handelingswijzer rekenen

Transcriptie

1 handelingswijzer rekenen Naslagwerk Voor leerlingen en ouders HANDELINGSWIJZER REKENEN INHOUD HANDELINGSWIJZER REKENEN

2 INHOUD... 1 HOOFDBEWERKINGEN... 2 OPTELLEN... 3 AFTREKKEN... 3 VERMENIGVULDIGEN... 4 DELEN... 5 CONTROLEREN OF DE UITKOMST GOED IS... 8 GEMIDDELDE... 8 ROMEINSE CIJFERS... 9 OM TE WETEN EN TE ONTHOUDEN... 9 GEWONE BREUKEN... 9 TIENDELIGE OF DECIMALE BREUKEN OMZETTEN VAN GEWONE NAAR TIENDELIGE BREUK (en omgekeerd) X EN : VAN TIENDELIGE BREUKEN AFRONDEN PROCENTEN BEREKENEN VERHOUDINGEN SCHAAL STELSEL VAN EENHEDEN (S.I. STELSEL) METRIEK STELSEL OPPERVLAKTE- OMTREK- INHOUD INKOOP VERKOOP WINST VERLIES RENTEBEREKENING HOOFDBEWERKINGEN OPTELLEN Bijv = 825 De uitkomst van een optelling noemen we SOM 368 is term 457 is term 2

3 825 is SOM AFTREKKEN Bijv = 516 De uitkomst van een aftrekking noemen we VERSCHIL 752 is aftrektal 236 is aftrekker 516 is VERSCHIL VERMENIGVULDIGEN Bijv. 25 x 14 = 350 De uitkomst van een vermenigvuldiging noemen we PRODUKT 14 is vermenigvuldigtal 25 is vermenigvuldiger 350 is PRODUKT DELEN Bijv. 153 : 9 = 17 of 9 / 153 \ 17 De uitkomst van een deling noemen we QUOTIëNT 153 is deeltal 9 is deler 17 is quotiënt OPTELLEN Als je twee grote getallen wilt optellen, zet je ze onder elkaar: Je begint van rechts af de eenheden op te tellen ( = 12 ) Je noteert de 2 en zet het tiental ( 1 ) boven de tienen. 1 onthouden Daarna tel je de tientallen op. Ook het tiental dat je hebt onthouden ( = 11). Je noteert het ene tiental en bij de honderdtallen het ene honderdtal om te onthouden: 11 onthouden Nu tel je de honderdtallen op. Ook het honderdtal dat je hebt onthouden: ( = 9) Noteer de 9: 11 onthouden Als laatste de duizendtallen optellen (4 + 2 = 6) Noteer de 6. De SOM is AFTREKKEN Als je twee grote getallen wilt aftrekken, zet je ze onder elkaar: Je trekt altijd af van boven naar beneden, je begint rechts bij de eenheden (3 1 = 2) Noteer de

4 Nu ga je de tientallen aftrekken (2 6), dat kan niet. Nu ga je 1 honderdtal lenen. 100 = 10x10. Je leent dus 10 tientallen. Je streept de 5 door en zet de 4 erboven. Je hebt er 2, dus nu heb je er = 6 Noteer lenen Nu trek je de honderdtallen af ( 4 3 = 1) Noteer de lenen Trek de duizendtallen af (4 2 = 2) Noteer de 2. Het VERSCHIL is lenen VERMENIGVULDIGEN Als je 2 grote getallen wilt vermenigvuldigen zet je ze onder elkaar. x 332 = Je begint met het vermenigvuldigen rechts met de eenheden; x 2 dus. Je moet de tafels goed kennen! 2 x 5= 10. Noteer de 0 en onthoud de 1. Dat ene tiental doe je bij: 2 x 4 = = 9. Noteer de 9. (streep de 1 weer door: die heb je gebruikt) 2 x 3 = 6. Noteer de 6. 1 onthouden 690 Dan doe je x 3, maar dit is een 30. Je schrijft de 0 eerst op 1 onthouden Dan 3 x 5 = 15. Noteer de 5, Onthoud de 1, dit is weer 1 tiental, schrijf deze erboven 11 onthouden Dan 3 x 4= (1 doorstrepen)= 13 Noteer de 3 en onthoud de 1 (erboven) 111 onthouden Dan 3 x 3= 9 + 1= 10. Noteer de 10 (vooraan) 111 onthouden Nu vermenigvuldigen met de 3, maar dat is eigenlijk 300 (honderdtal) dus eerst 00 opschrijven 4

5 111 onthouden Dan 3 x 5 = 15. Noteer de 5, Onthoud de 1, dit is weer 1 tiental, schrijf deze erboven 1 onthouden Dan 3 x 4= (1 doorstrepen)= 13 Noteer de 3 en onthoud de 1 (erboven) 1 1 onthouden Dan 3 x 3= 9 + 1= 10. Noteer de 10 (vooraan) 1 1 onthouden Nu tel je gewoon op (nauwkeurig) is het PRODUKT DELEN Om grote getallen te kunnen delen gebruiken we de staartdeling. Daarvoor moet je de omkeertafels goed kennen. (8 : 4 = 2) Ook moet je goed kunnen schatten. Als je moet delen door 292 ga je schatten met. Juist 300. Dat is een mooi rond getal, dat rekent makkelijk. Eerst een makkelijke staartdeling om de manier van werken te laten zien: 369 : 3. Schrijf je op als: 3 / 369 \ 3 op de 3 gaat.1x.noteer die 1 3 / 369 \ 1 1 x 3 = 3 schrijf dit onder de 3 en trek af 3 3= 0: 3 / 369 \ Nu haal je de 6 aan; 3 / 369 \ Je kijk nu hoe vaak de 3 uit de 6 kan; 2 x, want 2 x 3 = 6. Schrijf op 2 3 / 369 \ 12 5

6 Dan schrijf je de 6 op en je trekt af (6 6 =0) 3 / \ Je haalt nu de 9 aan: 3 / \ Je kijk nu hoe vaak de 3 uit de 9 kan; 3 x, want 3 x 3 = 6. Schrijf op 3 3 / \ Schrijf de 3 x 3=9 op en trek af: 3 / \ De uitkomst het QUOTIëNT is 123. Deze staartdeling komt mooi op 0 uit. Dat is niet altijd zo. De volgende som is bijna gelijk aan de vorige: DELEN MET REST 3 / \ = rest. We noemen dit een restsom 3 / \ 123 rest = rest. We noemen dit een restsom, noteer dit als volgt in de uitkomst: het quotiënt. Soms, als je gaat schatten, kan het niet, het kan dus 0 x 4 / \ Nu haal je de 0 aan. 4 op de 0 gaat 0x. Noteren dus! 4 x 0= 0. Opschrijven en aftrekken 4 / \

7 0 0 Nu haal je de 4 aan en doe je 4 op de 4 gaat 1x. 1 x 4 = 4 (aftrekken = 4) Uitkomst is. 4 / \ Juist ja 101. Als je de 0 er niet in zou zetten is de uitkomst 11. Dat scheelt nog al wat! Nu een grote staartdeling : 48 = 48 / \ Je gaat natuurlijk schatten met..juist 50. Dus 50 op 1 (kan niet) 50 op de 13 (kan niet) 50 op de 131? Dat gaat 2 x. Let op nu wel 2 x 48 doen = 96 Schrijf op onder de 131 en trek af: 48 / \ Haal nu de 2 aan. Het deeltal wordt 352: 48 / \ op de 352 (350) gaat natuurlijk 7 x. 7 x 48 = 336.Schrijf de 7 op in de uitkomst en trek af. 48 / \ Haal nu de 8 aan. Het deeltal wordt / \ op de 168 gaat 3 x (48 = 124) Aftrekken 48 / \ is de rest. Nadere uitwerking van de rest. Twee manieren, doordelen of een breuk. Doordelen: 48 / \

8 is de rest Je haalt een 0 aan na de komma. Die komma zet je in het deeltal, maar ook in de uitkomst. 48 / , 0 \ 2 7 3, Haal die 0 aan 48 / , 0 \ 2 7 3, op de 240 gaat bij 5 x. Even proberen met 48? 5 x 48 = 240! Noteer de 5 in de uitkomst: 273,5 48 / ,0 \ 2 7 3, op de 24 kan niet. Zet komma achter deeltal en uitkomst en 0 erachter op de 240 gaat 5 x. Zet 5 achter de komma Een breuk van maken 48= 2 = 0,5. Zet dit achter de uitkomst: 273,5 Nog een NUL-probleem: Als er een 0 aan het eind staat en je hebt de deelsom al opgelost, zet je die 0 i de uitkomst ( het gaat gewoon weer 0x) Voorbeeld: 18 / 7020 \ dit gaat 0x. Noteer in de uitkomst 00 0 (390 is meer dan 39!) CONTROLEREN OF DE UITKOMST GOED IS Een optelsom controleer je door een aftreksom: = 18 controle: 18 6 = 12 Een aftreksom controleer je door een optelsom 24 8 = 16 controle: = 24 Een vermenigvuldiging controleer je door een deelsom: 24 x 10 = 240 controle: 240 : 10 = 24 Een deelsom controleer je door een vermenigvuldiging: 36 : 12 = 3 controle: 3 x 12 = 36 (bij een deelsom met rest 37:12= 3 rest 1, doe je eerst 3 x 12=36 en je doet de rest erbij+1=37) GEMIDDELDE Het gemiddelde van getallen vinden we door de getallen op te tellen en dan de uitkomst te delen door het aantal getallen. Voorbeeld: Vader is 35 jaar, moeder is 33 jaar, Jan is 7 jaar en Pietje 5. Samen zijn ze = 80 jaar. 8

9 Er zijn 4 leeftijden = 4 getallen De gemiddelde leeftijd is 80 jaar : 4 = 20 jaar. ROMEINSE CIJFERS Komen veel voor op klokken en gebouwen: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 IV = 4 VIII = 8 IX = 9 XII = 12 XIV = 14 XL = 40 LX = 60 XC = 90 CD = 400 DC = 600 CM = 900 MC = 1100 MD = 1500 MDC = 1600 REGELS: 1. nooit meer dan 3 gelijke cijfers naast elkaar plaatsen, dus XXXI = 31, XLI = een kleiner cijfer vóór een groter cijfer is aftrekken, dus XL = 40, IV = 4 3. een kleiner getal achter een groter cijfer is optellen, dus VI = 6, MD = 1500 Voorbeelden MDCLIV = = 1654 MDCCXLVI = = 1746 OM TE WETEN EN TE ONTHOUDEN 1 dozijn = 12 stuks 1 gros = 144 stuks 1 mille = 1000 stuks 1 ton (geld) = ton (gewicht) = kg GEWONE BREUKEN Bijvoorbeeld: 1 het bovenste getal heet de TELLER 6 het onderste getal heet de NOEMER We kennen: Echte breuken Onechte breuken Samengestelde breuken Gelijknamige breuken Ongelijknamige breuken Tiendelige (decimale) breuken 0,7 0,29 OPTELLEN EN AFTREKKEN Bij gelijknamige breuken alleen de tellers optellen of aftrekken. Bijvoorbeeld = = Bij ongelijknamige breuken eerste de noemers gelijk maken: dan pas de tellers optellen en aftrekken. 9

10 Bijvoorbeeld: = = = = VERMENINGVULDIGEN EN DELEN Bijvoorbeeld: x 5 = 5 = 2 5 ( 1 hele = 5 2 helen = 5 ) 1 X = : 5 = 6 x 2 = 2 = 15 (helen eruit halen; 30 : 2) : 5 = 6 x 2 = 12 (delen met een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde) WEGSTREPEN Je streept de 6 en de 3 tegen elkaar weg ( 6 ; 3 = 2 en 3 ; 3 = 1.) 2 4 Daarna 2 x 1 = 1 = 4 Voorbeeld: 2 6 x 2 = VEREENVOUDIGEN Om een grote breuk klein te maken deel je teller en noemer door hetzelfde getal: 9 : 3 = 3 (teller) 12 : 3 = 4 : = 4 :3 TIENDELIGE OF DECIMALE BREUKEN Bij een decimale breuk is: de eerste plaats na de komma voor de: tienden 0,2 2 tienden de tweede plaats na de komma voor de: honderdsten 0,22 22 honderdsten de derde plaats na de komma voor de duizendsten 0, duizendsten de vierde plaats na de komma voor de tienduizendsten 0, tienduizendsten 10

11 enzovoort OMZETTEN VAN GEWONE NAAR TIENDELIGE BREUK (en omgekeerd) Van een gewone breuk kun je een tiendelige breuk maken en omgekeerd. Probeer van de noemer altijd eerst tienden of hondsten of duizendsten enz te maken GEWONE BREUK TIENDELIGE BREUK 1 = 5 = 0, = 25 = 0, = 125 = 0, = 625 = 0, TIENDELIGE BREUK GEWONE BREUK 4 2 6,4 = 6 10 = ,25 = = ,125 = = 4 8 MOEILIJKERE BEUKEN Bij moeilijkere breuken kun je de teller door de noemer delen: 7 16 = 0,4375 je maakt een staartdeling. Als je gaat aanhalen na de komma zet je die ook in het antwoord: 16 / 7, \ 0, 4375 (de eerste keer 16 op de 7 gaat 0 x, die schrijf je op, je haalt de 0 aan na de 6 4 komma. Dan schrijf je die ook in de uitkomst) X EN : VAN TIENDELIGE BREUKEN Zorg dat de komma s onder elkaar staan. Waar niets staat achter de komma mag je een 0 schrijven. + EN -- 0,7 + 1, ,714 = 0,700 17,651 6,4 = 17,651 1,240 6,400 23,714 11,251 25,654 11

12 X EN : Bij vermenigvuldigen van een tiendelige breuk met 10 gaat de komma 1 plaats naar rechts, bij vermenigvuldigen met 100 gaat de komma 2 plaatsen naar recht enz: 17,261 x 10 = 172,61 17,261 x100= 1726,1 Bij vermenigvuldigen van een tiendelige breuk met een andere tiendelige breuk komen in het antwoord net zoveel cijfers achter de komma als er samen staan in vermenigvuldigtal en vermenigvuldiger: vermenigvuldiger vermenigvuldigtal 27, 625 x 4,1 = 113,2625 (3 cijfers + 1 cijfer = 4 cijfers) Controle: 4 x 27 = 108 Het antwoord zit dus goed in de buurt. Bij deling van een tiendelige breuk door 10 gaat de komma 1 plaats naar links, bij deling door 100 gaat de komma 2 plaatsen naar links enz: 17,261 : 10 = 1, ,261 : 100 = 0,17261 Bij deling van een tiendelige breuk door een andere tiendelige breuk, schuift men de komma in het deeltal en deler elk zoveel plaatsen naar rechts, als nodig is om de komma te verdrijven uit de deler ( in het voorbeeld dus 2 plaatsen) deler deeltal 7,24 / 9 7, \ / \. 724 / , 8 \ 13,45 (als je de 8 aanhaalt zet je de komma in de uitkomst) AFRONDEN Algemeen: Afronden doe je pas in het eindantwoord. 1. Afronden op.decimalen 0, 1, 2, 3, 4 naar beneden afronden (is verwaarlozen) 5, 6, 7, 8, 9, naar boven afronden Bijvoorbeeld: 10, 725 wordt 10,73 58,4 wordt 58 10, 724 wordt 10,72 58,8 wordt Afronden bij geldbedragen (betalen aan de kassa) Centen bestaan niet meer. Bij de kassa wordt naar boven of beneden afgerond tot op 0 of 5 nauwkeurig. Bijvoorbeeld: 19,72 wordt 19,70 19,77 wordt 19,75 19,73 wordt 19,75 19,78 wordt 19,80 PROCENTEN BEREKENEN Procent of %: Cent = 1 deel (euro) 100 1% = 1 deel 100 2% = 2 deel = 1 deel

13 5% = 5 deel = 1 deel % = 10 deel = 1 deel % 100 deel = 1 hele = alles 100 1% van 2000,00 = 1 deel van 2000 = % van 200,00 = 1 deel van 200 = % van 20,00 = 1 deel van 20 = 0, % van 500,00 = 1 deel van 500 = Om te onthouden: 1 = 50 % 1 = 16 2 % = 33 1 % 1 = 14 2 % = 25 % 1 = 12 1 % = 20 % 1 = 11 1 % = 10 % 10 Bijvoorbeeld: 25 % van 2000 = 1 deel van 2000 = PROMILLE Promille betekent één per duizend = 1 = 1 deel 1000 Promille wordt gebruikt bij de berekening van premies voor bijv. verzekeringen. Bijvoorbeeld: 2 van = 2 x 50 = 100 VERHOUDINGEN Verhoudingen rekenen we uit met de verhoudingstabel: Bijvoorbeeld: 1 I 2 I 4 I 8 I 12 I 16 I 2 I 4 I 8 I 16 I 24 I 32 I Bij deze verhoudingen speelt 2 een grote rol! Je denkt: als 1 deel gelijk is aan 2, zijn 2 delen gelijk aan 4, zijn 4 delen gelijk aan 8 enz. Als je nu weet dat Jan en Piet samen 100 golfballen hebben. De verhouding tussen jan en Piet is 2 : 3 (spreek uit 2 staat tot 3) samen hebben ze 2+3= 5. Nu de tabel: 13

14 5 delen is gelijk aan 100 golfballen: 1 deel is dan 100: 5 = delen is dan 2 x 20 = delen is dan 3 x 20 = 60 Jan krijgt er 40 Piet krijgt er 60. samen is dat I 1 I 2 I 3 I SCHAAL Schaal wordt bijv. gebruikt bij plattegronden, landkaarten enz. Schaal 1 : wil zeggen (: =op) 1cm op de kaart is in werkelijkheid cm = 1,5 km. 8 cm op de kaart is dan in werkelijkheid 8 x 1,5 km = 12 km STELSEL VAN EENHEDEN (S.I. STELSEL) grootheid symbool eenheid s.i. symbool toegestane eenheden lengte l(engte) meter m kilometer centimeter millimeter omtrek p(eriferie) meter m zie hierboven oppervlakte A(rea) vierkante m² vierkante kilometer meter are (100 m²) hectare (100a) volume V(olume) kubieke meter m³ liter (1 dm³) inhoud I(nhoud kubieke centimeter massa/gewicht m(assa) kilogram kg ton (1000 kg) gram tijd t(ijd) seconde s minuut (60 sec) uur (3600 sec) dag (86400 sec0 symbool km cm mm km² a ha l cm³ t g min h d temperatuur T(emperatuur) Kelvin K graag Celsius C snelheid v(elocitas) meter per m/s kilometer per uur km/h seconde energie E(nergie) Joule j kilowattuur kwh METRIEK STELSEL LENGTEMATEN km hm dam m dm cm mm Kilometer, hectometer, decameter, meter, decimeter, centimeter, millimeter De eenheid = meter (m) OPPERVLAKTEMATEN km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

15 ha a ca hectare are centiare vierkante kilometer, vierkante hectometer, vierkante decameter, vierkante meter vierkante decimeter, vierkante centimeter, vierkante millimeter De eenheid = vierkante meter (m²) Als je bij het maken van een som in bovenstaande schema s naar rechts moet vermenigvuldig je. Als je naar links moet deel je ( stapjes van 10 of 100) INHOUDSMATEN m³ 1000 dm³ 1000 cm³ kl hl dal l dl cl ml kubieke meter, kubieke decimeter, kubieke centimeter kiloliter, hectoliter, decaliter, liter, deciliter, centiliter, milliliter De eenheid: kubieke meter (m³) (bij gebruik van water of gas) MASSA/GEWICHT kg hg dag g dg cg mg Kilogram, hectogram, decagram, decigram, centigram, milligram De eenheid: kilogram (kg) Als je bij het maken van een som in bovenstaande schema s naar rechts moet vermenigvuldig je, moet je naar links, dan deel je Pond en ons worden niet meer gebruikt. Vroeger zei men: 1 kg = 2 pond = 10 ons 1 pond = 5 ons 1 ons = 100 gram Om te onthouden: k = kilo = 1000 h = hecto = 100 da = deca = 10 d = deci = 1 10 c = centi = m = milli = OPPERVLAKTE- OMTREK- INHOUD l = lengte b = breedte h = hoogte z = zijde r = ribbe We noemen lengte, breedte en hoogte ook wel zijden RECHTHOEK: ( l en br zijn verschillend) Omtrek = 2 x l + 2 x br Oppervlakte = l x br 15

16 VIERKANT: ( l en br even lang) Omtrek = 2 x l + 2 x br ( 4 x zijde) Oppervlakte = l x br (zijde x zijde) KUBUS: (l, br en h even lang) Oppervlakte = 6 x l x br Inhoud = l x br x h Een kubus tel 12 zijden (ribben) en 6 vlakken BALK OF DOOSJE: (l, br en h verschillend) Oppervlakte = 2 x l x br + 2 x l x h + 2 x br x h Inhoud = l x br x h DRIEHOEK: H is hoogte, A B Oppervlakte = basis x ½ hoogte Of = basis x hoogte 2 CIRKEL: diameter is middellijn, straal is r Omtrek = 3,14 x middellijn Oppervlakte = 3,14 x straal x straal (π x r x r) π = het getal pi= 3,14 PARALELLOGRAM: (tegenover elkaar liggende zijden zijn even lang) b is basis, h is hoogte Oppervlakte = basis x hoogte 16

17 TRAPEZIUM: ( 2 zijden evenwijdig, hier a en b) Oppervlakte = som der evenwijdige zijden x ½ hoogte. Of = som der evenwijdige zijden x hoogte 2 Dus = (a + b) x h 2 PIRAMIDE Inhoud = oppervlakte grondvlak x ⅓ hoogte CILINDER Inhoud = Oppervlakte grondvlak x hoogte (oppervlakte grondvlak zie cirkel) KEGEL Inhoud = oppervlakte grondvlak x ⅓ hoogte PRISMA Inhoud Dus hier = oppervlakte grondvlak x hoogte = oppervlakte van vlak ABC x h INKOOP VERKOOP WINST VERLIES WINST is erbij VERLIES is eraf INKOOP + WINST = VERKOOP INKOOP VERLIES = VERKOOP Bijvoorbeeld: Inkoop is 100% Winst is 20% van de inkoop Verkoop is dan 100% + 20 % = 120% 17

18 Bijvoorbeeld: Inkoop is 100% Verlies is 10% van de inkoop Verkoop is dan 100% - 10% = 90 % Bijvoorbeeld; Inkoop is 60 Winst is 20% van de inkoop 60 (60:5 =12) Verkoop is = 72 Bijvoorbeeld: Inkoop is 70 Verlies is 10% van de inkoop 70 (70 : 10 = 7) Verkoop is 70-7 = 63 RENTEBEREKENING K(apitaal) x T(ijd) x P(rocent = Rente 100 Bijvoorbeeld: Een kapitaal van 1500 staat uit tegen een rente van 8% gedurende 2 jaar: 1500 x 2 x 8 = 240 rente (je deelt door 100 want je wil eerst 1% uitrekenen) 100 Bij renteberekening heeft; een jaar 360 dagen en een maand is 30 dagen. Bijvoorbeeld: 1200 tegen 7% rente in 60 dagen 1200 x 60 x 7 = 12 x 1 x 7 = Bijvoorbeeld: 3600 geeft in 6 maanden 90 rente. Het rentepercentage is dan: 3600 x 6 x? = x 1 x? = x? = x 5 = 90 het rentepercentage is dus 5 18