T-Delft - Faculteit werktuigbouwkunde - Afdeling P&E Tentamen Stromingsleer (wb1) 6 oktober 7, 9.-1. uur Lees et geeel eerst aandactig door voor een evenwictige tijdsbesteding. Dit tentamen bestaat uit twee delen: Deel 1 en Deel. Deel 1 bestaat uit zes korte vragen. Dit deel staat voor 4% van uw tentamencijfer. Voor Deel 1 geldt: graag invullen op et apart bijgeleverde formulier. eeft daarin per vraag een vakje voor uw numerieke antwoord, en enkele regels ruimte voor een toelicting. Géén lange veralen dus; maak deze vragen eerst op klad. Deel bestaat uit drie open vragen met deelproblemen a, b, c... Dit deel staat voor 6% van uw tentamencijfer. - Graag op et voorblad naam en studienummer invullen, en et aantal ingeleverde vellen papier (open vragen). - Graag alles als één dictgevouwen boekje inleveren. - Bij een numeriek antwoord is et aan te bevelen ook et gebruikte formulewerk (kort!) op te scrijven. - Maak eventueel een scets zodat ik kan zien dat u een duidelijk idee eeft wat er gebeurt. - De punten die u per (deel) opgave kunt alen staan er bij vermeld. Géén boeken, kopieën overeadseets, of eigen formuleblad gebruiken: u krijgt een formuleblad uitgereikt door de surveillanten. Géén mobiele telefoons op tafel; graag uitzetten en in tas laten. Tenzij anders vermeld, geldt: Water: dicteid en dynamisce viscositeit bedragen resp. ρ = 1 kg/m 3 en µ = 1.*1-3 Pa.s Luct: dicteid en dynamisce viscositeit bedragen resp. ρ = 1. kg/m 3 en µ = 1.8*1-5 Pa.s. 1 Pa.s = 1 kg.m/s. De zwaartekractsversnelling is 9.81 m/s. Deel 1: 4 punten Vraag 1a: een oude man fietst rectop zittend over de Mekelweg. Hij wordt ard voorbijgefietst door een over aar stuur gebogen studente, die nog op tijd op college wil komen. Door de zitouding van de studente is aar aangestroomde oppervlak (oppervlak loodrect op de rijwind) zo n 3 procent kleiner, en bovendien is aar C D -waarde procent lager dan die van opa. Als de studente bovendien.5 maal zoveel vermogen levert, en opa fietst met 16 km/r, met oeveel km/r racet onze studente dan naar college? Hint: Het is een windstille dag. Andere weerstand dan luctweerstand mogen we natuurlijk verwaarlozen. Hint: Vermogen is kract maal sneleid. Vermogen van opa is P 1 =.5ρ. 1 3.A 1.C d1 ; vermogen studente = P =.5ρ. 3.A.C d Omdat we alle veroudingen kennen, vinden we: 3 / 1 3 = (P /P 1 ) * (A 1 /A ) * (C d1 /C d ) =.5 * 1/.7* 1/.8 = 4.46 We vinden daarmee dus = 6.3 km/r. Net op tijd! Vraag 1b: op een dag bedraagt de luctdruk op zeeniveau juist 1 mbar. Als de atmosfeer een constante temperatuur eeft van 13 o C, oeveel mbar bedraagt dan de luctdruk op de top van de Matterorn (berg in Zwitserland van oogte 4478 m)? Hint: de dicteid van de luct op een bepaalde oogte z volgt uit de luctdruk op oogte z middels de ideale gaswet!
Hydrostatica: dp dz = ρ. g ; met ideaal gas: p RT. dp dz = p. g R. T. Sceiden: dp p = ( g R. T ). dz, of dln p= ( g RT. ). dz; integreren ln p = ( g RT. ). z+ C1. Randvoorwaarde op z = : p = p, dus volgt ln p = C1, en.. ln p ln p = ln ( p p) = g. z RT. ; p= p. e gzrt. Invullen; p(4478) = 555 mbar. Alternatief (minder punten): p(z) = p - ρ.g. z. ρ = volgt ( ) Vraag 1c: water stroomt met een sneleid van.8 m/s door een vezelversterkte ( gewapende ) kunststof slang een wasmacine in. De waterdruk in de slang tijdens et vullen bedraagt.5 bara = 1.5 barg. Als de geluidssneleid in water in deze slang 6 m/s bedraagt, bepaal dan de druk in de vulslang in barg op et moment dat de (elektrisc bediende) klep in de wasmacine dictslaat. Door et dictslaan ontstaat er een ogere druk in de slang: et water wordt plotseling vertraagd; dus volgt (fb) p = ρ.. cv, met c de geluidssneleid in deze slang. Invullen: p = 1*6*.8 = 4.8*1 5 = 4.8 bar. Omdat vóór de scok de waterdruk al 1.5 barg bedroeg, ebben we dus een druk van 4.8 + 1.5 = 6.3 barg op de slang. Vraag 1d: een waterstraal spuit met = 3 m/s uit een brandspuit, die een uitstroomdiameter eeft van 15 mm. De straal treft et gescetste blok waar een student op zit van totale massa M = 1 kg. De uitsparing in et blok eeft een oek α van 6 graden. Het blok met de student erop scuift ierdoor met een constante sneleid. Als de mecanisce wrijvingscoëfficiënt van et blok met de grond f =.5 bedraagt, welke sneleid in m/s krijgen blok en student dan? g α M Hint: Maak een controle volume dat meebeweegt met et blok! Een impulsbalans in de x-ricting: (we bedenken dat in absolute zin in- en uitstroomsneleid F = ρav.1+ sin α = f. Mg. Hierbij is V de sneleid waarmee et water naar identiek zijn): X ( ( )) et blok beweegt, ofwel et sneleidsverscil tussen water en blok. Omscrijven levert dus: V f Mg ρ A ( ( )) =. 1+ sin 6 o =.5*1*9.81/(1*π/4*.15 *(1 +.866)) => V = 7.3 m.s Daarmee wordt de scuifsneleid = V =.7 m/s. Alternatief (minder punten): gaat-ie überaupt scuiven? Bepaal kract als blok nog stilstaat: FX = ρ A.1+ sin( α ) = 97 N; ja dus wan is groter dan f.m.g (45 N). ( ) Vraag 1e: In een scaalmodel van een stuw in een rivier zit een overlaat, de drieoekige uitstroom-opening met oek α, zoals gescetst. Op enige afstand van de overlaat staat et waterniveau een oogte boven de onderpunt van de overlaat. Nu is et bekend dat vanaf een minimale oogte et uitstroomdebiet niet meer afankelijk is van viscositeit of oppervlaktespanning van et water. Als bij = 5 mm >> et uitstroomdebiet juist.4 liter per seconde bedraagt, bepaal dan et debiet in liter per seconde indien veroogd wordt tot 8 mm. α
Als voor voldoende grote et debiet Q ([Q] = m 3 /s) niet afangt van viscositeit en oppervlaktespanning, dan mogelijk wel van ([] = m), dicteid ρ ([ρ] = kg.m -3 ), zwaartekractsversnelling g ([g] = m/s ), en oek α ([α] = 1). it et Pi-teorema volgt dat 5 parameters met 3 SI-eeneden Pi-groepen te vormen zijn. Kijkend naar de dimensies: ρ is de enige met meters (m). Deze ρ is dus niet dimensieloos te krijgen dus ouden we 4 parameters met SI-eeneden over, en nog steeds Pi-groepen. Van ziczelf is α al dimensieloos, dus Pi = α. We ouden 3 parameters met SI-eeneden over, deralve 1 Pi-groep. Proberen levert als snel: Pi 1 = Q /(g. 5 ); ofwel Q /(g. 5 ) = f(α), met f een verder onbekende functie. Naar ons probleem: Omdat α niet afangt van de wateroogte, geldt Q /(g. 5 ) = Cst. Invullen: (Q 1 /Q ) = ( 1 / ) 5, levert Q = 1.36 l/s. Vraag 1f: water stroomt met een sneleid =.5 m/s langs een vlakke plaat. We bescouwen de laminaire grenslaag die zic ontwikkelt, en vinden dat de grenslaagdikte δ na m afstand juist 5. mm bedraagt. Het sneleidsprofiel in de grenslaag kan daar bescreven worden als een alve parabool: u( y) =. ( y δ ( y δ) ) Φ >δ(l) Bescouw nu et gescetste Controle Volume van begin van de plaat tot meter lengte (en 1 meter breed loodrect op et papier). Bereken de flux Φ van ρu x (impuls in de x-ricting) in kg.m/s = N door de bovenwand van et CV. L Impulsflux bedraagt: Φ= ρ. u( x, ). v( x, ). dx. de dicteid is constant, bovendien is buiten de δ(x) u(y) L grenslaag ook de sneleid in de x-ricting constant, namelijk. Deralve: Φ= ρ.. v( x, ). dx De integraal volgt uit massabeoud; L L = ( ) + ( ) ( ) ( ( )) = δ itrekenen: ( ( )) ( ). v x,. dx u L, y. dy v x,. dx u L, y. dy ( ) ( ) u L, y. dy =. 1 y δ + y δ. dy =. δ δ + δ = δ. 1 1 3 3 Daarmee wordt de flux Φ = ρ..δ/3; invullen Φ =.417 kg.m/s.=.4 N. Deel : 6 punten Opgave : punten Ter opluistering van een feest uur je een zg. 'luctslurf' (of sky tube zie plaatje), een olle plastic slurf die door een luctstroom vertikaal geblazen wordt. Deze slurf is 8 m lang en eeft een diameter van.45 m. Volgens de fabrikant is de gemiddelde luctsneleid in de slurf 1 m/s; bij deze sneleid ontstaan er op een windstille dag geen knikken in de buis; dus is deze te bescouwen als een recte buis. Effecten van zwaartekract mogen in deze opgave verwaarloosd worden. a) We nemen voorlopig aan dat 'kleine verliezen ( minor losses') verwaarloosbaar zijn. Verder nemen we aan dat de stroming al meteen na de ventilator compleet ontwikkeld is.
Bij deze luctstroom is de wand van de buis juist mooi glad zonder rimpels. Bereken in dit geval de drukval in de stroming ten gevolge van wrijving. Reynolds getal voor deze stroming: Re = ρ..d/µ. Re = 1. x 1 x.45 / 1.8*1-5 = 3*1 5. Turbulente stroming dus. Moody diagram aflezen, of Haaland invullen: f(re = 3*1 5, smoot pipe) =.14. Drukval: P = (½ρV ).(f.l/d), dus: P = (.5x1.x1 ) x (.14x8/.45) = 6 x.87 = 53.6 Pa. b) Is de aanname dat de stroming direct volledig ontwikkeld is realistisc? Inlooplengte turbulente stroming: L i /D = 4.4 Re D (1/6) = 36; deralve L i = 36 x.45 = 16. m, dat is zowat de alve buislengte! De aanname is dus zeker niet realistisc. c) Bereken et benodigde vermogen van de compressor indien in- en uitstroomeffecten meegenomen worden. De inlaat van de ventilator bestaat uit een rect stuk metalen buis van.45 m diameter en lengte 1 m, met daarop gemonteerd een mooi afgeronde inlaat. 1 1 1 Energiebalans (fb): ( p1+ ρv1 + ρgz1) ( p + ρv + ρgz) = ρv ( f. L d +ΣKi) PPomp Q De druk is aan in- en uitlaat atmosferisc. Zwaartekract verwaarlozen. Inlaat: V 1 = ; uitlaat V = 1 m/s. Verder geen verliezen. Alternatief: Na uitstroom: V =. Verlies is uitstroomverliesfactor is 1. 1 1 1 ρv = ρv ( f. L d) PPomp Q; dus PPomp = ρv.1 ( + f. L d). Q Invullen: P pomp = 6 x (1.87) x π/4*.45 *1 = 178 Watt. d) Doordat de ventilator wat staat te scudden, valt plotseling de afgeronde inlaat van de ventilator af, en resteert alleen et recte stuk buis. Scets nu de stroming zoals deze de ventilatorinlaat binnenstroomt. Als nu et ventilatorvermogen (door de ventilator aan de stroming geleverde tecnisce arbeid) etzelfde blijft, geef dan een gericte scatting voor de nieuwe stroomsneleid. We krijgen een vena contracta ; voor plaatjes zie de overeadseets. We krijgen nu dus ook een inlaatverlies, dat voor dit geval (een scerpe recte buis) vrij groot zal zijn. Waarde ligt afankelijk van details tussen.5 en 1.; ik kies ier 1.. Invullen: Pomp ( ) P = V d + + f L d ; erscrijven: 1 3 π.. 1 '1.'. ρ 4 ρ V = 1 3 π P Pomp ( + + f L d) Invullen met.. 1 '1'. 4 d gegeven f: 8.7 m/s. Doordat de sneleid lager is, is et Reynoldsgetal lager. Controle op frictiefactor f: Re 1 =.6 x 1 5. Haaland invullen: f 1 =.15. Opnieuw in EB: V 1 = 8.8 m/s, dit is wel voldoende geconvergeerd. De capaciteit (debiet) neemt dus maar liefst 1 procent af! Opgave 3 : punten We modelleren ier een zweefvliegtuig type Grob-Astir-CS. Het vliegtuig bestaat in ons model uit een sigaarvormige romp van diameter.7 m, met een C D -waarde van.1, en twee vleugels, elk met een lengte van 7.5 meter, en een koordlengte.8 m. De massa van vliegtuig plus piloot bedraagt 36 kg. a) Voor de vleugels geldt dat onder optimale vliegcondities C L = 1.1, en C D =.5. Bepaal uit een kractenevenwict de orizontale vliegsneleid bij deze optimale vliegcondities.
Liftkract = gewict, dus.5ρv *A*C L = M.g => V = 353/(.5*1.*1.1**7.5*.8) => V = 1 m/s = 76 km/r. b) Bepaal voor deze vliegsneleid de luctweerstand. De iervoor benodigde arbeid wordt geleverd doordat et toestel langzaam daalt. Bepaal deze daalsneleid. De verouding van vliegsneleid over daalsneleid wordt et glijgetal genoemd. Bepaal dit glijgetal. Weerstand = F D =.5 ρv *(A wing *C D,wing + A romp *C D,romp ) = (64.6)*(.3 +.46) = 91.6 N. Geleverde arbeid = 1*F D = 1.9 KWatt = Vdaal*M*g => Vdaal =.54 m/s. Glijgetal = V vlieg /V daal = M*g/F D = 38.6. c) Vleugels van zweefvliegtuigen worden bijna altijd voorzien van zigzagtape van ooguit 1 mm dik, (ook wel struikeldraad of trip wire genoemd). Op verkeersvliegtuigen zal je dit tape nooit aantreffen. Verklaar in woorden en in scetsen, - wat de functie is van deze draad; - waar je deze zou moeten plaatsen, en - waarom et zweefvliegtuig deze wél, en et verkeersvliegtuig deze níet eeft. - Met een trip wire wordt de genslaag turbulent gemaakt. Deze eeft weliswaar iets meer wrijving dan een laminaire grenslaag, maar is wel beter in staat om na et drukminimum aan de vleugelbovenkant te vertragen zonder loslating. - Je plaatst em dus ergens voor et drukminimum; in de praktijk niet eens zo eel ver acter de vleugelvoorzijde. - Het Reynoldsgetal voor onze vliegtuigvleugel is Re = L koorde *ρ./µ approx 1.1*1 6. We zitten dan net in et transitiegebied van laminaire naar turbulente grenslaagstroming. Bij een verkeersvliegtuig zijn zowel sneleid als koorde aanzienlijk groter, dus is de stroming al van nature turbulent. Opgave 4 : punten Het ier gescetste lager bevat een kamer met een lengte van 11 mm en een diepte = 1 mm. De kamer is over een lengte van L = 1 mm gevuld met een vet van zeer oge dynamisce viscositeit µ = 1 Pa.s. De staalplaat die bovenop ligt beweegt met een constante sneleid = -1 m/s (naar links). We kijken naar de interne stroming in et vet; daarbij verwaarlozen we effecten bij de twee uiteinden (dat is tegen et rectopstaande wandje links, en bij de luctbel rects). A p L u(y), p(x) y x p A L A We bescrijven de stroming bij de doorsnede A-A met beulp van de bewegingsvergelijking: p u = + µ x y a) - Los deze vergelijking op, en laat daarbij de drukgradiënt p / x als onbekende staan. Laat duidelijk zien oe je randvoorwaarden toepast. Kies voor de kamer y = aan de onderkant. - Bepaal uit je oplossing et volumedebiet (per meter kamerbreedte loodrect op et papier) in formulevorm.
In de laag is een gecombineerde Couette-Poiseuille stroming: Druk p is geen functie van y, dus twee maal integreren: u p u 1 p 1 p 1 µ = =. y+ C 1 u( y) =. y + C1. y+ C y x y µ x µ x Vervolgens moeten we randvoorwaarden toepassen: y = => u = => C = 1 p 1 p 1 1 y y = => u = => C1 = + / => u( y) =. ( y y) + µ x µ x Integreren over de kanaaloogte om et debiet te vinden: 1 1 p 3 1 p 1 1 1 3 1 Q= u( y) =. ( 3. ) + =. + µ x 1µ x b) Doordat de kamer links dict is (er ontsnapt geen vet door de nauwe spleet), moet et netto debiet nul zijn. Laat dan zien dat ieruit volgt voor de druk bij de wand links, P L dat: pl = pa 6 µ.. L. 1 p 1 3 1 p 1µ Omdat moet gelden Q = vinden we:. 1 + = = = 6µ. µ x x Vervolgens integreren in x-ricting: QED. c) Scets et sneleidsprofiel over de doorsnede A-A tussen lagerbodem en de bewegende plaat. 6 y y y 1 Invullen van drukgradiënt: u( y) =. ( y y) + =. 3. Hiermee is et profiel snel te scetsen. Bijv vind je eenvoudig waar sneleid juist nul is namelijk op y/ = /3. We kunnen nu de bijbeorende parabool scetsen: d) (veel werk!) bepaal de normaal kract F Y (draagkract) van et lager en de scuifkract F X (weerstand) die de staalplaat ondervindt, en ieruit de effectieve wrijvingscoëfficiënt. De (opwaartse) normaalkract vinden we door integratie; of uit de gemiddelde druk: ( ). ( ). 6 µ.. 3 µ. ( ) FY = p x dx= L L = L De (tangentiële) scuifkract vinden we uit: du y 1 F1 = L. µ. = L. µ.. 6. 4 L. µ. = dy y= De wrijvingscoëfficiënt bedraagt : ( ) 4 voor ons dus f =.13. y= f = F F = 4 L. µ. 3 µ. L = L, X Y 3