Wiskunde voor de rozenkweker

Transcriptie

1 Onlangs op 14 februari scijnt de verkoop van rozen alle records gebroken te ebben. Rozenkwekers beleefden een optimale dag dankzij Valentijnsdag. Om records te breken met de oogst van rozen eb je meer nodig dan de kalender. Vivi Rottscäfer bescrijft oe een model voor een optimale rozenoogst stap voor stap opgebouwd wordt. Wiskunde voor de rozenkweker Inleiding In februari 2002 vond de tweeënveertigste Studiegroep Wiskunde met de Industrie plaats. Een van de problemen betrof et modelleren van de groei van rozen in een kas en ik maakte deel uit van de groep die daaraan eeft gewerkt. De productie van rozen is steeds commerciëler geworden waarbij ook de concurrentie groot is. Terwijl de ervaring van de rozenkweker nog steeds een grote rol speelt, is et belang van modelleren van de biocemisce processen die plaatsvinden toegenomen. De wens van een rozenkweker is natuurlijk om de productie van zijn rozen te optimaliseren bij beperkte kosten. De groei van rozen en daarmee de productie iervan wordt beïnvloed door et klimaat in de kas. Dit wordt tegenwoordig volledig door de computer gestuurd. Tot nu toe is et programmeren van zo n klimaatcomputer gebaseerd op de ervaring van de kweker, maar oe een maximale productie gerealiseerd kan worden is nog niet bekend. Het is namelijk niet voldoende om et interne klimaat constant te ouden, omdat plotselinge veranderingen in et weer (buiten de kas) en in de seizoenen invloed zal ebben op de temperatuur en andere condities in de kas. Door een plotselinge regenbui bijvoorbeeld, kan de temperatuur verlagen wat de rozenoogst een aantal dagen of weken later zal beïnvloeden. Als eerste stap naar et aansturen van et klimaat voor et verkrijgen van een maximale rozenproductie, ebben wij een wiskundig model ontwikkeld. Dit bescrijft, gegeven de klimaatcondities, de productie van de totale massa van de rozen in de kas. Uiteindelijk open we dat et model gebruikt kan worden om et klimaat in de kas dynamisc in te stellen, zodat de rozenproductie maximaal wordt. Rozen groeien door assimilatie van CO 2 ; dit proces vindt plaats in de bladeren en eet fotosyntese. De CO 2 -assimilatie, en daarom ook de groei van rozen, wordt beïnvloed door verscillende omgevingsfactoren. Over sommige van deze factoren eeft de kweker (enige mate van) controle door bijvoorbeeld et gebruik van verwarming en lampen, et openen of sluiten van ramen en door blindering voor de ramen om scaduw te creëren. Hiermee kan ij de CO 2 -concentratie in de luct C a (door ventilatie), de relatieve luctvoctigeid R H, de temperatuur in de kas T a en de lictintensiteit I 0 veranderen. Het lokale model Wij zijn gestart met een model dat we ebben afgeleid uit Harley et al (1992) en Kim & Liet (2001). Dit model bescrijft de sneleid van fotosyntese van een enkel blad met een bepaalde leeftijd, afankelijk van de temperatuur T a, de luctvoctigeid R H en de concentratie CO 2 in de kas C a en van de oeveeleid lict die op et blad valt. Omdat dit slects de fotosyntese van een blad met een bepaalde leeftijd geeft noemen dit et lokale model. Voor et lokale model blijkt dat de sneleid van fotosyntese P per eeneid bladoppervlakte gescreven kan worden als een vergelijking van de vorm: P = f( P, a, T a, R H, C a, I) (1) waarbij a de leeftijd van et blad is en I de oeveeleid lict die er op valt. De functie f is niet-lineair en expliciet bekend. Aangezien de uitdrukking voor f tamelijk gecompliceerd is in termen van een groot aantal (bekende) constanten, geven we deze ier niet, maar verwijzen we voor de formule en verdere details iervan naar Bokove et al (2002). Aan ons de uitdaging om dit lokale model van de fotosyntese van een enkel blad uit te breiden naar een model dat de geele rozenproductie in de kas bescrijft. Het mag duidelijk zijn dat dit geen eenvoudige taak is, omdat de fotosyntese afangt van de leeftijd van een blad en de oeveeleid lict die er op valt. Beide grooteden veranderen dynamisc met de tijd in de kas omdat de rozenplanten groeien. Hierbij ontstaan nieuwe jonge bladeren waardoor de leeftijdsverdeling in de kas verandert, en ook zullen de lagergelegen bladeren minder lict ontvangen. Nieuwe Wiskrant 23-3/maart

2 Aannames in et model Om de rozen te modelleren ebben we verscillende aannames gemaakt over de structuur van de rozenplanten en de groei van rozen. Deze aannames zijn in overleg met een adviseur van rozenkwekers, een bioloog, tot stand gekomen en zijn redelijk representatief voor rozengroei in een kas. Allereerst nemen we aan dat elke plant verdeeld kan worden in twee delen: de rozenoogst: bovenin, bestaande uit een of meer rozenstammen die afgesneden worden; dit is de uiteindelijke rozenproductie. de rozenstruik: onderop, die de stammen ondersteunt en niet geoogst of afgesneden wordt. Zie figuur 1 voor een scets van onze geïdealiseerde kas. fig. 1 Een scets van onze geïdealiseerde kas. Hier is R H de relatieve luctvoctigeid, I 0 de totale lictintensiteit en et niveau waarop de rozen afgeknipt worden op et moment dat ze de oogte snij bereikt ebben De struik eeft een constante oogte en bevat bladeren die CO 2 assimileren en dus bijdragen aan de totale oeveeleid energie die wordt geproduceerd in de planten. De rozenstammen in de oogst groeien verticaal uit de struik, en worden geplukt op et moment dat ze de oogte snij ebben bereikt. Op dat moment worden de rozen afgesneden op oogte, zodat ze allemaal dezelfde lengte snij ebben. De oogte = 0 wordt gedefinieerd op de grond van de kas, dus bij de onderkant van de struik. We nemen ook aan dat nieuwe stammen uit de bovenkant van de struik groeien. Dus, nieuwe sceuten ontstaan allemaal op oogte, en verder veronderstellen we dat ze ontstaan met een sneleid die rect evenredig is met de totale fotosyntese in de kas. Als verdere simplificatie verwaarlozen we dat deel van de door de rozen geproduceerde energie dat gebruikt wordt voor onderoud, opslag en et ontstaan van bloemen in de planten. We nemen aan dat de energie die verkregen wordt door de fotosyntese in de struik én in de stammen volledig gebruikt wordt om de massa van de stammen in de oogst te vergroten. We weten uit et lokale model dat de fotosyntese in één enkel blad afangt van de leeftijd van et blad, en daarom moeten we weten waar jongere en oudere bladeren gepositioneerd zijn op een rozenplant. Dit is de reden dat in ons model alle nieuwe bladeren aan de top van de rozenstruik ontstaan, wat relatief goed overeen komt met de realiteit. Ook nemen we aan dat de bladeren, en daarom et bladoppervlakte, uniform verdeeld zijn langs de stam. Met andere woorden, de oppervlakte van de bladeren aan een stam is rect evenredig met de lengte van de stam. De rozenkweker is uiteindelijk geïnteresseerd in de massa van de oogst en daarom veronderstellen we dat de massa van elke stam (inclusief de bladeren) rect evenredig is met zijn lengte. Rozen zijn niet egoïstisc Een verdere belangrijke, maar ook realistisce aanname die et model van de rozen in de kas vereenvoudigt is et zogenaamde principe van niet egoïstisc zijn. Dit principe zegt, dat energie verkregen uit fotosyntese van een blad, aan een stam of in de struik, gelijkmatig bijdraagt aan de groei van alle rozenstammen, of deze nu kort of lang zijn. Vrij vertaald rozen zijn niet egoïstisc. Hieruit volgt dat, aloewel een langere stam meer bladeren eeft en meer CO 2 zal assimileren dan een kortere stam, de totaal geproduceerde energie gelijkelijk tussen en verdeeld zal worden. Als resultaat iervan groeit elke stam met dezelfde sneleid, onafankelijk van zijn eigen fotosyntese-sneleid. Dit principe van niet egoïstisc zijn komt naar voren in gegevens gemeten in kassen, en ook in de observatie dat een enkele rozenplant met een aantal stammen van verscillende lengten zic gedraagt als een geeel. Op deze manier kunnen nieuwe jongere, kortere stammen zic snel ontwikkelen, ook al bezitten ze niet zo n groot bladoppervlak, en assimileren ze dus niet zoveel CO 2 als oudere, langere stammen. Het globale model van de kas In deze paragraaf zullen we et totale model van de groei van rozen in een kas in een aantal stappen bescrijven. Uiteindelijk zal dit model in termen van et lokale model (1) gegeven worden. De groei-vergelijking We bescrijven de toestand van de rozen op een gegeven tijdstip t door de stamdicteidsfunctie d(,t) die de verdeling van stammen van verscillende oogten representeert. De functie d(,t) wordt gedefinieerd als et aantal stammen met oogte per vierkante meter kas op tijdstip t. De dynamica van d kan verkregen worden met beulp van et principe van niet egoïstisc zijn dat geïntroduceerd is in de vorige paragraaf. Uit dit principe volgt namelijk dat elke rozenstam met dezelfde sneleid groeit. Daarom is er sprake van advectie van de dicteidsfunctie d(, t) met een groeisneleid v = v(t;d) die onafankelijk is van, zie figuur Wiskunde voor de rozenkweker

3 Hierbij oeven we in M(t) slects de massa van de oogst mee te nemen omdat we in et voorafgaande aangenomen ebben dat de geproduceerde energie alleen gebruikt wordt om de oogst te laten groeien en er geen energie naar de struik gaat. De totale massa van de rozenoogst wordt bescreven door: M() t snij ( ) d( t, ) d (4) fig. 2 Elke roos groeit met dezelfde sneleid. Hier is d(,t) et aantal stammen per vierkante meter kas als functie van de oogte en de tijd t. Er vindt advectie van deze dicteidsfunctie d plaats met een groeisneleid v = v(t;d) De dynamica van d wordt bescreven door de volgende advectie-vergelijking: d + (2) t v d = 0 Om deze vergelijking te vervolledigen, moeten ook een begintoestand van de rozen en een randvoorwaarde gedefinieerd worden. De randvoorwaarde op = die et ontstaan van nieuwe stammen uit de rozenstruik weergeeft, volgt opnieuw uit een van de aannames gedaan in de vorige paragraaf. We weten namelijk dat nieuwe stammen ontstaan op = met een sneleid rect evenredig met de totale fotosyntese in de kas. Met beulp van de functie d kan ook de oogstsneleid H(t) per vierkante meter kas worden bepaald. Namelijk, omdat rozen geoogst worden wanneer ze de oogte snij ebben bereikt met een lengte snij is de oogstsneleid: Ht () vtd ( ; )( snij )d ( snij, t) Van nu af aan betekent rect evenredig met. Merk op dat de rozenkweker deze oogstsneleid wil maximaliseren! Bepalen van de groeisneleid De groeisneleid v kan bepaald worden met beulp van een massabalans. Hiertoe bekijken we de netto fotosyntese-sneleid P net die de uitstoot of opname van CO 2 per vierkante meter weergeeft zowel in de struik als de stammen. De netto fotosyntese-sneleid P net verandert niet alleen door wijzigingen in et klimaat in de kas, maar ook door de groei van de rozen (struik en oogst) én door et afsnijden van de rozenstammen. Specifieker gezegd is P net rect evenredig met de verandering in de massa van de rozenoogst plus de oogstsneleid H(t). Als we de massa van de rozenoogst aangeven met M(t) volgt er dus dat: P net = ( td ; ) dm Ht () dt (3) Hier wordt, voor een stam met lengte, de stamdicteidsfunctie d(, t) gewogen met de stamlengte voor alle oogten tussen en snij, om de massa te krijgen. Differentiëren van de uitdrukking (4) voor M(t) geeft, met substitutie van de advectievergelijking (2) voor d, dat: dm vtd ( ; ) snij ( dt 0 ) = vtd ( ; ) snij ( t, ) d d d d H() t (5) na partieel integreren van de recterkant van de vergelijking. Uiteindelijk geeft substitutie van (5) in de uitdrukking voor P net (3) de groeisneleid in termen van P net als: v( td ; ) P ( td ; ) net snij d( t, )d (6) De netto fotosyntese-sneleid Onze volgende stap is om een uitdrukking voor de netto fotosyntese-sneleid P net in (6) te bepalen. Aangezien dit de totale fotosyntese in de kas is, wordt deze bepaald door de fotosyntese van de oogst (de stammen) en de struik samen te nemen. Ofwel: P net = P oogst + P struik waarin de bijdragen van de oogst en de struik apart bepaald moeten worden. Uit et eerder geïntroduceerde lokale model, volgt dat de fotosyntese-sneleid van een blad afankelijk is van zowel de leeftijd als de oeveeleid lict die erop valt. Daarom is et eel erg belangrijk om de leeftijd- en oogteverdeling van de bladeren goed te kunnen modelleren. Van nu af aan zullen we ons concentreren op et modelleren van deze dicteden in de oogst, op de bepaling van de fotosyntese in de struik komen we later terug. Om te beginnen definïeren we iertoe een bladdicteidsfunctie ρ(, t), waarbij ρ(, t)d de oppervlakte van de bladeren geeft op oogten tussen en + d per vierkante meter kas. Zolang < < snij is ρ(, t) gerelateerd aan de stamdicteidsfunctie d(, t) doordat alleen rozenstammen met een totale oogte groter dan bijdragen aan de bladoppervlakte op oogte. Nieuwe Wiskrant 23-3/maart

4 fig. 3 Een scets van de kas op een bepaald tijdstip. Op een bepaalde oogte dragen alleen de rozenstammen met oogtes groter dan bij aan de bladoppervlakte Stammen kleiner dan oogte dragen niet bij aan ρ(, t). Zie figuur 3 voor een scets iervan. Dit geeft dat: snij ρ(, t) = k ρ d( t, ) d waarin k ρ een evenredigeids-constante is. We moeten ook bepalen oe de leeftijden verdeeld zijn op een bepaalde oogte, en daarom introduceren we de leeftijdsdicteidsfunctie q(, t). Deze is zo gedefiniëerd dat q(t, a, )dda de bladoppervlakte van leeftijden tussen a en a + da op oogtes tussen + d per vierkante meter kas is. We ebben aangenomen dat de jongste bladeren bovenaan de stam zitten en de oudste onderaan; daarom is et duidelijk dat de leeftijd van een blad gerelateerd is aan zijn afstand is tot de top van de stam. Dit is gescetst in figuur 4 waar we de rozenstammen geordend ebben op lengte. fig. 4 Door de stammen op oogte te ordenen is et eenvoudiger om de leeftijdsverdeling van bladeren op oogte te zien Om de relatie te versimpelen nemen we aan dat de leeftijd van een blad rect evenredig is met zijn afstand tot de top van de stam. Hieruit volgt dat de oogte van de stammen waaraan bladeren op oogte met leeftijd a zic bevinden, + -- is, waarbij k de gemiddelde inverse groeisnel- a k eid is (zie figuur 4). Uiteindelijk kunnen we dus afleiden dat: a qta (,, ) d + --, t k Vervolgens moet de oeveeleid lict dat een blad bereikt nog bepaald worden. Deze lokale lict intensiteit op een blad angt natuurlijk af van oeveel et blad in de scaduw ligt, met andere woorden, van de blad bedekking (bladoppervlakte) boven et blad. De observatie dat alle stamoogtes gelijkmatig door de kas verdeeld zijn suggereert dat bladeren op dezelfde oogte in ongeveer dezelfde oeveeleid scaduw liggen. di Daarom is de verandering in de lictintensiteit voor d oogtes tussen en snij ook een functie van. We nemen rect evenredig met ρ(,t) en met de lictintensi- di d teit op oogte, I(,t) met evenredigeids-constante k I : di(, t) = k, d I ρ(, t)it (, ) I ( snij ) = I 0 () t Merk op dat I 0 (t) gedefiniëerd was als de totale lictintensiteit die in de kas binnenkomt. Ofwel, I 0 (t) is de lict intensiteit die de bovenkant van de rozen bereikt. Bovenstaande vergelijking oplossen levert: I( t, ) = I 0 ()e t snij k I ρ(, t)d Met beulp van alle bovenstaande dicteidsfuncties kunnen we de totale fotosyntese van de oogst per vierkante meter kas bepalen. Deze volgt uit de lokale fotosyntese-sneleid P(t, a, ) van één blad met leeftijd a waarop een bepaalde lictintensiteit I valt. De fotosyntese-sneleid van bladeren met leeftijden tussen a en a + da op oogtes tussen + d kan namelijk bepaald worden door P(t, a, ) te wegen met de leeftijddicteidsfunctie q(t, a, ) en wordt gegeven door: qta (,, )Pta (,, )dad Dit integreren over alle leeftijden en oogtes in de oogst levert uiteindelijk de fotosyntese-sneleid in de oogst snij : P oogst ( td ; ) = qta (,, )Pta (,, )dad T max 0 Hier is T max de leeftijd van et oudste blad in de uidige rozenoogst; T max is verscillend voor elk type rozen en angt ook af van et seizoen. De fotosyntese van de struik Om de totale netto fotosyntese-sneleid P net in (6) te bepalen moeten we ook een uitdrukking voor P struik ebben. Deze kan op een soortgelijke manier verkregen worden als P oogst, maar iervoor is dan wel enige kennis nodig van de bladverdeling in de struik. Zoals aangenomen wordt dit deel van de planten niet afgesneden. Wat we eigenlijk nodig ebben zijn uitdrukkingen voor de bladdicteidsfunctie ρ(, t) en de leeftijddicteidsfunctie q(t, a, ) in de struik. Ook moeten we de positie van de struik ten opzicte van de stammen weten. Of de struik bijvoorbeeld direct onder de stammen of ook gedeeltelijk 40 Wiskunde voor de rozenkweker

5 naar de zijkanten overangt, is namelijk van invloed op de oeveeleid lict die de bladeren in de struik bereikt. Relatief eenvoudige modellen voor de struik ontstaan door aan te nemen dat de struik direct onder de stammen ligt en daarom goed in de scaduw. Een simpel maar bruikbaar model wordt verkregen als we daarnaast ook nog aannemen dat bladeren van verscillende leeftijden uniform verdeeld zijn door de struik tussen = 0 en =. Dit impliceert dat de gemiddelde oogte in de struik en 2 de gemiddelde leeftijd -- τ is, waarbij τ de lengte van et 2 groeiseizoen is. Deze aannames leiden tot: P struik Het is ook mogelijk om andere modellen voor de struik te combineren met ons model voor de kas. Dit is belangrijk voor de kweker omdat iermee de vragen oe en waar de struik moet groeien, en oe deze onderouden moet worden voor een maximale rozenoogst, opelijk beantwoord kunnen worden. Scatten van evenredigeidsconstanten Tot nu toe ebben we een model bescreven voor de rozenproductie in een kas. In dit model komen een aantal evenredigeidsconstanten voor die nog onbekend zijn. De meeste van deze constanten kunnen bepaald worden door de rozenkweker door middel van metingen aan de rozenplanten. Dit zijn bijvoorbeeld de constante die de oppervlakte van de bladeren aan een stam per eeneid lengte bescrijft, en de constante die de massa van de stam per eeneid lengte representeert. Er zijn twee evenredigeidsconstanten die niet door directe metingen aan de planten bepaald kunnen worden. Deze overgebleven constanten worden verkregen door et model te fitten aan data uit de kas. De data komt uit bestaande rozenkassen en geeft de massa van de rozenproductie per week met gemeten klimaatcondities weer. Voor meer details oe dit in zijn werk gaat, zie Bokove et al (2002). Deze scatting van de constanten uit de meetgegevens is nog niet voltooid. Na bepaling van alle evenredigeidsconstanten zou et in principe met beulp van et model mogelijk moeten zijn om de rozenkweker te elpen om de rozenproductie te maximaliseren. Dit kan door in de simulatie van et model de rozenproductie te optimaliseren afankelijk van de klimaatcondities in de kas. De toekomst τ P t --,, Natuurlijk zijn sommige van onze aannames om tot et model te komen een vereenvoudiging van de werkelijkeid. Een van de nadelen van onze aanpak lijkt et feit dat we veronderstellen dat de totale energie, die voorkomt uit de fotosyntese van alle rozenplanten, alleen gebruikt wordt voor de groei van de stammen. Dit is niet erg realistisc, aangezien er bijvoorbeeld ook seizoensverscillen in de dikte van de geoogste rozenstammen voorkomen. In et bijzonder is de energie die nodig is voor et bloeien, wat een cruciaal punt is voor et tijdstip waarop een roos geoogst moet worden, niet bekeken. Ook is de energie die de planten gebruiken voor onderoud en opslag niet meegenomen in et model. Om de rozen realistiscer te kunnen modelleren, ebben we gedetailleerdere gegevens nodig over oe de totale fotosyntese verdeeld wordt over et groeien, de productie van meer bladeren, et ontstaan van nieuwe stammen (waarvoor we ier slects een basismodel gebruiken) en et bloeien. De eerste modellen van deze processen in een enkele rozenplant zijn aan et verscijnen in de literatuur en zouden verder onderzoct moeten worden. Na een bezoek aan een rozenkas weten we ook dat onze aanname over de positie van de rozenstruik ten opzicte van de stammen, niet altijd overeenkomt met de werkelijkeid. Dit is te zien op de volgende foto van de kas: In deze kas wordt een deel van de struik naast de planten gebogen, waardoor dit deel aanzienlijk meer lict ontvangt dan wanneer de struik onder de stammen zou zitten. Door een ander model voor de struik te ontwerpen zou ook dit geïmplementeerd kunnen worden in ons model voor de geele kas. Ondanks deze (en andere) tekortkomingen open we dat onze aanpak via stam-, blad- en leeftijddicteidsfuncties flexibel genoeg zal blijken om te koppelen aan complexere en preciezere groeimodellen, en dat dit zal leiden tot een accuraat, interactief model van een geele rozenkas. Een voordeel van ons model is dat et vergeleken kan worden met ecte data gemeten in kassen; dit is iets wat niet gedaan kon worden met et enkele bladmodel (et lokale model). Verdere verbeteringen aan et model en et scatten van de constanten is een interessante uitdaging voor een vervolgonderzoek in et optimaliseren van de rozenproductie. Dank aan Onno Bokove (Twente), Joan Dubbeldam (Eindoven), Pilipp Getto (Utrect), Bas van t Hof (Vortec Computing), Nick Ovenden (Eindoven), Derk Pik (Leiden) en Georg Prokert (Eindoven) in samenwerking met wie dit werk tot stand is gekomen. Ook dank aan Dick van der Sar van Pytocare; ij was degene die et probleem eeft voorgesteld. Vivi Rottscäfer, Universiteit van Leiden Nieuwe Wiskrant 23-3/maart