale as even groot als de stappen op de verticale as. Voorbeelden vind je hieronder! (Bij de meeste grafieken staat op de as alleen prijs, zonder eenheid. Dit omdat bij de voorbeelden niet gezegd is om welke valuta het ging (, $, etc.).) 3.3 Formule en grafiek De formule: bladzijden = tijd; (tijd in uren) is een lineaire formule. (en b = t dus ook) Hiervan kun je een grafiek maken. Kijken we naar de formule en de grafiek, dan zie je dit: Bladzijden = tijd 200 is de beginhoogte van de grafiek (0 uur, 200 bladzijden). -20 is de stapgrootte. Elk uur komen er -20 bladzijden bij (er gaan dus 20 bladzijden af). Doordat je dus in de grafiek kunt zien wat er met de formule gebeurt, kun je ook een formule opstellen. (Niet voor VMBO-B.) In dit geval kun je dus zien dat de beginhoogte 200 is, dat er elk uur 20 bladzijden af gaan van het totaal (stapgrootte is -20) en dat verticaal bladzijden staat en horizontaal uren. Bladzijden = tijd. Wat jullie allemáál moeten kunnen, is controleren of een bepaalde woordformule past bij een grafiek. Past bij deze grafiek de woordformule bladzijden = tijd? Antwoord: nee. Uitleg: want de beginhoogte is al geen 100 en de stapgrootte is ook geen Regelmatige toe- of afname In dit voorbeeld hebben we te maken met een regelmatige afname van het aantal te lezen bladzijden. Elk uur gaan er 20 bladzijden van het totaal af Tijd (uur) Bladzijden Soms krijg je slechts een deel van de tabel. Bijvoorbeeld: Tijd (uur) Bladzijden

7 Je kunt nu nog niet zien of er een regelmatige afname is. Daarvoor moet je eerst de tabel uitbreiden Tijd (uur) Bladzijden Je kunt nu wel zien dat er twee keer -20 staat, als er één uur bijkomt. En je kunt uitproberen of de tabel klopt, als je overal -20 doet. Tijd 2 uur is dan dus = 160. Van 2 naar 3 uur dus = 140. Dat klopt alvast. Zo ga je door, tot je alle gegeven waarden gecontroleerd hebt. Als ze allemaal kloppen, dan kun je spreken van een regelmatige afname. (En in dit voorbeeld is dat ook zo.) Zodra er een regelmatige toe- of afname is, kun je een formule maken. Hier kun je namelijk altijd de beginwaarde uitrekenen (beginhoogte) en de stapgrootte. De beginwaarde is het aantal bladzijden op het tijdstip 0, de stapgrootte is de toe- of afname per stap. Bladzijden = beginwaarde + stapgrootte x tijd. Bladzijden = x tijd. 3.5 Oplossen Wanneer je twee (woord)formules hebt en je tekent van allebei de grafiek in één tekening, dan zie je soms dat deze grafieken elkaar snijden. Meestal wordt je dan gevraagd om het snijpunt van die grafieken te bepalen. Hiernaast kun je zien dat bij een aantal van 2 en een prijs van 10 beide grafieken door hetzelfde punt gaan. De volgende woordformules horen bij de grafieken: I: Totaalprijs = 3 aantal + 4 II: Totaalprijs = 2 aantal + 6 In formulevorm: I: p = 3 a + 4 II: p = 2 a + 6 Je kunt deze formules ook oplossen op de volgende manier: I = II: 3 a +4 = 2 a + 6 Aan beide kanten van de = haal je er nu 2 a af (rechts van de = verdwijnt dan de a): 3 a - 2 a + 4 = 2 a - 2 a a + 4 = 6 Aan beide kanten van de = haal je er nu 4 af (links van de = verdwijnt dan het getal): 7

8 1 a = a = 2 Dus bij a = 2 is p gelijk voor beide formules. Controleer dat door a = 2 in I en in II in te vullen: I: p = = 10 II: p = = 10 Klopt! En zoals je ziet, vind je zo hetzelfde punt als we al gezien hadden in de grafiek. De bovenstaande methode noemen ze de balansmethode. 3.6 Somgrafiek en verschilgrafiek Zojuist hebben we twee formules met elkaar vergeleken. We kunnen de formules ook bij elkaar optellen: I: p = 3 a + 4 II: p = 2 a Som: p = 5 a + 10 Dit ziet er in de grafiek zo uit: De bovenste lijn is de lijn van de somformule. Op dezelfde manier kunnen we de verschilformule maken: I: p = 3 a + 4 II: p = 2 a Verschil: p = 1 a -2 (-2 want 4 6 = -2) Ook hiervan kunnen we een grafiek maken. De onderste lijn is de lijn van de verschilformule. 3.7 Horizontale en verticale grafieken 8

9 Een heel bijzondere soort formule is deze: Prijs = 10 Aantal = 100 Deze soort grafieken kun je ook tekenen, zoals je hiernaast kunt zien. Ook wel y = a en x = b formules genoemd. 3.8 Maximum en minimum geld heeft hij in zijn portemonnee? Soms geeft een (woord)formule een verband weer, waarbij je weet dat er een maximum en een minimum is. De volgende situatie is hiervan een voorbeeld. Een jongen krijgt nooit meer dan 5,00 zakgeld per week. Heeft hij nog geld over van de vorige week, dan vult zijn moeder dat aan tot 5,00. Hij zal dus nooit meer dan dat bedrag in zijn portemonnee hebben. Hij koopt van dat geld alleen drinken, dat altijd 0,50 per keer kost. Hoeveel 9

10 Geld = 5,00 0,50 aantal. Geld = het geld dat hij in zijn portemonnee heeft, aantal = het aantal keren dat hij die week drinken koopt. Vul als aantal 12 in. Dan kom je uit op een bedrag van - 1,00 euro. Dat is een onzinnig bedrag, want je kunt geen geld uitgeven dat er niet is. De jongen heeft dus maximaal 5,00 in zijn portemonnee, en minimaal 0,00. De grafiek staat hiernaast. 3.9 Twee formules die hetzelfde weergeven Soms vragen ze op het examen: welke van deze formules horen bij hetzelfde verband? Voorbeeld: Y = 5 x + 8; x = (Y-8)/5 en x = Y/5 8/5. De oplossing is: alle drie. Vul maar eens een getal in voor x en controleer dan wat y wordt. X = 6 à y = = = (38-8)/5 6 = 38/5 8/5 Alle drie kloppen ze, reken maar na Verschillende verbanden Jullie moeten deze verbanden kennen en herkennen. De leerlingen van de basisberoepsgerichte leerweg moeten kunnen controleren of de gegeven woordformule past bij de gegeven grafiek Kwadratische verbanden Deze verbanden hebben altijd een formule waarbij een variabele (bijvoorbeeld x of a) in het kwadraat staat. Voorbeeld: Afstand = -5 tijd tijd Tijd in sec, afstand in m. In grafiekvorm: Zoals je ziet, heeft een kwadratisch verband vaak een kromme lijn. Stel dat we nu precies willen weten op welke twee tijdstippen de afstand 10 m is. Dat kunnen we proberen af te lezen, maar het zal geen mooi rond getal zijn. 10

11 We gebruiken dan een manier die inklemmen heet. We kijken eerst waar de punten ongeveer liggen. De eerste keer waarbij de afstand 10 m is, is tussen 0,5 en 1 sec. De tweede keer is tussen 3,0 en 3,5 sec. We maken nu twee tabellen. Kijk goed naar deze tabellen: tijd afstand tijd afstand 0,50 8,75 3,00 15,00 0,55 9,49 3,40 10,20 0,58 9,92 3,41 10,06 0,59 10,06 3,42 9,92 0,60 10,20 3,45 9,49 1,00 15,00 3,50 8,75 Wat je eigenlijk doet, is dit: je vult eerst de twee getallen in waartussen het snijpunt ligt. In het eerste voorbeeld 0,50 sec en 1,00 sec. Vul je 0,6 in, dan vind je 10,20 (te hoog!). Het punt ligt dus tussen 0,50 sec en 0,60 sec. Vul nu 0,55 in (te laag!). Het punt ligt dus tussen 0,55 en 0,60. Vul dan 0,59 in (heel dicht bij) en 0,58 (iets te laag). Het punt ligt dus het dichtst bij 0,59. Natuurlijk mag je ook andere getallen proberen, maar je zult ontdekken dat 0,59 uiteindelijk het goede antwoord is Machtsverbanden In dit geval staat er geen kwadraat boven een variabele, maar een groter getal. Voorbeeld: H = 2,5 t 4. Om hiervan een grafiek te kunnen tekenen, maak je eerst een tabel. Let op: (-1) 3 = -1; (-1) 5 = -1, maar (-1) 2 =1, etc Exponentiële verbanden Deze hebben altijd de volgende vorm: Y = beginhoeveelheid x groeifactor variabele Een voorbeeld: Spaarsaldo = inleg x 1,03 tijd Spaarsaldo in, tijd in jaren. Het spaarsaldo zal steeds harder gaan groeien (als je tenminste niets opneemt). Y = beginhoeveelheid x groeifactor variabele, er geldt dat bij een groeifactor groter dan 1 dan stijgt Y, bij een groeifactor kleiner dan 1 dan neemt Y af. Dit soort verbanden komen veel voor in de economie. Voorbeeldsituaties: elk jaar krijg je 3% rente over je totale spaarsaldo (dus je saldo wordt elk jaar vermenigvuldigd met 1,03, er is een toename). Elk jaar wordt je geld 5% minder waard (elk jaar kun je je geld met 0,95 vermenigvuldigen, er is een afname). Dus bij een rente van 3% geldt een groeifactor van 1,03. Uitleg: je hebt 100%, je krijgt 3% erbij, totaal dus 103 %, dit is 103/100 = 1,03 keer zo veel. 11

12 Hyperbolische verbanden Een vakantiehuisje voor maximaal 12 personen kost 900 per week. Ga je er alleen naartoe, dan betaal je alleen die 900, ga je met 12 mensen dan betaal je 900/12 = 75. Hier geldt het volgende: Prijs per persoon = 900/aantal personen Ook wel: aantal personen x prijs per persoon = 900. Dit noemen we een hyperbolisch verband en dat ziet er uit zoals in de grafiek hierboven Wortelverbanden Wanneer er een -teken bij de variabele staat, dan heb je te maken met een wortelverband. Een heel eenvoudig voorbeeld is het verband tussen de lengte van een ribbe van een vierkant en de oppervlakte van een vierkant. Ribbe = oppervlakte (Want oppervlakte = ribbe ribbe, of ook wel oppervlakte = ribbe 2. ) Dat ziet er zo uit als in de grafiek hierboven Periodieke verbanden 12

13 De trilling van een veer of de trilling van geluid zijn allebei voorbeelden van periodieke verbanden. De grafiek herhaalt zich. Kijk maar naar het volgende voorbeeld: Hierboven zie je de grafiek van een periodiek verband. De grafiek herhaalt zich elke 8 seconden. Daarom zeggen we: de periode is 8 seconden. De hoogste stand is een hoogte van 5 cm, de laagste stand is een hoogte van 1 cm. De evenwichtsstand kun je dan berekenen: Evenwichtsstand = (hoogste stand + laagste stand) / 2. Evenwichtsstand = (5+1)/2 = 3. De amplitude is dan hoeveel de grafiek vanaf de evenwichtsstand omhoog of omlaag gaat. In dit voorbeeld 5-3 = 2 cm (of 3-1 = 2 cm) Verdubbelings- en halveringstijd Dit onderwerp hoort eigenlijk bij exponentiële verbanden. Bijvoorbeeld bij je spaarsaldo op een spaarrekening. De tijd die het duurt voordat je spaarsaldo verdubbelt (doordat er rente-over-rente op gestort wordt), noemen we de verdubbelingstijd. Voorbeeld: Spaarsaldo = inleg 1,05 tijd Stel je inleg is Dan is je spaarsaldo na 5 jaar = ,05 5 = Na 10 jaar 1628 en na 14,5 jaar De verdubbelingstijd is dan dus bijna 14,5 jaar. Op dezelfde manier kun je ook met een formule de halveringstijd uitrekenen. Voorwaarde is dat de groeifactor in de formule kleiner moet zijn dan 1. 4 Meetkunde Er zijn heel veel onderwerpen die bij meetkunde horen. De meest bekende is wel de Stelling van Pythagoras (wordt zelfs bij quizzen of interviews vaak gevraagd). Dit hoofdstuk legt je zo goed mogelijk uit wat je moet weten over (ruimte)meetkunde op het examen. Alvast een tip vooraf: maak zo veel mogelijk tekeningen bij opgaven die horen bij meetkunde. 4.1 De basis 13

14 Een aantal algemene zaken die je moet kunnen voordat we over meetkunde gaan praten, lopen we eerst samen door. De stelling van Pythagoras is al genoemd. Die werkt als volgt: Als je een driehoek hebt met één rechte hoek (90 o ), dan kun je deze stelling toepassen. In dit voorbeeld gaat dat dan als volgt: AB 2 + AC 2 = BC 2 Deze stelling heb je als het goed is zo vaak gebruikt, dat ik hem niet verder toe ga lichten. Je moet hem kennen en kunnen toepassen. De vergrotingsfactor moet je ook kennen en kunnen toepassen. De meest eenvoudige uitleg daarvoor is deze: Een lijnstuk is 1 cm lang. Als ik een tweede lijnstuk heb van 2 cm lang, hoeveel keer zo lang is dat dan? Antwoord: k (= vergrotingsfactor) = 2/1 = 2x. Oftewel: 2x zo groot. Stel dat we een vierkantje tekenen met een lengte van 1 cm en een breedte van 1 cm. We tekenen een tweede vierkantje, met een 2x zo grote lengte (2 cm) en een 2x zo grote breedte (ook 2 cm). Hoe groot was de oppervlakte en hoe groot is deze nu? Antwoord: eerst 1 x 1 = 1 cm 2, nu 2 x 2 = 4 cm 2, oftewel: k 2 keer zo groot (2 2 keer). Stel dat we een kubus tekenen met een lengte van 1 cm, een breedte van 1 cm en een hoogte van 1 cm. De inhoud is dan 1 cm 3 (l x b x h). Teken eenzelfde kubus, maar dan met een lengte van 2 cm, een breedte van 2 cm en een hoogte van 2 cm (alles 2x zo groot). De inhoud is dan 2 3 keer zo groot, namelijk 8x, want 2x2x2 = 8 cm 3. Dus samengevat: de vergrotingsfactor k pas je toe op lijnstukken (1-dimensionaal, lengte). Bij oppervlaktes werk je met k 2 (2-dimensionaal, lengte en breedte) Bij inhouden werk je met k 3 (3-dimensionaal, lengte en breedte en hoogte). Soms wordt je gevraagd de omtrek te berekenen. Bij rechthoekige figuren is dat niet zo lastig: alle losse lijnstukjes meten of berekenen en dan bij elkaar optellen. Bij een cirkel heb je een formule nodig: 2 π r. Je moet uiteraard de oppervlakte van figuren kunnen berekenen. Vierkant: lengte x breedte Rechthoek: lengte x breedte Driehoek: ½ x lengte x breedte (ook wel ½ x basis x hoogte). Cirkel: π r 2. Deze moet je kunnen toepassen! Wat betreft lastigere figuren: probeer die op te delen in eenvoudigere figuren. Een vooraanzicht van een huis bijvoorbeeld is vaak een rechthoek en een driehoek. Onregelmatige figuren: schat de oppervlakte door de figuur over te nemen op millimeterpapier en hokjes te tellen. En de inhoud niet te vergeten. Kubus, balk en prisma: oppervlakte grondvlak x hoogte. Kegel en piramide: oppervlakte grondvlak x hoogte x 1/3. Bol: r 3 x 4/3 x π. 4.2 Tekeningen maken Altijd met potlood en geodriehoek werken. Je krijgt kladpapier, gebruik dat om een schets op te maken. Vermeld alle gegevens die je hebt bij je tekening. Hoeken, lengtes, en ook de letters van de hoekpunten (in hoofdletters). Cirkels teken je met een passer. Driehoek tekenen waarvan de lengte van drie zijden gegegeven zijn: Teken eerst 1 zijde, met je geo. Zet de letters van de hoekpunten erbij (bijvoorbeeld A en B). Teken vanuit A met je passer een halve cirkel met een straal met lengte AC (de lengte van het tweede lijnstuk). Teken vanuit B met je passer een halve cirkel met een straal met lengte BC (de lengte van het derde lijnstuk). Het snijpunt van deze twee halve cirkels is punt C. Als je dit vaker gedaan hebt, kun je volstaan met een kleiner deel van de cirkel, je weet dan namelijk al waar het punt ongeveer zal uitkomen. 14

15 4.3 Ruimtefiguren herkennen In je leerboek kun je ongetwijfeld de volgende figuren opzoeken: Kubus, Balk, Piramide, Prisma, Kegel, Cilinder en Bol. Deze zeven moet je kennen! Handig om te weten: twee evenwijdige lijnen (die heb je in een kubus, een piramide met vierkant grondvlak, een balk en een prisma) snijden elkaar nooit! Hoekpunten zijn snijpunten van twee lijnen. In een kubus of balk zijn er verschillende kruisende lijnen, die elkaar nooit snijden en die ook niet evenwijdig zijn. Een voorbeeld: AB en CG. Het wordt van je verwacht dat je van dit soort figuren aanzichten kunt tekenen. Dus tekenen hoe ze er van voor, van achter, van onder, van boven, van links of van rechts uitzien. Ook moet je uitslagen kunnen tekenen. De uitslag van een: - kubus bestaat uit 6 vierkanten; - balk bestaat uit 6 rechthoeken; - piramide bestaat uit een vierkant en vier driehoeken of een driehoek met drie driehoeken; - prisma bestaat uit twee driehoeken en drie rechthoeken; - kegel bestaat uit een cirkel en een deel van een cirkel; - cilinder bestaat uit twee cirkels en een rechthoek; - bol is niet te tekenen. Soms moet je ook de doorsnede van een ruimtelijk figuur kunnen tekenen. Vandaar dat het zo belangrijk is dat je alle lengtes van lijnstukken die je kent, bij de figuur zet. Hier heb je bij het tekenen van doorsnedes heel veel profijt van. 4.4 Vlakke figuren herkennen Je hebt ook heel veel vlakke figuren in de wiskunde. Hiervan moet je er een aantal kennen: - Vierkant: vier gelijke zijden, vier hoeken van 90 graden; - Ruit: vier gelijke zijden, twee keer twee gelijke hoeken (dus geen 90 graden); - Rechthoek: twee keer twee gelijke zijden, vier hoeken van 90 graden; - Parallellogram: twee keer twee gelijke zijden, twee keer twee gelijke hoeken; - Vlieger: twee keer twee gelijke zijden (de gelijke zijden snijden elkaar), twee gelijke hoeken en twee verschillende hoeken; - Vierhoek: vier verschillende hoeken en zijden; - Driehoek: drie verschillende hoeken en zijden; - Gelijkbenige driehoek: twee gelijke hoeken, twee gelijke zijden; - Gelijkzijdige driehoek: drie gelijke hoeken, drie gelijke zijden (alle drie de hoeken zijn dus 60 o, want = 180 o ); - Rechthoekige driehoek: driehoek met één hoek van 90 graden; - Regelmatige vijfhoek: vijf gelijke zijden, vijf gelijke hoeken (van 360/5 o ); - Regelmatige zeshoek: zes gelijke zijden, zes gelijke hoeken (van 360/6 = 60 o ). 4.5 Symmetrie Symmetrie kan handig zijn, om van nog meer lijnstukken en hoeken te kunnen bepalen hoe groot ze zijn. De volgende soorten symmetrie moet je kennen: Lijnsymmetrie: als je over deze lijn de figuur vouwt, passen de twee helften precies op elkaar. Ook wel spiegelsymmetrie genoemd. Draaisymmetrie: als je de figuur om een bepaald punt draait dan past de figuur precies op zichzelf. Na een aantal malen draaien is de oude figuur weer voor je (een regelmatige zeshoek kun je zes keer om het middelpunt draaien, tot je weer in de oude positie bent). Soms kun je ook andere symmetrie gebruiken. Twee bekende voorbeelden daarvan zijn deze: 15

16 Links zie je een snavelfiguur. Rechts zie je een zandloperfiguur. Teken deze figuren maar eens zelf na. De snavelfiguur teken je zo: de grote driehoek heeft een basis van 2 cm en de kleine een basis van 1 cm. Kijk wat je nu kunt zeggen over de lengte van de andere zijden. Teken voor de zandloper twee even grote driehoeken en controleer wat je nu weet over de andere zijden. Teken voor de zandloper ook een kleine en een grote driehoek en controleer wat je dan kunt zeggen. Schuifsymmetrie: als je de figuur een bepaald stukje opschuift, past hij op zichzelf. Bijvoorbeeld bij behangranden of tegelranden vaak het geval. Hetzelfde patroon herhaalt zich. 4.6 Een beetje Natuurkunde Hoeken meten doe je met een geodriehoek. Dit moet je onder andere doen als het op gezichtsvelden aankomt. Bij de wiskunde ben je soms onbewust met een ander vak bezig. Bij natuurkunde hoort dit onderwerpje namelijk ook. Lichtstralen zijn altijd rechte lijnen. Als je een plattegrond of luchtfoto ziet, kun je bepalen wat een persoon die op een bepaalde plaats staat, kan zien. Trek vanuit die persoon rechte lijnen langs obstakels, zoals gebouwen en bomen. Dit noemen we kijklijnen. De gebieden tussen de kijklijnen, langs de obstakels heen, is het deel dat de persoon kan zien. Dit noemen we het gezichtsveld. Zonnestralen lopen altijd evenwijdig aan elkaar, omdat de zon oneindig ver weg staat. 4.7 Een beetje aardrijkskunde Je moet bij het examen hoogtekaartjes kunnen lezen. Als je een hoogtekaartje krijgt, dan wordt je meestal gevraagd of je een bepaald punt kunt zien als je op een andere punt op de kaart staat. Teken hierbij eerst een lijn tussen die twee punten en kijk wat er met de hoogte gebeurt. Stel je staat in punt A, op 250 m hoogte, en punt B is het punt waarnaar je kijkt, op 400 m hoogte. Dat moet kunnen. Staat er echter op de lijn AB een punt dat hoger is dan 400 m, dan kun je B niet zien (dan is er een obstakel). Bovendien moet je de plaats kunnen bepalen. Meestal gebruik je daarbij een wiskundig assenstelsel. Het punt (1,2) is vanuit O gezien (het punt (0,0)) 1 stap in de x-richting en 2 stappen in de y-richting (assenstelsel met een x-as en een y-as). Het punt (3,4,2) is vanuit O gezien (het punt (0,0)) 3 stappen in de x- richting, 4 stappen in de y-richting en 2 stappen in de z-richting. Aardrijkskundigen hebben het eerder over koersen (80 0, 3), oftewel: 80 0 draaien naar rechts en 3 km verderop of over (20 o OL en 80 o ZB). Handig om te weten: OL = Oosterlengte, WL = Westerlengte, NB = Noorderbreedte en ZB = Zuiderbreedte. In de regel tekenen ze een wereldbol/globe bij opgaven hierover, zodat je kunt zien hoe het zit. 4.8 Regels voor hoeken en SIN COS TAN Handig om te weten: een gestrekte hoek is 180 0, een volle hoek 360 o en een rechte hoek 90 o. Bij twee evenwijdige lijnen heb je altijd gelijke hoeken (gebruik schuifsymmetrie). Bij twee snijdende lijnen zijn de tegenoverliggende hoeken (vanaf het snijpunt gezien) gelijk. Verder moet je ook andere manieren kennen om lengtes van lijnstukken te berekenen. Sinus, Cosinus en Tangens bijvoorbeeld. Een ezelsbruggetje dat mij altijd heeft geholpen is deze: SOS CAS TOA Sinus = Overstaande Zijde / Schuine zijde; sin hoek B = AC/BC Cosinus = Aanliggende Zijde / Schuine zijde; cos hoek B = AB/BC Tangens = Overstaande Zijde / Aanliggende zijde; tan hoek B = AC/AB Ga voor jezelf na hoe het zit voor de sin, cos en tan van hoek A en hoek C! 16

17 Overigens kun je met Sin Cos en Tan ook de hoeken uitrekenen als je twee lijnstukken kent! 4.9 Laatste tip Meetkunde kun je altijd controleren, door een eenvoudig voorbeeld te verzinnen en dit op ware grootte uit te tekenen. Je kunt dan de verschillende regels die je geleerd hebt controleren door ermee te rekenen en daarna je antwoord te controleren door meten met een geodriehoek bijvoorbeeld. Doe dit echter alleen als je alle opgaven die je wel meteen kon maken, gemaakt hebt. 5 Statistiek Het woord Statistiek wordt in het dagelijks leven veel gebruikt. Bij onderzoek worden veel van de dingen die je nu voor je examen moet leren toegepast. Aan de hand van een groot aantal steekwoorden ga ik je uitleggen wat je allemaal moet weten. 5.1 Gegevens verzamelen Als er onderzoek wordt gedaan, verzamel je automatisch veel gegevens. Dat kan op diverse manieren. Door mensen te interviewen, enquêtes in te laten vullen, maar ook door zelf naar iets te kijken en je waarneming te noteren. Je doet een steekproef. Stel dat je wilt weten hoe veel een gemiddelde jongere tussen de 14 en 18 jaar drinkt (alcohol), dan is het niet handig om alle jarigen te vragen naar zijn of haar ervaring. Je kiest dan een deel van de groep, die je ondervraagt. Het is logisch dat je daarbij een verstandige keuze moet maken. Natuurlijk moet je die mensen niet zoeken in de discotheek bij de bar om uur op zaterdagavond, want dan is de kans groot dat je alleen maar (alcohol)drinkers ondervraagt. Je zou wel op school onderzoek kunnen doen. Neem uit elke klas 2 willekeurige leerlingen die je ondervraagt. Je zult dan waarschijnlijk een betere steekproef hebben. Je hebt dan leerlingen van 14 jaar, maar ook van 18 jaar, je hebt er mensen bij die graag uitgaan en mensen die het liefst thuisblijven, je hebt sporters (die niet veel drinken) en feestvierders, noem maar op. De resultaten die je verzamelt wil je overzichtelijk noteren. In eerste instantie zou je een turftabel kunnen gebruiken. Een voorbeeld: Leeftijd Glazen alcohol 0-5 IIIII IIII III II I 5-10 IIII III IIIII II I II I III IIII IIIII >15 II III I I I Elke keer dat je een antwoord krijgt, zet je in het bijbehorende hokje een streepje. Bij kleine onderzoeksgroepen is dit een fijne methode. Duidelijker is echter de frequentietabel. Leeftijd Glazen alcohol > Dezelfde gegevens, andere notatie. In beide tabellen heb ik gebruikgemaakt van klasse-indeling. Ik heb namelijk groepjes gemaakt. Het zou niet handig zijn om leerlingen te vragen hoe veel glazen ze precies 17

18 drinken in een week. De tabel zou onnodig groot worden (0 glazen, 1 glas, 2 glazen,..., 15 glazen, 16 glazen, etc.). Dus als je de resultaten in groepjes verzamelt is dat soms overzichtelijker. 5.2 Rekenen met de gegevens Als je de gegevens hebt verwerkt, kun je soms het gemiddelde uitrekenen. Hiervoor eerst een frequentietabel. Cijfer Frequentie Een leraar heeft een verslag nagekeken en de bovenstaande cijfers gegeven. Het gemiddelde van de klas reken je dan zo uit: Gemiddeld cijfer = (4x1+5x3+6x8+7x14+8x2)/( ) = 6,46. Je kunt ook iets zeggen over het cijfer dat het vaakst gegeven is, dus met de hoogste frequentie. In dit voorbeeld is dat het cijfer 7, dus we zeggen dan de modus is 7. De mediaan is het middelste getal (dus in dit geval het middelste cijfer). Omdat er 28 leerlingen zijn, is dat het cijfer dat leerling 14 en leerling 15 gekregen hebben (of het gemiddelde daarvan). In dit geval is dat 7. De mediaan is dus Gegevens verwerken (diagrammen) De gegevens kun je natuurlijk in een tabel laten staan. Je kunt er echter ook diagrammen van maken, dat is soms net zo overzichtelijk of overzichtelijker. Een aantal mogelijkheden: Cijfer frequentie Boxplot Een boxplot kan er zo uitzien: Het laagste cijfer is een 1, het hoogste cijfer dat is gehaald is een 10. De mediaan van alle gehaalde cijfers is een 6. De mediaan deelt de groep in tweeën. Stel dat in een klas van 27 de volgende cijfers gehaald zijn: De mediaan is dan 6 (het 14 e cijfer). De eerste groep (de 1 e 13 cijfers) heeft ook weer een mediaan: een 3 (het 7 e cijfer). De tweede groep (de laatste 13 cijfers) heeft ook een mediaan: een 7 (het 21 e cijfer). Dat zie je in onderstaande boxplot weer terug. - Beelddiagram Dit is een diagram waarbij met plaatjes wordt gewerkt. Er staat dan bijvoorbeeld dat 1 poppetje 100 mensen voor moet stellen. Jij telt dan poppetjes en doet dat keer 10. Zoek zoiets maar op in een leerboek, dan zie je wat ermee wordt bedoeld. - Staafdiagram Een belangrijk type diagram. De hoogte van de staaf geeft aan hoe vaak iets voorkomt. Staafdiagrammen kunnen met horizontale en met verticale staven getekend worden. Soms kunnen er meerdere kleuren staven gebruikt worden, naast elkaar of op elkaar. - Histogram Een histogram is een staafdiagram, met de staven tegen elkaar aan getekend. Bij een staafdiagram mag dat niet. Staafdiagrammen gaan vaak over categorieën, zoals de verkoop van appels, peren en druiven. Allemaal fruit, maar heeft eigenlijk niets met elkaar te maken. Bij een histogram zit er een volgorde in. Bijvoorbeeld het aantal katten per huishouden. Een staaf voor 1 kat, een staaf voor 2 katten, een staaf voor 3 katten, enzovoorts. - Lijndiagram: zie het hoofdstuk grafieken. 18

19 - Steel-bladdiagram. Vreemd soort diagram eigenlijk, maar kan handig zijn. Een voorbeeldje: De tijd is gesplitst in twee delen: in de eerste kolom het uur, in de tweede kolom de minuten. Elk gemeten tijdstip staat genoteerd. De aankomsttijd is dus 5x 8.59 uur geweest. Aankomsttijd op school (gemeten voor vijfendertig verschillende dagen) Cirkeldiagram Gaan altijd over procenten. Als je een frequentietabel hebt, kun je die omzetten naar een tabel waarmee je een cirkeldiagram kunt tekenen (totaal aantal leerlingen is 28). Kijk maar mee: Cijfer Frequentie Percentage 1/28x100 = 3,6 % 3/28x100 = 10,7 % 8/28x100 = 28,6% 14/28x100 = 50% 2/28x100 = 7,1% Aantal graden 3,6/100x360 10,7/100x360 28,6/100x360 50/100x360 = 7,1/100x360 (100 % = = 13 = 39 = = o ) - Kruistabel Ook hierbij weer een voorbeeld. bril? Ja Nee Totaal geslacht Jongen Meisje Totaal Er zijn in totaal 3 meisjes met een bril. In totaal zijn er 5 leerlingen met een bril. Van de 14 meisjes dragen er 3 een bril. Enzovoorts. Je wordt vaak gevraagd om aantallen om te zetten in procenten. Dus in plaats van van de 5 leerlingen met bril zijn er 3 meisjes, moet je dan de vraag beantwoorden hoeveel procent van de brildragers is een meisje?. Antwoord: 3/5x100 = 60%. - Boom- en wegendiagram Mooi diagram om verschillende combinatiemogelijkheden zichtbaar te maken. Heel lastig om te tekenen in deze samenvatting. Zoek dit dus op in een leerboek en bekijk hoe het werkt. Het komt erop neer dat je in een diagram allerlei mogelijkheden combineert en dus kunt zien wat er allemaal kan. Je kunt dan de kans uitrekenen dat een bepaalde combinatie voorkomt. 5.4 Kansen Als je van tevoren niet zeker weet dat iets gebeurt, heb je het over een kans. Er is een kans dat je een onvoldoende haalt voor je examen. Die kans kun je verkleinen door goed te leren en te oefenen. Er zijn ook kansen die van tevoren al vastliggen. Daarmee kun je dan berekeningen doen. Een voorbeeld is een worp met een dobbelsteen. Elke keer dat je gooit, kun je een 1, 2, 3, 4, 5 of een 6 gooien. De kans is voor elk aantal ogen even groot. De kans dat je een 4 gooit is 1/6. Gooi je 6 keer, dan zou je dus 6 x 1/6 = 1 x 6 gegooid moeten hebben. (In theorie, het is dus niet zeker.) Hierover kun je vragen krijgen op het examen. 5.5 Afstandstabellen (weer een beetje aardrijkskunde) 19

20 In veel agenda s (voor zakenmensen vooral) staat vaak een afstandstabel. Een klein voorbeeldje: Amsterdam Rotterdam Den Haag Utrecht Amsterdam X Rotterdam 74 X Den Haag X 63 Utrecht X In een afstandstabel kun je opzoeken hoeveel km je moet reizen van de ene naar de andere plaats. Van Amsterdam naar Rotterdam is 74 km (kun je op twee plaatsen in de tabel vinden). Op routekaarten zie je langs de wegen vaak getallen staan, die dan aangeven hoeveel km het stukje weg is. Dat noemen we een graaf. Daarmee kun je ook de afstand tussen twee plaatsen berekenen. Tegenwoordig maak je gewoon op internet een routebeschrijving, staat er meteen het aantal km bij! Je moet ook zelf een graaf kunnen maken op het examen, met gegevens die in de opgave staan. Dus weet wel hoe ze werken! 5.6 Wedstrijdschema s Bij sporttoernooien werken ze ook vaak met tabellen. Een voorbeeldje: A B C D A X B 1-0 X C X 2-3 D X In dit geval staan de uitslagen ook meteen in de tabel, je kunt echter ook gewoon een rondje zetten als de wedstrijd gespeeld is. In elk geval kun je er met zo n schema voor zorgen dat elk team speelt tegen elke mogelijke tegenstander. 6 Tot slot Je bent nu aan het einde gekomen van de samenvatting. Ik hoop dat de samenvatting duidelijk is en dat je nu precies weet wat je wel en niet moet kennen. Wel wil ik je één ding heel erg uitdrukkelijk meegeven: wiskunde kun je niet LEREN! Wiskunde kun je alleen beter gaan doen, door veel te oefenen. Gebruik deze samenvatting om een overzicht te krijgen van de eisen die aan je gesteld worden, om nog eens wat extra uitleg te lezen, maar ga vooral zelf oude examens maken om te oefenen. Gebruik de Examentrainer van Collegenet (zie Of een examenbundel. In elke examenbundel staat aangegeven over welke (deel)onderwerpen een opgave gaat, dus als een opgave je niet of niet goed lukt, kun je eenvoudig opzoeken welke stof je nog niet voldoende begrijpt. Pak dan deze samenvatting nog eens erbij en lees het stukje dat je lastig vindt nog eens door. En vergeet niet: er is ook nog altijd het forum op Collegenet, waarin je al je vragen kunt stellen. Dus kom langs en stel je vragen! Heel erg veel succes met je examen, GO FOR IT! 20