Hoofdstuk 1 - Formules en grafieken

Voprkennis aantal minuten 0 1 2 3 4 5 6 aantal graden Celsius 20 28 36 44 52 60 68 V_y V_y toename +8 +8 +8 +8 +8 +8 b Bij deze tabel hoort een lineaire formule want de toename in de onderste rij van de tabel is steeds hetzelfde, c Het startgetal bij de formule is 20. d Het hellingsgetal van de formule is 8. V-2a De begintemperatuur van het water is 18 C. b De temperatuur van het water stijgt vijf graden per minuut. V-3a y = 5-3 X xenx = -2 y = 5-3X-2 y = 5 + 6 y = 11 Bij de waarde x 2 hoort de waarde y = 11. X -2-1 0 1 2 3 4 y 11 8 5 2-1 -4-7 c Het startgetal bij de formule is 5; het hellingsgetal van de formule 3. V-4a y = (x + 2)2 en x = 5 = (5 + 2 f y = 72 = 49 Bij de waarde x = 5 hoort de waarde y = 49. b X 0 1 2 3 4 5 6 y 4 9 16 25 36 49 64 v_> toename +5 +7 +9 +11 +13 +15 verschil \ /\/\/\/\ / toenamen 2 2 2 2 2 c De formule hoort niet bij een lineair verband want de toename in de onderste rij van de tabel is niet steeds hetzelfde, d Zie opdracht V-4b. e De formule is een kwadratische formule omdat de toenamen steeds evenveel verschillen. 6

V-5a a = 5 X 4 X 4 = 80; na vier seconden heeft de tennisbal 80 meter afgelegd, b a = 5 X 4,7 X 4,7 = 110,45; de toren is 110,45 meter hoog. c 45 = 5 X t X t 45 = 5 X t2 t2 = 9 f = V9 = 3 Na drie seconden is de tennisbal 45 meter naar beneden gevallen. V-6a j = 4x + 17 b a 6 5x c m = 3p2 d _y = 5Vx e = 2X2 f p = 5q 5 c De grafiek heeft de vorm van een parabool. V-8a r = 0,005 X v2 r = 0,005 X 5O2 r = 0,005 X 2500 r = 12,5 De remweg bij een snelheid van 50 km per uur is 12,5 meter, b r = 0,005 X v2 r = 0,005 X 1002 r = 0,005 X 10000 r = 50 De remweg bij een snelheid van 100 km per uur is 50 meter. v in km/u 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 r in meters 0 0,5 2 4,5 8 12,5 18 24,5 32 40,5 50 7

1-1 Lineaire grafieken k 0 1 2 3 4 5 w in euro s -14-12 -10-8 -6-4 b Voor =1,5 zou Willemien 1,5 kaart verkopen maar dat kan natuurlijk niet. Voor k kun je alleen maar hele getallen nemen. Er bestaan geen halve kaarten, c Als je een rechte lijn door de punten trekt, laatje eigenlijk zien dat er bij elke waarde van k een waarde van w bestaat. Je kunt voor k echter alleen maar hele getallen kiezen. Er bestaat bijvoorbeeld geen 2,3 kaart of 4,7 kaart. 2a b c d Na acht maanden geldtp = 15 X 8 + 200 = 320. Hij heeft na acht maanden 320 postzegels. m 0 1 2 3 4 5 p 200 215 230 245 260 275 Elke maand neemt het aantal postzegels telkens met 15 toe. Je kunt niet zeggen hoeveel postzegels hij heeft na bijvoorbeeld 1,7 of 5,2 maand. Het aantal maanden is altijd een heel getal. i 1 ISO 1 ----.... f! 0 <, _ >! L ~! m 3a In situatie 2 kun je voor a alleen maar hele getallen kiezen. Carla kan bijvoorbeeld niet 5,8 fitness les of 9,4 fitness les volgen. In situatie 1 kun je de hoeveelheid water in het bad wel berekenen voor bijvoorbeeld a = 2,5. 8

->r -zj- 0 < > r-... a 4a Bijvoorbeeld: (3, -1), (3, 0), (3, 2), (3, 5) en (3, 8). b De x-coördinaat van deze punten is steeds het getal 3. c Bijvoorbeeld: ( 3, 1), ( 1, 1), (0, 1), (2, 1) en (5, 1). d De j-coördinaat van deze punten is steeds het getal 1. 5a De formule van de verticale lijn is x = 2. - X = 3 - :-1 y 41 y = 3 2 1 - - - -X- 2-10 1 2 3 -t- ' - J y 2 b Het snijpunt van de twee lijnen is het punt (4, 5). c Zie het assenstelsel. Het snijpunt van de lijn b = 3 + \a met de lijn a = 1 is het punt (l, 2>\). d Zie het assenstelsel. Het snijpunt van de lijn b = 3 + \a met de lijn b 4 is het punt (2, 4). 9

1-2.Parabolen 7a 6 = 9XzXzenz = 4 è = 9 X 4 X 4 è = 144 Er zijn 144 gekleurde stoeptegels nodig, b è = 9XzXzenz = 5 b=9x5x5 b = 225 Er zijn 225 gekleurde stoeptegels nodig. cd z 1 2 3 4 5 6 b 9 36 81 144 225 324 O/ vjy v_> toename +27 +45 +63 +81 +99 verschil \ /\ /\ /\ / toenamen 18 18 18 18 e De formule is kwadratisch omdat het verschil van de toenamen steeds hetzelfde is. 8a ( 7)2 = -7 X -7 = 49 b 72 = 7 X 7 = 49 en -72 = 7 X 7 = 49; je krijgt bij 72 en 72 niet dezelfde uitkomst. 9a A 32 = -9 B ( 4)2 = 16 c 22 = -4 D 22 = 4 E ( 2)2 = 4 F ( 0,2)2 = 0,04 G -0,12 = -0,01 H -0,012 = -0,0001 b De uitkomsten van B, D, E en F zijn positief. 10

10ab -4-1 ƒ 17 10 5 2 v_* v_j \ toename ~i ~5-3 -1 verschil toenamen 0 1 2 3 1 2 5 10 v!> v_> +1 +3 +5 Het verschil van de toenamen is steeds 2. d Deze grafiek heeft de vorm van een parabool, e Het laagste punt van deze grafiek is het punt (0, 1). t -3-2 -1 0 1 2 3 h -18-8 2 0-2 -8-18 b Zie opdracht 1 la. c Het hoogste punt van de grafiek bij de formule h 2t2 is het punt (0, 0). Het hoogste punt van de grafiek bij de formule h = 2t2 4-3 is het punt (0, 3). 12a De coördinaten van de top van de dalparabool zijn (1, 1). b De coördinaten van de top van de bergparabool zijn (0, 2). 11

13a - V -3-2 -1 0 1 2 3 t -7 2 1 2 1 2-7 d De top van de parabool is het punt (0, 2). a -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 b -16-9 -4-1 0-1 -4-9 -16 b De toenamen zijn 7, 5, 3, 1, 1, -3, -5 en -7. Het verschil van de toenamen is steeds 2. Het verschil van de toenamen is steeds hetzelfde en dus is de grafiek bij de d De grafiek is een bergparabool. e De top van de parabool is het punt (0, 0). 15a A a -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 b 0 7 12 15 16 15 12 7 0 B a -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 b 16 9 4 1 0 1 4 9 16 12

c De grafiek bij formule A is een bergparabool en de grafiek bij formule B is een dalparabool. d De top van de parabool bij formule A is het punt (0, 16) en de top van de parabool bij formule B is het punt ( 1,0). 1-3 Lineair en kwadratisch 16a u m uren 0 1 2 3 4 5 6 a in km 10 25 40 55 70 85 100, b vi/ V+ O* O* toename +15 +15 +15 +15 +15 +15 c Ja, de toenamen zijn steeds gelijk, d De grafiek is een rechte lijn. 17a De formule is lineair omdat er in de onderste rij van de tabel (zie opdracht 16a) steeds hetzelfde bij komt. b Het startgetal is 10. c Het hellingsgetal is 15. 13

18ab nummer 1 2 3 4 5 6 aantal vierkantjes 3 6 11 18 27 38 V_Z V_y V_> toename +3 +5 +7 +9 +11 verschil 2 2 2 2 c De toenamen in de onderste rij van de tabel zijn niet steeds gelijk en daarom hoort er geen lineaire formule bij de tabel, d Zie opdracht 18ab. e Het verschil van de toenamen is steeds 2 en daarom hoort de tabel bij een kwadratisch verband. 19 1 toename +1 +3 +5 +7 verschil 2 2 2 Deze tabel hoort bij een kwadratische formule. a -1 0 1 2 3 t 44 23 8-1 -4 Oz viz vlz vlz toename -21-15 -9-3 verschil 6 6 6 Deze tabel hoort bij een kwadratische formule. toename -4-4 -4-4 Deze tabel hoort bij een lineaire formule. t -3-2 -1 0 1 2 3 h 18 8 2 0 2 8 18 14

b Er komt in de onderste rij niet telkens hetzelfde getal bij, maar het verschil van de toenamen is steeds 4. c De top van de parabool is het punt (0, 0). d Zie opdracht 20a. e Ja, de top van de parabool ligt op de symmetrieas. f De formule van de symmetrieas is x = 0. b Ja, de top van de parabool ligt op de symmetrieas. c De formule van de symmetrieas is x = 2. d Zie opdracht 21a. e De formule van de symmetrieas is x = 2. 22a a ~A -3-2 -1 0 1 2 3 4 b 13 6 1-2 -3-2 1 6 13 Oz viz v_z v_z v_> v_ toename -7-5 -3-1 1 3 5 7 verschil 2 2 2 2 2 2 2 b Het verschil van de toenamen is steeds 2. d De top van de parabool is het punt (0, 3). e De formule van de symmetrieas is x = 0. 15

1-4 Derdemachtsformules 23a b De inhoud van de kubus is 10 X 10 X 10 = 1000 cm3, Met formule C kun je de inhoud I van de kubus berekenen. 24a y = 5-2x2 is een kwadratische formule, b y- 2x3+x is een derdemachtsformule. c y=x2 x3 + x is een derdemachtsformule. d y 3x 4 is een lineaire formule, e y = - x3 + x is een derdemachtsformule. f ^ = x2 x + 7is een kwadratische formule. 25a 53 = 125 b ( 4)3 = -64 c 123 = 1728 d ( 10)3 = -1000 e (-1)3 = -l f (0,5)3 = 0,125 26a y = 43 = 64 b y = ( 2)3 = 8 e De grafiek heeft geen hoogste en geen laagste punt. f De grafiek heeft geen symmetrieas. 16

X -2-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 y 16 6,8 2 0,25 0-0,25-2 -6,8-16 X -2-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 y -10-5,4-3 -2,1-2 -1,9-1 1,4 6 Zie opdracht 27b. 28a b c 29a b c P = 7,4 X 12 X 12 X 12 = 12 787,2 kilowatt P = 7,4 X 19 X 19 X 19 = 50 756,6 kilowatt P = 7,4 X 25 X 25 X 25 = 115 625 kilowatt g = 5,6 X 0,8 X 0,8 X 0,8 = 2,8672 gram g = 5,6 X 0,5 X 0,5 X 0,5 = 0,7 gram g = 5,6 X 1,2 X 1,2 X 1,2 = 9,6768 gram; voor de 12 chocoladeknikkers is 12 X 9,6768 gram = 116,1216 gram chocolade nodig. 1-5 Wortelformules 30a V2l = 4,58 b V89 = 9,43 c V32l= 17,92 d V2KK) = 45,83 e V45Ö = 21,21 f V76Ö9 = 87,23 17

/ 10 20 30 40 50 t 0,6 0,9 1,1 1,3 1,4 b De toename van t is niet steeds hetzelfde. d Zie het assenstelsel in opdracht 31c. Als de slingertijd van de klok één seconde is, is de slinger 25 cm lang. 32a Op je rekenmachine zie je DOMAIN Error of Math ERROR. b Het kleinste getal datje voorx kunt invullen, is 0. X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ƒ 0 2 2,8 3,5 4 4,5 4,9 5,3 5,7 6 6,3 33a Het kleinste getal dat je in formule A voor x kunt invullen, is 0. Het kleinste getal datje in formule B voor x kunt invullen, is 1. Het kleinste getal datje in formule C voorx kunt invullen, is -2 18

34a Het kleinste getal dat je voor l kunt invullen, is 4. Elk kleiner getal geeft een negatief getal achter het wortelteken en dat bestaat niet. / -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 k 0 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 35a Als je voor x het getal 3 invult, moetje de wortel van 2 berekenen en die bestaat niet. b Het kleinste getal dat je voor x kunt invullen, is 5. X 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y 0 2 2,8 3,5 4 4,5 4,9 5,3 5,7 6 e Bij de grafiek past uitspraak B: De grafiek stijgt steeds langzamer. X -3-2 -1 0 1 y 0 1 1,4 1,7 2 b Formule A hoort bij de grafiek. De grafiek bij formule B begint in het punt (3, 0). De grafiek bij formule C is steiler dan de grafiek bij de tabel in opdracht 36a. 19

37a Als je voor x het getal 0 invult, moetje de wortel van 2 berekenen en die bestaat niet. X -ï 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 0 3 4,2 5,2 6 6,7 7,3 7,9 8,5 9 1-6 Omgekeerd evenredig 38a Als er vijf winnaars zijn, krijgt ieder 1.000.000,- : 5 = 200.000,-. b Als er tien winnaars zijn, krijgt ieder 1.000.000,- : 10 = 100.000,-. aantal winnaars a 1 2 5 10 20 25 100 bedrag b in euro s 1 000 000 500 000 200 000 100 000 50 000 40 000 10 000 d Formule B hoort bij de verdeling van de hoofdprijs. 39a Er bestaat geen getal dat je met 0 kunt vermenigvuldigen zodat de uitkomst gelijk is aan 6. b De ingevulde waarden kloppen want 1X6 = 6 en 2X3 = 6. a 0 1 2 3 4 5 6 b - 6 3 2 1,5 1,2 1 20

a -6-5 -4-3 -2-1 b -1 1,2-1,5-2 -3-6 b Zie opdracht 39d. a -3-2 -1 0 1 2 3 b -2-3 -6-6 3 2 b Voor a 0 krijg je geen uitkomst. c Deze tabel en de tabellen van opdracht 39 en opdracht 40 zijn hetzelfde. 42a Als je in tabel 1 de getallen die boven elkaar staan met elkaar vermenigvuldigt, dan krijg je steeds de uitkomst -30. Als je in tabel 3 de getallen die boven elkaar staan met elkaar vermenigvuldigt, dan krijg je steeds de uitkomst 36. b Bij tabel 1 hoort de formule rxs = 30. Bij tabel 3 hoort de formule v X w = 36. X -8-4 -2-1 -0,5 0 0,5 1 2 4 8 y 0,5 1 2 4 8 - -8-4 -2-1 -0,5 b Je kunt de formule ook schrijven als x Xy = 4. 44a De rechthoek is 8 cm lang en 3 cm breed. b Je tekening is een rechthoek van 6 cm lang en 4 cm breed. lengte in cm 1 2 3 4 6 8 12 24 breedte in cm 24 12 8 6 4 3 2 1 d Een rechthoek kan geen negatieve lengte of negatieve breedte hebben. Er is geen stuk van de grafiek links van de verticale as. 21

Test jezelf T-1a 5X5 + 15 = 40; na vijf keer tennissen heeft zij 40 euro betaald. a 0 1 2 3 4 5 k in euro s 15 20 25 30 35 40 c De grafiek is een puntengrafiek omdat Annelies bijvoorbeeld niet 0,5 keer naar de tennisbaan kan, of 0,1 keer. 22

c Het snijpunt van de lijnen y = 2x en x = 2 is het punt (2, 4). d Zie opdracht T-2ab. e Het snijpunt van de lijneny = 2x eny = 5 is het punt (2,5; 5). X -3-2 -1 0 1 2 3 f -27-12 -3 0-3 -12-27 b Het verschil van de toenamen is steeds 6. d De grafiek is een bergparabool. e De top van de parabool is het punt (0, 0). f De symmetrieas van de parabool is de y-as. g De formule van de symmetrieas is x = 0. a < 23

T-5a Het kleinste getal datje voor a kunt invullen, is 3. a -3 2-1 0 1 2 3 b 0 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 T-6a Het kleinste getal dat j e voor x kunt invullen in formule A is 3. Het kleinste getal datje voor x kunt invullen in formule B is 1. Het kleinste getal datje voor x kunt invullen in formule C is 2. b Bij grafiek 1 hoort formule B. Bij grafiek 2 hoort formule C. Bij grafiek 3 hoort formule A. T-7a Bijvoorbeeld: b c d h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b 18 9 6 4,5 3,6 3 2,57 2,25 2 T-8 Bij grafiek 1 hoort formule E. Bij grafiek 2 hoort formule A. Bij grafiek 3 hoort formule D. Bij grafiek 4 hoort formule C. 24

1 Hoofdstuk 1 - Formules en grafieken Extra oefening E-ia g = 270 + 40 X 7 = 550; Wilbert heeft na zeven maanden 550 euro gespaard. m 0 1 2 3 4 5 6 7 g 270 310 350 390 430 470 510 550 c In de onderste rij van de tabel bij de formule is de toename steeds hetzelfde. Bij de formule hoort een lineaire (punten)grafiek. d j-... t O)............ i........... d.......... 500j ---- 1-----j... O o H..-1 H.... 360'! t---- ---------- 200-j -j---- r j toe-j j [ j.... ï f 1 m E-2a Situatie 1 gaat over een groep gitaristen en de aantallen zijn dan alleen gehele getallen. r! j! i 1 45 9-40 - 0 ) J ; l b Het snijpunt van de lijnen s = \m + 2enm = 6\s het punt (6, 4). c Het snijpunt van de lijnen s = w + 2enm = 2 is het punt ( 2, l ). 25

E-4a g =. (-4 + 3)2 = (-1)2 = 1 De symmetrieas is de verticale lijn door het punt ( 3,0). e De top van de parabool is het punt ( 3, 0). f De formule van de symmetrieas is n = 3. E-5 A p 2 3 4 5 6 q 1-2 -3-2 1 toename v_> v_> O/ -3-1 +1 +3 verschil 2 2 2 Deze tabel hoort bij een kwadratische form B r 5 6 7 8 9 s -9 1 6 11 klj vl/ toename +5 +5 +5 +5 Deze tabel hoort bij een lineaire formule. C / -1 0 1 2 3 * 11 6,5 2-2,5-7 v_> v_y toename -4,5-4,5-4,5-4,5 Deze tabel hoort bij een lineaire formule. D toename +3 +8 +13 +18 verschil 5 5 5 Deze tabel hoort bij een kwadratische formule. 26

E-6a 1 2 X -2-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 ƒ -4-1,7-0,5-0,06 0 0,06 0,5 1,7 4 X -2-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 y -7-2,4 0 0,9 1 U 2 4,4 9 3 X -2-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 y -5-2,7-1,5-1,06-1 -0,9-0,5 0,7 3 27

E-8a Het kleinste getal dat je voor x kunt invullen, is 4. Als je een getal kleiner dan -4 invult, wordt het getal dat na het wortelteken staat negatief en dat bestaat niet. X -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 y 0 2 2,8 3,5 4 4,5 4,9 5,3 5,7 6 E-9a 0 X y = -10?; dit is onmogelijk want watje ook voor ƒ invult, uit deze vermenigvuldiging komt altijd 0. X -10-5 -2-1 0 1 2 5 10 y ï 2 5 10 - -10-5 -2-1 d De formule y past ook bij de tabel. 28

Gemengde opdrachten G-1a De kosten zijn in totaal 300 + 225 = 525 euro. 525 : 3 = 175; er moeten 175 toegangskaarten worden verkocht om alle kosten te kunnen betalen. b w = 3k 525; hierbij is w de winst in euro s en k het aantal verkochte kaarten. d 3k 525 = 441; 3k = 966; k= 322 De leerlingenvereniging heeft 322 kaartjes verkocht. G-2a 80 : 20 = 4; met een gemiddelde snelheid van 20 km per uur doet ze er vier uur over. b 80 : 30 = 2,67; ze doet twee uur en 40 minuten over de afstand. snelheid in km/uur 10 20 30 40 50 reistijd in uren 8 4 2,7 2 1,6 snelheid e De formule bij de grafiek is snelheid X tijd = 80. f 80 : 2,5 = 32; als ze 80 km in minder dan 2,5 uur wil rijden, moet ze sneller dan 32 km per uur rijden. Noordhoff Uitgevers bv 29

G-3a Voor de lengte heb je 2 X 6 m = 12 m gaas nodig. Er blijft nog 16m-12m = 4m gaas over. De breedte wordt dan de helft hiervan, dus 2 m. b 0 = 6X2 = 12 m2 c Als l = 5 blijft erl6m-10m = 6m over. De breedte is dan 3 m. 0 = 5X3 = 15 m2. / in meters 1 2 3 4 5 6 7 O in m2 7 12 15 16 15 12 7 e Bij een lengte en een breedte van 4 m heeft het grasveld de vorm van een vierkant en is de oppervlakte het grootst. f Bij een lengte van 9 m heb je voor de twee lengtes al 18 m gaas nodig, maar je hebt maar 16 meter gaas. G-4a b Voor de Armada geldt D 2,09 X (4 + VA). D = 2,09 X (4 + V50) = 2,09 X (4 + 7,07) = 2,09 X 11,07 = 23,1363 zeemijl; tot een afstand van ongeveer 23,1 zeemijl kan de schipper de vuurtoren nog zien. A in meters 0 20 40 60 80 100 D in zeemijlen 8,4 17,7 21,6 24,5 27,1 29,3 e G-5a D = 2,09 X (4 + V75) = 2,09 X (4 + 8,66) = 2,09 X 12,66 = 26,5 zeemijl Voor de Atlas geldt D = 2,09 X (5 + VA) A in meters 0 20 40 60 80 100 D in zeemijlen 10,5 19,8 23,7 26,6 29,1 31,4 c Zie opdracht G-4d. 30

G-6a Deze formule hoort bij een omgekeerd evenredig verband, b 10 X 10 = 100 2 X 50 = 100 1 X 100 = 100 X 10 000 = 100 Als x heel klein wordt, dan wordt y steeds groter. G-7 A P_ q -2-1 5 2 0 1 1 2 5 ' 4 toename -3-1 +1 +3 +5 10 verschil 2 2 2 2 Deze tabel hoort bij een kwadratische formule. Het verschil van de toenamen is telkens +2. B X -6-4 -2 4 2 6 y 4 6 12-6 24-4 Deze tabel hoort bij een omgekeerd evenredig verband. Als je een getal in de bovenste rij van de tabel met het getal eronder vermenigvuldigt, krijg je steeds de uitkomst 24. C _a b toename -2-1 0 1 2 3-1 1 3 5 7 9 v_a vx +2 +2 +2 +2 +2 Deze tabel hoort bij een lineaire formule. De toename in de onderste rij van de tabel is steeds +2. D X -2-1 0 1 2 3 y -24-3 0 3 24 81 Deze tabel hoort bij een derdemachtsformule. De formule is y = 3x3. 31