INLEIDING GROEPENTHEORIE

INLEIDING GROEPENTHEORIE 2013-2014 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC: woensdag 8-10 uur, sem 2 WPO: donderdag 13-15 uur, sem 2 E. Jespers Vakgroep Wiskunde Vrije Universiteit Brussel Faculteit Wetenschappen

ii

Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Een beetje brugcursus 5 2.1 Logica............................ 5 2.2 Verzamelingen........................ 6 2.3 Kwantoren en negaties................... 8 2.4 Deelverzamelingen en gelijke verzamelingen........ 9 2.5 Bewerkingen met verzamelingen.............. 10 2.6 Cartesisch product..................... 12 2.7 Relaties en Functies..................... 13 2.8 Geïnduceerde functies, restrictie en corestrictie...... 16 2.9 Injecties en surjecties.................... 16 2.10 De samenstelling van functies en Inverse functies..... 18 2.11 Enkele welbekende resultaten uit getaltheorie...... 21 3 Groepen 23 3.1 Definitie........................... 23 3.2 Voorbeelden......................... 24 3.3 Ringen en meer voorbeelden................ 27 iii

iv INHOUDSOPGAVE 3.4 Vermenigvuldigingstabel.................. 35 3.5 Elementaire Eigenschappen................ 37 3.6 De orde van een element.................. 40 3.7 Vergelijkingen in Groepen................. 42 3.8 Directe producten...................... 44 4 Deelgroepen 47 4.1 Definitie........................... 47 4.2 Speciale Deelgroepen.................... 48 4.3 Voortbrengers........................ 50 5 Nevenklassen 57 5.1 Definitie........................... 57 5.2 Stelling van Lagrange.................... 59 5.3 Toepassingen........................ 60 6 Normale deelgroepen 63 6.1 Definitie........................... 63 6.2 Elementaire eigenschappen................. 65 7 Quotiëntgroepen 67 7.1 Definitie........................... 67 7.2 Deelgroepen van quotiëntgroepen............. 71 8 Homomorfismen 73 8.1 Definitie........................... 73 8.2 Isomorfismen........................ 75 8.3 Homomorfismestellingen.................. 77

INHOUDSOPGAVE v 9 Permutatiegroepen 85 9.1 Stelling van Cayley..................... 85 9.2 Eindige Permutatiegroepen................. 86 10 Eindige Abelse Groepen 95 10.1 Directe Producten..................... 95 10.2 Fundamentele Stelling................... 96 11 Acties 101 11.1 Definitie........................... 101 11.2 Orbiet-Stabilisator Stelling................. 105 11.3 Sylowstellingen....................... 109 11.4 Semidirecte producten van groepen............ 112 12 Oefeningen 115 Bibliografie 131 Index 132

vi INHOUDSOPGAVE

Hoofdstuk 1 Inleiding Het concept groep is één van de meest fundamentele in recente wiskunde. De oorsprong van dit concept kan men reeds impliciet terug vinden in de studie van congruente meetkundige figuren en afstandbewarende functies (bewegingen) in de ruimte. Het is pas sedert de eerste helft van de 19-de eeuw dat het idee duidelijk werd gedefiniëerd en erkend als een belangrijke wiskundige gedachte. In die tijd was het begrip groep reeds prominent aanwezig in het werk van Abel en Galois, en dit dan via de oplosbaarheid van polynoomvergelijkingen van graad groter dan 4. Later werd het begrip beweging veralgemeend en dit verduidelijkte een belangrijk verband tussen de verschillende meetkunden en de transformatiegroepen van hun meetkundige objecten. Het werk van Lie (1842-1899) Abel (1802-1829) 1

2 HOOFDSTUK 1. INLEIDING Galois (1811-1832) omtrent continue groepen versterkte het belang van het groep concept. Rond het einde van de 19-de eeuw werd het fundamentele belang van groepen bijzonder duidelijk. Rond deze tijd werden transformatiegroepen en permutatiegroepen veralgemeend en kwam de abstracte theorie van groepen tot stand. Een eerste belangrijk boek met een overzicht van de stand van zaken in het begin van de 20-ste eeuw is dat van Burnside Theory of Groups of Finite Order, Lie (1842-1899) gepubliceerd in 1911. Tot in 1955 evolueerde groepentheorie gestadig, maar vanaf 1955 kwam er een explosie in het onderzoek. Dit vanwege de publicatie van enkele fundamentele ontdekkingen. In deze cursus geven wij een inleiding in de groepentheorie. Een ander belangrijk aspect is om de studenten de kunst van abstracte bewijzen maken te leren appreciëren en aan te leren. Burnside (1852-1927) De studiebenadering in deze cursus verschilt misschien van wat je tot nut toe gewoon bent in andere wiskunde cursussen. Tot op heden heb je waarschijnlijk veel oefeningen/problemen kunnen oplossen door naar gelijkaardige

problemen te zoeken in de tekst en dan wat de oplossingsmethode aan te passen. In deze cursus zal deze methode slechts eventueel doenbaar zijn voor een zeer beperkt aantal opgaven/problemen, maar het zal voor de meeste problemen niet werken. Het is van belang dat je de materie zeer goed verstaat, en dat je dus problemen pas aanpakt na een eerste grondige studie van de relevante theorie. De cursus staat vol van definities, stellingen, eigenschappen en voorbeelden. De definities zijn van uiterst belang omdat wij moeten overeenkomen wat er precies (en dus eenduidig) bedoeld wordt me de gebruikte terminologie. Dikwijls wordt een definitie gevolgd door voorbeelden die een concept illustreren. Voorbeelden zijn het belangrijkste hulpmiddel in de tekst: geef er dus veel aandacht aan. Een nuttige hint voor de studie van deze cursus is om stellingen eerst grondig te lezen. Sla in eerste instantie het bewijs over, maar tracht te verstaan wat de stelling precies zegt. Dit kan je o.a. doen door na te gaan wat de inhoud van een stelling betekent voor een concreet voorbeeld. Na een goed begrip van de stelling lees je grondig een bewijs en probeer elke stap te verstaan. Bewijzen in algebra zijn dikwijls moeilijker dan b.v. in analyse en meetkunde omdat je meestal geen suggestieve tekening kan maken. Een bewijs is meestal echter gemakkelijkäls je het juiste vertrekpunt/benadring vindt. 3

4 HOOFDSTUK 1. INLEIDING

Hoofdstuk 2 Een beetje brugcursus Dit hoofdstuk is gebaseerd op de brugcursus Wiskunde I (VUB uitgaven), Discrete Wiskunde en Lineaire algebra: stelsels, matrices en afbeeldingen. 2.1 Logica De wiskunde is opgebouwd uit logische redeneringen. Deze redeneringen worden in het algemeen bestudeerd in de wiskundige discipline die logica heet. Logica komt uitgebreid aan bod in de cursus Grondslagen van de informatica I (Prof. De Troyer). Wij zullen de taal en notatie van de zogenaamde predikatenlogica gebruiken om redeneringen neer te schrijven. We herhalen hier enkele notaties en begrippen: de implicatie: p q ( Als p dan q ). Voorbeeld 2.1.1 x is deelbaar door 10 x is even. de negatie: p. Voorbeeld 2.1.2 De negatie van Het regent is Het regent niet. 5

6 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS de contrapositie van de implicatie: p q is equivalent met q p. Dit is zeer belangrijk! p q is ook equivalent met p q (het symbool lees je als of ). Voorbeeld 2.1.3 Om te bewijzen dat n 2 even n even is het gemakkelijker te bewijzen dat n oneven n 2 oneven. de equivalentie: p q (p is equivalent met q ). p q is equivalent met (p q) (q p). Het is ook equivalent met (p q) ( p q) (het symbool lees je als en ). Voorbeeld 2.1.4 n 2 even n even. negatie van de implicatie: (p q) is equivalent met p q. Opmerking 2.1.5 De negatie van de implicatie is niet hetzelfde als contrapositie! 2.2 Verzamelingen Een fundamenteel begrip in de wiskunde is verzameling. Het is echter moeilijk dit begrip precies te definiëren. Verzamelingen laten toe alle (wiskundige) objecten met dezelfde kenmerken te groeperen of te verzamelen. Voorbeeld 2.2.1 De verzameling priemgetallen groepeert alle positieve gehele getallen die juist twee verschillende delers bezitten. Een object uit een gegeven verzameling heet een element. We noteren verzamelingen meestal met Latijnse hoofdletters: A, B, C,..., X, Y, Z. Sommige verzamelingen verdienen een speciaal symbool: N = {0, 1, 2,...}: de natuurlijke getallen Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2,...}: de gehele getallen Q = { a a, b Z, b 0}: de rationale getallen b

2.2. VERZAMELINGEN 7 R: de reële getallen C = {a + bi a, b R}: de complexe getallen Een verzameling kan gedefinieerd worden door haar elementen op te sommen tussen accolades. We kunnen ook een algemene beschrijving geven van haar elementen zoals in het voorbeeld van Q. Hierbij moet je het verticale streepje lezen als waarvoor geldt. Soms schrijft men : in plaats van. Het symbool betekent is element van of behoort tot. Meer voorbeelden: R 0 = {x R x 0} R + = {x R x 0} R + 0 = {x R x > 0} M n (R): de verzameling van de n n-matrices over R.. Zo n matrix noteren wij dikwijls als volgt a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn of kortweg als (a ij ). M n (C): de verzameling van de n n-matrices over C.. De lege verzameling bevat geen elementen. Een verzameling met minstens 1 element wordt een niet-lege verzameling genoemd. (x A) korten we af tot x A, x behoort niet tot A.

8 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS 2.3 Kwantoren en negaties Sommige uitspraken of eigenschappen zijn geldig voor alle objecten in een gegeven verzameling. Om dit te noteren gebruiken we de kwantor voor alle :. Voorbeeld 2.3.1 x R : x 2 0. Het dubbelpunt : betekent in een logische uitspraak geldt. Er is ook een kwantor er bestaat indien men wil zeggen dat een eigenschap geldt voor minstens één element in een gegeven verzameling. Voorbeeld 2.3.2 x R : x 2 = x. Soms wil men benadrukken dat er slechts één element bestaat met de gegeven eigenschap. Voorbeeld 2.3.3! x R + 0 : x 2 = x. De volgorde van kwantoren heeft belang! Bijvoorbeeld x R y R + : x 2 = y is waar, terwijl onwaar is. y R + x R : x 2 = y Opmerking 2.3.4 De letters die we gebruiken als variabelen hebben uiteraard geen belang: β R b R + : β 2 = b is dezelfde uitspraak als de eerste, maar anders geschreven.

2.4. DEELVERZAMELINGEN EN GELIJKE VERZAMELINGEN 9 Negaties van uitspraken zijn zeer belangrijk. Denk bijvoorbeeld aan het bewijs door contrapositie. De negatie van x X : p(x) is x X : p(x) en de negatie van x X : p(x) is x X : p(x). Voorbeeld 2.3.5 De negatie van is x X ε R + 0 δ R + 0 : ( x a < δ) ( f(x) f(a) < ε) x X ε R + 0 δ R + 0 : ( x a < δ) ( f(x) f(a) ε) 2.4 Deelverzamelingen en gelijke verzamelingen Indien elk element van een verzameling A ook behoort tot een verzameling B, zeggen we dat A een deelverzameling is van B of dat B de verzameling A omvat. Symbolisch: A B a A : a B Voor A B schrijven we ook B A. We hebben steeds B B en B. Alle andere deelverzamelingen heten echte deelverzamelingen van B. Voorbeelden 2.4.1 {1, 2, 3} N Z Q R C. Z R + Twee verzamelingen A en B zijn gelijk indien ze dezelfde elementen hebben. Dit is het geval als en slechts als (A B) (B A).

10 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS We noteren dit als A = B. Er volgt dat A B indien (A B) (B A), d.w.z. ( a A : a B) ( b B : b A). Dus, in vele bewijzen van de gelijkheid van twee verzamelingen wordt een bewijs gegeven in twee gedeelten. Wij bewijzen nu de volgende gelijkheid van verzamelingen: {r R r 1 0} = {a 2 + 1 a R} Inderdaad, stel A = {r R r 1 0} and B = {a 2 + 1 a R}. Wij tonen eerst aan dat A B. Zij daarom r A. Dus r 1 0. Bijgevolg r 1 = a 2 voor een a R. Er volgt dat r = a 2 + 1 and dus r B. Bijgevolg hebben wij aangetoond dat als r A dan r B, m.a.w. A B. Voor de omgekeerde inclusie, zij b B. Dus b = a 2 + 1 voor een a R. Dan b 1 = a 2 0. Bijgevolg b A. Wij hebben dus aangetoond dat als b B dan b A, m.a.w. B A. De inclusies A B en B A tonen aan dat A = B. Het is ook evident dat {r R r 2 < 0} = en {r R r 2 3r +2 = 0} = {1, 2}. De verzameling van alle deelverzamelingen van een gegeven verzameling X noteren we P(X). Er geldt dus P(X) = {S verzameling S X} 2.5 Bewerkingen met verzamelingen De doorsnede van A en B is de verzameling A B = {x A x B}. Twee verzamelingen A en B heten disjunct indien A B =, d.w.z. ze hebben geen elementen gemeenschappelijk. De unie van A en B is A B = {x (x A) (x B)}.

2.5. BEWERKINGEN MET VERZAMELINGEN 11 Het verschil van A en B is de verzameling A \ B = {x (x A) (x B)}. Voorbeeld 2.5.1 Stel A = {1, 2, 3} en B = {2, 3, 4, 5}. Dan geldt: A B = {2, 3}, A B = {1, 2, 3, 4, 5}, A \ B = {1} en B \ A = {4, 5} Als A B, dan heet B \ A het complement van A t.o.v. B. Soms speelt een wiskundige theorie zich volledig af in een gegeven verzameling U. In dat geval worden alle complementen berekend t.o.v. U (tenzij anders vermeld natuurlijk). Voor A U noteert men dan kort A c, Ā of A voor het complement U \ A. De verzameling U noemt men het universum van de theorie. Zij I een verzameling. Onderstel dat voor elke i I een verzameling A i gegeven is. Zo bekomen we een verzameling A = {A i i I} van verzamelingen geïndexeerd door I. Voorbeeld 2.5.2 Stel I = {3, 4, 5, 6, 7} en A i = {1, 2, 3,..., i}. Dan is A 3 = {1, 2, 3}, A 4 = {1, 2, 3, 4}, enz. Stel J = N 0, B j = [0, 1 ], een j gesloten interval in R. Dan is B 1 = [0, 1], B 2 = [0, 1 ], enz. 2 De doorsnede van alle verzamelingen geïndexeerd door I definiëren we als A = A i = {x i I : x A i } i I en analoog definiëren we de unie A = A i = {x i I : x A i }. i I Voorbeeld 2.5.3 We keren terug naar de vorige voorbeelden. Er geldt: A i = A 7, A i = A 3 i I B j = [0, 1], j J i I B j = {0}. j J

12 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS 2.6 Cartesisch product Zijn A, B twee verzamelingen. Het cartesisch product van A en B is de verzameling {(a, b) a A, b B}. Wij noteren deze als A B De elementen van A B heten koppels. Als (a, b), (c, d) A B dan geldt (a, b) = (c, d) (a = c) (b = d). Als a b geldt (a, b) (b, a). In het algemeen zijn dus A B en B A verschillend. Als A, B U dan geldt A B U U en niet A B U! Als A eindig is (d.w.z. A bevat een eindig aantal elementen) noteren we het aantal elementen in A met A of #A. Als A en B eindig zijn geldt A B = A B. Voorbeelden 2.6.1 Stel A = {2, 3} en B = {4, 5, 6}. Dan A B = {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} en B A = {(4, 2), (4, 3), (5, 2), (5, 3), (6, 2), (63, )}. Stel A = [1, 3] en B = [1, 2]. Dan geldt A B R R = R 2. Het Cartesisch product A A noteren we kort A 2. Op een evidente manier definieert men algemener het Cartesisch product van n verzamelingen A 1,..., A n als volgt A 1 A n = {(a 1, a 2,..., a n ) a 1 A 1 a n A n } Het Cartesisch product A A A van n keer dezelfde verzameling schrijven we A n.

2.7. RELATIES EN FUNCTIES 13 2.7 Relaties en Functies Een relatie van een verzameling A naar een verzameling B is per definitie een deelverzameling R van het cartesisch product A B. Als (a, b) R, schrijven we arb. Voorbeeld 2.7.1 Beschouw de verzameling A = {1, 2, 3, 4} en de relatie is kleiner dan of gelijk aan op A. Dan is: R = {(a, b) A A a b} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} De inverse relatie R 1 van R is per definitie Dit is een relatie van B naar A. R 1 = {(b, a) (a, b) R}. Voorbeeld 2.7.2 Terugkerend naar het vorige voorbeeld geldt: R 1 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (3, 3), (4, 3), (4, 4)}. Zijn A, B verzamelingen. Een functie van A naar B is een relatie van A naar B waarbij elk element van A precies één keer voorkomt als eerste component van een koppel in de relatie. De verzameling A heet het domein van de functie en B is het codomein. Meestal noteren we functies met kleine letters en vermelden we duidelijk domein en codomein. Als f A B een functie is, noteren we f : A B Dus f A B is een functie als aan de volgende eigenschap voldaan is: als (a, b) en (a, b ) f dan b = b. M.a.w., f S T en a A!b B : (a, b) f.

14 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS Voorbeeld 2.7.3 Als A = {1, 2, 3} en B = {a, b, c, d}, dan is f = {(1, a), (2, b), (3, b)} een functie en R = {(1, a), (2, b), (2, a), (3, d)} is een relatie maar geen functie. Het woord afbeelding is een synoniem voor functie. Zij f : A B een functie. Indien (a, b) f noteren we f(a) = b. Het element b B heet beeld van a door f en a heet een origineel van b voor f. We zeggen ook dat f het element a op het element b stuurt, notatie: a b. Merk op dat niet alle elementen van het codomein een origineel hebben, maar elk element van het domein heeft wel een beeld. Voor vele functies bestaat er een formule om het beeld van een willekeurig element van het domein te berekenen. Dit heet het functievoorschrift. De volledige notatie voor een functie wordt dan: f : A B : a f(a) waarbij f(a) het functievoorschrift is. Voorbeelden 2.7.4 f : R R : x x 2 + 5 { 5x als x 0 g : R R : x 2x als x < 0 Een functie wordt dus gedefinieerd door drie gegevens: domein, codomein en functievoorschrift. Deze gegevens zijn alle even belangrijk! Voor een functie f : A B en S A definiëren we het beeld van S door f als f(s) = {f(s) s S} = {b B s S, f(s) = b}

2.7. RELATIES EN FUNCTIES 15 Dus geldt zeker f(s) B. f(a), het beeld van het hele domein van f, noemen we het beeld van f. We noteren dit soms ook Im f. Im f is dus een deel van het codomein. Voorbeeld 2.7.5 Zij f : R R : x x 2. Dan is f([ 1, 2]) = [0, 4] en Im f = R +. Uit dit voorbeeld leren we dat Im f dus in het algemeen niet gelijk is aan het codomein van f. Verwar dus niet beeld en codomein! Nog steeds voor f : A B maar nu T B, definiëren we het invers beeld f 1 (T ) van T onder f als f 1 (T ) = {a A f(a) T }. Merk op dat f 1 (T ) een notatie is en niet impliceert dat er voor f een inverse functie bestaat. Als T een singleton {b} is, schrijven we f 1 (b) i.p.v. f 1 ({b}). Voorbeeld 2.7.6 Met f zoals in het vorige voorbeeld hebben we: f 1 (4) = { 2, 2}, f 1 ( 1) = en f 1 (f([0, 1])) = f 1 ([0, 1]) = [ 1, 1]. In het algemeen geldt: S A : f 1 (f(s)) S en, zoals het voorbeeld toont, niet f 1 (f(s)) = S. We bewijzen dit even. Zij dus f : A B een functie en S A. We moeten bewijzen: Maar dit is equivalent met wat duidelijk voldaan is. s S : s f 1 (f(s)). s S : f(s) f(s) = {f(t) t S},

16 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS 2.8 Geïnduceerde functies, restrictie en corestrictie Als een functie f : A B gegeven is, kan je gemakkelijk een functie van A A naar B B definiëren. We beelden (a, a ) gewoon af op (f(a), f(a )). Algemeen kan je functies A n B n maken voor alle machten n. Je kan ook een functie maken op de delenverzameling P(A) van A. Door P(A) P(B): S f(s). We noteren al deze functies afgeleid uit f meestal nog altijd met f en noemen ze de functies door f geïnduceerd op A A (of op A n of op P(A)). We kunnen ook beslissen om de functie f : A B te bekijken op een deelverzameling X van A. Dan spreken we van de restrictie of beperking van f tot X. We noteren deze functie met f X. Er geldt dus f X : X B : x f(x) We kunnen ook het codomein van de functie f beperken. Zij Y B zo dat a A: f(a) Y. Dan is de corestrictie van f tot Y de functie f Y : A Y : x f(x) We kunnen natuurlijk ook domein en codomein tegelijk beperken zodat we een functie f Y X : X Y bekomen met voor elke x X : f Y X (x) = f(x). 2.9 Injecties en surjecties Definitie 2.9.1 Een functie f : A B heet injectief indien elk element van B hoogstens één keer voorkomt als tweede component van een koppel in f. Anders gezegd: elk element van B heeft hoogstens n origineel. Nog anders gezegd: indien twee elementen van A hetzelfde beeld hebben,

2.9. INJECTIES EN SURJECTIES 17 moeten ze gelijk zijn. In symbolen: f : A B is injectief als en slechts als a, b A : (f(a) = f(b)) (a = b). Voorbeeld 2.9.2 f : R R : x x 2 is niet injectief. Immers 1 2 = ( 1) 2 maar 1 1. Anderzijds is g : R + R : x x 2 wel injectief want a 2 = b 2 a = ±b, maar aangezien a, b R + geldt a = b. We zien dat we een functie injectief kunnen maken door punten uit het domein weg te laten. De functie g uit het voorbeeld is gewoon de restrictie van f tot R +, of f R +. Definitie 2.9.3 Een functie f : A B is surjectief indien Im f = B. Anders gezegd: elk element van het codomein heeft minstens één origineel. Symbolisch: b B : a A : f(a) = b. Voorbeeld 2.9.4 g : R + R : x x 2 is niet surjectief. De corestrictie g R+ is dat wel. Door het codomein te beperken kan je een functie dus surjectief maken. Een functie die tegelijk surjectief en injectief is, heet bijectief. Een functie is bijectief als en slechts als b B :! a A : f(a) = b. Voorbeeld 2.9.5 h : R + R + : x x 2 is bijectief.

18 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS Een bijectie van een verzameling naar zichzelf heet een permutatie. Een zeer belangrijke permutatie is de identieke permutatie of de identiteit. Deze beeldt elk element af op zichzelf. We noteren de identieke permutatie van een verzameling X als 1 X. Er geldt dus x X : 1 X (x) = x of 1 X : X X : x x Andere notaties voor de identieke permutatie op X zijn i X, Id X of id X. 2.10 De samenstelling van functies en Inverse functies Beschouw twee functies f : A B en g : B C, waarbij het domein van g het codomein van f is. Dan kunnen we op elk beeld f(a) de functie g toepassen. Zo definiëren we een nieuwe functie van A naar C die we g f noteren (lees g na f omdat we eerst f toepassen en dan g). Dus: g f : A C : a g(f(a)). Voorbeeld. Stel f : R R : x x 1 en g : R R : x x 2. Dan zijn: g f : R R : x g(x 1) = (x 1) 2 f g : R R : x x 2 1 f f : R R : x x 2 g g : R R : x x 4 We merken op dat f g g f, dus de volgorde heeft belang. Eigenschap 2.10.1 De samenstelling van functies is associatief: voor elke drie functies A f B g C h D geldt h (g f) = (h g) f

2.10. DE SAMENSTELLING VAN FUNCTIES EN INVERSE FUNCTIES19 Bewijs. Domeinen en codomeinen zijn duidelijk gelijk. Zij a A, dan (h (g f))(a) = h((g f)(a)) = h(g(f(a))) = (h g)(f(a)) = ((h g) f)(a). Als gevolg van vorige eigenschap noteren wij h (g f) eenvoudig als h g f. Definitie: Zij f : A B een functie. Indien een functie g : B A voldoet aan f g = 1 B en g f = 1 A dan heet g een invers voor f. We zeggen dan ook dat f inverteerbaar is. Niet alle functies hebben een invers. Een inverse g van f : A B moet een functie zijn van B naar A. Dus moet voor elke b B precies één beeld g(b) A voorzien worden. Bovendien moet gelden (f g)(b) = 1 B (b) = b. Bijgevolg moet g(b) f 1 (b). Opdat g : B A een functie zou zijn is dus nodig dat b B : f 1 (b). Dit komt erop neer dat f surjectief moet zijn. Als f : A B surjectief is, zouden we als volgt een inverse g : B A kunnen construeren: voor elke b B kiezen we een beeld g(b) in f 1 (b). Maar is zulke g dan een invers van f? De voorwaarde g f = 1 A dwingt de injectiviteit van f. Inderdaad: als f niet injectief is, bestaan er a a A met f(a) = f(a ). Stel b = f(a), dan geldt a, a f 1 (b). Kiezen we dan als beeld van b door g het element a, dan hebben we g(b) = g(f(a)) = (g f)(a) = 1 A (a) = a, maar ook g(b) = g(f(a )) = (g f)(a ) = 1 A (a ) = a. Dus a = a, wat in tegenspraak is met a a. Als f een bijectie is, is b B : f 1 (b) een singleton. Er is dus geen keuze voor het construeren van de inverse g. De functie g : B A is dan wel degelijk een inverse van f. We hebben bewezen:

20 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS Stelling 2.10.2 Enkel bijectieve functies hebben een invers. Eigenschap 2.10.3 Een functie heeft hoogstens één invers. Bewijs. Zij f : A B en zijn g : B A en g : B A twee inversen. Dan geldt, b B: g(b) = g(1 B (b)) = g((f g )(b)) = (g f g )(b) = (g f)(g (b)) = 1 A (g (b)) = g (b). Vermits de domeinen en codomeinen van g en g gelijk zijn, hebben we g = g. Nu we weten dat elke inverteerbare functie juist één invers heeft, kunnen we spreken over het invers van een functie f in plaats van over een invers. We noteren de inverse functie f 1 Verwar dit niet met inverse beelden die voor alle functies gedefinieerd zijn, niet enkel voor bijecties. Voorbeeld 2.10.4 h : R + R + : x x 2 is een bijectie. Haar inverse kennen we goed. Het is h 1 : R + R + : x x. Zij X een verzameling en Sym(X) de verzameling van alle bijecties f van X naar X (men noemt f ook een permutatie op X). Eigenschap 2.10.5 Zij X een verzameling. De volgende eigenschappen zijn voldaan: 1. voor alle f, g Sym(X): f g Sym(X).

2.11. ENKELE WELBEKENDE RESULTATEN UIT GETALTHEORIE21 2. Sym(X) Sym(X) SymX : (f, g) f g is een functie. 3. voor alle f, g, h Sym(X): f (g h) = (f g) h. 4. 1 X Sym(X) en voor alle f Sym(X): f 1 X = f = 1 X f. 5. voor alle f Sym(X) bestaat g Sym(X) zodat f g = 1 X = g f. Er volgt dat g = f 1. Dan is (Sym(X), ) een groep (zie volgend hoofdstuk voor de definitie) met als neutraal element 1 X. Men noemt dit de symmetrische groep op de verzameling X (of de permutatiegroep op X) 2.11 Enkele welbekende resultaten uit getaltheorie Vooreerst is het welbekend dat elke niet-lege verzameling van natuurlijke getallen een kleinste natuurlijk getal bevat. Dus Als X N dan x X y X : x y. Als a, b Z dan noteren wij met a b het feit dat er een c Z bestaat zodat ac = b. Men zegt a is een deler van b, of b is een veelvoud van a. Een priemgetal p is een geheel getal p 2 zodat als a p met a Z en a 0 dan a = 1 of a = p. Een belangrijke stelling zegt dat elk geheel getal a 2 het product is van priemgetallen en dit op een unieke manier, in de volgende zin. Veronderstel dat a = p 1 p n en a = q 1 q m, waarbij alle p i s en q j s priemgetallen zijn. Dan n = m en de q j s kunnen geherindexeerd worden zodat q i = p i voor alle i met 1 i n.

22 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS Als toepassing kan men dan bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Een andere belangrijke eigenschap is het delingsalgoritme. Zij a en b gehele getallen met a > 0. Dan bestaan er unieke gehele getallen q en r zodat b = qa + r met 0 r < a. Wij vermelden ook een formulering van wiskundige inductie. S(n) een verklaring voor elke n N 0. Veronderstel dat Zij 1. S(1) waar is en 2. als S(n) waar is dan is S(n + 1) waar. Er volgt dat S(n) waar is voor elke n N 0. Wiskundige inductie is dikwijls een handige manier om allerlei resultaten te bewijzen. Zo kan men bijvoorbeeld de binomiaalontbinding op deze manier bewijzen. Voor alle complexe getallen a en b en voor alle niet-nul natuurlijke getallen geldt dat (a + b) n = n i=0 Het getal n! i! (n i)! noteert men als ( n i n! i! (n i)! ai b n i. en men leest dit als n kies i en men noemt dit een binimiaalcoëfficiënt. Dus n ( ) n (a + b) n = a i b n i. i i=0 ), Het is welbekend dat (n ) = 1 en 0 ( ) n = 1 n en, voor i 1, ( ) ( ) n + 1 n = + i i 1 ( ) n. i

Hoofdstuk 3 Groepen 3.1 Definitie In de volgende definitie geven wij de essentie van wat wij een product noemen. In voorbeelden kan zo n product een optelling zijn, soms een vermenigvuldiging, soms een samenstelling van functies, er zijn vele mogelijkheden. Definitie 3.1.1 Zij S een niet-lege verzameling en : S S S een functie (wij noemen dit ook een binaire bewerking op S, of eenvoudig een bewerking op S ). Voor s, t S noteren wij het beeld (s, t) door s t. Als voldoet aan de volgende eigenschap: voor alle s 1, s 2, s 3 S : s 1 (s 2 s 3 ) = (s 1 s 2 ) s 3 (associativiteit) dan noemen wij (S, ) een semigroep (als de bewerking duidelijk is uit de context dan noteren wij deze semigroep eenvoudig door S). Wij noteren s 1 (s 2 s 3 ) dan eenvoudig als s 1 s 2 s 3. Als er bovendien een element e S bestaat zodat voor alle s S : e s = s e = s 23

24 HOOFDSTUK 3. GROEPEN dan noemen wij (S, ) een monoïde. Men noemt e het éénheidselement (of neutraal element). Soms noteren wij deze informatie ook als (S,, e). Indien (S, ) een monoïde is met éénheidselement e dan noemen wij dit een groep als bovendien voldaan is aan de volgende voorwaarde: voor alle s S bestaat een h S zodat s h = h s = e. Een abelse semigroep (respectievelijk, monoïde of groep) is een semigroep (S, ) (respectievelijk, monoïde of groep) zodat s t = t s voor alle s, t S. (Dikwijls gebruikt men het woord commutatief in plaats van abels.) Net zoals voor de vermenigvuldiging van getallen zullen wij dikwijls de bewerking niet schrijven (vooral als de bewerking duidelijk is uit de context). Dus a b schrijft men dan eenvoudig als ab. Abelse groepen zijn genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Hendrik Abel (1802-1829). Hij was o.a. geinteresseerd in de oplosbaarheid van polynoomvergelijkingen. In 1928 bewijs hij het volgende. Als de wortels van zo n vergelijking kunnen uitgedrukt worden als rationale functies f, g,..., h in een van de wortels, zeg x, en als voor elke twee wortels, f(x) and g(x), geldt dat f(g(x)) = g(f(x)), dan is de vergelijking oplosbaar door radikalen. Abel toonde aan dat deze functies een permutatie geven van de wortels van de vergelijking; dus deze functies zijn elementen van de groep van permutaties van de wortels. Het was die commutativiteitseigenschap in deze permutatiegroep die geleid heeft tot de terminologie abelse groep. Later kan je dit alles in detail bestuderen in de cursus Galois Theorie. 3.2 Voorbeelden (1) De verzameling van de natuurlijke getallen N voorzien van de optelling is een commutatieve monoïde met neutraal element 0. Het is echter geen groep. Abel (1802-1829)

3.2. VOORBEELDEN 25 (2) Zij Q 0 de verzameling van niet-nul elementen van Q, d.w.z. de niet-nul rationale getallen. Als de gewone vermenigvuldiging is, dan is (Q 0, ) een abelse groep met neutraal element 1. (3) Zij C = {a + bi a, b R} de verzameling van de complexe getallen. Dan is (C, +) een abelse groep met als bewerking de optelling: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, waarbij a, b, c, d R. Dus (C, +) is een abelse groep. (4) Het vlak R 2 is abelse groep voor de optelling van vectoren, d.w.z. (a, b) + (a, b ) = (a + a, b + b ). Meer algemeen is een vectorruimte V een abelse groep voor de optelling van vectoren. (5) Ook is de verzameling C 0 van alle niet-nul complexe getallen, voorzien van de gewone vermenigvuldiging als bewerking, een abelse groep. Herinner dat, voor a, b, c, d R, (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i, en als 0 a + bi C dan is ( ) a (a + bi) a 2 + b b 2 a 2 + b i = 1, 2 dus in de groep (C 0, ), (a + bi) 1 = a a 2 + b b 2 a 2 + b i. 2 De complex toegevoegde van z = a + bi (met a, b R) is en de modulus van z is z = a bi z = a + bi = a 2 + b 2.

26 HOOFDSTUK 3. GROEPEN Dus als z 0 (of equivalent z 0) dan z 1 = z 2 z. (6) De verzameling {1, 1} voorzien van de vermenigvuldiging is een abelse groep, ({1, 1}, ). (7) Zij Afb(X) de verzameling van alle functies met domein en doel de verzameling X. Dus Afb(X) = {f f : X X}. Dan is (de samenstelling van functies) een binaire bewerking op Afb(X): Afb(X) Afb(X) Afb(X) : (f, g) f g. Bovendien is (Afb(X), ) een monoïde met als neutraal element 1 X, de identieke functie op X (dus 1 X (x) = x voor alle x X). Als X meer dan één element bevat dan is (Afb(X), ) geen groep. In dit geval zij x, y X met x y. Zij dan c x : X X : a x, de constante functie op x. Dan is c x geen bijectie en er bestaat dus geen functie g Afb(X) zodat c x g = 1 X = g c x. (8) Zij X een verzameling. Wegens Eigenschap 2.10.5 is (Sym(X), ) een groep. Men noemt dit de symmetrische groep op de verzameling X (of de permutatiegroep op X). Het neutraal element is 1 X. (9) Zij s een spiegeling van het vlak R 2 dan is ({1, s}, ) een abelse groep. (10) Beschouw een rotatie R om de oorsprong in het reële vlak R 2. Dan is ({R n n Z}, ) een abelse groep. (11) Zij X een verzameling. De Boolse groep

3.3. RINGEN EN MEER VOORBEELDEN 27 (P(X), +) bestaat uit de verzameling P(X) waarvan de elementen alle deelverzamelingen van X zijn dus P(X) = {Y Y is een deelverzameling van X}, en de bewerking het symmetrisch verschil, genoteerd +. Voor A, B P(X) is per definitie: A + B = (A \ B) (B \ A). Boole 1815-1864 Het neutraal element is de lege verzameling. Merk op dat A + A =. Dus A 1 = A. 3.3 Ringen en meer voorbeelden Om nog meer voorbeelden van groepen te behandelen, geven wij nu de definitie van een ring. Definitie 3.3.1 Zij R een verzameling met twee bewerkingen + en die voldoen aan de volgende eigenschappen: 1. (R, +) is een abelse groep (het neutraal element noteert men meestal 0 en men noemt dit het nulelement van R), 2. (R, ) is een monoïde, 3. voor alle a, b, c R: en (de distributiviteitswetten). a (b + c) = (a b) + (a c) (b + c) a = (b a) + (c a) Dan noemt men (R, +, ) een ring. Indien bovendien (R \ {0}, ) een abelse groep is, dan noemt men R een lichaam (of een veld). Het neutraal element van (R, ) noemt men het éénheidselement van de ring en noteert men meestal als 1.

28 HOOFDSTUK 3. GROEPEN Wij geven enkele voorbeelden. (1) Duidelijk zijn (Q, +, ), (R, +, ) en (C, +, ) lichamen, en is (Z, +, ) een commutatieve ring (d.w.z. een ring met (Z, ) een abelse monoïde) die geen lichaam is. (2) Als R een ring is dan noteren wij met M n (R) de verzameling van alle n n-matrices over R. Een n n-matrix met op de (i, j)-de plaats het element r ij noteren wij meestal als volgt (r ij ) De som en product van matrices werd in lineaire algebra als volgt gedefiniëerd: (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) en met (a ij ) (b ij ) = (c ij ) c ij = n a ik b kj. k=1 Er volgt dat (M n (R), +, ) een ring is met als éénheidselement I n, de identiteitsmatrix. Zij F een lichaam. De determinant van een matrix A M n (F ) noteren wij met det(a). De verzameling van alle matrices A M n (F ) met det(a) 0 noteert men als GL n (F ). Met SL n (F ) noteert men de verzameling van alle A M n (F ) met det(a) = 1. Er volgt dat (M n (F ), ) een monoïde is en dat beide en (GL n (F ), ) (SL n (F ), ) groepen zijn (men noemt deze, respectievelijk, de lineaire groep van graad n over F en de speciaal lineaire groep van graad n over F ). Beiden hebben als neutraal element I n. (3) Als R een ring is dan noteren wij U(R) = {a R er bestaat b R zodat ab = ba = 1}

3.3. RINGEN EN MEER VOORBEELDEN 29 Er volgt dat (U(R), ) een groep is. Men noemt dit de groep van de inverteerbare elementen van R. Zo is bijvoorbeeld voor een lichaam F. U(M n (F )) = GL n (F ), (4) Men noemt een inverteerbare matrix A M n (R) stochastisch als elk van zijn kolomsommen gelijk is aan 1. D.w.z., als A = (a ij ), dan n a ij = 1, voor elke j met 1 j n. i=1 De verzameling van alle zulke stochastische matrices noteren wij als (n, R). Deze verzameling voorzien van de vermenigvuldiging van matrices is een groep. Men noemt dit de stochastische groep van graad n. (5) Zij a, b R met a 0 en zij f a,b : R R de functie gedefiniëerd als volgt: f(x) = ax + b. De affiene groep GA(1, R) is de verzameling van alle zulke functies, dus GA(1, R) = {f a,b a, b R, a 0}. De bewerking is de samenstelling van functies. Merk op dat f a,b f c,d = f ac,ad+b. (6) Ook is de verzameling {[ ] a b A = 0 1 } a, b R, a 0

30 HOOFDSTUK 3. GROEPEN een groep voor de matrixvermenigvuldiging. Bovendien is de functie [ ] a b ψ : GA(1, R) A : f a,b 0 1 een bijectie zodat ψ(f a,b f c,d ) = ψ(f a,b )ψ(f c,d ). (7) Zij Q = [ 1 0 1 1 ]. Definiëer dan Dit is een bijectie die voldoet aan ϕ : (2, R) A : A QAQ 1. ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). (8) Herinner dat elk complex getal z = a + bi (met a, b R) kan geschreven worden als z = r (cos θ + i sin θ), met θ R en θ [0, 2π) en r = z. Men noemt θ het argument van z. De getallen r en θ noemt men de poolcoördinaten van z. Merk op dat cos θ = a a2 + b 2 en sin θ = b a2 + b 2. Wij gebruiken ook dikwijls de volgende notatie: e iθ = cos θ + i sin θ. Indien r > 0 dan bestaat er een getal y R zodat r = e y. Dus schrijft men ook e y+iθ = e y (cos θ + i sin θ).

3.3. RINGEN EN MEER VOORBEELDEN 31 Met deze notatie verkrijgt men de volgende welbekende formules eenvoudig herschrijven (α, β R): als sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β e i(α+β) = e iα e iβ. Een bewijs door inductie geeft dan, voor n N en α R: of dus e inα = ( e iα) n, cos nα + i sin nα = (cos α + i sin α) n, de formule van De Moivre (1667-1754). Zij n een niet-nul natuurlijk getal en zij ξ n = e 2πi/n = cos (2π/n) + i sin (2π/n). Merk op dat e 2kπi/n e 2lπi/n = e 2(k+l)πi/n, voor alle k, l Z, en (ξ n ) n = 1, men zegt dat ξ n een n-de (complexe) éénheidswortel is. Zij E n = {e 2kπi/n k N, 1 k n} = {ξn k k N, 1 k n}, de verzameling van alle complexe n-de éénheidswortels. Dan E n = {e 2kπi/n k N, 1 k n} = {e 2kπi/n k Z} Er volgt dat (E n, ) een abelse groep is. (10) Nemen wij nu in het vorige n = 5 en zij { [ ] k ξ5 0 A = 0 ξ5 1 k Z}.

32 HOOFDSTUK 3. GROEPEN Dan is (A, ) een abelse groep met vijf elementen. Zij [ ] [ ξ5 0 0 1 a = 0 ξ5 1 en b = 1 0 ] Zij B = {1, b}. Dan is (B, ) een abelse groep met twee elementen en B = {b k k Z}. Zij D 10 = {a k, a k b 1 k 5} Dan is (D 10, ) een groep met 10 elementen en a 5 = 1, b 2 = 1 en ba = a 1 b. Uiteraard kunnen wij voor elke n een analoge groep (van matrices) construëren. Wij krijgen dus met D 2n = {a k, a k b k N, 1 k n} GL 2 (C) a n = 1, b 2 = 1, ba = a 1 b. Men noemt dit de diëdergroep van orde 2n. (11) Beschouw de Euclidische ruimte R 2. Zij I(R 2 ) de aftandsbewarende bijecties (isometrieën), d.w.z. f : R 2 R 2 behoort tot I(R 2 ) als f(a, b) f(c, d) = (a, b) (c, d). Herinner dat (a, b) = a 2 + b 2. Zulke functies behoren uiteraard tot Sym(R 2 ). Dus: (I(R 2 ), ) is een groep bevat in Sym(R 2 ). Voorbeelden van functies die tot deze groep behoren zijn de rotaties, reflecties en translaties. Zij nu een Ω een figuur in het reële vlak (bijvoorbeeld een driehoek of een vierkant). Dan noteert men met Σ(Ω) de symmetriegroep in het reële vlak van de figuur Ω, d.w.z Σ(Ω) is de verzameling van alle f I(R 2 ) zodat f(ω) = Ω.

3.3. RINGEN EN MEER VOORBEELDEN 33 Duidelijk is Σ(Ω) een groep bevat in I(R 2 ). Nemen wij nu voor Ω een vierkant (met zijden van lengte 1, en met de oorsprong als doorsnede van de diagonalen), dan permuteert elk element van Σ(Ω) de hoekpunten {v 1, v 2, v 3, v 4 } van Ω en bovendien is een element van Σ(Ω) bepaald door de beelden van de hoekpunten. Dus zijn er ten hoogste 24 mogelijkheden voor elementen van Σ(Ω). Doch niet elke permutatie van de hoekpunten is afkomstig van een element in Σ(Ω). Inderdaad als v i v j = 1 dan moeten ook de beeldpunten van v i en v j op een afstand 1 van elkaar liggen. Dit levert dan nog 8 mogelijkheden en Σ(Ω) = {1, R, R 2, R 3, s 1, s 2, s 3, s 4 } met R een rotatie over 90 graden en elke s i een reflectie. reflectie over één van de diagonalen is dan volgt er Als s 1 de Σ(Ω) = {1, R, R 2, R 3, s 1, Rs 1, R 2 s 1, R 3 s 1 } en deze elementen voldoen aan de volgende relaties: R 4 = 1, s 2 1 = 1, s 1 R = R 3 s 1. Dus (op benaming van de elementen na) is deze groep precies de diëdergroep D 8 van orde 8. Algemener is D 2n de symmetriegroep van een reguliere n-gon met centrum in de oorsprong. Om het volgende voorbeeld van een abelse groep te construëren herhalen wij even het begrip relatie. Definitie 3.3.2 Zij R een relatie op een verzameling X (dus R is een deelverzameling van X X). Voor x, y X, noteren wij (x, y) R ook als xry. Men noemt R een equivalentierelatie als de volgende voorwaarden voldaan zijn, voor alle x, y, z X: 1. xrx (reflexiviteit), 2. als xry dan yrx (symmetrie),

34 HOOFDSTUK 3. GROEPEN 3. als xry en yrz dan xrz (transitiviteit). Voor x X noteren wij [x] R = {y X xry}, de equivalentieklasse van x. (In de cursus lineaire algebra noteert men [x] R als E x.) De verzameling van alle equivalentieklassen noteren wij X/R. Dus X/R = {[x] R x X}. Merk op dat de equivalentieklassen van R (op een niet-lege verzameling X) een partitie vormen van X, d.w.z., 1. elke [x] R, 2. x X [x] R = X, 3. als [x] R [y] R dan [x] R = [y] R. Zij n een geheel getal groter dan 1. Op de verzameling Z definiëren wij een equivalentierelatie n, de congruentierelatie modulo n. Wij doen dit als volgt: x n y als en slechts als n (x y). De notatie n (x y) wil zeggen dat n een deler is (in Z) van x y. D.w.z., er bestaat een m Z zodat nm = x y. De equivalentieklasse van x noteren wij als [x] n, of ook als [x]. De verzameling van de equivalentieklassen Z/ n noteren wij als Z n. Wij willen nu op deze verzameling twee bewerkingen + en definiëren. Maar om na te gaan dat deze bewerkingen inderdaad functies zijn (men zegt dikwijls goed gedefinieerd zijn) moet men eerst het volgende lemma bewijzen. Lemma 3.3.3 Zij a 1, a 2, b 1, b 2 Z. Als dan en [a 1 ] n = [a 2 ] n en [b 1 ] n = [b 2 ] n [a 1 + b 1 ] n = [a 2 + b 2 ] n [a 1 b 1 ] n = [a 2 b 2 ] n.

3.4. VERMENIGVULDIGINGSTABEL 35 Bewijs. Omdat [a 1 ] n = [a 2 ] n en [b 1 ] n = [b 2 ] n bestaan er r, s Z zodat a 1 a 2 = rn en b 1 b 2 = sn. Dus (a 1 + b 1 ) (a 2 + b 2 ) = (a 1 a 2 ) + (b 1 b 2 ) = (r + s)n. Bijgevolg n ((a 1 + b 1 ) (a 2 + b 2 )) en daarom [a 1 + b 1 ] n = [a 2 + b 2 ] n. Analoog bewijst men het tweede gedeelte. Men definiëert nu als volgt twee bewerkingen op Z n : + : Z n Z n Z n : ([a] n, [b] n ) [a] n + [b] n = [a + b] n en : Z n Z n Z n : ([a] n, [b] n ) [a] n [b] n = [ab] n. Eigenschap 3.3.4 Zij n een geheel getal groter dan 1. Dan is (Z n, +, ) een commutatieve ring met nulement [0] n en éénheidselement [1] n. 3.4 Vermenigvuldigingstabel Men noemt een groep G eindig als de verzameling G eindig veel elementen bevat. Het aantal elementen in de verzameling G noteert men als G (men noemt dit ook de orde van de groep). Voor eindige groepen stelt men de bewerking dikwijls voor in een tabel, die men de Cayleytabel (of vermenigvuldigingstabel) noemt. Zij (G, ) een eindige groep en zij g 1,..., g n een lijst (zonder herhalingen) van al de elementen van G. Een vermenigvuldigingstabel van G is een tabel als volgt Cayley (1821-1895)

36 HOOFDSTUK 3. GROEPEN g 1 g 2 g j g n g 1 g 1 g 1 g 1 g 2 g 1 g j g 1 g n g 2 g 2 g 1 g 2 g 2 g 2 g j g 2 g n..... g i g i g 1 g i g 2 g i g j g i g n..... g n g n g 1 g n g 2 g n g j g n g n De Cayleytabel van (Z 3, +) is + [0] 3 [1] 3 [2] 3 [0] 3 [0] 3 [1] 3 [2] 3 [1] 3 [1] 3 [2] 3 [0] 3 [2] 3 [2] 3 [0] 3 [1] 3 De viergroep van Klein is de groep G = {e, a, b, c} met de bewerking gedefiniëerd via de volgende Cayleytabel. e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Vervolgens geven wij de Cayleytabel van de diëdergroep D 6 van orde 6 e a a 2 b ab a 2 b e e a a 2 b ab a 2 b a a a 2 e ab a 2 b b a 2 a 2 e a a 2 b b ab b b a 2 b ab e a 2 a ab ab b a 2 b a e a 2 a 2 b a 2 b ab b a 2 a e Klein (1849-1925)

3.5. ELEMENTAIRE EIGENSCHAPPEN 37 3.5 Elementaire Eigenschappen In deze sectie bewijzen wij enkele belangrijke eigenschappen van groepen. Eigenschap 3.5.1 Zij G een groep. Dan gelden de volgende eigenschappen: 1. G bevat slechts één neutraal element. Wij noteren dit element meestal e of e G. 2. Voor een element g G bestaat slechts één element h G zodat gh = hg = e. Men noemt h het inverse element van g en noteert dit element g 1. 3. als g, h G dan (gh) 1 = h 1 g 1. 4. als g G dan (g 1 ) 1 = g. 5. Voor g 1, g 2, h G: als g 1 h = g 2 h of hg 1 = hg 2 dan g 1 = g 2, de vereenvoudigingswetten. Bewijs. Bewijs van (1). Veronderstel dat e en f twee neutrale elementen zijn. Dus voor alle g G, eg = g = ge en fg = g = gf. Bijgevolg, als wij de eerste vergelijking toepassen met g = f dan ef = f en uit de tweede vergelijking (met g = e) volgt ef = e. Dus e = f. Bewijs van (2). Zij g G en zij h 1, h 2 G zodat gh 1 = gh 2 = e en h 1 g = h 2 g = e. Dan en Dus h 1 = h 2. h 2 (gh 1 ) = h 2 e = h 2 h 2 (gh 1 ) = (h 2 g)h 1 = eh 1 = h 1.

38 HOOFDSTUK 3. GROEPEN Bewijs van (3). (gh)(h 1 g 1 ) = = g ( h(h 1 g 1 ) ) g ( (hh 1 )g 1) = g(eg 1 ) = gg 1 = e Analoog bewijst men (h 1 g 1 )(gh) = e. Dus (gh) 1 = h 1 g 1. Bewijs van (4). Omdat (g 1 ) ((g 1 )) 1 = e = ((g 1 )) 1 (g 1 ) en g 1 g = e = gg 1 volgt er wegens (2) dat (g 1 ) 1 = g. Bewijs van (5). Veronderstel g 1 h = g 2 h, dan (g 1 h)h 1 = (g 2 h)h 1. Wegens de associativiteit volgt er dan g 1 = g 1 e G = g 1 (hh 1 ) = (g 1 h)h 1 = (g 2 h)h 1 = g 2 (hh 1 ) = g 2 e G = g 2. Eigenschap 3.5.2 (Veralgemeende associativiteit) Zij S een semigroep. Als s 1,..., s n S dan is het element s 1 s 2 s n uniek bepaald in S (d.w.z. dit element is onafhankelijk van de plaatsing van de haakjes). Bewijs. Wij bewijzen dit door inductie. De basisstap is n = 3, en deze geldt wegens de associativiteit. Veronderstel nu dat het resultaat geldt voor producten van minder dan n factoren. Beschouw nu het product s 1 s 2 s n op twee verschillende manieren (s 1 s i )(s i+1 s n ) en (s 1 s j )(s j+1 s n ) (wij mogen veronderstellen dat i j). Elk van de vermelde producten tussen haakjes kan zelf veel haakjes bevatten, maar wegens de inductiehypothese zijn deze haakjes niet nodig. Als i = j dan zijn beide

3.5. ELEMENTAIRE EIGENSCHAPPEN 39 producten dezelfde. Veronderstel dus dat i < j. Weer wegens de inductiehypothese mogen wij de eerste uitdrukking herschrijven als en de tweede uitdrukking als (s 1 s i )([s i+1 s j ][s j+1 s n ]) ([s 1 s i ][s i+1 s j ])(s j+1 s n ). Elk van de uitdrukkingen x = s 1 s i, y = s i+1 s j en z = s j+1 s n is onafhankelijk van haakjes. De eerste uitdrukking is nu van de vorm x(yz) en de tweede (xy)z. Wegens de associativiteit zijn deze dezelfde. Wegens de veralgemeende associativiteit kunnen wij nu machten definiëren in een semigroep. Definitie 3.5.3 Zij S een semigroep. Als s S en 0 n N, dan definiëert men de n-de macht van s inductief als volgt: s 1 = s en s n+1 = s n s. Indien S een monoïde is met neutraal element e, dan is s 0 = e. Weer wegens de veralgemeende associativiteit is de volgende eigenschap duidelijk. Eigenschap 3.5.4 Zij S een semigroep. Als s S en m, n N 0 dan s n+m = s n s m en (s n ) m = s nm. In een groep kunnen wij ook negatieve machten definiëren. Definitie 3.5.5 Zij G een groep. Als g G en n N, dan g n = (g 1 ) n.

40 HOOFDSTUK 3. GROEPEN Eigenschap 3.5.6 Zij G een groep en g G. Als n, m Z dan g n+m = g n g m, (g n ) m = g nm en (g 1 ) n = (g n ) 1. Als g en h twee commuterende elementen zijn van G (d.w.z. gh = hg) dan (gh) n = g n h n. Bewijs. Veronderstel eerst dat g en h commuteren. Voor n N, bewijs door inductie dat hg n = g n h en ook (gh) n = g n h n. Merk op dat ook g 1 en h 1 commuteren. Als n negatief is, dan is n 0 en dus (gh) n = ( (gh) 1) n = ( h 1 g 1) n = ( g 1 h 1) n = ( g 1) n ( h 1 ) n = g n h n Dus is het laatste gedeelte van de eigenschap bewezen. Het eerste gedeelte van de eigenschap is reeds gekend voor n, m 0. De andere gevallen laten wij als oefening. De notatie s n, met n positief, ontstaat door de bewerking s t multiplicatief st te schrijven, inderdaad s n = ss s (er zijn n factoren). Wanneer de bewerking de optelling + is dan betekent dit s + s + + s, en dan zou dit beter geschreven worden als sn. Deze notatie gaan we slechts gebruiken wanneer wij met abelse (semi)groepen werken. Eigenschap 3.5.6 wordt dan (n + m)g = ng + mg, m(ng) = (mn)g en n(g + h) = ng + nh. 3.6 De orde van een element Definitie 3.6.1 Zij G een groep en g G. De orde van het element g is het kleinste niet-nul natuurlijk getal n zodat g n = e. Als er zo geen natuurlijk getal bestaat dan zegt men dat g oneindige orde heeft. De orde van g noteert men als o(g).

3.6. DE ORDE VAN EEN ELEMENT 41 Merk op dat als g G eindige orde n heeft dan g 1 = g n 1. Eigenschap 3.6.2 In een eindige groep heeft elk element eindige orde. Bewijs. Zij g G en beschouw de deelverzameling {e, g, g 2,..., g n, } = {g n n N}. Omdat G een eindige verzameling is moet er herhaling in de lijst voorkomen. Dus bestaan m > n zodat g m = g n. Bijgevolg g m n = g m g n = e. Er bestaat dus een niet nul natuurlijk getal k zodat g k = e, bijgevolg heeft g eindige orde. Duidelijk heeft het neutraal element van een groep steeds orde 1. In een oneindige groep kunnen ( er) elementen bestaan van eindige orde. 0 1 Bijvoorbeeld het element GL 1 0 2 (R) heeft orde 2 en duidelijk is GL 2 (R) een oneindige groep. n, m Z. Veron- Eigenschap 3.6.3 Zij G een groep en g G. Zij derstel dat g eindige orde k heeft. Dan 1. g n = g m als en slechts als k (n m). 2. g n = e als en slechts als k n. Bewijs. Veronderstel o(g) = k <. Zij n Z en schrijf n = qk + r met q, r Z en 0 r < k. Dan g n = e als en slechts als g n = g qk g r = (g k ) q g r = e, of equivalent, g r = e. Omdat r < k, verkrijgen wij aldus g n = e als en slechts als r = 0, d.w.z. k n. Dit bewijst (2). (1) volgt nu eenvoudig omdat g n = g m als en slechts als g n m = g n (g m ) 1 = e. Definitie 3.6.4 Een groep G is cyclisch als er een g G bestaat zodat G = {g n n Z}. Men noemt g een voortbrenger van G.

42 HOOFDSTUK 3. GROEPEN Merk op dat een cyclische groep abels is. De groep (Z, +) is cyclisch met voortbrenger 1. Merk op dat ook 1 een voortbrenger is. De groep E n bestaande uit de complexe n-de éénheidswortels is cyclisch met voortbrenger e 2πi/n. Er zijn echter nog andere mogelijke voortbrengers, namelijk alle elementen van de vorm e 2πki/n, met 1 < k < n en (k, n) = 1. Eigenschap 3.6.5 Zij G een groep. Dan: 1. Zij G een eindige groep van orde n. Dan, G is cyclisch als en slechts als G een element g van orde n bevat. (In dit geval G = {1, g,..., g n 1 }.) 2. G is cyclisch van oneindige orde als en slechts G een element g van oneindige orde bevat zodat G = {g n n Z}. In dit geval is g n g m als n m. Bewijs. Bewijs van (1). Veronderstel dat G een eindige cyclische groep is van orde n. Dan, bestaat er een g G zodat G = {g k k Z}. Omdat G eindig is weten wij dat g eindige orde heeft, zeg o(g) = m. Dus volgt er {g k k Z} = {1, g,..., g m 1 }, met g i g j voor 0 i, j m 1 en i j. Bijgevolg G = {1, g,..., g m 1 } en dus o(g) = m = G = n. Omgekeerd, als G = n en g G met o(g) = n dan is {e, g, g 2,..., g n 1 } G. Al de machten e, g, g 2,, g n 1 zijn verschillend. Omdat G = n volgt er dus dat {e, g, g 2,..., g n 1 } = G. Bewijs van (2). Dit laten wij als oefening. 3.7 Vergelijkingen in Groepen Omdat in een groep elk element een invers element heeft, kunnen wij vergelijkingen in één veranderlijke oplossen. Dit gaat als volgt.

3.7. VERGELIJKINGEN IN GROEPEN 43 Eigenschap 3.7.1 Zij G een groep. Als g, h G dan bestaat er een unieke x G zodat gx = h, en er bestaat een unieke y G zodat yg = h. Bewijs. Zij x = g 1 h dan is gx = h en dus bestaat er minstens één oplossing voor de vergelijking. Dat er precies één oplossing bestaat volgt uit het volgende: als gx 1 = gx 2 dan x 1 = x 2. Analoog bewijst men de uniciteit van de oplossingen voor de vergelijking yg = h. Als dus G een eindige groep is dan is elke rij en elke kolom van de Cayleytabel een permutatie van de elementen van G. Een tabel die aan deze laatste voorwaarde voldoet noemt men een Latijns vierkant. Dus de Cayleytabel van een eindige groep is een Latijns vierkant. Doch het omgekeerde is niet waar. Door gebruik te maken van deze eigenschap kan men groepen van orde twee, drie en vier eenvoudig bepalen. Bijvoorbeeld zij G een groep van orde drie. Wij noteren het neutraal element e en de twee andere elementen a en b. Dan zien wij dat er slechts één mogelijkheid voor de Cayley tabel is, namelijk e a b e e a b a a b e b b e a Er bestaat dus ten hoogste één groep met drie elementen (op benaming van de elementen na). Doch (Z 3, +) is een groep met drie elementen. Bijgevolg is er precies één groep met drie elementen. Zij nu G = {e, a, b, c} een groep met vier elementen. Dan bevat G een element van orde twee. Inderdaad, veronderstel dat dit niet zo is. Dan heeft a ofwel orde drie ofwel orde vier (ga dit na). Dit laatste geval is echter onmogelijk want dan is a 2 van orde twee. In het andere geval is het element van G dat niet behoort tot {e, a, a 2 } een element dat gelijk is aan zijn inverse (ga dit na) en dus een element van orde twee. Dus steeds verkrijgen wij een contradictie.

44 HOOFDSTUK 3. GROEPEN Veronderstel dan dat b een element van orde twee is. Dan zijn er fundamenteel twee overblijvende mogelijkheden: ofwel is elk element verschillend van e van orde twee, ofwel is er een element van orde niet twee. Op benaming na zijn er dan slechts twee mogelijke Cayleytabellen: e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e en e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b De laatste groep is cyclisch {e, a, a 2, a 3 } en de eerste is de Viergroep van Klein. 3.8 Directe producten Wij geven nu een methode om uit twee (of meerdere groepen) een nieuwe groep te construeren. Zij (G, ) en (H, ) groepen. Dan is G H = {(g, h) g G, h H} een groep voor de volgende bewerking (g 1, h 1 )(g 2, h 2 ) = (g 1 g 2, h 1 h 2 ). Men noemt dit het direct product van G en H. De groepen G en H noemt men de factoren van het direct product. Het neutraal element van deze groep is (e G, e H ), met e G het neutraal element van G en e H het neutraal element van H. Algemener, zij I een indexverzameling en, voor elke i I, zij G i een groep. Dan is het direct product van deze groepen de verzameling G i = {(g i ) i I g i G i voor i I} i I voorzien van de bewerking (g i )(g i) = (g i g i).

3.8. DIRECTE PRODUCTEN 45 Merk op dat dit direct product commutatief is als en slechts elke groep G i commutatief is. Als (G, ) en (H, ) telkens de abelse groep (R, +) is, dan is G H de groep (R 2, +). Beschouw de abelse groepen (Z 2, +) en (Z 3, +). Dan is Z 2 Z 3 ook een abelse groep en het element ([1] 2, [1] 3 ) heeft orde 6. Dus is dit direct product een cyclische groep van orde 6. De groep Z 2 Z 2 heeft geen element van orde 4. Elk element verschillend van het neutraal element heeft orde 2. Deze groep is de Viergroep van Klein. Eigenschap 3.8.1 Zij G = G 1 G 2 G n een direct product van groepen. Als g i G i eindige orde m i heeft dan is o(g 1, g 2,..., g n ) = kgv(m 1, m 2,..., m n ). Bewijs. Wij merken op dat (g 1,..., g n ) k = e als en slechts als g k i = e Gi (voor elke) 1 i n. Dit laatste is equivalent met m i k. Dus het kleinste niet nul natuurlijk getal k dat deze voorwaarden vervult is kgv(m 1, m 2,..., m n ).

46 HOOFDSTUK 3. GROEPEN

Hoofdstuk 4 Deelgroepen Net zoals in andere takken van de wiskunde behandelen wij in dit hoofdstuk deelobjecten van de bestudeerde objecten. 4.1 Definitie Definitie 4.1.1 Zij (G, ) een groep. Een deelverzameling H van G die een groep is voor de bewerking (beperkt tot H) noemt men een deelgroep van G. Eigenschap 4.1.2 Zij (G, ) een groep. De volgende voorwaarden zijn equivalent voor een deelverzameling H van G: 1. H is een deelgroep van G; 2. de volgende voorwaarden zijn voldaan: (a) H, (b) als h 1, h 2 H dan h 1 h 2 H, (c) als h H dan h 1 H; 3. de volgende voorwaarden zijn voldaan: (a) H, 47

48 HOOFDSTUK 4. DEELGROEPEN (b) als h 1, h 2 H dan h 1 h 1 2 H. Bewijs. (1) (2). Omdat e H H is H. Ook als h 1, h 2 H dan is h 1 h 2 H. Omdat e H e G = e H en e H e H = e H volgt er dat e H e G = e H e H. Dus e H = e G. Zij nu h H. Zij h 1 de inverse van h in G en zij h de inverse van h in H. Dan hh 1 = e G = e H = hh en dus (door vereenvoudiging) h 1 = h H. (2) (1). Wegens voorwaarde (2.b) definiëert een bewerking op de niet-lege verzameling H. Omdat (G, ) associatief is is ook (H, ) associatief. Wegens voorwaarden (2.a) en (2.c) bestaat er een h H en en dus ook h 1 H. Bijgevolg is hh 1 = e G H. Dus is e G ook het neutraal element van (H, ). Wegens voorwaarde (2.c) heeft elk element van H een inverse in H. Dus is (H, ) een groep. De equivalentie van (2) en (3) laten wij als oefening. Gevolg 4.1.3 Zij G een eindige groep. De volgende voorwaarden zijn equivalent voor een niet lege deelverzameling H van G: 1. H is een deelgroep, 2. als h 1, h 2 H dan h 1 h 2 H. Bewijs. Wegens de vorige eigenschap is het voldoende dat uit (2) volgt dat h 1 H als h H. Welnu, omdat G eindig is heeft elk element h H eindige orde. Zij k de orde van h H. Dan h 1 = h k 1 H. 4.2 Speciale Deelgroepen Er zijn heelwat belangrijke deelgroepen in een groep. Wij behandelen hier slechts enkele.

4.2. SPECIALE DEELGROEPEN 49 Definitie 4.2.1 Zij G een groep en zij g G. De centralisator van g G is de verzameling C G (g) = {x G xg = gx}. Het centrum van G is de verzameling Z(G) = {x G xg = gx voor alle g G} = g G C G (g). Eigenschap 4.2.2 Zij G een groep en g G. Dan zijn C G (g) en Z(G) deelgroepen van G. Bewijs. Omdat, eg = g = ge verkrijgen wij e C G (g); i.h.b., C G (g). Als h 1, h 2 C G (g) dan Dus h 1 h 2 C G (g). (h 1 h 2 )g = h 1 (h 2 g) = h 1 (gh 2 ) = (h 1 g)h 2 = (gh 1 )h 2 = g(h 1 h 2 ) Ook volgt uit h 1 g = gh 1 dat h 1 1 h 1 gh 1 1 = h 1 1 gh 1 h 1 1. Dus gh 1 h 1 1 g, m.a.w., h 1 1 C G (g). 1 = Er volgt dat C G (g) een deelgroep is van G. Analoog bewijst men dat het centrum een deelgroep is. Een groep G is commutatief als en slechts als G = Z(G). Het centrum van GL n (F ) (F een lichaam) is de groep {fi n 0 f F }. Het centrum van D 8 is de deelgroep a 2 = {1, a 2 }. In het algemeen, voor n 3, { {1} als n oneven Z(D 2n ) = a n/2 als n even

50 HOOFDSTUK 4. DEELGROEPEN 4.3 Voortbrengers In deze sectie beschouwen wij één van de belangrijkste manieren om deelgroepen te construeren: via voortbrengers. Eigenschap 4.3.1 Zij G een groep en {H i i I} een verzameling deelgroepen van G. Dan is H i = {g G g H i, voor alle i I} i I een deelgroep van G. Bewijs. Zij D = i I H i. Omdat e H i voor elke i volgt er dat e D. Dus D. Verder, als g 1, g 2 D dan g 1 g2 1 D. Dus is D een deelgroep. Definitie 4.3.2 Zij X een deelverzameling van een groep G dan is de doorsnede van alle deelgroepen die X omvatten een deelgroep van G, namelijk de kleinste (voor de inclusierelatie) die X omvat. Men noteert deze groep als X en noemt dit de deelgroep voortgebracht door X. Indien X = {x 1, x 2,, x n } dan noteert men X ook als x 1, x 2,, x n. Als X = {x} dan noemt men x de cyclische deelgroep van G voortgebracht door x. Merk op dat een groep G cyclisch is als en slechts als er een g G bestaat zodat G = g. Ook = {e}. Eigenschap 4.3.3 Zij (G, ) een groep en X een niet lege deelverzameling van G. Dan X = {x 1 x 2 x n n N 0, x i X of x 1 i Indien G een eindige groep is dan X, 1 i n}. X = {x 1 x 2 x n n N 0, x i X, 1 i n}.

4.3. VOORTBRENGERS 51 Bewijs. Omdat, per definitie, X de kleinste deelgroep van G is die alle elementen van X bevat, behoren alle elementen x 1 x 2 x n tot X (met n N 0 en x i of x 1 i X). Stel D = {x 1 x 2 x n n N 0, x i X of x 1 i X, 1 i n} dan is D omvat in alle deelgroepen die X omvatten. Verder, als d 1, d 2 D dan verifiëert men eenvoudig dat d 1 d 1 2 D. Omdat D niet leeg is volgt er dus dat D reeds een deelgroep is die X omvat. Het eerste gedeelte van het resultaat volgt dan. Het tweede gedeelte bewijst men analoog en men maakt gebruik van het feit dat in eindige groep G een niet lege deelverzameling D een deelgroep is als d 1 d 2 D voor d 1, d 2 D. We geven enkele voorbeelden. De groep van de complexe n-de éénheidswortels is cyclisch: Een andere cyclische groep is De diëdergroep van orde 2n, Ook weten wij E n = e 2πi/n. Z n = [1] n. D 2n = a, b. a n = 1, b 2 = 1 en ba = a 1 b. Met behulp van deze relaties (en de associativiteit) kan men alle mogelijke producten in D 2n berekenen. Men schrijft dit als D 2n = a, b a n = 1, b 2 = 1, ba = a 1 b. Dit is een voorbeeld van een groep G die gegeven is via voortbrengers (a en b in dit geval) en relaties (ba = a 1 b, a n = 1 en b 2 = 1 in dit geval); men noemt dit een presentatie van G. Dus de elementen van de

52 HOOFDSTUK 4. DEELGROEPEN groep G bestaan uit producten van machten van de generatoren en men maakt identificaties via de gegeven lijst relaties. Bijvoorbeeld in D 2n zijn de elementen a i b en ba i gelijk. Men moet echter wel voorzichtig zijn dat men alle mogelijke identificaties maakt die volgen uit de gegeven relaties. Bijvoorbeeld Inderdaad 1 = a 3 = a 2 a = 1a = a. a a 2 = 1, a 3 = 1 = {1}. Wij geven nog twee voorbeelden. Eerst beschouwen wij de groep V = a, b ab = ba, a 2 = 1, b 2 = 1. Uit de relatie ab = ba volgt dat elk element van V kan geschreven worden als a i b j met i, j Z. Omdat a 2 = 1 en b 2 = 1 is het voldoende dat i, j {0, 1}. Dus V = {1, a, b, ab}. Nu moet men nog aantonen dat deze vier elementen verschillend zijn. Men kan dit bijvoorbeeld aantonen door een model van deze groep te geven. De Viergroep van Klein is zo een model (het is voortgebracht door twee elementen die voldoen aan de vermelde relaties). Wij definiëren nu een groep van orde acht, de quaternionengroep van orde 8. In GL 2 (C) nemen wij de matrices ( ) ( ) ( ) i 0 0 1 0 i J =, K = en L = JK =. 0 i 1 0 i 0 Zij Q 8 = {I, I, J, J, K, K, L, L}. Dit is een deelgroep van GL 2 (C). Om dit aan te tonen, en aangezien Q 8 eindig is, is het voldoende te bewijzen dat Q 8 multiplicatief gesloten is. Dit volgt uit de volgende relaties: J 2 = K 2 = L 2 = I

4.3. VOORTBRENGERS 53 en JK = L, KJ = L, KL = J, LK = J, LJ = K en JL = K. Dus Q 8 = J, K. In een latere cursus geven wij de theoretische fundering voor presentaties. Wij vermelden nog dat de groep voortgebracht door een verzameling X die aan geen verdere relaties voldoet de vrije groep op X genoemd wordt. Dus deze groep bestaat uit alle producten van machten van elementen in X. Als X dan bevat deze groep oneindig veel elementen en als X 2 dan is deze groep ook niet commutatief. Eigenschap 4.3.4 Een deelgroep van een cyclische groep is cyclisch. Bewijs. Zij G = g een cyclsiche groep. Dus G = {g k k Z}. Zij H een deelgroep. Als H = {1} dan is H = 1, en dus is H cyclisch. Veronderstel dat H {1} en zij g k H met k minimaal in N 0. Wij tonen nu aan dat H = g k. Inderdaad, zij g n H. Schrijf n = qk + r met q, r Z en 0 r < k. Dan g r = g n g qk = g n (g k ) q H. Wegens de keuze van k volgt er dat r = 0. Bijgevolg g n g k en dus H = g k. Eigenschap 4.3.5 Zij G = g een cyclische groep van eindige orde n en zij k een geheel getal. Dan is de orde van de cyclische deelgroep g k n gelijk aan. I.h.b. is de orde van elke deelgroep van een eindige ggd(n,k) cyclische groep G een deler van de orde van G. Bewijs. Omdat G = g eindige orde n heeft weten wij reeds dat o(g) = n. Zij nu k Z. Dan is g k van orde l als en slechts als l is het kleinste niet nul natuurlijk getal zodat (g k ) l = 1, of equivalent, l is het kleinste niet nul natuurlijk getal zodat n (kl). Duidelijk l = n. ggd(n,k) Bijgevolg is de orde van g k gelijk aan o(g k ) = n. ggd(n,k)

54 HOOFDSTUK 4. DEELGROEPEN Eigenschap 4.3.6 Zij G = g een eindige cyclische groep van orde n en d N een deler van n. Dan heeft G precies één deelgroep van orde d, namelijk g n/d. Bovendien zijn er precies d oplossingen voor x d = 1 in G, en dit zijn precies de elementen van g n/d. Bewijs. Duidelijk is g n/d = {1, g n/d, g 2(n/d),, g (d 1)(n/d) }. Dus er bestaat minstens één deelgroep van orde d. Wij bewijzen nu dat er ten hoogste één is. Zij daarom H ook een deelgroep van orde d. Wegens een vorige eigenschap is H ook cyclisch, en dus H = g k voor een 0 k < n. Dus g kd = 1. Omdat g orde n heeft volgt er n (kd). Er bestaat dus een v Z zodat vn = kd, m.a.w., k = v(n/d). Er volgt H = g k g n/d. Omdat beide groepen van orde d zijn volgt er H = g n/d. De vorige redenering toont aan dat (g k ) d = 1 als en slechts als g k g n/d. Omdat g n/d = d zijn er precies d oplossingen van de vergelijking x d = 1 in G. Voor een geheel getal a noteren wij met az de verzameling {az z Z}. Dit is de cyclische deelgroep van (Z, +) voortgebracht door het element a. Voor een ring R schrijf R := R \ {0}. Eigenschap 4.3.7 Zij a en b niet nul gehele getallen. Dan a, b = az + bz = ggd(a, b)z. Indien p een priemgetal is dan is Z p een lichaam, i.h.b. is de verzameling van niet nul elementen Z p een abelse groep voor de vermenigvuldiging. Bewijs. In de cyclische groep (Z, +) is a, b = az + bz een deelgroep. Bijgevolg is a, b = az + bz een cyclische groep en dus bestaat er een d Z zodat a, b = az + bz = dz. Omdat a dz volgt er d a. Analoog d b en dus d ggd(a, b). Als nu c Z en c a en c b, dan bestaan v, w Z zodat cv = a en cw = b.

4.3. VOORTBRENGERS 55 Schrijf d = xa + yb. Dan d = xcv + ycw en dus c d. Dit toont aan dat d = ggd(a, b). Zij nu p een priemgetal en [0] p [a] p Z p. Dan ggd(a, p) = 1. Dus, bestaan er (wegens het eerste gedeelte van de eigenschap) v, w Z zodat va + wp = 1. Bijgevolg [v] p [a] p = [v] p [a] p + [w] p [p] p = [1] p, en is [v] p de inverse van [a] p. Er volgt dat Z p een abelse groep voor de vermenigvuldiging is en dus is Z p een lichaam.

56 HOOFDSTUK 4. DEELGROEPEN

Hoofdstuk 5 Nevenklassen Zij G een eindige groep, d.w.z., G is een groep met eindig veel elementen. Zij H een deelgroep. In dit hoofdstuk bewijzen wij dat de orde van H een deler is van de orde van G (Stelling van Lagrange). Om dit te bewijzen voeren wij het begrip nevenklasse in. 5.1 Definitie Definitie 5.1.1 Zij G een groep en H een deelgroep. Als g G dan is de linkernevenklasse van g de verzameling gh = {gh h H}. De rechternevenklasse van g is de verzameling Hg = {hg h H}. Lagrange (1736-1813) Duidelijk is eh = H = He en g gh. Dus is gh H als g H. Ook gh H = als g H. Eigenschap 5.1.2 Zij H een deelgroep van een groep G. relatie op G gedefiniëerd door arb als en slechts als a 1 b H. Zij R de 57

58 HOOFDSTUK 5. NEVENKLASSEN Dan is R een equivalentierelatie op G en de equivalentieklasse die g G bevat is de linkernevenklasse gh. Bewijs. Wij moeten drie eigenschappen bewijzen om aan te tonen dat R een equivalentierelatie is. Omdat H een deelgroep is geldt voor g G dat g 1 g = 1 H. Dus grg. Dit toont aan dat R reflexief is. Veronderstel dat arb, d.w.z. a 1 b H. Omdat H een deelgroep is volgt er b 1 a = (a 1 b) 1 H. Bijgevolg bra. Dus is R symmetrisch. Veronderstel arb en brc, dan a 1 b, b 1 c H en dus a 1 c = (a 1 b)(b 1 c) H. Bijgevolg arc en dus is R transitief. Wij bepalen nu de equivalentieklasse van g G. Zij daarom x G. Dan, x G is in de equivalentieklasse van g als en slechts als g 1 x H, of equivalent x gh. Dus is de equivalentieklasse van g de linkernevenklasse gh. Uit de vorige eigenschap volgt onmiddellijk het volgende resultaat. Eigenschap 5.1.3 Zij H een deelgroep van een groep G, en zij a, b G. Dan 1. ah = bh als en slechts als a 1 b H (dus ah = H als en slechts als a H). 2. als ah bh dan ah bh =. 3. g G gh = G. Bovendien, ah = H.

5.2. STELLING VAN LAGRANGE 59 5.2 Stelling van Lagrange Stelling 5.2.1 (Stelling van Lagrange) Zij H een deelgroep van een eindige groep G. Dan is H een deler van G en het aantal linker (respectievelijk rechter) nevenklassen van H in G is gelijk aan G H. Bewijs. Wij weten reeds dat de linkernevenklassen gh (g G) de equivalentieklassen zijn voor de relatie R en gh = H. Omdat de equivalentieklassen een partitie vormen van de eindige verzameling G volgt het resultaat. Uit de vorige eigenschap weten wij dat het aantal linker nevenklassen gelijk is aan het aantal rechter nevenklassen. Wij noemen dit aantal de index. Definitie 5.2.2 Het aantal linker (of rechter) nevenklassen van een deelgroep H van een groep G noemt men de index van H in G. Dit wordt gewoonlijk genoteerd als [G : H]. Eigenschap 5.2.3 Zij G een eindige groep. 1. Als g G dan is o(g) een deler van G. 2. Als H en K deelgroepen zijn van G met H K, dan [G : H] = [G : K] [K : H]. Bewijs. Wij weten dat g = o(g). Dus wegens de Stelling van Lagrange, o(g) deelt G. Wegens de Stelling van Lagrange, [G : H] = G H = G K H K = [G : K] [K : H].

60 HOOFDSTUK 5. NEVENKLASSEN 5.3 Toepassingen Eigenschap 5.3.1 Elke groep van priem orde is een cyclische groep. Bewijs. Zij G een groep van orde p, een priemgetal. Zij e g G, dan is H = g een deelgroep van G. Wegens de Stelling van Lagrange is H een deler van p. Dus H = 1 of H = p. Omdat H {1} volgt er H = p en dus H = G. Bijgevolg is G cyclisch. Eigenschap 5.3.2 (Fermat) Zij p een priem getal. Als a Z dan a p p a. Bewijs. Als [a] p = [0] p dan [a] p p = [a] p = [0] p, dus a p p a. Veronderstel nu dat [a] p [0] p. Dan is [a] p Z p. Omdat Z p een groep is met p 1 elementen verkrijgen wij uit de Stelling van Lagrange dat o([a] p ) (p 1). Dus [a] p p 1 = [1] p. Vermenigvuldig dan met [a] p en wij verkrijgen [a] p p = [a] p. Een andere welbekende stelling van Fermat (Fermat s Last Theorem) : voor alle gehele getallen n 3, bestaan er geen strikt positieve gehele getallen a, b, c zodat a n + b n = c n. Fermat beweerde dat hij een mooi bewijs had van dit resultaat maar dat de marge te klein was om het bewijs op te schrijven. Hij bewees het elders voor n = 4 en, later, bewezen anderen het voor kleine waarden van n. Het is een bijzondere uitdaging geworden om het algemene resultaat te bewijzen. Vele wiskundigen hebben zich hierover gebogen en heel wat Fermat (1601-1665) Wiles nieuwe technieken zijn ontwikkeld. Pas in 1995 bewees Andrew Wiles Fermat s Last Theorem. Eigenschap 5.3.3 (Wilson) Zij p een priem getal. Dan (p 1)! p 1.

5.3. TOEPASSINGEN 61 Bewijs. Als p = 2 dan is dit resultaat duidelijk. Veronderstel dus dat p 2. Als a 1, a 2,, a n alle elementen zijn in een eindige abelse groep G, dan is a 1 a 2 a n gelijk aan het product van alle elementen van orde 2 (elk ander element wordt geschrapt met zijn inverse). Nu heeft Z p slechts [ 1] p als element van orde 2. Er volgt dus dat het product van alle elementen van Z p, namelijk [(p 1)!] p, gelijk is aan [ 1] p. Dus (p 1)! p 1. De Euler ϕ-functie wordt als volgt gedefiniëerd: en voor m N, m > 1, ϕ(1) = 1 ϕ(m) = {r N (r, m) = 1 en 1 r < m}. Eigenschap 5.3.4 (Euler) Zij m N 0. Dan U(Z m ) = ϕ(m). Zij r N 0. Als (r, m) = 1 dan r ϕ(m) m 1. Bewijs. Beschouw de multiplicatieve groep U(Z m ) van de inverteerbare elementen in de ring Z m. Als a een niet nul geheel getal is dan az+mz = ggd(a, m)z. Er volgt dat [a] m U(Z m ) als en slechts als (a, m) = 1. Dus U(Z m ) = ϕ(m). Als nu [r] m U(Z m ) volgt er [r] ϕ(m) m = [1] m. Dus volgt ook het laatste gedeelte van de eigenschap. Euler (1707-1783)

62 HOOFDSTUK 5. NEVENKLASSEN

Hoofdstuk 6 Normale deelgroepen In dit hoofdstuk bestuderen wij speciale deelgroepen, namelijk deze waarvoor een linkerenevenklasse steeds een rechternevenklasse is. In het volgende hoofdstuk kunnen wij uit zulke groepen nieuwe groepen construëren. 6.1 Definitie Voor twee deelverzamelingen X en Y van een groep G noteert men XY = {xy x X, y Y }. Als X = {x} dan noteren wij XY ook als xy. In het algemeen is XY verschillend van Y X. Maar merk op dat gelijkheid wel kan optreden, ook als de elementen van X en Y niet noodzakelijk commuteren. Inderdaad, in D 2n geldt {a} {1, b} = {a, ab} maar {1, b} {a} = {a, a n 1 b}. Ook a {b} = {b} a. Definitie 6.1.1 Zij N een deelgroep van een groep G. Men noemt N een normale deelgroep van G als en slechts als gn = Ng voor alle g G. Met N G noteert men dat N een normale deelgroep is van G. 63

64 HOOFDSTUK 6. NORMALE DEELGROEPEN Als N een normale deelgroep is van een groep G, dan noteert men de verzameling van de nevenklassen van N in G (dus equivalentieklassen) als G/N. Eigenschap 6.1.2 Zij N een deelgroep van een groep G. Dan zijn de volgende voorwaarden equivalent: 1. N is een normale deelgroep, 2. gng 1 = N voor alle g G, 3. gng 1 N voor alle g G, 4. elke rechter nevenklasse van N is een linker nevenklasse. Bewijs. Als gn = Ng dan gng 1 = Ngg 1 en dus gng 1 = N. Dus volgt (2) uit (1). Dat (3) uit (2) volgt is evident. Veronderstel nu (3). Dan gng 1 N voor elke g G. Nu is ook g 1 G en dus g 1 N(g 1 ) 1 N, voor elke g G. Dit laatste is equivalent met N gng 1. Bijgevolg N = gng 1 en dus Ng = gn, dit bewijst (1). Uiteraard volgt (4) uit (1). Er blijft dus te bewijzen dat (1) volgt uit (4). Gegeven is dus dat voor elke g G een h G bestaat zodat Ng = hn. Dus g hn. Omdat hn een equivalentieklasse is volgt er hn = gn. Dus Ng = gn (voor elke g G). Dit toont aan dat N G. Normale deelgroepen werden in 1831 geintroduceerd door Evariste Galois, dit in het kader van het probleem wanneer een polynoomvergelijking oplosbaar is door radikalen. Galois merkte op dat een deelgroep H van een groep G van permutaties twee ontbindingen van G gaf (wij noemen dit linkse en rechtse nevenklassen). Als de twee ontbindingen samenvallen, dus als de linkse nevenklassen dezelfde zijn als de rechtse, dan noemde Galois de ontbinding echt. Dus een deelgroep met een echte ontbinding noemen wij een normale deelgroep. Camille Jordan ging verder met deze ideeen, in 1865 en 1869. Hij definieerde ook normale deelgroepen (zonder de term te gebruiken) en was de eerste die een definitie gaf van een simpele groep.

6.2. ELEMENTAIRE EIGENSCHAPPEN 65 6.2 Elementaire eigenschappen Eigenschap 6.2.1 Zij N een deelgroep van een groep G. Als [G : N] = 2 dan is N een normale deelgroep van G. Bewijs. Gegeven is [G : N] = 2, d.w.z. er bestaan slechts twee linkernevenklassen. Omdat deze een partitie vormen van G en omdat N = en één van de linkernevenklassen is, volgt er dat G \ N de andere linkernevenklasse is. Dus, als g N, dan gn N en bijgevolg gn = (G \ N). Er zijn ook slechts twee rechternevenklassen. Men bewijst dan analoog dat Ng = (G \ N) voor g N. Dus voor zo een element g, gn = (G \ N) = Ng. Indien g N dan gn = N = Ng. Bijgevolg N G. Omdat a een deelgroep is van index twee in D 2n volgt er dat a een normale deelgroep is van D 2n. Doch {1, b} is niet normaal in D 2n. G. Ook is het centrum Z(G) steeds een normale deelgroep van een groep In een abelse groep zijn alle deelgroepen normale deelgroepen. Eigenschap 6.2.2 Zij N een normale deelgroep van een groep G. Als H een deelgroep is van G, dan H N = HN = NH. Bewijs. Omdat H N de kleinste deelgroep is van G die H en N omvat is het duidelijk dat HN H N. Wij bewijzen nu dat HN een deelgroep is. Omdat deze H en N omvat volgt er dan H N = HN. Inderdaad, e = ee HN. Als h 1, h 2 H en n 1, n 2 N, dan (h 1 n 1 )(h 2 n 2 ) = h 1 h 2 (h 1 2 n 1 h 2 )n 2.

66 HOOFDSTUK 6. NORMALE DEELGROEPEN Omdat N een normale deelgroep is, n 3 = h 1 2 n 1 h 2 N. Bijgevolg Ook (h 1 n 1 )(h 2 n 2 ) = h 1 h 2 (n 3 n 2 ) HN. (h 1 n 1 ) 1 = n 1 1 h 1 1 = h 1 1 (h 1 n 1 1 h 1 1 ) HN. Dus is inderdaad HN een deelgroep. Analoog bewijst men dat H N = NH. (Of men bewijst rechtstreeks, met methoden zoals in de voorgaande redenering, dat NH = HN.) In het algemeen is een willekeurige deelgroep H van een groep G geen normale deelgroep. Daarom definiëert men de normalisator van H in G als de verzameling N G (H) = {g G ghg 1 = H}. Eigenschap 6.2.3 Zij H een deelgroep van een groep G. Dan is N G (H) een deelgroep van G en het is de grootste deelgroep (voor de inclusie relatie) waarin H een normale deelgroep is. Bewijs. Duidelijk is e N G (H). Als g 1, g 2 N G (H) dan (g 1 g 2 )H(g 1 g 2 ) 1 = (g 1 g 2 )H(g2 1 g1 1 ) = g 1 (g 2 Hg2 1 )g1 1 = g 1 Hg1 1 = H Ook, omdat g 1 Hg 1 1 = H volgt er H = g 1 1 g 1 Hg 1 1 g 1 = g 1 1 Hg 1 Dus g 1 g 2, g 1 1 N G (H). Bijgevolg is N G (H) een deelgroep die H bevat, en uiteraard is H N G (H). Als D een deelgroep is van G die H omvat en H D dan is, voor elke d D, dhd 1 = H. Dus D N G (H). Er volgt dat N G (H) de grootste deelgroep is die H omvat en waarin H normaal is.

Hoofdstuk 7 Quotiëntgroepen In dit hoofdstuk gebruiken wij normale deelgroepen om nieuwe (kleinere) groepen te vormen. 7.1 Definitie Stelling 7.1.1 Zij G een groep en N een normale deelgroep. Dan is G/N = {gn g G} een groep voor de volgende bewerking (gn)(hn) = (gh)n, voor g, h G. Men noemt dit de quotiëntgroep van G door N. Het neutraal element van deze groep is en en (gn) 1 = g 1 N. Bewijs. Wij moeten eerst en vooral aantonen dat de bewerking goed gedefiniëerd is. D.w.z., als g 1 N = g 2 N en h 1 N = h 2 N dan moeten wij aantonen dat g 1 h 1 N = g 2 h 2 N. Dat dit inderdaad zo is volgt uit de 67

68 HOOFDSTUK 7. QUOTIËNTGROEPEN volgende redenering. g 1 h 1 N = g 1 h 1 NN = g 1 (h 1 N)N = g 1 (Nh 1 )N = (g 1 N)(h 1 N) = (g 2 N)(h 2 N) = g 2 (Nh 2 )N = g 2 (h 2 N)N = g 2 h 2 NN = g 2 h 2 N Men toont nu eenvoudig aan dat al de groepvoorwaarden voldaan zijn. Bovendien, e G/N = e G N, (gn) 1 = (g 1 )N. Merk op dat G/N abels is als G abels is. Maar er zijn voorbeelden van niet abelse groepen zodat G/N abels is voor sommige normale deelgroepen N of G. Wij geven enkele voorbeelden. Zij Z de additieve groep van de gehele getallen en zij n > 1 een natuurlijk getal. Dan is nz een normale deelgroep van Z. De elementen van de quotiëntgroep Z/nZ zijn de nevenklassen a + nz, met a Z. Duidelijk is a + nz = [a] n. Dus heeft Z/nZ precies dezelfde elementen als de verzameling Z n. Ook, voor a, b Z, [a] n + [b] n = (a + nz) + (b + nz) = (a + b) + nz = [a + b] n. Er volgt dat (Z/nZ, +) precies de groep (Z n, +) is.

7.1. DEFINITIE 69 Zij F een lichaam. De groep SL n (F ) is een normale deelgroep van GL n (F ). De elementen van de quotiëntgroep zijn de nevenklassen A SL n (F ), met A GL n (F ). Zij det(a) = a, dan bestaat een B GL n (F ) zodat met A = D(a) B, a 0 0 0 1 0 D(a) =.. 0 0 1 Er volgt dat det(b) = 1 en dus B SL n (F ). Bijgevolg A SL n (F ) = D(a)B SL n (F ) = D(a) SL n (F ). Duidelijk is D(a) SL n (F ) D(b) SL n (F ) als a b, a, b F. Er volgt dat GL n (F )/SL n (F ) = {D(a) SL n (F ) 0 a F }. Beschouw de diëdergroep D 6 = a, b van orde 6. Herinner dat a 3 = 1, b 2 = 1 en ba = a 2 b. e a a 2 b ab a 2 b e e a a 2 b ab a 2 b a a a 2 e ab a 2 b b a 2 a 2 e a a 2 b b ab b b a 2 b ab e a 2 a ab ab b a 2 b a e a 2 a 2 b a 2 b ab b a 2 a e Zij N = a = {1, a, a 2 }. Dan is [D 6 : N] = 2 en dus is N een normale deelgroep van D 6. De quotiëntgroep D 6 /N heeft twee elementen: N en bn. De Cayleytabel van deze quotiëntgroep is:

70 HOOFDSTUK 7. QUOTIËNTGROEPEN N bn N N bn bn bn N Dus D 6 /N = bn, een cyclische groep van orde 2. Merk op dat we de Cayleytabel van D 6 kunnen opdelen in blokken zodat de elementen in één blok precies deze zijn van een nevenklasse van N. Dit is mogelijk omdat N D 6. e a a 2 b ab a 2 b e e a a 2 b ab a 2 b a a a 2 e ab a 2 b b a 2 a 2 e a a 2 b b ab b b a 2 b ab e a 2 a ab ab b a 2 b a e a 2 a 2 b a 2 b ab b a 2 a e In D 8 = a, b met a 4 = b 2 = 1 en ba = a 3 b is N = a 2 = {1, a 2 } een normale deelgroep en de elementen van D 8 /N zijn de nevenklassen N = {1, a 2 }, Na = {a, a 3 }, Nb = {b, ba 2 } en Nab = {ab, a 3 b}. De Caleytabel van deze groep is N Na Nb Nab N N Na Nb Nab Na Na N Nab Nb Nb Nb Nab N Na Nab Nab Nb Na N In blokvorm komt dit overeen met

7.2. DEELGROEPEN VAN QUOTIËNTGROEPEN 71 e a 2 a a 3 b a 2 b ab a 3 b e e a 2 a a 3 b a 2 b ab a 3 b a 2 a 2 e a 3 a a 2 b b a 3 b ab a a a 3 a 2 e ab a 3 b a 2 b b a 3 a 3 a e a 2 a 3 b ab b a 2 b b b a 2 b a 3 b ab e a 2 a 3 a a 2 b a 2 b b ab a 3 b a 2 e a a 3 ab ab a 3 b b a 2 b a a 3 e a 2 a 3 b a 3 b ab a 2 b b a 3 a a 2 e 7.2 Deelgroepen van quotiëntgroepen Stelling 7.2.1 Zij N een normale deelgroep van een groep G. gelden de volgende eigenschappen: Dan 1. Als D een deelgroep is van G die N omvat dan is D/N = {dn d D} een deelgroep van G/N. 2. Elke deelgroep D van G/N is van de vorm D/N met D een deelgroep van G die N omvat. Een voorbeeld van zo een deelgroep D is {g G gn D}. Dus definiëert de correspondentie D D/N een bijectie tussen de verzameling van de deelgroepen van G/N en de verzameling van deelgroepen van G die N omvatten. Onder deze bijectie worden normale deelgroepen van G die N omvatten afgebeeld op normale deelgroepen van G/N. Bewijs. (1) is eenvoudig te bewijzen. (2) Zij D een deelgroep van G/N. Zij D = {g G gn D}. Men bewijst dan dat D een deelgroep is van G. Omdat, voor n N, nn = N D hebben wij dat N D. Ook is D/N = D.

72 HOOFDSTUK 7. QUOTIËNTGROEPEN (2) toont aan dat de afbeelding D D/N surjectief is. Deze afbeelding is ook injectief. Inderdaad, zij D 1, D 2 deelgroepen van G die N bevatten. Als D 1 /N = D 2 /N, dan bestaat voor elke d 2 D 2 een d 1 D 1 zodat d 2 N = d 1 N. Dus, d 2 d 1 N D 1. Bijgevolg D 2 D 1. Analoog volgt de omgekeerde inclusie. Dus D 1 = D 2.

Hoofdstuk 8 Homomorfismen In dit hoofdstuk bestuderen wij afbeeldingen tussen groepen die de algebraïsche structuur bewaren. 8.1 Definitie Definitie 8.1.1 Zij (G, ) en (H, ) groepen. Een afbeelding f : G H is een (groep) homomorfisme als, voor alle a, b G, f(a b) = f(a) f(b). Wij geven enkele voorbeelden. (1) Zij F een lichaam. Dan is F = F \ {0} een abelse groep voor de vermenigvuldiging in F. De afbeelding is een homomorfisme. det : GL n (F ) F : A det(a). 73

74 HOOFDSTUK 8. HOMOMORFISMEN (2) De afbeelding E n Z n : e 2kπi/n [k] n is een homomorfisme. (3) Zij GA(1, R) de verzameling van alle functies van de vorm f : R R f(x) = ax + b, met a, b R en a 0. Wij noteren deze functie als f a,b. Dan is GA(1, R) een groep voor de samenstelling van functies. Zij A de verzameling van alle reële matrices van de vorm [ a b 0 1 Dit is een deelgroep van GL 2 (R). Bovendien is [ ] a b ϕ : GA(1, R) A : f a,b 0 1 een bijectief homomorfisme. (4) De afbeelding ]. (R, +) (R + 0, ) : x e x is een bijectief homomorfisme. De inverse afbeelding is ook een bijectief homomorfisme. (R + 0, ) (R, +) : x ln x (5) Zij N een normale deelgroep van een groep G. De afbeelding nat : G G/N : g gn = g is een surjectief groephomomorfisme. groephomomorfisme van G naar G/N. Men noemt dit het natuurlijke

8.2. ISOMORFISMEN 75 Eigenschap 8.1.2 Zij f : G H een groephomomorfisme. Dan gelden de volgende eigenschappen, voor alle g G: 1. f(e G ) = e H, 2. f(g 1 ) = f(g) 1, 3. f(g n ) = (f(g)) n, voor alle n Z. Bewijs. (1) Omdat e G e G = e G volgt er f(e G )f(e G ) = f(e G ) = e H f(e G ). Dus f(e G ) = e H. (2) Uit gg 1 = e G = g 1 g volgt f(g)f(g 1 ) = f(e G ) = e H = f(g 1 )f(g). Dus f(g) heeft als inverse f(g 1 ) in H. (3) Ga dit zelf na. 8.2 Isomorfismen Definitie 8.2.1 Een groephomomorfisme f : G H dat injectief (respectievelijk surjectief) is noemt men een monomorfisme (respectievelijk epimorfisme). Een groephomomorfisme f : G H dat een epimorfisme en monomorfisme is noemt men een isomorfisme. Men zegt dan dat de groepen G en H isomorf zijn; men noteert dit als G = H. Een isomorfisme f : G G noemt men een automorfisme. Twee cyclische groepen van dezelfde orde zijn isomorfe groepen. Zij G een groep en g G, dan noemt men de afbeelding ϕ g : G G : x gxg 1

76 HOOFDSTUK 8. HOMOMORFISMEN de conjugatie door g (of het inwendige automorfisme bepaald door g). Deze afbeelding is een automorfisme. De verzameling C(x) = {gxg 1 g G} noemt men de conjugatieklasse van x in G. Deze verzameling is ook een equivalentieklasse voor de equivalentierelatie op G gedefiniëerd als volgt: x y als en slechts als y = gxg 1 voor een g G. Definitie 8.2.2 Zij G een groep. Dan noteert men met Aut(G) de verzameling van alle automorfismen van G. Voorzien van de bewerking de samenstelling van functies is dit een groep en men noemt dit de automorfismegroep van G. Met Inn(G) noteren wij de verzameling van alle inwendige automorfismen van G. Eigenschap 8.2.3 Zij G een groep, dan is Inn(G) een normale deelgroep van Aut(G). Bewijs. Duidelijk is ϕ e Inn(G). Ook ϕ g ϕ 1 h = ϕ gh 1. Dus is Inn(G) een deelgroep van Aut(G). Zij nu f Aut(G) dan f ϕ g f 1 = ϕ f(g). Dus is Inn(G) een normale deelgroep van Aut(G). Eigenschap 8.2.4 Zij f : G H een groepisomorfisme. Als g G, dan hebben g en f(g) dezelfde orde.

8.3. HOMOMORFISMESTELLINGEN 77 Bewijs. Bewijs dit zelf. Deze laatste eigenschap is dikwijls nuttig om aan te tonen dat twee groepen niet isomorf zijn. Beschouw bijvoorbeeld de groepen D 8 en Q 8. Beiden zijn van orde 8. De groep D 8 heeft twee elementen van orde vier (al de anderen zijn van orde twee of één). De groep Q 8 heeft zes elementen van orde vier. Dus wegens de vorige eigenschap zijn beide groepen niet isomorf. Man kan aantonen dat dit de enige (op isomorfisme na) niet abelse groepen van orde acht zijn. 8.3 Homomorfismestellingen Definitie 8.3.1 Zij f : G H een groephomomorfisme. De kern van f is de verzameling ker(f) = {g G f(g) = e H }. Eigenschap 8.3.2 Zij f : G H een groephomomorfisme. 1. ker(f) is een normale deelgroep van G, 2. f is een monomorfisme als en slechts als ker(f) = {e G }. 3. Im(f) = f(g) is een deelgroep van H. Bewijs. (1) Omdat f(e G ) = e H hebben wij dat e G ker(f). Als g 1, g 2 ker(f) dan f(g 1 g 1 2 ) = f(g 1 )f(g 1 2 ) = f(g 1 )f(g 2 ) 1 = e H e H = e H en dus g 1 g 1 2 ker(f). Dit toont aan dat ker(f) een deelgroep is van G. Ook, voor g 1 ker(f) en g G, f(gg 1 g 1 ) = f(g)f(g 1 )f(g) 1 = f(g)e H f(g) 1 = e H ;

78 HOOFDSTUK 8. HOMOMORFISMEN d.w.z. gg 1 g 1 ker(f). Bijgevolg is ker(f) G. Bewijs zelf dat Im(f) = {f(g) g G} een deelgroep is van H. Wij bewijzen nu (2). Veronderstel dat f een monomorfisme is en g ker(f). Dan f(g) = e H = f(e G ). Wegens de injectiviteit van f verkrijgen wij aldus dat g = e G. Dus ker(f) = {e G }. Omgekeerd, veronderstel dat ker(f) = {e G }. Zij g 1, g 2 G zodat f(g 1 ) = f(g 2 ). Dan f(g 1 g 1 2 ) = f(g 1 )f(g 2 ) 1 = f(g 1 )f(g 1 ) 1 = e H. Dus g 1 g 1 2 ker(f) = {e G }. Bijgevolg g 1 g 1 2 = e G en dus g 1 = g 2. Wij zien dus dat elke kern van een groephomomorfisme een normale deelgroep is. Omgekeerd is een normale deelgroep N van een groep G de kern van het natuurlijke epimorfisme nat : G G/N. Dus is er een één-één correspondentie tussen normale deelgroepen en kernen van groephomomorfismen. Stelling 8.3.3 (Eerste Isomorfismestelling) Zij f : G H een groephomomorfisme. Dan G/ ker f = f(g). Bewijs. Definiëer als volgt ψ : G/ ker(f) f(g) ψ(g ker(f)) = f(g). Eerst en vooral moeten wij aantonen dat ψ goed gedefiniëerd is. Zij daarom g 1, g 2 G zodat g 1 ker(f) = g 2 ker(f), d.w.z., g2 1 g 1 ker(f). Dus f(g 1 ) = f(g 2 g 1 2 g 1 ) = f(g 2 )f(g 1 2 g 1 ) = f(g 2 )e H = f(g 2 ). Bijgevolg is ψ inderdaad goed gedefiniëerd.

8.3. HOMOMORFISMESTELLINGEN 79 Dat ψ een homomorfisme is volgt uit het volgende: ψ ((g 1 ker(f)) (g 2 ker(f))) = ψ(g 1 g 2 ker(f)) = f(g 1 g 2 ) = f(g 1 )f(g 2 ) = ψ(g 1 ker(f)) ψ(g 2 ker(f)) Als g G, dan f(g) = ψ(g ker(f)). Dus is ψ surjectief. Om aan te tonen dat ψ injectief is is het voldoende om aan te tonen dat ker(ψ) = {e G/ ker(f) }. Zij daarom g ker(f) ker(ψ). Dus f(g) = e H en bijgevolg g ker(f). Er volgt g ker(f) = ker(f) = e G/ ker(f). Wij geven enkele toepassingen van de homomorfismestelling. (1) Beschouw het epimorfisme det : GL n (F ) F. Dan is ker(det) = SL n (F ) en dus GL n (F )/SL n (F ) = F. (2) Beschouw het epimorfisme (van additieve groepen) f : Z Z n : z [z] n. Dan is ker(f) = nz en dus Z/nZ = Z n. (3) Zij E = {c C c = 1}. Dan is E een abelse groep voor de vermenigvuldiging van complexe getallen en E = {e x2πi x R}. Beschouw ϕ : R E

80 HOOFDSTUK 8. HOMOMORFISMEN gedefiniëerd als volgt ϕ(x) = e 2πix. Dan is ϕ een groepepimorfisme van de groep (R, +) naar de groep (E, ). Omdat ker(ϕ) = Z verkrijgen wij E = R/Z. (4) Beschouw G 1 G 2, het direct product van de groepen G 1 end G 2. Definiëer p 1 : G 1 G 2 G 1 : (g 1, g 2 ) g 1. Dan is p 1 een groepepimorfisme met ker(p 1 ) = {e G1 } G 2. Dus Analoog is (G 1 G 2 )/({e G1 } G 2 ) = G 1. p 2 : G 1 G 2 G 2 : (g 1, g 2 ) g 2 een groepepimorfisme en ker(p 2 ) = G 1 {e G2 }. Dus (G 1 G 2 )/(G 1 {e G2 }) = G 2. Eigenschap 8.3.4 Zij G een groep. Dan is (Aut(G), ) een groep met als normale deelgroep Inn(G). Bovendien, Bewijs. Beschouw de afbeelding G/Z(G) = Inn(G). ϕ : G Inn(G) : g ϕ g. Verifiëer dat ϕ een groepepimorfisme is. Zij nu g G, dan is g ker(ϕ) als en slechts als ϕ g = 1 G, d.w.z., voor alle x G, gxg 1 = x. Dit laatste is equivalent met gx = xg voor alle x G. M.a.w. g Z(G). Dus ker(ϕ) = Z(G) en het resultaat volgt uit de eerste homomorfismestelling.

8.3. HOMOMORFISMESTELLINGEN 81 Enkele toepassingen van de homomorfismestellingen zijn gegeven in de volgende stelling. Gevolg 8.3.5 Zij H en N deelgroepen van een groep G. 1. (Tweede Isomorfismestelling) Als N een normale deelgroep is van G, dan is (a) N een normale deelgroep van HN, (b) H N een normale deelgroep van H, en (c) H/(N H) = HN/N. (d) Als G ook eindig is dan HN = H N H N. 2. (Derde Isomorfismestelling) Als N en H normale deelgroepen zijn van G met N H, dan (a) H/N is een normale deelgroep van G/N, en (b) (G/N)/(H/N) = G/H. Bewijs. (1) Uit een vorige eigenschap weten wij reeds dat H N = HN = NH. Omdat N een normale deelgroep is van G is uiteraard N een normale deelgroep van HN. Definiëer Dan, voor h 1, h 2 H, f : H HN/N : h hn. f(h 1 h 2 ) = h 1 h 2 N = (h 1 N)(h 2 N) = f(h 1 )f(h 2 ). Dus is f een groephomomorfisme. Omdat voor h H en n N, hnn = hn volgt er dat f surjectief is. Verder is h ker(f) als en slechts als hn = N, d.w.z. h N. Dus is ker(f) = H N en i.h.b. is H N een normale deelgroep van H. Wegens de eerste isomorfismestelling verkrijgen wij ook H/(N H) = HN/N.

82 HOOFDSTUK 8. HOMOMORFISMEN Als G bovendien eindig is, dan volgt uit H/(N H) = HN/N dat [H : (N H)] = [HN : N] en dus Bijgevolg H N H = HN N. HN = H N H N. (2) Omdat H en N normale deelgroepen zijn met N H bestaan de quotiëntgroepen G/N en G/H. Definiëer de afbeelding ψ : G/N G/H : gn gh. Ga na dat dit goed gedefiniëerd is en dat ψ een epimorfisme is. Nu is gn ker(ψ) als en slechts als ψ(gn) = gh = H, d.w.z. g H. Bijgevolg ker(ψ) = {gn g H} = H/N. I.h.b. is H/N G/N. Wegens de eerste isomorfismestelling verkrijgen wij aldus (G/N)/(H/N) = G/H. Dus Beschouw de additieve groep Z. Zij n, m Z dan nz/(nz mz) = (nz + mz)/mz. nz/kgv(n, m)z = ggd(n, m)z/mz. Merk op dat beide groepen cyclisch zijn van orde kgv(n, m)/n. Wij vermelden nog een nuttige eigenschap (wij hebben deze al verschillende keren impliciet gebruikt). Eigenschap 8.3.6 Zij f : G H een groephomomorfisme. Zij D een normale deelgroep van G. Als D ker(f) dan bestaat er een uniek groephomomorfisme f : G/D H

8.3. HOMOMORFISMESTELLINGEN 83 zodat met f nat = f nat : G G/D : g g = gd.

84 HOOFDSTUK 8. HOMOMORFISMEN

Hoofdstuk 9 Permutatiegroepen In dit hoofdstuk bestuderen wij permutatiegroepen en tonen aan dat elke groep als een deelgroep kan beschouwd worden van een permutatiegroep. Het idee van het tellen van het aantal herschikkingen van de letters van een alfabet gaat ver terug in de geschiedenis. In de 13de eeuw werden herschikkingen reeds als een abstract object aanvaard. De wiskundige Abu-l-Abbas ibn al-banna (1256-1321, uit Marrakech) gaf al een volledig bewijs dat het aantal herschikkingen van een verzameling met n elementen gelijk is aan n!. Het was pas in de 18de eeuw, o.a. door Lagrange, dat er aan herschikkingen werd gedacht als functies van een verzameling naar zichzelf. Het was Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) die de fundering van de theorie van permutatiegroepen legde en notatie invoerde. 9.1 Stelling van Cayley Stelling 9.1.1 (Stelling van Cayley) Een groep G is isomorf met een deelgroep van de symmetrische groep Sym(G). 85

86 HOOFDSTUK 9. PERMUTATIEGROEPEN Bewijs. Beschouw de afbeelding ψ : G Sym(G) : g ψ g met ψ g : G G : x gx. Wegens de vereenvoudigingseigenschappen in een groep is ψ g injectief. Voor y G geldt dat ψ(g 1 y) = y. Dus is elke ψ g ook surjectief, en bijgevolg ψ g Sym(G). Bijgevolg is ψ inderdaad een functie van G naar Sym(G). Omdat ψ g ψ h = ψ gh is ψ een groephomomorfisme. Als g ker(ψ) dan ψ g = 1 G. Dus gx = x voor alle x G. Bijgevolg g = e G en dus is ψ een monomorfisme. Wegens de eerste isomorfismestelling volgt er dat G = ψ(g) en deze laatste is een deelgroep van de symmetrische groep Sym(G). In een artikel van 1854 gaf Arthur Cayley (1821-1895) een abstract klinkende definitie van het begrip groep: een verzameling symbolen, 1, α, β,..., allen verschillend en zodanig dat het product van elke twee van hen (in gelijk welke volgorde) of het product van elk een van hen met zichzelf, tot de verzameling behoort, noemt men een groep. De symbolen die Cayley gebruikte waren, echter, steeds operatoren op een verzameling. Waarschijnlijk was hij zich niet bewust van een ander soort groep. Cayley schreef dat artikel, en vele andere, toen hij aan een advocaat was. In 1863 werd hij professor aan de Universiteit van Cambridge en hij schreef toen verschillende belangrijke artikels die geleid hebben tot een axiomatische definitie (1882) van een abstracte groep, door Walter Van Dyck. Zijn vroegere opemerking/definite is dus voor een kwart eeuw niet opgemerkt. 9.2 Eindige Permutatiegroepen Zij X een verzameling met n elementen. Meestal beschouwen wij X als de verzameling {1, 2,..., n} en wij noteren dan Sym(X) als S n. Dikwijls

9.2. EINDIGE PERMUTATIEGROEPEN 87 schrijft men dan een permutatie f : X X in de vorm ( ) 1 2 3 n f = f(1) f(2) f(3) f(n) Het is dan ook eenvoudig na te gaan dat S n = n! Inderdaad, elk element van de verzameling {1, 2,..., n} komt precies éénmaal voor in de tweede rij. Er zijn n keuzes voor het eerste element in de rij. Bijgevolg zijn er n 1 keuzes voor het tweede element in de rij, enz. Dus zijn er in totaal n(n 1) 2 1 mogelijkheden. Definitie 9.2.1 Een permutatie f is een k-cyclus als er er k verschillende elementen i 1, i 2,..., i k in {1, 2,..., n} bestaan zodat f(i) = i voor i {i 1,, i k } en f(i 1 ) = i 2, f(i 2 ) = i 3,, f(i k 1 ) = i k, f(i k ) = i 1. Men schrijft deze k-cyclus als (i 1 i 2 i k ). Men noemt k de lengte van de cyclus. Een 2-cyclus noemt men een transpositie. Twee permutaties π en ϕ noemt men disjunct als ϕ(i) = i voor elke i X met π(i) i. Wij merken op dat zulke permutaties commuteren, d.w.z., π ϕ = ϕ π. Lemma 9.2.2 Zij f S n en i {1,..., n}. Als k het kleinste getal is in N 0 zodat f k (i) {i, f(i),..., f k 1 (i)} dan f k (i) = i. Bewijs. Veronderstel dat f k (i) = f l (i) voor een 0 < l < k dan f k l (i) = f l (f k (i)) = i. Dit is echter in contradictie met de keuze van k.

88 HOOFDSTUK 9. PERMUTATIEGROEPEN Er volgt dus dat f S n een k cyclus is als k N 0 en een i {1,..., n} bestaan zodat 1. k is het kleinste getal in N 0 zodat f k (i) = i, en 2. f(j) = j voor alle j {i, f(i),..., f k 1 (i)}. Eigenschap 9.2.3 Elke permutatie is een product van disjuncte cyclussen. Dit product is uniek op de volgorde van de cyclussen na. We noemen dit de (disjuncte) cyclus ontbinding van de permutatie (meestal schrijft men niet de cyclussen van lengte één). Bewijs. Zij X = {1,..., n} en F = {i X f(i) = i}. Voor elke i F vormen wij de 1-cyclus (i). Zij nu i het kleinste getal in X \ F en zij k het kleinste getal in N 0 zodat f k (i) {i, f(i),..., f k 1 (i)}. Wegens de vorige eigenschap, f k (i) = i en wij vormen de k-cyclus (i f(i) f k 1 (i)). Als er nog een getal j bestaat in X dat niet behoort tot F {i, f(i),, f k 1 (i)}, zij dan l het kleinste getal in N 0 zodat f l (j) {j, f(j),..., f l 1 (j)} en vorm de l-cyclus (j f(j) f l 1 (j)). Er volgt dat f het product is van alle aldus gevormde cyclussen. Ga zelf na dat deze ontbinding uniek is. De ontbinding van ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f = 7 3 5 6 2 4 8 9 1 10 in S 10 is (1 7 8 9)(2 3 5)(4 6)(10).

9.2. EINDIGE PERMUTATIEGROEPEN 89 Aangezien wij een cyclus van lengte één meestal niet schrijven, noteren wij deze permutatie dus meestal eenvoudiger als (1 7 8 9)(2 3 5)(4 6) Wij weten dat S 3 zes elementen heeft en het is gemakkelijk na te gaan dat S 3 = {1, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}. Merk op dat de inverse van een k-cyclus terug een k-cyclus is (i 1 i 2 i k ) 1 = (i k i k 1 i 2 i 1 ). De orde van een k-cyclus in de groep S n is precies de lengte van de cyclus. Eigenschap 9.2.4 Zij f S n en f = c 1 c 2 c l, een product van disjuncte cyclussen c i van respectievelijke lengte k i. Dan is o(f) = kgv(k 1, k 2,..., k l ). Bewijs. Wij moeten dus het kleinste getal k N 0 bepalen zodat f k = 1. Welnu, omdat disjuncte cyclussen commuteren verkrijgen wij f k = (c 1 c 2 c l ) k = c k 1c k 2 c k l Dus, weer omdat de betrokken cyclussen disjunct zijn, volgt er dat f k = 1 als en slechts als elke c k i = 1 (voor 1 i l). Maar omdat o(c i ) = k i verkrijgen wij dus dat elke k i k. Bijgevolg kgv(k 1, k 2,..., k l ) k. Omdat f kgv(k 1,k 2,...,k l ) = 1 volgt het resultaat.

90 HOOFDSTUK 9. PERMUTATIEGROEPEN Dus o((1 7 8 9)(2 3 5)(4 6)(10)) = kgv(4, 3, 2) = 12. Beschouw nu π = (1 7 8 9)(2 3 5)(4 8). Dan o(π) = o((1 7 8 4 9)(2 3 5)) = 15. Eigenschap 9.2.5 Elke k-cyclus (met k 2) in S n is een product van k 1 transposities. Bijgevolg is de groep S n voortgebracht door alle transposities (i j), met i j en i, j {1, 2,, n}. Bewijs. Ga na dat (i 1 i 2 i k ) = (i 1 i k ) (i 1 i 3 )(i 1 i 2 ). De ontbinding van een permutatie in transposities is niet uniek. Bijvoorbeeld, (1 2) = (3 4)(1 2)(3 4). Doch wij zullen aantonen dat de pariteit van het aantal transposities in de ontbinding eenduidig bepaald is. Om dit aan te tonen benodigen wij het volgende. Zij f(x 1, X 2,..., X n ) een polynoom in n veranderlijken X 1, X 2,..., X n over R. Als ϕ S n dan is ϕf per definitie de polynoom Bijvoorbeeld, als f(x ϕ(1), X ϕ(2),..., X ϕ(n) ). f(x 1, X 2, X 3, X 4 ) = X 1 X 2 + 3X 4 7X 2 X 3 X 4 en dan ϕ = (1 3)(2 4) ϕf = X 3 X 4 + 3X 2 7X 4 X 1 X 2.

9.2. EINDIGE PERMUTATIEGROEPEN 91 Eigenschap 9.2.6 Zij ϕ, π S n en f een polynoom in de veranderlijken X 1, X 2,..., X n. Zij e de identiteit van S n. Dan 1. ef = f, 2. (ϕπ)f = ϕ(πf) 3. voor elke r R, ϕ(rf) = r(ϕf). Bewijs. Ga dit zelf na. Wij beschouwen nu de volgende polynoom in de veranderlijken X 1, X 2,, X n : n = (X i X j ). 1 i<j n Definitie 9.2.7 Voor elke ϕ S n is ofwel ϕ n = n, ofwel is ϕ n = n. In het eerste geval noemt men ϕ een even permutatie en in het tweede geval noemt men ϕ een oneven permutatie. Beschouw nu de afbeelding sgn : S n {1, 1} gedefiniëerd als volgt { 1 als ϕ even is, sgn(ϕ) = 1 als ϕ oneven is. Eigenschap 9.2.8 1. De afbeelding sgn is een groephomomorfisme. De kern van dit homomorfisme noemt men de alternerende groep van graad n, en deze wordt genoteerd A n. 2. Elke transpositie is oneven.

92 HOOFDSTUK 9. PERMUTATIEGROEPEN 3. Een k-cyclus is even als en slechts als k oneven is. 4. A n is een normale deelgroep van S n, en van index 2 indien n 2. 5. S n /A n = Z2 als n 2. Bewijs. (1) Wij moeten bewijzen dat sgn(f g) = sgn(f)sgn(g) voor f, g S n. Dit volgt uit de volgende redenering sgn(fg) n = fg n = f(g n ) = f(sgn(g) n ) = sgn(g)(f n ) = sgn(g)sgn(f) n (2) Uit de definitie merken we eerst op dat sgn(1 2) = 1. Dus (1 2) is oneven. Neem nu k {3,..., n}. Dan (1 k) = (2 k)(1 2)(2 k) 1. Omdat (1 2) oneven is en sgn een groephomomorfisme is volgt er dat (1 k) ook oneven is. Neem nu een willekeurige transpositie (l k) dan (l k) = (1 l)(1 k)(1 l) 1. Omdat (1 k) oneven is en sgn een groephomomorfisme is volgt er dat (l k) oneven is. (3) Wij weten dat een k-cyclus het product is van k 1 transposities. Weer omdat sgn een homomorfisme is volgt er dus dat een k-cyclus even is als en slechts als k oneven is. (4) en (5) A n is de kern van sgn en sgn is surjectief (als n 2). Dus volgt het resultaat uit de eerste isomorfismestelling. Wij weten reeds dat S n voortgebracht is door transposities. Wij hebben aangetoond dat elke transpositie een product is van transposities van de vorm (1 k). Dus verkrijgen wij onmiddellijk het eerste gedeelte van de volgende eigenschap. Het tweede gedeelte bewijst men analoog.

9.2. EINDIGE PERMUTATIEGROEPEN 93 Eigenschap 9.2.9 1. S n = (1 2), (1 3),, (1 n), 2. S n = a 1 = (1 2), a 2 = (2 3),, a n 1 = (n 1 n) en de volgende relaties zijn voldaan a 2 k = 1, (1 k n 1); (a k a k+1 ) 3 = 1, (1 k n 1); (a i a j ) 2 = 1, (1 i, j n 1 en i j > 1). Eigenschap 9.2.10 Zij f, g S n. Zij g = c 1 c k, de ontbinding in disjuncte cyclussen. Dan wordt de ontbinding in disjuncte cyclussen van fgf 1 bekomen door in elke cyclus c j een getal i te vervangen door f(i). Twee permutaties zijn geconjugeerd als en slechts als het type van hun cyclus ontbinding hetzelfde is.

94 HOOFDSTUK 9. PERMUTATIEGROEPEN

Hoofdstuk 10 Eindige Abelse Groepen In dit hoofdstuk classificeren wij de eindige abelse groepen. 10.1 Directe Producten Eigenschap 10.1.1 Zij G een groep. Als G 1 en G 2 deelgroepen zijn zodat: 1. G 1 en G 2 zijn normale deelgroepen van G, 2. G 1 G 2 = G, 3. G 1 G 2 = {e}, dan is G isomorf met het direct product G 1 G 2. Bewijs. Voorwaarde (2) zegt dat elk element g van G kan geschreven worden in de vorm g = g 1 g 2 met g 1 G 1 en g 2 G 2. Wij tonen nu aan dat deze uitdrukking uniek is. Veronderstel dus dat g 1 g 2 = g 1g 2 95

96 HOOFDSTUK 10. EINDIGE ABELSE GROEPEN met g i G i. Dan (g 1) 1 g 1 = g 2g 2 1 G 1 G 2. Wegens voorwaarde (3) verkrijgen wij (g 1) 1 g 1 = g 2g 2 1 = e en dus g 1 = g 1 en g 2 = g 2. Wij tonen nu aan dat de elementen van G 1 commuteren met de elementen van G 2. Zij dus g i G i. Dan, omdat G i G, en Dus en bijgevolg Dus g 1 g 2 = g 2 g 1. Er volgt dat de afbeelding g 1 g 2 g 1 1 G 2 g 2 g 1 1 g 1 2 G 1. g 1 g 2 g 1 1 g 1 2 G 2 G 1 g 1 g 2 g 1 1 g 1 2 = e. f : G = G 1 G 2 G 1 G 2 : g 1 g 2 (g 1, g 2 ) goed gedefiniëerd is. Ook is dit een isomorfisme van groepen. Het omgekeerde van de vorige stelling is uiteraard ook waar. Inderdaad als G = G 1 G 2 dan G = H 1 H 2 met H 1 = G 1 {e G2 } en H 2 = {e G1 } G 2. De groepen H i zijn normaal in G en H 1 H 2 = {e}. De Viergroep van Klein {e, a, b, c} is isomorf met {e, a} {e, b}, en dus isomorf met Z 2 Z 2. De cyclische groep Z 6 is isomorf met {[0] 6, [2] 6, [4] 6 } {[0] 6, [3] 6 }; en dus met Z 3 Z 2. 10.2 Fundamentele Stelling Lemma 10.2.1 Zij G een abelse groep.

10.2. FUNDAMENTELE STELLING 97 1. Als m N dan is G(m) = {g G g m = e} een deelgroep van G. 2. Als G = mn en (m, n) = 1, dan G = G(m) G(n). Bewijs. (1) Duidelijk is e G(m). Als g 1, g 2 G(m), dan (omdat G abels is), (g 1 g2 1 ) m = g1 m (g2 m ) 1 = ee = e. Dus g 1 g 1 2 G(m). (2) Omdat (m, n) = 1 bestaan er v, w Z zodat vm + wn = 1. Als g G, dan g = g 1 = g vm+wn = g vm g wn. Verder is g G = g mn = e. Dus g vm G(n) en g wn G(m). Bijgevolg G = G(m)G(n). Omdat G abels is zijn beide groepen G(n) en G(m) normale deelgroepen van G. Ook is G(n) G(m) = {e}. Inderdaad, zij g in de doorsnede. Dan g n = g m = e. Dus ook g 1 = g vm g wn = (g m ) v (g n ) w = ee = e. Er volgt dat G = G(m)G(n) = G(m) G(n). Definitie 10.2.2 Zij G een groep en p een priemgetal. Als de orde van elk element van G een macht van p is dan noemt men G een p-groep. Een voorbeeld van een p-groep is de cyclische groep (Z p n, +). Ook eindige directe producten van p-groepen zijn p-groepen. De groep (Z 6, +) is geen p-groep. Eigenschap 10.2.3 Zij G een eindige abelse p-groep. Dan: 1. het homomorf beeld van G is ook een p-groep.

98 HOOFDSTUK 10. EINDIGE ABELSE GROEPEN 2. de orde van G is een macht van p. Bewijs. (1) Zij N een (normale) deelgroep van G. Zij gn G/N. Dan g pn = e voor een n N 0. Dus ook (gn) pn = g pn N = en = N. Dus is o(gn) een macht van p. (2) Als G = {e} dan is dit resultaat triviaal. Veronderstel dus dat e g G. Dan is N = g een normale deelgroep van G en N = o(g) = p n voor een n N 0. Nu G/N = G < G. Dus door N inductie mag men veronderstellen dat G/N = p m voor een m N. Dus G = p m N = p n+m. Stelling 10.2.4 (Fundamentele Stelling van Eindige Abelse Groepen) Zij G een niet triviale eindige abelse groep. Dan is G isomorf met een direct product van cyclische groepen, elk van orde een macht van een priemgetal. De priemen die voorkomen zijn delers van de orde van G, en elke priemdeler van G komt voor in de ontbinding. Bovendien als p zo een priemgetal is, en als p t 1 p t 2 p tr de orden van de cyclische p-groepen zijn die voorkomen in deze ontbinding, dan zijn deze getallen uniek bepaald (men noemt deze de invarianten van G). Bewijs. Wij geven een bewijs in drie stappen: 1. G is het product van eindige abelse p-groepen 2. Elke eindige abelse p-groep is isomorf met een direct product van cyclische p-groepen. 3. De vorige twee stappen tonen aan dat G isomorf is met het direct product van cyclische p-groepen. Wij bewijzen dan vervolgens dat deze ontbinding uniek is. Veronderstel dat G = p n 1 1 p n 2 2 p n k k, met p 1,, p k verschillende priemgetallen. Door inductie volgt uit een vorige eigenschap dat G = G(p n 1 1 ) G(p n k k ).

10.2. FUNDAMENTELE STELLING 99 Dit bewijst stap (1). Merk op dat de orde van elke G(p n i i ) {e} een macht van p i is. Omdat ook G = G(p n 1 1 ) G(p n k k ) volgt er dat G(pn i i ) = p n i i. (2) Veronderstel nu dat G een eindige abelse p-groep is, met p een priemgetal. Wij bewijzen door inductie op G dat G isomorf is met een direct product van cyclische groepen van orde een macht van p. Als G = {e} dan is dit weer triviaal. Veronderstel dus dat het resultaat geldig is voor elke eindige abelse p-groep van orde minder dan G. We zoeken nu een e x G zodat G = x B voor een deelgroep B van G. Aangezien B < G volgt (2) dan uit de inductiehypothese. Wij maken een speciale keuze voor x. Inderdaad kies x G zodat o(x) o(y) voor elke y G (dus x is een element van maximale orde). Zij A = x. Wegens de inductiehypothese, en x i A heeft orde p t i. G/A = x 1 A x m A Wij tonen nu aan dat er een y i G bestaat zodat o(y i ) = p t i en x i A = y i A. Om de notatie te vereenvoudigen, zij ya een element van orde p t. Wij zoeken een representant van ya die orde p t heeft in G. Merk op dat p t o(y). Nu (ya) pt = A en dus y pt = x n voor een n < o(x). Zij o(x) = p i en o(y) = p j. Omdat p t o(y) hebben wij j t. Omdat n < o(x) hebben wij ook w < i met w het grootste natuurlijk getal zodat p w n. Wij wensen dat w t. Inderdaad want dan n = cp t voor een c N en dus y pt = (x c ) pt zodat (yx c ) pt = e en Ay = A(yx c ) (en yx c heeft orde p t ). Nu en o(y pt ) = o(x n ) = pj (p j, p t ) = pj p = t pj t, pi (p i, n) = pi (p i, p w ) = pi w.

100 HOOFDSTUK 10. EINDIGE ABELSE GROEPEN Dus p j t = p i w en bijgevolg j t = i w. Er volgt w = t + i j. Omdat, bij keuze, o(x) = p i o(y) = p j volgt er i j en dus w t, zoals gewenst. Er bestaan dus y i G zodat o(y i ) = p t i en x i A = y i A. Stel B = y 1,, y m = {y r 1 1 ym rm 0 r i < p t i }. Nu is AB = G. Wij tonen nu aan dat A B = {e}. Zij daarom a A B. Dan a = y r 1 1 ym rm met 0 r i < p t i. Dan, in G/A, e G/A = aa = (y 1 A) r1 (y m A) rm. Omdat G/A het direct product is van de y i A en o(y i A) = p t i volgt er dat elke r i = 0. Dus is a = e. Er volgt dat G = A B, zoals gewenst. Er blijft te bewijzen dat de ontbinding uniek is. Eerst verifiëert men dat het probleem kan herleid worden naar p-groepen. Zij daarom x 1 x r = y 1 y s met o(x i ) = p t i, t 1 t 2 t r 1, en o(y j ) = p u j, u 1 u 2 u s 1. Er volgt dat de p-machten isomorf zijn en dus x p 1 x p r = y p 1 y p s. Omdat deze groepen van kleinere orde zijn mag men per inductie veronderstellen dat de ontbinding uniek is. Gebruik deze informatie en toon vervolgens aan dat het aantal i met t i = 1 hetzelfde is als het aantal j met u j = 1. Dit alles bewijst het gewenste resultaat.

Hoofdstuk 11 Acties Door het abstraheren van de fundamentele eigenschappen van permutaties is men tot het begrip groep gekomen. Een belangrijk kenmerk dat deze groepeigenschappen niet vermelden is dat groepen ingebed zijn in permutatiegroepen. Wij zullen deze eigenschap nu terug herstellen. 11.1 Definitie Definitie 11.1.1 Zij X een verzameling en (G, ) een groep. Dan voert G een (linker) actie uit op X als er een groephomomorfisme bestaat. π : G Sym(X) : g π g Uiteraard is π een groephomomorfisme als π g h = π g π h, voor alle g, h G. Dus in het bijzonder, π e = 1 X, de identiteit op X. Voor x X, noteren wij π g (x) als g x. Wij verkrijgen aldus een afbeelding G X X : (g, x) g x 101

102 HOOFDSTUK 11. ACTIES die voldoet aan de volgende eigenschappen: 1. voor g, h G, x X, (g h) x = g (h x), 2. voor x X, e x = x. Net zoals in het bewijs van de stelling van Cayley bewijst men dat het bestaan van zulke afbeelding een actie definiëert van G op X. Wij geven nu enkele voorbeelden van acties. De identieke afbeelding Sym(X) Sym(X) definiëert een actie van Sym(X) op X. De stelling van Cayley zegt dat een groep (G, ) een actie voert op G. In dit geval, voor elke g, x G: en dus Dit is de linkse translatie actie. π g (x) = g x g x = g x. Een ander voorbeeld is de conjugatie op een groep G: G G G : (g, x) g x g 1. Zij G een groep en P(G) de verzameling van alle deelverzamelingen van G. Dan is G P(G) P(G) : (g, D) gd een actie van G op P(G) (de linkse translatie op deelverzamelingen). Ook voert G een actie uit op de verzameling van alle deelgroepen van G, dit door middel van de conjugatie. Zij V een vectorruimte over een lichaam F, dan voert F een actie uit op V.

11.1. DEFINITIE 103 Definitie 11.1.2 Veronderstel dat de groep G een actie voert op de verzameling X. De orbiet van x X is de verzameling O(x) = {g x g G}, de stabilisator van x is de verzameling G x = {g G g x = x}. De stabilisatoren zijn deelgroepen van G. Zij X G = {x X gx = x voor alle g G}. Beschouw de actie van S n op X = {1, 2,, n}. Dus, S n X X : (f, i) f(i). Dan, voor elke i X, O(i) = X en de stabilisator van i zijn al de permutaties f S n met f(i) = i. Dus de stabilisator is een deelgroep isomorf met S n 1. Voor de conjugatie actie in een groep G zijn de orbieten de conjugatieklassen en de stabilistor van g G is de centralisator C G (g). Voor de conjugatie actie op de deelgroepen van een groep G is de stabilisator van een deelgroep D de normalisator N G (D) = {g G gdg 1 = D}. Voor de linkse translatie op de deelverzamelingen van een groep G is de orbiet van een deelgroep H de verzameling van alle linkse nevenklassen van H. De stabilisator van H is H zelf. In het geval van de linkse translatie actie op een groep G is er slechts één orbiet, de groep G zelf. Definitie 11.1.3 Veronderstel dat de groep G een actie voert op de verzameling X. Als X de enige orbiet is dan noemt men de actie transitief.

104 HOOFDSTUK 11. ACTIES Wij beschouwen nog een voorbeeld. De groep GL n (R) voert een actie uit op R n (wij schrijven de elementen van R n in kolomvorm). GL n (R) R n R n : (A, X) AX. De stabilisator van X 0 is de verzameling van alle matrices A GL n (R) die X als eigenvector hebben met eigenwaarde 1 en de stabilisator von X = 0 is GL n (R). Schrijven wij de elementen van R n in rijvorm dan verkrijgen wij een afbeelding GL n (R) R n R n : (A, X) A X = XA. Deze voldoet aan, voor alle A, B GL n R en X R n, 1. (AB) X = B (A X), 2. 1X = X Schrijft men echter XA als X A dan worden de vorige twee eigenschappen als volgt herschreven, 1. X (AB) = (X A) B, 2. X 1 = X Men noemt een afbeelding X G X : (x, g) x g die voldoet aan (voor alle x X, g, h G) 1. x (gh) = (x g) h, 2. x e = x een rechteractie. Dit is equivalent met ψ : G Sym(X) : g ψ g,

11.2. ORBIET-STABILISATOR STELLING 105 waarbij ψ g : X X : x x g, is een antihomomorfisme, d.w.z. voor alle g, h G, ψ(gh) = ψ(h) ψ(g). 11.2 Orbiet-Stabilisator Stelling Eigenschap 11.2.1 Veronderstel dat de groep G een (linker) actie voert op de verzameling X. Zij de relatie op X gedefinieerd als volgt: x 1 x 2 als er een g G bestaat zodat g x 1 = x 2. Dan is een equivalentierelatie met de orbieten als equivalentieklassen. Dus de orbieten vormen een partitie van de verzameling X. Bewijs. Ga dit zelf na. Stelling 11.2.2 (Orbiet-Stabilisator Stelling) Veronderstel dat de groep G een (linker) actie voert op de verzameling X. Voor x X, O(x) = [G : G x ]. Bewijs. Het is voldoende om aan te tonen dat de volgende afbeelding een bijectie is. f : O(x) {gg x g G} : gx gg x Eerst tonen wij aan dat de afbeelding goed gedefiniëerd is. Veronderstel daarom dat gx = hx, met g, h G. Dan h 1 gx = x en dus h 1 g G x. Bijgevolg hg x = gg x en dus is de afbeelding inderdaad goed gedefiniëerd.

106 HOOFDSTUK 11. ACTIES De afbeelding is duidelijk surjectief. Om aan te tonen dat f injectief is veronderstellen wij dat f(gx) = f(hx). Dan gg x = hg x en dus h 1 g G x. Bijgevolg h 1 gx = x en dus hx = gx, zoals gewenst. Gevolg 11.2.3 Veronderstel dat de groep G een (linker) actie voert op de verzameling X. Als G eindig is dan is het aantal elementen in een orbiet een deler van de orde van de groep G. Gevolg 11.2.4 Voor een groep G en a G, C(a) = [G : C G (a)]. Bewijs. Beschouw de conjugatieactie op G. Voor a G is de stabilisator precies de centralisator C G (a) en de orbiet van a is de conjugatiekklasse C(a). Dus volgt het resultaat. Wij analyseren nu de conjugatieklassen van S 5 en A 5. Herinner dat in S 5 twee permutaties geconjugeerd zijn als en slechts als zij van hetzelfde cyclus type zijn. S 5 Cyclus type Aantal Orde Teken 1 1 1 even (1 2) 10 2 oneven (1 2 3) 20 3 even (1 2 3 4) 30 4 oneven (1 2 3 4 5) 24 5 even (1 2)(3 4 5) 20 6 oneven (1 2)(3 4) 15 2 even

11.2. ORBIET-STABILISATOR STELLING 107 A 5 Conjugatieklasse Aantal Orde Teken C(1) 1 1 even C(1 2 3) 20 3 even C(1 2 3 4 5) 12 5 even C(1 2 3 5 4) 12 5 even (1 2)(3 4) 15 2 even Wij merken dus op dat in S 5 de conjugatieklasse van (1 2 3 4 5) precies 24 elementen bevat, maar dat deze verzameling splitst in twee verzamelingen (twee verschillende conjugatieklassen) in A 5. De volgende stelling geeft een middel om het aantal orbieten van een actie van een eindige groep G op een eindige verzameling te bepalen. Voor g G noteren wij X g = {x X gx = x}. Stelling 11.2.5 Zij G een eindige groep die een linker actie voert op de eindige verzameling X. Zij r het aantal orbieten in X. Dan r G = g G X g. Bewijs. Zij n = {(g, x) g G, x X, gx = x}. Voor elke g G zijn er X g paren met g als eerste component. Dus n = g G X g. Voor elke x X zijn er G x paren met x als tweede component. Dus n = x X G x. Wegens de orbiet-stabilisator stelling weten wij O(x) = [G : G x ]. Dus n = G O(x) = G 1 O(x). x X x X

108 HOOFDSTUK 11. ACTIES Nu, y O(x) 1 O(y) = y O(x) 1 O(x) = 1 en dus X g = n = G (aantal orbieten in X) = G r. g G Veronderstel dat de eindige groep G een linker actie voert op de eindige verzameling X. Merk op dat als Y een deelverzameling is van X die precies 1 element bevat uit elke orbiet die meer dan 1 element bevat, dan X = X G + O(y). y Y Stelling 11.2.6 Zij G een groep van orde p n (p een priemgetal) en veronderstel dat G een linker actie voert op X. Dan X X G (mod p). Bewijs. Met notaties zoals in de opmerking voor de stelling. We weten dat O(y) een deler is van G = p n. Dus is p een deler van elke O(y). Uit de vergelijking voor de stelling volgt dan X X G deelbaar is door p. Wij zullen nu bewijzen dat elke eindige p-groep als orde een macht van p heeft (dus een resultaat zoals in het commutatieve geval). De volgende stelling bevat hiervoor de essentie. Stelling 11.2.7 (Stelling van Cauchy) Zij p een priemgetal en G een eindige groep. Als p een deler is van G dan heeft G een element van orde p. Bewijs. Zij X = {(g 1, g 2,..., g p ) g 1 g 2 g p = e, g i G, 1 i p}. Merk op dat X = {(g 1, g 2,..., g p ) g p = (g 1 g 2 g p 1 ) 1, g i G, 1 i p 1}. Dus X = G p 1. Omdat G deelbaar is door p, volgt dat X deelbaar is door p.

11.3. SYLOWSTELLINGEN 109 Zij σ = (1, 2, 3,, p) S p. Wij hebben duidelijk een actie gedefinieerd door σ X X σ(g 1,, g p ) = (g 2, g 3,, g p, g 1 ) en definieer dat σ i (g 1,, g p ) iteratief. Wegens Stelling 11.2.6, X X σ mod p. Omdat p X volgt er dus dat p X σ. Omdat (e, e,, e) X volgt er dat X σ p. Zij dan (e, e,, e) (g 1,, g p ) X σ. Dus, σ(g 1, g 2,, g p ) = (g 1, g 2,, g p ) en bijgevolg g 1 = g 2 = = g p. er volgt dat g p 1 = g 1 g 2 g p = e. Gevolg 11.2.8 Zij G een eindige groep. Dan is G een p-groep als en slechts als G een macht van p is. Bewijs. Bewijs dit als een oefening. 11.3 Sylowstellingen Lemma 11.3.1 Zij H een deelgroep van een eindige groep G. Als H een p-groep is (p priem) dan [N G (H) : H] [G : H] mod p. I.h.b., als p een deler is van [G : H] dan N G (H) H. Bewijs. Zij L = {gh g G} en beschouw de volgende actie H L L : (h, gh) hgh. Merk op dat L H = {gh hgh = gh voor alle h H} = {gh g 1 hg H voor alle h H} = {gh g N G (H)} = {gh gh N G (H)}. Dus L H = [N G (H) : H]. Omdat H een p-groep, weten wij wegens Gevolg 11.2.8 dat H een macht is van p. Ook weten wij uit Stelling 11.2.6 dat L L H mod p. Dus, [G : H] [N G (H) : H] mod p.

110 HOOFDSTUK 11. ACTIES Stelling 11.3.2 (Eerste Sylow stelling) Zij G een eindige groep en G = p n m met n 1 en (p, m) = 1 (p een priemgetal). De volgende eigenschappen gelden. 1. G heeft een deelgroep van orde p i met i zodat 1 i n. 2. elke deelgroep H van orde p i is een normale deelgroep van een deelgroep van orde p i+1 voor 1 i < n. Bewijs. Wegens Stelling 11.2.7 weten wij dat G een deelgroep heeft van orde p. Wij bewijzen nu door inductie dat als G een deegroep H heeft van orde p i, met 1 i < n, dan heeft G een deelgroep van orde p i+1 (met H als normale deelgroep). Inderdaad, omdat i < n weten wij dat p [G : H]. Wegens Lemma 11.3.1 weten wij ook dat p [N G (H) : H]. Omdat H een normale deelgroep is in N G (H) kunnen wij de quotientgroep N G (H)/H vormen. Weer wegens Stelling 11.2.7 verkrijgen wij een deelgroep K van N G (H)/H van orde p. Uit de Isomorfismestellingen weten wij dat K = K/H met K een deelgroep van N G (H) (en dus van G) die H omvat. Duidelijk is K = p i+1, zoals gewenst. Omdat H een normale deelgroep is van N G (H) en H K N G (H) is duidelijk ook H een normale deelgroep van K. Dus volgt het resultaat. Definitie 11.3.3 Een Sylow p-deelgroep P van een groep G is een maximale p-deelgroep van G, d.w.z. dit is een p-deelgroep die niet omvat is in een echt grotere p-deelgroep. Stelling 11.3.4 (Tweede Sylow stelling) Zij P 1 en P 2 Sylow p-deelgroepen van een eindige groep G. Dan zijn P 1 en P 2 geconjugeerd, d.w.z., er bestaat een g G zodat P 1 = gp 2 g 1. Bewijs. Zij L = {gp 1 g G} en beschouw de volgende actie P 2 L L : (y, gp 1 ) (yg)p 1. Wegens Stelling 11.2.6, L P2 L mod p. Omdat p L = [G : P 1 ] volgt er dat L P2 0. Zij gp 1 L P2. Dan ygp 1 = gp 1 voor alle y P 2. Dus g 1 P 2 g P 1. Omdat P 1 = P 2 en g 1 P 2 g = P 2 moet P 1 = g 1 P 2 g. Dus zijn P 1 en P 2 geconjugeerd.

11.3. SYLOWSTELLINGEN 111 Stelling 11.3.5 (Derde Sylow Stelling) Als G een eindige groep is en p deelt G (met p een priemgetal) dan is het aantal Sylow p-deelgroepen congruent met 1 modulo p en deelt G. Bewijs. Zij P een Sylow p-deelgroep van G. Zij L de verzameling van alle Sylow p-deelgroepen van G. Beschouw de volgende actie P L L : (g, H) ghg 1. Wegens Stelling 11.2.6, L L P mod p. Nu als H L P dan ghg 1 = H voor alle g P. Dus P N G (H). Duidelijk, H N G (H). Omdat P en H Sylow p-deelgroepen zijn van G, zijn dit dus ook Sylow p-deelgroepen van N G (H). Maar, wegens Stelling 11.3.4, bestaat g N G (H) zodat P = ghg 1. Omdat H normaal is N G (H) volgt er P = H. Dus, L P = {P } en dus L 1 mod p, zoals gewenst. Beschouw vervolgens de actie G L L : (g, H) ghg 1. Omdat alle Sylow p-deelgroepen geconjugeerd zijn is er slechts een orbiet (de actie is transitief). Als P L dan L = orbiet van P = [G : G P ], wegens de orbiet-stabilisatorstelling (merk op dat G P = N G (P )). Omdat [G : G P ] een deler is van G, volgt er dat L een deler is van G. De Sylow stellingen zijn te danken aan de Noorse wiskundige Peter Ludvig Mejdell Sylow (1832-1918). Hij publiceerde die stellingen in 1872. Sylow formuleerde zijn stellingen voor permutatiegroepen (omdat de abstracte definitie van groep nog niet bekend was). In 1887 herbewees Georg Grobenius de stellingen voor abstracte groepen; alhoewel hij opmerkte dat elke groep kan beschouwd worden als een permutatiegroep (Stelling van Cayley). Sylow gaf toepassingen van zijn stellingen voor oplossingen van algebraische vergelijkingen. Hij bewees o.a. dat elke vergelijking wiens Galois-groep een p-groep is oplosbaar is door radikalen. Pas in 1898 werd Sylow Professor aan de Christiana Universiteit. Voordien was hij een leraar.

112 HOOFDSTUK 11. ACTIES 11.4 Semidirecte producten van groepen Eigenschap 11.4.1 Zij N en G groepen en Sylow (1832-1918) π : G Aut(N) : g π g een groephomomorfisme. Dan is S = N G een groep voor de volgende bewerking (n 1, g 1 )(n 2, g 2 ) = (n 1 π g1 (n 2 ), g 1 g 2 ). Bovendien zijn N 0 = N {e G } en G 0 = {e N } G deelgroepen van S. Verder, N 0 = N en G0 = G en 1. S = N 0 G 0, 2. N 0 S, 3. N 0 G 0 = {e S }. Men noteert deze groep meestal als N π G. Bewijs. Wij verifiëren eerst dat S een groep is. Het product definiëert duidelijk een bewerking. De associativiteit volgt uit het volgende: ((n 1, g 1 )(n 2, g 2 )) (n 3, g 3 ) = (n 1 π g1 (n 2 ), g 1 g 2 )(n 3, g 3 ) = (n 1 π g1 (n 2 )π g1 g 2 (n 3 ), (g 1 g 2 )g 3 ) = (n 1 π g1 (n 2 π g2 (n 3 )), g 1 (g 2 g 3 )) = (n 1, g 1 )(n 2 π g2 (n 3 ), g 2 g 3 ) = (n 1, g 1 ) ((n 2, g 2 )(n 3, g 3 ))

11.4. SEMIDIRECTE PRODUCTEN VAN GROEPEN 113 Verifiëer zelf dat (e N, e G ) het neutraal element is. Verder, (n, g)(π 1 g (n 1 ), g 1 ) = (e N, e G ) = (πg 1 (n 1 ), g 1 )(n, g). Dus heeft elk element een invers en is S een groep. De andere voorwaarden zijn eenvoudig te verifiëren. Definitie 11.4.2 Een groep S is een semidirect product van een deelgroep N bij een deelgroep G als aan de volgende voorwaarden voldaan is: 1. S = NG, 2. N S, 3. N G = {e S }. Eigenschap 11.4.3 Zij S het semidirect product van N bij G. Dan is de afbeelding π : G Aut(N) : g π g met een groephomomorfisme. π g : N N : n gng 1 Bewijs. Omdat N S is elke π g een automorfisme van N (het is de beperking van een conjugatie tot N). Duidelijk is π een groephomomorfisme. Een voorbeeld van een semidirect product is D 6 = a, b a 3 = 1, b 2 = 1, ba = a 2 b. Inderdaad D 6 = C3 C 2,

114 HOOFDSTUK 11. ACTIES met C 3 = a en C 2 = b. Dus men ontbindt de groep D 6 in eenvoudigere groepen, bovendien hebben deze eenvoudigere groepen geen echte normale deelgroepen. Definitie 11.4.4 Een groep G noemt men enkelvoudig (simpel) als G en {e} de enige normale deelgroepen zijn van G. Voorbeelden van enkelvoudige groepen zijn de cyclische groepen van orde een priemgetal en ook de alternerende groepen A n met n 5. Al de eindige eenvoudige groepen zijn geklassificeerd. Dit was enorm project en het uiteindelijke bewijs omvat meer dan 10000 blz in vele internationaal gepubliceerde artikels (meestal verschenen in de periode 1955-1985). Momenteel schrijft men een reeks boeken die een een volledig overzichtelijk bewijs en strategie zouden moeten geven. Belangrijke medewerkers aan dit project zijn o.a. Chevalley, Tits, Steinberg, Suzuki, Ree, Mathieu, Burnside, Conway, Janko, Fischer, Brauer, Gorenstein Feit, Aschbacher, Thompson. Chevalley (1909-1984) Gorenstein (1923-1992)

Hoofdstuk 12 Oefeningen 1. Zij p(x) = x is deelbaar door 10 en q(x) = x is even. schrijf p(x) en q(x) met symbolen Geef de negatie van p(x) Geef de conjunctie van p(x) en q(x) Schrijf q(x) impliceert p(x), en de contrapositie ervan Schrijf de equivalentie van p(x) en q(x) op Zeg van deze uitspraken of ze waar zijn of niet. 2. Stel de waarheidstafel op van de exclusieve of (Xor). Ken je een uitdrukking die equivalent is? 3. Geef de waarheidstafels van (p rightarrowq) (q p) q ( p q) [(p q) (q r)] (p r) 4. Toon aan dat (p q) en p q logisch equivalent zijn. Wat kan je zeggen over (p q) en p q? 5. Toon aan dat p q en (p q) (q p) logisch equivalent zijn. 115

116 HOOFDSTUK 12. OEFENINGEN 6. Het aantal rijen van een waarheidstabel hangt af van het aantal samenstellende uitspraken. Wat is het verband? 7. Schrijf de waarheidstafels op voor volgende logische uitspraken en leid er een equivalente vorm voor de uitspraak uit af: (a) ( p) (b) (p q) (c) (p q) (d) (p q) (e) (p q) 8. Een tautologie (of logische wet) is een uitspraak die steeds waar is. Toon aan dat volgende beweringen tautologieën zijn en interpreteer: (a) (p ( p)) (b) p ( p) (c) (p p) p (d) (p q) (q p) (e) (p (q r)) ((p q) r) (f) ( p) p (g) p (q p) (h) p (p q) (i) (p q) (q p) 9. Is p (q p) logisch equivalent met (p q) p? 10. Noteer volgende oefeningen met behulp van kwantoren. Bepaal eventueel of de bewering waar of vals is. Schrijf de negatie van de bewering op met kwantoren en met woorden. (a) Alle mensen zijn slim. (b) Er zijn mensen die groot zijn. (c) Er zijn mensen die groot zijn en lang haar hebben.

(d) Niet alle mensen hebben kort haar. (e) Alle wegen leiden naar Rome. 117 (f) Voor elke mens geldt: als hij groot is, dan is hij niet klein. (g) Een geheel getal is positief. (h) Elk natuurlijk getal is even. (i) Sommige reële getallen zijn positief. 11. Schrijf alle deelverzamelingen van {1, 2, 3}. 12. Hoeveel deelverzamelingen heeft een verzameling met 2 elementen? Met 3 elementen? Met n elementen? 13. Wanneer behoort een element niet tot A B? Vul aan: x A B... 14. analoog: x A B... 15. analoog: x A\B... 16. Toon aan dat B A A B = B A B = A A (A B) = A A (A B) = A 17. Wanneer is x i I A i? 18. Geef de betekenis in woorden van de volgende uitspraken. Zeg of ze waar of onwaar zijn. Geef de negatie in symbolen en woorden. x Z, y Z : x < y x Z, y N : x > y x Z, y Z : x < y ε > 0, δ > 0, x R x a < δ f(x) f(a) < ε 19. Zij A = {2, 3}, B = {4, 5, 6} en C = {a, b, c, d}. Geef A B, B A, A C, C B, A 2, C {a}.

118 HOOFDSTUK 12. OEFENINGEN 20. Zij A = {1, 2, 3, 4} en beschouw de relatie : is kleiner dan of gelijk aan op A. Geef de elementen van. Geef de inverse relatie van. 21. Zij f : A B een functie en S 1, S 2 A. Bewijs dat (a) f(s 1 S 2 ) = f(s 1 ) f(s 2 ) (b) f(s 1 S 2 ) f(s 1 ) f(s 2 ) Zoek voorbeelden die dit illustreren. 22. Zij f : A B een functie die niet noodzakelijk inverseerbaar is, en S A en T, T 1, T 2 B. Bewijs dat (a) f 1 (T 1 T 2 ) = f 1 (T 1 ) f 1 (T 2 ) (b) f 1 (T 1 T 2 ) = f 1 (T 1 ) f 1 (T 2 ) (c) f(f 1 (T )) T (d) f 1 (f(s)) S Zoek voorbeelden die dit illustreren. 23. Toon aan: f : A B is injectief b B : f 1 (b) bevat hoogstens n element. 24. (a) Zij f : A B. Toon aan dat f 1 A = f = 1 B f. (b) Toon aan dat de samenstelling van 2 injecties opnieuw een injectie is. (c) Toon aan dat de samenstelling van 2 surjecties opnieuw een surjectie is. 25. Zij f(x) = x, g(x) = x/4 en h(x) = 4x 8. Zoek het functievoorschrift voor: (a) h g f (b) h f g (c) g h f (d) g f h (e) f g h

119 (f) f h g 26. Zij f(x) = x 3, g(x) = x, h(x) = x 3 en j(x) = 2x. Schrijf de volgende functies als een samenstelling van de bovenstaande: (a) x 3 (b) 2 x (c) x 1/4 (d) 4x (e) (x 3) 3 (f) (2x 6) 3 (g) 2x 3 (h) x 3/2 (i) x 9 (j) x 6 (k) 2 x 3 (l) x 3 3 27. Toon aan voor inverteerbare functies f en g: (a) (f 1 ) 1 = f (b) (g f) 1 = f 1 g 1 28. Onderzoek of volgende functies inverteerbaar zijn. Zo ja, bepaal de inverse functies. Zo nee, definieer een bijectie f met hetzelfde voorschrift als f en bepaal ( f) 1. (a) f : R R : x x (b) f : R R : x x + 1 (c) f : R R : x 2x + 3 (d) f : R + R + : x x (e) f : R R : x 3 2x + 2 (f) f : R R : x 1 (g) f : R 0 R : x 2x 3 x

120 HOOFDSTUK 12. OEFENINGEN (h) f : R R : x sin x 29. Zij h : Z Z Z : h(x, y) = 2x + 3y. Bepaal het beeld van h. Is h injectief? Surjectief? 30. Bewijs: f(s 1 S 2 ) = f(s 1 ) f(s 2 ) als f injectief is (zie oef. 21). Geef een voorbeeld van een functie waarbij f(s 1 S 2 ) f(s 1 ) f(s 2 ). 31. Bepaal of volgende functies injectief zijn. Geef hun beeld. (a) f : Z Z : x 2x + 1 (b) f : Q Q : x 2x + 1 (c) f : Z Z : x x 3 x (d) f : R R : x e x (e) f : [ π/2, π/2] R : x sin x (f) f : [0, π] R : x sin x 32. Stel f : A B, met A = X Y en X Y =. Als f X en f Y injectief zijn, wat kan je dan zeggen van f? 33. Bepaal voor elk van de volgende functies f : Z Z of ze injectief of surjectief zijn. Indien niet surjectief, bepaal f(z): (a) f(x) = x + 7 (b) f(x) = 2x 3 (c) f(x) = x + 5 (d) f(x) = x 2 (e) f(x) = x 2 + x (f) f(x) = x 3 34. Zelfde vraag als oefening 33, waarbij f als een functie van R naar R beschouwd wordt. 35. Toon aan: als A en B verzamelingen zijn, dan geldt: (A B) (B A) = (A B) (A B). [examen augustus 2005]

121 36. Vul aan (gebruik, of =) en bewijs: als A en B verzamelingen zijn, dan geldt: (A B) (B A)... (A B) (A B). 37. Voor welke bewerkingen wordt Z een semigroep? Een monoïde? Een groep? Welke bewerkingen zijn commutatief? (a) a b = ab (b) a b = a + b (c) a b = a b (d) a b = a b (e) a b = max(a, b) (f) a b = a 38. Zij X een verzameling en stel c(x) de verzameling van alle constante functies X X. Is c(x) uitgerust met de samenstelling van functies een semigroep? Een monoïde? Een groep? Commutatief? 39. Beschouw de verzameling van alle functies N N uitgerust met de samenstelling van functies. Is dit een semigroep? Een monoïde? Een groep? Commutatief? Beschouw f : N N : x 2x en g : N N : x [ x ]. Bepaal f g en g f. 2 40. Zij (S, ) een monoïde met neutraal element e. (a) Veronderstel dat a b = b c = e. Toon aan dat a = c. (b) Veronderstel dat f voldoet aan a f = a voor alle a. Kun je iets besluiten over f? Geldt hetzelfde besluit als (S, ) slechts een semigroep is? (c) Veronderstel dat f voldoet aan f f = f (we noemen f een idempotent). Kun je iets besluiten over f? Geldt hetzelfde besluit als (S, ) een groep is? 41. Vind een struktuur van monoïde op N die zo is dat voor elke n N getallen a en b in N bestaan waarvoor de vergelijking a x = b precies n oplossingen x N heeft.

122 HOOFDSTUK 12. OEFENINGEN 42. Zij G een groep en c een element van G. Toon dat de bewerking x y = xcy een groepsstruktuur op G definieert. 43. Zij G een groep. (a) Als x 2 = e voor elke x G, dan is G abels. (b) Als (xy) 2 = x 2 y 2 voor alle x, y G, dan is G abels. (c) Geef een voorbeeld van een niet abelse G met (xy) 6 = x 6 y 6 voor alle x, y G. 44. Zijn de volgende structuren ringen, commutatieve ringen, scheef lichamen, lichamen: (N, +, ), (Z, +, ), (Q, +, ), (C, +, ), (Z 5, +, ), (Z 6, +, ), (P(E),, ), (H, +, )? Wat kan je over (M 2 (Z), +, ) zeggen? 45. Bereken de groep van de inverteerbare elementen van de volgende ringen: (Z, +, ), (Z 5, +, ), (Z 6, +, ), (Z 8, +, ), (M 2 (Z), +, ), (M 2 (R), +, )? 46. De diëdergroep D 2n is de symmetriegroep van een regelmatige n- hoek in het vlak. (a) Bepaal de symmetriegroep van een niet vierkantige rechthoek. (b) Bepaal de symmetriegroep van de verzameling Z in de 1- dimensionale ruimte. Deze groep wordt de oneindige diëdergroep D genoemd. 47. Bespreek het verband tussen volgende eigenschappen van een groep G. (a) G is een eindige groep; (b) Elk element van G heeft eindige orde. 48. Toon dat in een groep G geldt dat o(h) = o(g 1 hg). 49. In de groep GL 2 (R), bepaal de orde van a = ( ) 0 1 en van ab. 1 1 ( 0 1 1 0 ), van b =

123 50. De groepen Z 2 Z 6 en Z 3 Z 4 bestaan allebei uit 12 elementen. Zijn ze cyclisch? Vind een criterium voor de situatie dat Z n Z m cyclisch is. 51. (a) Zij G cyclisch van orde n met een voortbrenger a. Wanneer is a k ook een voortbrenger van G? (b) Vind een groeptheoretisch bewijs dat ggd(n 1, n) = 1. 52. Is de unie van twee deelgroepen opnieuw een deelgroep? 53. Als G een groep is, stel T = {g G o(g) < } = {g G g n = e voor een n N 0 } (a) Als G abels is, ga na dat dit een deelgroep van G is (men noemt dit de torsiedeelgroep van G). Wat als G niet abels is? (b) Indien G = (C, ), welke g = ρe iθ behoren tot T? 54. Bepaal het centrum van de Diëdergroep D 2n (n 1). 55. Bepaal: (a) de linker- en rechternevenklassen van de deelgroep R {0} in de groep (R 2, +). (b) de linker- en rechternevenklassen van de deelgroep R + 0 R + 0 in de groep (R 2 0, ). (c) de partitie van de groep (Z, +) in nevenklassen van de deelgroep 6Z en de partitie van de groep (Z 12, +) in nevenklassen van de deelgroep voorgebracht door het element 3 Z 12. 56. Kan je een groep van 21 elementen construeren zodat er een element in deze groep van orde 6 bestaat? Kan je een niet cyclische groep van orde 59 vinden? 57. Toon dat een deelgroep bevat in het centrum van een groep steeds normaal is. 58. Vind in S 3 een deelgroep van orde 2 en een van orde 3. Bepaal hun linker en rechter nevenklassen. Zijn de deelgroepen normaal?

124 HOOFDSTUK 12. OEFENINGEN 59. De quaternionengroep Q 8 bestaat uit de acht elementen {1, 1, i, i, j, j, k, k}. (a) Vul de volgende tabel aan: 1 1 i i j j k k 1 1 1 1 i i j j k k i i 1 1 k k j i i 1 k k j j k k 1 1 i i j j k k 1 i k k j j i i 1 k k j j i i 1 1 (b) Geldt ( i j)i = i(j i)? jk = kj? (c) Vind alle deelgroepen van Q 8. Welke zijn normaal? 60. Beschouw de deelgroep G = {1, (ab)(cd), (da)(bc), (ac)(bd), (abcd), (adcb), (bd), (ac)} van S 4. Zij H = {1, (ab)(cd), (da)(bc), (ac)(bd)}, K 1 = {1, (ab)(cd)} en K 2 = {1, (ac)(bd)}. Is H normaal in G? K i normaal in H? K i normaal in G? 61. Beschrijf het quotient (R 0, )/(R + 0, ). 62. Bepaal de torsiedeelgroep van de abelse groep (R, +), van de deelgroep (Z, +) en van het quotient (R/Z, +). 63. Bestaat er een groep G met centrum Z (a) zodat het quotient G/Z cyclisch van orde 13 is? (b) zodat G/Z abels is maar G niet? 64. Bewijs eigenschap 8.3.6. 65. Zijn de volgende functies groep homomorfismen? Als zo, bepaal hun kern en beeld.

125 (a) (R, +) (R, +) : x x 2 (b) (R, +) (R + 0, ) : x e x (c) (R 2, +) (R 0, ) : (x, y) e x+y (d) (R, +) (C 0, ) : x e 2πx (e) (Z, +) (Z, +) : z z + 1 (f) (R 0, ) (R 0, ) : x x 3 (g) (C 0, ) (C 0, ) : x x 2 (h) (Z 2, +) (R, +) : (a, b) a + bπ 66. (a) Vind een isomorfisme tussen (R 0, ) en (Z 2, +) (R + 0, ). (b) Construeer een isomorfisme tussen (C 0, ) en (S, ) (R + 0, ), waar S = {z C z = 1}. 67. Beschouw het endomorfisme f van S 3 dat 1,(123) en (132) afbeeldt op 1 en de overige elementen op (12). (a) Is f injectief? Surjectief? (b) Zijn ker f en Beeldf (normale?) deelgroepen van S 3? (c) Ga de eerste isomorfismestelling na op dit voorbeeld. 68. Beschouw een homomorfisme f : G H. Toon dat als g G eindige orde heeft, dan deelt de orde van f(g) de orde van g. Kunnen we meer zeggen als f een monomorfisme is? 69. Zij f : (R, +) (R 0, ) een homomorfisme dat afleidbaar is als functie R R. Toon aan: (a) f(x) > 0 x R; (b) a R : f(x) = e ax x R. 70. Stel p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5,...,p n = het n-de priemgetal. Dan kan elk strikt positief rationaal getal q geschreven worden als een produkt q = n=1 pmn n waar m n Z nul wordt voor n voldoende groot. Is f : (Q + 0, ) (Z, +) : q (m n ) n n N 0 een homomorfisme? Een monomorfisme? Een epimorfisme?

126 HOOFDSTUK 12. OEFENINGEN 71. Volgens de stelling van Cayley (8.1.1) bestaat er een monomorfisme Z 6 S 6. Bestaat er ook een monomorfisme Z 6 S 5? 72. (a) Zoek een isomorfisme tussen A 4 en de groep van de rotaties van de ruimte die een tetraëder invariant laten. (b) Toon aan dat A 4 geen deelgroep van index 2 heeft. (c) Ga na dat K = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} een deelgroep is van A 4. (d) Is A 4 enkelvoudig? 73. Zij GL(2, R) de groep van matrices van determinant veschillend van 0 en SL(2, R) de groep van matrices van determinant 1. Gebruik de feit dat de determinant een groepshomomorfisme is en de eerste isomorfisme stelling om de quotient (GL(2, R)/SL(2, R), ) te bepalen. 74. Zij S = {z C z = 1} en µ C n = {z S z n = 1}. (a) Bewijs dat ϕ : (R, +) (S, ) : x e 2πix een groepshomomorfisme is. (b) Bepaal (R/Z, +). (c) Bewijs dat (S, ) (S, ) : z z n een homomorfisme is. Wat is de kern? Wat is het beeld? (d) Bepaal (S/µ C n, )! 75. Bepaal volgende quotienten: (a) (Z/5Z, +), (b) (Z/nZ, +) voor een n N 0, (c) (Z 2 /(2Z 5Z), +), (d) (Z 2 /(mz nz), +) voor n, m N 0. 76. Bepaal de quotient (R 2 0/{(x, y) R 2 0 y = x 2 }, ). 77. Bepaal in (S 100, ) (a) {q S 100 q (123) q 1 = (456)} (b) {q S 100 q (123) q 1 = (123)}

127 (c) {q S 100 q (123)(45) q 1 = (345)(67)} (d) {q S 100 q (12)(34) q 1 = (12)(34)} (e) {q S 100 q (123) q 1 = (12)} 78. Geef een voorbeeld (als mogelijk) van (a) een even permutatie van even orde, (b) een even permutatie van oneven orde, (c) een oneven permutatie van even orde, (d) een oneven permutatie van oneven orde. 79. Bewijs dat een permutatie even is als en slechts als de aantal van cyclussen van even lengte even is. Bewijs dan dat een oneven permutatie altijd van even orde is. 80. Toon aan dat de 3-cyclussen in (A 4, ) twee conjugatieklassen vormen, maar dat de 3-cyclussen in (A 5, ) alle in een conjugatieklass zijn. 81. (a) Welke groepen zijn isomorf onder Z 18, Z 2 Z 9, Z 3 Z 6, Z 2 Z 3 Z 3? (b) Ga na dat elk van deze groepen een (juist één?) deelgroep van orde 1, 2, 3, 6, 9 en 18 omvat. 82. (a) Hoeveel rotaties van de ruimte laten een kubus invariant? (b) Ken je de groep van deze rotaties? 83. Zij G een groep en p een priemgetal. (a) Toon, door gebruik te maken van de Orbiet-stabilisator stelling, dat als G = p n, dan heeft G een niet-triviaal centrum. (b) Als G = p, dan is G abels; (c) Als G = p 2, dan is G abels; (d) Is dit ook het geval als G = p 3? 84. Veronderstel dat een groep G een actie uitvoert op een verzameling X. Toon dat voor x X en g G de stabilisatoren van x en g x geconjugeerde deelgroepen van G zijn.

128 HOOFDSTUK 12. OEFENINGEN 85. Zij G een eindige groep met precies twee conjugatieklassen. Toon dat G precies twee elementen telt. 86. Zij G een eindige groep met G = p n m met n 1 en (p, m) = 1. Zij N G met N = p k met k n. Bewijs dat N een normale deelgroep is van elke Sylow p-deelgroep van G. 87. Zij G een niet cyclische groep van orde 21. (a) Hoeveel Sylow 3-deelgroepen heeft G? (b) Bewijs dat G exakt 14 elementen van orde 3 heeft. 88. Zij G een groep van order 56. We willen bewijzen dat G niet enkelvoudig is. (a) Bewijs dat G ofwel 1, ofwel 8 Sylow 7-deelgroepen heeft. (b) Bewijs dat G niet enkelvoudig is, als er exakt een Sylow 7- deelgroep is. Veronderstel nu dat het aantal Sylow 7-deelgroepen gelijk aan 8 is. (a) Bewijs dat elke Sylow 7-deelgroep cyclisch is. (b) Bewijs dat de doorsnede van twee Sylow 7-deelgroepen triviaal is. (c) Bewijs dat er dus 48 elementen van orde 7 in G zijn. (d) Bewijs dat in deze geval enkel een Sylow 2-groep kan bestaan. (e) Bewijs dat dus G niet enkelvoudig is. 89. Beschouw C 2 =< b b 2 = 1 > en C 3 =< a a 3 = 1 >. (a) Vind al de automorfismen van C 3 ; (b) Vind al de homomorfismen van C 2 naar Aut(C 3 ); (c) Als π : C 2 Aut(C 3 ) triviaal is, dan geldt C 3 π C 2 = C 3 C 2 ; (d) Als π : C 2 Aut(C 3 ) niet triviaal is, dan geldt C 3 π C 2 = D 6.

129 90. Als G een groep is, H een normale deelgroep, H = Z 6, en G/H = Z 2, uit hoeveel elementen bestaat G dan? Is G noodzakelijk commutatief? Is G noodzakelijk cyclisch? 91. Schrijf de oneindige diëdergroep als een semidirect produkt.

130 HOOFDSTUK 12. OEFENINGEN

Bibliografie [1] M. Artin, Algebra, Prentice Hall, London, 1991. (ISBN: 0-13- 004763-5) [2] J. Fraleigh, A first course in abstract algebra, Pearson Education, London, 2003. (ISBN 0-321-15608-0) [3] I.N. Herstein, Abstract algebra, Prentice Hall, 1996. [4] J.F. Humphreys, A course in group theory, Oxford Science Publications, Oxford, 1996. [5] D. Saracino, Abstract algebra: a first course, Addison Wesley Company, London, 1980. 131

Index n n-matrices over C, M n (R), 7 n n-matrices over R, M n (R), 7 éénheidselement, 24, 27 éénheidswortel, 31 Abel, 1 abels, 24 actie, 101 linker, 101 linkse translatie, 102 rechter, 104 transitief, 103 affiene groep, 29 alternerende groep, 91 argument, 30 associatief veralgemeend, 38 associativiteit, 23 automorfisme, 75 inwendig, 76 automorfismegroep, 76 bewerking, 23 binaire bewerking, 23 binimiaalcoëfficiënt, 22 Boole, 26 Boolse groep, 26 Burnside, 2 Cauchy, 108 Cayley, 35, 85 Cayleytabel, 35 centralisator, 49, 103 centrum, 49 commutatief, 24 complex toegevoegde, 25 congruentierelatie, 34 modulo n, 34 conjugatie, 76, 102 conjugatieklas, 103 conjugatieklasse, 76 cyclisch, 41 cyclus, 87 lengte, 87 deelgroep, 47 normaal, 63 normalisator, 66 deler, 21 diëdergroep, 32 direct product, 44 distributiviteitswetten, 27 element invers, 37 epimorfisme, 75 equivalentieklasse, 34 equivalentierelatie, 33 Euler, 61 Euler ϕ-functie, 61 even permutatie, 91 Fermat, 60 Fundamentele Stelling, 98 132

INDEX 133 Galois, 1 groep, 24 affien, 29 alternerend, 91 automorfisme, 76 Boolse, 26 cyclisch, 41 diëdergroep, 32 eindig, 35 enkelvoudig, 114 Fundamentele Stelling, 98 homomorfisme, 73 inwendige automorfismen, 76 lineair, 28 p-groep, 97 presentatie, 51 relaties, 51 semidirect product, 113 simpel, 114 speciaal lineaire, 28 stochastisch, 29 symmetrisch, 21, 26 van de inverteerbare elementen, 29 voortgebracht door, 50 vrij, 53 homomorfisme, 73 automorfisme, 75 epimorfisme, 75 isomorfisme, 75 kern, 77 monomorfisme, 75 natuurlijk, 74 identiteitsmatrix, 28 index, 59 inductie, 22 invarianten, 98 invers element, 37 inwendig automorfisme, 76 isomorfisme, 75 isomorfismestelling derde, 81 eerste, 78 tweede, 81 kern, 77 Klein, 36 Lagrange, 59 Latijns vierkant, 43 lengte van een cyclus, 87 lichaam, 27 Lie, 1 lineaire groep, 28 macht, 39 matrix stochastisch, 29 modulus, 25 monomorfisme, 75 neutraal element, 24 nevenklasse, 57 linker, 57 rechter, 57 normale deelgroep, 63 normalisator, 66, 103 nulelement, 27 oneven permutatie, 91 orbiet, 103 orde, 40 van een element, 40 van een groep, 35 p-groep, 97 partitie, 34

134 INDEX permutatie, 20 even, 91 oneven, 91 permutatiegroep, 21, 26 poolcoördinaten, 30 presentatie, 51 priemgetal, 21 product direct, 44, 95 voortbrenger, 41 vrije groep, 53 Wilson, 60 quaternionengroep, 52 quotiëntgroep, 67 reflexief, 33 relatie, 33 relaties, 51 ring, 27 semidirect product, 113 semigroep, 23 speciaal lineaire groep, 28 stabilisator, 103 stochastische groep, 29 stochastische matrix, 29 Sylow, 110 Sylow deelgroep, 110 symmetrie, 33 symmetriegroep, 32 symmetrisch verschil, 27 symmetrische groep, 21, 26 transitief, 34 transpositie, 87 veelvoud, 21 veld, 27 veralgemeende associativiteit, 38 vereenvoudigingswetten, 37 vermenigvuldigingstabel, 35 Viergroep, 36, 45, 52