Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Functies van één veranderlijke Als je alleen deelneemt aan dit vak en niet aan de andere onderdelen van deze module, dan bij mij afmelden voor de andere vakken. Onderwijs Hoorcollege Zelfstudie / Computer ondersteund onderwijs Werkcollege Practicum 2/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Functies van één veranderlijke Tentamen 4 deeltoetsen 1 herkansing geen formuleblad geen rekenmachine 3/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Kwalitatieve modellen Kwantitatieve modellen 4/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Heart simulations 5/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Human vertebrae, studying osteoporosis 6/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
100 ECG signal (100 Hz) 80 60 40 20 0-20 -40-60 -80 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 7/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
50 ECG signal (100 Hz) 40 30 20 10 0-10 -20-30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Getallenverzamelingen N D f1; 2; 3; : : :g natuurlijke getallen Z D f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g gehele getallen Q D f t n j t 2 Z; n 2 N g R C rationale getallen reële getallen complexe getallen 9/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Verzamelingen f2; 4; 6; 8g D f2; 6; 4; 8g maar.2; 4; 6; 8/.2; 6; 4; 8/ 10/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Doorsnede en vereniging f2; 4; 6; 8g \ f1; 3; 6; 9g D f6g f2; 4; 6; 8g [ f1; 3; 6; 9g D f1; 2; 3; 4; 6; 8; 9g 11/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Deelverzameling en element We hebben: f2; 4; 6g f1; 2; 3; 4; 5; 6g en Let op: f1; 2; 3; 4; 5; 6g f2; 4; 6g f3g f3; 6; 9g en 3 2 f3; 6; 9g 12/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
x 2 Œ0; 4, x > 0 en x 6 4 x 2.0; 4, x > 0 en x 6 4 x 2.0; 4/, x > 0 en x < 4 13/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Ongelijkheden a < b ) a C c < b C c a < b en c > 0 ) ac < bc a < b ) a > b a < b en a > 0 ) a 2 < b 2 14/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
xy < zy 6) x < z x 2 < y 2 6) x < y 15/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Los op: p 3x 8 < x 2 16/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Los op: p 3x 8 < x 2 We krijgen als x > 8 3 : 3x 8 <.x 2/ 2 en x 2 7x C 12 > 0.x 4/.x 3/ > 0.x > 4 en x > 3/ of.x < 3 en x < 4/ x > 4 of x < 3 Dus: x > 4 of x 2 8 3 ; 3 17/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Los op: x.x C 3/ > x.2x 1/ 18/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
x.x C 3/ > x.2x 1/ Als x > 0: x C 3 > 2x 1 x < 4 Als x < 0: x C 3 < 2x 1 x > 4 Dus: x 2.0; 4/ 19/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Los op: x 2 x 1 > 3 20/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Als x > 1: x 2 x 1 > 3 x 2 > 3x 3 2x < 1 Als x < 1: x 2 < 3x 3 2x > 1 Conclusie: x 2. 1 2 ; 1/ 21/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Los op: j2x 1j > 3 22/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
j2x 1j > 3 Als 2x > 1: 2x 1 > 3 x > 2 Als 2x < 1: 2x C 1 > 3 2x < 2 Conclusie: x > 2 of x < 1 23/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We analyseren in dit vak functies f.x/ D y; x 2 A A wordt het domein van de functie genoemd. Het bereik van de functie wordt gedefinieerd door: B D fy 2 R j9x 2 A zodanig dat f.x/ D y g 24/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeelden f.x/ D p x 2 5x C 6 8 < 1 x x 6 1 f.x/ D : x 2 x > 1 25/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Even functie: f.x/ D f. x/ f.x/ D cos.x/ Oneven functie: f.x/ D f. x/ f.x/ D sin.x/ 26/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Stijgende functie: f.x 1 / > f.x 2 / als x 1 > x 2. f.x/ D 3x C 1 Dalende functie: f.x 1 / < f.x 2 / als x 1 > x 2. f.x/ D 1 x ; x > 0 27/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Samengestelde functie f; g functies, a een constante.f Cg/.x/ D f.x/cg.x/;.af /.x/ D af.x/; f g.x/ D f.x/ g.x/ Voorbeeld tan.x/ D sin.x/ cos.x/ 28/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Samengestelde functie.f ı g/.x/ D f.g.x// Voorbeeld f.x/ D x C 2 ; g.x/ D 2x C 1 2x C 1 29/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We hebben: met y D g.x/ D 2x C 1. Dus:.f ı g/.x/ f.y/ D y C 2 2y C 1.f ı g/.x/ D.2x C 1/ C 2 2.2x C 1/ C 1.f ı g/.x/ D 2x C 3 4x C 3 30/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Exponentiële functie f.x/ D a x x > 0 geheeltallig: a x D a a a x > 0 rationaal: a x D a p=q D qp a p x < 0 rationaal: a x D 1 a x Hoe doen we dit voor x irrationaal? Speciaal geval: a D e. 31/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Machten 1 2 3 D 2 3 2 5 2 3 D 25 3 D 2 2 3p 5 D 5 1=3 3 2 3 3 D 3 2C3 D 3 5 32/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Logaritme f.x/ D log x; g.x/ D ln x Voor x > 0 hebben we: 10 log x D x e ln x D x log.10 x / D x log.xy/ D log x C log y log.x a / D a log x ln.e x / D x ln.xy/ D ln x C ln y ln.x a / D a ln x 33/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Rekenvaardigheden Effecten van: Grafische rekenmachine Formuleblad Weinig oefenen 34/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Functies van één veranderlijke (191512600) Zelfstudie 3 september 35/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Bereken zonder gebruik te maken van een rekenmachine maar met behulp van pen en papier: 1. 23 43 2. 48 73 3. 124 256 4. 5. 6. 24 6 182 13 3192 42 36/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Schrijf, zonder rekenmachine, als een enkele breuk en vereenvoudig zoveel mogelijk: 7. 8. 9. 10. 11. 12. 1 2 C 1 3 1 3 C 1 4 3 6 C 2 5 3 6 C 2 5 4 7 C 1 3 3 6 C 1 3 37/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 1 2 C 1 3 3 1 7 6 2 2 4 5 1 1 6 8 1 2 4 5 2 3 7 5 1 7 3 5 3 4 2 6 38/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 2 5 11 6 1=2 1=4 1=3 1=7 3=11 3=7 2=5 5=2 3 1=4 5=2 1=4 39/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
28. 6=2 3=4 40/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI