Johan Bonekamp, Lans Bovenberg, Theo Nijman, Bas Werker

Transcriptie

1 Joan Bonekamp, Lans Bovenberg, Teo Nijman, Bas Werker occasional-06 / 2016

2 Actergrondnotitie: Herverdelingseffecten van verscillende projectierentes in verbeterde premieregelingen vanuit aanspraken Joan Bonekamp, Lans Bovenberg, Teo Nijman en Bas Werker Oktober 2016 Dit document bevat een tecnisce bescrijving van et model waarmee de cijfers geproduceerd zijn in de Tabel van et Onderzoeksrapport: Herverdelingseffecten van verscillende projectierentes in verbeterde premieregelingen Dit paper redeneert vanuit aanspraken Bonekamp ea (2016), daarentegen, redeneert vanuit vermogen per orizon Het is mogelijk om, zie appendix II in Bonekamp ea (2016), te laten zien dat beide benaderingen tot dezelfde pensioenbetalingen leiden Deze notitie bescrijft de aannamen en berekeningen die ten grondslag liggen aan de erverdelingseffecten die ontstaan in verbeterde premieregelingen indien gebruik gemaakt wordt van orizononafankelijke projectierentes ongelijk aan de risicovrije rente De berekeningen zijn geïmplementeerd in een bijbeorend Excel bestand Financiële markt Deze notitie is gebaseerd op een zogenaamde Merton financiële markt waarin aandelenrendementen onderling onafankelijk en identieke verdeeld zijn over de tijd De (rekenkundige) risicovrije rente geven we aan met r Aangezien deze notitie alleen over erverdelingseffecten gaat speelt et verwact aandelenrendement geen rol Bescrijving toedelingskring We anteren de volgende definities A t () is et totaal aan toegezegde aanspraken van de toedelingskring betaalbaar op orizon, dus op tijdstip t + Deze aanspraken wijzigen door de tijd ten gevolge van et collectieve toedelingsmecanisme Indien alle toekomstige toeslagen precies nul zijn en geen sterfte optreedt, dan is A t () de pensioenbetaling op tijdstip t + In et bijzonder is A t (0) dus de totale pensioenbetaling op tijdstip t We splitsen deze pensioenbetalingen vooralsnog niet naar coorten Eventuele vaste dalingen die de pensioenregeling anteert veronderstellen we bij inkoop verwerkt te zijn in deze aanspraken P t () de cumulatieve overlevingskans voor de aanspraken A t () We zien af van micro langlevenrisico zodat precies een deel P t () van de aanspraken A t () op tijdstip t + tot een pensioenbetaling leidt We zien eveneens af van macro langlevenrisico, maar P t () oudt wel rekening met toekomstige sterfteverbeteringen We definiëren P t (0) = 1 en er geldt P t (1)P t+1 () = P t ( + 1)

3 W t et collectieve vermogen van de toedelingskring op tijdstip t, nadat op tijdstip t een bedrag A t (0) aan pensioenen is uitbetaald p de door de toedelingskring geanteerde projectierente In deze notitie zien we af van orizonafankelijke projectierentes Alle rentes zijn rekenkundig We nemen aan dat alle financiële scokken uit et verleden geeel verwerkt moeten zijn in de aanspraken A t () Met andere woorden, de dekkingsgraad van et fonds bedraagt te allen tijde 1 Op tijdstip t betekent dat (1) W t = A t ()P t ()(1 + p) 1 De toedelingskring belegt et totale vermogen W t op zodanige wijze dat et (bruto rekenkundige) rendement R t+1 over de tijd identiek en onafankelijk verdeeld is Op tijdstip t + 1 is et collectieve vermogen gestegen (of gedaald) tot W t R t+1 De aanspraken worden dan zodanig aangepast dat de dekkingsgraad wederom gelijk wordt aan 1 Hierbij wordt mogelijkerwijs gebruik gemaakt van een spreidingsperiode We definiëren q() als de gevoeligeid van de aanspraken op orizon voor et beaalde financiële resultaat Een N-jarig spreidingsmecanisme specificeert bijvoorbeeld q() = min{1, N} De aanspraken op tijdstip t + 1 worden gegeven door de aanspraken op tijdstip t aan te passen met een toe- of afslag α t+1 Formeel veronderstellen we, voor 0, (2) A t+1 () = A t ( + 1)P t (1)[1 + q( + 1)α t+1 ] In deze uitdrukking corrigeert de factor P t (1) voor de sterfte tussen de tijdstippen t en t + 1 De toeslag α t+1 wordt vervolgens zodanig bepaald dat de budgetvergelijking (1) ook geldt op tijdstip t + 1, oftewel zodanig dat de dekkingsgraad weer 1 wordt Rekening oudend met de pensioenbetaling A t+1 (0) op tijdstip t + 1 geeft dit: (3) A t+1 ()P t+1 ()(1 + p) 1 = W t R t+1 A t+1 (0) De term A t+1 (0) naar de linkerzijde alen en vervolgens (2) invullen levert (4) A t ( + 1)P t (1)[1 + q( + 1)α t+1 ]P t+1 ()(1 + p) 0 = W t R t+1 Neem nu de risico-neutrale verwacting aan beide kanten gegeven alle informatie tot en met tijdstip t en gebruik P t (1)P t+1 () = P t ( + 1) Dan krijgen we (5) A t ( + 1)P t ( + 1)[1 + q( + 1)E t Q α t+1 ](1 + p) 0 = W t (1 + r) Deze vergelijking is lineair in E t Q α t+1, zodat direct volgt, met beulp van (1) en q(0) = 0, (6) E Q t α t+1 = W t () 0 A t (+1)P t (+1)(1+p) 0 A t (+1)q(+1)P t (+1)(1+p) = r p 1 A t ()P t ()(1+p) 1+p 1 A t ()q()p t ()(1+p) De bestaande aanspraken, in combinatie met de relevante overlevingskansen, beïnvloeden bovenstaande uitdrukking via de (inverse van de) factor (7) ν t 1 A t ()q()p t ()(1+p) 1 A t ()P t ()(1+p) Het product Nν t wordt ook wel de N-duration genoemd Merk op dat deze N-duration, vanwege zijn afankelijkeid van A t (), afangt van rendementen uit et verleden Er zijn twee speciale gevallen die vermeldenswaardig zijn

4 Het gebruik van een risicovrije projectierente, dus p = r, leidt tot E Q t α t+1 = 0, voor alle t Hieronder zullen we zien dat er dan nooit erverdelingseffecten zijn Indien geen gebruik gemaakt wordt van een spreidingsperiode geldt q() = 1 voor 1 Invullen in (6) levert direct E Q t α t+1 = (r p) (1 + p) Hieronder zullen we zien dat ook dan geen erverdelingseffecten zullen optreden, ongeact de oogte van p De marktconsistente waarde, op tijdstip t, van de pensioentoezegging op orizon wordt gegeven door de verwacte verdisconteerde pensioenbetaling A t+ (0), gecorrigeerd voor sterfte Deze waarde, itereer (2), bedraagt dus (8) (1 + r) E Q t A t+ (0) = (1 + r) A t ()E Q t { k=1 P t+k 1 (1)[1 + q( + 1 k)α t+k ]} Omdat k=1 P t+k 1 (1) = P t () kunnen we ook scrijven k=1 (9) (1 + r) E t Q A t+ (0) = A t ()P t ()E t Q 1+q(+1 k)α t+k Overigens kunnen op exact dezelfde wijze ook de verwacte pensioenbetalingen afgeleid worden In (6) wordt dan aan de recterzijde r door et verwacte rendement vervangen Het verkrijgen van een, in verwacting, vlak uitkeringspatroon is dan mogelijk door een gescikte daling van de aanspraken te kiezen Herverdelingseffecten per orizon In et collectieve toedelingsmecanisme zoals ierboven gespecificeerd ontstaan erverdelingseffecten op et moment dat de marktconsistente waarde van de pensioenbetaling op orizon, bepaald in (8), niet overeenkomt met de premie die daarvoor gevraagd wordt, namelijk A t ()P t ()(1 + p) Het erverdelingseffect, op tijdstip t en orizon, definiëren we daarom als k=1 (10) Δ t () E Q t 1+q(+1 k)α t+k (1 + p) Er zijn twee speciale gevallen waaronder geen erverdelingseffecten optreden Indien p = r volgt direct Δ t () = 0, voor alle t en alle Indien er geen spreidingsperiode wordt geanteerd, dan geldt q() = 1 en E Q t α t+1 = (r p) (1 + p) Bovenstaande formule, gebruikmakend van de onafankelijkeid van α t 1+q(+1 k)α t+k over de tijd, reduceert dan tot Δ t () = E Q t k=1 (1 + p) = k=1 1+(r p) 1+p (1 + p) = 1 k=1 1+p (1 + p) = 0 Let wel, in dit geval is er dus geen erverdeling ongeact de oogte van de projectierente die gebruikt wordt Het erverdelingseffect Δ t () is uitgedrukt als percentage van de toegekende aanspraken In monetaire termen is de erverdeling op orizon dus gelijk aan A t ()P t ()Δ t () In et algemeen zal Δ t () voor sommige orizonnen positief zijn, en voor sommige negatief Het toedelingsmecanisme eeft daarmee kenmerken van een omslagsysteem

5 Herverdelingseffecten per coort De erverdelingseffecten in de vorige paragraaf zijn berekend per orizon Aangezien verscillende leeftijdscoorten in de toedelingskring verscillende aanspraken ebben op elke orizon, zullen in et algemeen erverdelingseffecten tussen coorten ontstaan indien niet geldt Δ t () = 0 voor alle t en Bescouw, op tijdstip t, een coort dat k jaar voor pensioendatum tot de toedelingskring toetreedt De toetreder krijgt dus een aanspraak A t,+ () = I{ k}a + en legt een premie in gelijk aan A + k P t,+ ()(1 + p), waarbij P t,+ () staat voor de overlevingskansen van et toetredende coort Deze zullen in et algemeen afwijken van de overlevingskansen P t () in de toedelingskring Het vermogen van et fonds stijgt met de premie, en de aanspraken op orizon stijgen tot A t () + A t,+ () We definiëren et relatieve erverdelingsvoordeel van dit coort als k=1 (1+p) ) 1 A t,+ ()P t,+ ()(1+p) (11) A t,+ ()P t,+ ()(() Q 1 E t [1+q(+1 k)αt+k ] = k Δ t ()P t,+ () k(1+p) P t,+ () Numerieke berekeningen We bekijken een toedelingskring die gebruik maakt van een spreidingsperiode van N jaar, waarbij we resultaten presenteren voor N = 5 en N = 10 We veronderstellen dat α t onafankelijk en identiek verdeeld is over de tijd Bovenstaande formules combineren leidt dan tot Q αt+k (12) Δ t () 1+q(+1 k)e t k=1 (1 + p), waarbij E t Q α t+k volgt uit (6) De erverdelingseffecten worden dan bepaald door de ontwikkeling van de aanspraken A t () in et fonds We modelleren de ontwikkeling van de aanspraken voor een openend fonds, dat overgaat in een stabiel fonds en vervolgens sluit De precieze implementatie is als volgt Het totale vermogen dat et individu op leeftijd j op tijdstip t eeft gespaard, maar nog niet eeft ingelegd in et fonds, wordt weergegeven met W t Op leeftijd j > N (I) ontvangt et individu zijn uitkering; et individu treedt geleidelijk toe gedurende de leeftijden 1 j N (I) en leeft maximaal L jaar In de actieve levensjaren 1 j N (I) kan de deelnemer ook nog premie inleggen 1 Dit noteren we met C t, waarbij we voor de numerieke berekeningen aannemen dat C t = Ct voor alle j met 1 j N (I) Het omzetten van vermogen op tijdstip t voor leeftijd 1 j N (I) gesciedt via (13) ΔW t = W t +Ct N (I) j+1 met ΔW t de nieuwe premie inleg Verder ontwikkelt W t zic via (14) W t+1 (j+1) = (W t + Ct ) (1 met exogeen beginvermogen W t(1) 1 N (I) (j 2) ) (1 + r) 1 De uidige paragraaf is gebaseerd op geleidelijke toetreding zoals geïntroduceerd in Bovenberg (2016)

6 Het omzetten van vermogen in aanspraken voor de nieuwe toetreders 2 gesciedt via (1) Ofwel met k (15) A t,+ () = (16) A t+j 1,+ () = j (l) l=k (A t+l 1,+ ()), ΔW t+j 1 L j+1 P t,+ (l)(1+p) l l=n (I) j+2 voor N (I) j + 2 < L j + 1, 1 k N (I) en 1 j N (I) We nemen voor een openend fonds: k = 1 en j [1, N (I) ]; een fonds met constante instroom: k = 1 en j = N (I) ; een sluitend fonds: k [1, N (I) ] en j = 10 De update-regel, vergelijking (2), wordt dan, (17) A t+1 () = A t ( + 1) P t,+ (+1) P t,+ () k j [1 + q( + 1)α t+1 ] + A t,+ () De ex-ante erverdelingseffecten, gemeten ten opzicte van et totale pensioenvermogen, voor de generatie die op tijdstip t voor et eerst geleidelijk toetreedt wordt gegeven door (18) H t = ( A () Δ t+j 1,+ t+j 1 () P t+j 1,+ () N (I) j=1 () j ) W0 t met W 0 t = W t (1) + N (I) C t j=1 () j Referentielijst Bonekamp, JLM, AL Bovenberg, T Nijman en B Werker (2016) Actergrondnotitie: Herverdelingseffecten van verscillende projectierentes in verbeterde premieregelingen vanuit vermogens per orizon 2 Bij geleidelijke toetreding treden meerdere individuen (gedeeltelijk) op etzelfde tijdstip toe