Extra oefening - asis -1a Van trap 1 is de hellingshoek 17. Van trap is de hellingshoek 14. Van trap 1 is het hellingsgetal 60 = 0,. 00 Van trap is het hellingsgetal 0 = 0,. 10 c De tekening hiernaast is op schaal 1 op 40. In deze tekening is de diepte van de trap 7, cm, dat is in werkelijkheid 7, 40 = 88 cm. Elke trede is 40 : 1 = 0 cm hoog en 88 : 1 = 4 cm diep. -a tan = 0 -a 14 = tan 1 ( 0 ) dus c tan = 1 c 18 14 = tan 1 ( 1 ) dus 4 18 tan = geeft tan 6 = 600 = 600 tan 6 9 meter. De hoogte van de toren is ongeveer 9 meter. tan D = geeft tan 4 = 9 D D D = 9 44 meter. tan 4 Diana staat ongeveer 44 meter van het kasteel af. tan = geeft tan = 9 800 = tan 1 ( 9 800 ) dus 0 Je ziet het kasteel onder een hoek van 0. -4 Uit tan K = 0 volgt K = 10 tan 1 ( 0 ) dus K 6. 10 Uit tan L = 1 volgt L = 4 tan 1 ( 1 ) dus L 7. 4 Uit tan M = 1 volgt M = 4 tan 1 ( 1 ) dus M 16. 4 40 8 diepte? 800 m 40 cm 9 m
-a c d -6a In zit geen rechte hoek. Zie tekening hiernaast. Uit sin = D volgt sin 64 = D 40 D = 40 sin 64 dus D 6,0 sin = D 6 geeft sin 4 =, 0 6, 0 = dus 0,9 sin 4 ij parallelprojectie zijn lijnstukken die in werkelijkheid even lang zijn ook in de tekening even lang. Lijnen die in werkelijkheid evenwijdig zijn, zijn dat in de tekening ook. -7a De oppervlakte is (1,0 0,90 1,0 0,80 0,90 0,80) =, m. De inhoud is 1,0 0,90 0,80 = 0,864 m. c De factor is. De oppervlakte van de tweede kist is, = 18 m. De inhoud is van de tweede kist is 0,864 = 108 m. -8 De inhoud van figuur 1 is 6 = 90 cm. Het grondvlak van figuur heeft straal 4 en oppervlakte π 4 = 16π cm. De inhoud van figuur is 16π 10 = 160 π 0,7 cm. Het grondvlak van figuur is een rechthoekige driehoek. De oppervlakte is 8 6 : = 4 cm. De inhoud is 4 4 = 96 cm. -9 Figuur 1: oppervlakte grondvlak is = cm inhoud is 1 6 = 0 cm Figuur : oppervlakte grondvlak is π = 9π cm inhoud is 1 9π = 1π 47,1 cm 4 cm 64 4 Figuur : De figuur estaat uit twee kegels. Van de linkerkegel is de straal van het grondvlak 0,7 cm en de oppervlakte π 0,7 = 0,6π cm. De inhoud is 1 0,6π 1,18 cm. Van de rechterkegel is de straal van het grondvlak 1, cm en de oppervlakte π 1, =,π cm. De inhoud is 1,π 4 9,4 cm. De totale inhoud is 1,18 9,4 10,6 cm. D 9
G-1a c G-a G-a Extra oefening - Gemengd Zie de tekening hiernaast. cos = D geeft cos = D 6, D = 6, cos, meter sin = D geeft sin = D 6, D = 6, sin,7 meter zijde D =, D = = 10 kwadraat 8,0 71,70 100 D = 71, 70 8,47 meter = D D =,7 8,47 1, meter In D is cos = D, dus cos = = 0, 10 = cos 1 (0,) 8 De hoek tussen de twee vlaggenlijnen is 8 = 9. Uit tan = volgt tan = 6. = tan 1 ( 6 ) dus 6 Uit cos E = DE volgt cos 1 = DE EF 0 DE = 0 cos 1 dus DE 8,0. 0 cm 0 cm 0 cm Uit sin = 0 volgt sin = 0 = sin 1 ( 0 ) dus 4 c zijde kwadraat = 00 = 0 = 0 400 900 0 = 00,4 De deksel komt ongeveer cm achter de doos op de tafel. F D 0 6, m 10 m 0 1 D 6 E?
G-4 Het hellingsgetal van de linkerkant is 1,. 1, Het hellingsgetal van de rechterkant is = 1,., De linkerkant is steiler, want die heeft een groter hellingsgetal. G-a 100 m 70 h 10 m Uit sin 70 = h volgt h = 100 sin 70 dus h 94,0 m. 100 De hoogte van de allon is ongeveer 94 meter. c De loodlijn vanuit de allon naar de grond verdeelt de gevraagde hoek in twee hoeken: en. = 180 90 70 = 0 cos = 94 10 8 De gevraagde hoek is ongeveer 0 8 = 8. G-6a De straal van het grondvlak van de cilinder is 8 = 4 cm. De oppervlakte van het grondvlak is π 4 = 16π cm. De inhoud is 16π 8 = 18π 40 cm. De inhoud van de kuus is 8 8 8 = 1 cm. De cilinder neemt 40 : 1 100% 79% van de inhoud van de kuus in. G-7a De twee afgezaagde stukken zijn prisma s. Het grondvlak van zo n prisma is een rechthoekige driehoek met oppervlakte 8 : = 8 cm. De inhoud is 8 = 4 cm. c De inhoud van de alk is 8 = 10 cm. De inhoud van de twee prisma s samen is 4 = 48 cm. De inhoud van de ruimtefiguur is 10 48 = 7 cm. 1
G-8a 1 cm cm cm cm 4 cm cm Verdeel het voorvlak in stukken, ijvooreeld op de manier rechtsoven. De oppervlakte is 1 4 : : = 4 6 = 17 cm. c De inhoud is 17 4 = 68 cm. G-9a De oppervlakte van het grondvlak van de cilinder is 1000 : = 40 cm. π r = 40 geeft r = 40 : π dus r = 40 : π,7 cm. De diameter is,7 7,1 cm. 1 G = 1000 geeft 8 1 G = 1000 dus G = 1000 : 8 1 = 10 cm π r = 10 geeft r = 10 : π dus r = 10 : π 6,18 cm. De diameter is 6,18 1,4 cm. G-10a zijde kwadraat = 4 16 D = 4 D = 16 D =,66 cm S =,66 :,8 cm zijde kwadraat S =,8.. ST = T = 4 8 8 16 ST = 8,8 cm De inhoud is 1 4 4 8 1 cm. omplexe opdrachten -1 tan 74 = WV 40 WV = 40 tan 74 19, tan 84 = MV 40 MV = 40 tan 84 80, 6 WV = 80, 6 19, = 41, 1 De afstand is ongeveer 41 meter. 1 - tan 6 = 1 geeft a = 1 a tan 6 a 14,7 Vanaf de rots komt Jim ongeveer 14,7 meter ver, dus hij maakt geen droge landing.
- 0 km sin = D geeft sin 4 = D 1 D = 1 sin 4 10,61 cos = D geeft cos 4 = D 1 D = 1 cos 4 10,61 zijde D = 10,61 D = = 0 kwadraat 11,7 87,4 00 D = 87, 4 48,86 = 48,86 10,61 9, km Hij heeft (0 1) 9, =, km omgevaren. -4 In KSN is K = 40 : = 0. Uit sin K = SN volgt sin 0 = SN en dus SN = 8 sin 0 9,07 cm. KN 8 Uit cos K = KS volgt cos 0 = KS en dus KS = 8 cos 0 79,87 cm. KN 8 Verder is N in KSN = 180 0 90 = 70 en dus is N in MNS = 90 70 = 0. Uit tan N = MS NS volgt tan 0 = MS en dus MS = 9,07 tan 0 10,8 cm 9, 07 KM = 10,8 79,87 = 90,4 cm oppervlakte MKN = 90,4 9,07 : 114,7 cm oppervlakte vlieger is 114,7 69 cm D 4 1 km - Zie de tekening hiernaast. De hoogtelijn vanuit snijdt de zijde in punt D. Uit sin = D volgt sin 0 = D D = sin 0 dus D,8 cm. De oppervlakte van is 8,8 : 1 cm. cm 0 D 8 cm -6 De diameter van het ovenstuk van de regenmeter is twee keer zo groot als die van het onderstuk. De oppervlakte van het ovenstuk is dan vier keer zo groot als die van het onderstuk. Na een regenui staat het water in de regenmeter cm = 0 mm hoog, dus is er is 0 : 4 = 1, mm regen gevallen.
-7 000 m = 000 000 000 cm De inhoud van het geouw is 000 000 000 : 0 = 8 000 000 keer zo groot. Stel de vergrotingsfactor is k, dan geldt dus k = 8 000 000. Dan is k = 00, want 00 = 8 000 000. De oppervlakte van het geouw is 00 = 9 000 000 cm = 900 m. -8 De afmetingen van de ovenste kegel zijn 0 : 40 = deel van de totale kegel. 4 De inhoud van de ovenste kegel is 4 dan de helft van de inhoud van de totale kegel. Lois heeft gelijk, het onderste stuk is het grootst. ( ) 0,4 deel van de totale kegel, dus minder -9 Van de kuus worden vier gelijke piramides afgehaald. De inhoud van zo n piramide, ijvooreeld F. is gelijk aan 1 1 1 1 1 = 6, cm. De inhoud van FH is gelijk aan 1 1 1 4 6, = 11 cm. Technische vaardigheden T-1a Het is een dalparaool met top (0, 4). Het is een ergparaool met top (0, 1). c Het is een dalparaool. 4x x = 0 x( x) = 0 x = 0 of x = 0 x = 0 of x = De symmetrieas ligt ij x = 1, dus ook de top. y = 4 1 ( 1) = De top is ( 1, ). d Het is een dalparaool. x 4x 1 = 0 (x 7)(x ) = 0 x 7 = 0 of x = 0 x = 7 of x = De symmetrieas ligt ij x =, dus de top ook. y = ( ) 4 1 = De top is (, ). T-a De totale frequentie is 6 4 7 4 = 4. 0 6 1 4 4 7 6 4 = 10 Het gemiddelde is 10 : 4 =. De modus is, want dat getal komt het meeste voor. c Het 17 e getal is, het 18 e getal ook, dus de mediaan is. Het 9 e getal is 1, dus het 1 e kwartiel is 1. Het 6 e getal is, dus het e kwartiel is. d 1 0 4 6 4
T-a x = 81 e x = 7 x = 9 of x = 9 x = x = 4 f x = 16 geen oplossing x = 8 c x = 48 x = x = 16 g x 8 = 7 x = 4 of x = 4 x = 49 d x = 64 x = 7 of x = 7 x = 4 h x 1 = 180 x = 19 x = 64 x = 8 of x = 8 T-4a y = x(x 1) 7x e y = x(x ) 6x y = 6x x 7x y = x 6x 6x y = 6x 10x y = x 1x y = (6 x) f y = 4x (4 x) y = 6 x y = 4x 8 x y = 4 x y = x 8 c y = x(1 x) g y = x (x ) y = x x y = x x d y = x 4(x ) y = x y = x 4x 1 h y = 6(x ) 9x y = 9x 1 y = 1x 18 9x y = x 18 T-a = 8 d 7 7 7 = 7 1 7 4 7 7 = 7 7 e 4 4 4 9 = 4 1 c 8 = 1 f 1000 10 = 10 10 = 10 6 T-6 x 1 4 6 7 8 9 10 x 4 8 16 64 18 6 1 104 a x = 18 d = 4 x = 7 x = 8 x = 7 x = x = 64 x = x = 6 e 7 = 14 x = 6 x = x = x = 1 c 4x 7 = 104 f x 7 6 = 16 4x 7 = 10 x 7 = 6 4x 7 = 10 x 7 = 8 4x = 17 x 7 = 8 x = 4, x = 1 T-7a 7 = d = 1 6 4 7 = 8 6 e 7 6 = 14 0 c 6 6 = 10 6 = 60 f = 6 0
T-8a a = x 7x 10 f w = x 4x a = (x )(x ) w = (x )(x 1) r = f 8f g g = t 6t r = (f 11)(f ) g = (t 1)(t ) c u = v v h c = t t 6 u = (v )(v 1) c = (t 6)(t 1) d = s 1s i d = t t 6 = s(s 1) d = (t )(t ) e k = p 1p 11 k = (p 11)(p 1) T-9a a = (x )(x 7) f f = (x )(x ) a = x 7x x 14 f = x x x 4 a = x x 14 f = x 4x 4 = (t )(t ) g g = (s )(s ) = 4t 10t 6t 1 g = 9s 1s 1s = 4t 4t 1 g = 9s 0s c c = (p )(p ) h h = ( 6 )( 6 ) c = p p p 9 h = 6 0 0 c = p 9 h = 6 60 d d = ( x)(x ) i i = (r 1)(r 1) d = 6x 4 9x 6x i = r r r 1 d = 9x 4 i = r 1 e e = ( 6)( 7 ) e = 1 6 4 1 e = 6 9 4 T-10a 6x 7 = x f 14x 4 = (4x ) 9x 7 = 14x 4 = 4x 9x = 9 18x 4 = x = 1 18x = 4 19 = 1 16x x = 4 : 18 dus x = 1 = 16x g 1 (x ) = x x = 1 x 6 = x c x 1 = x 1 7 x = x x 1 = 1 7 = x x = 6 x = 7 x = 1 h x = 4 (x ) d (x 4) = x 14 x = 4 x 6 x 1 = x 14 x = x x 1 = 14 x = 0 x = 6 i 6 ( x 7) = x 1 e 6x 1 = x 1 6 x 7 = x 1 1 = 9x 1 x 1 = x 1 7 = 9x 1 = x 1 x = x = 0 6
T-11a ij tael 1 is 1 = 1, en,, 7 = 1, en = 1,. De factor is constant 1,. 10 1, ij tael is 0 = 0, 8 en 6 = 0, 8 en 04, 8 = 0, 8. De factor is constant 0,8. 400 0 6 ij tael is = 4 en 18 = 4 en 18 4 = 1 en 048 = 4. De factor is constant 4. 8 1 t tael 1: N = 10 1, t tael : = 400 0, 8 t tael : de eginwaarde is 8 : 4 =, de formule is K = 4 c N = 10 1, 10 geeft N 76,7 = 400 0, 8 10 geeft 4,9 K = 4 10 geeft K 097 1 T-1a wortelverand D exponentieel verand kwadratisch verand E lineair verand machtsverand F omgekeerd evenredig verand x 9 = 0 x = 9 x = 1 4 Het randpunt is (1 4, 0). c x = x x x = 0 x( x 1) = 0 x = 0 of x 1 = 0 x = 0 of x = 1 x = 0 geeft y = x = 1 geeft y = De snijpunten zijn (0, ) en (1, ). d ij alle formules geldt dat als je x = 1 invult, de uitkomst y = is. Het punt (1, ) ligt op de grafieken van alle formules. T-1a x 1 = e 0 4 x 6 = 16 x 1 = 9 4 x 6 = 4 x = 10 x 6 = 1 7 x = 14 x 6 = 1 x = x = 7 x = 4 x = 1 c 4 7x = f 8 6 x = 4 7x = 6 x = 0 7x = 1 x = x = 1 7 x = d 4x 9 = 6 x = 0 4x 9 = x = 0 4x 9 = 4 4x = x = 1 1 4 7
Door elkaar D-1a 1000 : 8 = 1 m De totale oppervlakte van een vierkant met zijde x meter is x m. De oppervlakte van het hok is, 4 = 10 m. De oppervlakte van de scharrelruimte is dus x 10 m. c x 10 = 1 d x = 1 x = 1 11,6 e Hij heeft ongeveer 4 11,6 4, 40 meter gaas nodig. 40 6 D-a 1,0 en = 1,0 en 1,0. De factor is constant 1,0, dus is er sprake van 9 40 exponentiële groei. ij een factor van 1,0 hoort een toename van %. c 010 is drie jaar verder dan 007. 6 1, 0 06,8 Er zijn in 010 ongeveer 07 wilde zwijnen. d 000 is vier jaar vóór 004 9 : 1,0 4 188,4 In 000 waren er ongeveer 188 wilde zwijnen. e In 008 zijn er 6 1, 0 78 wilde zwijnen. In 009 zijn er 78 1, 0 9 wilde zwijnen. In 010 zijn er 9 1, 0 07 wilde zwijnen. In 010 zijn er voor het eerst meer dan 00 wilde zwijnen. D-a De inkomsten edragen 1 00 000, = 70 000 euro. Het prijzengeld edraagt daarvan de helft dus 1 87 000 euro. 1 000 000 : 1 87 000 100%,% gaat naar de eerste prijs. c 10% van 1 00 000 = 10 000 10 000 troostprijzen van,0 kost 10 000,0 = 7 000 euro 7 000 : 1 87 000 = 0, dus 1 deel wordt esteed aan de troostprijzen. d Er gaat 1 87 000 1 000 000 0 000 7 000 = 0 000 euro naar de derde prijzen van elk 1000 euro. Er zijn dus 0 derde prijzen. De kans op een derde prijs is 0 : 1 00 000 100% 0,0167%. D-4a ij een groeifactor 1, per 0 minuten hoort een toename van 0% per 0 minuten. De groeifactor per uur is 1, = 1,78. c ij een groeifactor van 1,78 per uur hoort een toename van 7,8% dus ongeveer 7%. d 000 000 : 1,78 1 004 694 Er waren aan het egin van de meting ongeveer 1 00 000 acteriën. 8
D-a Grafiek 1: lineaire formule met hellingsgetal = 1, startgetal is, dus y = x. Grafiek : lineaire formule met hellingsgetal en startgetal 1, dus y = x 1. Grafiek : kwadratische formule. De top van de ergparaool is (0, ), dus formule y = x. De snijpunten zijn (, 1) en (, 6). c x = invullen ij y = x geeft y = = 1 x = invullen ij y = x geeft y = ( ) = 4 = 1, klopt x = invullen ij y = x geeft y = = 6 x = invullen ij y = x geeft y = = 9 = 6, klopt d x = x 1 = 1 x 1 = 1 x 6 = x x = 1, y = ( 1,) = 1,8 Het snijpunt is ( 1,; 1,8). D-6a 1 II 1 O 1 4 6 7 8 9 10 1 I 7 6 4 III Oppervlakte rechthoek is 11 6 = 66 roostervierkantjes. Oppervlakte driehoek I is 4 : = 6 roostervierkantjes. Oppervlakte driehoek II is 11 : = 11 roostervierkantjes. Oppervlakte driehoek III is 8 6 : = 4 roostervierkantjes dus oppervlakte is 66 6 11 4 = roostervierkantjes. c zijde kwadraat 11 =... 11 4 1 zijde 4 =... = 1 11,18 = = d Noem P het punt (, 0) en Q het punt (, 6). kwadraat In P is tan = P P ofwel tan = 11 dus = tan 1 ( 11) 79,7 In Q is tan = Q Q ofwel tan = 4 = tan 1 ( ) 6,9 4 In is = 180 79,7 6,9 6. 9 16 9
D-7 Noem de punten loodrecht onder en respectievelijk en. Noem de plaats van het putdeksel punt. Dan geldt tan 4 = ' en tan 7 = ' ' ' Hieruit volgt dat ' = tan 4 ' en ' = tan 7 ' ' = ' en ' ' = 0 dus tan 4 tan 7 = 0 ' (tan 4 tan 7 ) = 0 ( 0, 9 1, 99) = 0, 47 ' = 0 ' 1, 1 Hij steekt op ongeveer 1,1 m hoogte het plein over. D-8 Uit het vooraanzicht lijkt dat de piramide even hoog is als vier kuussen, dus 4 cm. De zijde van het grondvlak is gelijk aan vier maal de rie van één kuus, dus ook 4 cm. De inhoud is gelijk aan 1 4 4 4 = 4608 cm. 40