Goniometrische functies
) Hoeken - Grondbegrippen a) Definitie van een hoek Een hoek is een georiënteerd paar halfrechten die starten in hetzelfde punt (hoekpunt). Hierbij maken we de afspraak dat positieve oriëntatie in tegenwijzerzin gebeurt. Hoeken worden meestal genoteerd met Griekse letters α, β, γ, δ, θ,... De hoeken α en β die je hiernaast ziet getekend zijn dus eigenlijk dezelfde hoek. Hij meet 5 (of -5, of 95, of ). De grootte van een hoek is dus maar bepaald op een veelvoud van 6 na. De hoekgrootte gelegen in het interval ]-8,8 ] noemen we de hoofdwaarde van de hoek. b) De goniometrische cirkel De goniometrische cirkel is de cirkel met als middelpunt de oorsprong en straal. Deze cirkel wordt door de assen verdeeld in 4 kwadranten, die we noteren met de Romeinse cijfers I, II, III en IV (zie figuur). Elke hoek kunnen we op een unieke manier afbeelden op de goniometrische cirkel door als eerste halfrechte de positieve x-as te nemen. Op de figuur hiernaast is dit gebeurd voor de hoek α. Het snijpunt van de tweede halfrechte met de goniometrische cirkel noemen we dan het beeldpunt (P ) van de hoek. c) De radiaal We kunnen nu de hoekgrootte ook nog op een andere manier uitdrukken, namelijk in radialen: dit is de afstand gemeten langs de goniometrische cirkel, vanaf het eenheidspunt ( E (,) ) tot het beeldpunt van de hoek (P ), dit is op de figuur aangeduid in het rood. We weten dat een volledige cirkel 6 is. In radialen is dit één maal de omtrek van de goniometrische cirkel, dus. Omzetten van graden naar radialen gaat dan met de regel van. De eenheid rad hoeft niet altijd geschreven te worden. In de kader hiernaast zie je twee voorbeeldjes uitgewerkt, waaruit blijkt dat 7 5 = en =. 6 6 6 = rad :6 =.5 5 = rad 8 7 rad 6 rad = 6 rad rad 6 : =. /6 8 = In praktijk verander je heel eenvoudig van eenheid door te onthouden dat 8 xrad = x.. x = x rad en dat 8 Cursus goniometrie en cyclometrie - - S. Mettepenningen
) De goniometrische getallen a) Sinus en cosinus De cosinus en de sinus van een hoek zijn de coördinaatgetallen van het beeldpunt P van die hoek op de goniometrische cirkel. Zo is bijvoorbeeld sin = en cos =. Voor elke hoek α geldt: cos α [,] en sin α [,], omdat de straal van de goniometrische cirkel is. Uit de stelling van Pythagoras volgt vrijwel onmiddellijk dat: sin α+ cos α =. Dit noemen we de grondformule van de goniometrie. b) Tangens en cotangens We definiëren de goniometrische getallen tangens en cotangens als volgt: De tangens van een hoek is het quotiënt van zijn sinus en zijn cosinus. De cotangens van een hoek is het quotiënt van zijn cosinus en zijn sinus. Of in formulevorm geeft dit sinα tanα = en cosα cosα cotα =. sinα Merk op dat de tangens niet gedefinieerd is voor α + k k Z, en de cotangens niet voor { k k } α Z, omdat er dan zou moeten gedeeld worden door. De meetkundige betekenis van tangens en cotangens: ' HH Op de figuur is het duidelijk dat POP TOE, zodat geldt: TE PP' sinα = = = tanα, en vermits OE = is TE = tanα. OE OP' cosα De tangens van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het snijpunt van het tweede been van die hoek met de rechte x=. Analoog kan je afleiden dat voor de cotangens geldt: De cotangens van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het snijpunt van het tweede been van die hoek met de rechte y=. Uit de grondformule kunnen we direct afleiden dat: tan α+ = en cos α cot α+ =. sin α c) Secans en cosecans We definiëren de goniometrische getallen secans en cosecans als volgt: De secans van een hoek is het omgekeerde van zijn cosinus. De cosecans van een hoek is het omgekeerde van zijn sinus. Cursus goniometrie en cyclometrie - - S. Mettepenningen
Of in formulevorm geeft dit secα = en cscα =. cosα sinα Merk op dat de secans niet gedefiniëerd is voor α + k k Z, en de cosecans niet voor { k k } α Z, omdat er dan zou moeten gedeeld worden door. d) Tekens en bijzondere waarden van de goniometrische getallen α Kw I Kw II Kw III Kw IV sinα + + - - - cosα + - - - + tanα + /// - + /// - cotα /// + - /// + - Voorbeeldoefening Een hoek β ligt in het derde kwadrant en heeft cotangens 5. Bereken sinβ en cosβ. 44 cot β + = sin β sin β = cot β = 5 =. + 69 + Dus is sinβ sinβ =. = =, maar de sinus moet negatief zijn: sinβ ( β III) 5 5 En dan is cosβ = cot β.sin β =. =. e) Bijzondere hoeken Overzicht: α sinα cosα tanα 6 cotα /// 4 /// Cursus goniometrie en cyclometrie - 4 - S. Mettepenningen
) Verwante hoeken a) Tegengestelde hoeken Def.: hoeken waarvan de som is. sin cos tan cot ( α) ( α) ( α) ( α) = sinα = cosα = tanα = cotα b) Complementaire hoeken Def.: hoeken waarvan de som is. sin α = cosα cos α = sinα tan α = cotα cot α = tanα TH Voorbeeld: sin = sin = Voorbeeld: CH cot = tan = 6 c) Supplementaire hoeken Def.: hoeken waarvan de som is. sin cos tan cot ( α) ( α) ( α) ( α) = sinα = cosα = tanα = cotα d) Antisupplementaire hoeken Def.: hoeken waarvan het verschil is. sin cos tan cot ( α) ( α) ( α) ( α) + = sinα + = cosα + = tanα + = cotα SH Voorbeeld: cos = cos = 4) De goniometrische functies a) Periodieke functies 7 ASH Voorbeeld: tan = tan = 6 6 De goniometrische functies zijn allemaal wat we noemen periodieke functies. Een functie is periodiek met periode P als en slechts als P het kleinste getal is zodat: Voorbeelden: x dom f : f x+ P = f x P= 4 P= Cursus goniometrie en cyclometrie - 5 - S. Mettepenningen
b) De sinusfunctie De grafiek van de sinusfunctie kan getekend worden door het zogenaamde afrollen van de goniometrische cirkel: Op analoge manier kan ook de grafiek van de cosinusfunctie heel eenvoudig worden getekend: De sinusfunctie f x = x. Dit is de functie sin De cosinusfunctie f x = x. Dit is de functie cos Domein: dom f =R Beeld: bld f = [,] Periode: P= De grafiek is symmetrisch om de oorsprong. c) De algemene sinusfunctie Domein: dom f =R Beeld: bld f = [,] Periode: P= De grafiek is symmetrisch om de y-as. f x = asin( b x c ) + d. Hierbij Definitie: Een algemene sinusfunctie is een functie van de vorm: + zijn ab, R en c, d R. = sin + Voorbeeld: Hieronder zie je de grafiek van de sinusfunctie f ( x) ( x ) Cursus goniometrie en cyclometrie - 6 - S. Mettepenningen
Aan de hand hiervan bespreken we de invloed van de parameters a=, De evenwichtsstand d : De amplitude a: dit bepaalt de gemiddelde waarde van de functie. dit bepaalt de maximale uitwijking ten opzichte van de evenwichtsstand. b=, c= en d = : ymax + y d = ymax y a= b= P deze is omgekeerd evenredig met de De pulsatiefactor b: periode van de functie. dit bepaalt het beginpunt van een Het faseverschil c: periode op de grafiek van de functie. Het is belangrijk dat je van een grafiek deze parameters kan aflezen, en ook omgekeerd een schets kan maken van de grafiek als je het voorschrift krijgt van een algemene sinusfunctie. Voorbeeld: f is de algemene sinusfunctie met voorschrift f ( x) ( x ) = sin + + 4. Bepaal van deze functie de amplitude, bereik, periode, faseverschuiving + schets grafiek in één periodeinterval. We schrijven eerst de functie in haar standaardvorm: f ( x ) = ( x+ ) + ( x ) sin 4 = sin + + + 4 (formule antisupplementaire hoeken om a positief te maken) + = sin x+ + 4 Zo kunnen we de parameters eenvoudig aflezen: (standaardvorm om c te kunnen aflezen) amplitude a= Faseverschil (=faseverschuiving) + c= periode P= = (,9) Evenwichtsstand d = 4 b We maken een schets van de grafiek: De schets maken gebeurt altijd op dezelfde manier: Duidt het beginpunt P ( cd, ) van een periode aan. Duidt het eindpunt P( c Pd), Je hoeft de coördinaten natuurlijk niet van buiten te leren. Eens je begrijpt hoe een periode van de sinus eruitziet heb je genoeg aan het startpunt, de amplitude en de periode. Cursus goniometrie en cyclometrie - 7 - S. Mettepenningen min min + aan van die periode. P Duidt het midden P c+, d aan van die periode. P Duidt het maximum P c+, d+ a aan van die 4 periode. P Duidt het minimum P4 c+, d a aan van die 4 periode. Trek een vloeiende lijn door de punten die je hebt aangeduid!
5) Goniometrie a) De som- en verschilformules cos α β = cosα cosβ + sinαsinβ Stelling: Bewijs: Enerzijds geldt: ( α β) AB = OA + OB OA OB cos α β = cos Anderzijds: ( cos cos ) ( sin sin ) AB = α β + α β = cos α cosα cosβ + cos β+ sin α sinα sinβ + sin β = cos α+ sin α+ cos β+ sin β cosα cosβ sinα sinβ = cosαcosβ sinαsinβ Uit de gelijkheid van deze twee volgt onmiddellijk de gezochte formule. Uit deze formules kunnen we eenvoudig volgende formules afleiden: Stelling (de som- en verschilformules): cos α+ β = cosα cosβ sinα sinβ cos α β = cosα cosβ + sinαsinβ sin α+ β = sinα cosβ+ cosαsinβ sin α β = sinα cosβ cosα sinβ tan tan tanα+ tanβ + = tanα tanβ ( α β) tanα tanβ = + tanα tanβ ( α β) Bewijs: Alles volgt uit de tweede formule (die we reeds bewezen hebben) en de formules voor verwante hoeken: cos α β = cos α β ( + ) cosα cos( β) sinαsin( β) = + (verschilformule cosinus) = cosα cosβ sinαsinβ (formules tegengestelde hoeken) = + = cos α β (formule complementaire hoeken) = cos α cosβ+ sin α sinβ (verschilformule cosinus) = sinα cosβ+ cosα sinβ (formules complementaire hoeken) sin( α+ β) cos ( α β) sin( α β) = sin α+ ( β) sinα cos( β) cosαsin( β) = + (somformule sinus) = sinα cosβ cosαsinβ (formules tegengestelde hoeken) Cursus goniometrie en cyclometrie - 8 - S. Mettepenningen
tan( α+ β) sin α+ β sinα cosβ + cosα sinβ = cos α+ β cosα cosβ sinαsinβ (definitie tangens, somformules sinus en cosinus) sinα cosβ+ cosαsinβ cosα cosβ = (teller en noemer delen door cosα cosβ ) cosα cosβ sinα sinβ cosα cosβ tanα+ tanβ = (definitie tangens) tanα tanβ tan( α β) = tan α+ ( β) tanα+ tan( β) tanα tan( β) = (somformule tangens) tanα tanβ = (formule tegengestelde hoeken) + tanα tanβ Voorbeeld: Bewijs dat in elke driehoek ABC met hoeken, formule geldt: tan + tan + tan = tan.tan.tan. α β γ α β γ Omdat α+ β+ γ = γ = ( α+ β) krijgen we: tanα+ tanβ+ tanγ = tan α. tan β.tanγ ( ) α β en γ de volgende prachtige tanα+ tanβ+ tan α+ β = tan α. tan β.tan α+ β tanα+ tanβ tan α+ β = tan α.tan β.tan α+ β tanα+ tanβ = tan α+ β. tan α.tanβ tanα+ tanβ tanα+ tanβ =.( tan α.tanβ) tan α.tanβ b) De verdubbelings- en halveringsformules Stelling (de verdubbelingsformules): = cos α sin α Bewijs: cos α = cos α = sin α cosα sin α sinα cosα tanα tanα = tan α = = cos α+ α = cos α.cosα sinαsinα (somformule cosinus) = cos α sin α = cos α cos α = cos α (want sin α+ cos α = ) ( α) α = sin = sin (want = sin α+ α = sinα cosα+ cosαsinα = sinα cosα (somformule sinus) sinα α+ α = ) sin cos tanα+ tanα tanα tanα = tan( α+ α) = = (somformule tangens) tanα tanα tan α Cursus goniometrie en cyclometrie - 9 - S. Mettepenningen
Uit de verdubbelingsformules voor de cosinus kunnen we onmiddellijk de volgende twee formules afleiden, die de formules van Carnot worden genoemd, of ook wel de halveringsformules: Stelling (de halveringsformules): + cosα cosα cos α = sin α = Bewijs: triviaal. c) De formules van Simpson Stelling (de formules van Simpson): x+ y x y x+ y x y sinx+ siny= sin cos cosx+ cosy= cos cos x+ y x y x+ y x y sinx siny= cos sin cosx cosy= sin sin x+ y x y Bewijs: Stellen we x= α+ β en y= α β, dan geldt dat α = en β =, zodat: sinx+ siny = sin( α+ β) + sin( α β) (substitutie) = sinα cosβ + cosαsinβ+ sinα cosβ cosα sinβ (som- en verschilformules sinus) x+ y x y = sinα cosβ = sin cos (substitutie) sinx cosx cosx siny = sin( α+ β) sin( α β) (substitutie) = sinα cosβ+ cosαsinβ sinα cosβ cosα sinβ (som- en verschilformules sinus) x+ y x y = cosαsinβ = cos sin (substitutie) + cosy = cos( α+ β) + cos( α β) (substitutie) = cosα cosβ sinαsinβ + cosα cosβ+ sinαsinβ (som- en verschilformules cosinus) x+ y x y = cosα cosβ = cos cos (substitutie) cosy = cos( α+ β) cos( α β) (substitutie) = cosα cosβ sinα sinβ cosα cosβ+ sinα sinβ (som- en verschilformules cosinus) x+ y x y = sinαsinβ = sin sin (substitutie) Deze formules laten dus toe om van een verschil van twee (co-)sinussen een product te maken. Dat zal zeer handig blijken bij het oplossen van vergelijkingen. Het omgekeerde is handig bij het berekenen van integralen, en kunnen we doen met de volgende stelling: Cursus goniometrie en cyclometrie - - S. Mettepenningen
Stelling (de omgekeerde formules van Simpson): sinα cosβ = sin( α β) + sin( α+ β) cosα cosβ = cos( α β) + cos( α+ β) sinαsinβ = cos( α β) cos( α+ β) Bewijs: Uit de bewijzen van de formules van Simpson leiden we onmiddellijk af: sinα cosβ = sin( α+ β) + sin( α β) sinα cosβ = sin( α+ β) + sin( α β) cosα cosβ = cos( α+ β) + cos( α β) cosα cosβ = cos( α+ β) + cos( α β) sinα sinβ = cos( α+ β) cos( α β) sinα sinβ = cos( α β) cos( α+ β) d) De formules van Weierstrass (de t-formules) De formules laten toe een bepaald type vergelijkingen op te lossen, en zullen ook zeer nuttig blijken bij het berekenen van goniometrische integralen. x Stelling: Stellen we t= tan, dan geldt: t t t sinx=, cosx=, tanx= + t + t t Bewijs: Hier hebben we de afgeleide hoofdformule sec α = tan α+ nodig: x x x x x sin tan tan x t sinx= sin cos = cos = = = x x x cos sec + tan + t x x x sec cos sin x tan cosx cos sin sec + tan x tan t tanx = x = tan t x x t = = = = x x + t e) Goniometrische vergelijkingen Elementaire goniometrische vergelijkingen Goniometrische vergelijkingen oplossen vergt enkel wat inzicht in de goniometrische cirkel. De meeste goniometrische vergelijkingen hebben oneindig veel oplossingen. Dat volgt uit het feit dat een hoek niet verandert als je er (6 ) bij optelt of van aftrekt. Cursus goniometrie en cyclometrie - - S. Mettepenningen
Eerste voorbeeld: Los op: sinx=. sinx= sin (want sin = ) 6 6 5 x= + k x= + k 6 6 (want hoeken die dezelfde sinus hebben zijn gelijk of supplementair) Tweede voorbeeld: Los op: cosx=. SH cosx= cos (want cos = cos = ) x= + k x= + k (want hoeken die dezelfde cosinus hebben zijn gelijk of tegengesteld) Derde voorbeeld: Los op: tanx=. Algemeen: sinx= sinα x= α+ k x= α+ k Algemeen: cosx= cosα x= α+ k Algemeen: x= α+ k tanx= tan (want tan = ) tanx= tanα 6 6 x= α+ k x= + k 6 Vierde voorbeeld: Los op: sin x+ =. 6 Merk bij dit voorbeeld vooral op dat het supplement sin x+ = sin 6 nemen hier niet nodig is, omdat het supplement is van, maar dat zijn gelijke x+ = + k. hoeken. 6 Je kan dit dan beschouwen als dubbele oplossingen: 4 x= + k. De grafiek van f ( x) = sin x+ + zal de x-as 6 x= + k. raken in de punten + k,, met k Z. Vergelijkingen die te herleiden zijn naar basisvergelijkingen Met behulp van de formules voor verwante hoeken kan je bepaalde vergelijkingen omvormen tot basisvergelijkingen. Voorbeeld: Los op: cos x + sinx= 4 cos x = sin x cos x = sin( x) cos x = cos + x 4 4 4 k x = + x+ k x = x+ k x= k x= + 4 4 4 5 Cursus goniometrie en cyclometrie - - S. Mettepenningen
Vergelijkingen die uiteenvallen in basisvergelijkingen Met behulp van de gekende formules is het soms mogelijk een vergelijking zo te herschrijven dat ze uiteenvalt in vergelijkingen die te herleiden zijn naar basisvergelijkingen. Voorbeeld: cosx+ cos x+ cosx+ cos 4x= cosxcosx+ cosxcosx= cosx cos x+ cos x = cosx= cos x+ cos x= x= + k cos x= cos( x) x= + k x= x+ k x= + x+ k k x= + k x= + x= k 5 5 Vergelijkingen waar een substitutie hulp kan bieden Eerste voorbeeld: cosx= secx (denk hier ook aan de bestaansvoorwaarde: cosx ) = 9 cosx= cos x+ cosx = cosx= cosx= cosx x= + k x= + k x= + k (De substitutie gebeurt achter de schermen : met t= cosx geldt t + t = t = t= ) x Tweede voorbeeld: sinx cosx= (Hier kunnen we de t-formules gebruiken, met t= tan ) 4 t t = + = + + = + t + t t t t t t ( + ) + t= = t= = = = +!?! x 7 7 x tan = tan tan = tan x= + k x= + k 4 6 = + 4 + =!! LET OP : Als je de t-formules gebruikt moet je controleren of x= + k ook oplossingen zijn!! Derde voorbeeld: sinx cosx= (ook hier gebruiken we de t-formules, maar...) t t = t + t = + t t= x=.bgtan + k + t + t Maar het is duidelijk dat ook x= + k oplossingen zijn. Cursus goniometrie en cyclometrie - - S. Mettepenningen
Vergelijkingen die lineair zijn in sinus en cosinus De vergelijking uit het tweede voorbeeld kan ook eleganter worden opgelost: sinx cosx= sinx tan cosx= sinx cos sin cosx= cos sin = = 6 5 7 sin x = sin x = + k x = + k x= + k x= + k 6 6 6 6 7 Op deze manier hoef je ook niet zoals bij de vorige manier te weten dat tan =. Als we dit even algemener bekijken, dan kunnen we een eenvoudige formule opstellen: asinx bcosx c sinx b cosx c sinx tan cosx c + = + = + ϕ = (met Bgtan b ϕ= a a a a ) sin cos sin cos c c x ϕ + ϕ x= cos sin( x ) cos a ϕ + ϕ = a ϕ. Dit is oplosbaar c c a c als cosϕ c a b a a a + b a + b + Deze methode is aangeraden als je de hoek ϕ exact kan berekenen. In het andere geval zijn de t- formules meer aangewezen. Homogene vergelijkingen in sinus en cosinus Een vergelijking heet homogeen in sinus en cosinus als de som van de exponenten van sinus en cosinus in elke term gelijk zijn. Het is heel eenvoudig deze vergelijkingen op te lossen: 4 Voorbeeld: cos x+ sinx cos x sin x cos x= + = cos x cos x sinx cosx sin x cos x+ sinx cosx sin x k cosx= = x= + + tanx tan x= cos x tanx= tanx= x= + k x= Bgtan+ k 4 Merk op dat je bij de tweede vergelijking mag delen door cos x omdat er ook nog een term in sinx staat en die kan nooit nul zijn als de cosinus nul is. f) Goniometrische ongelijkheden Eenvoudige goniometrische ongelijkheden zijn op te lossen door het oplossingsgebied aan te duiden op de goniometrische cirkel. Bij iets complexere ongelijkheden zal soms een substitutie nodig zijn. Eerste voorbeeld: sin x < sin x < 7 + k x< + k + k < x + k 6 6 5 + k x< k + k < x + k 6 5 k < x k k x< k 4 6 Cursus goniometrie en cyclometrie - 4 - S. Mettepenningen
Tweede voorbeeld: cscx+ cosx> + sin x> sinx sin x+ sinx+ Horner > < sinx< sinx k < x< + k + k < x< + k Cursus goniometrie en cyclometrie - 5 - S. Mettepenningen
Cyclometrische functies ) Definitie en grafieken De cyclometrische functies zijn de inverse functies van de goniometrische functies. a) De boogsinusfunctie We bekijken eerst de inverse relatie van de sinus, deze zullen we noteren met bgsin: { } { } sin =, R = sin bgsin =, R = sin x y y x x y x y Het is duidelijk dat bgsin geen functie is. We begrenzen daartoe het domein van de sinus: sin b ( x, y) y sinx x Bgsin ( x, y) x siny y = R = = R = Merk op dat we de inverse functie noteren met een hoofdletter. We noemen deze functie de boogsinusfunctie. We maken een korte bespreking van deze functie: stel f ( x) Bgsin dom f = [,] bld f = [, ] Tekenverloop: x - f ( x ) / - - + + / Symmetrie: de functie is oneven (symmetrisch om de oorsprong) Gevolg: x [, ]:sin( Bgsin ) x = x x = x x, :Bgsin( sin ) Stijgen en dalen: x - f ( x ) / ր / = x. Cursus goniometrie en cyclometrie - 6 - S. Mettepenningen
b) De boogcosinusfunctie We bekijken eerst de inverse relatie van de cosinus, deze zullen we noteren met bgcos: { } { } cos =, R = cos bgcos =, R = cos x y y x x y x y Het is duidelijk dat bgcos geen functie is. We begrenzen daartoe het domein van de cosinus: { } { } cos, R cos Bgcos, R cos b = x y y= x x = x y x= y y Merk op dat we de inverse functie noteren met een hoofdletter. We noemen deze functie de boogcosinusfunctie. We maken een korte bespreking van deze functie: stel f ( x) Bgcos dom f = [,] bld f = [, ] = x. Tekenverloop: x - f ( x ) / + + + + / Stijgen en dalen: x - f ( x ) / ց / Symmetrie: de functie is noch even, noch oneven. Gevolg: x [, ]:cos( Bgcos ) x [, ] :Bgcos( cos ) Voorbeeld: x = x x = x Bgcos = Cursus goniometrie en cyclometrie - 7 - S. Mettepenningen
c) De boogtangensfunctie We bekijken eerst de inverse relatie van de tangens, deze zullen we noteren met bgtan: { } { } tan =, R = tan bgtan =, R = tan x y y x x y x y Het is duidelijk dat bgtan geen functie is. We begrenzen daartoe het domein van de tangens: b = ( x y) y= x x tan, R tan We maken een korte bespreking van deze functie: stel f ( x) Bgtan domf =R bld f = ], [ Tekenverloop: x + f ( x ) - + Stijgen en dalen: x + f ( x ) Bgtan = ( x, y) R x= tany y Merk op dat we de inverse functie noteren met een hoofdletter. We noemen deze functie de boogtangensfunctie. = x. Symmetrie: de functie is oneven (symmetrisch om de oorsprong). Asymptotisch gedrag: lim Bgtanx= en lim Bgtanx= x + De functie heeft dus twee horizontale asymptoten. Cursus goniometrie en cyclometrie - 8 - S. Mettepenningen ր x Gevolg: x R :tan( Bgtanx) = x x ], [:Bgtan( tan ) d) De boogcotangensfunctie x = x We bekijken eerst de inverse relatie van de cotangens, deze zullen we noteren met bgcot: { } { } cot =, R = cot bgcot =, R = cot x y y x x y x y Het is duidelijk dat bgcot geen functie is. We begrenzen daartoe het domein: { R } cot b = x, y y= cotx x {( x y) R x y y } Bgcot =, = cot Merk op dat we de inverse functie noteren met een hoofdletter. We noemen deze functie de boogcotangensfunctie. We maken een korte bespreking van deze functie: stel f ( x) Bgcot = x.
domf =R bld f = ], [ Tekenverloop: x + f ( x ) + Stijgen en dalen: x + f ( x ) Symmetrie: de functie is noch even, noch oneven. Asymptotisch gedrag: lim Bgcotx= en lim Bgcotx= x + De functie heeft dus twee horizontale asymptoten. x Gevolg: x R :cot( Bgcotx) = x x ], [ :Bgcot( cot ) ) Enkele eenvoudige stellingen x, : Bgsinx+ Bgcosx= Stelling: [ ] Bewijs: Stel ց x = x y= Bgsinx, dan is x= siny= cos( y), waaruit volgt dat Bgcosx= y. Omdat y = Bgsinx [, ] zal wel degelijk Bgcosx y [, ] x, : cos Bgsinx = sin Bgcosx = x Stelling: [ ] = Bewijs: cos ( Bgsinx) = sin ( Bgsinx) = x, dus cos( Bgsinx) = x. We nemen de positieve wortel omdat x [ ] ( x) Bgsin, cos Bgsin >. sin ( Bgcosx) = cos ( Bgcosx) = x, dus sin( Bgcosx) x We nemen de positieve wortel omdat x [ ] ( x) Stelling: x R : Bgtanx+ Bgcotx= Bewijs: Stel =. Bgcos, sin Bgcos >. y= Bgtanx, dan is x= tany= cot( y), waaruit volgt dat Bgcotx= y. Omdat y = Bgtanx ], [ zal wel degelijk Bgcotx y ], [ = Stelling: x R : tan( Bgcotx) = cot( Bgtanx) = x Bewijs: Als x : tan( Bgcotx) = cot( Bgtanx) cot Bgcotx = x = tan Bgtanx =. ) Cyclometrische vergelijkingen Eerste voorbeeld: Bereken Bgtan + Bgtan + Bgtan We weten dat Bgtan=. We stellen Bgtan + Bgtan = x 4!! + tan( Bgtan + Bgtan ) = tanx = tanx tanx= x= + k.. 4 We hebben nu dus bewezen dat er een k Z bestaat zodat Bgtan + Bgtan = + k. 4 Cursus goniometrie en cyclometrie - 9 - S. Mettepenningen
Omdat < Bgtan < Bgtan < zal < Bgtan + Bgtan < en dus zal de juiste waarde van k gegeven worden door k=, zodat Bgtan + Bgtan = + =. We weten dus meteen ook dat 4 4 Bgtan+ Bgtan + Bgtan =. Dit is ook eenvoudig (en mooi) in te zien op de hiernaast staande figuur. Tweede voorbeeld: Los op: Bgsinx+ Bgsin = 5!! Bgsinx= Bgsin sin( Bgsinx) = sin Bgsin x= cos Bgsin 5 5 5 9 4 x= x= 5 5 We hebben nu bewezen dat er een k Z bestaat zodat: 4 4 Bgsin = Bgsin + k Bgsin = + Bgsin + k. 5 5 5 5 De enige juiste mogelijkheid is wel degelijk de eerste vergelijking waar 4 we k= stellen (omdat je weet dat < Bgsin < Bgsin < ). 5 5 Ook dit kunnen we eenvoudig en mooi inzien op de figuur hiernaast.!! Derde voorbeeld: Los op: Bgtanx+ Bgtan x= tan( Bgtanx+ Bgtan x) = tan 4 4 x + x + 7 7 = + = = =. x x x x x 4 4 + 7 Het is duidelijk dat de gezochte oplossing positief is, dus we controleren nu of x = een 4 oplossing is. De tweede oplossing voldoet sowieso niet (we noemen dit een parasitaire oplossing). We hebben bewezen dat er een k Z is zodat Bgtanx + Bgtan x = + k. 4 Omdat < Bgtanx < Bgtan x <, zal < Bgtanx + Bgtan x <, zodat de juiste waarde inderdaad k= is. Cursus goniometrie en cyclometrie - - S. Mettepenningen