V-1a / 52 V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P m l Zie e figuur hieroven. In vierhoek D zijn e vier hoeken reht en alle zijen even lang. De zijen zijn ongeveer 4,1 m lang. Zie e figuur hieroven, e iagonalen zijn en D. De iagonalen zijn ongeveer 5,8 m lang. V-3a Lijn k loopt evenwijig aan lijn l. Lijn t staat looreht op lijn l. De afstan van lijn l tot lijn k is ongeveer 9 mm. De afstan van punt P tot lijn k is ongeveer 16 mm. e De afstan van punt P tot lijn l is ongeveer 9 + 16 = 25 mm. n D
V-4a// 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O M 4 m 1 2 3 4 5 4 m 3 m N 3 m 6 7 8 9 Dat is het punt (8, 5). e De snijpunten van eie irkels liggen op 4 m afstan van M en 3 m van N. De oörinaten van het anere snijpunt zijn ongeveer (5,2; 8,9). V-5a/ a l Q P De punten op 3 m van lijn l én op 3 m van punt P zijn e snijpunten van e irkel met e lijnen ie je ij opraht a het geteken. In e tekening hieroven zijn at e punten Q en R. R a 53
V-6a De hoeken en zijn sherp, e hoeken en D zijn stomp. = 100, = 24, = 85 en D = 144 V-7 54 74 108 23 V-8a Deze zes hoeken zijn samen 360. De zes hoeken ij punt M zijn allemaal even groot, us M 1 = 360 : 6 = 60. M 1 en M 2 zijn samen 60 + 60 = 120. 1a 9-1 Spiegelsymmetrie 234 De linkerhelft van e vliner is het spiegeleel van e rehterhelft. Hij zet het spiegeltje op e lijn ie e kop met e onerkant van het lijfje verint. Nee, er zijn nog kleine vershillen. ijvooreel e sprieten van e vliner staan niet symmetrish. Ook e ahtergron is niet symmetrish. 2a - De stippellijn komt op e vouwlijn van het hartje. 3 De figuren 1, 2, 3 en 5 zijn spiegelsymmetrish. 90
4a 5a Melissa heeft gelijk. Zie e figuur hieroner. De figuren 1, 3, 4 en 5 zijn spiegelsymmetrish. 1 3 4 5 6a 7 D m 55
8a/ 56 5 4 3 2 1 O P S Q R 1 2 3 4 5 6 De vierhoek PQRS heeft 4 symmetrieassen, namelijk e lijnen PR en QS, e lijn oor e miens van PQ en RS en e lijn oor e miens van PS en QR. 9-2 Draaisymmetrie 9a Nee, er zijn geen symmetrieassen. - Ja, als je het zó raait at oner- en ovenkant verwissel zijn. 10 De figuren 2, 3 en 5 zijn raaisymmetrish. 11a Je het 8 georiehoeken noig voor een ster. Je moet an over 360 : 8 = 45 raaien. Om e eerste op e viere te krijgen moet je 3 45 = 135 raaien. Je kunt an over 45, 90, 135, 180, 225, 270 en 315 raaien. Na 360 raaien komt elke riehoek weer op zihzelf tereht. 12 Figuur 1 is raaisymmetrish over 120 en 240. Figuur 2 is raaisymmetrish over 90, 180 en 270. Figuur 3 is symmetrish over 60, 120, 180, 240 en 300. Figuur 4 is raaisymmetrish over elke willekeurige hoek. Figuur 5 is raaisymmetrish over 72, 144, 216 en 288. 13 Figuur 2 is raaisymmetrish over 120 en 240. Figuur 3 is raaisymmetrish over 90, 180 en 270. Figuur 5 is raaisymmetrish over 180. 14a In figuur 1 herken je zes keer hetzelfe figuurtje in e vorm van een la. ls je e hele figuur over 360 : 6 = 60 raait, komt elk la op het volgene la te liggen. Dus e figuur is raaisymmetrish over 60, maar an ook over 120, 180, 240 en 300. In figuur 2 zie je 12 hoekpunten op e irkel liggen. Elke keer als ij het raaien van e figuur zo n hoekpunt weer op een volgene hoekpunt tereht komt, past e hele figuur weer op zihzelf. Figuur 2 is us raaisymmetrish over 360 : 12 = 30, maar an ook over 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300 en 330. Figuur 1 is niet spiegelsymmetrish. Figuur 2 is wel spiegelsymmetrish. De figuur heeft 12 symmetrieassen, namelijk e zes lijnen oor twee tegenoverliggene hoekpunten en e zes lijnen ie aar preies tussenin liggen.
15a Figuur 1 is raaisymmetrish over 90, 180 en 270. Figuur 2 is raaisymmetrish over 90, 180 en 270. eie figuren zijn spiegelsymmetrish. 16 17a 1 2 e ijvooreel: f ijvooreel: 9-3 Driehoeken F E L D J K M O Driehoek JKL heeft rie symmetrieassen. In een spiegelsymmetrishe riehoek zijn ten minste twee zijen even lang. In riehoek DEF zijn e hoeken 79, 79 en 22. In riehoek JKL zijn e hoeken alle rie 60. In riehoek MNO zijn e hoeken 27, 27 en 127 (afgeron). In een spiegelsymmetrishe riehoek zijn stees minstens twee hoeken even groot. e De riehoek met rie symmetrieassen heeft rie gelijke zijen en rie even grote hoeken. N 57
18a 19a 58 45 6 m De riehoek heeft e vorm van een georiehoek. De zijen en zijn even lang, en us is riehoek gelijkenig. De asishoeken zijn e hoeken en. 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 De zijen en zijn even lang. Hoek is e tophoek. Zie e figuur hieroven. e De hoeken zijn = 63,5, = 53 en = 63,5. f De rie hoeken van riehoek zijn samen 180. 20a - - Samen vormen e rie hoeken een gestrekte hoek, us samen zijn ze 180. De rie hoeken van riehoek KLM zijn samen 180, us M = 180 69 48 = 63.
21 K + L + M = 180 K + 45 + 80 = 180 us K = 180 80 45 = 55 + + = 180 50 + 90 + = 180 us = 180 90 50 = 40 D + E + F = 180 48 + E + 35 = 180 us E = 180 48 35 = 97 P + Q + R = 180 P + 25 + 15 = 180 us P = 180 15 25 = 140 22a Omat het een gelijkenige riehoek is, is e anere asishoek ook 51. De tophoek is 180 51 51 = 78. Voor e twee asishoeken samen lijft over 180 64 = 116. Omat e eie asishoeken even groot zijn, is elke asishoek 116 : 2 = 58. In een gelijkzijige riehoek zijn e rie hoeken altij even groot. Ook is in elke riehoek e som van e rie hoeken 180. Dus e hoeken van een gelijkzijige riehoek zijn altij 180 : 3 = 60. 9-4 Vierhoeken 23a - De vierhoek heeft één symmetrieas. - De vierhoek heeft twee symmetrieassen 24a e 70 Nee, e vierhoek heeft geen symmetrieas, e figuur is niet spiegelsymmetrish. De vierhoek past na een halve raai, us een raai over 180, weer op zihzelf. Ja, e tegenover elkaar liggene zijen zijn evenwijig. Nee, e iagonalen zijn niet even lang. 59
25a 60 D N M K Vierhoek D is een vlieger, want er is één symmetrieas. Vierhoek KLMN is een ruit, want er zijn twee symmetrieassen. D N M K L L Een ruit is een raaisymmetrishe vierhoek, us een ruit is ook een parallellogram. e Van vierhoek D is = 44, = 113, = 90 en D = 113. Van vierhoek KLMN is K = 67, L = 113, M = 67 en N = 113. f De vier hoeken van vierhoek D zijn samen 44 + 113 + 90 + 113 = 360. g De vier hoeken van vierhoek KLMN zijn samen 67 + 113 + 67 + 113 = 360. 26a Ze zijn samen 180. Ook samen 180. Die zijn samen 180 + 180 = 360. 27 In figuur 1 is e hoek met het vraagteken 360 85 100 115 = 60. In figuur 2 is e hoek met het vraagteken 360 65 90 90 = 115. In figuur 3 is e hoek met het vraagteken 360 102 76 135 = 47. 28a De hoeken en D zijn tegenoverliggene hoeken en us zijn ze even groot. Dus is = 125. + + + D = 360 + 125 + + 125 = 360 + = 360 250 = 110 Omat e hoeken en even groot zijn is = 110 : 2 = 55 en = 55. De hoeken K en M zijn tegenoverliggene hoeken en us zijn ze even groot. Dus is M = 113. Omat K + L + M + N = 360, is N = 360 44 113 113 = 90.
29a/ D E e f De vijfhoek is met e twee iagonalen vereel in rie riehoeken. Per riehoek is e som van e rie hoeken 180. Dus e som van e hoeken van e vijfhoek is 3 180 = 540. Een zeshoek kun je met rie iagonalen in vier riehoeken verelen. De som van e hoeken van e zeshoek is us 4 180 = 720. In een zevenhoek kun je vanuit één hoekpunt 4 iagonalen tekenen. De zevenhoek is an in 5 riehoeken vereel. De som van e hoeken van e zevenhoek is an 5 180 = 900. In een ahthoek kun je vanuit één hoekpunt 5 iagonalen tekenen. De ahthoek is an in 6 riehoeken vereel. De som van e hoeken van e ahthoek is an 6 180 = 1080. In een veertienhoek kun je vanuit één hoekpunt 11 iagonalen tekenen. De veertienhoek is an in 12 riehoeken vereel. De som van e hoeken van e veertienhoek is an 12 180 = 2160. 9-5 Hoeken erekenen 30 In plaatje 1 is e waaier over 90 geopen, in plaatje 2 is at 180, in plaatje 3 is e waaier over 270 geopen en in plaatje 4 is at 360. 31a De hoek met het ronje is 180 60 = 120. De hoek met het kruisje is nu 180 135 = 45. 32a De vier hoeken zijn samen 360. 1 + 65 = 180, us 1 = 180 65 = 115. 3 + 65 = 180, us 3 = 180 65 = 115. De hoeken 2 en 4 zijn overstaane hoeken en us even groot, us is 2 = 65. 33 1 = 180 124 = 56 1 = 180 120 = 60 2 = 120, want het is e overstaane hoek van e gegeven hoek van 120. 1 = 180 73 38 = 69 D 1 = 180 85 = 95 D 3 = 180 40 85 = 55 34a Een volle hoek is 360, us e zes gelijke hoeken zijn elk 360 : 6 = 60. De hoeken zijn an 360 : 5 = 72. Een gestrekte hoek is 180, us eze is in 180 : 15 = 12 hoeken van 15 vereel. 61
35a S 1 = 90 (PQ staat looreht op TS) S 5 + S 2 + S 1 = 180, us S 2 = 180 40 90 = 50. S 3 = 40 (hoek S 3 en hoek S 5 zijn overstaane hoeken.) S 3 + S 4 = 180, us S 4 = 180 40 = 140. Hoek K 2 is éénere eel van e gestrekte hoek, us K 2 = 180 : 3 = 60. Hoek K 1 is tweeere eel van e gestrekte hoek, us K 1 = 2 60 = 120. Hoek K 2 is ééntiene eel van e gestrekte hoek, us K 2 = 180 : 10 = 18. Hoek K 1 is negentiene eel van e gestrekte hoek, us K 1 = 9 18 = 162. De hoeken S1 en S3 zijn overstaane hoeken en us even groot. Dan is S 1 = 80. S 3 + S 4 = 180, us is S 4 = 180 80 = 100. Driehoek S is gelijkenig, us zijn e asishoeken 1 en 1 even groot. De tophoek S 3 = 80, us 1 = (180 80 ) : 2 = 50. Verer is 1 + 2 = 90, us 2 = 90 50 = 40. 36a Hoek 2 is 180 54 = 126. De hoeken 3 en 1 zijn overstaane hoeken en us even groot. Hoek 3 is ook 54. De hoeken 2 en 4 zijn overstaane hoeken en us even groot. Hoek 4 is ook 126. De hoeken 2 en 7 zitten in een vierhoek waarvan e twee anere hoeken elk 90 zijn. Omat e hoeken in een vierhoek samen 360 zijn, zijn ook e hoeken 2 en 7 samen 180. Hoek 7 = 180 126 = 54. De hoeken 5 en 7 zijn overstaane hoeken en us even groot. Hoek 5 is ook 54. Hoek 6 is 180 54 = 126. De hoeken 6 en 8 zijn overstaane hoeken en us even groot. Hoek 8 is ook 126. De gevraage hoek ligt samen met hoek 3 en een rehte hoek in een riehoek. Dus e gevraage hoek is 180 90 54 = 36. De hoeken 1, 3, 5 en 7 woren allemaal 54 + 3 = 57. De hoeken 2, 4, 6 en 8 woren allemaal 126 3 = 123. De hoeken 1, 3, 5 en 7 woren allemaal 54 : 2 = 27. De hoeken 2, 4, 6 en 8 woren allemaal 180 27 = 153. 37a 62 9-6 Gemenge oprahten De letters F, G, J, L, N, P, Q, R, S en Z heen geen symmetrieas. De letters H, I, O en X heen twee symmetrieassen. aantal symmetrieassen letters 0 1 2 3 4 meer an 4 F, G, J, L, N, P, Q, R, S, en Z,,, D, E, K, M, T, U, V, W en Y H, I, O en X - - - De letters H, I, N, O, S, X en Z zijn raaisymmetrish.
38a Door twee hokjes in te kleuren krijg je een spiegelsymmetrishe figuur. Zie e figuur hier links oner. 1 1 De linkerfiguur hieroven heeft één symmetrieas. Zie e rehterfiguur hieroven. De figuur hier linksoner is raaisymmetrish, maar niet spiegelsymmetrish. 2 3 e De linkerfiguur hieroven is raaisymmetrish over 180. f Zie e rehterfiguur hieroven. Deze figuur heeft nu vier symmetrieassen. 39a Driehoek D is gelijkenig en e hoeken 1 en D 1 zijn e asishoeken en us even groot. D 1 + 1 + = 180, us = 180 30 30 = 120 In riehoek D gelt + D 1 + 2 = 180. Dus 2 = 180 58 90 = 32. 40 16 Zie e figuur hieroven. De riehoek is gelijkenig, want e zijen en zijn even lang. In eze riehoek is e asishoek gelijk aan 90 16 = 74. De asishoek is ook 74. = 180 74 74 = 32. 63
41a 64 9 8 7 6 5 4 3 2 1 N K O 1 2 3 4 5 s M Q L P 6 7 8 9 Voor e iagonalen: zie e tekening ij opraht a. De oörinaten van het snijpunt zijn S(4, 4). De zijen KL en MN zijn evenwijig en even lang. Hetzelfe gelt ook voor e zijen LM en KN. Zie e tekening ij opraht a. e Voor het parallellogram: zie e tekening ij opraht a. De oörinaten van punt Q zijn (7, 8). f Nee, vierhoek LPQM is geen ruit. De vierhoek heeft geen symmetrieassen. 42a Omat vierhoek DE een ruit is zijn e tegenoverliggene hoeken 1 en E even groot, us 1 = 127. Omat vierhoek DE een ruit is, zijn alle zijen van eze vierhoek even lang. Dus in riehoek DE zijn e zijen E en DE even lang. Driehoek DE is us een gelijkenige riehoek. In riehoek DE is 1 + D 1 + E = 180. Dus e hoeken 1 en D 1 zijn samen 180 127 = 53. Omat riehoek DE gelijkenig is, zijn e asishoeken 1 en D even groot. Dus is 1 = 53 : 2 = 26,5. Omat 1 = 127 en hoek een gestrekte hoek is, is 2 = 180 127 = 53. e In e ruit DE eelt e iagonaal D e hoeken en D mienoor. Dus is 2 = 1. De hele hoek is an 2 26,5 = 53. innen e ruit DE zijn e hoeken en D tegenoverliggen, us even groot. Dus is D 1 + D 2 = 53. Verer gelt in riehoek D at 2 + + D 3 = 180. Dus is D 3 = 180 90 53 = 37. De hele hoek D is an D 1 + D 2 + D 3 = 53 + 37 = 90.
43a Je krijgt 4 riehoeken. De hoeken van elke riehoek zijn samen 180. De hoeken van e zeshoek samen zijn gelijk aan alle hoeken van e 4 riehoeken ij elkaar, us 4 180 = 720. Elke hoek van e regelmatige zeshoek is us 720 : 6 = 120. fi IT Symmetrie I-1a Het spiegeleel staat met e pijl naar links geriht. De figuur veranert nu niet. ij horizontaal spiegelen veranert figuur niet, ij vertiaal spiegelen wel. Figuur heeft aarom één symmetrieas. Figuur veranert niet ij zowel horizontaal spiegelen als vertiaal spiegelen. Figuur heeft aarom twee symmetrieassen. - I-2a In welke lijn je ook spiegelt, figuur D veranert altij. Figuur D heeft us geen symmetrieassen. - Nee, e pijl staat an naar links. Figuur past wel na een halve raai op zihzelf, maar niet na een kwart raai. e Figuur E past na éénahtste raai weer op zihzelf, en ook na een kwart raai, na rieahtste raai, na een halve raai, na vijfahtste raai, na riekwart raai en na zevenahtste raai. I-3 De figuren 2, 3 en 5 zijn raaisymmetrish. 65
66 I-4a Een raai van 360 is een hele raai. Na een hele raai is een figuur weer in e eginstan terug. Figuur 5 past alleen na een raai van 180 op zihzelf. Dat is figuur 3. Figuur 2 kun je over 120 en 240 raaien zo at eze weer op zihzelf past. I-5a - I-6a Nee, e figuur is niet spiegelsymmetrish. - Nee at lukt niet. Nee, e figuur is ook niet raaisymmetrish. e - Test jezelf T-1 Figuur 1 heeft 1 symmetrieas. Figuur 2 heeft 6 symmetrieassen. Figuur 3 heeft 1 symmetrieas. Figuur 4 heeft 5 symmetrieassen. Figuur 5 heeft 3 symmetrieassen. T-2a Figuur 2, 4 en 5 zijn raaisymmetrish. Figuur 2 is raaisymmetrish over 60, 120, 180, 240 en 300. Figuur 4 is raaisymmetrish over 72, 144, 216 en 288. Figuur 5 is raaisymmetrish over 120 en 240. T-3a K + L + M = 180 L = 180 90 33 = 57 + + = 180 = 180 83 42 = 55 De rie hoeken samen zijn 180. Eén van e hoeken is 90, een anere 28. De ere hoek is us 180 90 28 = 62. De twee anere hoeken zijn us 90 en 62. De twee asishoeken zijn samen 180 74 = 106. De twee asishoeken zijn even groot, us elk 106 : 2 = 53.
T-4 In vierhoek PQRS gelt P + Q + R + S = 360 P = 360 76 51 132 = 101. In vierhoek DEFG gelt D + E + F + G = 360 en G = 90. F = 360 90 75 140 = 55. Vierhoek KLMN is een vlieger, us e hoeken L en N zijn even groot. Verer gelt: K + L + M + N = 360, us L + N = 360 38 116 = 206. L = 206 : 2 = 103 en N = 206 : 2 =103. T-5a Hoek is een gestrekte hoek us 1 + 2 + 3 = 180. 3 = 90, us 2 = 180 90 35 = 55. 1 + 2 = 180, us 2 =180 137 = 43. 3 = 90, en omat e hoeken 2 en 5 overstaane hoeken zijn is 5 = 43. Omat 3 = 90 zijn e hoeken 4 en 5 samen ook 90. Dus is 4 = 90 43 = 47. T-6 Figuur 1 hoort ij een ruit, want e iagonalen staan looreht op elkaar én snijen elkaar mienoor. Figuur 2 hoort ij een rehthoek, want e iagonalen zijn even lang én snijen elkaar mienoor. Figuur 3 hoort ij een vlieger, want e iagonalen staan looreht op elkaar. Figuur 4 hoort ij een vierkant, want e iagonalen zijn even lang, staan looreht op elkaar én snijen elkaar mienoor. T-7a vlieger ruit parallellogram De hoeken P en R zijn tegenoverliggen en us even groot. Dus is R = 34. Verer is P + Q + R + S = 360, us zijn e hoeken Q en S samen 360 34 34 = 292. De hoeken Q en S zijn tegenoverliggen en us even groot. Dus is Q = 292 : 2 = 146 en S = 146. e Er zijn rie mogelijkheen. Telkens gelt + + + D = 360. 1 De hoeken en zijn tegenoverliggen en us even groot. In at geval is = 50 en D = 360 50 50 85 = 175. Je kunt e hoeken en D ook verwisselen. 2 De hoeken en D zijn tegenoverliggen en us even groot. In at geval is D = 85 en = 360 85 85 50 = 140. Je kunt e hoeken en D ook verwisselen. 3 De hoeken en D zijn tegenoverliggen en us even groot. Ze zijn an samen 360 50 85 = 225. Dus is = 225 : 2 = 112,5 en is ook D = 112,5. 67
T-8a De taartpunt heeft een hoek van 45. De taart is us raaisymmetrish over 45, 90, 135. 180, 225, 270 en 315. De taart heeft 8 symmetrieassen, namelijk e 4 lijnen waarlangs e taart in stukken is gesneen en e 4 lijnen preies oor het mien van e taartstukken. T-9a/ 8 7 F 6 5 4 D 3 2 1 O 1 2 3 4 5 68 E 6 7 Voor het parallellogram : zie e tekening ij opraht a. De oörinaten van punt D zijn (1, 4). Zie e tekening ij opraht a. e De oörinaten van punt F zijn (5, 7). T-10a DE is een ruit, want e vier zijen zijn even lang. Omat E = E zijn e asishoeken en 1 even groot. Dus is = 60. Hoek is een gestrekte hoek, us 2 = 180 60 = 120. De hoeken 2 en D zijn tegenoverliggene hoeken en us even groot. Dus D = 120. Omat 2 + + D + E 2 = 360 is + E 2 = 360 120 120 = 120. De hoeken en E 2 zijn even groot, us is = 120 : 2 = 60 en is E 1 = 60. Driehoek E is gelijkzijig, want e rie hoeken zijn alle rie even groot, namelijk 60.