IR. G. F. J. KRUIJTZER TH Delft Enge aspecten van het dscretseren van randvoorwaarden n een elektrsch analogon voor grondwaterstromng. Inledng Voor de oplossng van tweedmensonale grondwaterstromngsproblemen kan gebruk worden gemaakt van een elektrsch analogon. De toepassng van een dergeljk analogon berust enerzjds op de analoge van de wet van Darcy voor de grondwaterstromng met de wet van Ohm voor de stromng van elektrctet door een vlakke geleder, en anderzjds op de geljkwaardghed van de contnuïtets-vergeljkng voor bede verschjnselen (behoud van waterdeeltjes n de grondwaterstromng en behoud van elektronen n de elektrodynamca). In tabel I zjn de met elkaar overeenkomende grootheden weergegeven. De elektrsche potentaal V komt overeen met de grondwaterstjghoogte<g, de elektrsche stroomvector met de specfeke debet-vector q en de elektrsche geledbaarhed /p met de doorlatendhed K (p s de specfeke weerstand van de geleder). Bj de toepassng van een elektrsch analogon, waarbj bjvoorbeeld gebrukt kan worden van geledend paper (Teledeltos paper), denen de randvoorwaarden n het model n overeenstemmng met de randvoorwaarden van het grondwaterprobleem gekozen te worden. De veel voorkomende gevallen van een rand, de n het grondwaterprobleem een potentaalljn respecteveljk een stroomljn moet zjn, kunnen worden nagebootst door een elektrsche potentaalljn respecteveljk stroomljn. Een elektrsche potentaalljn kan worden verkregen met behulp van een plaatseljk sterke vergrotng van de geledbaarhed (bv. met zlververf) waar ter plaatse een elektrsche potentaal wordt opgelegd. Een voorgeschreven stroomljn kan eenvoudg worden verkregen door het paper volgens de vorm van de rand af te knppen. Iets moeljker voor de utvoerng n een analogon zjn de randvoorwaarden: een vrj oppervlak en een kwelljn van het grondwaterprobleem. Langs een vrj oppervlak, dat n het geval van statonare stromng welswaar een stroomljn s, doch waarvan de poste net bekend s, dent de stjghoogte geljk te zjn aan de plaatshoogte. De gebrukeljke maner om de plaats van het vrj oppervlak te bepalen s een poste te schatten, het paper volgens de geschatte ljn af te knppen en dan na te gaan of daarlangs de elektrsche potentaal nderdaad ge- TABEL I Grondwater Wet van Darcy: q = K ^ * q fltersnelhed (cm/sec.) K doorlatendhedscoëffcënt (cm/sec.) * stjghoogte (cm) ljk s aan de plaatshoogte. Is dt net het geval, dan dent een neuwe poste van het vrje oppervlak aangenomen te worden (etc). Langs een kwelljn, waar het grondwater ut de grond treedt, s eveneens de stjghoogte geljk aan de plaatshoogte. De plaats van de kwelljn s bekend, en langs de ermee overeenkomende rand n het elektrsche analogon dent dus een potentaal te worden opgelegd geljk aan de plaatshoogte. Aangezen deze plaatshoogte n het algemeen net constant s, (een kwelljn treedt bv. op aan de benedenstroomse zjde van een djktalud) moet een verlopende potentaal worden opgelegd. Een gebrukeljke maner om dt te verwezenljken s om de rand van het model ter plaatse van de kwelljn te voorzen van een aantal sterk geledende utsteeksels (lamellen) en op elke lamel een bepaalde potentaal op te leggen, overeenkomend met de plaatshoogte n het mdden van de lamel ter plaatse van de rand. De randvoorwaarde wordt aldus benaderd opgelegd. Het s dudeljk dat de benaderng beter wordt naarmate men meer (en aldus klenere) lamellen kest, doch Afb. LAMELBREEDTE Elektrctet Wet van Ohm: = /P \J V stroomdchthed (Ampère/cm 2 ) p specfeke weerstand (Ohm cm) V potentaal (Volt) de utvoerbaarhed zal het aantal lamellen beperken. Bj de toepassng van boven genoemde lamellen rjst nog de vraag hoe men de verhoudng van de breedte van de lamellen ten opzchte van hun onderlnge afstand moet kezen. In dt artkel zal worden aangetoond dat het, om bepaalde nog aan te geven reden, het beste s de verhoudng lamelbreedte/lamelafstand geljk van /2 te kezen. Onder de lamelafstand wordt dan verstaan de h.o.h. afstand der lamellen (ze afb. ). Voor het bewjs van deze stellng zal een tameljk gecomplceerde wskundge berekenng te hulp worden geroepen. Echter zal tevens aangetoond worden dat de concluse dat de gunstgste verhoudng : 2 s ook op eenvoudge wjze drect kan worden verkregen. Opgemerkt moge nog worden dat de lamellen ook toegepast worden bj het nabootsen van een vrj oppervlak n het geval van tjdsafhankeljke stromng (bv. tengevolge van een getjbewegng). In dt geval wordt de vaste rand van het elektrsche model gelegd op de phreatsche mddenstandsljn en de bergng AMELAFSTAND *) De schrjver s prof dr. r. G. de Josseln de Jong en r. A. Verrujt veel dank verschuldgd voor het tot stand komen van dt artkel. GELEIDBAAR PAPIER 420 H 2 0 (2) 969, nr. 8
Afb. 2 DOORSTROMINGSPROFIEL- D'JK MODEL AB oequpotentaoujn (DE) BC vrj oppervlak CD kweujn wordt gesmuleerd met behulp van condensatoren de op de lamellen aan de rand zjn aangesloten (Bsschoff van Heemskerck, 96). Ook voor dt geval s de her te geven oplossng voor het probleem van de verhoudng lamelbreedte/lamelafstand van toepassng (ze afb. 2). 2. Probleemstellng Het benaderen van de randvoorwaarde, zoals n paragraaf uteengezet, heeft een belangrjk gevolg. Men beschouwe afb. 3. Vergeleken worden de stromngen n twee halfonendge strppen ter breedte 2a. In het ene geval, afb. 3A, s de utstroombreedte 2b en n het andere geval, afb. 3B, s de utstroombreedte 2a(b < a). Ter plaatse van Q wordt de potentaal voor bede gevallen geljk verondersteld. Bovenden veronderstellen we, dat het produkt van de snelhed en de utstroombreedte voor bede gevallen geljk s. Ut deze laatste veronderstellng volgt, dat n het geval van afb. 2A de snelhed groter s dan n het geval van afb. 2B. Dt laatste betekent dat het verhang n het geval van afb. 3A groter moet zjn dan het verhang n afb. 3B. Dt s, met de veronderstellng dat t.p.v. Q de potentaal voor bede gevallen dezelfde s, alleen mogeljk nden de afstand g groter s dan h. Een vernauwng van het utstroomoppervlak (2b.p.v. 2a), waardoor de stroomljnen worden samengetrokken, heeft dus een verschuvng van de rand (g-h) ten opzchte van een vast punt Q tot gevolg. Het punt Q s herbj de plaats waar de potentalen voor bede gevallen geljk zjn. Deze verschuvng van de rand s door A. Verrujt de equvalente lengte van de vernauwng genoemd. Bj het benaderen van de randvoorwaarden n een analogon worden ter plaatse van de rand de stroomljnen samengetrokken, zoals nog nader uteengezet zal worden. Er doet zch dan een zelfde stuate voor als n het gegeven voorbeeld: de potentaal verdelng n het model komt overeen met de n een equvalent grondmassef, waarvan de rand buten de rand van het model lgt. De grootte van de verschuvng van de rand, de equvalente lengte van de vernauwng, bljkt afhankeljk te zjn van de verhoudng tussen lamelbreedte en lamelafstand enerzjds, en anderzjds de hoek waaronder de stroomljnen de rand snjden. De gedachte dat bj gebruk van lamellen de rand van het model s verschoven ten opzchte van de rand van het equvalente grondmassef s afkomstg van De Josseln de Jong. Hj heeft deze verschuvng van de rand tevens berekend Afb. 3 0 o 9 - ^ STROOML'JN POTENTIAALL'JN JL / V t r * b \ f \ d H 2 0 (2) 969, nr. 8 42
W///A B, C yy/yy y/y/yy y -? \ --V -f- ----- d W///y,, C mmmmmmmfm: A -2 ^za-se^aaü 9 h ^ ML'JN pntfu TIAALL'JN POTEN....,...,, _ Afb. 4 voor de gevallen van stroom evenwjdg en loodrecht op de rand. Onder ledng van E. A. Bosman zjn bj de Rjkswaterstaat modelproeven utgevoerd. Het betrof her gevallen waarn de stroom alleen evenwjdg aan de rand was. Herbj werd o.a. vastgesteld, dat de plaats van de eerste gedscretseerde lamel van zeer grote nvloed s op de veranderng van de weerstand n het model. Het een en ander geschedde naar aanledng van een opmerkng herover van Huard de la Marre. M. J. Mes heeft de berekenngen van De Josseln de Jong utgewerkt en verfeerde de resultaten hervan met modelproeven voor de gevallen van stroom evenwjdg aan en loodrecht op de rand. Tevens constateerde Mes dat n het geval van net statonare stromng bj het gebruk van gedscretseerde lamel-randen de dempng en najlng klener s dan n werkeljkhed het geval s. In dt artkel zal de berekenng van de verschuvng van de rand worden weergegeven. Bovenden zal worden aangetoond dat men zonder enge berekenng van de verhoudng lamel-breedte-lamelafstand kan vaststellen hoe de verhoudng lamelbreedte-lamelafstand moet zjn opdat de verschuvng van de rand onafhankeljk s van de rchtng van de stroomljnen met de rand. De lezer kan de van een kantljn voorzene regels n eerste nstante overslaan. 3. Berekenng van de plaats van de rand van het equvalente grondmassef De onderstaande berekenngen gelden voor rechte randen. De resultaten zjn voor flauw gebogen randen als benaderng zeer aanvaardbaar. Tevens wordt verondersteld dat het stroomprofel voldoende groot s, opdat op enge afstand van de rand met benaderde randvoorwaarden, de nvloed van het benaderen net meer waar te nemen s. De berekenng s exact voor halfonendge vlakken. a. stroom gercht volgens normaal op de rand. In afb. 4 wordt stroom n het model (A) vergeleken met de n het equvalente massef (B). Herbj wordt een strook ter breedte van 2a beschouwd. Deze strook herhaalt zch telkens. In de strook s over een breedte 2b een lamel aangebracht. De nvloed van de storng aan de rand wordt verondersteld ter plaatse van AA' net meer waar te nemen te zjn. De verschuvng van de rand, de equvalente lengte van de vernauwng, s geljk d. Met behulp van een complexe rekenwjze s het Z vlak conform af te beelden op het Z2 vlak. De herbj behorende transformate formule s: sn (rz/2a) sn (7rb/2a). sn (yz2/2a) () Deze formule laat zch verfëren door bv. controle van het punt C2. Voor het punt C2 geldt n Z : Z(p2) = b en Z 2 (C 2 ) = a. Stel nu dat ter plaatse van de ljnen AA/ de potentalen n bede gevallen geljk zjn, d.w.z. dat daar de nvloed van de vernauwng net meer merkbaar s. Het punt Qt s n het Z vlak op een afstand h en n het Z2 vlak op een afstand g van de rand gelegen. Voor het punt Q geldt: sn (-77"h/2a) of sn (7rb/2a) sn (-7rg/2a) (2) [exp(7rh/2a) - exp(-7rh/2a)]/2 = = sn(vrb/2a)[exp('7rg/2a) - exp(-7rg/2a)]/2 (3) Voor g en h voldoende groot s vgl. 2 als benaderng te vervangen door: exp (77-h/2a) o* sn (7rb/2a) exp 0rg/2a) of met g h = d: exp (- 7rd/2a) = sn (7rb/2a) (4) Herut volgt dat de equvalente lengte van de vernauwng geljk s aan: d = - (2a/7r) In (sn( w b/2a)) (5) Daar sn (7ï"b/2a) < en de natuurljke logarthme van een getal klener dan 422 H 2 0 (2) 969, nr. 8
" C 3 Mll C 4 g! '! ;! ;! ;!!!!!! I! :! ; ; II ; :! : j : : OML'JN NTIAALL'JN ' L Afb. 5 negatef s, s d postef. Dt s n overeenstemmng met het gestelde n paragraaf 2. We hebben dus nu de verschuvng van de rand gevonden als functe van de parameters a en b n het geval van stroomljnen gercht volgens de normaal op de rand. b. Stroom evenwjdg aan de rand. In afb. 5 wordt de stroom n het model (5A) vergeleken met de n het equvalente massef. Ook n dt geval s de strookbreedte 2a. Verder gelden dezelfde veronderstellngen als n het vorge geval. De transformateformule, welke de conforme afbeeldng van Z3 op Z4 weergeeft, s n dt geval: sn(7tz 3 /2a) = sn (7r(a-b)/2a) sn ( 7rZ 4 /2a) (6) Voor het punt Q geldt n Z 3 :Z 3 (C 4 ) = a-b en n Z4 :Z4XC4) = a zodat aan vlg. 6 dentek wordt voldaan. Op eenzelfde wjze als n het vorge geval voor Q s nu voor het punt Q2 af te leden: exp (7]-h/2a) ^ sn (7r(a-b)) exp ( 7rg/2a) (7) Stel verder: g - h = d' (8) Herut volgt dat de verschuvng d' van de rand geljk s aan: d' = - (2a/7r) In (sn( 7r (a-b)/2a)) (9) Ook n dt geval s de verschuvng van de rand postef. Immers door samentrekkng der equpotentaalljnen wordt het verhang groter, dus het debet per lengte-eenhed snelhed groter. Het produkt der doorsnede en de snelhed s n bede gevallen echter geljk. Dt laatste s dan alleen mogeljk als g > h. We hebben dus verschuvng van de rand als functe van de parameters a en b bepaald. 4. Het algemeen geval Zoals n de vorge paragraaf s aangetoond, geldt voor de verschuvng van de rand n het geval van loodrecht op de rand gerchte stromng respecteveljk evenwjdg aan de rand gerchte stromng: d = - (2a/-) In (sn(,rb/2a)) (0) d' = - (2a/7T) In (sn(7r(a-b)/2a)) () In het geval dat geldt: a - b = b of a = 2b (3) s de verschuvng van de rand voor de stroom evenwjdg eraan geljk aan de verschuvng, de ontstaat voor stroom loodrecht erop. Kest men dus de breedte van de lamellen (2b) geljk aan de afstand (2a-2b) ertussen, dan s de equvalente lengte van de vernauwng n de gevallen van stroom evenwjdg en loodrecht op de rand, geljk. Dat laatste kan ook drect worden ngezen, zonder berekenngen van de equvalente lengte en equvalente breedte. Het s bekend ut de berekenngen van stroom- en potentaalljnen, dat verwsselng van stroom- en potentaalljnen net van nvloed s op de wskundge behandelng van het probleem. De stroomljnen worden dan ljnen met geljke potentaal, terwjl de potentaalljnen de stroomljnen gaan vormen. Past men deze verwsselng toe n afb. 4A, dan ontstaat afb. 5A, nden geldt a = 2b. Op deze wjze s dus eenvoudg aangetoond, dat bj keuze van a = 2b de verschuvng van de rand voor de twee onderlng loodrechte stromngsgevallen geljk s. H 2 0 (2) 969, nr. 8 423
Inden het stromngsveld bron- en wervelvrj s, voldoet de potentaalfuncte $ aan de vergeljkng van Laplace: V 2 * = 0 (4) Stel dat <3> het reële deel s van de complexe potentaal, met» = <ï> + * (5) waarbj de functe r op een magnare constante na bepaald wordt door de vergeljkngen van Cauchy-Remann: b<3? b * b<ï> b * =, = (6) bx öy by bx met Z = x + y als plaats- coördnaat. Deze functe ~$r heet de stroomfuncte en s langs de stroomljnen constant. Ut vgl. 6 volgt: b* b$ b* b* H = 0 (7) bx bx by by Vervang nu n deze laatste vergeljkng <ï> door ^r en ^ door <3> dan bljft aan vergeljkng 6 en 7 voldaan. Een Neuman probleem voor de potentaal functe <3> s dus te vervangen door een Drchlet probleem voor de stroomfuncte "'t. Opgemerkt wordt, dat bj de bepalng van de equvalente lengte zowel n het geval van stroom evenwjdg aan als stroom loodrecht op de rand er verondersteld s, dat de rand recht s en het stroombeeld zch perodek ten aanzen van de plaats herhaalt. Deze laatste aanname brengt bv. n het geval van stroom loodrecht op de rand met zch mede dat het potentaal verschl voor een strook ter breedte 2a voor edere strook ter breedte 2a hetzelfde s. Er wordt dan ten aanzen van de potentaal langs de ljnen B;sA2 en B4A2 n afb. 5a of langs de ljnen C3 A2 en C4 A2 n afb. 5b een voorwaarde opgelegd. Herdoor wordt het randvoorwaarden-probleem voor het gehele halfvlak teruggebracht tot dat van een strook ter breedte 2a en hermede s de berekenng van de equvalente lengte aanzenljk vereenvoudgd. In het geval van flauw gebogen randen s de aanname van perodctetsverschl net just, doch als benaderng zeer aanvaardbaar. In het geval van stromng onder een wllekeurge hoek met de rand, wordt de stuate nog ets gecomplceerder. In de potentaaltheore s het begnsel van superposte geoorloofd, zj het onder bepaalde voorwaarden ten aanzen van de randvoorwaarden. Gaat men echter van het begnsel ut, dan s het zeer aannemeljk, dat ook n het geval van stromng onder een wllekeurge hoek met de rand, bj keuze van b = 2a, de equvalente lengte dezelfde s, als n de gevallen van stroom loodrecht op en stroom evenwjdg aan de rand. Concluse: Inden de verhoudng tussen breedte en hart op hart afstand van twee op een volgende lamellen en 2 gekozen wordt, dan s de herbj behorende verschuvng van de rand van het equvalente grondmassef bj zeer goede benaderng onafhankeljk van de rchtng van de stroom met de rand en s deze verschuvng d geljk aan: d = -(2a/7r) In (sn(7r/4)) of d = 0,222a Lteratuur. Huard de Ia Marrer, Résoluton de Problèmes d'infltratons A Surface Lbre au Moyen d'anologes Electrques. Publcatons Scentfques et technques du Mnstère de L'Ar, 958. 2. Bschoff van Heemskerck, W. C, Waterspannngen onder de asphaltbekledng van djken. Utgave van de Verengng voor Btumneuze Werken VBV, 962. 424 H 2 0 (2) 969, nr. IS