Bijlage Cijfervaardigheid
1 Inleiding De bedoeling van deze bijlage is in het kort de standaardrekenprocedures te herhalen. Je hebt in de vooropleiding ongetwijfeld rekenonderwijs genoten, maar vaak is er te weinig onderhoud gepleegd om de kennis en vaardigheden op het juiste niveau te houden. Daarnaast willen we in deze bijlage specifieke onderwerpen die in het bedrijfseconomische onderwijs worden toegepast, behandelen. Rekenkundige onderwerpen die in het eerste gedeelte van dit boek al zijn behandeld, worden hier niet herhaald. De bijlage heeft niet de pretentie een complete rekenmethode te ontwikkelen die aansluit op bijvoorbeeld het Raamwerk rekenen/wiskunde of het Referentiekader van de commissie Doorlopende leerlijnen. Hoofdrekenen is essentieel in de opvoeding. Dat is een constante in alle generaties rekenonderwijs. Op verschillen in deze generaties (schattend rekenen, realistisch rekenen) wordt niet ingegaan. In de praktijk en ook in het beroepsonderwijs zal vaak een beroep worden gedaan op een rekenmachine of op een Excel-rekenblad. De rekenmachine zal in de lopende tekst worden behandeld, voor Excel-opdrachten zijn er aparte bronnen. 146 Bijlage
2 Getallen Er zijn natuurlijke getallen, kommagetallen en breuken. Natuurlijke getallen zijn getallen waarmee je aantallen kunt weergeven: 5 vingers aan je hand, 10 peren op een fruitschaal, 60 minuten in een uur, 5 miljoen stemgerechtigden, 250 euro op je bankrekening. Kommagetallen (decimale breuken, decimaalgetallen) zijn getallen zoals 56,23 en 0,07. Je gebruikt ze bijvoorbeeld bij het rekenen met euro s, bij het bepalen van maten en gewichten of bij het rekenen met verhoudingen en procenten. Breuken zijn getallen zoals 1/4. De schrijfwijze kan ook zijn: 4 1. In deze breuk is 1 de teller, het getal boven de streep en 4 de noemer, het getal onder de streep. Je spreekt het uit als een vierde of een kwart. Soms maak je er in spreektaal onbewust gebruik van, zo is bijvoorbeeld een kwartier, een 1/4 uur. Cijfervaardigheid 147
3 Rekenen met getallen Met behulp van slechts 10 cijfers (van 0 tot en met 9) zijn alle getallen weer te geven. We gebruiken daarvoor een decimaal positiestelsel. Zo is 7548 = 7 1000 + 5 100 + 4 10 + 8. De vier hoofdbewerkingen zijn optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Wij behandelen daarnaast ook machtsverheffen en negatieve getallen. Voorrangsregels Het product van een optelling noemen we de som; het product van een aftrekking het verschil. Optellen en aftrekken doe je in de volgorde waarin ze voorkomen (van links naar rechts). Optellen heeft dus geen voorrang boven aftrekken. Vermenigvuldigen en delen doe je ook in de gegeven volgorde. Komen de bewerkingen door elkaar voor dan gaan vermenigvuldigen/delen voor optellen/aftrekken. Rekenmachine 148 Bijlage
Om te rekenen gebruiken we tegenwoordig meestal de rekenmachine. Daar zijn verschillende typen van. We gaan uit van de calculator zoals die beschikbaar is op alle Windows pc s. Op het toetsenbord komen twee soorten toetsen voor: cijfertoetsen en functietoetsen. De geheugentoetsen hebben de beginletter M, bij de berekeningen komen we deze tegen. De uitwistoetsen zijn CE (Clear Entry, wist het laatst ingevoerde getal) en C, die het geheugen wist. We gebruiken voor elk cijfer en teken bij het intoetsen een aparte toets. 3.1 Optellen Onder elkaar optellen van natuurlijke getallen Voorbeeld 234 453 + 687 We toetsen op de rekenmachine in: 2 3 4 + 4 5 3 = In het display zien we het getal 687. Onder elkaar optellen van kommagetallen Voorbeeld 3,52 6,7 50,3 + 60,52 Zorg dat de komma s recht onder elkaar staan. Hier moeten we de komma invoeren als punt: 3. 5 2 + 6. 7 + 5 0. 3 = In het display verschijnt 60.52. Het verschil tussen de punt van de rekenmachine en de komma in het dagelijkse gebruik wordt extra lastig bij duizendtallen: 1.200,56 3,2 + 1.203,76 Cijfervaardigheid 149
Hier moeten we het duizendtal zonder punt intoetsen, deze punt hebben we namelijk nodig voor de komma. 1 2 0 0. 5 6 + 3. 2 = In het display verschijnt 1203.76. Voorbeeld Optellen van breuken Breuken moet je eerst gelijknamig maken, dan tellers optellen. 4 9 14 15 20 45 42 45 62 45 17 1 45 Bij het gelijknamig maken kies je vaak het kleinste gemene veelvoud van de noemers. Zie je dat niet meteen dan kun je de breuken later vereenvoudigen: 1 4 en 1 4 5 6 5 6 3 12 6 24 10 13 1 12 12 20 24 26 24 1 1 12 2 24 1 1 12 Wanneer je een breuk groter dan het getal 1 wilt intoetsen op een rekenmachine begin je met de breuk en daarna het getal. Voorbeeld: 2 ¼ toets je in als: 1 / 4 + 2 = Wanneer je met breuken werkt op de rekenmachine komen de geheugentoetsen goed van pas. 1 4 1 6 wordt: 3 12 2 12 5 12 1 / 4 M+ 1 / 6 MR Vereenvoudigen Veel breuken zijn aan elkaar gelijk. Kijk maar eens naar de volgende getallen: 150 Bijlage
2/4 = 4/8 = 16/32 = 160/320 We kunnen de breuk 2/4 op heel veel verschillende manieren schrijven. We kunnen dit doen door zowel de noemer als de teller met hetzelfde getal te vermenigvuldigen. De breuk 160/320 is onoverzichtelijk. Deze breuk, en natuurlijk ook andere breuken, kunnen we eenvoudiger schrijven. Anders gezegd: vereenvoudigen. Bij vereenvoudigen zoeken we naar de grootste gemeenschappelijke factor en vervolgens delen we teller en noemer door deze grootste gemeenschappelijke deler. Na vereenvoudigen verkrijgen we de eenvoudigste vorm van de breuk. Voorbeeld 4/32 = 1/8. We hebben teller en noemer beide gedeeld door 4. 28/56 = 1/2. We hebben teller en noemer beide gedeeld door 28. 3.2 Aftrekken Onder elkaar aftrekken van twee natuurlijke getallen Voorbeeld 5678 1234 4444 Let op Bij een optelling kun je meerdere getallen onder elkaar optellen. Bij aftrekken moet je dit per paar doen of er een optelling binnen het aftrekken van maken. Voorbeeld Wat is de uitkomst van 5678 1234 24? 5678 1234 4444 24 4420 of 5678 (1234 + 24): Cijfervaardigheid 151
1234 5678 24 + 1258 1258 4420 Toets in: 5 6 7 8 1 2 3 4 2 4 = In het display verschijnt 4420. Onder elkaar aftrekken van twee kommagetallen Voorbeeld 234,80 16,27 218,53 Opnieuw: zorg dat de komma s onder elkaar staan en voeg eventueel na de komma extra nullen (hier in grijs) toe. Toets in: 2 3 4. 8 1 6. 2 7 = In het display verschijnt 218.53. Aftrekken van breuken Breuken moet je eerst gelijknamig maken, dan tellers aftrekken. Voorbeeld 14 15 4 9 42 45 20 45 22 45 3.3 Vermenigvuldigen Onder elkaar vermenigvuldigen van twee natuurlijke getallen Voorbeeld 1234 567 8638 74040 617000 699678 152 Bijlage
We toetsen in: 1 2 3 4 * 5 6 7 = In het display zien we 699678. Onder elkaar vermenigvuldigen van twee kommagetallen Voorbeeld 1,234 34,5 6170 4 9360 37 0200 42,5730 De berekening voer je eerst uit zonder op de komma s te letten, uiteindelijk zet je de komma op de juiste positie: het aantal decimalen na de komma is de som van de aantallen decimalen na de komma in de getallen die je met elkaar vermenigvuldigt. Hier hebben die getallen 1 en 34 resp. 3 en 1 decimaal. Het product heeft dus 3 + 1 = 4 decimalen. Toets in: 1. 2 3 4 * 3 4. 5 = In het display verschijnt 42.5730. Voorbeeld Voorbeeld Vermenigvuldigen van breuken Het product is een breuk met als teller het product van de tellers en als noemer het product van de noemers. 2 4 3 5 2 3 4 5 6 20 3 10 Soms is het mogelijk al in de teller en noemer factoren tegen elkaar weg te strepen. 5 3 5 3 6 4 6 4 2 1 5 8 Cijfervaardigheid 153
3.4 Delen Er zijn meerdere schrijfwijzen voor de bewerking delen : 8 : 2 is identiek aan 8 / 2, is identiek aan 8. 2 Deze laatste noemen we een breuk, die we al eerder tegenkwamen als getal, maar nu dus als resultante van een deling. Delen met rest gaat bij natuurlijke getallen en kommagetallen met een staartdeling. Voorbeeld 12 / 3222 \ 268 24 82 72 102 96 6 Uit de staartdeling blijkt dat 3222 : 12 = 268 rest 6. Het kan natuurlijk zijn dat de deling precies opgaat, dus dat de rest nul is. Is er wel een rest dan kun je de deling voortzetten. Je zet dan eerst een komma en gaat door tot de deling op nul uitkomt. In ons voorbeeld is dat al snel. 12 / 3222 \ 268,5 24 82 72 102 96 60 60 0 Soms duurt het heel lang voordat je op nul uitkomt of blijf je steken in een zogenaamde repeterende breuk, bijvoorbeeld: 154 Bijlage
3 / 13 \ 4,33 12 10 9 10 Een verwante toepassing van een voortgezette staartdeling is het omzetten van een breuk in een benaderend kommagetal. Stel je wilt 11/4 benaderen en doet dat met een staartdeling: 4 / 11 \ 2,75 8 30 28 20 20 0 In de praktijk zul je het omzetten van een breuk in een benaderend kommagetal vaak onbewust op de rekenmachine uitvoeren. Toets in: 1 1 / 4 = In het display verschijnt 2,75. In dit geval is de breuk precies het kommagetal 2,75. Vaak zul je een kommagetal alleen maar benaderen en genoegen moeten nemen met een afronding, bijvoorbeeld op twee decimalen. In het bovenstaande voorbeeld van 13 : 3 is de uitkomst een repeterende breuk en de afronding op twee decimalen nauwkeurig 4,33. Zie ook paragraaf 5 Afronden. Delen van breuken Delen van breuken is vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk. Voorbeeld 2 3 : 3 4 2 3 4 3 8 9 Cijfervaardigheid 155
3.5 Machten Een voorbeeld van een vermenigvuldiging is 7 7. We weten uit ons hoofd dat de uitkomst 49 is. In plaats van 7 7 kunnen we ook schrijven 7 2, we zeggen hiertegen 7 in het kwadraat, of 7 tot de tweede macht. Deze specifieke vorm van meerdere malen vermenigvuldigen met hetzelfde getal noemen we machtsverheffen. Voorbeeld 3 4 = 3 3 3 3 Voor machtsverheffen is de standaardcalculator van Windows niet geschikt. Kies in de menubalk van de rekenmachine eerst View/Scientific of Beeld/Wetenschappelijk. We toetsen in: 3 x^y 4 = In het display verschijnt 81. ( Worteltrekken is het omgekeerde van machtsverheffen. We gaan er hier niet op in.) Bij de voorrangsregels die we eerder hebben geleerd gaat machtsverheffen boven vermenigvuldigen en delen, die weer voor optellen en aftrekken gaan. We krijgen nu de complete en definitieve bewerkingsvolgorde. De volgorde (of prioriteit) in de berekeningen is dus: wat tussen haakjes staat; machtsverheffen/worteltrekken; vermenigvuldigen/delen; optellen/aftrekken. Bij bewerkingen van gelijke prioriteit (bijvoorbeeld optellen en aftrekken) werken we van links naar rechts. 156 Bijlage
4 Getallenlijn en rekenen met negatieve getallen Alle getallen die we tot nu toe tegen zijn gekomen waren groter dan of gelijk aan nul. Getallen boven nul heten positieve getallen (+), getallen onder de 0 noemen we negatieve getallen ( ). Het getal 0 is niet positief en niet negatief, en dus neutraal. Het begrip negatieve getallen is in eerste instantie lastig voor te stellen. Maar wie wel eens op een thermometer kijkt of wel eens rood staat bij de bank weet dat er ook negatieve getallen zijn. Ook met behulp van een getallenlijn gaat het idee van negatieve getallen meer leven. -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Hierboven zie je dat alle getallen op de getallenlijn naar rechts groter worden en naar links kleiner worden. In de wiskunde is een getallenlijn een voorstelling van de getallen in de vorm van een rechte lijn. Op deze lijn worden de gehele getallen weergegeven als speciaal gemarkeerde punten die op gelijke afstanden van elkaar zijn geplaatst. Hoewel de lijn hierboven alleen de gehele getallen van -9 tot en met 9 toont, omvat de getallenlijn ook alle niet-gehele getallen en gaat hij onbegrensd door in beide richtingen. Regels voor optellen en aftrekken + + = + bijvoorbeeld 5 + + 3 = 5 + 3 = 8 + = bijvoorbeeld 5 + 3 = 5 3 = 2 + = bijvoorbeeld 5 + 3 = 5 3 = 2 = + bijvoorbeeld 5 3 = 5 + 3 = 8 Cijfervaardigheid 157
Regels voor het vermenigvuldigen positief positief = positief positief negatief = negatief negatief positief = negatief negatief negatief = positief bijvoorbeeld 2 6 = 12 bijvoorbeeld 2 6 = 12 bijvoorbeeld 2 6 = 12 bijvoorbeeld 2 6 = 12 Regels voor het delen positief : positief = positief positief : negatief = negatief negatief : positief = negatief negatief : negatief = positief bijvoorbeeld 6 : 2 = 3 bijvoorbeeld 6 : 2 = 3 bijvoorbeeld 6 : 2 = 3 bijvoorbeeld 6 : 2 = 3 Nul Nul is een ander getal dan alle andere getallen: vermenigvuldigen met nul geeft altijd nul; delen door nul is niet toegestaan en ook allerlei andere rekenkundige bewerkingen zijn niet gedefinieerd voor het getal 0. Om met nul te rekenen, is het soms voldoende om nul te vertalen tot niks of geen enkele. Als je één mobiele telefoon hebt en je raakt er één kwijt heb je er geen enkele over: 1 1 = 0. Als je twee euro hebt en je geeft niks uit dan heb je nog steeds twee euro: 2 0 = 2. Als je er niets bij krijgt heb je trouwens ook nog steeds twee euro: 2 + 0 = 2. Als je niks hebt en je krijgt er niks bij, of er gaat niks af, heb je nog steeds niks: 0 + 0 = 0 en 0 0 = 0. Met vermenigvuldigen werkt dit ook nog redelijk. Drie keer niks is nog steeds niks: 3 0 = 0. Geen enkele keer drie euro zakgeld krijgen levert niks op: 0 3 = 0. Met geen enkele keer niks is het echter oppassen geblazen! Als je geen enkele keer niks krijgt kan je namelijk heel wat krijgen. Een bedelaar die een week lang geen enkele dag niks in zijn bakje krijgt is daar erg blij mee. Maar is 0 0 dan niet gelijk aan 0? Zo eenvoudig is het rekenen met nul toch ook weer niet (uit: Goochelen met nullen; NWO) 158 Bijlage
5 Afronden Soms krijgen we bij berekeningen een uitkomst met erg veel decimalen. In dat geval zullen we de uitkomst gaan benaderen en ronden we deze af. De algemene regel is: wanneer je afrondt moet je eerst weten hoe nauwkeurig deze afronding moet zijn. Wil je een nauwkeurigheid van drie decimalen dan is het vierde cijfer achter de komma bepalend. Is dit getal groter dan 5, dan rond je naar boven af. Gaat het om een bedrag dan ronden we meestal af in eurocenten. Dit is niets anders dan dat we afrekenen op twee decimalen nauwkeurig. Een bedrag van 0,005 tot 0,01 ronden we naar boven af, een bedrag minder dan 0,005 verwaarlozen we. Voorbeelden 47,3215 ronden we af op 47,32. 4,556 ronden we af op 4,56. Bij berekeningen staat soms: antwoord in hele euro s nauwkeurig. In dat geval zou het voorbeeld 47, en 5, opleveren. In het geval van gewicht: 6.239 gram wordt 6 kg als je op hele kilo s afrondt. Cijfervaardigheid 159
6 Vergelijkingen met één onbekende Sommige berekeningen kun je beter met een formule maken. In plaats van bestaande getallen gebruik je woorden of letters. Een bekend voorbeeld is vergelijken van appels en peren. Je weet dat dat niet goed mogelijk is. Wel kun je ze bij elkaar optellen als je ze beide vruchten noemt: vruchten = appels + peren. Voorbeeld We kopen fruit op de markt. Als we willen gaan uitrekenen wat we betaald hebben dan kun je tot de formule komen: Prijs van vruchten = (prijs van appels aantal appels) + (prijs van peren aantal peren). Dit wordt een lang verhaal. De prijs van vruchten, dus datgene wat we hebben uitgegeven, noemen we de onbekende. Deze wordt vaak voorgesteld door de letter x. Laten we het aantal appels a noemen en het aantal peren p. Stel de prijs van een appel is 0,35; die van een peer 0,40. De formule wordt dan: x = 0,35 a + 0,40 p. We noemen deze formule een vergelijking. Hebben we 10 appels gekocht en 5 peren dan hebben we 0,35 10 + 0,40 5 = 5,50 uitgegeven. Hiervoor had je nog geen formule nodig. Nu een ander voorbeeld, waarbij je zelf een formule opstelt. Voorbeeld Bij een museum kost een entreekaartje 10,. Kinderen tot 6 jaar mogen gratis naar binnen, kinderen tot 12 jaar voor de helft van de prijs. Wat is de formule voor de opbrengst van het museum? O = opbrengst V = aantal volwassenen K = aantal kinderen tussen 6 en 12 jaar P = aantal kinderen onder de 6 jaar O = V 10, + K 5, 160 Bijlage
7 Schattend rekenen Bij het maken van berekeningen is het belangrijk dat je vaak vooraf de orde van grootte van de uitkomst kunt vaststellen. Oftewel: het is belangrijk dat je een redelijke schatting kunt maken. Onder schatten verstaan we het bepalen van de vermoedelijke uitkomst van een berekening. Om dit te kunnen is vereist dat je kunt hoofdrekenen. Voorbeeld Stel je moet uitrekenen 225 1.389. Als we einduitkomst gaan schatten, gaan we niet de exacte uitkomst uitrekenen. Anders gezegd, we kijken of er ronde getallen aanwezig zijn die in de buurt liggen van 225 en 1.389. Wanneer we 225 naar beneden afronden tot 200 en 1.389 naar boven naar 1.400 komen we uit op een schatting van 200 1.400 = 28.000. (Als we beide getallen naar boven afronden weten we dat we de uitkomst overschatten, dat wil zeggen hoger uitkomen dan de precieze uitkomst.) Voorbeeld Stel je moet uitrekenen 622 337. Een mooi rond getal bij 622 is 600; bij 337 kiezen we voor het ronde getal 300. De uitkomst moet dus zijn gelegen rondom het getal 300. Voorbeeld Voor een verjaardag wil je 8 flessen frisdrank kopen. De prijs van één fles fris bedraagt 0,79. Wat kosten deze 8 flessen ongeveer? Schattend rekenen levert op: 8 0,80 = 6,40. Cijfervaardigheid 161
8 Vierkantscontrole In de vorige paragraaf hebben we schattend rekenen behandeld. Naast schatten kunnen we ook controleren of berekeningen juist zijn. In dit geval moet de uitkomst wel exact zijn. Bij een vierkantscontrole is dit het geval. We illustreren dit met een voorbeeld. Voorbeeld Ondernemer Heerschat bezit drie supermarkten. Over de vier kwartalen van het afgelopen jaar is de omzet van de betreffende filialen in kaart gebracht: Omzetgegevens 2008 in Kwartaal Filiaal 1 Filiaal 2 Filiaal 3 Totaal 1 266.888, 332.445, 270.876, 870.209, 2 278.983, 317.890, 321.420, 918.293, 3 250.871, 300.888, 310.330, 862.089, 4 489.722, 500.673, 600.980, 1.591.375, Totaal 1.286.464, 1.451.896, 1.503.606, 4.241.966, De vierkantscontrole bestaat uit het vergelijken van de uitkomsten van de: verticale optelling; horizontale telling. Het totaal van de getallen uit de horizontale totaalrij moet gelijk zijn aan het totaal van de getallen uit de verticale totaalkolom. De horizontale totaalrij geeft opgeteld: 1.286.464, + 1.451.896, + 1.503.606, = 4.241.966, De verticale totaalkolom geeft opgeteld: 870.209, 918.293, 862.089, 1.591.375, + 4.241.966, 162 Bijlage
De vierkantscontrole is op een rekenmachine natuurlijk een dubbele optelling. De vierkantscontrole lijkt veel werk, maar is in een Excel spreadsheet waarin je toch al deze gegevens hebt opgenomen een kwestie van enkele klikken. Hier is het voordeel van het werken met Excel overduidelijk. Cijfervaardigheid 163
9 Grafieken, diagrammen en statistieken Voor de onderwerpen Grafieken en diagrammen en Statistiek geldt dat hier veel theorie over naar voren te brengen is, maar dat het in een bedrijfseconomische context vooral zinvol is om hiermee praktisch aan de slag te gaan, in ons geval opnieuw binnen Excel. Op de website www.ba-be.nl vind je zowel instructie als oefeningen. 164 Bijlage
10 Procent- en promilleberekeningen 10.1 Procentberekeningen Het woord procent is afgeleid van het Latijnse woord percent. Percent betekent per honderd. 1% betekent dus één honderdste deel. Een procent is in breukgetal gelijk aan 1/100, in een decimaalgetal gelijk aan 0,01. 1 Voorbeelden 1% van 800 is dus gelijk aan 800 0,01 800 8 100 5 5 800 4000 800 40 of 0,05 800 = 40 100 100 1 100 6 100 17 7.477 0,06 7.477 448,62 5.555 0,17 5.555 944,35 100 Voorbeeld Een spijkerbroek kost normaal 79,95. Tijdens de opruiming bedraagt de korting 25%. Wat is de prijs tijdens de opruiming? 79,95 (0,25 79,95) = 79,95 19,99 = 59,96 10.2 Promilleberekeningen Het woord promille betekent per duizend en wordt geschreven als 1. Een promille is één duizendste deel en gelijk aan 1/1000 of 0,001. 1 Voorbeeld 1 van 800 is dus gelijk aan 800 0,001 800 0, 8 1 1000 8.000 0,001 8000 8 1000 5 800 0,005 800 4 1000 15 8.000 0,015 8.000 120 1000 Cijfervaardigheid 165
Voorbeeld Een huis is verzekerd tegen brandschade. Verzekerd bedrag 200.000,. De premie bedraagt 6. Bereken het premiebedrag. 6 200.000, = 6/1000 200.000, = 0,006 200.000, = 1.200, 10.3 Procentuele toename/afname Prijzen kunnen stijgen of dalen. Vaak wordt de verandering in prijs uitgedrukt in procenten. Procenten geven relatieve veranderingen aan. Voorbeeld In een stad wonen 40.000 mensen. Dit jaar wordt een stijging van het aantal inwoners verwacht van 10%. Bereken het aantal inwoners na de stijging. 40.000 + 0,10 40.000 = 40.000 + 4.000 = 44.000 Anders geschreven: 40.000 + 0,10 40.000 = 1,1 40.000 = 44.000 Voorbeeld In een stad wonen 40.000 mensen. Dit jaar wordt een daling van het aantal inwoners verwacht van 10%. Bereken het aantal inwoners na de daling. 40.000 0,10 40.000 = 40.000 4.000 = 36.000 Anders geschreven: 40.000 0,10 40.000 = 0,9 40.000 = 36.000 In het vorige voorbeeld hebben we de toename/afname berekend in cijfers. We kunnen ook de toename/afname berekenen in procenten. Voorbeeld Een laptop van 600, kost na prijsstijging 690,. Hoeveel euro is de prijsstijging? 690, 600, = 90, Hoeveel procent bedraagt de prijsstijging? prijsverhoging 90, 100% 100% 15% oude prijs 600, 166 Bijlage
11 Verhoudingen Verhoudingen worden gebruikt om verschillen tot uitdrukking te brengen. Een verhouding geeft de relatie aan tussen twee of meer grootheden. Voorbeeld Femke, Janne en Maud hebben een prijs gewonnen van 480,. Ze verdelen dit bedrag in de verhouding 1 : 2 : 3. Gevraagd Wat krijgt eenieder? Uitwerking De verhouding geeft aan dat: Femke recht heeft op 3 delen; Janne recht heeft op 2 delen; Maud recht heeft op 1 deel. Samen krijgen ze dan 6 delen. 1 deel is = 480, : 6 = 80, Femke krijgt 3 delen = 3 80, = 240, = (3/6 480, ) Janne krijgt 2 delen = 2 80, = 160, = (2/6 480, ) Maud ontvangt 1 deel = 1 80, = 80, = (1/6 480, ) Uit het voorbeeld blijkt dat werken met verhoudingen eigenlijk werken met breuken is. Een verhouding kan op tal van manieren worden geschreven: 20 : 40 : 60 = 10 : 20 : 30 = 1: 2 : 3 Een vereenvoudigde verhouding is natuurlijk prettiger om mee te werken. Voorbeeld Franchiser Geraets heeft drie filialen. De promotiekosten, groot 60.000,, moeten over de drie filialen worden verdeeld. Als verdeelsleutel wordt de omzet gebruikt. Filiaal Roosendaal heeft een omzet behaald van 500.000,, filiaal Etten-Leur 400.000, en filiaal Goes 300.000,. Cijfervaardigheid 167
Gevraagd Bereken het aandeel in de promotiekosten voor de drie filialen. Uitwerking De omzet van de drie filialen verhoudt zich als: 500.000 : 400.000 : 300.000. De totale omzet van de drie filialen is 1.200.000,. Roosendaal: Etten-Leur: 500.000, 60.000, 1.200.000, 400.000, 60.000, 1.200.000, 25.000, 20.000, Goes: 300.000, 60.000, 1.200.000, 15.000, Controle: totaal van de promotiekosten = 60.000, 168 Bijlage
12 Maten en gewichten In veel sectoren worden dagelijks inhoudsmaten, lengtematen, oppervlaktematen en gewichten gebruikt. De volgende eenheden zijn van belang. 12.1 Lengtematen kilometer hectometer decameter meter decimeter centimeter millimeter km hm dam m dm cm mm Tussen alle opeenvolgende lengtematen zit de vermenigvuldigfactor of deelfactor 10. 1 km = 10 hm 1 km = 100 dam 1 km = 1.000 m 1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 m = 1.000 mm Gevraagd Hoeveel decimeter is 50 m? Uitwerking Tussen m en dm zit één stap; dus is de factor 10 van toepassing: 50 m = 10 50 dm = 500 dm Gevraagd Hoeveel meter is 500 cm? Cijfervaardigheid 169
Uitwerking Tussen cm en m zitten twee stappen; dus is de factor 100 van toepassing: 500 cm = 500 : 100 = 5 m 12.2 Gewichten kilogram hectogram decagram gram decigram centigram milligram kg hg dag g dg cg mg Tussen alle opeenvolgende gewichtsmaten zit de vermenigvuldigfactor of deelfactor 10. 1 kg = 10 hg 1 kg = 100 dag 1 kg = 1.000 g 1 g = 10 dg 1 g = 100 cg 1 g = 1.000 mg Gevraagd Hoeveel decigram is 50 g? Uitwerking Tussen g en dg zit één stap; dus is de factor 10 van toepassing: 50 g = 10 50 dg = 500 dg Gevraagd Hoeveel gram is 500 cg? Uitwerking Tussen cg en g zitten twee stappen; dus is de factor 100 van toepassing: 500 cg = 500 : 100 = 5 g 170 Bijlage
12.3 Oppervlaktematen hectare ha are a vierkante meter m 2 vierkante decimeter dm 2 vierkante centimeter cm 2 vierkante millimeter mm 2 Tussen alle opeenvolgende oppervlaktematen zit de vermenigvuldigfactor of deelfactor 100. 1 hectare = 100 are 1 hectare = 10.000 m 2 1 m 2 = 100 dm 2 1 m 2 = 10.000 cm 2 Gevraagd Hoeveel vierkante decimeter is 50 m 2? Uitwerking Tussen m 2 en dm 2 zit één stap; dus is de factor 100 van toepassing: 50 m 2 = 100 50 dm 2 = 5.000 dm 2 Gevraagd Hoeveel m 2 is 50.000 cm 2? Uitwerking Tussen cm 2 en m 2 zitten twee stappen; dus is de factor 10.000 van toepassing: 50.000 cm 2 = 50.000 : 10.000 = 5 m 2 12.4 Inhoudsmaten kiloliter hectoliter decaliter liter deciliter centiliter milliliter kl hl dal l dl cl ml (cc) Cijfervaardigheid 171
Tussen alle opeenvolgende gewichtsmaten zit de vermenigvuldigfactor of deelfactor 10. 1 kl = 10 hl 1 kl = 100 dal 1 kl = 1.000 l 1 l = 10 dl 1 l = 100 cl 1 l = 1.000 ml Gevraagd Hoeveel liter is 50 kl? Uitwerking Tussen kl en l zitten drie stappen; dus is de factor 1.000 van toepassing: 50 kl = 1.000 50 = 50.000 l Gevraagd Hoeveel liter is 50.000 cl? Uitwerking Tussen cl en l zitten twee stappen; dus is de factor 100 van toepassing: 50.000 cl = 50.000 : 100 = 500 l 1 liter = 10 (dl) deciliter = 1.000 cc 1 deciliter (dl) = 1/10 = 10 (cl) centiliter = 100 cc 1 centiliter (cl) = 1/100 liter = 10 milliliter (ml) = 10 cc 1 milliliter (ml) = 1/1000 liter 172 Bijlage