Overzicht Discrete modellen 1/5 Bij het onderwerp Discrete Modellen worden rijen bestudeerd. Een rij is een reeks getallen (termen genoemd) waarvan de volgorde kan worden vastgelegd door ze te nummeren. Het nummeren begint meestal met 0 of met 1. Een voorbeeld van een rij is: nummer: n 1 2 3 4 5 6 de n-de term: X(n) 5 8 11 14 17 20 De eerste term is 5, de tweede term is 8, de derde term is 11, enz, enz. Een rij kan gegeven zijn in de vorm van een: recursievergelijking: X(n) = f(x(n 1)) met beginterm X(0) (of X(1)) Dit betekent: De volgende term kan worden berekend vanuit de vorige door een functievoorschrift f. De beginterm X(0) of X(1) moet wel gegeven zijn. In het voorbeeld hierboven is de recursievergelijking X(n) = X(n 1) + 3 met X(1) = 5 Op de GR voeren we dit in onder y= als volgt: (eerst MODE SEQ DOT) Een rij kan ook gegeven zijn in de vorm van een: directe formule of rangnummerformule: X(n) = f(n) Dit betekent: Elke term kan simpel worden berekend door in het functievoorschrift f het nummer van de term in te vullen. In ons voorbeeld is de directe formule X(n) = 5 + (n 1).3 ofwel X(n) = 3n+2 Op de GR voeren we dit in onder y= als volgt: Je kunt de rij plotten maar dan moet eerst de window goed ingesteld worden: vul in: nmin=1; nmax=20; PlotStart=1; Plotstep=1 en dan ZOOM FIT. De GR berekent dan zelf de overige window-instellingen voor een passende grafiek. Je kunt ook met TABLE de tabel oproepen.
Overzicht Discrete modellen 2/5 Vaak wordt gevraagd om de som van een aantal termen van een rij te berekenen. de som van de eerste n termen van de rij geven we aan met S(n) of Sn In ons voorbeeld kunnen we S(5) berekenen: 5+8+11+14+17 = 55. Met de GR gaat dit als volgt: sum(seq(directe formule,n,beginnummer, eindnummer, stap)) sum is te vinden onder LIST MATH, seq is tevinden onder LIST OPS als je de stapgrootte weglaat dan wordt voor stap het getal 1 genomen. Je kunt stap dus bijna altijd weglaten want de stap is vaak 1. In ons voorbeeld: sum(seq(3n+2,n,1,5)) = 55 Op dezelfde manier bereken je de som van de 5 e tot en met de 20 e term sum(seq(3n+2,n,5,20)) = 632 In ons voorbeeld is er sprake van een rekenkundige rij. Er zijn zeer veel soorten rijen. Er is zelfs een encyclopedie van rijen op het internet. Als je benieuwd bent, kijk dan eens op:http://www.research.att.com/~njas/sequences/seis.html. Hierin staan tienduizenden rijen vermeld. Als je in de startpagina klikt op Use database en je voert in het vak de getallen 5,8,11,14,17,20 en je klikt op search dan wordt in de database gezocht of de rij van een bekend type is. In dit eenvoudige geval is dat natuurlijk zo. Deze rij blijkt bekend te zijn onder de codering A016789 en er wordt allerlei informatie over deze rij gegeven, waaronder de directe formule: 3n+2. De bekendste typen rijen zijn: Rekenkundige rij (lineaire groei) De volgende term ontstaat door bij de vorige een constant verschil op te tellen recursievergelijking: X(n) = X(n 1) + v (v heet het constante verschil) directe formule: X(n) = X(1) + (n 1).v als het nummeren begint bij n=1 X(n) = X(0) + n.v als het nummeren begint bij n=0 somformule S(n) = ½n(eerste term + laatste term) S(n) = ½n(X(1) + X(n)) als het nummeren begint bij n=1 S(n) = ½n(X(0) + X(n 1)) als het nummeren begint bij n=0 voorbeeld zie het voorbeeld op de bladzijden 1 en 2. Meetkundige rij (exponentiële groei) De volgende term ontstaat door de vorige met een constante factor te vermenigvuldigen recursievergelijking: X(n) = X(n 1).r (r heet de reden = de constante factor) directe formule: X(n) = X(1).r n 1 als het nummeren begint bij n=1 X(n) = X(0).r n als het nummeren begint bij n=0 somformule S = 1 r n n a. 1 r als a de eerste term is. Als 1<r<1 dan nadert r n in deze formule naar 0 als n naar oneindig nadert dus: Voor de som van een oneindige MR geldt S = a 1 r voorbeeld X(n) = 0,8X(n 1) met X(1) = 10 is een MR met beginterm 10 en reden 0,8 directe formule: X(n) = 10. 0,8 n-1 1 0,8 De som van de eerste 6 termen is S 6 6 = 10. 36,89 1 0,8 Omdat de reden (groeifactor) tussen 1 en 1 ligt, nadert de som op naar een limiet als n naar (=oneindig) gaat: S = 10 = 50 1 0,8
Overzicht Discrete modellen 3/5 Rijen met de recursieverg. X(t+1) = a.x(t) + b De volgende term ontstaat door de vorige met een constante factor te vermenigvuldigen en daar vervolgens weer een getal bij op te tellen. We spreken van begrensde groei als a tussen 1 en 1 ligt ( 1<a<1) recursievergelijking: X(t+1) = ax(t) + b (voor b=0 hebben we een meetkundige rij met reden a) directe formule: X(t) = ev.waarde + (beginwaarde ev.waarde). a t b b t X(t) = + (X(0).a 1-a 1- a ) somformule Er is geen somformule te geven, de som is alleen te berekenen met de GR. (sum(seq(.)) voorbeeld X(t+1) = 0,75X(t) + 40 met X(0) = 200 Er is een evenwichtswaarde: X = b/(1-a) = 40/0,25 = 160 Deze is ook te vinden door op te lossen: X = 0,75X + 40 0,25X = 40 X = 160 directe formule: X(t) = 160 + (200 160).0,75 t = 160 40. 0,75 t M Xt t Rijen met de recursieverg. X(t+1) = ax(t) b( X(t) ) 2 In het begin nemen de termen exponentieel toe maar op den duur worden ze geremd door de dempingsterm b(x(t)) 2. Dit heet logistische groei recursievergelijking: Deze is te schrijven in de vorm M X(t) X(t+1) = X(t) + c.x(t). ( M ) directe formule: somformule voorbeeld M heet de grenswaarde, c de groeivoet Er is geen directe formule te geven Er is geen somformule te geven, de som is alleen te berekenen met de GR. (sum(seq(.)) X(t+1) = 1,8X(t) 0,02(X(t)) 2 met X(0) = 2 Dit is te schrijven als X(t+1) X(t) = 0,8X(t) 0,02(X(t)) 2 Breng 0,8X(t) buiten haakjes: X(t+1) X(t) = 0,8X(t)(1 0,025X(t)) 1 40 0,25 = en 1 = dus: 40 40 X(t+1) X(t) = 0,8X(t). X(t+1) = X(t) + 0,8X(t). 40 X(t) ( 40 ) 40 X(t) ( 40 ) ofwel De grenswaarde is dus 40, de groeivoet is 0,8 Je kunt in het laatste voorbeeld de grenswaarde ook als volgt uitrekenen: Voor de grenswaarde geldt dat X(t+1) = X(t). Noem je de grenswaarde X dan krijg je: X = 1,8X 0,02X 2 Los deze vergelijking op: 0 = 0,8X 0,02X 2 deel links en rechts door 0,8: 0 = X 1 /40X 2 breng X buiten haakjes: 0 = X(1 1 /40X) een product is alleen 0 als een van beide factoren 0 is dus X = 0 of 1 1 /40X = 0 maar X = 0 kan niet want dan zouden alle termen 0 zijn dus 1 1 /40X = 0 vermenigvuldig links en rechts met 40 40 X = 0 zodat X = 40 de grenswaarde is 40 M Xt t
Overzicht Discrete modellen 4/5 Stelsels van recursievergelijkingen X(t+1) = a.x(t) + by(t) Twee of meer rijen zijn met elkaar verbonden door twee of meer Y(t+1) = c.x(t) + dy(t) recursievergelijkingen recursievergelijkingen: X(t+1) = a.x(t) + by(t) De volgende term van de rij X kun je berekenen als je de vorige twee termen van X en Y kent. Y(t+1) = c.x(t) + dy(t) De volgende term van de rij Y kun je berekenen als je de vorige twee termen van X en Y kent. voorbeeld X(t+1) = 0,80X(t) + 0,15Y(t) Y(t+1) = 0,20.X(t) + 0,85Y(t) Bij dit stelsel van recursievergelijkingen is het volgende verhaal te vertellen: Op een klein eiland wonen in het jaar 2000 (t=0) 16000 inwoners. Op het eiland is slechts één stad A waar 12000 mensen wonen. Buiten A, we noemen dit het buitengebied B, wonen 4000 inwoners. Voor het eiland geldt dat er geen emigratie of immigratie plaatsvindt. We nemen verder aan dat er door geboorte even veel mensen bijkomen als dat er overlijden. Dit geldt zowel voor A als voor B. Elk jaar verhuist 20% van de inwoners van A naar B en blijft 80% van A binnen A wonen. Elk jaar verhuist 15% van de inwoners van B naar A en blijft 85% van B binnen B wonen. Bereken het verloop van de bevolking van A en B in de loop der jaren vanaf het jaar 2000. Voer de rijen als volgt in: en je vindt:
Overzicht Discrete modellen 5/5 Vraag en aanbod in de economie Komkommers worden in Nederland het hele jaar door in kassen gekweekt In het voorjaar zijn voor een bepaalde groenteveiling de aanbod- en vraagvergelijking: qa = 100p + 400 qv = 125p + 2200 waarin p de prijs is in euro per kilo en q de hoeveelheid in aantallen kistjes 1. Bereken de evenwichtsprijs bij dit vraag- en aanbodmodel. Op een zeker moment wordt het in de loop van de maand mei onverwacht warm en de vraag stijgt. De vraagvergelijking wordt dan qv = 125p + 3100. De kwekers kunnen niet onmiddellijk aan de nieuwe vraag voldoen. Daardoor blijft de aanbodvergelijking voorlopig gelijk. De oude prijs, dus de oude evenwichtsprijs bepaalt het aanbod. De vraag bepaalt een nieuwe prijs, het aanbod speelt hierop in, enz. enz. 2. Neem voor p(0) de oude evenwichtsprijs en bereken p(2). Zet de uitkomsten van je berekeningen in een tabel zoals hieronder: t qa qv p 0 1 2 3. Teken de webgrafiek met de aanbodlijn en de nieuwe vraaglijn We kunnen het dynamische model als volgt schrijven: qa(t)= 100p(t 1) + 400 qv(t) = 125p(t) + 3100 4. Maak een recursievergelijking voor de prijs en bereken de nieuwe evenwichtsprijs.