Getallen maken met Lüroth systemen
|
|
- Maria de Vries
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 R.R. Mahabir Getallen maken met Lüroth systemen Bachelorscriptie, Versie Scriptiebegeleider: dr. C.C.C.J. Kalle Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden
2
3 Inhoudsopgave Inleiding De alternerende Lüroth transformatie. De alternerende Lüroth transformatie Getalsontwikkelingen Uniciteit Over de rationaliteit van Lüroth getalsontwikkelingen Maatbehoudendheid voor de alternerende Lüroth transformatie Ergodiciteit voor de alternerende Lüroth transformatie De uitgebreide alternerende Lüroth transformatie 9. Het onstaan van de uitgebreide alternerende Lüroth transformatie Random maps en invariante maten De uitgebreide Lüroth transformatie Conclusie 7
4 Inleiding Er zijn tal van manieren om getallen te schijven. Zo kun je getallen bijvoorbeeld schrijven aan de hand van het decimale stelsel, welke we in het dagelijks leven gebruiken. Of aan de hand van het binaire stelsel, welke veelal in de moderne digitale elektronica wordt gebruikt. Een andere manier om getallen te schrijven is met behulp van Lüroth systemen, genoemd naar de Duitse wiskundige Jacob Lüroth (844-90). In zijn artikel [Lür8] uit 88 introduceerde Jacob Lüroth een manier om getallen uit het interval [0, ) te schrijven, die in het algemeen ietswat ingewikkeldere getalsontwikkelingen geeft, maar daar tegenover wel hele prettige dynamische eigenschappen geeft. Hoewel het al meer dan 00 jaar geleden is sinds de introductie van Lüroth systemen wordt er vandaag de dag nog steeds onderzoek verricht naar Lüroth systemen. De afgelopen jaren zijn er tal van artikelen verschenen waarin Lüroth systemen zijn bestudeerd. Er wordt onder andere onderzoek verricht naar de dynamische en metrische eigenschappen van Lüroth systemen. In [KKK9] worden een aantal metrische eigenschappen voor de alternerende Lüroth transformatie aangetoond. In [BBDK96] worden ergodische eigenschappen voor Lüroth systemen aangetoond. Een interessante eigenschap is dat van alle (I, ε) generalized Lüroth systemen, die voldoen aan de eigesnchappen beschreven in het artikel, de alternerende Lüroth transformatie de beste benadering heeft. In [SF] wordt de Hausdorff dimensie van de Cantor verzameling F ϕ {x (0, ] : d n (x) ϕ(n), n } bepaald. In de verzameling F ϕ zijn d n (x) de getallen in de Lüroth reeks en is ϕ(n) een geheeltallige functie op N. In [IS] wordt er gekeken naar de herformulatie van Gauss probleem (voor kettingbreuken) naar Lüroth transformaties. In [CWZ] wordt aangetoond dat er geen punten zijn waarvoor de partiële sommen van de Lüroth ontwikkeling oneindig vaak een optimale benadering zijn. Dit is een greep uit artikelen die de laatste jaren zijn verschenen over Lüroth systemen. Sommige van deze artikelen zijn zeer recent. Dit toont aan dat er vandaag de dag nog steeds interesse is in Lüroth systemen en dat er nog interessante vraagstukken zijn waaraan gewerkt kan worden. In het eerste deel van deze scriptie kijken we naar de alternerende Lüroth transformatie op het interval [0, ). In hoofdstuk wordt de alternerende Lüroth transformatie geïntroduceerd en laten we zien hoe het gebruikt kan worden om getalsontwikkelingen te maken. Daarna worden er een aantal resultaten die Lüroth in zijn artikel [Lür8] voor de Lüroth transformatie heeft bewezen ook voor de alternerende Lüroth transformatie bewezen, waaronder maatbehoudendheid met betrekking tot de Lebesgue-maat. Als laatst bewijzen we dat de alternerende Lüroth transformatie ergodisch in met betrekking tot de Lebesgue-maat. In het tweede deel wordt er een uitbreiding van de alternerende Lüroth transformatie geïntroduceerd. In hoofdstuk geven we een wiskundige beschrijven van de uitbreiding van de alternerende Lüroth transformatie. Daarnaast tonen we voor de uitbreiding van de alternerende Lüroth transformatie een aantal eigenschappen aan, om uiteindelijk te bewijzen dat er een invariante maat bestaat voor de uitgebreide alternerende Lüroth transformatie.
5 De alternerende Lüroth transformatie In dit hoofdstuk bekijken we de alternerende Lüroth transformatie. We zullen bekijken hoe deze transformatie eruit ziet en hoe het kan worden gebruikt om getalsontwikkelingen te maken.. De alternerende Lüroth transformatie De alternerende Lüroth transformatie is een afbeelding L : [0, ) [0, ) gegeven door x, x (, ), L(x) k k(k )x, x ( k, k ], k, 0, x 0. De afbeelding die hierbij hoort ziet er als volgt uit: Figuur : De alternerende Lüroth transformatie. We merken op dat voor alle x [0, ) geldt dat L(x) [0, ).. Getalsontwikkelingen Voor iedere x [0, ) is het mogelijk een unieke getalsontwikkeling te maken met behulp van de alternerende Lüroth transformatie. Voor x 0 nemen we als getalsontwikkeling gewoon x 0. Voor x (0, ) en n N zodanig dat L n (x) 0, waarbij L 0 (x) x, definiëren we de getallen a n a n (x) als volgt a n (x) a (L n (x)),
6 waarbij a (x) k als x ( k, k ] voor k en a (x) als x (, ). Nu kunnen we L(x) als volgt schrijven { a a L(x) (a )x, x 0, 0, x 0. Dus voor alle x (0, ) zodanig dat L n (x) 0 hebben we x. a L(x) a (a ) ( a a (a ) a ) L (x) a (a ) a a (a )(a ) + L (x) a (a )a (a ) a a (a )(a ) + a (a )a (a )(a )... + ( ) n a (a )a (a )... a n (a n )(a n ) + ( ) n L n (x) a (a )a (a )... a n (a n ). We merken op dat als L n (x) 0 voor een zekere n en we aannemen dat n het kleinste gehele getal is met deze eigenschappen dan geldt er x a a (a )(a ) + a (a )a (a )(a )... + n i ( ) n a (a )a (a )... a n (a n )(a n ) a i ( ) i j a j(a j ). En in het geval dat L n (x) 0 voor alle n hebben we x a a (a )(a ) i ( ) n a (a )a (a )... a n (a n )(a n ) +... a i ( ) i+ j a j(a j ). 4
7 . Uniciteit Stelling.. Ieder getal x [0, ) heeft een unieke Lüroth getalsontwikkeling. Bewijs. Laat S n S n (x) de som zijn van de eerste n termen in de getalsontwikkeling van x. Dan geldt er L n (x) x S n a (a )... a n (a n ). Aangezien L n (x) [0, ) en a n N voor alle x en alle n vinden we x S n 0 als n. n Uit het bovenstaande volgt nu dat als x en y dezelfde Lüroth getalsontwikkeling hebben dan geldt voor alle n waaruit volgt dat x gelijk is aan y. x y n,.4 Over de rationaliteit van Lüroth getalsontwikkelingen Stelling.. Ieder rationaal getal heeft een eindige of periodieke Lüroth getalsontwikkeling. Bewijs. Laat p 0 N 0 en q N met 0 p 0 q <, dan bestaat er een k N zodanig dat p 0 q ( k, k ]. Dan geldt voor de alternerende Lüroth tranformatie L( p 0 q ) k k(k ) p 0 q <, waaruit volgt dat kq k(k )p 0 < q. Voor n N definiëren we p n k n q k n (k n )p n met k n N zodanig dat pn q ( k n, k ] dan geldt er n Ln ( p 0 q ) pn q met 0 p n q. Laat V {0,,..., q } dan geldt er p n V voor alle n 0. Aangezien V q geldt er dat L m ( p 0 q ) L n ( p 0 q ) met 0 m < n q. Stelling.. Ieder getal met een eindige Lüroth getalsontwikkeling is rationaal. Bewijs. Neem aan dat een getal x [0, ] een eindige ontwikkeling heeft. Dan geldt er dus dat er een n N bestaat zodanig dat voor alle m N n geldt dat L m (x) 0. Stel x is irrationaal dan geldt er L(x) / Q en in het algemeen geldt er voor alle q N dat L q (x) 0. Tegenspraak. Stelling.4. Ieder getal met een periodieke Lüroth getalsontwikkeling is rationaal. Bewijs. Neem aan dat een getal x [0, ] een periodieke ontwikkeling heeft met preperiode van lengte k en periode van lengte m. We kunnen een getal x als volgt schrijven: x i k i a i ( ) i+ j a j(a j ) a i ( ) i+ j a j(a j ) + ik+ a i ( ) i+ j a j(a j ). 5
8 We definiëren de volgende getallen y k i a i ( ) i+ j a j(a j ), k p a j (a j ), en r j k+m jk+ a j (a j ). Dan geldt er dat y Q, aangezien a i N voor alle i k en de som eindig is en voor p en r geldt er dat p, r N aangezien a j N voor alle j k + m. We kunnen x nu als volgt schrijven x k i y + p y + p y + p y + p y + a i ( ) i+ j a j(a j ) + ik+ ( k+m ik+ ( k+m ik+ ( k+m ik+ r p(r ) ik+ a i ( ) i+ jk+ a j(a j ) a i ( ) i+ j a j(a j ) ( a i ( ) i+ jk+ a j(a j ) n0 ( a i ( ) i+ jk+ a j(a j ) n0 ( a i ( ) i+ jk+ a j(a j ) k+m ik+ ( r n r r a i ( ) i+ jk+ a j(a j ). Hieruit concluderen we nu dat x Q. k+m jk+ a j(a j ) )) )) ) n )).5 Maatbehoudendheid voor de alternerende Lüroth transformatie In dit hoofdstuk zullen we laten zien dat de Lebesgue-maat invariant is voor de alternerende Lüroth transformatie L. We gaan ervan uit dat de lezer vertrouwd is met enkele begrippen uit maattheorie zoals: semi-algebra, σ-algebra, Borel σ-algebra, kansmaat, maat, Lebesgue-maat en meetbare ruimten. Definitie.5. Laat (X, A) en (Y, B) meetbare ruimten zijn. Een functie T : X Y heet meetbaar als voor iedere E B geldt dat T (E) {x X : T (x) E} A. Definitie.6. Laat (Ω, A) een meetbare ruimte zijn en T een meetbare functie van Ω naar zichzelf. Een maat µ op (Ω, A) heet invariant onder T als voor iedere meetbare verzameling E Ω geldt dat µ(t E) µ(e). We zeggen ook dat T maatbehoudend is met betrekking tot de maat µ. Stelling.7. Laat (X i, B i, µ i ) een kansruimte zijn, i,, en T : X X een transformatie. Neem aan dat S een semi-algebra is die B voortbrengt. Dan is T meetbaar en maatbehoudend dan en slechts dan als we voor elke A S hebben dat T (A) B en µ (T (A)) µ (A). 6
9 Bewijs. Zie Stelling... in [DD08]. Opmerking.8. De half-open intervallen [a, b) op [0, ) vormen een semi-algebra die de Borel σ-algebra op [0, ) voorbrengt. Lemma.9. Laat [a, b) [0, ). Dan hebben we: ( L [a, b) k k Bewijs. Voor ieder interval [a, b) [0, ) geldt { } L (a, b) x : L(x) [a, b) b k(k ), k ] a. k(k ) { { k x : a L(x) < b } x : a k k(k )x < b, k { ( ] } x : x k b k(k ), k a, k k(k ) ( ] k b k(k ), k a. k(k ) } Stelling.0. De Lebesgue-maat is invariant voor de alternerende Lüroth transformatie L. Bewijs. Vanwege Stelling.7 is het voldoende om invariantie na te gaan voor half-open intervallen. Vanwege Lemma.9 geldt ( ( ]) λ(l [a, b)) λ k b k(k ), k a k(k ) k ( ] λ k b k(k ), k a k(k ) k (b a) (b a) b a k(k ) ( ) k k k k λ[a, b). 7
10 .6 Ergodiciteit voor de alternerende Lüroth transformatie In deze paragraaf zullen we laten zien dat de alternerende Lüroth transformatie ergodisch is met betrekking tot de Lebesgue-maat λ. Definitie.. Laat (X, Σ, µ) een kansruimte zijn en T : X X een maatbehoudende transformatie. Dan is de transformatie T ergodisch met betrekking tot de maat µ als voor alle E Σ met T (E) E geldt dat µ(e) 0 of µ(e). Het fundamenteel interval van orde k duiden we aan met (i, i,..., i k ) {x : a (x) i, a (x) i,..., a k (x) i k }. Er geldt dat de alternerende Lüroth transformatie L k beperkt tot het fundamenteel interval (i, i,..., i k ) {x : a (x) i, a (x) i,... a k (x) surjectief en linear is met helling i (i )... i k (i k )i k, aangezien voor x (i, i,..., i k ) {x : a (x) i, a (x) i,... a k (x)} geldt L k (x) i k i k (i k )[i k... + ( ) k i k (i k )... i (i )x]. Lemma.. Voor het fundamenteel interval van orde k geldt λ( (i, i,..., i k )) i (i )... i k (i k )i k Bewijs. Voor het bewijs gebruiken we de getalsontwikkelingen zoals gegeven in Paragraaf.. Voor x (i, i,..., i k ) hebben we de uitdrukking: x a a (a )(a ) + a (a )a (a )(a )... + ( ) k a (a )a (a )... a k (a k )(a k ) + ( ) k L k (x) a (a )a (a )... a k (a k ) p k ( ) k L k (x) + q k a (a )a (a )... a k (a k ). Als k even is, dan geldt ( ) k en 0 L k (x) < waaruit volgt, [ ) p k x, p k +, q k q k a (a )a (a )... a k (a k ) En als k oneven is, dan geldt ( ) k en 0 L k (x) < waaruit volgt, ( ] p k x q k a (a )a (a )... a k (a k ), p k, q k aangezien ( ) k en 0 L k (x) <. We kunnen hieruit concluderen dat λ( (i, i,..., i k )) i (i )... i k (i k )i k. 8
11 Lemma.. [Knopp s Lemma] Als B een Lebesgue-meetbare verzameling is en C de klasse van deelintervallen van [0, ) die voldoet aan (a) elke open deelinterval [0, ) is een aftelbare vereniging van disjuncte elementen van C, (b) er is een γ > 0 zodanig dat voor alle A C, λ(a B) γλ(a), dan geldt λ(b). Bewijs. Zie Lemma.8. in [DD08]. Opmerking.4. De Lebesgue-maat is invariant met betrekking tot verschuiving. Daarnaast geldt voor schaling de eigenschap: voor iedere Borelverzameling B en iedere t > 0 geldt λ(t B) tλ(b), waarbij t B {t b : b B}. Op elk fundamenteel interval (i, i,..., i k ) van orde k is L k een bijectie tussen (i, i,..., i k ) en [0, ) met schalingsfactor λ( (i, i,..., i k )), waaruit volgt dat voor alle B B geldt λ( (i, i,..., i k ) L k (B)) λ( (i, i,..., i k )) λ(b). Stelling.5. De alternerende Lüroth transformatie L is ergodisch met betrekking tot de Lebesgue-maat λ. Bewijs. Laat C de verzameling zijn van alle fundamentele intervallen van alle orde. De verzameling C voldoet aan (a) van Lemma., aangezien voor iedere x [0, ) en ε > 0 er een k N is zodanig dat x (i, i,..., i k ) en λ( (i, i,..., i k )) < ε. Laat B B zodanig dat L (B) B en neem aan dat λ(b) > 0. Neem A C. Dan geldt vanwege Opmerking.4 λ(a B) λ(a L k (B)) λ(a) λ(b). Als we γ λ(b) > 0 nemen dan wordt voldaan aan (b) van Lemma. en geldt λ(b), waarmee bewezen is dat de alternerende Lüroth transformatie L ergodisch is met betrekking tot de Lebesgue-maat λ. De uitgebreide alternerende Lüroth transformatie In dit hoofdstuk zullen we kijken naar een uitbreiding van de alternerende Lüroth transformatie. In paragraaf. zullen we beschrijven hoe de uitgebreide Lüroth transformatie tot stand is gekomen. In paragraaf. introduceren we wat notatie en terminologie, waarmee we dan in paragraaf. een wiskundige beschrijving voor de uitgebreide alternerende Lüroth transformatie geven. Vervolgens zullen we dan in paragraaf.4 een aantal eigenschappen van de uitgebreide alternerende Lüroth afbeelding bewijzen. 9
12 Figuur : De uitgebreide alternerende Lüroth transformatie.. Het onstaan van de uitgebreide alternerende Lüroth transformatie Het plaatje in Figuur is tot stand gekomen door de lijnen van de alternerende Lüroth transformatie door te trekken tot en het vervolgens in de y-as te spiegelen. Met behulp van dit plaatje kunnen we voor alle x [, ] verschillende getalsontwikkelingen maken die sterk lijken op de getalsontwikkelingen voor de alternerende Lüroth transformatie. De verschillende getalsontwikkelingen komen tot stand door op de gebieden met alleen een rode lijn de rode lijn te kiezen en op de gebieden met zowel een rode als een blauwe lijn een keuze maken tussen een van de twee. De cijfers in de getalsontwikkeling zijn daardoor afhankelijk van de keuzes die we maken. We merken op dat de waarden van de rode lijnen in het interval [0, ] liggen en de waarden van de blauwe lijnen in het interval [, 0]. We willen twee transformaties krijgen, een transformatie van de rode lijnen naar [0, ] en een transformatie van de blauwe lijnen naar [, 0]. Dit doen we door op de gebieden waar alleen maar één keuze is (de rode lijn) ook een blauwe lijn toe te voegen. Het plaatje dat we dan hebben is te zien in Figuur. We merken op dat we verderop de kans om de toegevoegde blauwe lijnen te kiezen op nul zetten. Het toevoegen van de blauwe lijnen is alleen nodig om goed gedefinieerde transformaties te krijgen.. Random maps en invariante maten Bij de bewijzen verder op in dit hoofdstuk zullen we gebruik maken van resultaten uit [Ino]. Daarom introduceren we nu wat notatie en begrippen die in dat artikel gebruikt worden. 0
13 Figuur : De uitgebreide alternerende Lüroth transformatie. De parameterruimte duiden we aan met W, waarvan we aannemen dat deze aftelbaar is. Met een σ-algebra A op W en voor de telmaat gebruiken we ν. We nemen aan dat het drietal (W, B, ν) een σ-eindige maatruimte is. De toestandsruimte duiden we aan met X. De Borel σ-algebra op X geven we aan met B en m is de Lebesgue-maat op de σ-algebra van X. We nemen aan dat het drietal (X, B, m) een σ-eindige maatruimte is. Laat τ t : X X (t W ) een niet-singuliere transformatie zijn. Dit betekent dat voor alle A A geldt dat m(τt A) 0 als m(a) 0. Verder nemen we aan dat τ t (x) een meetbaar functie is als functie van t. Laat p : W X [0, ) een meetbare functie zijn die een kansdichtheidsfunctie van t is voor alle x X, dat betekent dat W p(t, x)ν(dt) voor x X. Laat Λ een aftelbare of eindige verzameling zijn en laat Λ t Λ voor alle t W. We nemen Λ als een verzameling van indices van deelintervallen van X. Voor t W nemen we aan dat {I t,i } i Λt een familie is van gesloten intervallen zodanig dat Int(I t,i ) Int(I t,j ) (i j) en m(x\ i Λ t I t,i ) 0. Met Int(I) duiden we het inwendige van het interval I aan. Definitie.. De verzameling T {τ t, p(t, x), {I t,i } i Λ : t W } heet een random map. Laat τ t,i de restrictie zijn van τ t tot Int(I t,i ) voor elke t W en i Λ. We definiëren dan ϕ t,i (x) : { τ t,i (x), x τ t,i(int(i t,i )), 0, x X\τ t,i (Int(I t,i )),
14 voor elke t W en i Λ, en merken op dat φ t,i (x) 0 als i Λ\Λ t. We nemen aan dat voor de random map T het volgende geldt: (A) De restrictie van τ t tot Int(I t,i ) is een C en monotone functie voor elke i Λ en t W. (A) Voor elke x X en i Λ geldt dat w x,i (t) : φ t,i (x) meetbaar is als functie van t. Voor t W en x X definiëren we nu { p(t, x)/ τ g(t, x) : t(x), x i Int(I t,i), 0, x X\ i Int(I t,i), Definitie.. De totale variatie van g op [a, b] wordt gegeven door [a,b] n p g sup g(x j+ ) g(x j ). P j0 waarbij het supremum loopt over de verzameling van alle partities P, waarbij we dus hebben P {P {x 0, x,..., x np } a x 0 < x <... < x np b}. We nemen aan dat de functie g(t, x) voldoet aan de volgende twee voorwaarden: (a) sup x X W g(t, x)ν(dt) < α < ; (b) Er bestaat een constante M zodanig dat X g(t, ) < M voor bijna alle t W, dat betekent, er is een ν-meetbare verzameling W 0 W zodanig dat W 0 p(t, x)ν(dt) en X g(t, ) < M voor alle t W 0. Stelling.. [Stelling 5. in [Ino]] Laat T {τ t, p(t, x), {I t,i } i Λ : t W } een random afbeelding zijn die voldoet (A) en (A). Neem aan dat de random afbeelding T voldoet aan de bovenstaande voorwaarden (a) en (b). Dan heeft T een invariante maat die absoluut continu is met betrekking tot de Lebesgue-maat. Opmerking.4. Als W eindig is dan hebben we de volgende uitdrukking voor de maat µ (zie [Ino] voor de afleiding) µ(a) p(t, x)ν({t}) µ(dx) voor A A. t W τt (A). De uitgebreide Lüroth transformatie In deze paragraaf zullen we een wiskundige beschrijving geven van de alternerende Lüroth transformatie. Daarnaast zullen we de notatie en begrippen die we in paragraaf. hebben geïntroduceerd aan de uitgebreide Lüroth transformatie koppelen. Voor de uitgebreide alternerende Lüroth transformatie hebben we de parameterruimte W {0, }, de σ-algebra A P(W ) en de (tel)maat ν(a) A voor alle A A. Het drietal (W, A, ν) vormt dus een σ-eindige maatruimte.
15 De toestandsruimte voor de uigebreide alternerende Lüroth transformatie is X [, ], B is de Borel σ-algebra op [, ] en m is de Lebesgue-maat op ([, ], B). Het drietal ([, ], B, m) vormt dus een σ-eindige maatruimte. In Figuur 4 is het opnieuw het plaatje behorende bij de uitgebreide alternerende Lüroth transformatie te zien. We kunnen voor de uitgebreide alternerende Lüroth transformatie onderscheid maken tussen twee transformaties. De transformatie die gegeven wordt door de rode lijnen en de transformatie die gegeven wordt door de blauwe lijnen, deze zullen we respectievelijk aanduiden met τ 0 en τ. De transformatie τ 0 is een afbeelding van [, ] naar [0, ] die als volgt is gedefinieerd: k + k(k )x, x [, ) k, k, τ 0 (x) k k(k )x, x ( k, k ], k, 0, x Figuur 4: De uitgebreide alternerende Lüroth transformatie. De transformatie τ is een afbeelding van [, ] naar [, 0] die als volgt is gedefinieerd τ (x) : + k(k + ) + (k )k(k + )x, x [ k, k+ k(k+)), k, k + + k(k + )x, x [ k+ k(k+), k ), k, k + k(k + )x, x ( k, k+ k(k+)], k, + k(k + ) (k )k(k + )x, x ( k+ k(k+), k ], k, 0, x 0.
16 We definiëren de kansdichtheidsfunctie p : {0, } [, ] [0, ) als volgt {, x [ k+ k(k+), ) ( k k, k+ p(t, x) : t, x [ k, k+ k(k+) k(k+)] {0}, k, ) ( k+ k(k+), k ], k. Deze functie is een kansdichtheidsfunctie van t voor alle x [, ], aangezien voor alle x [, ] geldt dat p(0, x) p(, x) waaruit volgt dat p(t, x)ν(dt) p(0, x)ν({0}) + p(, x)ν({}) W p(0, x) + p(, x). We nemen voor Λ de aftelbare verzameling Z/{, } en nemen Λ 0 Λ Λ dan geldt er dus dat Λ t Λ voor alle t W. We definiëren de gesloten intervallen I t,i als volgt I 0,i : [ ] +i, i, i, {0}, i 0, [ i, i ], i. I,i : [ [ i, i (i )(i 4) i 0 (i )(i ), i [ i+, i+0 (i+)(i+) [ i+ (i+)(i+4), i ], i, i even ], i, i oneven {0}, ] i 0,, ] i, i oneven,, i, i even, Dan geldt voor elke t {0, } dat {I t,i } i Λt een familie is van gesloten intervallen zodanig dat Int(I t,i ) Int(I t,j ) (i j) en m([, ]\ i Λ t I t,i ) 0. De verzameling T {τ t, p(t, x), {I t,i } i Λ : t [, ]} is dan de random map behorende bij de uitgebreide alternerende Lüroth transformatie. Laat τ t,i de restrictie zijn van τ t tot Int(I t,i ) voor elke t W en i Λ. Er geldt ϕ t,i (x) : voor elke t W en i Λ. x i i(i ), x τ t,i(int(i t,i )), t 0, i, i x i(i ), x τ t,i(int(i t,i )), t 0, i, x+ i(i+) (i )i(i+), x i i(i+), +i x i(i+), i(i+) x (i )i(i+), x τ t,i(int(i t,i )), t, i, i even, x τ t,i(int(i t,i )), t, i, i oneven, x τ t,i(int(i t,i )), t, i, i oneven, x τ t,i(int(i t,i )), t, i, i even 0, x [, ]\τ t,i (Int(I t,i )), 4
17 Voor t W en x [, ] geldt t k(k ), x [ k, k+ ) ( k(k+) k+ k(k+), k ], k, g(t, x) : k(k +t), x [ k+ k(k+), ) ( k k, k+ k(k+)], k, 0, x 0. In Figuur 5 en Figuur 6 zien we respectievelijk de functies g(0, x) en g(, x). Aan de hand van deze plaatjes kunnen we makkelijker inzien wat de totale variatie van g is Figuur 5: De functie g(0, x) Figuur 6: De functie g(, x). 5
18 Lemma.5. Voor de functie g : W [, ] [0, ] bestaat een constante M zodanig dat [,] g(t, ) < M voor bijna alle t W. Bewijs. Als x [ k+ k(k+), ) ( k k, ] k+ k(k+) dan geldt g(0, x) k(k ) en als x [ k, k+ ) ( k(k+) k+ k(k+), ] k dan geldt g(0, x) k(k ). Een bovengrens wordt dan gegeven door ( g(0, ) k(k ) ) ( ) k(k ) k(k ). k k [,] Als x [ k+ k(k+), ) ( k k, ] k+ k(k+) dan geldt g(, x) k(k ) en als x [ k, k(k+)) k+ ( k+ k(k+), k ] dan geldt g(, x) 0. Een bovengrens wordt dan gegeven door [,] g(, ) 4 k k(k ) k(k ). Stelling.6. De random map T {τ t, p(t, x), {I t,i } i Λ : t {0, }} heeft een invariante maat µ die absoluut continu is met betrekking tot de Lebesgue-maat. Bewijs. De random map T voldoet aan (A) aangezien voor elke i Λ en t W de restrictie van τ t tot Int(I t,i ) een lineaire functie is, dus C en monotoon. Ook wordt aan (A) voldaan, want de σ-algebra is P(W ) en elke inverse beeld ligt in P(W ). Voor de variatie van g geldt sup x [,] W k g(t, x) ν(dt) sup [g(0, x)ν(dt) + g(, x)ν(dt)] x [,] sup [g(0, x) + g(, x) ] x [,] sup [g(0, x) + g(, x)] x [,] Aan de hand van Figuur 5 en Figuur 6 is te zien dat het supremum wordt aangenomen voor x [, ) (, ]. We hebben voor de variatie van g: sup g(t, x) ν(dt) sup [g(0, x) + g(, x)] x [,] W x [, ) (,], waarmee voldaan wordt aan (a). Ook wordt er voldaan aan (b), dit volgt namelijk uit Lemma.5. Dan volgt het resultaat met Stelling.. We kunnen voor de maat µ in Stelling.6 een uitdrukking geven. Uit Opmerking.4 volgt dat voor alle A B geldt µ(a) p(t, x)ν({t}) µ(dx) t {0,} τt (A) τ 0 (A) p(0, x) µ(dx) + 6 τ (A) p(, x) µ(dx)
19 Laat U de vereniging van intervallen zijn waarbij de transformatie τ 0 kiezen met kans p, dus U [ k k, k+ ) ( k(k+) k+ k(k+), k ] en laat U de vereniging van intervallen zijn waarbij we τ 0 of τ kiezen allebei met kans p, dus U [ k k+ k(k+), ) ( k k, k+ k(k+)]. Aangezien U U geldt voor alle A B µ(a) p(0, x) µ(dx) + p(, x) µ(dx) τ 0 (A) τ (A) τ 0 (A) U p(0, x) µ(dx) + p(, x) µ(dx) τ (A) U + p(0, x) µ(dx) + p(, x) µ(dx) τ 0 (A) U τ (A) U τ 0 (A) U µ(dx) + 0 µ(dx) τ (A) U + τ 0 (A) U µ(dx) + τ (A) U µ(dx) µ(τ0 (A) U ) + µ(τ0 (A) U ) + µ(τ (A) U ). () 4 Conclusie We hebben aangetoond dat de uitgebreide alternerende Lüroth transformatie op [, ] een invariante maat µ heeft die absoluut continu is met betrekking tot de Lebesgue-maat. Bovendien weten we dat µ de specifieke vorm van () heeft. Er kan verder onderzocht worden of de uitgebreide alternerende Lüroth transformatie ergodisch is. Hiervoor is waarschijnlijk de ergodiciteit van de alternerende Lüroth tranformatie zoals bewezen in Stelling.5 van belang. Indien dit het geval is kan er gekeken worden naar eigenschappen die een rol spelen in de ergodentheorie. 7
20 Referenties [BBDK96] Jose Barrionuevo, Robert M. Burton, Karma Dajani, and Cor Kraaikamp. Ergodic properties of generalized Lüroth series. Acta Arith., 74(4): 7, 996. [CWZ] Chunyun Cao, Jun Wu, and Zhenliang Zhang. The efficiency of approximating real numbers by Lüroth expansion. Czechoslovak Math. J., 6(8)():497 5, 0. [DD08] Karma Dajani and Sjoerd Dirksin. A Simple Introduction to Ergodic Theory: Lecture Notes, December 008. Available: kraai0/lecturenotes009.pdf. [Ino] Tomoki Inoue. Invariant measures for position dependent random maps with continuous random parameters. Studia Math., 08(): 9, 0. [IS] Marius Iosifescu and Gabriela Ileana Sebe. On Gauss problem for the Lüroth expansion. Indag. Math. (N.S.), 4():8 90, 0. [KKK9] [Lür8] [SF] Sofia Kalpazidou, Arnold Knopfmacher, and John Knopfmacher. Metric properties of alternating Lüroth series. Portugal. Math., 48():9 5, 99. Jacob Lüroth. Ueber eine eindeutige Entwickelung von Zahlen in eine unendliche Reihe. Math. Ann., ():4 4, 88. Luming Shen and Kui Fang. The fractional dimensional theory in Lüroth expansion. Czechoslovak Math. J., 6(6)(): , 0. 8
Een duivelse trap tussen β-ontwikkelingen en λ-kettingbreuken
F. P. Bos Een duivelse trap tussen -ontwikkelingen en -kettingbreuken Bachelorscriptie Scriptiebegeleider: dr. C. C. C. J. Kalle Datum Bachelorexamen: 6 juli 206 Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden
Nadere informatieRelaties tussen verschillende getalsontwikkelingen en hun eigenschappen
I Verstraten Relaties tussen verschillende getalsontwikkelingen en hun eigenschappen Masterscriptie Scriptiebegeleider: dr CCCJ Kalle Datum Masterexamen: 6 maart 07 Mathematisch Instituut, Universiteit
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieDe Dekpuntstelling van Brouwer
De Dekpuntstelling van Brouwer Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Twente, 19 oktober 2009: 18:00 20:00 Outline 1 2 3 4 De formulering Dekpuntstelling van Brouwer Zij n een
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieVoorbereiding Kansrekening
Voorbereiding Kansrekening 1. Kansruimte 1.1 Verzamelingenleer Voor het begrip kansruimte moeten we iets van de verzamelingentheorie weten. De moderne wiskunde is gebaseerd op de verzamelingentheorie.
Nadere informatieToegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter
Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatieCharlene Kalle Bewogen getallen NAW 5/12 nr. 1 maart Bewogen getallen
1 Charlene Kalle Bewogen getallen NAW 5/1 nr. 1 maart 011 49 Charlene Kalle Fakultät für Mathematik Universität Wien Nordbergstrasse 15 1090 Wien, Oostenrijk charlene.kalle@univie.ac.at Onderzoek Bewogen
Nadere informatieMaat en Integraal. Deborah Cabib, Alex Kuiper, Andries Lenstra, Gerrit Oomens, Suzanne Sniekers Syllabus Integratietheorie
Maat en Integraal Deborah Cabib, Alex Kuiper, Andries Lenstra, Gerrit Oomens, Suzanne Sniekers 2008-2009 Syllabus Integratietheorie Met dank aan Arnoud van Rooij, Jan Smit, Richard Dudley en Heinz Bauer
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieHertentamen Topologie, Najaar 2009
Hertentamen Topologie, Najaar 2009 Toelichting: 06.05.2010 Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine etc.) gebruiken, behalve het boek van Runde en het aanvullende dictaat. Als je stellingen
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatieHet benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012
Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 202 Cor Kraaikamp August 24, 202 Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde
Nadere informatie4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra
4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatieOneindige spelen. Dion Coumans. Begeleider: dr. W. Veldman
Oneindige spelen ion Coumans Begeleider: dr. W. Veldman Inhoudsopgave 1 Voorwoord 3 2 efinities 4 3 A is aftelbaar 6 4 Gale-Stewart-stelling 7 5 Stelling van Wolfe 11 2 1 Voorwoord Banach, Mazur en Ulam
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieSyllabus Integratietheorie. A. A. Balkema
Syllabus Integratietheorie A. A. Balkema grondig herzien door T. H. Koornwinder, T.H.Koornwinder@uva.nl Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde, Universiteit van Amsterdam laatst gewijzigd 12 augustus
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatie(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatieTuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK
Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK Eerste Semester 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Maattheorie 3 2.1 Theorie....................................... 3 2.2 Oefeningen.....................................
Nadere informatieDe vragen van vandaag. Hoeveel elementen? Hoeveel provincies? Hoeveel natuurlijke getallen? Non impeditus ab ulla scientia
De vragen van vandaag Hoeveel elementen? Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Hoeveel provincies heeft Nederland? Hoeveel natuurlijke getallen zijn er? Hoeveel reële getallen
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieHoeveel elementen? Non impeditus ab ulla scientia. K. P. Hart. Faculteit EWI TU Delft. Leiden, 18 november 2009: 13:15 14:15
Hoeveel elementen? Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Leiden, 18 november 2009: 13:15 14:15 De vragen van vandaag Hoeveel provincies heeft Nederland? Hoeveel natuurlijke getallen
Nadere informatieOplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren
Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]
Nadere informatieGeadjungeerde en normaliteit
Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of
Nadere informatieHoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles
Nadere informatieContinued Fractions. Willian van Slooten juni 2007
Continued Fractions Willian van Slooten juni 007 Inhoudsopgave Inleiding 3 Continued Fractions 4 egular Continued Fractions 4 Nearest Integer Continued Fractions 9 3 osen Continued Fractions 3 De natuurlijke
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf 13.3. De paradox van de oneindigheid ligt slechts
Nadere informatie1 Kettingbreuken van rationale getallen
Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,
Nadere informatieOneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff
Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/
Nadere informatieTentamen Topologie, Najaar 2011
Tentamen Topologie, Najaar 2011 27.01.2012, 08:30-11:30, LIN 8 (HG00.308) Toelichting: Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine, telefoon, etc.) gebruiken, behalve de boeken van Gamelin/Greene
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieHoofdstuk 1: Inleiding
Hoofdstuk 1: Inleiding 1.1. Richtingsvelden. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele differentiaalvergelijkingen. Zelf doorlezen. 1.3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieOVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatieeerste en laatste cijfers Jaap Top
eerste en laatste cijfers Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 3-10 april 2013 (Collegecarrousel, Groningen) 1 laatste, eerste?! over getallen 2,..., 101,..., 2014,...... laatste cijfers hiervan: 2,...,
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 21 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Vectorruimte
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 21 november, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Lichaam Lichaam (Körper, Field):
Nadere informatieTopologie. (Voorjaar 2007) Dr K. P. Hart
Topologie (Voorjaar 2007) Dr K. P. Hart Inhoudsopgave 0. Metrische ruimten.......................................................... 1 Metrische ruimten..............................................................
Nadere informatieDe stelling van Hahn en Mazurkiewicz
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica De stelling van Hahn en Mazurkiewicz Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Datum: Lennaert Stronks 4062175 Wiskunde
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatieHarm de Vries. Partitiestellingen. Bachelor Thesis, Thesis advisor: Dr. K.P. Hart. Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden
Harm de Vries Partitiestellingen Bachelor Thesis, 2008 Thesis advisor: Dr. K.P. Hart Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Partitiestellingen Harm de Vries (hdv@math.leidenuniv.nl) Mathematisch Instituut
Nadere informatieEigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Nadere informatieKwaliteit van ABC-drietallen
H.E. Reijngoud Kwaliteit van ABC-drietallen Bachelorscriptie, juni 00 Scriptiebegeleider: Dr. B. de Smit Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave Het ABC-vermoeden 3 ABC-drietallen maken
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde
Discrete Wiskunde (WB011C) 22 januari 2016 Tentamen Discrete Wiskunde Schrijf op ieder ingeleverd blad duidelijk leesbaar je naam en studentnummer. De opgaven 1 t/m 6 tellen alle even zwaar. Je hoeft slechts
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatieRationale punten op elliptische krommen
Rationale punten op elliptische krommen Anne Barten 6 juli 2015 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. S. R. Dahmen Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 5 december, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b +
Nadere informatieDe partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
Nadere informatieHoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Voorbeelden van toetsopgaven, 011 en (1) (a) Bepaal de afstand van het punt Q = (1,, ) R 3 tot het vlak gegeven door x + y z = 1. (b) Bepaal de hoek tussen de vectoren
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe
Nadere informatieD. M. van Diemen. Homotopie en Hopf. Bachelorscriptie, 7 juni Scriptiebegeleider: dr. B. de Smit. Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden
D. M. van Diemen Homotopie en Hopf Bachelorscriptie, 7 juni 2010 Scriptiebegeleider: dr. B. de Smit Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Homotopie 4 2.1 Hogere homotopiegroepen..............................
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieJordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Nadere informatiecompact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).
1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf
Nadere informatieOefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieRSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
Nadere informatieFundamenten. Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02. Theo van den Bogaart Bas Edixhoven
Fundamenten Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02 Theo van den Bogaart Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen............................................... 3 I.1 Notatie.........................................................................
Nadere informatieFractale dimensie. Eline Sommereyns 6wwIi nr.9
Fractale dimensie Eline Sommereyns 6wwIi nr.9 Inhoudstabel Inleiding... 3 Gehele dimensie... 4 Begrip dimensie... 4 Lengte, breedte, hoogte... 4 Tijd-ruimte... 4 Fractale dimensie... 5 Fractalen... 5 Wat?...
Nadere informatieDe Banach-Tarski-Paradox
Teus de Koning emailadres: tdekoning87@gmail.com De Banach-Tarski-Paradox Bachelorscriptie, 9 juni 2 Scriptiebegeleiders: Marco Streng en Gabriele Dalla Torre Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica L(,1)-labeling van grafen Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Myrte klein Brink 4166140 Bachelor Wiskunde Dr.
Nadere informatieDe Minimax-Stelling en Nash-Evenwichten
De Minima-Stelling en Nash-Evenwichten Sebastiaan A. Terwijn Radboud Universiteit Nijmegen Afdeling Wiskunde 20 september 2010 Dit is een bijlage bij het eerstejaars keuzevak Wiskunde, Politiek, en Economie.
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieDe slecht benaderbare getallen van het Hurwitz spectrum
De slecht benaderbare getallen van het Hurwitz spectrum Gijs Langenkamp Master Thesis Scriptiebegeleider: prof.dr. F. Beukers augustus 2009 Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht Voorwoord Voor de
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n
Hoofdstuk 1 Inleidende begrippen 1.1 Definities Definitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n Voor het tellen van het aantal
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieEERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C
EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C 0 november 990 9.30.30 uur Zet uw naam op elk blad dat u inlevert en uw naam en adres op de enveloppe. De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk
Nadere informatieGetallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieOneindig? Hoeveel is dat?
Oneindig? Hoeveel is dat? Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Leiden, 21 oktober 2009: 20:45 21:30 Wat zegt Van Dale? De allereerste editie (1864): eindig: bn. en bijw. een
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatie. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom
8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer
Nadere informatieOpgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Nadere informatie