Migrerende euromunten

Transcriptie

1 Migrerende euromunten Inleiding Op 1 januari 2002 werden in vijftien Europese landen (twaalf grote en drie heel kleine) euromunten en - biljetten in omloop gebracht. Wat de munten betreft, ging het in het totaal over 51,629 miljard stuks. De achterkant van de euromunten verschilt van land tot land. Zo is 3,8% van de munten Belgisch en 5,4% Nederlands. Doordat de Europese burgers over de landsgrenzen trekken, reizen ook de munten van land tot land. Op de website vind je cijfers over het percentage munten van elke nationaliteit in België en Nederland op verschillende tijdstippen. Deze cijfers zijn gebaseerd op tellingen die o.m. in scholen uitgevoerd zijn. Bepaalde klassen en hun leerkrachten in Vlaamse en Nederlandse scholen keerden in het begin van elke maand hun portemonnee om op de bank en telden hoeveel munten ze van elke nationaliteit vonden. Misschien heb je hier zelf ook aan meegedaan. De resultaten van de tellingen konden dan via de website ingebracht worden. De onderstaande figuren tonen de gegevens van 1 juli 2002, een half jaar na de invoering van de euromunten. Euromunten in België op 1 juli 2002 Euromunten in Nederland op 1 juli 2002 De cijfers zijn het resultaat van een steekproef en vormen schattingen van de werkelijke percentages. De resultaten over België zijn bijna uitsluitend op Vlaamse tellingen gebaseerd. We willen in deze werktekst onderzoeken hoe deze percentages in de loop van de tijd veranderen. We willen m.a.w. de samenstelling van de gemiddelde portemonnee in een bepaald land kennen op een bepaald ogenblik, bijvoorbeeld: hoeveel procent Belgische, Nederlandse, munten zullen er over vijf jaar in de gemiddelde Belgische portemonnee zitten? We zullen het antwoord op deze vraag vinden via een wiskundig model. Dat model beschrijft echter niet de samenstelling van de gemiddelde portemonnees, maar de verspreiding van de verschillende soorten euromunten over het hele Euroland. Het model zal ons dus bijvoorbeeld vertellen hoeveel procent van de Belgische munten zich op een bepaald tijdstip nog in België bevinden, hoeveel er zich in Nederland bevinden, De gegevens waarvan we vertrekken en de vragen die we beantwoord willen zien, hebben dus betrekking op de samenstelling van de gemiddelde portemonnees, terwijl het wiskundige model de verspreiding van de verschillende munten over Euroland beschrijft. We moeten in deze werktekst daarom geregeld de overgang maken tussen samenstelling van een gemiddelde portemonnee en verspreiding van een munt over Euroland. We beschikken alleen over gegevens uit België en Nederland. Daarom zullen we niet met de vijftien verschillende gebieden en de vijftien verschillende soorten munten kunnen werken. We zullen het eenvoudiger moeten houden. Alle andere (Euro)landen dan België en Nederland zullen één gebied andere landen moeten vormen en alle munten met een andere nationaliteit dan de Nederlandse of de Belgische zullen we in één categorie andere munten moeten onderbrengen. Als we de gegevens hierboven hieraan aanpassen; krijgen we de onderstaande tabel. 1

2 in België in Nederland Belgische munten 80,2% 6,9% Nederlandse munten 7,1% 78,9% andere munten 12,7% 14,2% Euromunten in België en Nederland op 1 juli 2002 We zullen werken met tijdsintervallen van een half jaar. De verspreiding van de munten van een bepaalde nationaliteit doorheen Euroland zullen we beschrijven met een overgangsmatrix van B N A p p p P p p p p p p = De overgangspercentages of de overgangskansen p ij kennen we voorlopig nog niet. We zullen ze kunnen bepalen m.b.v. de gegevens hierboven als we een aantal (vrij redelijke) veronderstellingen maken. We zullen aannemen dat de overgangskansen niet afhangen van de nationaliteit van de reizende munt. We gebruiken m.a.w. één overgangsmatrix voor de verspreiding van zowel de Belgische als de Nederlandse als de andere euromunten. Zo maakt een muntstuk dat zich in België bevindt, steeds evenveel kans om terug naar Nederland te gaan, ongeacht de nationaliteit van dat muntstuk. Omdat sommige mensen buitenlandse munten voorlopig nog sparen, klopt dit niet helemaal. We maken geen onderscheid tussen munten met een verschillende waarde. Uit meer gedetailleerde gegevens blijkt dat de munten met een grote waarde (2 euro, 1 euro, ) zich sneller verspreiden dan de munten met een kleine waarde. Een andere veronderstelling die we zullen maken, is dat het totale aantal munten en het totale aantal munten in een land niet veranderen in de loop van de tijd. We gaan er dus van uit dat alle munten die het land verlaten, vervangen worden door andere munten, maar die kunnen natuurlijk wel een andere nationaliteit hebben. We houden hier dus geen rekening met nieuwe munten die door de nationale banken in omloop gebracht worden (waardoor het totale aantal munten verhoogt) of met munten die buiten de eurolanden geraken. Ook een uitbreiding van de eurozone is niet in rekening gebracht. Bij het werken met wiskundige modellen is het helemaal niet ongewoon dat dergelijke veronderstellingen gemaakt worden. Als we dat niet zouden doen, zou het wiskundige model immers veel te ingewikkeld worden, of zou het misschien zelfs helemaal niet meer mogelijk zijn om een wiskundig model op te stellen omdat er te weinig gegevens zijn. Elk wiskundig model houdt dus een vereenvoudiging van de werkelijkheid in. De keerzijde van de medaille is dan wel dat zo n eenvoudig model de complexere realiteit niet helemaal getrouw weergeeft. Een ander element dat hier meespeelt, is dat onze cijfers gebaseerd zijn op een steekproef (zelfs geen heel goede). De percentages waar we mee werken, zijn dus slechts min of meer betrouwbare schattingen van de werkelijke percentages. Op dat aspect gaan we niet verder in. Het opstellen van de overgangsmatrix 1. Gebruik de gegevens uit de inleiding om te bepalen hoeveel Belgische euromunten er in het totaal zijn. Bepaal ook hoeveel Belgische munten zich in elk van de drie gebieden bevinden op 1 januari 2002 en op 1 juli Rond de resultaten niet af! 2. Zet de resultaten uit vraag 1 op de gepaste manier om in een gelijkheid van matrices waarin de (voorlopig onbekende) overgangsmatrix voorkomt. Maak geen afrondingen! 2 B N A naar

3 3. Ga op dezelfde manier tewerk voor de Nederlandse en de andere euromunten. 4. Combineer de drie gevonden gelijkheden nu tot één gelijkheid waarin alleen 3 3-matrices optreden en bereken hieruit de matrix P. Gebruik je rekenmachine. Rond de tussenresultaten niet af en rond de getallen in het eindresultaat af op 6 decimalen. Sla de matrix P op onder de naam [A]. Gebruik voor de andere twee matrices [B] en [C]. De verspreiding van de euromunten op korte termijn We bestuderen eerst de verspreiding van de Belgische euromunten over de drie gebieden. We werken hiervoor met percentages. 5. We vinden ,2 80,2 P 0 9,8053 9,8 =. 0 9, ,0 Wat betekent het resultaat van de vermenigvuldiging? 6. Waarom komen deze getallen niet (allemaal) overeen met de percentages uit de kolom in België uit de tabel uit de inleiding? 7. 9,8% van de Belgische muntstukken bevindt zich op 1 juli 2002 in Nederland. Anderzijds lezen we in de tabel af dat op dat ogenblik 6,9% van de muntstukken in Nederland van Belgische origine zijn. Laat zien dat beide percentages met elkaar in overeenstemming zijn. 8. Leg uit waarom het getal 80,2 uit de matrix wél exact gelijk is aan het percentage 80,2% dat je in de tabel vindt, terwijl dat voor de getallen op de andere plaatsen niet het geval is. 9. Onderzoek met je rekenmachine hoe de verspreiding van de Belgische euromuntstukken verloopt (tabel + grafiek). Beschrijf de evolutie van de drie percentages gedurende de eerste vijf jaar in woorden. Noteer de percentages na 5 jaar (rond af op 2 decimalen). 10. Kan je verklaren waarom het percentage van de Belgische munten dat zich in Nederland bevindt aanvankelijk toeneemt en later weer afneemt? 11. Wat moet je aanpassen om de verspreiding van de Nederlandse euromunten te kunnen volgen? Noteer ook hier de percentages na 5 jaar, afgerond op 1 decimaal. 12. Zelfde vraag voor de andere euromunten. 13. Bepaal m.b.v. de resultaten uit de vorige opdrachten hoe de euromunten in België en Nederland binnen vijf jaar verdeeld zullen zijn over de drie nationaliteiten. 14. Hoe lang zal het duren vooraleer meer dan de helft van de munten in België van buitenlandse oorsprong is? 15. Je hebt in vraag 10 een verklaring moeten geven voor het fenomeen dat het percentage van de Belgische munten dat zich in Nederland bevindt, aanvankelijk stijgt en daarna weer enigszins terugvalt. Onderzoek of het aandeel van de Nederlandse munten in de gemiddelde Belgische portemonnee op een gelijkaardige manier evolueert. De verspreiding van de euromunten op lange termijn We onderzoeken de verspreiding van de Belgische euromunten nu over een langere termijn. We werken met tijdseenheden van vijf jaar i.p.v. een half jaar. We zullen de verspreiding van de euromunten bestuderen a.d.h.v. ons model over een periode van vijftig jaar. 16. Geef aan waarom het zeer onwaarschijnlijk is dat de verspreiding van de euromuntstukken inderdaad precies op de manier zal verlopen die we m.b.v. dit model zullen vinden. 17. Welke overgangsmatrix moeten we nemen als we met tijdsintervallen van vijf jaar werken? Bewaar de oude overgangsmatrix op de rekenmachine als matrix [D] en de nieuwe als [A]. 3

4 18. Onderzoek m.b.v. een tabel en een grafiek de verspreiding van de Belgische euromunten over de drie gebieden gedurende de komende vijftig jaar. 19. Kan je een verklaring geven voor wat je ziet? 20. Hoe zullen de euromunten in België en Nederland over vijftig jaar verdeeld zijn over de drie nationaliteiten? 21. Wanneer zullen de afwijkingen tussen de werkelijke percentages en de limietpercentages voor het eerst gedaald zijn tot ongeveer 1%? 22. De onderstaande tabel geeft de procentuele verdeling aan van de euromunten over de twaalf grote nationaliteiten. Wat verwacht je voor de verdeling over deze twaalf nationaliteiten van de euromunten in België en Nederland over vijftig jaar? Duitsland 32,9% Frankrijk 15,8% Italië 15,4% Spanje 13,7% Nederland 5,4% België 3,8% Oostenrijk 3,5% Griekenland 2,6% Portugal 2,5% Ierland 2,1% Finland 2,1% Luxemburg 0,2% 23. We hebben er in het begin van dit stukje van de werktekst op gewezen dat de veronderstellingen waarvan we uitgegaan zijn, wellicht niet geldig blijven op lange termijn. Op welke punten verwacht je dat de werkelijke verspreiding afwijkt van de theoretische verspreiding? Anders beginnen op 1 januari 2002 Op 1 januari 2002 zijn alle landen gestart met enkel euromunten van hun eigen nationaliteit. We hebben kunnen vaststellen dat de verspreiding van de euromunten over de verschillende landen dan geleidelijk plaatsvindt. Er is ook een ander scenario denkbaar. Veronderstel eens dat de autoriteiten van de Eurolanden beslist hadden om de euromunten vooraf perfect te mengen. 24. Wat is in dat geval de begintoestand voor de Belgische euromunten? Onderzoek hoe de Belgische euromunten zich dan zouden verspreiden over de drie gebieden. Je kan gebruik maken van dezelfde overgangsmatrix als voorheen. Zo n verdeling hebben we vroeger een stabiele verdeling genoemd. 25. Druk het feit dat S een stabiele verdeling is uit m.b.v. matrices. 26. Bepaal de stabiele verdeling door een gepast stelsel op te lossen. 27. De eurobiljetten zijn in alle landen dezelfde 1. Toch kunnen we ook voor de biljetten onze kennis van matrixmodellen toepassen. Bankbiljetten gaan van hand tot hand en verslijten hierdoor. Als ze te erg versleten zijn, worden ze door de bank ingehouden en vervangen door nieuwe bankbiljetten. Onderzoek toont hierover het volgende aan: 90% van de biljetten die nog geen jaar in omloop zijn, wordt 1 jaar later nog altijd gebruikt en 10% is vervangen door nieuwe biljetten; van de biljetten die op een zeker ogenblik minstens 1 jaar maar nog geen 2 jaar in omloop zijn, wordt 20% na 1 jaar nog gebruikt en is 80% vervangen; biljetten die 3 jaar oud zijn, worden altijd vervangen. 1 Dit klopt niet helemaal. Elk biljet draagt een reeksnummer en de letter die hierin voorkomt verwijst naar het land. Maar het is in elk geval veel moeilijker dan bij de muntstukken om te zien uit welk land een biljet komt. 4

5 (De cijfers die we hier geven, zijn fictief.) Onderzoek hoe de leeftijd van de biljetten op lange termijn verdeeld zal zijn (aanwijzing: gebruik het verband tussen de verdeling op lange termijn en de stabiele verdeling). 5