KATHOLIEKE HOGESCHOOL LIMBURG Departement Industriële wetenschappen en technologie Regeltechniek Oefeningenbundel REG- REG Dr ir J. Baeten 3 jaar Academische Bachelor Elektronica 3 jaar Academische Bachelor Elektromechanica Schakeljaar Elektrotechniek uitgave 7
Opgaven A. Opgaven A.. Bereken de nodige versterking K om van het gegeven systeem een oscillator te maken. Hoe groot is de oscillatiefrequentie? + - K TF TF = 3 (p + )(p + )(4p +, 5) A.. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar. Neem de bandbreedte voor het gesloten systeem gelijk aan de natuurlijke eigenpulsatie van het open systeem. Ontwerp de PI-regelaar zodanig dat de FM gelijk is aan 5. (Verifieer m.b.v. een schets van het Bode-diagram). Bespreek zeer bondig het resultaat. TF systeem = 4 (p + p + 4) A.3. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar. Neem de bandbreedte voor het gesloten systeem gelijk aan de natuurlijke eigenpulsatie van het open systeem. Ontwerp de PI-regelaar zodanig dat de FM gelijk is aan 4. (Verifieer m.b.v. een schets van het Bode-diagram). TF systeem = (p +, 8p + ) A.4. Bereken de nodige versterking K om van het gegeven systeem een oscillator te maken. Hoe groot is de oscillatiefrequentie (volgens figuur uit opgave ) TF = (p + )(5p + )(p +, 5) A.5. Bespreek de invloed van het halveren van de tweede grootste tijdsconstante op de eigenschappen van volgend systeem (bij gelijk blijvende statische versterking). TF = 3 (p + )(6p + )(4p +, 5) (regelkring uit opgave ) A.6. Welke dode tijd is nodig om volgend systeem te laten oscilleren in gesloten kring? (p +, 6p + ) A.7. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar zodanig dat de extra negatieve faseverschuiving van de PI-regelaar bij de snijfrequentie (ω db ) -3 graden bedraagt en met - -
Opgaven een FM gelijk aan 35. (Verifieer m.b.v. een schets van het Bode-diagram). (p +, 6p + ) A.8. Bespreek de eigenschappen van de volgende regelkring. Hoe kan elk van deze eigenschappen verbeterd worden? TF = 4 (p + )(5p + 5)(p +, ) A.9. Bespreek het systeem uit de volgende figuren. Is dit systeem stabiel in gesloten regelkring? Geef een aantal karakteristieke parameters. Hoe ziet de TF er ongeveer uit. Verst. Fase - -4-6 - -9-8 Bode-diagram open systeem Frequentie (rad/sec) -7 - Frequentie (rad/sec) A.. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar met extra negatieve faseverschuiving van de PI-regelaar bij de snijfrequentie (ω db ) gelijk aan -5 graden en met een FM gelijk aan 4. (p + ) A.. Bepaal de extra in te stellen versterking voor marginale stabiliteit van het gesloten systeem voor volgende open TF: 6 (p + )(p + 4p + 3) Amplitude.6 Staprespons gesloten systeem 3 4 5 Tijd (secs) A.. Bespreek het systeem uit de volgende figuren. Is dit systeem stabiel in gesloten regelkring? Geef een aantal karakteristieke parameters. Hoe ziet de TF er ongeveer uit?.4..8.6.4. Versterking [db] Bode-diagram open systeem Amplitude.8 Impulsrespons.7 -.6-4 - Fase [ ] -45-9 -35-8 -5-7 - Frequentie [rad/sec].5.4.3.. 3 4 5 Tjd (sec) - 3 -
Opgaven A.3. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar zodanig dat de extra negatieve faseverschuiving van de PI-regelaar bij de snijfrequentie (ω db ) - graden bedraagt en met een FM gelijk aan 4. (Verifieer evt. m.b.v. het Bode-diagram). 3 (p + )(p + ) A.4. Bepaal de extra in te stellen versterking voor marginale stabiliteit van het gesloten systeem voor volgende open TF: (p + )(p + p + 5) A.5. Schets het Bode-diagram van het volgende systeem. Is dit systeem stabiel in gesloten regelkring? Hoe groot is de fasemarge? 4 p + 5 4p + e p A.6. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar met nulpunt in -4 of in -. Maak uw keuze zodanig dat het gesloten systeem met regelaar steeds (voor alle mogelijke K r -waarden) stabiel is. (p + 4) + 4 Bepaal nu K r zodanig dat de complexe polen overeenstemmen met een doorshot van 4% (voor de staprespons van het gesloten systeem). Indien de berekeningen uitmonden op een 3e graadsvergelijking dient deze niet verder opgelost te worden. Geef dan enkel aan hoe we tot de oplossing komen. ζπ D = e ζ A.7. Schets het Bode-diagram van het volgende systeem. Is dit systeem stabiel in gesloten regelkring? Hoe groot is de amplitudemarge? p + 4 p + e p A.8. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar met nulpunt in -/ of in -4. Maak uw keuze zodanig dat het gesloten systeem met regelaar steeds (voor alle mogelijke Kr-waarden) stabiel is. (zie ook opgave 6) (p + ) + - 4 -
Opgaven A.9. Ontwerp een PI regelaar zodanig dat de negatieve fase van de regelaar 3 bedraagt bij de bandbreedte van het geregeld systeem, met een FM = 3 voor het volgend systeem: Systeem: (p +, 5)(p + p + ) Verifieer uw antwoord op het Bode-diagram van het systeem. A.. Maak een keuze tussen de twee gegeven regelaars bij het gegeven systeem m.b.v. het wortellijnen diagram. Hoe groot is de AM. Regelaar : 5(p +, ) Systeem : Regelaar : 5(, p + ) p 3 + p + p A.. Regel bovenstaand systeem volgens het bedragsoptimum. A.. Bepaal de eigenschappen van het volgend systeem in gesloten regelkring: Systeem : e p (5p + )(p + ) Verifieer uw antwoord op het Bode-diagram van het systeem. A.3. Bepaal een proportionele versterker zodanig dat volgend systeem een AM = 3 heeft. Hoe ziet het gesloten systeemgedrag er dan ongeveer uit? (Tip wortellijnendiagram). Systeem : p(p + p + ) A.4. Bespreek de eigenschappen van de volgende regelkring. Hoe kan elk van deze eigenschappen verbeterd worden? (Gebruik regelkring uit figuur ). TF = 4 (p + )(5p + 5)(p +, ) A.5. Bepaal een regelaar volgens het bedragsoptimum voor volgend systeem: 5 p(p + )(p + ) A.6. Bepaal een PI-regelaar voor de gegeven open TF, zodanig dat de extra negatieve fase ten gevolge van de PI-regelaar in de totale FM = 5, is. Bepaal K r en τ i. Teken het Bode-diagram. TF = (4p + )(p + p + ) - 5 -
Oplossingen A.7. Welke regelaar kies je om het systeem waarvoor het wortellijnen diagram gegeven is in volgende figuur, stabieler te maken. Verklaar uw keuze en parameterinstelling door een redenering op het wortellijnendiagram. 4 3 Imag As - 5 A.8. Bepaal de stabiliteit van het gesloten systeem met als open TF: TF = e p p(p + 4) Hoe kan men dit systeem beter stabiliseren? Redeneer op het Bodediagram. A.9. Regel het volgende systeem volgens het bedragsoptimum. TF os = 3 p(p + 3) -4-4 -3 - - 3 4 Reële As A.3. Neem het systeem uit de onderstaande figuur: - -3 + 4 4p+ p+ p + Wat is de invloed van het verkleinen van de tweede grootste tijdsconstante (bijvoorbeeld van naar 5)? Redeneer op het Bode-diagram. Motiveer uw antwoord! Hoe kunnen we de snelheid van het gesloten systeem (die bepaald wordt door ω k ) op de meest eenvoudige wijze vergroten? Hoe kunnen we de statische nauwkeurigheid oneindig maken? A.3. Voor welke extra versterking wordt het systeem (zoals gegeven in de figuur) instabiel? A.3. Regel het bovenstaand systeem volgens het symmetrisch optimum. - 6 -
Oplossingen A. Oplossingen A.. Het gesloten systeem oscilleert bij marginale stabiliteit. De gezochte versterking K is dus gelijk aan de AM. De gezochte frequentie is de frequentie waarbij het open systeem een faseverschuiving kent van -8. De snelste oplossing volgt uit het wortellijnendiagram: de gezocht ω en K horen bij de snijding van het wortellijnen diagram met de imaginaire as. Oplossing: ω osc = /6 =,8, K marg =,8. A.. De bandbreedte van het gesloten systeem is de frequentie ω waarbij het open systeem door nul db gaat. Bij deze frequentie moet er een FM van 5 zijn voor het geheel van open systeem en regelaar. Oplossingsmethode: ) bepaal ω, ) bepaal de faseverschuiving ϕ s van het systeem bij ω, 3) bepaal de integratietijdsconstante van de PI-regelaar zodanig dat de faseverschuiving ϕ PI van de PI-regelaar -(8 - FM +ϕ s ) bedraagt op ω, 4) bepaal de versterking Kr zodanig dat de versterking van systeem en PI-regelaar samen (= db) bedraagt bij ω. Oplossing: ω n = r/s, ζ =,5, ϕ s = -9, ϕ PI = -4, τ i = / tg(5 ) =,59 sec, M s (ω ) = 6 db, Kr =,384. Figuur: Versterking [db] Samengesteld Bode-diagram van (4)(.66p +.384)/(p² + p + 4)(.59p) 5 Fase [ ] -5 - AM =.5 db = 3.75 bij 3.3 r/s en FM = 5.7 bij.99 r/s -45-9 -35-8 -5 - Frequentie [rad/sec] A.3. Volledig analoog aan oefening. Oplossing: ω n = r/s, ζ =,4, ϕ s = -9, ϕ PI = -5, τ i = tg(4 ) =,84 sec, M s (ω ) = 7,95 db, M PI = /,5, K r =,57. Figuur : - 7 -
Oplossingen Fase [ ] Samengesteld Bode-diagram van ()(.59p +.57)/(p² +.8p + )(.84p) 5 Versterking [db] -5 - AM =. db = 4. bij.75 r/s en FM = 4.6 bij. r/s -45-9 -35-8 -5 - Frequentie [rad/sec] A.4. Analoog aan oefening. Oplossing: ω osc = =,89, K marg = 3,5. 5 A.5. Om de invloed te bespreken op het gesloten systeem bij wijziging van een parameter (hier halveren van de tweede grootste tijdsconstante), kunnen best het Bode-diagram tekenen vóór en na de wijziging en beide figuren vergelijken. Figuren: (Uitvergroting). Fase [ ] Versterking [db] Bode-diagram van (6)/(48p³ + 6p² + 5p + ) en (6)/(4p³ + 35p² + p + ) ) - ) -4 - -3-6 -9 - ) -5-8 ) - -4-7 - Frequentie [rad/sec] Systeem : AM = 9,8 db = 3.9 bij,56 r/s en FM = 3,6 bij,3 r/s Systeem : AM = 8,9 db =,79 bij,7 r/s en FM = 33, bij.4 r/s De stabiliteit blijft ongeveer gelijk. De statische nauwkeurigheid is identiek. Het tweede - 8 -
Oplossingen systeem is echter sneller in gesloten kring dan het eerste omdat de frequentie ω db is toegenomen. Verbetering met ongeveer 3 %!! De volgende figuur, die de staprespons van de twee gesloten systemen weergeeft, toont dit nog eens aan..4. ) Staprespons van gesloten systeem en. ) Amplitude.8.6 /7.4. 3 4 5 6 7 Tijd [sec] A.6. Het gesloten systeem oscilleert indien het open systeem een faseverschuiving van -8 bezit bij een versterking van of db. Vermits het toevoegen van een dode tijd enkel de fase verandert, moeten we eerst de frequentie ω db van het systeem bepalen, vervolgens de faseverschuiving ϕ s van het systeem op deze frequentie uitrekenen en tenslotte een dode tijd t toevoegen die de totale fase van systeem en dode tijd samen op -8 brengt. Oplossing: ω db =,66 r/s, ϕ s (ω db ) = -5 (FM zonder dode tijd is dus 3 ), t = 3 /ω db = (,5 rad /,66 r/s) =,3 sec. A.7. Opgelet opgave 7 is net iets verschillend van opgaven en 3!! De oplossing bestaat uit drie stappen: ) bepaal de frequentie ω waarbij het systeem een fase heeft van -8 +FM+3. ) Bepaal τ i zodanig dat de PI-regelaar een negatieve fase van -3 heeft bij ω. 3) Bepaal de versterking K r zodat de totale versterking van systeem en PI-regelaar net of db is op de frequentie ω. Dit wil zeggen dat ω nu ω db wordt. Opmerking: normaal moet de e stap iteratief uitgerekend worden, vertrekkend van een goede schatting voor ω uitgaande van het Bode-diagram. Bij een tweede orde systeem kunnen we de gezochte frequentie ω ook exact uitrekenen:, 6ω ϕ s = 5 = bgtg ω tg5 ω +, 6ω tg5 = ω =, 5 Oplossing: ϕ s = -5, ω =,5 r/s, ϕ PI = -3, τ i = tg(6 )/ω =,5 sec, K r =,33 =-9,6 db. - 9 -
Oplossingen A.8. Om de eigenschappen van een regelkring te bespreken moeten we AM en FM bepalen en de statische versterking en de frequentie ω db uitrekenen. Dit gebeurt best met het Bode-diagram. Figuur: Versterking [db] Fase [ ] - -4-6 -8 - AM =. db = 3.65 bij.9 r/s en FM = 5. bij.57 r/s -45 x -9-35 -8-5 Samengesteld Bode-diagram van (4)/(p + )(p + )(5p + ) -7 - Frequentie [rad/sec] Duid de kantelpunten aan op de figuur. Bespreking: AM en FM zijn positief en voldoende groot: het gesloten systeem is stabiel, zelfs iets te stabiel en daardoor trager. De statische versterking = 4, d.w.z. dat er een aanzienlijke standfout is in het gesloten systeem ε ss =,. Vermijd dit door een I-actie toe te voegen. De dynamische nauwkeurigheid en de snelheid staan in verband met ω db =,57 r/s. Indien we deze waarde kunnen vergroten zal het gesloten systeem sneller worden. A.9. Het open systeem heeft een faseverloop van -9 tot -7, d.w.z. dat het gaat om een derde orde systeem waarbij zuivere integrator. De aanwezigheid van de zuivere integratie volgt ook uit de standfout = voor het gesloten systeem. In het amplitudeverloop is geen resonantiepiek zichtbaar. Daarom moet de demping ζ >,77. (Een demping groter dan houdt in dat het gaat om twee eerste orde systeem (i.p.v. een e orde systeem). De twee mogelijk TF's zijn dan: TF = Kω n p p + ζω n p + ω n met ω n = r/s (Faseverloop is hier -8 ) TF = K p (τ p + ) (τ p + ) Opm: De zuivere integrator veroorzaakt + db versterking bij, r/s. Rekening houdend met een verzwakking van db per decade geeft dit een snijpunt met de db lijn juist bij r/s. Dit houdt in dat de versterking K =. Uit de werkelijke verzwakking bij de natuurlijke eigenfrequentie ω n = r/s, af te lezen op de figuur en ongeveer gelijk aan -6 db, kunnen we nu ζ berekenen met als resultaat ζ =. Besluit: Het systeem is een aaneenschakeling van - -
Oplossingen twee identieke e orde systemen met tijdsconstante = s en versterking K = en een zuivere integrator of: TF = p (p + ) A.. Deze opgave is analoog aan opgave 7. Zoek het de pulsatie waar het oorspronkelijk systeem een faseverschuiving heeft van 8-4 - 5 = 5 ϕ s = bgtg(ω ) = 5 of ω = tg(5/) / =,96 r/s. Bepaal de integratietijdscte van de PI-regelaar zodanig dat deze een negatieve fase van 5 heeft bij,96 r/s τ i = tg(75)/ω = 3,89 s. Bepaal de versterking K r van de regelaar zodanig dat het totaal amplitudeverloop (systeem + regelaar) de db lijn snijdt bij,96 r/s : K r = 4ω + ω τ i =,6. + (ω τ i ) Ter info geeft de volgende figuur het Bode-diagram: Versterking [db] 5 Samengesteld Bode-diagram van (.34)(3.9p + )()/(3.9p)(p + )(p + ) - 5 - - 4 5 FM = 39.6 bij.98 r/s Fase [ ] - 4 5-9 - 3 5 FM = 39.6-8 - - Frequentie [rad/sec] A.. Indien enkel de versterking voor marginale stabiliteit gevraagd wordt, lossen we dit het snelst op m.b.v. het wortellijnendiagram: + KGH = 6K = p 3 + 5p + 7p + 3 Stel p = jω en los bovenstaande vergelijking op: 6K = 5ω 3 = ω 3 + 7ω ω = 7 = 4, en K =, 77 - -
Oplossingen Imaginaire as 6 4 Wortellijnendiagram van 6 / (p³+5p²+7p+3) -+j3 Kmarg =,77 ω = 4, 6 - --j3-4 -6-6 -4-4 6 Reële as Verifieer de asymptotische richting en de hoek van vertrek van bovenstaand wortellijnendiagram. A.. Het gegeven systeem heeft een dode tijd = sec, duidelijk te zien uit de impulsrespons en het negatieve faseverloop. Er is geen differentiator of integrator want het faseverloop begint bij. De statische versterking is ongeveer 6 db of. Het amplitude verloop daalt met 4 db per decade, wat wijst op een e orde systeem maar er is geen resonantiepiek. Dus ζ >,77. Samengevat: TF = e p (e orde) (verder is het mogelijk uit het faseverloop ω n te bepalen door de negatieve fase van de nu gekende dode tijd in rekening te brengen: ω n = r/s, ζ = ) Het gesloten systeem is stabiel want AM en FM (af te lezen op de figuur) zijn positief. A.3. Analoog aan opgaven en 7. Oplossing: ϕ s = -, ω =,96 r/s, ϕ PI = -, τ i = tg(7 )/ω =,4 sec, K r = 3,54 = db. A.4. Analoog aan. Oplossing: + KGH = K = (p 3 + 3p + 7p + 5). Stel nu p = jω en los vergelijking op: K = 3ω 5 = ω 3 7ω ω = 7 =, 65 en K =, 6 Teken nu het wortellijnendiagram en verifieer de gevonden waarden (zoals in oefening ). - -
Oplossingen A.5. Herschrijf de opgave op een meer standaard wijze: 8, p + 4p + e p Teken nu het Bode-diagram. Ga (iteratief) op zoek naar de frequentie ω db en bereken vervolgens de FM. Het gesloten systeem is instabiel. Amplitude [db] - Bode-diagram AM =,76 = -,39 db -, 3 Frequentie (r/s) 6 3,43 r/s,855 r/s Fase [ ] -9-8 FM = -9,76-7, 3 Frequentie (r/s) 6 3 A.6. Stabiliteit testen voor alle mogelijke waarden van de proportionele versterking K r vraagt natuurlijk om een oplossing in het wortellijnendiagram. Teken dit tweemaal, éénmaal met extra nulpunt in - en éénmaal met extra nulpunt in -4 en natuurlijk telkens met een pool in de oorsprong t.g.v. de I-actie. 8 Wortellijnendiagram met nulpunt in -4 Wortellijnendiagram met nulpunt in - 6 5 Imaginaire as 4 Snijding geeft gezochte Kr 45 Imaginaire as 5 - -5-4 -6-8 -5 5 Reële as - -5 - - - Reële as Goede oplossing Slechte oplossing Een standaard e orde systeem heeft 4% doorschot bij een dempingscoëfficiënt ζ =,77 of wanneer de hoek van de polen zoals aangeduid op bovenstaande figuur 45 bedraagt. Zo vinden we het snijpunt p ~= -,9 + j,9. Dit geeft K r = 9,5. - 3 -
Oplossingen Let wel op: als TF voor de PI-regelaar werd eenvoudigheidshalve K r (p+4)/p genomen. De volgende figuur geeft ter info de staprespons van het gesloten systeem. We zien dat de verwachte 4% doorschot niet voorkomt omdat de (derde) reële (negatieve) pool het geheel dempt. De 4% doorschot wordt bereikt bij Kr = 4. Amplitude..8.6 Staprespons gesloten systeem bij verschillende kr waarden. kr = 4 kr = 9,5.4..5.5 Tijd [sec] Stapresponsies van het gesloten systeem voor verschillende Kr waarden..5 Kr = 5 Amplitude.5 4 Kr = Kr = Kr p + GH = (p + p + )p Kr =. 4 6 8 Tijd [sec] - 4 -
Oplossingen A.7. Oplossing: Instabiel gesloten systeem. Figuur: Bode-diagram Amplitude [db] AM = -3,6 db =,69 -,,,4,8 3 Frequentie [r/s],55 r/s,3 r/s Fase [ ] - 9 FM - 8-49,3-7,,,4,8 3 Frequentie [r/s] A.8. Oefening analoog aan 6. Geen oplossing mogelijk voor Kr om een doorschot van 4% te bekomen. De doorschot zal steeds groter zijn. De werkelijke staprespons voor verschillende Kr-waarden wordt gegeven in de volgende figuur. Voor Kr = 4 krijgen we een doorschot D = 4% in tegenstelling tot wat het wortellijnendiagram ons leert. De verwaarlozing van de reële pool geeft hier dus een redelijk grote afwijking. Imaginaire As 8 6 4 Fout Instabilitiet bij te grote K-waarden σ = Imaginaire As 6 4 Goed: nulpunt in -/ σ = 3/4 - -4-45 -6-8 -4 - -5-4 -3 - - 3 4 5 Reële As D = 4% -6 - - Reële As ζ =,77 θ = 45-5 -
Oplossingen A.9. Analoog aan opgaven 3, en 7. Oplossing: ϕ s = -, ω =,53 r/s iteratief gezocht, ϕ PI = -3, τ i = tg(6 )/ω =3,6 sec, M s (ω ) =,33, M PI (ω )=,55, K r =,65. A.. Teken het wortellijnendiagram voor de twee gevallen. Dit geeft onderstaande figuur. met regelaar met regelaar.5 Imaginaire as.5 Imaginaire as 5 Kmarg= /3 /3 -.5 - -5 -.5 - - - AM = oneindig Reële as - - -5 5 Reële as AM=/3 (instabiel) Met regelaar wordt het geheel nog vrij snel instabiel. Puur wiskundig kiezen we dan regelaar. De D-actie is hier echter zeer groot: τ d (= 5 sec) is veel groter dan de tijdsconstanten van het systeem. De regeling wordt dan onrustig en ruisgevoelig. De beste oplossing is een regelaar tussen beide in met τ d ~= sec. A.. Om het gegeven systeem te regelen volgens het bedragsoptimum moeten we volgende identificatie uitvoeren: K r p(p + p + ) σp( + σp) Dit is niet zonder meer mogelijk daar in het linker lid een e orde systeem tussen haakjes staat in de noemer en in het rechter lid een eerste orde systeem. We moeten het e orde systeem daarom benaderen. Een eerste mogelijke manier is: p + p + p + p + = (p + ), voeg nu een PD-regelaar toe met τ d = sec, dit geeft: K r (p + ) p(p + ) σp( + σp) σ = sec en K r =, 5. Een tweede mogelijk manier is: p + p + p + = (p + ), nu is geen PD-regelaar nodig. We vinden σ = sec en K r =,5. Een derde oplossing zou bestaan uit het aanpassen van de coëfficiënt bij p. Wat is nu het verschil in deze benaderingen? Verwaarlozing van de term in p² 'vervormt' het systeem op de hogere frequenties. Aanpassen van de coëfficiënt zonder p verandert o.a. de DC versterking van het systeem. De tweede oplossing is daarom beter en ligt dichter bij het gewenst resultaat. - 6 -
Oplossingen A.. Uit het Bode-diagram volgt: ) AM en FM zijn positief, het gesloten systeem is stabiel. ) De bandbreedte van het systeem =,33 r/s en 3) de statische nauwkeurigheid is slecht omdat te standfout veel te groot is ε ss = /3. Versterking [db] - Samengesteld Bode-diagram van ()exp(-p)/(5p + )(p + ) AM = 6. db =. Fase [ ] - - -45-9 -35-8 -5 AM = 6. db =. bij.65 r/s en FM = 66 bij.33 r/s FM = 66-7 - Frequentie [rad/sec] A.3. Bepaal de snijding van het wortellijnendiagram met de imaginaire as: dit levert K marg =. Daaruit volgt K = /3 om 3 over te houden. Het gesloten systeem bezit nu drie polen: complex toegevoegde in de buurt van -.5±j3 en negatieve reële pool. Het geheel is stabiel en vertoont een lichte oscillatie met een pulsatie van 3 rad/sec. 6 4 Wortellijnendiagram met GH = /(p³+p²+p) K = /3 Imaginaire as Kmarg = Hoek van vertrek = -8,4 σ = /3 - -4-6 -6-4 - 4 Reële as A.4. Oefening identiek aan 8. - 7 -
Oplossingen A.5. Regeling volgens het bedragsoptimum vereist de identificatie: REG 5 p(p + )(p + ) σp( + σp) Bij gebruik van de P-regelaar is een benadering nodig. Tel de eerste orde tijdsconstanten op en stel deze gelijk aan σ. Dit geeft: K 5 r p( p + )(p + ) K 5 r p( 3 p + ) σp( + σp) σ = 3, K r = 5 Bij gebruik van de PD-regelaar kan de identificatie exact gebeuren en geeft dit: K r (τ d p + )5 p( p + )(p + ) σp( + σp) τ d =, σ =, K r = 5 A.6. Analoog aan opgaven 9, 3, en 7. Oplossing: ϕ s = -, ω =,53 r/s iteratief gezocht, ϕ PI = -, τ i = tg(8 )/ω =,7 sec, M s (ω ) =,66, M PI (ω )=,5, K r =,48. Figuur van het geheel: Fase [ ] Versterking [db] 6 Bode-diagram van geheel 4 - -4-6 -3 - - Frequenite [rad/sec] -9-8 FM = 5-7 -3 - - Frequenite [rad/sec] A.7. Kies een PD-regelaar met nulpunt gelegen tussen en -, bv. in -. Het gesloten systeem is dan altijd stabiel. Het nulpunt mag niet voorbij - liggen want dan wordt σ positief en kan het gesloten systeem instabiel zijn. A.8. Omdat het open systeem een dode tijd bezit kunnen we enkel het Bode-diagram gebruiken om de stabiliteit van het gesloten systeem te bepalen en niet het wortellijnendiagram. 'Beter stabiliseren' is niet nodig want het systeem is meer dan stabiel. - 8 -
Oplossingen Versterking [db] 5 Bode-diagram van exp(-.5p)/(p² + 4p) AM = 9.7 db = 9.7 Fase [ ] -5 - AM = 9.7 db = 9.7 bij.3 r/s en FM = 79. bij.5 r/s -45-9 -35-8 FM = 79. -5-7 - Frequentie [rad/sec] A.9. Analoog aan opgaven en 5. Gebruik een P-regelaar: σ = /3 sec, K r =,75. A.3. Analoog aan opgave 5. Systeem met τ = sec en systeem met τ = 5 sec. Figuur: Bode-diagram van beide systemen. Versterking [db] - -4-6 -3 - - ) ) Fase [ ] -9-8 ) ) -7-3 - - Gegevens: ) AM = 4,5 db = 5.34 bij,5 rad/sec. FM = 6,4 bij, rad /sec. ) AM = 4, db = 5.6 bij,68 rad/sec. FM = 3,5 bij,8 rad /sec. Besluit: Stabiliteit en statische nauwkeurigheid blijven gelijk, snelheid neemt toe met 5%. We kunnen de snelheid verder opdrijven door een extra versterking in te stellen (ten koste van de stabiliteit). De statische nauwkeurigheid wordt oneindig door een I-actie in te voeren. A.3. Oplossing zie AM bij opgave 3. Frequentie [rad/sec] A.3. Bij regeling volgens symmetrisch optimum is volgende identificatie vereist: + τ i p K r τ i p + τ ip τ i p 4p + p +, 5p + + 4σp 8σ p ( + σp) Hierbij worden PI-regelaars gebruikt. Dit geeft: τ i = 4 sec, τ i = 4 sec, σ =,5 sec, K r = /,5. - 9 -
Opgaven Wortellijnendiagram B. Oefeningen op het wortellijnendiagram B.) Teken het wortellijnendiagram van het volgende systeem: K(p + )(p ) KGH = (p + )(p + 3) Voor welke K-waarde ligt de pool van het gesloten systeem in nul? Voor welke K-waarden krijgen we samenvallende polen? B.) Teken het wortellijnendiagram voor de 'omgekeerde slinger': KGH = K (p + )(p 4) Kan men het gesloten systeem stabiel maken met een P-regelaar? B.3) Vervolg op oefening : Plaats in de regelkring een PD-regelaar met t d = sec. K(p + ) KGH = (p + )(p 4) Kan de regelkring nu stabiel gemaakt worden door een goede keuze van K? Welk is de grenswaarde voor K? Is dit een minimum- of maximumgrens? B.4) We gaan het systeem uit oefening aanpassen door enkele polen toe te voegen. K(p + )(p ) KGH = (p + )(p + 3) (p + 5) Ga na hoe de maximaal toelaatbare kringversterking (K) verandert. B.5) Beschouw de volgende TF: KGH = K p(p + )(p + 4) Kan men dit systeem stabiel maken m.b.v. een terugkoppeling en een P-regelaar (K). B.6) Bepaal het wortellijnendiagram voor de volgende TF: K(p +, 5) KGH = (p + 4)(p + p + ) Voor welke waarde van K wordt het systeem instabiel? Hoe groot is de grenswaarde voor K indien we vooropstellen dat het gesloten systeem een maximale ts (settle time) mag hebben van 3,9 sec (voor een afwijking van ±% t.o.v. de eindwaarde)? Is dit een maximum- of minimumgrens? B.7) Schets het wortellijnen diagram voor: KG = K en p(p /6 + p/6 + ) H =, 4p + Bepaal de K-waarde voor instabiliteit. Hoe groot is het complex deel van p (= ω n ) bij deze K? Bepaal de K-waarde waarvoor de dominante wortels (dit zijn de wortels het dichts bij de imaginaire as) overeenstemmen met een e orde systeem met demping,5 (= ζ). (Hoe groot zijn de polen van het systeem bij deze laatste K-waarde?) - -
Oplossingen Wortellijnendiagram B. - Oplossing oefening wortellijnendiagram nulpunten :, - polen: -, -3 n-m =, dus geen asymptoten of polen op oneindig. Ligging van de samenvallende polen: (p + )(p + 3) K = (p )(p + ) dk dp = (p )(p + 5) (p + 5p + 6)(p) = (p ) 5p + 4p + 5 = p, =, 4 of p, =, 38 K-waarde voor p = : + GH p= = + K( )(+) ()(3) = K = 6 Het wortellijnendiagram is weergegeven in volgende figuur. Imaginaire As.5.5 -.5 GH = (p+)(p ) (p+)(p+3) Κ = 4,9 bij p = p = -,4 Κ = 6 bij p = Κ = Κ = Κ = Κ = - -.5 - -3.5-3 -.5 - -.5 - -.5.5.5 Reële As - -
Oplossingen Wortellijnendiagram B. - Oplossing oefening wortellijnendiagram nulpunten : geen polen : -, -, + n-m = 3 = aantal asymptoten of polen op oneindig. richting van de asymptoten = 8o +k36 o 3 = 6 o, 8 o, 3 o of 6 o snijpunt met de reële as = σ = + 3 =, 333 Ligging van de samenvallende polen: dk dp = 3p + p 4 = p, =, 87 (de tweede oplossing -,5 kan niet en valt dus weg!) (K is hier ±6) Het wortellijnendiagram wordt voorgesteld door volgende figuur. Het systeem is steeds instabiel! 6 5 Κ = 4 Imaginaire As 3 - Κ = GH = (p 4)(p+) σ =,33 Κ = 6 bij p = p =,87 Κ = Κ = Κ = - -3-4 -5-6 Κ = -6-5 -4-3 - - 3 4 Reële As - -
Oplossingen Wortellijnendiagram B.3 - Oplossing oefening 3 wortellijnendiagram nulpunten : -,5 polen: -, -, + n-m = = aantal asymptoten of polen op oneindig. richting van de asymptoten = 9, -9 snijpunt met de reële as = -,5 Ligging van de samenvallende polen: Bij K =,45 krijgen we p = p = -,4 Volgende figuur geeft het wortellijnendiagram! De grenswaarde voor stabiliteit is K = 4. Dit is een minimum grens. We vinden deze waarde door p = te stellen in (+ KGH =). Voor K = 4 zijn de twee andere polen = -,5 ± j,94. De demping ζ is voor deze polen gelijk aan cos(bgtg(,94/,5)) =,5 ( hoek van 75,5 ). Voor een K-waarde groter dan 4 is het systeem absoluut stabiel. Het systeem wordt echter nooit relatief stabiel omdat de demping steeds kleiner is dan,5. 8 6 Κ = 4 bij p = -,5 + j,94 Κ = GH = (p+) (p+)(p 4) Imaginaire As 4 Κ =,45 bij p = p = -,4 σ =,5 Κ = Κ = Κ = Κ = - -4-6 Κ = 4 bij p = -,5 - j,94 Κ = 4 bij p3 = -8 Κ = -4-3 - - 3 4 Reële As - 3 -
Oplossingen Wortellijnendiagram B.4 - Oplossing oefening 4 wortellijnendiagram nulpunten :, - polen: -3, -3, -, -5 n-m = = aantal asymptoten of polen op oneindig. richting van de asymptoten = 9, -9 snijpunt met de reële as = (-5-3-3-+-)/=-6,5 Wortellijnen diagram: zie volgende figuur! De grenswaarde voor stabiliteit is K = 9. (Dit is een maximum grens). We vinden deze waarde door p = te stellen in (+ KGH =). De maximaal toelaatbare kringversterking is bijgevolg sterk toegenomen (vergelijk met oefening ) door het toevoegen van extra polen in het systeem. 8 6 Κ = GH = (p+)(p ) (p+)(p+3) (p+5) Imaginaire As 4 σ = 6,5 Κ = Κ = Κ = 9 bij p = Κ = - -4-6 -8 Κ = - - -8-6 -4-4 Reële As - 4 -
Oplossingen Wortellijnendiagram B.5 - Oplossing oefening 5 wortellijnendiagram nulpunten : geen polen:, -, ±j n-m = 4 = aantal asymptoten of polen op oneindig. richting van de asymptoten = 45, -45, 35, -35 snijpunt met de reële as = (--+)/4=-,5 Hoek van vertrek uit de pool j: -63 (zie tabel) Wortellijnendiagram: zie volgende figuur! Het systeem is steeds instabiel! vanuit hoek j x -j 9-63 9 som 43 +x = 8 4 3 Κ= Κ= Imaginaire As GH = p(p+)(p +4) Κ = Κ = σ =,5 Κ = Hoek van vertrek = -63 - - Κ = Hoek van vertrek = 63-3 Κ= Κ= -4-4 -3 - - 3 4 Reële As - 5 -
Oplossingen Wortellijnendiagram B.6 - Oplossing oefening 6 wortellijnendiagram nulpunt: -,5 polen: -4, -±j n-m = = aantal asymptoten of polen op oneindig. richting van de asymptoten = 9, -9 snijpunt met de reële as = (-4--j-+j+,5)/ = -,75 Hoek van vertrek vanuit de pool +j: (6,6 -( 8,6 +9 +x)) = 8 +k36 of x = 88 Wortellijnen diagram: zie volgende figuur! Het systeem wordt nooit instabiel. Wel neemt de relatieve stabiliteit (de demping) af naarmate K groter wordt. Het reëel deel van de pool moet meer negatief zijn dan -. Dit volgt uit de voorwaarde op de 'settle time' (aangeduid met de gearceerde (verboden) band in de figuur):, e (Re deel)ts Re deel De maximum waarde voor K om hieraan te voldoen is 6. Deze vinden we door p = - in te vullen in -/GH. K = GH p= = ( 3)() (,5) = 6 Imaginaire As 5 5-5 GH = (p+,5) (p+4)(p +p+4) σ =,75 Κ = Κ = Maximum voor ts = 3,9 Hoek van vertrek = 88 Κ = Κ = Hoek van vertrek = -88 Κ = K = -6 bij p = - - -5 Κ = - -5-4 -3 - - Reële As - 6 -
Oplossingen Wortellijnendiagram B.7 - Oplossing oefening 7 wortellijnendiagram nulpunten: geen polen:, -5, -5±j n-m = 4 = aantal asymptoten of polen op oneindig. richting van de asymptoten = 45, -45, 35, -35 snijpunt met de reële as = (-5-5+j-5-j)/4 = -3,5 Hoek van vertrek uit de pool -5+j: (68,7 + 58, + 9 + x) = 8 +k36 of x = 3, Snijding met de imaginaire as: ±j,8. We vinden deze waarde door in de karakteristieke vergelijking p gelijk te stellen aan jω. K is hier 36,7. De dominante polen bij een demping van,5 worden uit de figuur afgelezen. De polen zijn hier ongeveer -6,5±j, overeenkomstig K = 9,. 8 Imaginaire As 6 4 - Κ = K = 9, bij -55 ± j8 Κ = Hoek van vertrek = 3, K = 9, bij p = -6,5 ± j, Κ = 6 65 Κ = Κ = Κ = σ = 3,5 K = 36,7 bij p = ± j,8-4 -6 Κ = GH = -8 - -8-6 -4-4 Reële As Wortellijnen diagram: zie volgende figuur! 65 p(p+5)(p +p+6) Κ = - 7 -
Opgaven Korte Oefeningen C. Korte Oefeningen Opgaven C.. Schets het wortellijnen diagram voor het volgende systeem: TF = p(p + p + ) C.. Volgende figuur geeft het Bode-diagram van het vorig systeem. Is dit voor het open systeem of voor het gesloten systeem? Welke verbanden kan je maken tussen de gegeven TF (eventueel na sluiten) en het Bode-diagram? C.3. Bij welke extra versterking wordt het gesloten systeem instabiel? Versterking [db] - -4, Frequentie [rad/sec] Faze [ ] -45-9 -35-8 -5-7, Frequentie [rad/sec] Figuur : Gegeven Bode-diagram. C.4. Volgende figuren geven een staprespons en een impulsrespons. Is dit voor het open systeem 8 + p of voor het gesloten systeem met als open TF =? p(p + 4) C.5. Welke verbanden kan je leggen tussen de TF (eventueel na sluiten) en de gegeven tijdresponsies. C.6. Bereken de fasemarge! 4 Staprespons 4.5 Impulsrespons. 35 3 4 3.5 3 Amplitude 5 5 Amplitude.5.5.5 5 5 5 Tijd [sec] Figuur : Gegeven tijdresponsies. -.5 5 5 Tijd [sec] - 8 -
Opgaven Korte Oefeningen C.7. Schets het Bode-diagram van het volgende systeem: TF = (p + )( + p)(p + ) C.8. Stemt het Nichols-diagram uit vogende figuur hiermee overeen? Hoe groot is de AM? C.9. Wat zijn de voor- en nadelen van een PD-regelaar hierop toegepast? Versterking [db] - -4-6 -8 - - -4 Nicholsdiagram -6-36 -7-8 -9 Faze [ ] Figuur : Gegeven Nichols-diagram. C.. Volgende figuur geeft het Nichols-diagram voor een bepaald open systeem. C.. Hoe ziet de TF van dit systeem er ongeveer uit? Wat voor een systeem is dit? C.. Hoe groot zijn de AM en de FM? (ongeveer) Hoe groot zijn de maximale versterking en faseverschuiving van dit systeem bij sluiting? (ongeveer) 4 Nichols-diagram d B Open lus Versterking [db] 3 -. 5 d B. 5 d B d B 3 d B 6 d B - d B - 3 d B - 6 d B - d B - - d B - 3 7 4-4 - 3 6-7 - 8-9 Open Lus Fase [ ] Figuur : Gegeven Nichols-diagram. 8 5 3 9 6 3-4 d B - 9 -
Opgaven Korte Oefeningen C.3. Volgende figuur geeft de staprespons van het geregeld systeem met een P-regelaar. Welke versterking werd ingesteld? De demping van de dominante polen is,77. (Tip werk eventueel met het wortellijnendiagram of met de standfout.) TF = p + p + C.4. Stemt het gegeven Nyquist-diagram overeen met de gegeven TF? Waarom wel of niet? Amplitude...9.8.7.6.5.4.3...5. 5. 5 Tijd [sec] 3 Figuur : Gegeven staprespons. -.5 - Imag. As -.5 - -.5-3 - -.5 - -.5.5.5 Reële As Figuur : Gegeven Nyquist-diagram. C.5. Schets het Bode-diagram van TF = p(p + p + ) C.6. Bereken de amplitude- en de fasemarge. Is het gesloten systeem stabiel? C.7. Kan volgende figuur de staprespons zijn van dit systeem (open of gesloten)? Amplitude.8.6.4..8.6.4. Stapresponsie 4 6 8 4 Figuur : Gegeven staprespons. Tijd [sec] - 3 -
Oplossingen Korte Oefeningen C.. Wortellijnendiagram van TF = Oplossingen Korte Oefeningen p(p + p + ).5 AM = Imag. As.5 -.5 - -.5 ω = - - - Reële As Figuur : Wortellijnendiagram. C.. Het Bode-diagram van het open systeem is gegeven. De integrator is duidelijk herkenbaar met oneindige versterking en fasevershuiving -9 bij frequentie nul. Het volledig samengesteld Bode-diagram wordt gegeven in volgende figuur. Samengesteld Bode-diagram van /(p² + p + )(p) Versterking [db] - -4-6 AM = 6. db =.. Frequentie [rad/sec] Fsze [ ] -45-9 -35 FM = 3. -8-5 -7. Frequentie [rad/sec] C.3. AM = 6, db =, AM = 6. db =. bij.4 r/s en FM = 3. bij.9 r/s Figuur : Samengesteld Bode-diagram. C.4. Stap en impulsrespons van het open systeem worden gegeven. De staprespons divergeert naar oneindig (instabiel), de impulsrespons blijft oscilleren (rand van de stabiliteit); dit alles t.g.v. de zuivere integrator. Ook het wortellijnendiagram geeft aan dat de gegeven responsies niet bij het gesloten - 3 -
Oplossingen Korte Oefeningen systeem kunnen horen. Het gesloten systeem is immers steeds instabiel. 5 Imag As 5-5 - -5-5 - - 5 5 5 Reële As Figuur : Wortellijnendiagram. C.5. We herschrijven de TF als: p + 8 4 p 8 4 p + Het geheel bestaat uit een e orde systeem zonder demping en met ω n = r/s en een PI-regelaar. De integratietijdcte = /8 en Kr = /4. De eindwaarde van de impulsrespons 'is'. (TF vermenigvuldigen met p en p = stellen.) De impulsrespons vertoont ±5 oscillaties na 6 sec. Hieruit volgt ω n =.96 r/s (± = r/s). De volgende figuur geeft het Bode-diagram. Versterking [db] -4, Frequentie [rad/sec] -45-9 -35-8 FM = -7.4-5 -7, Frequentie [rad/sec] Fase [ ] 4 - C.6. FM = -7,4 Bode-diagram van (p + 8)/(p³ + 4p) Figuur : Bode-diagram. AM = oneindig C.7. Volgende fiuur geeft het samengesteld Bode-diagram van TF =. (p + )( + p)(p + ) - 3 -
Oplossingen Korte Oefeningen Versterking [db] - -4 Samengesteld Bode-diagram van (5)/(p + )(p + )(p + ) AM = 5.3 db =.83 x -6, Frequentie [rad/sec] Fase [ ] -45-9 x -35-8 -5 FM =. -7, Frequentie [rad/sec] AM = 5.3 db =.83 bij.4 r/s en FM =. bij.6 r/s Figuur : Bode-diagram. C.8. Het gegeven Nichols-diagram is dit van het gesloten systeem. De statische versterking is 5/6. Dit is net kleiner dan db. De maximale faseverschuiving blijft -7. Indien we het systeem nogmaals sluiten wordt dit instabiel (negatieve AM en FM). C.9. Open vraag (zie PD) C.. De TF van het gegeven Nichols-diagram bezit een zuivere integrator, hetgeen volgt uit de -9 faseverschuiving en de oneindige versterking bij pulsatie r/s. en is van 3e orde, vermits de totale faseverschuiving -7 wordt. C.. De TF moet dus een samenstelling zijn van een zuivere integrator en een e orde systeem of TF = p Kω n p + ζω n p + ω n Hierin staan 3 onbekenden. De natuurlijke eigenpulsatie wordt bepaald door het punt waar de faseverschuiving -8 is. De demping kan niet rechtstreeks bepaald worden (geen extra resonantiepiek) en daarom ook niet de versterking die de verticale ligging bepaald. De werkelijke TF was: TF = 5 p(p + p + ) C.. AM en FM AM = -8 db =,4 bij ω n = r/s en FM = -3, bij,5 r/s. bij sluiting is de maximale versterking oneindig, het systeem is immers instabiel. de maximale faseverschuiving blijft -7. - 33 -
Oplossingen Korte Oefeningen C.3. De gegeven figuur geeft de staprespons van het gesloten systeem. De eindwaarde is,9. Hieruit volgt de totale statische versterking van het open systeem: K K + =, 9 K = 9 Vermits het open systeem reeds een versterking heeft van moet Kr = 4,5. Het wortellijnen diagram van het open systeem (p + )/(p² + ) wordt gegeven in figuur 8.6. 4 3 -, + j, Imag. As - 45 - -3 K = 4,45-4 -8-7 -6-5 -4-3 - - Figuur : Wortellijnendiagram. Bij een demping van,77 moet de hoek van de polen 45 zijn. Aflezen uit bovenstaande figuur of invullen van (-a + ja) in de vergelijking + KHG = geeft als oplossing: Polen = -, ± j, bij K = 4,45. C.4. Het gegeven Nyquistdiagram stemt niet overeen met de TF. de statische versterking is i.p.v.. de faseverschuiving van het werkelijk systeem gaat naar -9. C.5. Volgende figuur geeft het samengesteld Bode-diagram. Versterking [db] Fase [ ] - - 4 Figuur : Bode-diagram. Reële As Samengesteld Bode-diagram van ()/(p)(p² + p + ) - 6, Frequentie [rad/sec] - 4 5-9 - 3 5-8 - 5-7, Frequentie [rad/sec] AM = db = bij. r/s en FM = bij. r/s C.6. Het gesloten systeem is marginaal stabiel. Neen. De statische versterking is en zou oneindig moeten zijn. - 34 -