3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire afbeeldingen V W met hom K (V, W ). Lemma 3.2 De verzameling hom K (V, W ) is een vectorruimte over K indien voorzien van de gebruikelijke optelling van L, K hom K (V, W ) middels L + K : V W : v L(v) + K(v) en de gebruikelijke vermenigvuldiging met scalairen k K middels k L : V W : v k L(v) waarbij de + en de in de rechterleden de vectorruimtebewerkingen op W zijn. Als speciaal geval van deze definitie en dit lemma bekijken we de keuze W = K. Definitie 3.3 (Duale vectorruimte (V, K) van (V, K)) De vectorruimte hom K (V, K) noteren we met (V, K) of kortweg met V en noemen we de duale vectorruimte van V. Elementen uit de duale vectorruimte staan bekend onder een veelvoud van namen. Definitie 3.4 (Lineaire functionaal, covector, 1-vorm) Een element v V wordt afhankelijk van context ook wel een lineaire functionaal genoemd, of een covector, of een 1-vorm. 3.1 Voorbeelden en eerste oriëntatie We geven hier voorbeelden van elementen uit de duale vectorruimte, en daarnaast ook wat resultaten die we verderop in meer algemeenheid zullen bewijzen. Eerst bekijken we (K n ). Voorbeeld 3.5 Beschouw de vectorruimte (K n, K). Dan is voor iedere vast gekozen y K n de afbeelding l y : K n K : x y x (1) een lineaire functionaal op K n en daarmee een element van (K n ). Opmerking 3.6 In Voorbeeld 3.5 is l y (K n ). De matrix y is geen element van (K n ). Het is slechts de matrix van de lineaire afbeelding l y ten opzichte van de standaardbasis. Merk tevens op dat als K = R dan is het standaardinproduct op R n met een vast gekozen vector y. Stelling 3.7 De afbeelding l y (x) = y x = y, x (2) L : K n (K n ) : y l y (3) met l y als in Voorbeeld 3.5 is een lineaire bijectie. In het bijzonder is dim(k n ) = n. 1

Bewijs. De lineariteit is eenvoudig na te gaan. Verder is L injectief, want alleen l 0 is de nul-afbeelding. Ook is L surjectief, immers, iedere lineaire functionaal l : K n K heeft een matrix y met y K n en is dus van de vorm l y voor zekere y K n. Gevolg 3.8 Er geldt dat (K n ) = K n. Opmerking 3.9 Uit het voorgaande volgt onder andere dat (K n ) = {l y y K n }, (4) en dat iedere l (R n ) is te schrijven als l(x) = y x = y, x voor precies één y R n. Lineaire functionalen op een eindigdimensionale vectorruimte laten zich beschrijven middels de combinatie van Stelling 3.7 en de coördinaatafbeelding horende bij een basis β van V. Opmerking 3.10 In het vervolg zullen we een willekeurig element uit V vaak aanduiden met v. Dit is slechts een notatie, in het bijzonder is de asterisk hier geen bewerking op v. Stelling 3.11 Gegeven een vectorruimte (V, K) met basis β = {v 1,..., v n }. Dan bestaat er voor iedere v V precies één y K n zodat v = l y co β (5) waarbij l y de afbeelding K n K : x y x is. De toevoeging K n V : y v is lineair. Bewijs. Laat v : V K gegeven zijn en beschouw daarnaast de coördinaatafbeelding co β : V K n. Zie nu het diagram in Figuur 3.1. V K v co 1 β : K n K co β l y Figuur 3.1 Factorisatie van een element v V. K n = v = l y : K n K De samenstelling v co 1 β is een lineaire afbeelding K n K. Volgens Stelling 3.7 bestaat er een unieke y K n zo, dat v co 1 β = l y, en dus zo, dat v = l y co β. Omdat volgens Stelling 3.7 de toevoeging y l y lineair is, is de samenstelling y l y co β = v dat ook. Gevolg 3.12 Er geldt dat V = K n, en in het bijzonder dat V = V. We eindigen deze sectie met enkele explicietere voorbeelden van lineaire functionalen. Een bekend element uit de duale van de ruimte van vierkante matrices is het spoor. Voorbeeld 3.13 De lineaire afbeelding Sp : K n n K : A Sp(A) (6) waarbij Sp(A) staat voor het spoor van A, is een covector uit (K n n ). 2

Oneindigdimensionale vectorruimtes leveren interessantere duale vectorruimtes. Voorbeeld 3.14 Beschouw de vectorruimte (C(I), R) van continue functies op het interval I = [a, b] met a, b R. Dan is de afbeelding I b a : C(I) R : f b a f(x)dx, (7) waar b a de Riemann-integraal is, een lineaire functionaal op C(I), en dus is Ib a C(I). Daarnaast is de functie-evaluatie e x : C(I) R : f f(x) (8) ook een element van C(I) voor iedere vast gekozen x I. In het bijzonder is ook T b a : C(I) R : f(a) + f(b) f (b a) 2 een element van C(I), het is immers een lineaire combinatie van e a en e b uit (8). (9) De lineaire functionalen I b a en T b a uit vorig voorbeeld zijn als volgt aan elkaar gerelateerd. Opmerking 3.15 Definieer de zogeheten interpolatie-afbeelding π : C(I) R[X] 1 : f π(f) (10) die aan f C(I) toevoegt het lineaire polynoom π(f) R[X] 1 dat waarde f(a) aanneemt in a en f(b) in b. Zie ook Figuur 3.2. Het polynoom π(f) heet de lineaire interpolant van f. Het is dan eenvoudig na te gaan dat voor alle f C(I), T b a(f) = I b a(π(f)), (11) dus T b a(f) is een approximatie van I b a(f) berekend door π(f) te integreren in plaats van f zelf. Definitie 3.16 (Trapeziumregel) T b a(f) heet de trapeziumregel-approximatie van I b a(f). De trapeziumregel is een voorbeeld van een zogeheten kwadratuurformule. f f(b) f(b) π(f) 1 2 (f(a) + f(b)) f(a) T b a(f) f(a) T b a(f) a b a b Figuur 3.2 De trapeziumregel T b a(f) = 1 2 (f(a) + f(b))(b a) benadert Ib a(f). 3

3.2 De duale basis β van V behorende bij een basis β van V Veronderstel dat (V, K) een vectorruimte is van eindige dimesie. In Sectie 3.1 zagen we dat V isomorf is met V. We definiëren nu een basis voor V, gegeven aan basis β van V. Definitie 3.17 (Duale basis) Zij (V, K) een vectorruimte met basis β = {v 1,..., v n }. Laat voor iedere j {1,..., n} v j : V K : v e j co β (v). (12) Hiermee is β = {v 1,..., v n } een basis voor V, de duale basis genaamd. Opmerking 3.18 In Figuur 3.3 zien we hoe v j wordt gedefinieerd in termen van Figuur 3.1. V v j K co β l ej v j = l ej co β K n = Figuur 3.3 De functionalen v j V uit Definitie 3.17 in termen van l ej uit Voorbeeld 3.5. We onderzoeken nu de claim dat β inderdaad een basis is. Omdat we al weten dat dim(v ) = dim(v ) = n volstaat het om de lineaire onafhankelijkheid van β aan te tonen. Opmerking 3.19 Met Definitie 3.17 laat de coördinaatafbeelding zich als volgt herschrijven, v 1 (v) co β : V K n : v.. (13) v n (v) In het bijzonder zien we dus dat voor alle v V, en tevens dat v = v 1 (v)v 1 + + v n (v)v n, (14) v j (v i ) = δ ij = { 1 als i = j 0 als i j. (15) We laten nu zien dat dit laatste impliceert dat β lineair onafhankelijk is. Lemma 3.20 De covectoren v 1,..., v n zijn lineair onafhankelijk. Bewijs. Laat α 1,..., α n K zodanig zijn dat α 1 v 1 + + α n v n = 0 V, (16) waarbij het rechterlid het neutrale element van V is, oftewel de nulfunctionaal 0 : V K : v 0 K. Laat nu j {1,..., n} en evalueer (16) in v j V. Wegens (15) is v j (v i ) = δ ij en dus K 0 = 0(v j ) = α 1 v 1 (v j ) + + α n v n (v j ) = α j v j (v j ). Omdat j willekeurig was, zijn {v 1,..., v n } dus lineair onafhankelijk. We kunnen nu ook de bij β horende coördinaatafbeelding co β : V K n onderzoeken. 4

Lemma 3.21 Zij V een vectorruimte met basis β = {v 1,..., v n } en laat β = {v 1,..., v n } de bij β horende duale basis zijn voor V. Dan geldt dat v (v 1 ) co β : V K n : v., (17) v (v n ) oftewel, met andere woorden, dat voor alle v V. v = v (v 1 )v 1 + + v (v n )v n (18) Bewijs. Evalueer de beide lineaire afbeeldingen in het linker- en rechterlid van (18) in v 1,..., v n met behulp van relatie (15) en concludeer gelijkheid. We illustreren de duale basis en Lemma 3.21 met twee voorbeelden. Voorbeeld 3.22 Beschouw R 2 voorzien van de standaardbasis ε = {e 1, e 2 }. De duale vectorruimte (R 2 ) bestaat uit alle afbeeldingen [ ] [ ] l y : R 2 x1 x1 R : [y 1, y 2 ], met y 1, y 2 R. We zien in het bijzonder dat l y = y 1 e 1 + y 2 e 2, waarbij x 2 e 1 : R 2 R : x e 1 x en e 2 : R 2 R : x e 2 x de individuele-coördinaatfunctionalen zijn. Het tupel {e 1, e 2 } is de duale basis ε voor (R 2 ). Merk op dat l y = l y (e 1 )e 1 + l y (e 2 )e 2, wat Lemma 3.21 illustreert. Het volgende voorbeeld speelt zich af in een polynoomruimte. Voorbeeld 3.23 Beschouw de vectorruimte (R[X] 2, R). Laat β = {φ 0, φ 1, φ 2 }, waarbij φ 0 : R R : X 1, φ 1 : R R : X X, φ 2 : R R : X X 2. De duale basis β = {φ 0, φ 1, φ 2 } voor (R[X] 2 ) bestaat per Definitie 3.17 en Opmerking 3.19 uit de individuele-coördinaatfunctionalen, φ 0 ( ) co β ( ) = φ 1 ( ). φ 2 ( ) Beschouw nu de afbeelding I 1 0 : R[X] 2 R : Dan is I 1 0 (R[X] 2) en vertelt Lemma 3.21 dat p x 2 1 0 p(x)dx. I 1 0 = I 1 0(φ 0 )φ 0 + I 1 0(φ 1 )φ 1 + I 1 0(φ 2 )φ 2 = φ 0 + 1 2 φ1 + 1 3 φ2. Hiermee hebben we de integratie-operator I0 1 van de individuele-coördinaatfunctionalen. dus expliciet geschreven als lineaire combinatie 5

Opmerking 3.24 In het voorgaande voorbeeld hebben we in feite niets anders laten zien dan dat 1 a + bx + cx 2 dx = a + 1 2 b + 1 3 c (19) 0 oftewel, de integraal uitgedrukt als lineaire combinatie van de coördinaten a, b, c. 3.3 De dubbelduale vectorruimte V en het natuurlijke isomorfisme In deze sectie bestuderen we de duale van de duale vectorruimte V, oftwel de dubbelduale vectorruimte V = (V ) van V. Per Definitie 3.3 is V = hom K (V, K) (20) en deze vectorruimte bestaat dus uit alle lineaire functionalen V K. Opmerking 3.25 Als V = R bestaat V = R uit de lineaire afbeeldingen van R naar R, en V uit de lineaire afbeeldingen, die aan dergelijke lineaire afbeeldingen scalairen toevoegen. Dus V lijkt doorgaans niet hetzelfde als V, tenzij we onze interpretatie van V subtiel herzien. Definitie 3.26 (Duale koppeling) Zij V een vectorruimte met duale V. Schrijf voor alle v V en v V v, v = v (v). (21) De afbeelding, : V V K heet de duale koppeling van het duale paar V, V. Opmerking 3.27 De uitdrukking v, v is geen inproduct. Als V een inproductruimte is, zullen we verschillende notaties nodig hebben voor inproduct en duale koppeling. De charme van de notatie v, v en van het hele concept van duale koppeling is, dat het een perfecte symmetrie suggereert tussen wat v doet met v, en omgekeerd, wat v doet met v. Opmerking 3.28 Het is gebruikelijk om v (v) en dus v, v te lezen als v geëvalueerd in v. De symmetrie in de notatie v, v moedigt echter aan om dit ook te lezen als v geëvalueerd in v. Dit interpreteert v als lineaire functionaal V K : v v, v, als element van V. Het is een kwestie van smaak of we voor de lineaire functionaal V K : v v, v hetzelfde symbool v willen gebruiken als voor het element v uit de vectorruimte V. In de omgekeerde situatie hadden we er in ieder geval geen enkele moeite mee om voor de lineaire functionaal V K : v v, v het symbool v te gebruiken. In de volgende stelling kiezen we er eerst voor om niet het symbool v maar H(v) te gebruiken. Stelling 3.29 (Natuurlijk isomorfisme) Zij V, V een duaal paar met duale koppeling, : V V K. Laat H : V V de afbeelding zijn die aan v V de lineaire functionaal H(v) : V K : v v, v (22) toevoegt. Dan is H een lineaire bijectie tussen V en V, het natuurlijke isomorfisme. 6

Opmerking 3.30 We schrijven H(v)(v ) voor het element H(v) V geëvalueerd in v, omdat het wellicht verwarrende alternatief is de duale koppeling tussen V en V te gebruiken. In het bijzonder is dus H(v)(v ) = v, v. Bewijs. We bewijzen eerst de lineariteit van H. Laat α, β K en v, w V. Dan geldt voor alle v V dat H(αv + βw)(v ) = v, αv + βw = α v, v + β v, w = αh(v)(v ) + βh(w)(v ), en dus is de afbeelding H(αv + βw) gelijk aan de afbeelding αh(v) + βh(w). Vervolgens laten we zien dat H injectief is. Veronderstel hiertoe dat H(v) = 0. Dit betekent dat H(v)(v ) = v, v = 0 K voor alle v V, en dus en in het bijzonder voor de elementen v 1,..., v n van de duale basis β van V horende bij een gekozen basis β = {v 1,..., v n } van V. Dus is v j, v = v j (v) = 0 voor alle j {1,..., n}, en volgt met behulp van Opmerking 3.19 volgt co β (v) = 0 en dus is v = 0. Dus is H injectief, en omdat dim(v ) = dim(v ) = n is H bijectief. 7