Synchroniserende permutatiegroepen

Transcriptie

1 FACULTEIT WETENSCHAPPEN Departement Wiskunde Synchroniserende permutatiegroepen Proefschrift ingediend met het oog op het behalen van de titel Master in de Wiskunde, door: Karolien De Decker mei 2011 Promotor: Prof. Dr. Philippe Cara

2 c Vrije Universiteit Brussel, all rights reserved.

3 Dankwoord Deze masterproef kon slechts tot stand komen dankzij de steun en hulp van vele mensen. Bijzondere dank gaat uit naar mijn promotor, Prof. Dr. Philippe Cara. Bedankt voor het aanreiken van het onderwerp, het verstrekken van onontbeerlijke informatie, de goede begeleiding en het kritisch evalueren van de tekst. Daarnaast wil ik ook mijn vrienden en familie bedanken. Ondanks dat jullie niet altijd begrepen waar ik mee bezig was, kon ik steeds op jullie rekenen voor vele ontspannende momenten. In het bijzonder wil ik mijn ouders bedanken. Bedankt voor jullie onvoorwaardelijke steun en om mij de mogelijkheid te bieden te studeren wat ik wou. Mijn grootste dankuwel gaat echter uit naar mijn vriend Kevin. Dankjewel om te zijn wie je bent, om mij de nodige afleiding te bezorgen en mij op te vrolijken indien nodig. Zonder jouw vertrouwen was deze thesis nooit gelukt!

4 Inhoudsopgave Voorwoord 1 Samenvatting 2 1 Inleiding Enkele voorbeelden Automaten en synchroniserende woorden Transformatiemonoïden De Road Colouring Theorem Toepassing in industriële robotica De Černý Conjecture Aanpak via permutatiegroepen Een voorbeeld Permutatiegroepen Permutatiegroepen en groepacties Orbieten en transitiviteit Meervoudige transitiviteit Imprimitiviteit Het kransproduct De productactie Primitieve groepen O Nan-Scott stelling Cartesiaanse groepen Affiene groepen Diagonale groepen Bijna-enkelvoudige groepen De stelling van O Nan-Scott Classificaties van groepen Classificatie van eindige enkelvoudige groepen Classificatie van 2-transitieve groepen Classificatie van {2}-transitieve groepen I

5 INHOUDSOPGAVE II 3 Synchroniserende en scheidende groepen Herhaling Synchronisatie en sectie-regulariteit Scheidende groepen Multiverzamelingen Spreidende groepen Spreidende groepen en de Černý Conjecture Graffen en monoïden Inleidende definities over graffen Homomorfismen Groephomomorfismen Homomorfismen van een relationele structuur Grafhomomorfismen Klieken en kleuringen Dienstregelingen Constraint satisfaction Het hoofddeel van een graf Herkennen van hoofdgraffen Hoofdgraffen van top-transitieve graffen Van graffen naar monoïden en terug Van graffen naar monoïden Van monoïden naar graffen Beide richtingen Omhullenden Graf-theoretische testen Primitieve en {2}-transitieve groepen Scheidende groepen Spreidende groepen Hoofdgraffen van symmetrische graffen Niet-synchroniserende rangen Voorbeelden Rang-3 graffen Vierkante-rooster-graffen Driehoeksgraffen Paley graffen Lijngraffen van projectieve ruimten Bijna-enkelvoudige groepen Herhaling De symmetrische groep De scheidingseigenschap De spreidingseigenschap

6 INHOUDSOPGAVE III 6 Representatietheorie Inleidende definities De 2-sluiting De F-sluiting FI-groepen Affiene groepen QI versus spreidend

7 Voorwoord In oktober 2008 heb ik voor het eerst kennisgemaakt met het begrip synchronisatie, dit dankzij mijn bachelorproject dat handelde over The road coloring theorem. Deze stelling zegt dat voor een zekere categorie van graffen er steeds een synchroniserende kleuring te vinden is. Met een synchroniserende kleuring wordt bedoeld dat de bogen van de graf zo gekleurd kunnen worden dat er een opeenvolging van kleuren bestaat, zodat men steeds in één bepaalde top toekomt als men deze opeenvolging van kleuren herhaaldelijk volgt. Het bewijs hiervan is zeer recent, in september 2007, geleverd door Avraham Trahtman. In september 2010 was het dan opnieuw aan mij om een onderwerp te kiezen voor mijn masterproef. Ik heb hiervoor Professor Cara opgezocht en heb hem gezegd dat ik mijn bachelorproject wel heel interessant vond. Hij zei dat het mogelijk was om hierop verder te werken. Peter Cameron had immers in juni 2010 een tweedaagse intensive course in het Londense Taught Course Centre 1 over dit onderwerp gegeven. Zijn benadering hiervan is echter niet echt te vergelijken met die uit mijn bachelorproject. In mijn masterproef wordt er meer vanuit het oogpunt van de groepentheorie naar synchronisatie gekeken, in plaats vanuit het oogpunt van de graffentheorie. De basis van mijn masterproef zijn de lecture notes van Peter Cameron [Cam10]. Deze nota s zijn nogal bondig, vandaar dat ik deze zo goed mogelijk heb proberen uit te schrijven om zo een beter zicht op synchronisatie binnen de wiskunde te verkrijgen. De benadering via de groepentheorie, meer bepaald de theorie der permutatiegroepen, van synchronisatie is er gekomen door Ben Steinberg en João Araújo. Deze twee heren trachten het Černý vermoeden op te lossen in automaten via groepen. Tot nu toe is men er echter nog niet in geslaagd om op deze manier tot een oplossing te komen. Toch heeft hun onderzoek geleid naar verschillende nieuwe problemen en vermoedens. In deze masterproef trachten we hier een duidelijk overzicht van te geven

8 Samenvatting Het doel van deze masterproef is om synchroniserende permutatiegroepen en gerelateerde klassen van groepen beter te begrijpen. In Hoofdstuk 1 geven we enkele inleidende voorbeelden om kennis te maken met het begrip synchronisatie. Daarna leggen we het verband tussen het Černý vermoeden en automaten. Een automaat bestaat uit een eindige verzameling van toestanden en een eindige verzameling transities. Combinatorisch gezien is een automaat een gerichte graf waarbij de bogen gekleurd zijn. Uit elke top vertrekt juist één boog van elke kleur. De toppen zijn toestanden en de bogen van een bepaalde kleur stellen een transitie voor. Algebraïsch gezien is een automaat een monoïde van transformaties van een eindige verzameling met een aantal generatoren. We zullen een automaat synchroniserend noemen indien er een opeenvolging van transities bestaat die ons naar steeds dezelfde toestand brengt, ongeacht in welke toestand we begonnen zijn. Een dergelijke opeenvolging van transities noemen we een synchroniserend woord. Een automaat is dan synchroniserend indien hij (als transformatiemonoïde) een constante functie bevat. Het Černý vermoeden stelt dat indien een automaat met n toestanden synchroniserend is, het een synchroniserend woord bevat met lengte ten hoogste (n 1) 2. Indien dit vermoeden juist is, is deze bovengrens scherp! Aangezien permutaties de slechtste transities zijn met betrekking tot synchronisatie, was het idee van Steinberg en Araújo om eerst de permutatiegroep gegenereerd door deze transities te analyseren en te onderzoeken wat er gebeurt indien we een niet-permutatie toevoegen. We zullen een permutatiegroep G synchroniserend noemen indien, voor elke niet-permutatie f, de monoïde gegenereerd door G en f een constante functie bevat. We hopen om met technieken uit de groepentheorie een bovengrens te vinden voor de lengte van een corresponderend synchroniserend woord. Hoofdstuk 2 bundelt de nodige voorkennis over permutatiegroepen. Dit hoofdstuk is voornamelijk gebaseerd op [Cam99, DM96, Jes07]. We herhalen eerst enkele belangrijke definities in verband met permutatiegroepen en groepacties. Daarna kunnen we primitieve groepen invoeren. Dit zijn groepen die geen niettriviale congruenties hebben. Het kransproduct zal een belangrijke rol spelen voor imprimitieve permutatiegroepen (zie Stelling 2.5.7). Het kransproduct is 2

9 SAMENVATTING 3 een bijzonder product van twee permutatiegroepen dat gebaseerd is op het semidirect product van twee groepen. We zullen op dit kransproduct twee acties bekijken, de imprimitieve en de productactie. We vermelden ook de bekende O nan-scott stelling en we overlopen de verschillende types groepen die deze heren gebruiken in hun stelling, namelijk de Cartesiaanse, de affiene, de diagonale en de bijna-enkelvoudige groepen. Tenslotte vermelden we nog (zonder bewijs) de classificaties van de eindige enkelvoudige, de 2-transitieve en de {2}-transitieve groepen. In Hoofdstuk 3 gaan we dieper in op de synchroniserende eigenschap en gerelateerde eigenschappen. We tonen aan dat de begrippen synchronisatie en sectieregulariteit onlosmakelijk met elkaar verbonden zijn (Stelling 3.2.4). We zullen ook bewijzen dat een synchroniserende groep primitief en niet-cartesiaans is (Stelling 3.2.5). Een {2}-transitieve groep is dan weer synchroniserend (Stelling 3.2.6). In Sectie 3.3 voeren we het begrip scheidende groep in. We zullen zien dat indien een permutatiegroep scheidend is, er twee deelverzamelingen bestaan (die voldoen aan enkele voorwaarden) die gescheiden kunnen worden door een element van de groep. In Sectie 3.5 introduceren we spreidende groepen. Een {2}-transitieve permutatiegroep is spreidend en een spreidende permutatiegroep is scheidend. Tenslotte zullen we spreidende permutatiegroepen in verband brengen met het Černý vermoeden. In Stelling tonen we aan dat indien G een spreidende permutatiegroep is op Ω en f een niet-permutatie, de monoïde gegenereerd door G en f een synchroniserend woord bevat met ten hoogste n 1 voorkomens van f. We tonen in dit hoofdstuk dus aan dat volgende hiërarchie geldt: transitief primitief niet-cartesiaans synchroniserend scheidend spreidend {2}-transitief 2-transitief Hoofdstuk 4 handelt voornamelijk over graffentheorie. We starten met het herhalen van enkele nodige definities, zoals een complementaire graf, een opspannende en een geïnduceerde deelgraf. Daarna verklaren we het begrip grafhomomorfisme, dat heel wat toepassingen blijkt te hebben. Zo zal een grafhomomorfisme in verband staan met een kleuring van een graf. Met een kleuring van een graf bedoelen we een toewijzing van kleuren aan de toppen zodat adjacente toppen verschillende kleuren krijgen. We tonen aan dat een graf homequivalent is met de complete graf op n toppen als en slechts als het kliekgetal en het chromatisch getal gelijk zijn aan n (Stelling 4.3.4). In Sectie 4.4 schetsen we kort een probleem over dienstregelingen waarvoor grafhomomorfismen een mooie oplossing bieden. Daarna volgen enkele secties over hoofdgraffen van een graf en geven we hier enkele eigenschappen van. Een hoofdgraf van een graf G wordt gedefinieerd als een graf H met het kleinste aantal toppen waarvoor geldt dat G en H hom-equivalent zijn. We bewijzen dat een hoofdgraf van een graf compleet is indien het kliek- en chromatisch getal samenvallen (Stelling 4.6.5).

10 SAMENVATTING 4 Sectie 4.9 zal het verband aantonen tussen graffen met als toppenverzameling Ω en transformatiemonoïden op Ω. We definiëren hierin een idempotente sluitingsoperator voor monoïden en de omhullende van een graf. We zullen aantonen dat een graf een hoofdgraf is als en slechts als zijn omhullende compleet is (Stelling ). We bewijzen ook een belangrijke stelling die het verband legt tussen synchronisatie en hoofdgraffen (Stelling ). Deze stelling zegt dat een permutatiegroep G op Ω niet synchroniserend is als en slechts als er een niet-triviale graf G op Ω bestaat met G Aut(G ) zodat de hoofdgraf van G compleet is. Nadien bespreken we enkele graf-theoretische testen om na te gaan of een permutatiegroep al dan niet synchroniserend, primitief, {2}-transitief, scheidend of spreidend is. In Sectie 4.12 tonen we aan dat de hoofdgraf van een niet-boog-transitieve graf ofwel compleet is, ofwel een hoofdgraf is (Stelling ). Tenslotte definiëren we niet-synchroniserende rangen en bewijzen we over dit begrip enkele stellingen. Hoofdstuk 5 is opgedeeld in twee delen. Sectie 5.1 handelt over Rang-3 graffen. Uit Stelling weten we reeds dat de hoofdgraf van een rang-3 graf ofwel compleet is ofwel dat de graf een hoofdgraf is. We zullen in deze sectie nagaan wat er geldt voor vierkante-rooster-graffen, driehoeksgraffen, Paley graffen en lijngraffen van projectieve ruimten (Stellingen 5.1.5, 5.1.7, 5.1.9, ). In Sectie 5.2 bespreken we de symmetrische groep S n, agerend op k-verzamelingen, en gaan na waar deze groep zich bevindt in onze hiërarchie. Voor het geval k = 2 is S n, agerend op 2-verzamelingen, niet-spreidend (Stelling 5.2.1). We tonen ook aan dat S n, agerend op k-verzamelingen, niet synchroniserend is indien k een deler is van n (Gevolg 5.2.4). Voor het geval k = 3 kunnen we aantonen dat het equivalent is om te zeggen dat S n, agerend op de 3- verzamelingen, synchroniserend en scheidend is indien n congruent is met 2,4 of 5 modulo 6 en n 8 (Stelling 5.2.5). Voor S 7 en S 8, agerend op de 3-verzamelingen, kunnen we aantonen dat deze niet-synchroniserend zijn. Tenslotte tonen we aan dat S n, agerend op k-deelverzamelingen, niet-spreidend is (Stelling ). Hoofdstuk 6 zal handelen over representatietheorie. We herhalen in Sectie 6.1 kort enkele nodige begrippen uit de representatietheorie. In Sectie 6.2 bespreken we de 2-sluiting en de sterke 2-sluiting van permutatiegroepen G op Ω. Dit zijn de verzamelingen van alle permutaties van Ω die de orbieten van G op Ω 2, respectievelijk de orbieten van G op de verzamelingvan 2-deelverzamelingen van Ω, behouden. We tonen aan dat indien een permutatiegroep G primitief, synchroniserend, scheidend of {2}-transitief is, de 2-sluiting en de sterke 2- sluiting dit ook zijn (Stelling 6.2.3). Naast de 2-sluiting en sterke 2-sluiting definiëren we ook de F-sluiting van een permutatiegroep G op Ω, voor een lichaam F. Deze sluiting bestaat uit alle permutaties die alle FG-deelmodulen op FΩ bewaren. We tonen aan dat de C-sluiting van een permutatiegroep

11 SAMENVATTING 5 gelijk is aan zijn 2-sluiting (Stelling 6.3.3). In Sectie 6.4 definiëren we FIgroepen. Dit zijn permutatiegroepen G op Ω waarbij hun F-sluiting gelijk is aan de symmetrische groep Sym(Ω). Een permutatiegroep G is CI als en slechts als G 2-transitief is en G is RI als en slechts als G {2}-transitief is (Stelling 6.4.2). Een permutatiegroep is QI als en slechts als zijn F-sluiting dit ook is, met F een lichaam van karakteristiek 0. Tenslotte vergelijken we de QI-groepen met de spreidende groepen. We vermoeden dat er groepen zijn die spreidend zijn, maar niet QI. Hier zijn echter nog geen voorbeelden van. Onze uiteindelijk hiërarchie van eigenschappen van groepen ziet er als volgt uit: transitief primitief niet-cartesiaans synchroniserend scheidend spreidend QI {2}-transitief 2-transitief

12 1 Inleiding In dit inleidend hoofdstuk zullen we enkele voorbeelden geven om duidelijk te maken waarover deze masterproef zal gaan. Ook zullen we enkele belangrijke begrippen introduceren die later nodig zijn. 1.1 Enkele voorbeelden Grafische rekenmachines De meeste grafische rekenmachines hebben een On -knop, maar geen Off - knop. Om de rekenmachiene uit te schakelen moet je meestal eerst op de Shift - toets duwen en vervolgens op de On -toets. Indien de grafisch rekenmachine uitgeschakeld is, gebeurt er niets bij het induwen van de Shift -toets. We stellen ons nu de vraag hoe we er zeker van kunnen zijn dat het rekenmachientje is uitgeschakeld, ook al kunnen we het scherm niet zien. Het is duidelijk dat het rekenmachientje zal aanstaan als we op de On - toets duwen. Indien we daarna Shift-On duwen, zal het rekenmachientje altijd uitgeschakeld zijn. We merken op dat, indien er maar een enkele knop voor On-Off zou zijn en deze telkens de status omwisselt, er geen oplossing zou zijn voor dit probleem. Het doolhof We veronderstellen dat we in een doolhof met een aantal kamers terechtgekomen zijn. Elke kamer bevat een speciale deur, maar er is slechts één deur die ons bevrijdt uit het doolhof. Elke gang is in een bepaalde kleur gekleurd. Op de grond kunnen we pijlen terugvinden die aangeven in welke richting we de gang mogen 6

13 HOOFDSTUK 1. INLEIDING 7 doorlopen. We weten niet waar we zijn, maar we hebben wel een schematische voorstelling van het doolhof. Figuur 1.1 toont zo n schematische voorstelling. Kamer 3 is de enige kamer die ons kan bevrijden uit het doolhof, maar hoe weten we nu zeker dat we daar zijn terechtgekomen? Indien we steeds de gangen met kleuren (Blauw, Rood, Blauw, Blauw) doorlopen, zullen we altijd in de derde kamer uitkomen, waar we ook begonnen zijn Figuur 1.1: Schematische voorstelling van het doolhof. 1.2 Automaten en synchroniserende woorden We herhalen de definitie van een deterministische eindige automaat. Voor meer informatie over automaten, refereren we naar [RS83]. Definitie Een deterministische eindige automaat bestaat uit een eindige verzameling Ω van toestanden en een eindige verzameling transities. Elke transitie is een functie van Ω naar zichzelf. Definitie Een opeenvolging van transities noemen we een woord. We definiëren nu een speciaal soort woord: Definitie Een synchroniserend woord is een opeenvolging van transities zodat de samenstelling van deze transities, toegepast op eender welke starttoestand, je steeds naar dezelfde toestand brengt. Een automaat die zo n synchroniserend woord bevat, noemen we synchroniserend. Voorbeeld Wanneer we terugkeren naar het eerste voorbeeld over grafische rekenmachines zien we dat het woord On-Shift-On een synchroniserend woord is. Ongeacht de toestand waarin het rekentoestel zich bevindt, zal het uitgeschakeld zijn na het toepassen van dit woord.

14 HOOFDSTUK 1. INLEIDING 8 In het tweede voorbeeld over het doolhof zien we dat Blauw-Rood-Blauw- Blauw een synchroniserend woord is. Ongeacht in welke kamer we ons bevinden, we zullen steeds in de derde kamer uitkomen na het uitvoeren van dit woord. Opmerking Niet elke eindige automaat bevat een synchroniserend woord. Indien bijvoorbeeld elke transitie een permutatie is, dan zal ook elk woord een permutatie zijn. Opmerking Combinatorisch gezien is een automaat een gerichte graf waarbij de bogen gekleurd zijn. Uit elke top vertrekt juist één boog van elke kleur. De toppen zijn toestanden en de bogen van een bepaalde kleur stellen een transitie voor. Figuur 1.2 toont een voorbeeld van zo n graf. p q Figuur 1.2: Een gerichte graf met gekleurde bogen. 1.3 Transformatiemonoïden In deze paragraaf zullen we de definities van een semigroep, monoïde en groep herhalen. Hiervoor refereren we naar [Jes07]. Daarna zullen we het verband leggen tussen automaten en een speciale soort monoïden. Definitie Zij S een niet-lege verzameling en : S S S een functie (we noemen dit ook een binaire bewerking op S, of eenvoudig een bewerking op S). Voor s, t S noteren we het beeld (s, t) soms door s t. Als voldoet aan de volgende eigenschap: s 1, s 2, s 3 S : s 1 (s 2 s 3 ) = (s 1 s 2 ) s 3 (associativiteit) dan noemen we (S, ) een semigroep. Als de bewerking duidelijk is uit de context, dan noteren we deze semigroep eenvoudig door S. Als er bovendien een element e S bestaat zodat s S : e s = s e = s

15 HOOFDSTUK 1. INLEIDING 9 dan noemen we (S, ) een monoïde. Men noemt e het éénheidselement of neutraal element. Indien (S, ) een monoïde is met éénheidselement e, dan noemen we dit een groep als bovendien voldaan is aan de volgende voorwaarde: s S, h S : s h = h s = e. Zij nu Ω een eindige verzameling. Indien we met Ω de verzameling {1, 2,..., n} bedoelen, zullen we dit noteren als Ω n. Definitie De (volledige) transformatiemonoïde T Ω is de verzameling van alle functies van Ω naar zichzelf. Uitgerust met de samenstelling, is dit een monoïde: de samenstelling is associatief; er bestaat een neutraal element (de identiteitsfunctie op Ω). Algebraïsch gezien is een automaat een deelmonoïde van T Ω met een verzameling van generatoren. De generatoren zijn de transities van de automaat. Aangezien we toestaan om deze willekeurig samen te stellen, zijn de toegelaten transities allemaal woorden in de generatoren. Opmerking Indien Ω = {1, 2,..., n}, zullen we T Ω noteren als T n. Definitie Men noemt een automaat synchroniserend als en slechts als ze (als transformatiemonoïde) een constante functie bevat. Voorbeeld Beschouw het inleidend voorbeeld over het grafisch rekentoestel. Een gerichte graf met gekleurde bogen, blauw voor On en rood voor Shift- On, ziet er als volgt uit: Off On Figuur 1.3: Een gerichte graf met gekleurde bogen voor het grafisch rekentoestel.

16 HOOFDSTUK 1. INLEIDING 10 Deze monoïde heeft twee generatoren. De eerste generator is de functie die alles afbeeldt op On, dit komt dus overeen met op de On -toets te duwen. De tweede generator is de functie die Off en On omwisselt en komt dus overeen met eerst de Shift -toets in te duwen en vervolgens op de On -toets te duwen. De overblijvende elementen van de monoïde zijn de functies die alles afbeelden op Off en de identiteitsfunctie. Dit is dus de volledige transformatiemonoïde op de verzameling van toestanden. 1.4 De Road Colouring Theorem De onderliggende gerichte graf van een automaat met n transities is een gerichte graf met de eigenschap dat uit elke top juist n bogen vertrekken. Omgekeerd kunnen we de bogen van een gerichte graf met deze eigenschap kleuren in n kleuren zodat het een automaat representeert. Dit doen we door alle n uitgaande bogen van een top verschillende kleuren te geven. De resulterende automaat kan dan synchroniserend zijn of niet. Maar wat zijn nu de nodige en voldoende voorwaarden opdat dit wel zo zou zijn? We veronderstellen dat de automaat synchroniserend is door een geschikt synchroniserend woord. Een nodige voorwaarde hiervoor is dat het mogelijk moet zijn om van elke toestand naar elke andere te gaan. Met andere woorden: de gerichte graf moet sterk samenhangend zijn. We bewijzen nog een andere nodige voorwaarde: Stelling Indien een automaat synchroniserend is, dan is de grootste gemene deler van de lengten van de cycli in de onderliggende gerichte graf gelijk aan 1. Bewijs. Veronderstel dat dit niet zo is en dat deze gelijk is aan d. Kies nu een willekeurige top v en stel Ω i de verzameling van toppen die men vanuit v kan bereiken in een aantal stappen congruent met i mod d, voor i = 0, 1,..., d 1. De verzamelingen Ω i zijn paarsgewijs disjunct. Aangezien deze verzamelingen paarsgewijs disjunct zijn, zullen we nooit een synchroniserend woord kunnen vinden die ons steeds naar dezelfde top brengt. Er bestaat dus geen enkele automaat, gebaseerd op deze gerichte graf, die synchroniserend is. Het vermoeden dat deze twee nodige voorwaarden ook voldoende zijn, werd in 1970 geformuleerd door Weiss en Adler [AW70], en werd bekend als de Road Colouring Conjecture. Dit vermoeden werd bewezen in 2007 door Avraham Trahtman [Tra09]: Stelling Zij D een gerichte en sterk samenhangende graf met een constante uitgraad. Veronderstel dat de grootste gemene deler van de cycli in D gelijk is aan 1.

17 HOOFDSTUK 1. INLEIDING 11 Dan kunnen de bogen van D zo gekleurd worden dat D een synchroniserende automaat voortbrengt. In mijn 3e Bachelorproject [Dec09], gepromoot door Professor Philippe Cara, heb ik onderzoek verricht naar dit recent geleverde bewijs. Uiteindelijk bleek het bewijs vrij eenvoudig te zijn. Door de speciale structuur van de graf kan men de graf opdelen in cycli en bomen. Trahtman bewees dat er een deelgraf bestaat zodat er juist één niet-triviale boom buiten de cyclus bestaat met juist één blad. Na deze vaststelling kan men het bewijs leveren via elementaire technieken binnen de graffentheorie. 1.5 Toepassing in industriële robotica We zullen nu een meer praktisch voorbeeld uitwerken uit de industriële robotica. Op een transportband komen steeds stukken toe die samengesteld moeten worden door een robot. De oriëntatie hiervan is zeer belangrijk. Men zou zo n robot kunnen uitrusten met sensoren die er voor zorgen dat de robot de stukken in de juiste oriëntatie roteert. Maar het zou veel goedkoper en minder foutgevoelig zijn om de mogelijke oriëntaties als toestanden van een automaat te bekijken waarbij transities kunnen uitgevoerd worden door eenvoudige handelingen die overeenkomen met de acties in het synchroniserend woord. Op deze manier zullen de stukken steeds in de juiste oriëntatie liggen. We beschouwen nu een vereenvoudigd voorbeeld van de robotica toepassing. Veronderstel dat de component een vierkant is met een kleine uitstulping. Figuur 1.4 toont een voorbeeld van zo n component. Figuur 1.4: Een vierkante component met kleine uitstulping. De component kan op vier mogelijke manieren georiënteerd zijn: de uitstulping kan naar boven, onder, links of rechts wijzen. De volgende transities zijn makkelijk te implementeren:

18 HOOFDSTUK 1. INLEIDING 12 R(ood): roteer over 90 in de positieve richting; B(lauw): roteer over 90 in de positieve richting indien de uitstulping naar boven wijst, anders doe je niets. Figuur 1.5 toont een diagram van de automaat. Elke toestand vertegenwoordigt de positie van de component met de uitstulping aan die zijde Figuur 1.5: Een diagram van de automaat. Uit onderstaande tabel kunnen we afleiden dat BRRRBRRRB een synchroniserend woord is. 1.6 De Černý Conjecture B R R R B R R R B In 1968 uitte Černý volgend vermoeden [Čer64]: Vermoeden Veronderstel dat een automaat met n toestanden synchroniserend is. Dan bestaat er voor deze automaat een synchroniserend woord met lengte ten hoogste (n 1) 2. Dit vermoeden is nog steeds open, na meer dan 40 jaar! We merken op dat dit vermoeden, indien het juist is, zeer scherp is. In het voorbeeld over robotica heeft de automaat 4 toestanden. Men kan aantonen

19 HOOFDSTUK 1. INLEIDING 13 dat het gevonden synchroniserend woord van lengte 9 de meest optimale lengte heeft. Algemeen: wanneer we het vierkant vervangen door een regelmatige n- gon, heeft de automaat n toestanden en een kortste synchroniserend woord van lengte (n 1) Aanpak via permutatiegroepen Om het Černý vermoeden op te lossen stelden Ben Steinberg en João Araújo een aanpak voor gebaseerd op permutatiegroepen [AS06]. Tot nu toe is men er nog steeds niet in geslaagd om op deze manier tot een oplossing te komen, maar het heeft wel geleid tot verschillende nieuwe problemen en vermoedens. Algebraïsch gezien is een automaat dus een monoïde van transformaties van een eindige verzameling Ω met een aantal generatoren. De monoïde is synchroniserend indien ze een constante functie bevat. Enkele bedenkingen: Indien alle generatoren permutaties zijn, dan bestaat ook de volledige transformatiemonoïde uit permutaties. De monoïde is dus een deelgroep van de symmetrische groep S n van alle permutaties van Ω n. In deze context zijn permutaties dus de slechtste transities met betrekking tot synchronisatie! Bovendien ligt elke permutatie in de transformatiemonoïde in de deelgroep gegenereerd door deze transities, die permutaties zijn. De filosofie van deze twee heren is: analyseer eerst de groep gegenereerd door de permutaties! We zullen nu de definitie van een synchroniserende permutatiegroep geven. Definitie Zij G een permutatiegroep op de eindige verzameling Ω n, dit wil zeggen een deelgroep van S n. We zeggen dat G synchroniserend is indien het volgende geldt: Voor elke functie f van Ω n naar zichzelf die geen permutatie is, geldt dat de monoïde gegenereerd door G en f synchroniserend is. De monoïde bevat dus een constante functie. Opmerking De monoïde gegenereerd door G en f noteren we in het vervolg G, f. We voeren ook het begrip rang van een functie in: Definitie De rang van een functie f, notatie rk f, is gelijk aan: rk f = Im f.

20 HOOFDSTUK 1. INLEIDING 14 Opmerking Voor een constante functie f geldt: rk f = 1. We kunnen nu de definitie van een synchroniserende groep in symbolen weergeven: f T n \ S n : c G, f : rk c = 1. De aanpak van het Černý vermoeden gaat als volgt: veronderstel dat de transities, die permutaties zijn, een synchroniserende groep genereren. Dit betekent dat er een synchroniserend woord in G, f bestaat, voor een willekeurige functie f die geen permutatie is. Volgende getallen zullen begrensd moeten worden: het aantal voorkomens van f in een synchroniserend woord; het aantal generatoren van G tussen opeenvolgende voorkomens van f. We mogen veronderstellen dat het synchroniserend woord begint en eindigt met f. Het zal dus van de vorm fg 1 fg 2 fg r 1 f (met r voorkomens van f) zijn. Enkele doelstellingen kunnen zijn: aantonen dat we ervoor kunnen zorgen dat elke opeenvolgende toepassing van f er voor zorgt dat de grootte van het beeld met ten minste één vermindert (zodat r n 1); aantonen dat er ten hoogste n 1 generatoren van G nodig zijn tussen de opeenvolgende f s (de taak van de g i s is ervoor zorgen dat het beeld van het voorgaande deel van het woord geherpositioneerd wordt, zodat de volgende toepassing van f het beeld doet krimpen). Beide doelen zijn bereikt in het voorbeeld dat we gaven om aan te tonen dat de Černý grens scherp is. We zullen aantonen dat het eerste doel bereikt kan worden door een voorwaarde op G te leggen die sterker is dan de synchroniserende eigenschap die we hierboven gedefinieerd hebben. Het tweede doel is iets moeilijker, maar de groepentheorie zal ons enkele instrumenten aanbieden om dit probleem aan te pakken. Het basisidee is dat we veel meer weten over groepen dan over monoïden! 1.8 Een voorbeeld We herhalen nog eens de definitie van een synchroniserende groep:

21 HOOFDSTUK 1. INLEIDING 15 Zij f een afbeelding van Ω n naar zichzelf, dewelke geen permutatie is. Een permutatiegroep G op Ω n heet synchroniserend indien de monoïde G, f gegenereerd door G en f een synchroniserende monoïde is (m.a.w. ze bevat een constante functie). Opmerking We merken op dat de definitie van een synchroniserende groep zegt dat het toevoegen van een niet-permutatie er voor zorgt dat een synchroniserend woord gegenereerd wordt. Voorbeeld In het voorgaande voorbeeld over de robotica hadden we een automaat met 4 toestanden. Het kortste synchroniserend woord was van lengte 9. De groep G, gegenereerd door de permutatie ( ), is cyclisch. Maar de cyclische groep van orde 4 is geen synchroniserende groep. Om dit aan te tonen is het voldoende om een functie f toe te voegen die geen permutatie is. Neem f de functie die 1 en 3 afbeeldt op 1, en 2 en 4 afbeeldt op 2. Aangezien het beeld van een willekeurig element van G, f buiten G bestaat uit 2 opeenvolgende punten van de cyclus, bestaat er geen synchroniserend woord. We mogen dus niet verwachten dat deze aanpak het Černý vermoeden in zijn geheel zal oplossen!

22 2 Permutatiegroepen In dit hoofdstuk geven we een inleiding in permutatiegroepen. We refereren hiervoor naar [Cam99, DM96]. 2.1 Permutatiegroepen en groepacties We herhalen eerst enkele belangrijke definities. In wat volgt zal Ω steeds een eindige verzameling voorstellen. Definitie Zij Ω een verzameling. De symmetrische groep op Ω is de verzameling van alle permutaties van Ω en noteren we Sym(Ω). Deze vormt een groep, met als bewerking de samenstelling. Notatie We zullen permutaties steeds rechts laten ageren en de samenstelling van links naar rechts uitvoeren. Met andere woorden, het beeld van α onder de permutatie g is αg en de samenstelling van g en h is gh (zodat α(gh) = (αg)h). Als Ω de eindige verzameling {1, 2,..., n} voorstelt, zullen we S n noteren voor de symmetrische groep op Ω. Definitie Een permutatiegroep op Ω is een deelgroep van Sym(Ω). Definitie Zij G een groep. Een actie van G op Ω is een homomorfisme ϕ van G naar Sym(Ω). We korten het beeld α(gϕ) van α onder de permutatie corresponderend met g meestal af tot αg. Het beeld van een actie is dus een permutatiegroep. Het enige verschil is dat een actie een kern kan hebben. 16

23 HOOFDSTUK 2. PERMUTATIEGROEPEN 17 Via axioma s kunnen we het begrip actie op een andere manier formaliseren. Naast [Cam99], refereren we hier ook naar [Kie07]. Definitie Zij G een groep. Een G-ruimte is een verzameling Ω met een functie µ : Ω G Ω, die aan volgende voorwaarden voldoet: (A1) µ(µ(α, g), h) = µ(α, gh) voor alle α Ω en g, h G, (A2) µ(α, 1) = α voor alle α Ω. Wanneer er geen verwarring mogelijk is, zullen we µ(α, g) schrijven als αg. We eindigen deze paragraaf met het herhalen van enkele belangrijke definities uit [Jes07] en [Kie07]. Definitie Zij Ω een G-ruimte en ω Ω. De stabilisator van ω is de verzameling G ω = {g G ωg = ω}. De stabilisatoren zijn deelgroepen van G. Definitie Zij G een groep en zij g G. De centralisator van g G is de verzameling C G (g) = {x G xg = gx}. De centralisator is een deelgroep van G. Definitie Zij G een groep en H een deelgroep. Als g G dan is de linkernevenklasse van g de verzameling gh = {gh h H}. De rechternevenklasse van g is de verzameling Hg = {hg h H}. Duidelijk is eh = H = He en g gh. Dus is gh H als g H. Ook hebben we gh H = als g H. 2.2 Orbieten en transitiviteit Definitie Zij Ω een G-ruimte. We definiëren een relatie op Ω als volgt: α β g G : αg = β. Deze relatie is een equivalentierelatie. orbieten van G. De equivalentieklassen van zijn de Notatie De orbiet van G die α bevat noteren we αg.

24 HOOFDSTUK 2. PERMUTATIEGROEPEN 18 Definitie We noemen G transitief (of Ω is een transitieve G-ruimte) als er juist één orbiet is. We merken op dat elk orbiet op zichzelf terug een G-ruimte is. We krijgen dus volgende stelling: Stelling Elke G-ruimte kan uniek geschreven worden als een disjuncte unie van transitieve G-ruimten. Onderstel dat G een permutatiegroep op Ω is, met orbieten Ω i voor i I, met I een indexverzameling. Dan ageert G op elke verzameling Ω i en induceert zo een transitieve permutatiegroep die we G Ω i zullen noteren. Deze groepen G Ω i noemen we de transitieve constituenten van G. We kunnen ons nu afvragen hoe G opgebouwd is uit zijn transitieve constituenten. Definitie Zij (G i : i I) een familie groepen. We definiëren het cartesisch product G = G i i I als de verzameling van alle functies f van I naar i I G i met de eigenschap dat f(i) G i voor alle i I. De groepoperaties worden coördinaatsgewijs gedefinieerd. Hiermee bedoelen we dat f 1 f 2 gedefinieerd wordt door voor alle i I. (f 1 f 2 )(i) = f 1 (i)f 2 (i), Voor elke i I bestaat er een projectie ϕ i : G G i, die elke functie f afbeeldt op het element f(i) G i. Deze constructie veralgemeent het direct product van een eindig aantal groepen. We zeggen dat een deelgroep H van G een deelcartesisch product van de groepen (G i : i I) is, als de restricties van ϕ i tot H surjectief zijn, voor alle i I. We verkrijgen aldus een antwoord op onze vraag: Stelling Elke permutatiegroep is een deelcartesisch product van zijn transitieve constituenten. Voorbeeld Beschouw de permutatiegroepen G 1 en G 2 op de verzameling Ω = {1, 2, 3, 4}, gegeven door: G 1 = {1, (12)(34)} G 2 = {1, (12), (34), (12)(34)}.

25 HOOFDSTUK 2. PERMUTATIEGROEPEN 19 Elke actie heeft 2 orbieten, namelijk Ω 1 = {1, 2} en Ω 2 = {3, 4}. Deze geven allebei aanleiding tot de volgende transitieve constituenten: K = {1, (12)} L = {1, (34)}. We kunnen besluiten dat G 2 het volledig cartesisch product van K en L is, en G 1 is een echt deelcartesisch product. Een hele belangrijke stelling in de theorie over permutatiegroepen is de stelling van Cayley. Het bewijs kan men terugvinden in [Jes07]. Stelling Een groep G is isomorf met een deelgroep van de symmetrische groep op G. Bewijs. Beschouw de afbeelding π : G Sym(G) : g π g met π g : G G : x xg. Er geldt dat π een injectief groepshomomorfisme. Uit de eerste isomorfismestelling volgt er dat G = π(g) en deze laatste is een deelgroep van de symmetrische groep Sym(G). Voorbeeld De geconstrueerde groep π(g) uit voorgaand bewijs is transitief. Indien x, y G gegeven zijn, dan zoeken we π g zodat π g (x) = y. We weten dat π g (x) = xg = y. We nemen dus g = x 1 y G. Later in dit hoofdstuk zullen we dit de rechtse reguliere actie noemen. Gevolg Elke groep is isomorf met een transitieve permutatiegroep. 2.3 Meervoudige transitiviteit We zullen nu het begrip transitiviteit veralgemenen. Definitie Zij k een natuurlijk getal kleiner dan of gelijk aan Ω. We zeggen dat G k-transitief op Ω is, als de groep transitief ageert op de verzameling van alle k-tupels van verschillende elementen van Ω (waar de actie componentsgewijs is: (α 1,..., α k )g = (α 1 g,..., α k g)). We merken op dat een k-transitieve groep l-transitief is voor elke l k.

26 HOOFDSTUK 2. PERMUTATIEGROEPEN 20 Stelling Zij k > 1, dan is G k-transitief op Ω als en slechts als G is transitief op Ω, en de stabilisator van α in G is (k 1)-transitief op Ω \ {α}. Bewijs. We bewijzen eerst de implicatie van links naar rechts. De eerste bewering is duidelijk wegens voorgaande opmerking. Zij α Ω, en (α 1,..., α k 1 ) en (β 1,..., β k 1 ) twee tupels in Ω \ {α} met α i α j en β i β j voor i j. Kies g G zodat Dan geldt g G α en (α 1,..., α k 1, α)g = (β 1,..., β k 1, α). (α 1,..., α k 1 )g = (β 1,..., β k 1 ). Bijgevolg is ook de tweede bewering bewezen. Tenslotte bewijzen we de implicatie van rechts naar links. Zij (α 1,..., α k ) en (β 1,..., β k ) twee tupels met α i α j en β i β j voor i j. Wegens de transitiviteit van G bestaat een g 1 G zodat α 1 g 1 = β 1. Door de (k 1)-transitiviteit van G β1 bestaat een g 2 G β1 zodat Dan geldt voor g = g 1 g 2 G dat (α 2 g 1,..., α k g 1 )g 2 = (β 2,..., β k ). (α 1,..., α k )g = (β 1, α 2 g 1,..., α k g 1 )g 2 = (β 1, β 2,..., β k ), waarmee de stelling bewezen is. 2.4 Imprimitiviteit We beschrijven nu enkele speciale eigenschappen van transitieve acties. Definitie Zij G transitief op Ω. Een congruentie is een G-invariante equivalentierelatie op Ω. Dit wil zeggen dat als α β, dan ook αg βg voor alle g G. Een blok is een deelverzameling van Ω zodat g = of g = voor alle g G. Stelling Een congruentieklasse is een blok, en elk niet-leeg blok is een congruentieklasse.

27 HOOFDSTUK 2. PERMUTATIEGROEPEN 21 Er zijn twee triviale congruenties die voor elke groep voorkomen: de gelijkheidsrelatie; de universele relatie, i.e. α β voor alle α, β. Definitie Zij G transitief op Ω. We noemen G imprimitief als G niettriviale congruenties heeft en primitief indien dit niet zo is. Gevolg Zij G primitief op Ω en een blok. Dan is gelijk aan de verzameling Ω zelf, of is een singleton {ω} met ω Ω. Opmerking Soms noemt men de niet-triviale congruentieklassen ook imprimitiviteitsblokken. 2.5 Het kransproduct We bestuderen hier een bijzonder product van twee permutatiegroepen. Dit product zal gebaseerd zijn op het semidirect product van twee groepen. We refereren hiervoor opnieuw naar [Cam99] en [Jes07]. We herhalen eerst de definitie van een semidirect product: Definitie Zij N een groep en G een groep agerend op N als een automorfismegroep. Dit betekent dat er een groephomomorfisme σ : G Aut(N) bestaat. We definiëren het semidirect product van N en G ten opzichte van de actie σ als de groep met elementenverzameling het carthesisch product N G en waarbij de vermenigvuldiging als volgt is gedefinieerd: n 1, n 2 N, g 1, g 2 G : (n 1, g 1 ) (n 2, g 2 ) = (n 1 σ g1 (n 2 ), g 1 g 2 ) Het éénheidselement van deze groep is (e N, e G ) en het invers element voor (n, g) is (σ g 1(n 1 ), g 1 ). Om duidelijk te maken dat dit semiproduct gedefinieerd is ten opzichte van het groepshomomorfisme σ noteren we dit als N σ G. We geven een belangrijke karakterisatie van dit semidirect product: Stelling Indien twee deelgroepen N en G van een groep S voldoen aan de volgende drie voorwaarden: 1. S = NG; 2. N S;

28 HOOFDSTUK 2. PERMUTATIEGROEPEN N G = {e S }, dan is S isomorf met het semidirect product van N en G ten opzichte van de conjugatieactie van G op N. Bewijs. We definiëren de afbeelding φ als volgt: φ: N G S : (n, g) ng. Aangezien S = NG, hebben we dat φ surjectief is. Veronderstel dat φ(n 1, g 1 ) = φ(n 2, g 2 ). Dan geldt er n 1 g 1 = n 2 g 2, ofwel n 1 2 n 1 = g 2 g1 1. Aangezien n 1 2 n 1 N en n 1 2 n 1 = g 2 g1 1 G, hebben we n 1 2 n 1 N G = {e S }. Dit bewijst dat n 1 = n 2 en dus ook g 1 = g 2. We moeten enkel nog aantonen dat de bijectie φ een homomorfisme is. Neem (n 1, g 1 ), (n 2, g 2 ) N G en zij σ de conjugatie-actie van G op N. Het beeld φ((n 1, g 1 ) (n 2, g 2 )) van hun product in N σ G is gelijk aan: φ((n 1, g 1 ) (n 2, g 2 )) = φ(n 1 σ g1 (n 2 ), g 1 g 2 ) Hiermee is onze stelling bewezen. = n 1 σ g1 (n 2 )g 1 g 2 = n 1 g 1 n 2 g 1 1 g 1g 2 = n 1 g 1 n 2 g 2 = φ(n 1, g 1 )φ(n 2, g 2 ) We geven nu de definitie van een kransproduct: Definitie Zij H en K permutatiegroepen op respectievelijk de verzamelingen Γ en. Zij Ω = Γ. Bekijk Ω als een bundel vezels over de verzameling. Elke vezel is een verzameling Γ d = {(c, d) : c Γ}, voor een vaste d. Figuur 2.1 illustreert een vezelbundel. Zij B het cartesisch product van kopieën van H, waarvan elke kopie ageert op elke vezel, zoals H ageert op Γ. Dus B is een verzameling van functies van naar H met puntsgewijze bewerkingen. De actie wordt gegeven door: met f B en (c, d) Ω. µ 1 ((c, d), f) = (cf(d), d), Zij T een kopie van de groep K, die de vezels als volgt permuteert: µ 2 ((c, d), k) = (c, dk),

29 HOOFDSTUK 2. PERMUTATIEGROEPEN 23 Γ d d Figuur 2.1: Illustratie van een vezelbundel. met k T en (c, d) Ω. met Het semidirect product B ϕ T, ten opzichte van het groepshomomorfisme ϕ : T Aut(B) : t ϕ t, ϕ t : B B : b (ϕ t (b) : H : d b(dt 1 )), noemen we het kransproduct van de permutatiegroepen H en K en noteren we H K. De actie wordt dan gedefinieerd door met (f, k) H K en (c, d) Ω. µ((c, d), (f, k)) = (cf(d), dk), Opmerking We noemen B de ondergroep en T de bovengroep van het semidirect product. Volgende stelling is duidelijk zonder bewijs: Stelling Zij H transitief op Γ en K transitief op, dan is H K transitief op Ω = Γ. Stelling Zij Γ, > 1, dan is H K imprimitief. Bewijs. We moeten bewijzen dat er een niet-triviale congruentie op H K bestaat. We definiëren de relatie als volgt: (c, d) (c, d ) d = d. Het is duidelijk dat een equivalentierelatie is. Onderstel dat (c, d) (c, d ),

30 HOOFDSTUK 2. PERMUTATIEGROEPEN 24 dan is het tevens duidelijk dat (cf(d), dk) = (c, d)(f, k) (c, d )(f, k) = (c f(d ), d k). Bijgevolg is ook een congruentie. Aangezien Γ, > 1 en er dus c, c, d, d bestaan zodat c c en d d, is niet triviaal. Het kransproduct speelt een belangrijke rol voor imprimitieve permutatiegroepen [Cam99]: Stelling Zij G een transitieve en imprimitieve permutatiegroep op Ω. Zij Γ een imprimitiviteitsblok en H de permutatiegroep geïnduceerd op Γ door zijn verzamelingsgewijze stabilisator. Zij de indexverzameling voor de verzameling van imprimitiviteitsblokken en zij K de permutatiegroep geïnduceerd op door G. Dan bestaat er een bijectie tussen Ω en Γ, zodat G kan ingebed worden in het kransproduct H K. 2.6 De productactie In vorige paragraaf hebben we bewezen dat H K imprimitief is indien Γ, > 1. De actie die we daarvoor nodig hadden noemen we dan ook de imprimitieve actie. In deze paragraaf zullen we een andere actie van het kransproduct bekijken. We geven eerst de definitie van een globale sectie. Definitie Een (globale) sectie is een deelverzameling van een vezelbundel die juist één punt van elke vezel bevat. Figuur 2.2 geeft een voorstelling van zo n globale sectie. φ(d) d Figuur 2.2: Illustratie van een globale sectie.

31 HOOFDSTUK 2. PERMUTATIEGROEPEN 25 De productactie van het kransproduct H K definieert men op de verzameling van globale secties van een vezelbundel. Stel nu Γ de verzameling van functies ϕ : Γ. De functies ϕ geven de globale secties. Dan ageert H K op de verzameling Γ. De ondergroep B (i.e. de verzameling van functies van naar H) ageert coödinaatsgewijs: (ϕf)(d) = (ϕ(d))f(d) voor d. De bovengroep T (i.e. isomorf met K) permuteert de argumenten van de functies: (ϕk)(d) = ϕ(dk 1 ) Om een voorbeeld te kunnen geven, introduceren we eerst elementair abelse groepen: Definitie Een elementair abelse groep is een eindige abelse groep, waarin elk niet-triviaal element orde p heeft, met p een priemgetal. De Fundamentele Stelling van Eindige Abelse Groepen (zie [Jes07]), geeft ons volgende stelling: Stelling Elke elementair abelse groep met priemgetal p, is isomorf met het direct product van cyclische groepen van orde p, notatie (C p ) n, voor een natuurlijk getal n. Voorbeeld We beschouwen het kransproduct S 2 S n. Deze groep heeft een normale deelgroep S n 2, die elementair abels is van orde 2n. De quotiëntgroep van deze twee groepen is de symmetrische groep S n. De imprimitieve actie ageert op de toppen van de n-dimensionale hyperoctaëder, wiens hoekpunten de vectoren zijn met ±1 in één coördinaat en 0 in alle andere. De i-de factor van de ondergroep verwisselt het teken van de i-de basisvector en houdt de andere vast. De bovengroep permuteert de coördinaten. De productactie ageert op de toppen van de n-dimensionale hyperkubus. Deze heeft de vorm (ϵ 1,..., ϵ n ), met ϵ i = ±1 voor i = 1,..., n. De ondergroep wisselt opnieuw het teken. De bovengroep permuteert de coördinaten. 2.7 Primitieve groepen Een rechtstreeks gevolg van Cayley s stelling (Gevolg ) is dat elke groep isomorf is met een transitieve permutatiegroep. We beginnen met de definities van semiregulier en regulier, om daarna enkele reguliere acties te benoemen.

32 HOOFDSTUK 2. PERMUTATIEGROEPEN 26 Definitie Een permutatiegroep G op heet semiregulier indien de stabilisator van elk punt de identiteit is. Definitie Een permutatiegroep G heet regulier indien G transitief en semiregulier is. Voorbeeld Een voorbeeld van een reguliere actie van een groep G is de rechtse reguliere actie ρ op zichzelf door rechtse vermenigvuldiging (zie Voorbeeld 2.2.9): ρ(x, g) = xg. Er bestaat ook een linkse reguliere actie λ: λ(x, g) = g 1 x. Zoals de naam reeds zegt is dit ook een reguliere actie. De resulterende permutatiegroepen van de linkse en rechtse reguliere actie moeten dus noodzakelijk (door de transitiviteit) isomorf zijn. Dit klopt aangezien de afbeelding x x 1 een isomorfisme van acties is. Daarnaast hebben zij ook een belangrijke eigenschap: Eigenschap De centralisator, in de symmetrische groep op G, van (het beeld van) de rechtse reguliere actie van een groep G is (het beeld van) linkse reguliere actie. Heel opmerkelijk is dat de commutatieve wet van de linkse en rechtse acties juist een vertaling is van de associatieve wet voor de groep: λ(ρ(x, g), h) = h 1 (xg) = (h 1 x)g = ρ(λ(x, h), g) voor alle x G, dus voor alle g, h G. λ(ρ(, g), h) = ρ(λ(, h), g) Stelling Een niet-triviale normale deelgroep van een primitieve groep is transitief. Bewijs. Zij N een niet-triviale normale deelgroep van een primitieve groep G op Ω. Zij αn de orbiet van α. Omdat N normaal is, geldt dat (αn)g = (αg)n voor g G. Aangezien de orbieten een partitie vormen, is elke orbiet dus een blok. Omdat N niet-triviaal is, bevat elke orbiet meer dan één element. Bijgevolg is er slechts één orbiet, namelijk Ω zelf. Het bewijs van volgende stelling kan men terugvinden in [Cam99].

33 HOOFDSTUK 2. PERMUTATIEGROEPEN 27 Stelling Een primitieve permutatiegroep heeft ten hoogste twee minimale normale deelgroepen. Indien het er twee heeft, dan zijn deze isomorf en niet-abels. Definitie De sokkel van een groep is het direct product van zijn minimale normale deelgroepen. We weten reeds uit [Jes09] dat elke minimale normale deelgroep van een eindige groep een direct product is van eindige isomorfe enkelvoudige groepen. Uit Stelling volgt nu: Stelling De sokkel van een primitieve permutatiegroep is het direct product van enkelvoudige isomorfe groepen. We geven nu een voorbeeld van een primitieve groep met twee minimale normale deelgroepen: Voorbeeld Zij S een niet-abelse enkelvoudige groep. Stel G = S S. We veronderstellen dat G ageert op S door (g, h) : x g 1 xh. Om een congruentie voor de tweede factor te vinden, stellen we g = 1. We zien dan dat elke congruentie voor de tweede factor gelijk is aan de relatie zit in dezelfde nevenklasse als T voor een deelgroep T van S. Deze congruentie wordt bewaard door de eerste factor als en slechts als T een normale deelgroep is. Aangezien S een enkelvoudige groep is, heeft G enkel triviale congruenties. 2.8 O Nan-Scott stelling O Nan en Scott hebben in de groepentheorie gezorgd voor enkele belangrijke stellingen over de classificatie van eindige primitieve permutatiegroepen [Sco80]. We overlopen in deze paragraaf de verschillende types groepen die deze twee heren gebruiken en geven nadien hun bekende stelling Cartesiaanse groepen Definitie Een Cartesiaanse structuur op Ω is een bijectie tussen Ω en de verzameling Γ van functies van naar Γ, met Γ, > 1. Dit geeft Ω de structuur van een n-dimensionale hyperkubus (met n = ), waarbij de zijden grootte Γ hebben. Definitie We veronderstellen dat G ageert op Ω. We zeggen dat G Cartesiaans is indien de actie een Cartesiaanse structuur bewaart op Ω, en niet- Cartesiaans indien niet.