K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( ) g( ) f ( ) g'( ) ( product regel) t( ) n( ) t '( ) t( ) n'( ) q( ) q'( ) n ( ) ( n ( )) f() = u(v()) geeft f () = u (v()) v () f() = sin() geeft f () = cos() f() = cos() geeft f () = -sin() f() = tan() geeft f () = + tan () = f() = e geeft f () = e cos ( ) f() = g geeft f () = g ln(g) ( quotiënt regel) (kettingregel) f() = ln() geeft f () = f() = g log() geeft f () = ln( g)
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor primitiveren: a f a F c met n n g f ( ) g F( ) c ln( g) n n ( ) ( ) f ( ) e F( ) e c f ( ) F( ) ln c f ( ) ln( ) F( ) ln( ) c g f ( ) log( ) F( ) ( ln( ) ) c ln( g) F( a b) c f() = sin() => F() = -cos() + c a f() = cos() => F() = sin() + c De primitieven van f(a + b) zijn
K. De substitutiemethode [] Substitutiemethode primitiveren: (f (u) u )d = f(u) du = F(u) +c Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 5( + ) 4 ( + ) F() = 5( + ) 4 ( + ) d = 5( + ) 4 d( + ) [Neem + = u()] 5(u()) 4 d(u()) = (u()) 5 + c = ( + ) 5 + c Let op: Door het handig toepassen van de substitutiemethode krijgt je een functie, die je kunt primitiveren met de regels, die je eerder geleerd hebt. Er wordt een integraalteken zonder grenzen gebruikt. Dit is een onbepaalde integraal. Als er wel grenzen bij het integraalteken staan is het een bepaalde integraal. Merk op dat in het voorbeeld + de afgeleide is van +.
K. De substitutiemethode [] Substitutiemethode primitiveren: (f (u) u )d = f(u) du = F(u) +c Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 0 4 7 0 4 F( ) d 4 ( 7) 4 d 7 4 4 ( 7) d( ) 4 4 ( 7) d( 7) u du 5u c 4 5 5 7 u c c [Herschrijven zodat je de functie en de afgeleide ziet.] [ 4 mag je in 4 + 7 veranderen. De afgeleiden hiervan zijn aan elkaar gelijk.] [Schrijf 4 + 7 als u] 4
K. De substitutiemethode [] Opgave 4D: J( ) sin( ) d sin( ) d( ) sin( ) d( ) sinudu cos cos( ) u c c 5
K. De substitutiemethode [] Substitutiemethode integreren: (f (u) u )d = f(u) du = F(u) +c Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = tan() = sin( ) cos( ) F( ) sin( ) d cos( ) ( cos( )) cos( ) d d(cos( )) cos( ) du u -ln u + c = -ln cos() + c [Het minteken mag je voor de d zetten] [Schrijf cos() als u] 6
K. De substitutiemethode [] Substitutiemethode integreren: (f (u) u )d = f(u) du = F(u) +c Voorbeeld : 4 6 cos ( ) 4 4 6 6 4 6 cos ( ) cos( ) ( sin ( )) cos( ) ( sin ( )) d sin( ) ( u ) du u u 8 8 5 4 d d d Herschrijven zodat je de functie en de afgeleide ziet. De variabele was en wordt nu u = sin(). Hierdoor veranderen de grenzen van de integraal. sin( ) sin( ) 6 4 7
Opgave C: 0 0 0 e e d d e d( ) 6e d( ) 0 u u 6e du 6e 0 0 K. De substitutiemethode [] 0 e 6 e 6 e 6 6e 6e Herschrijven zodat je de functie en de afgeleide ziet. De variabele was en wordt nu u = -. Hierdoor veranderen de grenzen van de integraal. 8
K. Partieel integreren [] Voor partieel integreren geldt de volgende regel: (f g )d = f dg = f g - gdf = f g - g f d Voorbeeld : Primitiveer de functie h() = ln() ln()d = ln() d(½ ) [Deze stap is hetzelfde als bij partieel integreren. Je krijgt nu niet een functie en de afgeleide.] = ½ ln() ½ d(ln()) [ f dg = f g - g df ] = ½ ln() ½ d [f g - g f d] = ½ ln() ½ d = ½ ln() - ¼ + c 9
K. Partieel integreren [] Algemeen: (f g )d = f dg = f g - gdf = f g - g f d Bij het primitiveren van een functie, die het product van twee functies is, noem je het ene deel f en het andere deel g. Met behulp van de bovenstaande formule bereken je dan de primitieve. Dit heet partieel primitiveren. Als je vastloopt, moet je de f en g andersom kiezen. Voorbeeld : h() = sin() sin() d = d(-cos()) [ (f g )d = f dg ] = - cos()) - -cos() d [f() = en g () = sin()] = - cos() + sin() + c 0
Voorbeeld : ln ( ) d K. Partieel integreren [] ln ( ) d ln ( ) (ln ( )) d ln ( ) ln ( ) d ln ( ) ln ( ) d ln ( ) ln ( ) d 4 ln ( ) ln ( ) d(ln ( )) 4 4 ln ( ) ln ( ) 4 ln( ) d 4 ln ( ) ln ( ) ln( ) d 4 Nog een keer partieel integreren geeft de oplossing.
K. Partieel integreren [] Voorbeeld : sin() d [ (f g )d = f dg ] = d(-cos()) [g () = sin() en f() = ] = -cos() - -cos() d partieel integreren = - cos() + cos() d De functie sin() kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden. Na toepassen van partiële integratie kan de functie cos() niet op de normale manier geprimitiveerd worden. In plaats van een staat er nu wel een. Wanneer we de functie cos() nu nogmaals partieel integreren, zal deze dus een los getal worden. Een functie van de vorm a sin() kan op de normale manier geprimitiveerd worden. - cos() + cos() d = - cos() + d sin() = - cos() + sin() sin() d = - cos() + sin() - sin() d = - cos() + sin() + cos() + c
K. Partieel integreren [] Voorbeeld : e sin() d [ (f g )d = f dg ] = e d(-cos()) [g () = sin() en f() = e ] = -cos() e + cos() de partieel integreren = -e cos() + e cos() d De functie e sin() kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden. Na toepassen van partiële integratie kan de functie e cos() ook niet op de normale manier geprimitiveerd worden. We passen nu nogmaals partiële integratie toe. = -e cos() + e d sin() = -e cos() + sin() e sin() d e = -e cos() + e sin() e sin() d e sin() d = -e cos() + e sin() e sin() d e sin() d = -e cos() + e sin()) e sin() d = -½e cos() + ½e sin()) + c [herschrijven]
Opgave 7A: K. Partieel integreren [] ( ) e d ( ) de ( ) e e d( ) ( ) e ( ) e d ( ) e ( ) de ( ) e ( ) e e d( ) ( ) ( ) e e e d ( ) ( ) e e e c ( ) e d [( ) e ( ) e e ] e e 4
K. Cyclometrische functies [] Herhaling: In het algemeen geldt: Uit g log() = y volgt = g y Er bestaat dus een verband tussen een machtsfunctie en een logaritmische functie. De grafieken van f() = en g() = log() spiegelen in de lijn y =. We noemen f en g nu inverse functies. 5
K. Cyclometrische functies [] In het plaatje hiernaast is de blauwe functie f() = tan() op het interval ( - ½π, ½π) gespiegeld in de lijn y =. Hierdoor ontstaat de rode inverse functie g() = f inv () = arctan() = tan - () met D f = R en B f = (- ½π, ½π) De inverse functie van een goniometrische formule heet een cyclometrische functie. Let op: De inverse functie van tan() is dus niet (tan( )) tan( ) 6
K. Cyclometrische functies [] Er geldt: De functie f() = heeft als primitieve: F()= arctan() + c De functie g() = arctan() heeft als afgeleide: g () = Wanneer je een eacte oplossing moet geven bij een goniometrische functie kun je onderstaande tabel gebruiken: hoek 0 45 60 sinus ½ ½ ½ cosinus ½ ½ ½ tangens Let op: Op de GR is de arctan te vinden via ND tan 7
K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : arctan( ) = (of 0 ) want tan( ) = 6 6 4 4 arctan () = (of 45 ) want tan( ) = arctan( ) = (of 60 ) want tan( ) = Voorbeeld : Los algebraïsch op arctan() =. Rond het antwoord af op drie decimalen. arctan() = = tan(),557 [arctan() is de inverse functie van tan()] 8
K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Differentieer f() = arctan( + ) f() = arctan( + ) = arctan(u) met u = + f () = u ( ) 4 [Gebruik de kettingregel] Voorbeeld 4: Bereken eact 0 d 0 [arctan( )] arctan() arctan(0) 0 d 0 4 4 9
K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 9 4 Stap : Schrijf de functie in de vorm f( ) 9 4 u 9 4 met u = Stap : Primitiveer nu de functie. F() = arctan(u) = arctan(½) Let op: Vermenigvuldig de primitieve met vanwege u = 0
K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = arctan() Gebruik partieel primitiveren arctan()d = arctan() - d arctan() = arctan() - d = arctan() - d(½ ) = arctan() - ½ d( +) Neem + = u = arctan() - ½ du u = arctan() - ½ ln u = arctan() - ½ ln( + )
K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Bereken eact 0 6 48 d Stap : Schrijf de functie in de vorm 6 6 6 f( ) 4 8 4 4 4 ( ) 4 ( ) ( ) u 4 met u = ½ -
K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Bereken eact 0 6 48 d Stap : Primitiveer nu de functie. f( ) F() = u arctan( u) arctan( ) Let op: Vermenigvuldig de primitieve met vanwege u =
K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Bereken eact 0 6 48 d Stap : Bereken nu het gevraagde: 0 6 [ arctan( )] 48 d 0 arctan(0) arctan(-) = 0 - ¼π = ¾π 4
K. Cyclometrische functies [] De inverse van f() = sin() met het domein [-½π, ½π] is de functie g() = arcsin() g() = arcsin() heeft domein [-, ] en bereik [-½π, ½π] De functie f() = heeft als primitieve: F()= arcsin() + c De functie g() = arcsin() heeft als afgeleide: g () = 5
K. Cyclometrische functies [] De inverse van f() = cos() met het domein [0, π] is de functie g() = arccos() g() = arcsin() heeft Domein [-, ] en bereik [0, π] De functie f() = heeft als primitieve: F()= arccos() + C De functie g() = arccos() heeft als afgeleide: g () = 6
K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld: Bereken eact 4 d d d d 4 4( ) 4 4 d arcsin arcsin( ) arcsin( ) 6 6 7
K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : De functie f() = + heeft als integraal F() = + ln + + c De functie f() is te schrijven als één breuk door middel van breuksplitsen. ( ) 5 5 De functie f() = valt niet te integreren. Wanneer deze breuk gesplitst wordt, kan wel een integraal berekend worden. 8
K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 5 Stap : Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren: + / + 5 \ maal + = ( + ) = + + Let op: hierdoor valt de weg!!! -------- - 5 De functie f() = is nu te schrijven als + Stap : Bereken de primitieven van de functie f(): F() = + ln + + c 9
K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Bereken eact 4 5 d Stap : Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren: + / + 5 + \ maal + = ( + ) = + + Let op: Hierdoor valt de weg. ---------------- - + + / + 5 + \ + maal + = ( + ) = + + Let op: Hierdoor valt de weg. ---------------- - + + --------- - - 0
K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Bereken eact Stap : Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren: De functie f() = f() = + + 4 5 d 5 kan dus geschreven worden als: Stap : De primitieven van de functie f() = + - F() = + ln + + c zijn: Let op: Staartdelen kan alleen als de graad van de teller groter of gelijk is Dan de graad van de noemer.
K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Bereken eact 4 5 d Stap : Bereken nu de gevraagde integraal: 4 4 5 d d ln 4 (4 4 ln 4 ) ( ln ) 8 ln 5 5 ln ln 5 ln
Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = K.4 Breuksplitsen [] 45 Let op: ) De discriminant van de noemer ( + 4 + 5) is kleiner dan 0 (4 4 5 = -4). Je kunt de noemer niet ontbinden in factoren; ) De afgeleide van + 4 + 5 is + 4; ) Staartdelen is niet mogelijk. 4 5 4 5 d d d 4 5 4 5 4 5 4 5 4 d 45 d( 4 5) 45 du ln u u ln 45 Door het herschrijven van de functie ontstaan twee breuken die je kunt primitiveren: ) Gebruik de substitutiemethode (breuk ); ) Primitieve is de natuurlijke log. (breuk ).
K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 5 d 45 5 d ( ) 5arctan( ) 45 Herleiden van de breuk zorgt dat je de tweede breuk kunt primitiveren. De primitieve van de functie f() = 45 wordt nu: F() = ln + 4 + 5-5 arctan( + ) + c 4
K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 44 Let op: ) De discriminant van de noemer ( + 4 + 4) is gelijk aan 0 (4 4 4 = 0); ) De noemer is te schrijven als + 4 + 4 = ( + ) ; ) De teller is te schrijven als - = + 4 5 = ( + ) 5; 4) Staartdelen is niet mogelijk. ( ) 5 d d 4 4 ( ) 5 d 5( ) d ( ) ln 5( ) c Door het herschrijven van de functie ontstaan twee breuken die je kunt primitiveren. 5
K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld: Bereken de primitieven van f( ) 8 8 ( )( ) Let op: ) De discriminant van de noemer ( + -) is groter dan 0 ( 4 - = 9). De noemer kan in factoren ontbonden worden; ) De noemer geschreven worden als + - = ( )( + ); ) Staartdelen is niet mogelijk. Stap : Merk op dat je deze functie niet kunt primitiveren op de manieren zoals geleerd. Dit is op te lossen door de functie f als volgt te schrijven: f( ) a b 6
K.4 Breuksplitsen [] Stap : a b a( ) b( ) ( )( ) ( )( ) a( ) b( ) ( )( ) a a b b ( )( ) ( a b) a b ( )( ) We kiezen a en b nu zodanig dat (a + b) + a b gelijk is aan + 8 Er geldt nu: a + b = en a b = 8 7
K.4 Breuksplitsen [] Stap : Los het nu ontstane stelsel van vergelijkingen op: ab ab8 a 9 a Invullen van a = in a + b = geeft b = -. De vergelijking f( ) 8 8 ( )( ) kan dus geschreven worden als: f( ) a b met a = en b = -. Dit geeft: f( ) 8
K.4 Breuksplitsen [] Stap : Primitiveer de functie f( ) F() = ln - - ln + + c 9
K.5 Integralen bij parameterkrommen [] Bij het rekenen met integralen kun je de volgende regels gebruiken: b a Bij Bij yd a b c c a b a b yd yd yd yd yd dy werk je van links naar rechts. werk je van beneden naar boven. yd De integraal is dan positief als y 0 en negatief als y 0. dy De integraal is dan positief als 0 en negatief als 0. 40
K.5 Integralen bij parameterkrommen [] Voorbeeld: De kromme K is gegeven door: ( t) t y( t) t t Het vlakdeel V wordt ingesloten door K, de positieve -as en de positieve y-as. Bereken eact de oppervlakte van V. t t4 O( V ) yd yd t0 t0 t0 t4 O( V ) yd yd O( V ) O( V ) t t0 t 4 t t t 4 yd yd Van links naar rechts. Deel van t = 0 tot t = 4 ligt onder de -as. Omdraaien van de grenzen Samenvoegen Omdraaien van de grenzen 4
K.5 Integralen bij parameterkrommen [] Voorbeeld: t t 4 t t 4 t t t4 t4 t t t dt t t dt 4 t t 8 4 O( V ) yd t t d t ( ) ( ) ( 4 4 ) 4 4 8 8 8 6 8 4
K.5 Integralen bij parameterkrommen [] In het bovenste plaatje doorloop t de kromme met de klok mee. De kromme wordt nu in negatieve richting doorlopen. t b t a O( V ) yd of O( V ) dy t a t b In het onderste plaatje doorloop t de kromme tegen de klok in. De kromme wordt nu in positieve richting doorlopen. t a t b O( V ) yd of O( V ) dy t b t a Kies steeds de integraal die het eenvoudigst te berekenen is. 4
K.5 Integralen bij parameterkrommen [] De kromme K die gegeven is door ( t) t t y t ( ) t 4 Sluit het vlakdeel V in. Bereken eact de oppervlakte van V. Stap : Bepaal welke integraal het eenvoudigst is om uit te rekenen: 4 dy ( t t ) d( t 4) ( t t ) t dt (6t t ) dt 4 yd ( t 4) d( t t ) ( t 4) ( t ) dt (5t t ) dt Hieruit volgt dat de bovenste integraal het eenvoudigst is om uit te rekenen. 44
K.5 Integralen bij parameterkrommen [] De kromme K die gegeven is door ( t) t t y t Sluit het vlakdeel V in. Bereken eact de oppervlakte van V. Stap : Bereken de grenzen van de integraal en onderzoek de richting: t t = 0 t( t ) = 0 t = 0 t = t = 0 t = t = - ( ) t 4 Invullen van t = geeft het punt (, -), dus V wordt in positieve richting doorlopen. 45
K.5 Integralen bij parameterkrommen [] De kromme K die gegeven is door ( t) t t y t Sluit het vlakdeel V in. Bereken eact de oppervlakte van V. Stap : Bereken de integraal: t t ( ) t 4 4 5 5 (6t t ) dt t t 9 ( 9 ) 5 5 6 6 4 8 8 4 5 5 5 46