Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0 ). Van de volgende soorten functies zullen we een voorbeeld geven van het uitvoeren van functie-onderzoek. 14 Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie 1) Met een positief exponent in de term(en) R N I. Lijnen: constante functies = en lineaire of eerstegraadsfuncties: =+ II. Kwadratische functies III. Derdegraads functies IV. Hogeregraads functies V. Rationale of gebroken functies 2) Met een negatief exponent N VI. hyperbolische functies 3) Met een breuk als exponent; VII. Exponentiele en logaritmische functies: dit zijn de wortelfuncties Functies zoals (bijv. 2 ) horen hier ook bij, want = (omzetting) VIII. functies van de vorm (exponentiële functies) en ( logaritmische en ln-functies ( = ) ) Speciale functies: IX. Absolute functies oftewel modulus functies (functies met een knik bij =0) X. Inverse functies (gespiegeld in = ) exponentiële functies versus log functies 2 log = ln of bijv. twee lijnen =5 =20 4
Checklist voor functie-onderzoek 1. Domein van de functie - Welke waarden kan aannemen? Ook bereik bekijken (de waarden van ) 2. Nulpunten van. Snijpunten met de x-as. Hiervoor ==0 oplossen 3. Snijpunten met de y-as bepalen, d.w.z. 0 invullen in : 0,0 4. Extreme waarden zoeken (maxima en minima) Eerst stationaire punten bepalen : 0 oplossen (eerste orde afgeleide) wordt in de economie ook wel de marginale functie genoemd en geeft ongeveer aan: de verandering van als met één eenheid toeneemt, uitgaande van een bep. punt van de grafiek Het stationair punt kan een maximum (max), minimum (min) of buigpunt (bp) zijn. 1e methode is m.b.v. tekenoverzichten tekenoverzichten maken voor en bij tekenwissel in stationair punt van heeft een max of min. (Geen tekenwisseling dan een buigpunt in ) Als 0 dan is stijgend Als 0 dan is dalend intervallen bepalen Aan een tekenoverzicht kan je heel veel aflezen over de vorm van de grafiek van de functie 2 e methode bepalen max of min voor m.b.v. de tweede afgeleide van in het stat.punt. Als 0 in het stationair punt dan heeft een minimum Als 0 in het stationair punt dan heeft een maximum 5. Eventuele buigpunten bepalen 0 oplossen (2 e orde afgeleide Tekenoverzichten maken en " ) Indien tekenwisseling in bij het stationaire punt dan heeft een buigpunt. Bepalen coördinaten van het buigpunt, 6. NIEUW: convexiteit/ concaviteit - interval bepalen waar de functie convex / concaaf is. Convex stijgend : functie (y-waarde) stijgt dan steeds sneller per eenheid van x erbij 15 Concaaf stijgend : de y-waarde stijgt steeds langzamer per eenheid van x erbij Een buigpunt is een overgang van convex naar concaaf of omgekeerd. Convexiteit/concaviteit belangrijke rol in de economie (bijv. snellere/langzamere toename kosten/winst per eenheid produktie/verkoop)
7. Het gedrag van als ( limieten ). De functie kan dan een horizontale asymptoot (HA) hebben. 8. Het gedrag van vlakbij niet gedefinieerde x-waarden. De functie kan dan verticale asymptoten (VA) hebben. De pntn 7en 8 gaan over limieten en asymptoten, HA, VA en SA (horizontale, verticale en schuine asymptoten) 9. Tabelletje maken met de belangrijke gevonden punten van om te kunnen schetsen 16 = 10. Schetsen van de grafiek met aangeven van alle gevonden punten en bijzonderheden 11. NIEUW: Bereken raaklijnen in punten van en buigraaklijnen in buigpunten van Berekenen (raak)lijnen met behulp van de vergelijking =+ Opm 1: als =0 (stationair punt) dan heeft de grafiek daar een horizontale raaklijn (dus in extremen en buigpunten heeft de functie een horizontale raaklijn) Opm 2: als niet bestaat voor een waarde van, maar f zelf bestaat wel, dan heeft in die x-waarde een verticale raaklijn (een vertikale lijn is geen functie want voldoet niet aan de vertikale lijntest, zie Kaper H1) Verticale raaklijnen zoals bijv. 0 bij de functie, hebben geen r.c. want bestaat niet in dat punt. In de andere gevallen is de raaklijn aan een punt van de grafiek van : met.. Extra restricties omdat we werken met economische grootheden Bij economische functies (zoals kostenfuncties, produktiefuncties etc.) zijn de x- en y-waarden beide groter gelijk aan nul. Met andere woorden we bekijken alleen het deel van de functie dat in het eerste kwadrant ligt (dus waar x en y beiden groter of gelijk aan nul zijn) Eerst bepaal je alle gevraagde intervallen wiskundig en daarna pas ga je de economische restrictie op het interval toepassen. Het deel dat daardoor niet meer voldoet (v.n.) arceer je dan en je zet er v.n. bij. Verderop in dit diktaatje zijn hier een aantal voorbeelden van.
Uitwerking functie-onderzoek I. Lijnen: constante functies horizontale lijnen met 0 en lineaire of eerstegraadsfuncties: met 17 II. Kwadratische functies Algemeen : met, 0 (dit is een polynoom of veeltermfunctie) Als 0 dan dalparabool Heeft een minimum als extreme waarde. Als 0 dan bergparabool Heeft een maximum als extreme waarde. optioneel kwadraat afsplitsen. Handig bij bepalen extreme waarde en symmetrieas van Bepaling snijpunten met de x-as 0 0 oplossen: Ontbinden in factoren uit het hoofd 14 als mogelijk, anders m.b.v. de abc-formule : discriminant), met 4 (de Een voorbeelfunctie 23 0 : het is een dalparabool (heeft een minimum als extreme waarde) 1. Domein : 2. Nulpunten : 230 130 1 3 3,0 1,0 3. Snijppunten y-as : 0 00033 0,3
4. Extreme waarden : hiervoor tekenoverzichten maken 18 220 220 22 1 Nu links en rechts van 1 een waarde invullen in en kijken of +++ of - - - zie bijbehorend tekenoverzicht. Aflezen: gaat van dalend naar stijgend dus er is een min bij 1 11234 Het minimum is 1,4 5. 2 20 +++ invullen dus voor elke convex (bolle zijde naar onder) 6. heft geen nulpunten dus ook geen overgang van +++ naar - - - of omgekeerd; er zijn geen buigpunten 7 en 8. Geen bijzonderheden, geen asymptoten. 9. enkele punten (tabel invullen) ---- 10. schets : overal convex: eerst dalend convex dan stijgend convex dalend op interval, 1 stijgend convex 1,, nergens concaaf (bolle zijde naar boven) en overal convex (bolle zijde naar onderen) 11. Raaklijnbepaling bijvoorbeeld: bepaal de raaklijn in de extreme waarde dus in min 1,4. Raaklijn in 1,4 aan met 1 1 22 2 120 wisten we eigenlijk al, want rc raaklijn in extreme waarde 0 Punt invullen ter bepaling van de b-waarde: 1,4 40 4 *! Dit is een HORIZONTALE RAAKLIJN,omdat 0 in een extreme waarde van De raaklijnen in de andere punten van zijn niet horizontaal. III. Derdegraadsfuncties De eenvoudigste derdegraadsfunctie is 1. Domein geen bijzonderheden:, 2. Nulpunten 0 0 nulp. : (0, 0) 3. Snijp. Met y-as 0,0 4. Extreme waarden 0 3 0 0 0 Kan zijn top, dal of buigppunt bij 0 en daarvoor tekenoverzicht maken en bepalen. 5. Onderzoek naar buigpunt 2 e orde afgeleide : 3 6 0 0
Tekenoverzicht maken en tekens bepalen bij de eerste en tweede afgeleide van Tekenwisseling bij 0 in. Er is een buigpunt in namelijk in 0,0 Geen tekenwisseling in dus geen extereme waarden voor 19 6. is concaaf en stijgend op,0 want is daar - - - is convex en stijgend op 0, want is daar + + + 7. Limiet naar en geen bijzonderheden ; 8. geen asymptoten want er zijn geen verboden x-waarden (niet-gedefinieerde x-waarden) 9. enkele punten 10. Schets van 11. Vergelijking buigraaklijn in 0,0 De lijn heet buigraaklijn omdat het punt een buigpunt is.. van de raaklijn in 0 03 0 0 a-waarde invullen in vergelijking raaklijn: 0 je raakpunt invullen in vergelijking raaklijn 0,0 00 0 Gevonden: 0 0 vergelijking buigraaklijn in 0,0 is 0 0 0 (x-as) (horizontale (buig)raaklijn want 00) 2 e voorbeeld van een derdegraadsfunctie Bepaal het domein, de eventuele nulpunten, de extreme waarden en de buigpunten met buigraaklijn. Op welke interval is convex/ cocaaf/ stijgend/ dalend. 1. Domein geen bijzonderheden 2. Nulpunten 0 0 0 0 0 0 0 3 1 Twee nulpunten 0,0 en 1, Controle : 0000 en 1 0 beide kloppen 3. Snijpunt met y-as 0 0000 0,0 Extreme waarden en buigpunten mbv de eerste en tweede afgeleiden en tekenoverzichten
4. 0 3 2 0 0 0 10 0 1 20 0000 en 1 1 1 Stationaire punten bij 0 en 1 ; nu nog bepalen van de aard van de punten: van +++ naar --- daarom f(x) gaat van stijgend naar dalend en heeft een max voor 0. 00 Het maximum is 0,0 of andere methode: 010 dus max voor 0 van ---naar +++ dus f van dalend naar stijgend. heeft een min voor 1 en 1 Of met 12 1110 dus min voor. Het min is 1, Dit stationair punt is een extreem punt en wel een minimum. De minimum waarde is 5. Bepalen buigpunt(en): 210 21 Conclusie na invullen punten in tekenoverzicht: tekenwisseling bij heeft en daarom heeft een buigpunt voor Bepalen y-waarde: BP :, (Merk op: in dit buigpunt is 0 ) 6. is concaaf op interval, en convex op interval, 7 en 8. Geen bijzonderheden en dus geen asymptoten. **opmerking buigpunt : Dit buigpunt, is geen stationair punt want 0 voor Daarom zal de buigraaklijn ook NIET horizontaal zijn 11. Buigraaklijn (raaklijn in het buigpunt),, invullen in is de vergelijking van de buigraaklijn Buigraaklijn: enkele punten om te tekenen: 0, 4,1 4, 1, Opm. Derdegraadsfuncties zijn veelgebruikte economische functies (zie blz... en de tentamensommen)
IV. Een hogere graads functie (vierde graads polynoom- of veeltermfunctie) 21 1. Domein (alle waarden van x zijn toegestaan) 2. Nulpunten : 0 0 0 0 0 4 1 3. Snijpunten met de y-as 0 0,0 4. Extreme waarden (stationaire punten) m.b.v. 0 Er zijn twee nulpunten: 0,0, 4 3 0 0 10 0 1 m.b.v. tekenoverzichten uitzoeken of min ; max (of buigpunt) is. 5. Eventueel buigpunt m.b.v. 3 20 320 0 32 0 Tekenoverzichten maken en punten invullen om +++ en - - - in te kunnen vullen. Conclusie tekenoverzicht heeft 2 buigpunten (twee tekenwisselingen bij ) en 1 minimum (1 tekenwiss. bij ) Het is een minimum omdat f gaat van dalend naar stijgend bij 1 Bp : 0 ; 00 bp 0,0 Bp. ; Min 1 ; 1 1, 6. is convex op het interval,0, ( betekent verenigd met) is concaaf op het interval 0,, Nulpunten :0,0, 0 7en 8. Geen bijzonderheden (geen asymptoten) Stationaire punten voor 0 en 1 (zie 0). De 2 e methode ter bepaling extreme waarden : _0 0 voor minimum en _0 0 voor maximum Voor 1 13 210 daarom minimum voor Voor 0 0000 geen extreem punt voor, maar BP (bij nader onderzoek) 11. Buigraaklijnen 1 e in 0,0 00 Punt invullen: 00 0 1 e buigraaklijn: 0 (x-as) horizontale buigraaklijn
2 e in, Punt invullen: 22 2 e buigraaklijn is (niet horizontaal) V. rationale of gebroken functies 1. Domein: 10 1 Noemer mag geen 0 worden: Domein is 1 (alles behalve 1) 2. Snijp. x-as : teller is 0 10 er is geen geen nulpunt 0 3. Snijp. y-as : 0 1 0,1 4. Extremen 0 quotientregel toepassen 1 212 1 1 1 2 0 0 0 als teller = 0 220 abc-formule geeft 2,8 0,8 In het tekenoverzicht lezen we af: maximum bij 0,8 en minimum bij 2,8 5. en 6.) Nu de tweede afgeleide van 1 22 22 21 1 1 2122 2222 1 (de eerste of de tweede afhankelijk van hoe je de noemer hebt genoteerd; beide goed) Alleen teller =0 bepaalt of je breuk 0 wordt Teller=0 oplossen 22 21 220 22 30 660 (of teller eerst helemaal uitschrijven is ook goed) 0 als teller =0 : 660 1 maar v.n. (=voldoet niet) want noemer mag niet 0 zijn en voor 1 is noemer wel nul. Tekenoverzichten:
7) Berekenen van de asymptoten (HA, VA en SA) lim lim lim 1 1 geen H.A lim 1 1 23 (delen door hoogste graad i/d noemer) lim lim VA : Voor de SA (schuine asymptoot) gaan we een deling maken 1 2 3 1 1 Stel : met 2 lim lim 2 want is de schuine asymptoot 9. Enkele punten voor de functie noteren wordt nul Oefensom : som 3 van de Erasmus toets 10. Schets de functie Voorbeeld van een lijn met gat Domein : 1 (x mag geen -1 zijn, want dan is noemer nul) Nulp. : 230 310 3 1 nulpunt 3,0 Snijp. met y-as : 3 wordt 0,3 1 rc.= 1 voor elke x d.w.z. zelf is een lijn lim lim lim 3134 Idem lim 4 daarom is 1,4 een gat i/d grafiek want de limiet bestaat wel, terwijl niet voldoet. lim wordt lim 3 idem lim wordt Grafiek van is grafiek van met een gat bij (lijn met gaatje) Als je de noemer kan wegdelen, zal de grafiek een gat hebben Opm: ook bij verboden x-waarden in het tekenoverzicht links en rechts hiervan het teken bepalen.
VI. Hyperbolische functies functies met een negatief exponent Een bijzonder gebroken functie is de hyperbolische functie (veel in de economie gebruikt) Bijvoorbeeld: = = 24 Domein is 0 (alles behalve 0, want de noemer mag geen nul worden) heeft geen nulpunten want de teller kan nooit nul worden 1 heeft ook geen nulpunten want de teller kan ook nooit nul worden is altijd negatief (zie tekenoverzicht) dus is altijd dalend en heeft geen extremen 2 2 heeft geen nulpunten,mmaar wel tekenwisseling! Dat zie je als je punten invult bij de tekenoverzichten Horizontale asymptoot voor 0 (het getal in de noemer dat niet voldoet) want lim 0 lim 0 Vertikale asymptoot voor 0 want lim lim Niet vergeten: Bij de tekenoverzichsten de waardes checken links en rechts van elk nulpunt en ook links en rechts van elke verboden x-waarden Oefensommen : 1. Onderzoek en schets de functie 2 3. Bepaal ook de buigraaklijn. 2. 6 3100 (tent. 3 mrt.2012) Bepaal de volgende intervallen : a. stijgend en dalend b. convex en concaaf c. Marginale functie stijgend en dalend d. De aard van de stationaire punten e. De aard m.b.v. (tweede methode)
VII. = Machtsfunctie met een gebroken exponenten (een breuk als exponent) - dit zijn de wortelfuncties = 25 1. Domein is R; alle waarden voor zijn toegestaan 2. Bepalen nulpunt 3. Snijp. Met de y-as 00 0,0 Extremen/ buigpunten 4. 0 0 en 0 =0 0. Nulpunt is 0, 00,0 0 0 0 heeft geen oplossingen De noemer mag geen 0 worden en teller kan geen 0 worden dus heeft geen nulpunten en daarom heeft geen extremen 5. 0 onderzoek naar buigpunten 2 1 3 2 3 3 1 3 12 3 heeft geen nulpunten en 0 0 levert geen antwoord op, want de teller kan geen nul worden. Tekenoverzichten: is altijd positief, daarom is overal stijgend (en 0 bestaat niet) heeft geen nulpunten, maar wel een tekenwisseling bij 0 (verboden punt) Conclusie : er is een buigpunt in 0,0 voor en is een stijgende functie 6. Interval convex is,0 7 en 8. Interval concaaf is 0, Er is geen verticale asymptoot, want er zijn geen verboden x-waarden Er is geen horizontale asymptoot want als naar of naar - gaat wordt f(x) ook of - 9. Enkele punten in een tabelletje zetten 10. Schets de functie Merk op: alhoewel niet is gedefinieerd in 0 heeft wel een buigpunt in 0 11. buigraaklijn in 0,0 berekenen: 0 (bestaat niet). Dit antwoord betekent dat er een verticale raaklijn Vergelijking buigraaklijn : 0 ( de y-as) is in 0,0.
VIII VIII 26
27
28
29 16 Oefen de opgaven 2A van de oude tentamens
Enkele uitgewerkte tentamensommen om te oefenen: 30
31
32