Continued Fractions. Willian van Slooten juni 2007

Transcriptie

1 Continued Fractions Willian van Slooten juni 007

2 Inhoudsopgave Inleiding 3 Continued Fractions 4 egular Continued Fractions 4 Nearest Integer Continued Fractions 9 3 osen Continued Fractions 3 De natuurlijke uitbreiding 3 3 De natuurlijke uitbreiding 3 3 Even indices 7 33 Oneven indices 4 α-osen Fractions 5 4 α-osen Fractions 5 4 De natuurlijke uitbreiding 6 43 Grenzen voor α 9 5 Conclusie 35

3 Inleiding In de wiskunde en ook daarbuiten bestaan er vele soorten getalontwikkelingen We hebben natuurlijk de decimale ontwikkeling, maar er valt ook te denken aan bijvoorbeeld de binaire ontwikkeling Er bestaat echter ook nog een veel minder bekende ontwikkeling, terwijl juist deze ontwikkeling veel ouder is We hebben het over een in sommige opzichten meer meetkundige getalontwikkeling met zeer sterke eigenschappen: de kettingbreuk Toepassingen van deze breuken zijn te vinden in bijvoorbeeld de theorie van orthogonale polynomen en in bepaalde chaotische systemen Verder heeft Huygens kettingbreuken gebruikt bij de constructie van zijn planetarium, dat te bewonderen is in museum Boerhaave in Leiden In dit document zullen we de kettingbreuken nader bekijken In het eerste hoofdstuk behandelen we de constructie van een kettingbreuk en enkele algebraïsche eigenschappen We laten de lezer kennismaken met het concept en werken drie soorten ontwikkelingen uit In het tweede hoofdstuk gaan we meer in op de meetkundige eigenschappen van de getalontwikkeling door de natuurlijke uitbreiding te bespreken We zullen zien dat deze afbeelding informatie over de breuk op een efficiënte manier op kan slaan We sluiten af met een hoofdstuk over zogenaamde α-osen kettingbreuken We combineren de informatie uit hoofdstukken en om tot een algemeen resultaat te komen voor deze breuken 3

4 Continued Fractions Laat ons eerst eens kijken wat kettingbreuken eigenlijk zijn In de literatuur is veel geschreven over de eindige en oneindige ontwikkelingen die we kettingbreuken noemen Bovendien is er nog steeds veel te ontdekken met betrekking tot deze Continued Fractions We zullen in de eerste paragraaf kennismaken met de reguliere kettingbreuk De operator die hierbij komt kijken laat veel ruimte open voor variaties Zo komen we door een kleine verandering op de operator voor de kettingbreuken naar het dichtstbijzijnde gehele getal, de zogenaamde Nearest Integer Continued Fractions In de laatste paragraaf zien we vervolgens hoe de operator voor een osen-expansie hieruit te generaliseren is egular Continued Fractions Ieder reëel getal x is te schrijven als een kettingbreuk Kettingbreuken zijn van de vorm x = a 0 + a + a + Hierin is a 0 Z, zó dat x a 0 [0, ), en zijn de coëfficiënten a n positieve gehele getallen voor n Voor iedere x \ Q is de ontwikkeling oneindig en uniek Voor een x Q is de ontwikkeling eindig en is uniek op één variatie in de laatste coëfficiënt na Een voorbeeld van een eindige kettingbreukontwikkeling is 45 = De reden dat voor rationale getallen de kettingbreukontwikkeling eindig is, is te vinden in het Euclidische algoritme De ontwikkeling is eigenlijk een vervormde versie van het algoritme, wat gebruikt wordt om de grootste gemene deler van twee getallen te bepalen Bedenk eens hoe oud het algoritme is, en dus hoe lang geleden men eigenlijk al met kettingbreuken bezig was! 4

5 Voor een gemakkelijk getal x zoals hierboven, of zoals, is een expansie zelfs uit het hoofd te berekenen Zo is = Maar als we een andere x kiezen, vinden we de coëfficiënten met behulp van een operator Deze zogenaamde regular continued fraction operator (CF-operator) T : [0, ) [0, ) is als volgt gedefiniëerd: T (x) = x mod = x, x waarbij x 0 en T (0) = 0 In deze uitdrukking staat x voor de floor van, hiermee bedoelen we het grootste gehele deel van x x We passen deze operator toe op een x [0, ) In het geval van x / [0, ) zetten we a 0 = x en beschouwen we x a 0, zodat we een getal in [0, ) over houden Als we deze operator toepassen vinden we termen T 0 = x, T = T (x), T = T (T ),, T n = T (T n ), De genoemde coëfficiënten a n, welke eigenlijk wijzergetallen heten, worden vervolgens gegeven door a n =, met n En nu is x te schrijven als T n () x = a 0 + a + T = a 0 + a + a + T = a 0 + a + a + + a n + T n () Merk op, dat als x een irrationaal getal is, dat elke T n dan ook irrationaal zal zijn In bovenstaande ontwikkeling () kunnen we dus ook oneindig lang doorgaan Nu zien we ook waarom de ontwikkeling van x = is zoals in (): T ( ) =, dus elke a n = voor n =,, Waarom kijken we eigenlijk naar kettingbreuken? Het blijkt dat dergelijke ontwikkelingen goede benaderingen kunnen geven voor x [0, ) \ Q Definieer hiertoe een benadering ω n, de kettingbreukontwikkeling die we na a n 5

6 afbreken Dus ω n = a 0 + a Hiermee maken we de breuk eindig en ++ an is deze te schrijven als ω n = pn q n, waarbij p n Z, q n N, dus pn q n Q, en ggd(p n, q n ) = We zijn geïnteresseerd in hoe goed deze breuk x benadert, ofwel in de term x pn q n Laat de Möbius transformatie M gedifiniëerd zijn als ( ) a b M(x) = (x) = ax + b c d cx + d, waarbij we voor de matrix eisen dat ad ( bc = ± ) en a, b, c, d Z 0 Voor kettingbreuken schrijven we A i =, i =,, a i Dan is M n = A A A n en M 0 de identiteit Merk op dat A i (0) = a n ( ) rn p Stel dat M n gegeven is door M n = n, dan zal det(m n ) = ( ) n Maar er geldt ook ( ) ( ) ( ) rn p M n = M n A n = n 0 pn a = n p n + r n s n q n a n q n a n q n + s n waaruit volgt dat p n = r n en q n = s n De vergelijkingen die we overhouden zijn de recurrente betrekkingen: s n q n p =, p 0 = 0, p n = a n p n + p n, n q = 0, q 0 =, q n = a n q n + q n, n (3) Nu de relatie die deze matrices hebben met onze kettingbreuken Als we 6

7 voorgaande combineren zien we M n (0) = A A ( A n (0) ) 0 = M n (0) ( ) a n = M n a ( n ) 0 ( = M n ( a n ) = M n = a n + an a + a + + a n a n ) ( pn p Tegelijkertijd is M n (0) = n q n q n ) (0) = p n q n, dus p n q n = a + a + + a n Bovendien zien we ook dat ggd(p n, q n ) inderdaad is Immers det(m n ) = ( ) n = p n q n p n q n en de ggd is een deler van p n en q n, dus ook van p n q n en p n q n Dan is de ggd een deler van ( ) n en volgt ggd(p n, q n )= We herinneren ons de term x pn ( pn p q n en we weten dus dat Mn = n ) q n q n ( 0 Bekijk nu eens de matrix Mn = M n a n + T n (x) Dus Mn(0) = x en met T n (x) = T n geldt: ( ) ( ) pn p x = n 0 (0) ( q n q n a n + T n pn p = n + a n p n + p n T n q n q n + a n q n + q n T n ) (0) ) 7

8 en met de recurrente betrekkingen (3): ( pn p x = n + p n T n q n q n + q n T n = p n + p n T n q n + q n T n Als we dit invullen in x p n, q n krijgen we ) (0) x p n p q n = n + p n T n q n + q n T p n n q n = p nq n + p n q n T n (p n q n + p n q n T n ) q n (q n + q n T n ) = p n q n p n q n T n q n (q n + q n T n ) det(m = n ) T n q n (q n + q n T n ) = T n qn( + T n V n ) Hierbij is V n = q n q n = a n +, wat we het verleden van x op a n + + a tijdstip n noemen, natuurlijk is T n de toekomst van x op tijdstip n Laat x [0, ) \ Q en laat p [0, ) met p, q N q + en bovendien ggd(p, q)= We defniëren een getal Θ [0, ) als Θ = q x p q Een stelling van Legendre zegt nu, dat p q q kettingbreuk is van x Θ < q + q n q n een convergent van de reguliere x p n q n Kruislings vermenigvuldigen in de uitrdrukking die we net voor vonden, geeft ons voor wat we noemen de approximatiecoëfficiënt Θ n de uitdrukking Θ n = Θ n (x) = qn x p n = T n < + T n V n 8

9 Hierin is x [0, ) \ Q en pn q n de n-de convergent van de kettingbreuk De laatste ongelijkheid in de gegeven uitdrukking geldt omdat we weten dat beide T n, V n [0, ) Hieruit kunnen we afleiden dat, omdat heel snel qn (de q n groeien immers exponentiëel), de term tussen absoluutstrepen wel érg klein moet zijn! We zien dit ook door een simpel voorbeeld te geven Neem nog eens eerder genoemde De werkelijke eerste 6 decimalen zijn 0443 We bekijken nu de eerste vijf convergenten en we zien dat de vijfde (!) convergent al tot op de vierde decimaal klopt p q = + p 3 q 3 = + + p 4 q 4 = p 5 q 5 = ++ + = 04 = = = Concluderend blijken kettingbreuken zeer nauwkeurige benaderingen te geven voor de ontwikkeling van irrationale getallen Het is dus erg interessant ons verder te verdiepen in dergelijke breuken Nearest Integer Continued Fractions Naast de reguliere kettingbreukontwikkeling bestaan er tal van variaties Een eerste variatie vinden we door een kleine aanpassing in de CF-operator We krijgen een nieuwe operator T : [, ) [, ) gedefiniëerd als volgt: T (x) = x x +, waarbij x 0 en T (0) = 0 Zoals u ziet nemen we hier niet de floor van x, maar de floor van x + Hierdoor benaderen we de term x door het gehele getal dat het dichtst bij ligt, in plaats van met het onderliggende gehele getal Hieraan dankt de ontwikkeling haar naam: het gaat steeds om het nearest integer behorend bij x De ontwikkeling die ontstaat met behulp van deze NICF-operator is van de 9

10 vorm: x = b 0 + b + ε ε b + + ε n b n + Opnieuw zijn de alle coëfficiënten b, b,, b n N Alleen b 0 Z, zodanig dat x b 0 binnen het gewenste interval ligt; we hebben dat x b 0 [, ) De ε die we nu tegenkomen staat voor het teken van x b 0 In praktijk zal dus ε = ±, volgens: { voor T ε n (x) = teken van T n (x) = n (x) > 0 voor T n (x) < 0 De getallen b n worden beschreven door een vergelijkbare formule als bij de reguliere breuken, er geldt: b n = T n +, met n, b n, ε n+ + b n Merk hier op dat we bovenstaande ontwikkeling ook kunnen schrijven als T (x) = ε x ε x +, met x 0, T (0) = 0 Dit kan omdat ε(x) immers staat voor het teken van x, zo zal ε altijd een x positieve waarde zijn In sommige gevallen kan dit een gemakkelijkere notatie zijn Deze ε-notatie zal gebruikt worden in de volgende paragraaf Zeg A, B N en ξ [0, ) dan geldt: A + + B + ξ = A + + B + + ξ We noemen dit singularisatie We schuiven een breuk eigenlijk iets in elkaar Als twee termen ε n en a n beide zijn, mogen we deze dus bij A en B optellen en dit opheffen door ε n = te zetten En dit kan voor iedere twee termen ε n en a n gelijk aan Met behulp van singularisaties kunnen we uit de reguliere kettingbreuk zeer veel andere kettingbreuken maken Bijvoorbeeld, als we in de CF-ontwikkeling van x in een blok van wijzergetallen gelijk aan, dat vooraf gegaan wordt 0

11 door een wijzergetal groter dan, gaan singulariseren: we kunnen dan het eerste, derde, vijfde, wijzergetal singulariseren, dan vinden we de kettingbreuk naar het dichtstbijzijnde getal (zie [4] voor veel meer informatie) In de eerste paragraaf zagen we hoe een afgekapte reguliere kettingbreukontwikkeling convergeert naar de waarde van een irrationaal getal Voor de kettingbreuk naar het dichtstbijzijnde gehele getal is dit ook het geval We noteren een de convergenten r m s m = b 0 + b + ε ε b + + ε m b m, met m 0 De approximatie coëfficiënten zijn vervolgens Θ k = Θ m (x) = s m x r m, m 0 Hurwitz( heeft laten ) zien dat voor alle irrationale getallen deze Θ n < 5 = g, het gulden snede getal Omdat we net zagen dat de NICF eigenlijk volgt of komt uit de reguliere kettingbreuk, hebben de convergenten van beide breuken een verband De NICF is een beknoptere versie van de CF en daarmee is de rij de NICFconvergenten een deelrij van die van de reguliere kettingbreuk s m 3 osen Continued Fractions Om nu tot de ontwikkeling van x te komen die de osen expansie of λ- expansie wordt genoemd, passen we de operator die we vonden voor NICF opnieuw aan We definiëren hiertoe een λ, die gegeven wordt door λ = λ q = cos π, met q {3, 4, 5, } q De operator, waarin we deze λ in zullen voeren, zal hiermee afhankelijk worden van de gekozen q We schrijven T q (x) voor de λcf-operator T q (x) = ε ε x λ λx +, met x 0, T q (0) = 0

12 Het interval waarop deze operator actief is, is eveneens afhankelijk van de gekozen q, we hebben dat x [ λ, λ] Vervolgens zijn we natuurlijk geïnteresseerd in de ontwikkeling die deze operator ons zal geven Hiertoe zetten we het floor -gedeelte δ(x), dus δ N volgens ε δ(x) = λx + We krijgen een osen kettingbreuk of λ-expansie van de vorm x = ε δ λ + T q (x) = ε δ λ + ε δ λ + Merk op dat als we q = 3 kiezen, dat λ = λ 3 = cos π = In dit geval 3 beschrijft de λ-operator T q (x) = T 3 (x) precies de NICF-operator T uit de vorige paragraaf Op dit specifieke geval zullen we in hoofdstuk 4 terug komen Verder is het interval waarop de operator actief is ook te schrijven als x [λ( ), λ) Dit is de notatie waarmee we in hoofdstuk 4 verder werken

13 3 De natuurlijke uitbreiding Een kettingbreuk representeert dus voor alle x [0, )\Q een oneindig lange breukontwikkeling Om grip te krijgen op dit geheel construeren we in dit hoofdstuk de natuurlijke uitbreiding 3 De natuurlijke uitbreiding We zagen in het vorige hoofdstuk dat Θ n = qn x p n = q n T n + T n V n (4) Bedenk dat per definitie T n = T (T n ) = T n a n, waarbij T n voor de kettingbreukontwikkeling vanaf a n, a n+, stond Hieruit kunnen we oplossen T n = a n+t n En als we dit invullen in (4) volgt: Θ n = a n + T n q n + a n + T n q n = a n + T n + q n = = = = q q n n (a n + T n )q n + q n q n a n q n + q n + q n T n q n q n + q n T n q n q n + q n q n = V n + T n V n We bespreken allereerst de natuurlijke uitbreiding voor de reguliere kettingbreuk Dat is een gebied Ω, zodat T : Ω Ω met ( ) T (x, y) = T (x), + y T n x 3

14 bijectief is Bekijk bijvoorbeeld eens T n (x, 0) = T n (x), a n + a n + + a = (T n, V n ) en omdat a n + a n + + a = q n q n = V n, beheerst de afbeelding eigenlijk tegelijkertijd zowel de toekomst T n (x) als verleden V n van de breukontwikkeling Uit de kettingbreukoperator volgt, dat a n+ = k T n (, ] We nemen k+ k om te beginnen aan dat Ω bestaat uit verenigingen blokjes op intervallen (, ], voor k N Als we een dergelijke afbeelding op willen bouwen kijken we eerst naar het meest rechtse gebied We nemen [δ, ] x [0, ], met δ k+ k de eerste grensovergang (naar het volgende natuurlijke getal) voor de floor, voor de reguliere kettingbreuk is dat δ = We zien voor hoogte nul dat dit een lijn geeft over de hele breedte van het beeld, op hoogte Vervolgens, als we bedenken waar hoogte van het origineel terecht komt, vertelt T ons, dat we in de hoogte coëfficiënt door een getal + moeten delen, met > 0 Omdat + > zal dus het gebied boven de nullijn in het origineel, juist ónder de lijn op hoogte in het beeld liggen Dit geldt vervolgens voor alle gebieden [δ i, δ i ] x [0, ], met hoogtelijnen Dit geeft de natuurlijke i+ uitbreiding voor de reguliere kettingbreuk: 0 3 T 0 = + 3 Nu willen we nog dat de verschillende gebieden ook aansluiten, zodat er geen spleten ontstaan Dit hebben we immers in het origineel ook niet Hiertoe 4

15 vinden we een aantal vergelijkingen waaraan we moeten voldoen, bijvoorbeeld = De lezer begrijpt hoe we aan de waarde = zijn gekomen + die in het plaatje staat Andere vergelijkingen waaraan we moeten voldoen zijn van deze vorm =, hieraan hebben we dus al voldaan k+ k+ We hebben nu dus de natuurlijke uitbreiding T van [0, ) x [0, ) naar zichzelf Bovendien is V n T n Θ n =, Θ n =, + T n V n + T n V n waarbij T n = T n (x) en V n = q n q n en n Nu ligt het voor de hand om een afbeelding ψ : [0, ) x [0, ) bekijken, waarbij ψ alsvolgt ( ) v ψ(t, v) = + tv, t + tv Als we het beeld van [0, ) x [0, ) onder ψ bekijken zien we een driehoek met hoekpunten (0, 0),(0, ) en (, 0) zoals hieronder: te ψ We zien hieruit, omdat (Θ n, Θ n ) in de driehoek ligt, dat voor elk irrationaal getal x [0) en elke n : Θ n + Θ n < Hieruit volgt direct het klassieke resultaat van Vahlen, dat min(θ n, Θ n ) < Omdat ( ) (Θ n, Θ n ) = ψ T (ψ (Θ n, Θ n )) 5

16 kunnen we Θ n+ uitdrukken in Θ n en Θ n Na wat rekenwerk (zie [6]) vinden we een uitdrukking voor Θ n +, waaruit we voor ieder irrationaal getal x [0) en elke n af kunnen leiden: (i) min(θ n, Θ n, Θ n+ ) < a n+ + 4 (ii) max(θ n, Θ n, Θ n+ ) > a n+ + 4 Dit afleiden is in het eerste geval gedaan door veel verschillende auteurs, bijvoorbeeld [], in het tweede geval verwijzen we naar [] ( ) Voor de CF geldt dat [0, ), L, µ, T een ergodisch systeem is Oorspronkelijk is dit bewezen in [3], en jaar later in [9] Er zijn verschillende boeken waar een bewijs gevonden kan worden, bijvoorbeeld [4] Hierbij is L een Borel σ-algebra, en µ is een kansmaat op [0,), die T -invariant is T -invariant wil zeggen dat als A L, dan zal µ(t (A)) = µ(a) en, dit weten we uit één van de dagboeken van Gauss, er geldt: µ(a) = log A dx + x Dus heeft µ een dichtheid op [0,) van log + x T is ergodisch wil zeggen, dat als T (A) = A, dan moet gelden dat µ(a) = 0 òf µ(a) = We zeggen hier dus dat het interval [0,) níet uit twee aparte delen van maat µ > 0 die invariant zijn onder T kan bestaan Dit is ondekt door Doeblin en herontdekt door yll Nardzewski Dit is een belangrijke definitie als we de ergodenstelling van Birkhoff willen introduceren Deze zegt dat, met T een ergodische afbeelding en voor bijna alle x, voor alle integreerbare functies f er met kans geldt dat lim N N N i=0 f(t (x)) = [0,) f(x)dµ = log 0 f(x) + x dx 6

17 We ( kunnen ook laten ) zien, dit heeft Nakada gedaan in [8], dat [0, ) x [0, ), L, ˆµ, T ook ergodisch is Hierin is ˆµ(A) = dx dy, voor A L log A ( + xy) Als we de ergodenstelling toepassen op de wijzergetallen a n, zien we dat voor bijna alle x ongeveer 4% van de digits gelijk is aan en ongeveer 7% gelijk aan Bovendien kunnen we zo bepalen dat voor bijna alle x lim N 3 Even indices N N n=0 Θ n = 4 log = Tijdens het toepassen van de λcf-operator van de osen kettingbreuk zijn we ook steeds met maar twee punten bezig: het punt x i waar we mee rekenen en het punt T q (x i ) = x i+ Informatie over wat we eerder tegenkwamen is dus verloren gegaan Maar juist deze informatie is van belang als we iets over de breuk te weten willen komen Als het ware moeten weer zowel het verleden als de toekomst van de breuk gerepresenteerd worden in één eindige constructie Hiertoe construeren we voor de osen kettingbreuk de natuurlijke uitbreiding volgens: T (x, y) = ( ) T q (x), δλ + εy We zoeken het kleinste domein waarop T bijectief wordt afgebeeld Dit gebied en bijbehorende afbeelding zijn te vinden voor iedere vast gekozen q We zullen in de volgende twee paragrafen behandelen hoe de natuurlijke uitbreiding wordt opgebouwd We doen dit eerst voor de gevallen waarin q even is, in een nieuwe paragraaf bespreken we de afbeelding voor oneven q We zullen in deze paragraaf de natuurlijke uitbreiding bespreken voor de even gevallen van q We zetten dus q = p en we kijken naar q 4 Hiermee zal < λ < In plaats van hier eerst te bewijzen welk domein we moeten beschouwen, 7

18 beginnen we gewoon de afbeelding vanuit niets op te bouwen We bekijken voor alle x [ λ, λ ] hoe deze zich ontwikkelen, met onze T erop toegepast Hiertoe bepalen we eerst de verschillende digits δ, δ, δ 3,, de waarden van x waarvoor de eerder gedefiniëerde floor δ(x) naar het volgende natuurlijke getal springt, bijvoorbeeld van naar Genoemde overgangen zullen een belangrijke rol vervullen binnen de uiteindelijke opbouw van de natuurlijke uitbreiding We noemen de linker grens van het intervan vanaf nu l 0, de rechtergrens r 0 Bovendien zetten we T (l 0 ) = φ, T (φ ) = φ, Merk op dat T (l 0 ) = T (r 0 ) omdat l 0 = r 0 Zo volgt een indeling van de x-as, vergelijkbaar met l 0 = φ 0 φ φ δ i φ 3 φ 4 δ j 0 = φ n δ δ r 0 Omdat een bespreking van het algemene geval hier erg onduidelijk is, behandelen we de theorie vanaf nu aan de hand van een voorbeeld We bespreken de uitbreiding voor q = 8 Nu zal λ = cos π Het interval van deze uitbreiding 8 is [ λ, λ ] We vinden λ = r 0 = λ = φ 0 = λ = φ = φ = 0549 φ 3 = 0 Verder bepalen we voor welke x de uitdrukking ε + x =,, 3, en we noemen de grenzen δ, δ, Hiervoor vinden we { δ = = λ δ = 3 = λ Onze verdeling voor de x-as is dan gegeven door φ 0 φ φ δ φ 3 = 0 δ r 0 We beginnen nu met een rechthoek aan de rechterkant als uitgangspunt Voor deze rechthoek nemen we als hoekpunten r 0 en δ Omdat we de juiste 8

19 hoogte nog niet kennen, nemen we deze willekeurig We noemen de hoogte Vervolgens kijken we waar onze T deze rechthoek afbeeldt Er geldt T : (r 0, 0) (φ, ) en T : (δ λ, 0) (r 0, ) We zien dat we voor hoogte nul λ een lijn op hoogte terug krijgen Deze strekt zich van φ λ tot r 0 Vervolgens willen we nog weten hoe hoogte terug komt in de afbeelding Nu geldt T : (r 0, ) (φ, ) en T : (δ λ+, ) (r 0, ) We zien een noemer λ+ λ + > λ voor > 0, wat betekent dat de hoogte uit het origineel naar beneden afgebeeld wordt ten opzichte van de lijn We weten niet hóe laag λ we het beeld moeten tekenen, we weten immers hoogte nog niet Laat deze hoogte L = zijn Dus λ+ φ 0 φ φ δ 0 δ r 0 T 8 λ L φ 0 φ φ δ 0 δ r 0 Voor een volgende rechthoek beginnen we links We kiezen als hoekpunten l 0 = φ 0 en φ Opnieuw nemen we de hoogte willekeurig, we noemen deze in het linkerplaatje L, dit blijkt later handig We weten T : (φ 0, 0) (φ, ) λ en T : (φ, 0) (φ, ) Voor de hoogte nul geldt opnieuw T : (0 ) λ λδ met δ = Maar nu zien we voor een hoogte L 0 van de rechthoek links dat deze afgebeeld wordt op hoogte λ L, immers het teken ε(x) van x is hier Nu is de noemer < λ λ L, waardoor de rechthoek nu bóven de lijn wordt afgebeeld De hoogte van de nieuwe rechthoek is onbekend, zeg L λ Dit ziet er alsvolgt uit: L T 8 L λ L φ 0 φ φ δ 0 δ r 0 φ 0 φ φ δ 0 δ r 0 Als we nu een balk tussen φ en φ bekijken, zien we dat die ook nog in 9

20 het gebied ligt, waar δ(x) = Zo n rechthoek zal dus ook boven de lijn λ afgebeeld worden Met T : (φ, 0) (φ, λ ), T : (φ, 0) (φ 3, λ ), met φ 3 = 0 en een onbekende hoogte L in het origineel: φ 0 φ φ δ 0 δ r 0 L L T 8 φ 0 φ φ δ 0 δ r 0 L λ L L 3 Ook een rechthoek in het origineel met hoekpunten φ en δ valt binnen het δ(x) = -gebied Zo zal een zijde van deze rechthoek wederom afgebeeld worden op de lijn λ, ditmaal tussen 0 en r 0 We noemen de onbekende hoogte in het origineel L 3 en de hoogte in het beeld Verder is de resterende ruimte tussen δ en 0, eveneens als de ruimte tussen 0 en δ, op te delen in stukken [ δ i, δ i+ ] respectievelijk [δ i+, δ i ] Deze intervallen geven in het beeld stroken van λ tot λ, dus over de hele breedte De basishoogten van de stroken, waarvan vervolgens naar boven of naar beneden een gebied wordt afgebeeld, zijn voor iedere δ(x) te berekenen Deze worden gegeven door λ, 3λ, φ 0 φ φ δ 0 δ r0 L L L 3 T 8 φ 0 φ φ δ 0 δ r 0 λ L L L 3 Op deze wijze kunnen we dus voor alle zelfgekozen rechthoeken in het origineel een rechthoek in het beeld vinden Maar om nu in origineel en beeld exact dezelfde ruimte te krijgen, we zoeken immers een bijectieve afbeelding, moeten L origineel = L beeld, L origineel = L beeld en L 3origineel = L 3beeld Bovendien moeten we er zeker van zijn dat er in het beeld onder de hoogte L geen spleet zit, met andere woorden: het moet aansluiten Ook binnen het witte gebied mogen geen spleten zitten, die spleten hebben we immers in het 0

21 origineel ook niet De verkregen vergelijkingen waaraan we moeten voldoen zijn: = λ L 3 L = λ+ L = λ L L 3 = λ L = λ+ λ L 3 = λ+ 3λ L 3 De afbeelding blijkt te construeren met = en inderdaad is T bijectief In het algemeen is de natuurlijke uitbreiding te vinden als we kunnen voldoen aan dergelijke vergelijkingen (zie []) Voor bijvoorbeeld q = geldt dat φ 5 = 0, we zien in zo n geval L tot en met L 5 terug in de vergelijkingen Volgens: = λ L p L = λ+ L j = λ L j voor j {,, p } = λ L p 33 Oneven indices Op vergelijkbare wijze kunnen we de natuurlijke uitbreiding voor de oneven indices construeren, in [] is bewezen dat dit voor q 3 altijd zal werken We zetten q = p + 3 met p, zodat < λ < We behandelen als voorbeeld het geval met q = 9, om de methode te illustreren Opnieuw beginnen we eerst een aantal waarden uit te rekenen We bepalen T (x), T (T (x)), en we zoeken de waarden van de δ i (x) We vinden: φ 0 = λ = φ = 0850 φ = δ = = λ φ 3 = δ = en = 083 5λ φ 4 = δ 3 = φ 5 = 074 = 050 7λ φ 6 = φ 7 = 0

22 We zien hier dat de φ i niet, zoals bij de even indices, lineair naar nul toe lopen Zoals ook hieronder aangegeven springt φ voor q = 9 eenmaal verder terug dan de oorspronkelijke φ Voor q > 9 zullen dit soort terugsprongen vaker voorkomen We zien bovendien dat we hierdoor dubbel zoveel stappen nodig hebben om bij nul te komen φ 0 φ 4 φ φ 5 φ φ 6 δ φ 3 δ δ 3 0 δ 3 δ δ r 0 Voor het opbouwen van de afbeelding beginnen we met het gebied waarvoor δ(x) = De nullijn van dat deelgebied wordt afgebeeld op hoogte, net λ zoals bij het even geval Omdat zowel r 0 als φ 0 afgebeeld worden op φ, loopt de lijn in de breedte van φ tot λ De positieve kant van het origineel wordt vanaf de lijn over de genoemde breedte naar beneden afgebeeld We nemen voor de hoogte in het origineel een onbekende De negatieve kant van het origineel delen we op in deelintervallen, waarbij de verschillende φ i de grenzen zijn Zo krijgen we [φ 0, φ 4 ], [φ 4, φ ],, [φ 6, δ ] Voor deze intervallen definiëren we L tot L 6, de verschillende hoogten voor de respectievelijke intervallen In het beeld komen deze staven terug als rechthoeken bóven de lijn Hierbij zetten we de hoogte, die we voor het beeld van het interval λ [φ, φ 6 ] vinden, op een onbekende L 7 Zie omme zijde

23 φ 0 φ 4 φ φ 5 φ φ 6 δ φ 3 δ δ 3 0 δ 3 δ δ r 0 L L L 3 L 4 L 5 L 6 T 9 φ 0 φ 4 φ φ 5 φ φ 6 δ φ 3 δ δ 3 0 δ 3 δ δ r 0 L 3 L 4 L 5 L 6 L 7 λ λ+ Vervolgens bekijken we nog deelgebieden waarvoor δ(x) = apart Deze worden afgebeeld rond de horizontale lijn λ Voor de intervallen [ δ, φ 3 ] en [φ 3, δ ] vinden we verschillende hoogten Voor het eerste interval geldt dat de hoogte gelijk moet zijn aan het interval dat er links van ligt Doordat alle nog onbekende delen van het origineel lager dan hoogte λ afgebeeld zullen worden (immers δ(x) > ), kunnen we dat aflezen uit het beeld Op deze wijze leiden we ook af dat de hoogte voor verdere intervallen [δ i, δ i+ ] gelijk moet zijn aan de hoogte van het interval [φ 3, δ ], namelijk hoogte L 7 Vergelijkbaar aan de uitbreiding voor even indices worden intervallen [ δ i, δ i+ ] en [δ i+, δ i ] uit het origineel, voor oplopende i steeds lager rond horizontale lijnen met respectievelijke hoogten (i+)λ afgebeeld De lijnen lopen van λ tot λ, dus over de hele breedte van φ 0 tot r 0 De natuurlijke uitbreiding voor q = 9 wordt dan 3

24 φ 0 φ 4 φ φ 5 φ φ 6 δ φ 3 δ δ 3 0 δ 3 δ δ r 0 L L L 3 L 4 L 5 L 6 L 7 T 9 φ 0 φ 4 φ φ 5 φ φ 6 δ φ 3 δ δ 3 0 δ 3 δ δ r 0 L L L 3 L 4 L 5 L 6 L 7 λ λ Om te voldoen aan de eis van bijectiviteit, stellen we weer vergelijkingen op voor de hoogten L i Er geldt: = λ L p L = λ L p L = λ L p+ L j = λ L j voor < j < p + = λ L p+ Hieruit volgt voor q = 9 dat = L = L 7 = λ 4

25 4 α-osen Fractions In dit hoofdstuk kijken we gedetailleerder naar een variatie op de kettingbreuk ontwikkeling naar het dichtstbijzijnde gehele getal Het betreft hier de zogenaamde α-osen expansie We zullen de natuurlijke uitbreidingen van deze kettingbreuken bespreken voor verschillende waarden van α en q = 3 De laatste paragraaf behandelt het bestaan van de natuurlijke uitbreidingen voor gegeven α in het algemeen We geven een bewijs dat de uitbreiding voor α tussen bepaalde grenzen altijd te construeren is 4 α-osen Fractions Als we ons nog eens de NICF-operator uit voor de geest halen, herinneren we ons ook waar deze zijn naam aan te danken had We namen steeds de floor van + Zoals eerder gezegd is de kettingbreuk naar het dichtstbijzijnde gehele getal een speciaal geval van de osen kettingbreuk, het geval x waarvoor λ = Immers T q (x) = ε ε x λ λx + met q = 3 λ = Dit geeft T (x) = ε x ε x + We beperken ons vanaf nu tot precies dit geval, waarin q = 3 en dus λ = Nu vragen we ons af wat er gebeurt als we de term vervangen door een ander getal tussen 0 en Is er dan nog steeds een natuurlijke uitbreiding te construeren? En is dit mogelijk voor íeder getal? We definiëren de operator T α : [λ(α ), λα) [λ(α ), λα) alvolgt: T α = ε ε x x + α, met x 0 en T α (0) = 0 Bovendien is hierbij 0 α, zodat ξ 0 Over α [, ] is al geschreven in de literatuur (zie hiervoor [5] voor q 3 λ en [8] voor q = 3) Daarom zullen we hier kijken wat er gebeurt voor kleinere α In de volgende paragrafen behandelen we gevallen waarbij α [, ] 5

26 4 De natuurlijke uitbreiding Hoe ziet de natuurlijke uitbreiding voor α [, ] en q = 3 er nu uit? In deze paragraaf bekijken we de constructie voor enkele waarden van α Zoals in eerdere hoofdstukken gebruiken we weer de afbeelding T die gelijktijdig de toekomst en het verleden in zich draagt: T (x, y) = ( T α (x), δ(x) + ε(x)y ) We beginnen met de afbeelding voor α =, het geval van de kettingbreuk naar het dichtstbijzijnde getal Op dezelfde wijze als in hoofdstuk, bepalen we eerst de waarden van de δ i In dit geval geeft ons dat δ = δ = /3 = δ 3 = /5 = 04 De beide uiteinden van de afbeelding zitten dus in het δ(x) = -gebied Verder zien we direct dat φ = 0 Hoogte nul van intervallen [, δ 3] en [δ 3, ] uit het origineel, wordt afgebeeld op de lijn λ, ofwel hoogte We vinden voor het gulden snede getal g = 5 = 06803, voor de linkerhoogte geldt L = g = Voor α = 05 geeft ons dat het volgende plaatje: φ 0 δ 3 φ = 0 δ 3 r 0 = g g T φ 0 δ 3 φ = 0 δ 3 r 0 = g g Nu willen we een kleinere α beschouwen, maar we nemen kleine stapjes We kiezen α = 048 Er geldt T 048 : [ 05, 048) [ 05, 048) Omdat we nu voor het eerst het linkeruiteinde ongelijk aan het rechteruiteinde is, zetten we een nieuwe indicatie aan de linkerkant: l 0 Bovendien zal nu gelden dat T (r 0 ) T (l 0 ), dus we zetten T (r 0 ) = r, T (r ) = r,, T (l 0 ) = l, Nu 6

27 zoeken we niet naar een r i = 0 of l i = 0, zoals voor α =, maar we willen dat r i = l j Dan komen ze immers samen en zullen de rechthoeken van de natuurlijke uitbreiding aan gaan sluiten We vinden de volgende waarden: l 0 = 05 l = l = 0 r 0 = 048 r = r = 0 en δ = δ = δ = δ 3 = 0080 δ 4 = Hiermee krijgen we voor α = 048 het volgende plaatje: L l 0 δ 3 δ 40 δ 3 δ δ 3 r 0 δ 3 l r T l 0 l 0 r r 0 + We zien hier iets heel bijzonders gebeuren Omdat de bovenste balk verder uitsteekt dan de rechthoek die eronder ligt, krijgen we spleten in de body van onze ruimte Echter, nu blijkt, dat deze elkaar precies op kunnen vullen, als we maar aan een aantal extra vergelijkingen voldoen Zo moet nu gelden: = L = + 3 L = 3+ 4 L = + 3 L = +L 3 = Uiteraard is aan de allerlaatste vergelijking gewoon voldaan Alle andere eisen kunnen we reduceren tot twee vergelijkingen, als geldt dat = en L 7

28 + L = is alles in orde Als we de eerste vergelijking in de tweede invullen kunnen we L en oplossen De uitbreiding blijkt inderdaad zonder gaten te construeren met = g = en L = g = Vervolgens kiezen we α = 045 Voor deze α vinden we l 0 = 055 l = 088 l = 05 r 0 = 045 r = 0 r = 05 en δ = δ = δ 3 = 0486 δ 4 = δ 5 = 047 δ 6 = δ 7 = Nu komen r en l voor het eerst niet bij nul samen, maar bij 05 We komen tot de volgende afbeelding: l 0 δ 3 δ 6 l δ 7 0 δ 6 r δ 5 δ 3 r0 L T 045 l 0 l r l 0 r r We bekijken nog een voorbeeld, nu even zonder alle expliciete waarden te noemen Voor α = 04 vinden we l 0 δ 3 δ 4 l δ 5 0 δ 4 r δ 3 r 0 L T 04 l 0 l r l 0 r r Eigenlijk lijkt het dus dat voor kleinere α de grens r meer naar rechts opschuift Hoe ver gaat dit door? Is er ook een afbeelding waarbij r niet meer 8

29 bestaat, ofwel op r 0 ligt? Zo n afbeelding bestaat inderdaad en is te vinden bij een α = Deze uitbreiding ziet er zo uit φ 0 δ 3 l = δ 4 δ 5 0 δ 5 δ 4 δ 3 r 0 L T α l 0 l = δ 4 0 δ 3 = r 0 r = r = l Grenzen voor α Aan de hand van de voorbeelden uit de vorige paragraaf hebben we gezien dat voor bepaalde α 05 de natuurlijke uitbreiding bestaat We weten echter niet of dit echt voor íedere α tussen die grenzen het geval is Daarom willen we een bewijs geven, dat dit inderdaad waar is We bekeken eerst de twee grensgevallen apart Voor α = 05 en α = hebben we de natuurlijke uitbreiding eigenlijk al behandeld in de vorige paragraaf Als vervolgens ook voor < α < 05 een natuurlijke uitbreiding te construeren is, zal de ruimte van onderstaande vorm zijn Hierin zijn r 0, r, l 0, l afhankelijk van α l 0 l 0 r r 0 L We zien hier l weergegeven als een negatief getal, r als een positief getal Maar dit is heel logisch en zal altijd op deze manier ingedeeld zijn Im- 9

30 mers, r 0 = α, en zo zal < r 0 < 3 Omdat de floor van r 0 + α voor < α < 05 gelijk aan is, blijft r een postief getal Analoog zien we dat < l 0 <, en met een floor van, wordt l < 0 Als we even terug denken aan het bijvoorbeeld α = 04, weten we dat er enkele eisen zijn aan de afbeelding Allereerst moeten we vinden, dat r = l, zodat de horizontale stroken gaan aansluiten Bovendien moeten de spleten in elkaar vallen, dit gebeurt alleen als r en l afgebeeld worden tussen de horizontale lijnen van twee elkaar opeenvolgende floor -waarden We bepalen zodoende alle δ i op de lijn [r 0, l 0 ] Er moet gelden dat, gegeven r ligt tussen δ i en δ i, l aan de andere kant van de nullijn tussen de grenzen δ i en δ i+ ligt In wiskundige symbolen: Als gegeven dat dan moet δ i > r > δ i δ i+ > l > δ i Als we dit bewezen hebben ligt het probleemgebied in het beeld tussen de horizontale lijnen δ i en δ i We moeten dan nog laten zien dat er een en L bestaan, zodat = en + L = L Laat ons eerst noteren hoe we steeds aan de verschillende δ i kwamen, zoals we in 3 zagen Omdat δ =, δ α =, δ α+ 3 =, kunnen we schrijven α+ δ i = α+i We beginnen het bewijs van de eisen die r en l opgelegd worden We hebben hier eigenlijk 4 vergelijkingen waaraan voldaan moet zijn We gaan nu iedere vergelijking apart omschrijven Omdat r > 0, bestaat er een unieke i, zodanig dat δ i > r > δ i Nu is: δ i > r > r α+i > α+i r 0 r 0 + α > + α α+i α α Als we nagaan waar de floor-term voor kan staan, komen we gemakkelijk tot de conclusie dat deze gelijk aan is voor iedere < α < 05 En als 30

31 we dit invullen: > + α > α+i α α α+i α > α+i (α + i ) α α > α + i α(α + i ) α > α + i α iα + 4α α + 4α iα + i < 0 (5) Als we nu in (5) i door i vervangen en het teken omklappen, vinden we op analoge wijze dat met het tweede deel van de vergelijking dan ook gegeven is dat: r > δ i α + α iα + i > 0 (6) Vervolgens zullen we de eisen uitwerken Let hierbij op het vermenigvuldigen met de term α, dit is een negatief getal Hierdoor klappen de tekens om! Er bestaat, omdat l < 0, een unieke j, zodat δ j+ > l > l α+j > α+j l 0 l 0 + α > + α α+j α α > α+j α > (α+j) (α + j) α > α+j (α + i) α α > α + j (α + j)( α) α > α + j (α + jα + j + α ) α α + jα j + < 0 (7) De laatste vergelijking kunnen we op dezelfde wijze uit schrijven, door j + te vervangen door j en eveneens het teken om te klappen We krijgen dan l > δ j α + 4α jα + j < 0 (8) Samenvattend zagen we met vergelijkingen (5) en (6) dat gegeven was α + 4α iα + i < 0 α iα + α + i > 0 Hieruit moesten vergelijkingen (7) en (8) volgen, dus dat α α + jα j + < 0 α + 4α jα + j < 0 3

32 Als we nu de verkregen uitdrukkingen nog een laatste maal omschrijven, vinden we een uitdrukking voor i Met (5) en (6) en α < en dus α > 0: α + 4α iα + i < 0 iα + i < α 4α + ( α)i < α 4α + i < α 4α+ α α iα + α + i > 0 iα + i > α α + ( α)i > α α + i > α α+ α en volgt voor i: α α + α < i < α α + + α α = α α + α Oftewel, i is het unieke gehele getal dat in het interval ( ) α α +, α α + + α α ligt + (9) Als we met (7) en (8) een zelfde uitdrukking voor j zoeken, vinden we op analoge wijze: α α + jα j + < 0 ( α)j > α α + j > α α+ α α + 4α jα + j < 0 ( α)j < α 4α + j < α α++ α α En volgt voor j: α α + α < j < α α + + α α = α α + α + (0) Hier kunnen we dus zeggen dat j het unieke gehele getal is dat in het interval ligt gegeven door: ( ) α α +, α α + + α α 3

33 Uit vergelijkingen (9) en (0) volgt nu direct dat j op exact hetzelfde interval te vinden is als i en dus moet er gelden dat i = j Hiermee voldoen we aan de eisen die we in het begin van deze paragraaf stelden aan r en l We willen laten zien dat voor iedere < α < 05 geldt dat r = l l = r r r + α = l l + α Nu kunnen we het resultaat dat we hierboven hebben gevonden gebruiken We weten dat als r + α = d dan moet l + α = d + Hierin is d N, l lag immers één fundamentaalgebied verder naar rechts We weten dan: r 0 = α r = = α α α α r = d α en we vinden dat: l 0 = α l = = α α α l = α (d + ) α l = α α + α α (d+) = d = + α α α d = α α d = r En dit is waar voor iedere < α < 05 est ons nog te bespreken dat er nu altijd een en L bestaan, zodat = L en +L = Maar dit is, als we de ene in de andere vergelijking invullen, een kwadratische vergelijking We krijgen dat L +L = en dus L 3L+ = 0 We vinden dat voor iedere natuurlijke uitbreiding van < α < 05 hoogte = en hoogte L = En zo is dus de natuurlijke uitbeiding te construeren voor iedere α 05, wat we wilden bewijzen Met de natuurlijke uitbreiding kunnen we ook voor deze soort kettingbreuken iets zeggen over convergenten Opnieuw uit [5] halen we dat we voor de 33

34 approximatie coëfficiënten Θ n = Θ n (x) kunnen schrijven: Θ n (x) = Sn x n, n 0, waar n S n weer de n-de convergent is, in dit geval van de α-osenbreuk, verkregen uit een afgekapte ontwikkeling Bovendien volgt uit het artikel dat, als we (t n, v n ) = T α (x, 0) zetten, voor elke n geldt Θ n = S n v n + t n v n, Θ n = ε n+t n + t n v n Net als bij de osen kettingbreuk kunnen we volgens [6] een uitdrukking vinden voor Θ n+ in termen van Θ n en Θ n (zie [5]) Het is logisch naar een afbeelding te kijken die bovenstaande coëfficiënten beheerst, analoog 3 ( ) v F (t, v) = + tv, t + tv Voor eigenschappen van bijvoorbeeld Θ n die hieruit af te leiden zijn verwijzen we verder naar [7] De laatste, nog niet besproken, grenzen voor α liggen nog verder naar links Voor 0 α < is nog erg weinig bekend Het is duidelijk dat voor deze α de natuurlijke uitbreiding niet geconstrueerd kan worden op dezelfde wijze als voor grotere α, zoals die in dit document is besproken Luzzi en Marmi werken hieraan, de meest recente resultaten zijn te vinden op [] Hier is nog veel ruimte voor vervolgstudie! 34

35 5 Conclusie Kettingbreukontwikkelingen blijken goede benaderingen te geven voor irrationale getallen We willen deze ontwikkelingen bestuderen in de vorm van de natuurlijke uitbreiding Dit is een eindige afbeelding, die tegelijkertijd zowel toekomst als verleden van een ontwikkeling bevat Hiermee kunnen we namelijk iets zeggen over de convergenten van een kettingbreuk en dus over de kwaliteit van de benadering Een dergelijke uitbreiding is voor verschillende soorten kettingbreuken altijd te construeren We hebben de natuurlijke uitbreiding van een specifiek type kettingbreuk nader bekeken: de α-osen fraction Voor vaste q = 3 en bijbehorende vaste λ = kunnen we naar de natuurlijke uitbreiding voor verschillende α van de ontwikkeling kijken In de literatuur is te vinden hoe de uitbreiding zich gedraagt voor α [, ], hier behandelden λ we de gevallen waarin α [, ] Alle variabelen binnen de afbeelding zijn afhankelijk van de gekozen α We kunnen ze dan ook allemaal uitdrukken in termen van α Zo ook de eisen waaraan we moeten voldoen, voordat een uitbreiding tot stand kan komen Na het opstellen van deze eisen zijn we tot een bewijs gekomen: de natuurlijke uitbreiding is voor de α-osen breuk met vaste λ = te construeren voor iedere α ] Nu kan men zich afvragen wat er gebeurt voor α < Duidelijk is dat we geen uitbreiding kunnen construeren op dezelfde wijze als voor grotere α Luzzi en Marmi werken aan dit geval; hier is nog veel ruimte voor vervolgstudie! 35

36 eferenties [] Bagemihl, F; McLaughlin, J Generalization of some classical theorems concerning triples of consecutive convergents to simple continued fractions J eine Angew Math [] Burton, M; Kraaikamp, C; Schmidt, TA Natural extensions for the osen fractions Trans Amer Math Soc 35 (000), no 3, [3] Doeblin, W emarques sur la théorie métrique des fractions continues Compositio Math 7 (940), [4] Dajani, K and Kraaikamp, C Ergodic theory of numbers, Carus Mathematical Monographs, 9 Mathematical Association of America, Washington, DC, 00 [5] Dajani, K; Kraaikamp, C; Steiner, W Metrical theorie for α-osen fractions Delft, 007 [6] Jager, H; Kraaikamp, C On the approximation by continued fractions Nederl Akad Wetensch Indag Math 5 (989), no 3, [7] Kraaikamp, C The distribution of some sequences connected with the nearest integer continued fraction Nederl Akad Wetensch Indag Math 49 (987), no, 77 9 [8] Nakada, H Metrical theory for a class of continued fraction transformations and their natural extensions, Tokyo J Math 4 (98), [9] yll Nardzewski, C On the ergodic theorems II Ergodic theory of continued fractions, Studia Math, (95), [0] Smeets, Ionica Arithmic and ergodic approximation properties of osen continued fractions Delft, 005 (afstudeerscriptie) [] Tong, Jing Cheng The conjugate property of the Borel theorem on Diophantine approximation Math Z 84 (983), no, 5 53 [] 36