TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, sectie Cardiovasculaire Biomechanica Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB0 pagina /8 Maandag 4 april 204, 9.00-2.00 Maximum score is 50 punten. De deelscores zijn in de linkermarge aangegeven per opgave. Er zijn vijf opgaven. Begin met de vraag die je het makkelijkst kunt beantwoorden. Noteer deelstappen en argumentatie! - Alleen een antwoord (zonder argumentatie levert geen punten op. - De argumentatie is dus minstens zo belangrijk als het antwoord. - Ook goede antwoorden op delen van de vragen krijgen punten. Notebook is toegestaan, maar louter voor Matlab gebruik. Het formuleblad bevindt zich op pagina 8 Succes!
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB0 pagina 2/8 Maandag 4 april 204, 9.00-2.00 p aorta p aorta Coronair zonder stenose q normaal Coronair met stenose R p R p 2 p veneus q stenose p distaal p veneus. Atherosclerose kan tot vernauwingen in de kransslagaderen (= coronairen leiden. Dit kan er voor zorgen dat de hartspier niet voldoende aanvoer van zuurstofrijk bloed krijgt, hetgeen tot een verminderde pompfunctie kan leiden. Tijdens een dotter behandeling wordt er vaak een stent geplaatst om het bloedvat open te houden ter hoogte van de vernauwing. Echter, vaak zijn er meerdere vernauwingen (= stenoses, die niet allemaal gestent hoeven te worden. Om te bepalen hoe significant het effect van een stenose op de bloedtoevoer naar het hart is, kan men de zogenaamde Fractional Flow Reserve (FFR meten. De FFR is de verhouding flow bij een stenose (q stenose t.o.v. de flow in een normaal vat (q normaal bij maximale dilatatie van het perifere bed: F F R = q stenose q normaal p d p a ( Middels een intravasculaire bloeddruk meting met een pressure wire wordt de druk voor de stenose (p aorta = p a en na de stenose (p distaal = p d bepaald. Tevens wordt er een vasodilator ingespoten die zorgt voor maximale verwijding van het perifere vaatbed. a. Leg uit waarom deze meting niet snel pre-operatief uitgevoerd zal worden voor het plannen van de interventie. Bespreek de medische/ethische aspecten rondom deze ingreep en de afwegingen die men moet maken alvorens deze metingen uit te voeren. In de figuur aan rechterzijde ziet u een model van een coronair vat zonder en met stenose, met daarin de perifere weerstand R p en de veneuze druk p v. De medisch ingenieur gaat dit modelleren met een simpel elektrisch circuit bestaande uit alleen weerstanden. b. Laat zien dat geldt qstenose q normaal = p d p v R p2 R p p a p v c. Welke aannames zijn gemaakt om tot de formule voor de FFR te komen? Stenoses met een F F R 0.8 worden als significant beschouwd en dus wordt er in dat geval een stent geplaatst. De pressure wire geeft p a = (.2±0.3 0 2 mmhg en p d = (.0±0.2 0 2 mmhg. Je mag aannemen dat alle onzekerheden onafhankelijk zijn. d. Bereken de FFR voor deze stenose en zijn onzekerheid voor het 00% onzekerheidsinterval. Mag je besluiten te stenten of niet? e. Bereken de FFR voor deze stenose en zijn onzekerheid voor het 68% onzekerheidsinterval. Mag je nu besluiten te stenten of niet?
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB0 pagina 3/8 Maandag 4 april 204, 9.00-2.00 2. Voor het modelleren van het cardiovasculaire systeem wordt vaak gebruik gemaakt van Windketel modellen. Het meest uitgebreide model, het vier-element Windketel model, bestaat in meerdere varianten, zie figuur hieronder. L C C R R2 L R R2 A ~ ~ De vraag blijft of de spoel in serie met, of parallel aan, de weerstand R geschakeld moet worden. Om meer inzicht hierin te verschaffen, gaan we dit systeem analyseren. a. Leid de totale impedantie van het vier-element Windketel model af waarbij L en R parallel zijn geschakeld. b. Gebruik deze impedantie om te analyseren wat het gedrag is van dit systeem voor ωl R en ωc. c. Wat is het gedrag voor de limiet ω 0. In de tweede variant is inductantie L seriëel geschakeld. De vergelijking voor dit systeem is: LCq(t + (R C + L q(t + ( + R q(t = Cp(t + p(t d. Bepaal de systeem frequentie response functie S(ω en bijbehorende functies A(ω en ϕ(ω. Maak hierbij gebruik van complexe amplitude rekening. e. Onderzoek het limietgedrag van vraag (b en (c voor deze schakeling. f. Wat zijn de verschillen tussen de twee modellen? Geef bij ieder model aan of het een laag-, band- of hoog-doorlaat filter is.
3. Een onderzoeker wil de bloedsnelheid in de hersenen meten. Middels trans-craniale Doppler kan dit op één positie aan de zijflank van het hoofd, waar er een natuurlijke opening in de schedel zit. De huid is ongeveer 0.5 cm dik, de schedel.5 cm. Het bloedvat waarin men geïnteresseerd is ligt op cm van de schedel af. De gebruikte transducer heeft een zendfrequentie van 5 MHz. ρ huid = 0.95 0 3 kg/m 3 c huid = 450 m/s att huid = 0.6 db/cm MHz ρ bot = 2.23 0 3 kg/m 3 c bot = 3500 m/s att bot = 0 db/cm MHz ρ hersenen =.0 0 3 kg/m 3 c hersenen = 540 m/s att hersenen = 0.8 db/cm MHz a. Bereken hoeveel procent van de akoestische energie de transducer bereikt na reflectie in het brein als men trans-craniale Doppler uitvoert. Beschouw hierbij alleen reflecties en neem aan dat de opening gevuld is met huid. b. Idem, maar nu als men door de schedel heen probeert te echoën. c. Bereken de attenuatie in beide gevallen. De onderzoeker gebruikt Continuous Wave Doppler. De hoek tussen het bloedvat en de probe is 40. De operator hoort geluiden van 0-3 khz. d. Bereken de minimale en maximale snelheid van het bloed. De onderzoeker stapt over naar Pulsed Wave Doppler. e. Wat is de benodigde pulse repetition frequentie voor dezelfde metingen? Jonge babies hebben een zogenaamde fontanel: een grote schijf kraakbeen midden in de schedel. f. Waarom is brein echografie bij jonge babies wel mogelijk? Beargumenteer. g. Een phased array transducent staat ingesteld op een diepte van 0 cm met een zendfrequentie van 5 MHz en een beeldherhalingsfrequentie van 70 Hz. Hoeveel echolijnen worden er opgenomen? Neem aan dat de geluidssnelheid overal 540 m/s is. h. Stel, je wil een grote studie doen naar brein perfusie bij kinderen. Je denkt hierbij aan echografie en validatie met MR. Bespreek de voor en tegens van deze studie.
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB0 pagina 5/8 Maandag 4 april 204, 9.00-2.00 R Pm PL Pex C 4. Tijdens inademing stroomt er een bepaald hoeveelheid lucht q L de luchtwegen en de longen in. Bij een normale rustige ademhaling kan er worden aangenomen dat deze luchtstroom gelijk is aan de instantane verandering van het volume aan lucht, v L, in de luchtwegen en longen, i.e. q L = v L. Als eerste orde benadering kan de stroming van lucht door de longen en luchtwegen gemodelleerd worden als een weerstand R in serie met een capaciteit C (zie figuur hierboven. De weerstand representeert de weerstand die de lucht ondervindt als het door de aanvoerende luchtwegen stroomt. De drukval over deze weerstand p R is gegeven door het verschil tussen de heersende druk aan het begin van de luchtwegen (mond, p m en de druk in de longen, p L. De capaciteit representeert de statische compliantie (passieve elasticiteit van de longen en is gegeven door: p C = p L p ex = C v L waarin p ex de druk buiten de longen is. a. Stel de differentiaalvergelijking op van het seriële systeem voor v L door gebruik te maken van de wetten van Kirchhoff, de wet van Ohm en bovenstaande expressie voor de drukval p C. b. Los de differentiaalvergelijking analytisch op met de integrerende factor onder de aanname dat het drukverschil varieert met een sinus-functie met een frequentie van 0. Hz en een amplitude van 650 Pa. Laat alle stappen zien (De integratiestap mag ook symbolisch met Matlab. Nu nemen we aan dat er na de inspiratie geen lucht meer de luchtwegen instroomt en dat de longen passief relaxeren vanaf het volume V 0. c. Wat is de oplossing van de differentiaal vergelijking voor v L nu? d. Op welke manier zou je de relaxatie tijd kunnen bepalen? Welke informatie is daarvoor nodig?
De resultaten van zo n analyse resulteren in een relaxatie-constante van 0. s. e. Wat is de bijbehorende weerstand van de luchtwegen gegeven een statische compliantie C = 0 5 m 3 /Pa. f. Schrijf de differentiaalvergelijking uit (a in de vorm y = f en implementeer deze differentiaal vergelijking in de Matlab functie odefuncs bij odenum = 2. Gebruik als constanten de weerstand en compliantie uit (e en als input de sinusfunctie. Geef v max en v min. g. Gebruik nu de Euler solver in main.m om de differentiaalvergelijking numeriek op te lossen voor de volgende tijdstappen: tstep = e-3, e-2, e- en tstep = 0.5 s. Gebruik tend = 20 s. Wat observeer je als je de tijdstappen gaat variëren? Kun je dat uitleggen? In de kliniek is de flow door de luchtwegen gemeten met twee methodes. Meerdere metingen zijn uitgevoerd in een patiënt met een flow van 450 ml/min. De meetdata zijn: - Methode : [442 450 438 438 450 466 442 454 448 462]; - Methode 2: [424 430 432 436 438 430 422 426 424 442]; h. Analyseer de precisie en trueness van beide technieken. Welke methode is het meest accuraat? i. De Pearson s correlatie en Spearman correlatie zijn respectievelijk 0.95 en 0.97. Beargumenteer of er een goede overeenkomst tussen de twee methodes is.
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB0 pagina 7/8 Maandag 4 april 204, 9.00-2.00 5. Een drukdraad meet drukken tussen 0 en 200 mmhg. Een bloeddruksignaal is gemeten in een patiënt met een hartslag van 90 slagen per minuut. Een voorbeeld is in de figuur hieronder gegeven. 20 Druk (mmhg 0 00 90 80 0 0.2 0.4 0.6 Tijd (s Gegeven de Fourier coëfficiënten: a 0 = 96.92 a k =[-.66-3.92-3.79-3.42 -.42-0.90-0.56-0.003 0.2] b k =[2.88 5.27 2.49-0.42 -.7-0.76-0.95-0.8-0.42] a. Geef de Fourier serie voor de frequenties < 5 Hz. b. Teken het lijnspectrum A k voor dit signaal. Het flow signaal wordt gefilterd met een laag-doorlaat filter (RC met een gedigitaliseerd met een unipolaire 5-bits AD-converter. Het filter heeft een capaciteit van 4 µf en een weerstand van 5 0 3 Ω. c. Welke componenten zullen nog aanwezig zijn in het gefilterde signaal? d. Wat is de nodige bemonsteringsfrequentie voor het gefilterde signaal? e. Wat is de resolutie van het digitale signaal? f. Geef het dynamische bereik van het digitale signaal en de most significant bit (MSB.
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB0 pagina 8/8 Maandag 4 april 204, 9.00-2.00 Algebraische elementen V R (t = RI(t F K (t = Kx(t p R (t = Rq(t CV C (t = I(t F B(t = Bx (t Cp C (t = q(t V L = LI (t p L = Lq (t Homogene oplossing voor 2 e orde ODEs: y hom (t = Re(K e λt + K 2 e λ2t voor twee verschillende roots y hom (t = Re(K te λt + K 2 e λt voor twee dezelfde roots y hom (t = Re(e γt [d cos γ 2 t + d 2 sin γ 2 t] voor twee complexe roots Particuliere oplossing voor 2 e orde ODEs: Rechterzijde is f(t = Q(te ωt Q(t als ω λ and ω λ 2 Q(t + als λ λ 2 and ω = λ or ω = λ 2 Q(t + 2 als ω = λ = λ 2 Cosinus regel c 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos(α, met α de hoek tussen de twee vectoren Partiële Integratie f(xg(x dx = f(xg(x f(x g(xdx Reflection & Transmissie akoestische energie, Doppler effect R E = (Z 2 Z 2 (Z 2 + Z 2 T E = R E f = Fourier serie 2v cos(θ f c c x(t = + k=0 [a k cos(kωt + b k sin(kωt] ˆx(t N = N k=0 [a k cos(kωt + b k sin(kωt] a 0 = t=t+t T t=t x(tdt a k = 2 t=t+t T t=t x(t cos(kωtdt b k = 2 t=t+t T t=t x(t sin(kωtdt c k = 2 (a k ib k c k = 2 (a k + ib k A k = a 2 k + b2 k = 2 c k ψ k = arctan( b k a k Statistiek µ x = N N x i S = N (x i x N 2 i= i= Foutpropagatie 00% & 68% interval y = N j= xj f(x,..., x N x j S m,ȳ = N ( f(x,t,..., x N,t x 2 Sm, x 2 i. i i=
. Antwoorden TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, sectie Cardiovasculaire Biomechanica Antwoorden Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek(8VB0 Maandag 4 april 204, 9.00-2.00 a. De drukmeting is uiterst invasief en, hoewel per-operatief geen extra belasting voor de patiënt, zal dus niet snel vooraf aan de ingreep worden uitgevoerd. Verder is het toedienen van een vasodilator ook invasief en moet goed overwogen worden. In een goed gecontroleerde situatie, zoals in de OK, kan dit prima. De diagnose van vernauwingen in de coronairen is al gesteld op basis van angio/ct, wat minder invasief is. Echter, om vooraf te kijken, middels een operatie, of er minder of meer gestent moet worden, tijdens de operatie, is niet realistisch. ( b. R p = pa pv q normaal en R p2 = p d p v q stenose. Omschrijven en invullen in qstenose q normaal geeft p d p v R p2 R p p a p v. ( c. De perifere weerstand (na toedienen vasodilator is gelijk, of er nu een stenose in een coronair aanwezig is of niet, ofwel R p = R p2. Verder wordt aangenomen dat p v = 0. ( d. Deze opgave kan op twee manier worden opgelost. : Door de relatieve fouten op te tellen, i.e. F F R F F R = 30/20 + 20/00 0.45. Dus F F R = 0.45 00/20 0.4. 2: Door gebruik te maken van de algemene rekenregel voor 00% intervallen: y = Dit geeft: N j= xj f(x,..., x N x j. F F R = p a pd + p d p 2 a pd = 20 20 + 00 30 0.4. 202 De FFR is dus (0.8 ± 0.4. Het is op basis van deze meting erg lastig te bepalen of je moet stenten aangezien de werkelijke waarde met 00% zekerheid ligt tussen.2 en 0.4 en de threshold waarde is 0.8. ( e. Ook het 68% onzekerheidsinterval kan op twee manier bepaald worden. Enerzijds door de relatieve fouten kwadratisch op te tellen en ook weer met de algemene rekenregel gegeven door: S m,ȳ = N ( f(x,t,..., x N,t x 2 Sm, x 2 i. i i= Deze laatste methode geeft: S m,f F R = ( p 2 Sm,p 2 d + ( p d a p 2 2 Sm,p 2 a = a ( 20 202 + ( 00 20 2 302 0.3 De FFR is dus (0.8 ± 0.3. Het is op basis van deze meting erg lastig te bepalen of je moet stenten aangezien de werkelijke waarde met 68% zekerheid ligt tussen. en 0.5 en de threshold waarde is 0.8. (
2. Antwoorden: a. Z LR = R + iωl = R +iωl iωr L Z LR = iωr L R +iωl = + iωc = +iωc Z CR2 +iω C Z CR2 = Z tot = Z LR + Z CR2 = iωr L R +iωl + +iω C Z tot = (iωr L(+iω C+ (R +iωl (R +iωl(+iω C ( b. Z tot = iωr L R +iωl + +iω C = R + 0 = R. Alle stroom gaat via R (inductor laat niks door, daarna via condensator (hoog frequent, dus condensator laat alles door. ( c. Z tot = 0 + =. De inductor zal geen weerstand bieden, de condensator eindig veel. De stroom gaat dus via L en ( d. S(ω = p q = LCω2 +iω(r C+ L +(+ R A(ω = iωc+ (+ R LCω 2 2 +(ω(r C+ L 2 (ωc 2 +( 2 ϕ(ω = arctan ω(r C+ L + R LCω 2 arctan( ωc ( e. Voor ω 0 krijg je Z tot = R +, in het tweede geval zal de inductor een oneindige impedantie krijgen, waardoor er geen flow zal zijn. ( f. Het tweede model is een laag-doorlaat filter. De limieten van dit model laten dit zien. De limiet voor hoge frequenties impliceert dat de parallelle variant (model wellicht beter is.( 3. Antwoorden a. R huid brein = (Z hersenen Z huid 2 (Z hersenen +Z huid = 0.003, dus T 2 = 0.9969, ofwel 99.7%. Echter, het geluid moet ook nog terug naar de transducer. De totale transmissie is dus T tot = T 2 = 0.9938, ofwel 99.4% van de energie zal de probe bereiken. ( b. R huid schedel = (Z bot Z huid 2 = 0.49, dus T (Z bot +Z huid 2 = 0.5; R schedel brein = (Z hersenen Z bot 2 = 0.45, (Z hersenen +Z bot 2 dus T 2 = 0.55. De totale transmissie is dus T tot = T T 2 = 0.28. Echter, het geluid moet ook nog terug, dus blijft er slechts Ttot 2 = 0.08, 8%, over. ( c. Situatie (trans-craniaal: attenuatie is 0.6 5 (0.5 +.5 + 0.8 5 = 0 db Situatie 2 (trans-craniaal: attenuatie is 0.6 5 0.5 + 0 5.5 + 0.8 5 = 80.5 db ( d. Invullen in de Doppler formule levert: - Voor 0 Hz: v = fc 2f c cos(θ = 0 - Voor 3 khz: v = 3 03 540 = 0.6 m/s ( 2 5 0 6 cos(40 e. PRF = 2f Nyq = 6 khz. (
f. De dichtheid van, en de geluidsnelheid in, het kraakbeen liggen dichter bij die van de huid en de hersenen. De reflecties/attenuatie zullen lager zijn, waardoor echografie mogelijk is (er komt nog signaal terug!. ( g. Tijd voor een enkele echolijn is 2 0. 540 beeld is lijnen. (factor 2 i.v.m. de afgelegde weg. De tijd voor een enkel 70. Het aantal (mogelijke lijnen binnen dit beeld, bij deze diepte, is 70 = 0 2 0. 540 ( h. Non-invasieve echografie bij jonge kinderen vereist toestemming van de medisch-ethische toetsingscommissie en van de ouders (na het verstrekken van voldoende en correcte informatie. Extra metingen en het gebruik van contrast zijn hier bij uit den boze. MR is mogelijk, maar is kostbaar. Daarnaast vereist een goede MR-scan een stilliggend kind, wat bij kleine kinderen niet triviaal is. Tenslotte is een MR-scan erg bedreigend (tunnel, geluid voor een klein kind. Dus nee, die validatie studie gaat je waarschijnlijk niet lukken. ( 4. Antwoorden: a. p = p R + p C = C v L + Rv L. ( b. Oplossen van de differentiaalvergelijking stap voor stap:. Zet de vergelijking in de vorm v L + RC v L = p R. 2. Bepaal een primitieve van a(t = RC, i.e. A(t = t RC. 3. Vermenigvuldig de differentiaalvergelijking met de integrerende factor e A(t = e t Dit geeft: v Le t RC + RC V Le t RC 4. Herschrijf tot: d dt (e t RC vl = p0 sin (2πft = e t RC. R p0 sin (2πft e t RC. R 5. Integreer het linker- en rechterlid over de tijd met behulp van partiële integratie. Dit mag je doen met de Matlab functie int.m. De resulterende vergelijking is: e t RC vl = p0e t sin 2πft RC (2πf cos (2πft RC + k. R( + 4π C 2 f 2 2 Hierin is k een integratieconstante. 6. De algemene oplossing is dan: v L = sin (2πft p0(2πf cos (2πft RC + ke t R( + 4π C 2 f 2 RC. 2 RC. ( c. Op het moment dat er geen lucht meer instroomt is de druk gradiënt p gelijk aan 0. De homogene differentiaalvergelijking blijft dus over en de oplossing is dus de homogene oplossing van opgave (b met als beginconditie v L (0 = V 0. Dus: v L = V 0 e t RC.(
d. De relaxatie-tijd is gegeven door RC. v L als functie van de tijd kunnen we meten/benaderen. Hieruit kunnen we de relaxatie bepalen door ln V L(t V 0 uit te zetten tegen de tijd. De helling van deze grafiek is dan gelijk aan RC. Hieruit kunnen we dan eenvoudig de relaxatie-tijd RC halen. ( e. RC = 0. s geeft dat R = 0. 0 5 = 0 4 Pa s/m 3. ( f. Gebruik bij odenum=2 de volgende Matlab code: %% CONSTANTS p0 = 650; f = 0.; R = e4; C = e-5; Pin = p0*cos(2*pi*f*t; %% f f=pin/r-y/(r*c;. v min = 6 0 3 = 6 liter, v max = 6 0 3 = 6 liter. ( g. De tijdstap 0.5 s veroorzaakt instabiliteiten. Het verkleinen van de tijdstap zorgt er voor dat we een goede numerieke oplossing krijgen. Voor de stabiliteit van de Euler solver geldt dat h λ < 2. Hier betekent dit dat de oplosmethode stabiel is voor h < 2R C = 0.2 s. ( h. Methode heeft een gemiddelde ± standaard deviatie van 449 ± 9.6. Voor methode 2 is dit: 430 ± 6.7. Methode 2 heeft een grote onderschatting (lage trueness, maar hogere precisie. Men mag concluderen dat methode accurater is gezien de kleine verschillen in precisie. Echter, de conclusie geen van beide is meer accuraat, methode is onpreciezer, methode 2 geeft een afwijking wordt ook goed gerekend. Bij gebruikmaking van mediaan en inter-quartiel range is het antwoord wel eenduidig: methode is accurater, aangezien de precisie van beide methodes gelijk is (IQR = 2 en de mediaan van methode dichter bij de echte waarde ligt. ( i. Nee. Het lijkt er op dat er een lineair verband is, maar dit wil niet zeggen dat er een goede overeenkomst tussen beide methodes is. (
5. Antwoorden: a. De grondtoon is 90/60 =.5, dus f < 5 Hz betekent dat de DC-offset en eerste drie harmonische frequenties gevraagd worden. Dit geeft: p(t = 96.92.66 cos(3πt+2.88 sin(3πt 3.92 cos(6πt+5.27 sin(6πt 3.79 cos(9πt+2.49 sin(9πt ( 00 80 60 b. A k 40 ( 20 0 0 2 4 6 8 0 2 4 Frequentie (Hz c. De cut-off frequentie is zijn nog aanwezig. 2πRC = 8 Hz. De DC-offset en de eerste vijf harmonische frequenties ( d. f = 2f Nyq = 6 Hz. ( e. Het bereik in druk is 0-200 mmhg. De resolutie is dus 200 0 2 5 ( = 6.456 6.5 mmhg/bit. f. DR = 25 = 3 of 29.8 db. De MSB (0000 geeft: 2 4 6.456 = 03.2258 03 mmhg. (