Opgave 1 Tentamen Stromingsleer (wb1220) 14 juni 2005, 14.00-17.00 uur: Uitwerking a) We beschouwen een rechte ronde buis met daarin een regelkraan, die, wanneer deze compleet open staat, nauwelijks energieverliezen oplevert. Nu wordt de kraan dusdanig afgesteld, dat de K-waarde 3 bedraagt. Schets een mogelijk binnenwerk van de kraan, de stand van de klep bij deze K-waarde, en geef aan (bijv. met snelheids vectoren) hoe de stroming er dan zo ongeveer uitziet. Type kraan is bijvorbeeld kogelkraan, maar geen stopkraan. De stroming lijkt sterk op die van een meetflens, zie boek. Een K-waarde van 3 wordt dan bereikt als de doorstroomopening ruwweg gehalveerd is. b) Beschouw een gas met κ = 1.4, dat vanuit een groot reservoir door een Lavalbuis stroomt. In de diffusor staat een normale schok bij een Mach getal van 2. Na de schok neemt de diffusor-diameter verder toe. Vervolgens wordt in het midden van de stroming een Pitotbuis geplaatst, waarvan de diameter ongeveer een vijfde is van die van de diffusor. Schets de configuratie, en schets over het midden van de stroming (tot aan de Pitotbuis!) het verloop van (in vier verschillende grafieken), waarbij je aandacht geeft aan de condities in het Reservoir, de Nozzle, de Schok, en de Pitot-buis : Het Mach getal De druk De temperatuur De stroomsnelheid Onderbouw het geheel met argumentatie; niet te veel rekenwerk... Een Lavalbuis is een combinatie van een contractie met een diffusor. In de diffusor is M>1, dus in de keel geldt M = 1. Tot aan de schok gelden de isentrope gasrelaties: snelheid neemt continu toe; druk, temperatuur en dichheid nemen af. We kunnen uit de rechte schok relaties ook de waarden van de parameters na de schok halen: V en M nemen af, T, rho en p nemen toe. Verder is na de schok de stroming subsoon geworden (M<1). De diffusor verwijdt verder, dus V en M nemen af, T, rho en p nemen toe. Als we beseffen dat de Pitotbuis klein is t.o.v. de diffusor weten we dus dat de stroming er nauwelijks gestoord langs gaat, maar dat op de neus van de Pitotbuis reservoircondities ontstaan: v en M zijn nul; T = de oorspronkelijk T0; uit isentrope relaties volgt dat P_p en rho_p < P0 en rho0. In een schets (zie ook boek):
Opgave 2 Met behulp van een tandwielpompje wordt olie van viscositeit 6.10-3 Pa.s en dichtheid 800 kg/m 3 vanuit een voorraadvat door een dunne gladde RVS leiding geperst. De leiding heeft een lengte van 0.6 m, en een binnendiameter van 1 mm. De lekkage langs de tanden van de pomp zijn evenredig met het drukverschil dat de pomp opwekt, p; derhalve kan de pompkarakteristiek geschreven worden als: Q = Q 0 (ml/s) α. p (bar). Uit meting blijkt dat Q 0 = 2.0 ml/s, en dat bij een tegendruk van 5 bar Q is teruggelopen tot 1.0 ml/s. In eerste instantie wordt de olie door de leiding weer teruggepompt in het voorraadvat. a) Bepaal de waarde van α in SI-eenheden. Bepaal het debiet dat de pomp in deze toestand levert (verwaarloos in- en uitstroomverliezen). Laat daarbij zien dat de stroming door de leiding laminair is. Wat denk je dat er met α zou gebeuren als we de viscositeit van de olie zouden verdubbelen? De pomp verliest 1ml/s per 5 bar = 10-6m^3/s per 5.10^5 Pa = 2.10^-12 m^3/s / kg/(m.s^2) = 2.10^-12 m^4.s/kg. Omdat het om een viskeus verlies door een nauwe spleet gaat, mogen we hier aan een Couettestroming tussen de pomptanden denken. Bij een dubbele viscositeit zal het verlies dus halveren, en zodoende ook alpha. De Q_0 blijft onveranderd, maar in dat geval zal bij 5 bar tegendruk er nog altijd 1.5 ml/s uit komen. (Dit soort pompen gaat inderdaad beter functioneren naarmate de vloeistof viskeuzer is (met ook de nodige beperkingen), in tegenstelling tot bijvoorbeeld centrifugaalpompen!) In de nultoestand (open leiding terug in vat): Wel verlies over leiding! Resultaat is Q1: Pomp karakteristiek (boven bepaald): Q = Q_0 - alpha*dp => dp = P0 - Q/alpha, (met P0 = 1e6) Leidingweerstand (uit formuleblad, ingevuld 64/Re): dp = 128*L*mu*Q/(pi*d^4) = C * Q (met C = 1.467e11) Gelijkstellen bepaalt werkpunt Q1: 1e6 - Q1/alpha = C * Q1 => alpha*1e6 = Q1*(alpha*C + 1) Q1 = alpha*1e6/(1 + C*alpha) = 1.546 m^3/s = 1.546 ml/s = Q1 en U = 1.97 m/s Controle Re = rho.u.d/mu = 263 < 2300, dus laminair. Vervolgens wordt dezelfde pomp aangesloten op een zuiger met oppervlakte A = 12 cm 2 die een veer met veerconstante K = 9 kn/m induwt. Op t = 0 is de veer juist ontspannen, daarna wordt deze door de zuigerverplaatsing ingeduwd. b) Stel een vergelijking op voor het pompdebiet Q(t) als functie van het reeds verplaatste volume. Naarmate de zuiger zich vult, wordt de tegendruk steeds groter, en gaat de pomp steeds meer lekken. Er geldt dat P_z = K.x/Az, met x = zuigerindrukking = Int(Q)/Az: Daarmee: P_pomp = dp(leiding) + P_z, ofwel P0 - Q/alpha = C*Q + K/Az^2*Int_from_0_to_t (Q(t)).dt c) Door deze vergelijking naar de tijd te differentiëren ontstaat er een differentiaalvergelijking. Los deze op, met gebruikmaking van de beginvoorwaarde bepaald in a). De overdrukbeveiliging van de pomp slaat af bij een zuigerdruk van 8 bar. Hoelang duurt het totdat dit punt bereikt is?
Differentieren (P0 - Q/alpha - C*Q = K/Az^2*Integraal(Q)) levert: (1/alpha + C)*dQ/dt = - K/Az^2*Q; of (1 + alphac)*dq/dt = - alpha*k/az^2*q Oplossing is Q = Q(t=0)*exp(- alpha*k/(az^2(1+alphac)). Met Q(t=0) uit a: Q(t) = alpha*1e6/(1 + C*alpha) *exp(- alpha*k/(az^2(1+alphac)). Of, in getallen:q(t) = 1.546*exp(-0.00966*t) Zuigerdruk 8 bar? Dan K.x/Az = 8e5 of x = 8e5*Az/K = 0.107 m Dit wordt bereikt als Int(Q)/Az = 1.546e-6*(1-exp(-0.00966*t8))/ 0.00966/Az = 0.107, of (1-exp(-0.00966*t8)) = 0.8002, of -0.00966*t8 = -1.61, of t8 = 166.6 seconde Opgave 3 De Eurocopter EC 155 is een zeer moderne geluidsarme helikopter voor civiele doeleinden. Het hefvermogen van maximaal 4.8 ton wordt gegenereerd door een rotor bestaande uit vijf bladen. De bladen lopen radiaal van r = 0.5 tot r = 6.3 meter. De dichtheid en viscositeit van de lucht zijn 1.2 kg/m 3, respectievelijk 18.10-6 Pa.s. a) Als gegeven is dat de tipsnelheid maximaal 250 m/s mag bedragen, bepaal dan de hoeksnelheid van de rotor. De tangentiële snelheid u(r) van een roterend lichaam is Omega.r, met r de afstand loodrecht gemeten t.o.v. de rotatieas. In dit geval loopt het rotorblad van R1 = 0.5 tot R2 = 6.3 m. Met de limiet volgt dat Omega = U_tip / R2 = 39.68 rad/s = 6.31 omw/s = 379 rpm. b) Vervolgens moet de stroming over de bladen laminair blijven; als gegeven is dat het Reynolds getal voor transitie 1.10 6 bedraagt, bepaal dan de breedte van de bladen. Het Reynoldsgetal is U.b.rho.nu; om omslag naar turbulentie te voorkomen (de weerstand zou dan sterk toenemen, wat naturlijk ongewenst is), moet deze onder het transitiepunt blijven; ofwel b = 1.10^6. mu / ( rho. U_tip ) = 0.06 m, ofwel 6 cm. Dit lijkt weinig, maar geldt voor de tip. Bij een echte heli wordt het blad breder richting de naaf. c) De bladen hebben een liftcoëfficiënt van 2.0. Laat zien dat het maximale hefvermogen voor deze helikopter 47.2 kn bedraagt. Lift wordt gegenereerd door de stroming lamgs de rotor bladen, die als vleugels werken. De lift df_l van een element rotorblad met breedte b in stromingsrichting en lengte dr in de loodrechte spanwise richting, is df_l = (½.rho.u(r)^2). C_L. (b.dr); De totale lift voor een enkel rotorblad komt hiermee op F_L = (½.rho. C_L. b) Int_from_R1_to_R2 Omega^2.r^2.dr = ½.rho. C_L. b. Omega^2. 1/3 (R2^3 R1^3) = 9.444 kn Met vijf rotorbladen is dit 47.22 kn d) We beschouwen de rotorbladen als vlak. Voor de weerstandscoëfficiënt voor een laminaire grenslaagstroming langs een vlakke plaat van lengte l geldt C D = 1.33. (Re l ) -1/2. Bepaal nu het voor de helikopter benodigde vermogen. Als de heli nu een totaalgewicht heeft van slechts 3850 kg, schat dan de maximale stijgsnelheid die hij kan bereiken. Lift levert geen bijdrage aan het te leveren vermogen: De liftkracht staat immers loodrecht op de bewegingsrichting, dus er wordt geen arbeid verrricht. Echter, het blad heeft wel luchtweerstand (die dus zo laag mogelijk dient te zijn, vandaar de gewenste laminaire stroming over het blad). Vermogen is koppel maal hoeksnelheid = Int_from_R1_to_R2 (df_w maal arm maal Omega), of Vermogen is kracht maal snelheid = Int_from_R1_to_R2 (df_w maal snelheid), (identiek!) Ofwel, P = Int_from_R1_to_R2 (½ rho C_D. (Omega^2.r^2). b. (Omega.r). dr), met C_D als boven: P = ½ rho Omega^3 b. 1.33 Int_from_R1_to_R2 nu^½ /(b.omega.r)^½. r^3.dr, ofwel P = ½ rho Omega^5/2 b^½. nu^½. 1.33 Int_from_R1_to_R2. r^5/2.dr = = ½ rho Omega^5/2 b^½. nu^½. 1.33 2/7*[R2^7/2 - R1^7/2] = 1.35 KWatt/blad Is een beetje weinig...
Opgave 4 Uit een reservoir stroomt CO 2 door een Lavalbuis uit in de atmosfeer. De atmosferisch druk is 1 bar. De temperatuur van de CO 2 in het reservoir is 470 K. Voor CO 2 geldt R = 189 J/(kg.K) en κ = 1.3. De uittredende straal heeft een oppervlak van 60 mm 2 en een getal van Mach M = 2. a) Beschouw de situatie waarin de expansie door de Lavalbuis volledig is en zonder schokken verloopt. Wat is de reservoirdruk p 0? Hoe groot zijn het massadebiet en de temperatuur van het uitstromende gas? Geen schok, dus isentrope expansie naar M = 2 waar druk is atmosferisch: Invullen: p0 = p*(1+ ½ (k-1)m^2)^(k/(k-1)) = p0 = 7.66 bar Uit isentrope relatie temperatuur: T0 = T*(1+ ½ (k-1)m^2) => T = 293.75 K Massastroom: We weten v = 2*C= 2*sqrt(k R T) = 2* 268.65 = 537.3 m/s Ook kennen we dichtheid rho = p/rt = 1.801 kg/m^3 Daarmee Mdot = rho*v*a = 0.058 kg/s b) Beschouw nu dezelfde Lavalbuis maar nu met een schok die zich juist in de uitstroomopening bevindt. Wat is nu de druk p 0 in het reservoir en hoe groot zijn nu het massadebiet en de temperatuur van het uitstromende gas? Redelijk analoog: maar nu eerst de schok: Voor schok geldt M = 2, erachter uiteraard M<1 bij p = 1e5 Pa. Eerst (rechte schokrelatie): p(juist voor schok) = p1 = p*(k+1)/(2km^2 - (k-1)) = 0.2277e5 Pa. Nu isentroop terugrekenen naar reservoir: p0 = p1*(1+ ½ (k-1)m^2)^(k/(k-1)) = p0 = 1.744 bar T uitsluitend functie van M: dus M_na schok = M2 = (rechte schokrelatie) = M2^2 = (2 + (k-1)m^2)/(2km^2 - (k-1) ;=> M2 = 0.563 en T = T0/(1+ ½ (k-1)m2^2) => T = 448.7 K Massastroom: We nemen alle parameters juist na de schok: We weten v = M2*C= 0.563*sqrt(k R 448.7) = 0.563* 332 = 186.9 m/s Ook kennen we dichtheid rho = p/rt = 1.179 kg/m^3 Daarmee Mdot = rho*v*a = 0.013 kg/s c) Wat is voor onderdeel a) en b) de horizontale kracht die de Lavalbuis ondervindt tengevolge van de uitstromende straal CO 2? Geef hierbij duidelijk aan welke balans u heeft opgesteld, en over welk controlevolume. Het handigste controlevolume bevat een wand die juist na de schok ligt... Kracht_op wand_in negatieve x-richting = p*a + rho*v^2*a In beide gevallen is druk atmosferisch, dus die term mogen we wel weggooien (we zouden dan beter moeten specificeren hoe de buis aan de rest van de wereld vastzit). De dichtheden en snelheden in de uitstroom hadden we al uitgerekend, dus Fa = 1.801 * 537^2 * 60e-6 = 31.2 N. Fb = 1.18 * 187^2 * 60e-6 = 2.47 N.
Opgave 5 Door een zeer breed kanaal stroomt water stationair over een obstakel met hoogte h, en ondergaat een watersprong na het obstakel, zoals hierboven geschetst. De waterdiepte y 1 en y 3 zijn 1.5 m resp. 0.3 m. Er geldt dat g = 9.810 m/s 2. a) Bepaal het waterdebiet Q dat per meter kanaalbreedte door het kanaal stroomt. We gaan uit van vlakke snelheidsprofielen. Toepassen continuïteit: 1) Q = U1.y1 = U2.(y2-h) = U3.y3 = U4.y4 We passen de wet van Bernouilli toe op het vrije oppervlak, waar de druk atmosferisch is, op de punten 1 en 3: 2) P_atm/ρ + ½U1 2 + g.y1 = P_atm/ρ + ½U3 2 + g.y3. Als we U3 wegwerken mbv 1): 3) g(y1-y3) = ½U1 2 *((y1/y3) 2-1) Invullen levert U1 = 0.990 m/s; het debiet per m breedte wordt Q = U1.y1 = 1.486 m 2 /s. b) Beschrijf in enkele zinnen wat een watersprong inhoudt, en geef daarbij aandacht aan de konsekwenties voor golven op het wateroppervlak. Zie boek c) Bereken de waterdiepte y 4. Hiervoor lepelen we een formule van het blad: y4/y3 = 1/2 *(-1 + sqrt(1+8.fr 3 2 )) Er werd verwacht dat u weet dat Fr = het Froudegetal voor de sprong: Fr = U/sqrt(g.y3) = 2.887 (inderdaad groter dan 1, dus de stroming is superkritisch, en we mogen de formule toepassen. Invullen levert: y4/y3 = 3.61 en dus y4 = 1.084 m. d) Laat zien dat de hoogte h van het obstakel 0.638 m bedraagt. We weten dat de stroming van subkritisch (voor het obstakel) tot superkritisch overgaat. Dit gaat niet vanzelf, daar is een obstakel voor nodig. Ter plaatse daarvan geldt dus juist dat het Froudegetal gelijk is aan 1. Verder uitwerken levert de gevraagde waarde.