Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag 2 Wat zijn de buigpunten van deze functie 4 2. A. Voor x=6 B. Voor x=-6 C. Voor x=0 D. Voor x=1 Vraag 3 Hoeveel reële nulpunten heeft deze functie: 3 9. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Vraag 4 Je hebt 8 verschillende bloedstalen. Op hoeveel manieren kan je die stalen over 2 labo verdelen als elk labo minstens 1 staal moet krijgen. A. 7 B. 36 C. 126 D. 254
Vraag 5 De concentratie van stof A is positief omgekeerd evenredig met de concentratie van stof B. Wanneer A daalt met 50 %, wat gebeurt er dan met de concentratie van stof B? A. Stijgen met 50% B. Stijgen met 100% C. Stijgen met 25% D. Stijgen met 66% Vraag 6 Wat is het oppervlakte van het oppervlak begrensd door en 2. Vraag 7 je hebt een oplossing van 20 % en een van 5 %. Hoeveel moet je van oplossing 1 gebruiken om een mengsel te krijgen van 10 cl van 15,5%. Vraag 8 Wiskunde: sin 1/2. Hoeveel verschillende oplossingen voor x zijn er binnen het gebied [0 ;360 ]? 1. 0 2. 2 3. 4 4. 8 Vraag 8b Wiskunde: sin 2 1/2. Hoeveel verschillende oplossingen voor x zijn er binnen het gebied [0 ;360 ]? 1. 0 2. 2 3. 4 4. 8 Vraag 9 Wegens niet genoeg gegevens kan deze vraag niet opgelost worden.
Vraag 10 Gegeven een driehoek met een hoek van 30. De aanliggende zijdes meten respectievelijk 2 en. Wat is dan de lengte van de derde zijde? Uitgewerkte oplossingen Vraag 1 Een top is gelijk aan een plaatselijk maximum in de kromme. Een functie bereikt een lokaal maximum als de afgeleide in dat punt gelijk is aan nul. Bereken dus de afgeleide van de functie: 4 2, de kromme bereikt dus een maximum voor x=1/2. Vraag 2 Een buigpunt is een punt waar de kromming van de functie verandert. Buigpunten treden op waar de tweede afgeleide gelijk is aan nul. Eerste afgeleide: 12 4 1 Tweede afgeleide: 24 4 0 De tweede afgeleide heeft één nulpunt, voor x=-6. Hier treedt een buigpunt op. Vraag 3 De eenvoudigste manier om dergelijke oefening op te lossen is zoeken naar één reëel nulpunt. Meestal kan je dit vinden door de standaardmogelijkheden (in dit geval -3, -1, 0, 1, 3) in de vergelijking in te vullen en te kijken of er voor die waardes een nulpunt optreedt. Als je x=3 invult krijg je inderdaad een nulpunt. We willen nu weten hoe we 3 9 kunnen schrijven als 3. F(x) is dan een tweedegraadsvergelijking waarvan we eenvoudig kunnen bepalen hoeveel reële nulpunten er zijn. Om de vergelijking te schrijven als 3 maak je gebruik van het systeem van Horner: 1 (van x³) -1 (van x²) -3 (van -3x) -9 (van -9) 3 2-3
6 3 9 9 0 1 2 3 Schrijf bovenaan de coëfficiënten van de vergelijking: dus 1, -1, -3 en 9. Je weet dat er een nulpunt is voor x=3. Neem de coëfficiënt van de hoogste macht van de functie, 1, Vermenigvuldig met drie (want drie is nulpunt) schuif dit diagonaal naar de cel linksonder zodat het onder de macht er net onder staat (hier: -x²). Dit wordt voorgesteld door de schuine pijl Tel beide getallen op (dus: -1 van x² en 3 van 3 keer x³) Ga zo verder tot je helemaal rechtsonder komt. De som daar moet gelijk zijn aan nul, anders heb je een fout gemaakt. Je vindt het resultaat van de deling in het rechthoekje linksonder x²+2x+3. De determinant van deze vergelijking is -8 en dus kleiner dan nul. De vierkantsvergelijking heeft daarom geen reële wortels. De originele functie kan je daarom niet schrijven als 3. Er is dus in totaal slechts één reële wortel. Vraag 4 Je hebt acht stalen te verdelen. Per staal kan je kiezen of je het naar labo A of labo B stuurt. Per staal heb je dus twee keuzes, met acht stalen heb je 2 128 keuzes. Een aantal van die keuzes zijn: AAAA AAAA BAAA AAAA ABAA AAAA
. BBBB BBBB (in total 256 mogelijkheden, volgorde is van belang) 2 keuzes vallen weg omdat alle stalen dan naar eenzelfde labo gaat. Er zijn dus in totaal 256-2=254 mogelijkheden Vraag 5 Wat bedoelt men met A en B zijn omgekeerd evenredig : namelijk dat als A twee keer groter wordt, dan wordt B twee keer kleiner. In wiskundetaal:. constant. Gebruik die laatste vergelijking om het probleem op te lossen. Als A twee keer kleiner wordt, dan wordt B twee keer groter. Antwoord B dus. Vraag 6 Bepaal eerst de snijpunten van de twee functies. Twee functies snijden als y voor dezelfde x gelijk is, dus als 2, dus als 2 0. De twee oplossingen zijn (discriminant = 3): 2 en 1. Het oppervlak tussen en 2 kan je bepalen door een integraal: voor elke x neem je het verschil tussen de twee functies: 2 (deze functie staat in de grafiek hieronder). Die integraal is eenvoudig uit te rekenen en is gelijk aan -4,5. Het oppervlak is dus 4,5 eenheden groot.
Vraag 7 Hier moet je een stelsel oplossen. Noem de hoeveelheid van de eerste vloeistof A, en B de hoeveelheid van de tweede vloeistof (telkens in centiliter). Eerste voorwaarde: totale inhoud is 10 cl, dus A+B=10 Tweede voorwaarde: juiste concentratie, dus 0,2. 0,05. 0,155.10 Dit is een eenvoudig stelsel, uit de eerste vgl volgt dat A=10-B, dit kan je invullen in de tweede vergelijking: 0,2 (10-B)+0,05B=1,55, dus 2 0,2B + 0,05B = 1,55, dus 0,45=0,15B, dus B is gelijk aan 3 cl. Vraag 8 sin 1/2, dus sin Teken een goniometrische cirkel. Duidt daarop de twee waarden aan die de sinus kan aannemen: en. Voor elke waarde van de sinus zijn er twee waarden voor x die die oplossing geven. Er zijn dus 2x2=4 mogelijke oplossingen voor x. Vraag 8b sin 2 1/2, dus sin 2.
Ook hier zijn er vier goeie punten op de goniometrische cirkel. Het verschil is dat de cirkel twee keer doorlopen wordt. Voor x=180 is het argument van de sinus 360 en ben je dus de hele goniometrische cirkel doorgelopen en heb je vier punten waarvoor sin 2 1/2 (inclusief het punt x=180 ). Je doorloopt de cirkel dus twee keer ipv een keer, zodat er acht oplossingen zijn ipv vier. Zie figuren: links: sin(x)², rechts sin(2x)². De waarde ½ wordt links vier keer gehaald en rechts acht keer. Opmerking: de x-as toont de hoek in radialen, niet in graden. Vraag 9 Vraag 10 Hiervoor kan je gebruik maken van de cosinusregel. Als je in een driehoek de lengte van twee zijdes hebt (A en B) en de tussenliggende hoek (β) dan kan je de lengte van de derde zijde (C) bepalen als volgt: 2 cos De cosinus van 30 is. Je krijgt dan dat C² gelijk is aan 4+3/4-3=7/4, of dus 7/4.