integreren is het omgekeerde van differentiëren

Integraalrekening Als we een functie f(x) differentiëren is het resultaat de eerste afgeleide f (x). Dezelfde functie f(x) kunnen we ook integreren met als resultaat de zogenaamde primitieve functie F(x). Kenmerkend voor F(x) is dat geldt F (x) = f(x), met andere woorden: integreren is het omgekeerde van differentiëren Als we dus een functie integreren moeten we iets vinden dat gedifferentieerd weer die functie oplevert. We kijken eens naar de volgende voorbeelden: f(x) = 4 x 3 F(x) = x 4 + C want ( x 4 + C ) = 4 x 3. Merk op dat de functie F(x) altijd een willekeurige constante C bevat. Dat komt omdat de afgeleide van elke constante nul is. f(x) = cos(x) F(x) = sin(x) + C want ( sin(x) + C ) = cos(x). f(x) = 1 / X F(x) = ln(x) + C want ( ln(x) + C ) = 1 / X. f(x) = e X F(x) = e X + C want ( e X + C ) = e X. f(x) = x 4 F(x) = 1 / 5 x 5 + C want ( 1 / 5 x 5 + C ) = x 4. f(x) = ln(x) F(x) = x ln(x) x + C want (x ln(x) x + C ) = ln(x). We zien al bij de primitieve functie van ln(x) dat integreren als snel tot ingewikkelde functies kan leiden. Dat is de reden dat we ons niet bezig zullen houden met ambachtelijk integreren maar gebruik gaan maken van computerprogramma s zoals DERIVE. Een andere schrijfwijze voor het integreren is de integraalnotatie. Daarbij schrijven we voor de functie die we willen integreren een lang gerekte (van som, waarover later) gevolgd door dx. We noemen het integraalteken: f(x) dx = F(x) Opmerking: we spreken f(x) dx uit als integraal ef iks dé iks We mogen dus ook schrijven: x 6 dx = 1 / 7 x 7 + C. Dat integraalteken vinden we ook terug in de werkbalk van DERIVE: Blz 1 van 10

In plaats van primitieve functie spreken we ook wel over de onbepaalde integraal van f(x). Met DERIVE bepalen we de onbepaalde integraal van bijvoorbeeld f(x) = x 4 als volgt: Op de invoerregel typen we x^4 gevolgd door ENTER. Vervolgens klikken we op het integraal-ikoon : De constante C kiezen we normaal gesproken 0 en klikken daarna op Vereenvoudig: We zien dat x 4 dx = 1 / 5 x 5. 1 Bepaal met DERIVE de primitieve functie bij C = 0 als f(x) = : a) sin(x) b) tan(x) c) cotan(x) (hoe voeren we cotan in?) d) 8 X e) sin 2 (x) f) 5 log(x) (hoe voeren we een 5 log in?) g) x h) 3 x 2 i) cos(x 2 )???? We zien dat DERIVE geen primitieve functie van cos(x 2 ) vindt. Ook de speciale integraal-site http://www.integrals.com geeft geen oplossing: Blz 2 van 10

Terwijl we van elke functie de afgeleide kunnen bepalen geldt dit niet voor integreren! Elke continue functie heeft een primitieve functie maar deze is vaak niet te bepalen. We gaan ons nu bezig houden met de praktische toepassing van de integraalrekening. We weten van de differentiaalrekening dat we die gebruiken om de maximale waarden van functies te bepalen. De eerste afgeleide f (x) geeft immers de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie. Op de plaats van de toppen loopt die raaklijn horizontaal en is de richtingscoëfficiënt en daarmee f (x) gelijk aan nul. De integraalrekening gebruiken we voornamelijk voor het berekenen van oppervlakten. We kunnen bewijzen dat voor de grootte A van het oppervlak begrensd door de rechte x = a, de rechte x = b, de x-as en de grafiek van een functie f(x) geldt: A = F(b) F(a) In de integraalnotatie: b A = f(x) dx. a y-as f(x) a b x-as Blz 3 van 10

Als voorbeeld 1 bepalen we de oppervlakte begrensd door de grafiek van f(x) = x 2, x = 1,5, x = 2,5 en de x-as: f(x) = x 2 F(x) = 1 / 3 x 3 + C: 2,5 A = x 2 dx = F(2,5) F(1,5) = ( 1 / 3 2,5 3 + C ) ( 1 / 3 1,5 3 + C ) = 4,0833. 1,5 We hebben nu een bepaalde integraal uitgerekend. We zien dat de constante C altijd weg valt. Daarom is het gebruikelijk om bij oppervlakteberekeningen C altijd nul te kiezen. Als voorbeeld 2 berekenen we de oppervlakte begrensd door de grafiek van sin(x), x = 0, x = π en de x-as: f(x) = sin(x) F(x) = -cos(x): π A = sin(x) dx = F(π) F(0) = ( -cos(π)) ( -cos(0)) = ( 1 ) ( -1 ) = 2. 0 Opmerking: het gemiddelde van zo n sinus kunnen we berekenen door de berekende oppervlakte (2) te delen door de basis (π). Het gemiddelde van een sinus is dus 2 π. 2 Bereken met de primitieve functie de oppervlakte tussen de x-as en: a) f(x) = x 3, x = 0,5 en x = 2 b) f(x) = x 4, x = 0 en x = 1 c) f(x) = x 3 + 2 x, x = 0,5 en x = 1 d) f(x) = cos(x), x = 0 en x = 1 e) f(x) = e X, x = 1 en x = 2 f) f(x) = tan(x), x = 0 en x = 1 Met onze TI-83 berekenen we het oppervlak begrensd door de grafiek van f(x) = x 2, x = 1,5, x = 2,5 en de x-as als volgt: Eerst plotten we de grafiek van f(x) = x 2 : Blz 4 van 10

Vervolgens kiezen we CALC 7: f(x) dx. Als ondergrens typen we 1.5 en als bovengrens 2.5 met als resultaat 4,0833: Als we dit resultaat onder bijvoorbeeld de geheugenplaats A willen opslaan voor later gebruik klikken we achtereenvolgens op STO, ALPHA A: 3 Het onderstaande diagram toont de grafiek van de functie f(x) = x 3 4 x 2 + 6. Bereken de in het diagram aangegeven oppervlakte. Aanwijzingen: Bepaal eerst de drie nulpunten en sla die op in de geheugenplaatsen L, M en R. met QUIT, ALPHA X, STO en ALPHA L. M en R. Bedenk dat het rechter oppervlak onder de x-as ligt dus negatief wordt berekend maar als positieve waarde bij het linker oppervlak moet worden opgeteld. Blz 5 van 10

4 Het onderstaande diagram toont de grafiek van de functie f(x) = x 4 + 2 x 3 x 2 6. a) Bereken de in het diagram aangegeven oppervlakte. b) Bepaal de gemiddelde y-coördinaat tussen de nulpunten 5 Het onderstaande diagram toont de grafieken van f(x) = cosh(x) en g(x) = -x 2 + x + 2. Bereken de door beide grafieken ingesloten oppervlakte. 6 Onderstaande grafieken horen bij f(x) = cosh(0,5 x) en g(x) = x 3 2 x 2 x + 2. Bereken het totaal van de door beide grafieken ingesloten oppervlakten. Blz 6 van 10

Naast het berekenen van oppervlakten kunnen we met behulp van integraalrekening de lengte van de grafiek van f(x) tussen twee grenzen x = a en x = b berekenen. De formule voor deze zogenaamde booglengte L luidt als volgt: b L = ( 1 + (f (x)) 2 ) dx a We willen de booglengte berekenen van de grafiek van f(x) = x 2 tussen x = 1 en x = 2. We gaan dit niet ambachtelijk doen maar maken gebruik van DERIVE: Op de invoerregel van DERIVE typen we ARC_LENGTH(x^2,x,1,2), gevolgd door ENTER. Na klikken op Vereenvoudigen en Benaderen volgt het antwoord 3,167840904. Een andere toepassing van de integraalrekening is het berekenen van de oppervlakte en het volume van een omwentelingslichaam. Als we de grafiek van f(x) wentelen om de x-as ontstaat een omwentelingslichaam met een oppervlakte en een volume. Voor de oppervlakte A van een omwentelingslichaam tussen x = a en x = b geldt: b A = 2 π f(x) (1 + (f (x)) 2 ) dx a We wentelen de grafiek van f(x) = x 2 om de x-as waardoor een omwentelingslichaam ontstaat. Vervolgens willen we de oppervlakte tussen x = 1 en x = 2 berekenen met DERIVE. Op de invoerregel typen we AREA_OF_REVOLUTION(x^2, x, 1, 2) gevolgd door ENTER. Na klikken op Vereenvoudigen en Benaderen volgt het antwoord: 49,41623553.. Voor de inhoud V tussen x = a en x = b van een omwentelingslichaam geldt de formule: b V = π (f(x)) 2 dx a Blz 7 van 10

We wentelen de grafiek van f(x) = x 2 om de x-as waardoor een omwentelingslichaam ontstaat. Vervolgens willen we de inhoud tussen x = 1 en x = 2 berekenen met DERIVE. Op de invoerregel typen we VOLUME_OF_REVOLUTION(x^2, x, 1, 2) gevolgd door ENTER. Na klikken op Vereenvoudigen en Benaderen volgt het antwoord: 19,47787445. 7 Gegeven de functie f(x) = 1 / X. a) Bereken de booglengte van de grafiek tussen x = 1 en x = 4. We wentelen de grafiek om de x-as waardoor een omwentelingslichaam ontstaat dat bekend staat als de Hoorn van Gabriël b) Bereken de oppervlakte van het omwentelingslichaam tussen x = 1 en x = oneindig. c) Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam tussen x = 1 en x = oneindig. 8 Gegeven de functie f(x) = x 4 4 x 3 + 5 x 6. a) Bereken de coördinaten van de snijpunten met de x-as. b) Bereken de coördinaten van het snijpunt met de y-as. c) Bereken de coördinaten van de toppen van de grafiek. d) Bereken de coördinaten van de buigpunten van de grafiek. e) Bepaal de vergelijking van de raaklijn voor x = 1. f) Bereken de vergelijking van de buigraaklijnen. g) Bereken de grootte van de ingesloten oppervlakte tussen de grafiek en de x-as. h) Bepaal de gemiddelde y-waarde tussen de nulpunten. i) Bereken de booglengte van de grafiek tussen de nulpunten. j) Bereken de oppervlakte van het omwentelingslichaam tussen de nulpunten. k) Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam tussen de nulpunten. Blz 8 van 10

9 Met de functie y(t) = 10 e -0,2 t abs (cos ( e 0,2 t t )) simuleren we het gedrag van een stuiterend balletje dat van een hoogte van 10 meter naar beneden valt. a) Na hoeveel seconden is het balletje voor de eerste keer op de grond? b) Hoe hoog komt het balletje na de eerste maal stuiteren? c) Bereken de gemiddelde hoogte tussen de eerste en de tweede stuit. d) Welke afstand legt het balletje af tussen de eerste en de tweede stuit? e) Bereken de gemiddelde snelheid van het balletje tussen de eerste en tweede stuit. 10 Een kabel is opgehangen tussen twee even hoge masten die 40 m uit elkaar staan. De x-as ligt op de grond en de y-as gaat door het laagste punt van de kabel. De kabel hangt volgens de kettinglijnformule y = 10 cosh(0,04 x). a) Bepaal de vergelijking van de parabool die door de ophangpunten van de kabel gaat en waarvan de top het laagste punt van de kabel is. b) Bereken het grootste verschil in hoogte tussen de kettinglijn en de parabool. c) Bereken de oppervlakte tussen de grafieken van de kettinglijn en de parabool. d) Bepaal de lengte van de kabel tussen de ophangpunten. e) Bereken de lengte van de parabool tussen de ophangpunten 11 Gegeven de gebroken functie: ln(x 2 ) 3 x f(x) = x 3 + x 2 a) Schets de grafiek van deze functie. b) Bepaal de coördinaten van de toppen. c) Bereken de booglengte van de grafiek tussen x = 1 en x = 10. d) Bereken het volume van het omwentelingslichaam van deze functie tussen x = 1 en x = oneindig. Blz 9 van 10

Antwoorden integraalrekening 1 a) -cos(x) b) -ln(cos(x)) c) ln(sin(x) d) 8 x / ln(8) e) x / 2 sin(x) cos(x) / 2 f) (x ln(x) x) / ln(5) g) 2 x 3/2 / 3 h) 3 x 5/3 / 5 i) geen oplossing 2 a) 3.984375 b) 0.2 c) 0.984375 d) 0.8414709848 e) 4.670774270 f) 0.6156264703 3 14,67 4 a) 27,0068 b) -6,7357 5 1.350133884 6 3,2844 7 a) 3,1502 b) 118,4082 c) 3,1416 8 a) -1,3343 ; 3,7591 b) -6 c) (2,8456 ; -18,3718), (0,7444 ; -3,6209), (-0,5901 ; -8,0073) d) (0 ; -6), (2 ; -12) e) y = -3 x 1 f) y 1 = 5 x 6, y 2 = -11 x + 10 g) 45,2254 h) -8,8792 i) 46,2152 j) 2477,3614 k) 1667,7575 9 a) 1.228587627 s b) op t = 2.030223674 s: y = 6.633080851 m c) 6.327532523 / (2.729811668-1.228587627) = 4.214915529 m d) 6.633080851 2 = 13.26616170 m e) 13.26616170 / (2.729811668-1.228587627) = 8.836896652 m/s 10 a) y parabool = 0,0084358737 x 2 + 10 b) 0,0440515 m c) 0,93833508 m 2 d) 40.76195484 m e) 40.74661746 m 11 b) (-1.251780722 ; -0.8064958515), (0.3516827039 ; 1.959782491) c) 7.697010043 10 6 d) 6.794809917 10 7 Blz 10 van 10