Wannee cilindes elkaa ontmoeten Wannee cilindes elkaa ontmoeten. Kistof. De Methode van onze collega Achimedes Michel Roelens UC Leuven-Limbug Leaenopleiding Maia-Boodschaplyceum Bussel Redactie UITWISKELING (al geabonneed?). Het lichaam van onze collega 牟合方蓋 Eeste deel Zijn schouwpijp bedekken: twee cilindes die een hoek vomen van 5. Ontwikkeling van een vlakke doosnede van een cilinde Dit zijn de gegevens Een sinusoïde!
y = a cos bx + d d = 40 π b = 6 a = a = 6 tan,5 π staal Ik heb de cilinde opengesneden in het laagste punt van zijn cilindesnede. y = 6 πx tan,5 cos π 6 + 40 d = 40 6 π + 6 tan,5. π 6 6 x in centimete. Voo de wotelvituozen: tan,5 = Het bovenste stuk: y = 6 π πx 6 cos + 40 6 6 6 x. π + 6 tan,5 π Het tegengestelde van daajuist, zonde de constante tem
Tweede deel Onze collega Achimedes Maa... De Methode (Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος) De Methode (Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος) Bief aan Eatosthenes in Codex C ontdekt in 906 (palimpsest) Bestudeed doo Heibeg gestolen vekocht in 998 aan Miste B voo $ 00 000 Volume van een cilindesegment Volume van een cilindesegment x A ABC A ADE = x = AF AD V cilindesegment V(pisma) AB = x BC = x = A paaboolsegment A(echthoek) = A ADE = A ABC = x Resultaat uit De kwadatuu van de paabool
Volume van een cilindesegment Dede deel Ισος πλεθει... De doosnede van twee cilindes Integalen avant-la-lette? Kadinaalgetallen avant-la-lette? De doosnede van twee cilindes met gelijke stalen en waavan de assen elkaa loodecht snijden Welke vom hebben de ibben? Teken de loodechte pojecties Of meteen, vanwege de symmetie Ribben? ቊ x + z = y + z = ቊ x + z = x y = 0 ቊ x + z = (x y)(x + y) = 0 Twee ellipsen; vehouding van de assen: (excenticiteit: ). ቊ x + z = x y = 0 x + y = 0 Loodechte pojecties It takes an unusual gift of imagination to visualize this shape clealy. (Stogatz) 4
Kuisgewelf Bicilinde; lichaam van Steinmetz; equidomoïde; vogelkooi C.P. Steinmetz 865-9 Beeken het volume (in functie van de staal ). De hoizontale sneetjes zijn viekanten! Welke sneetjes hebben de meest toegankelijke vom? Na de beekening: vegelijk met andee volumes z De zijde van het viekant op hoogte z is: z. V = න z dz = 4 න z dz = 4 z z = 4 + = 6 5, Geen π! Vegelijk: Omgesch. kubus: V = 4 = 8 Bicilinde: V = 6 5, Ingesch. bol: V = 4π 4,9 Ingesch. octaëde: V = 8,67 Gemiddelde 5
Vegelijk: Volume du bicylinde Omgesch. kubus: V = 4 = 8 Bicilinde: V = 6 5, Ingesch. bol: V = 4π 4,9 Ingesch. octaëde: V = 8,67 z Halve bicilinde doogesneden op hoogte z A = 4 z z z Cavaliei... Halve kubus min piamide doogesneden op hoogte z A = 4 4z z 牟合方蓋 (Móuhéfāng gài, lettelijk: dubbel deksel) Achimède 祖沖之 Zu Chongzhi 5de eeuw Achimède van de kubus: Achimedes vemeldt dit in zijn voowood op De Methode. Zijn bewijs is veloen gegaan. Achimedes mekt op: In tegenstelling tot bollen, kegels en cilindes, is dit lichaam gelijk aan een veelvlak. 刘徽 (Liú Huī, de eeuw n.c.), 九章算术 (Jiǔzhāng Suànshù: Negen hoofdstukken van de wiskunst, de eeuw v.c.) bicilinde bol 6
Oppevlakte van de bicilinde Doosnede van veschillende hoizontale cilindes Oneven vealgemening A(bicilinde) = A(kubus) V(bicilinde) = V(kubus) kwadatuu kubatuu Doosnede van veschillende hoizontale cilindes Doosnede van veschillende hoizontale cilindes De koepel van de kathedaal van Fienze is een halve vijfhoekige equidomoïde. (www.mathcuve.com) Uiteaad is alles wat op intenet te vinden is, waa! In de klas? Minde outineuze oefening op y = a sin b x c + d Minde outineuze oefening op volumebeekening met integalen Veschillende manieen om een zelfde volume te vinden (met en zonde integalen) Combinatie van analyse en uimtemeetkunde Wiskundig object met een geschiedenis Waa vind je de tekst van deze pesentatie? Deel : Roelens (0). Ontmoeting van twee cilindes, Uitwiskeling 9/, 9-. Deel : Bespeking in Uitwiskeling 5/4 (009), 59-65 van het boek Netz, W. Noel (007). De Achimedes-codex. Deel : Roelens, M. (05). De vogelkooi van Achimedes Zu Chongzhi, Steinmetz en andeen, Uitwiskeling / (05), 8-5 Bedankt! Michel.Roelens@ucll.be www.uitwiskeling.be 7