Bouwstenen van signalen Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl Zonder wiskunde geen snelle communicatie 1/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We sturen steeds meer informatie over een kabel: 1990 30Kb/s 2015 500.000Kb/s Een film in DVD kwaliteit oversturen 1990 15 dagen 2015 2 minuten 2/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Shannon Shannon introduceerde in 1945 het concept van capaciteit. De maximale snelheid is gerelateerd aan signaalsterkte versus ruis. Nodig: Codes Digitaal Zonder wiskunde geen snelle communicatie 3/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Frequentie en ruis Signaalsterkte versus ruis verhouding wordt beïnvloed door de frequentie. Wat is beter: Hoge frequentie? Lage frequentie? 4/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Simultaan gebruik Telefonie en internet over één kabel Uitzenden en ontvangen over één kabel Tientallen telefoons in één kamer Meerdere radiozenders Dit vereist codering en een goed protocol. Zonder wiskunde geen snelle communicatie 5/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Een cruciale stap in de achterliggende wiskunde is een signaal te beschrijven als som van bekende bouwstenen: f.x/ a 1 g 1.x/ C a 2 g 2.x/ C C a k g k.x/ met g 1 ; g 2 ; : : : bekende functies. De functie wordt beschreven door de getallen a 1 ; : : : ; a k. 6/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Een trilling: A sin.!x C '/ A Amplitude! Frequentie ' Fase 7/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Fourierreeks Kies de bouwstenen: g 1.x/ D cos.x/; g 2.x/ D sin.x/; g 3.x/ D cos.2x/; g 4.x/ D sin.2x/; g 5.x/ D cos.3x/; g 6.x/ D sin.3x/; : : : 8/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Twee signalen simultaan versturen. Getallen a 1 ; : : : ; a 1000 beschrijven functie f 1.x/ Getallen a 1001 ; : : : ; a 2000 beschrijven functie f 2.x/ We versturen: a 1 g 1.x/ C a 2 g 2.x/ C C a 1000 g 1000.x/ C a 1001 g 1001.x/ C a 1002 g 1002.x/ C C a 2000 g 2000.x/ met g k allemaal sinussen en cosinussen van verschillende frequenties. 9/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Stel ik ontvang een signaal: 3 sin.t/ C 2 cos.t/ C 2 sin.2t/ 3 cos.2t/ C 5 sin.3t/ cos.3t/ Hoe bepaal ik nu de getalletjes: 3; 2; 2; 3; 5; 1 10/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
10 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8-10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 11/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Een tijdreeks bevat de water hoogte in de Westerschelde over de laatste 30 jaar. De waterhoogte wordt elk uur gemeten en we hebben dus 8760 metingen per jaar en we hebben 271:752 data punten. De eerste stap is om de data te tekenen: 12/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
500 Waterlevel near Bath 400 300 200 Waterlevel in cm 100 0 100 200 300 01 Jan 1971 02 Jul 1986 31 Dec 2001 13/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
500 Waterlevel near Bath 400 300 200 Waterlevel in cm 100 0 100 200 300 24 May 2001 26 May 2001 29 May 2001 14/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
500 Waterlevel near Bath 400 300 200 Waterlevel in cm 100 0 100 200 300 09 Apr 2001 04 May 2001 29 May 2001 15/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Fourier transformatie We transformeren onze tijdreeks via de fft en als we het resultaat tekenen dan krijgen we: 16/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
12 x 105 Fourier transform of the waterlevel near Bath 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 Frequency in 1/day 17/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
x 10 5 Fourier transform of the waterlevel near Bath 10 8 6 4 2 0 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Frequency in 1/day 18/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Deze berekening kost op mijn computer: 0:006644 seconde 19/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We zoeken a en b zodanig dat: f.t/ a sin.!t/ b cos.!t/ zo klein mogelijk is met:! D 2 1:932 20/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
300 Waterlevel near Bath 250 200 150 Waterlevel in cm 100 50 0 50 100 150 200 01 Jan 1971 04 Jan 1971 07 Jan 1971 21/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We zoeken a en b zodanig dat: f.t/ a sin.!t/ b cos.!t/ zo klein mogelijk is met:! D 2 1:9323 22/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
300 Waterlevel near Bath 250 200 150 Waterlevel in cm 100 50 0 50 100 150 200 01 Jan 1971 04 Jan 1971 07 Jan 1971 23/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We zoeken a en b zodanig dat: f.t/ a sin.!t/ b cos.!t/ zo klein mogelijk is met:! D 2 1:932277 24/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
300 Waterlevel near Bath 250 200 150 Waterlevel in cm 100 50 0 50 100 150 200 01 Jan 1971 04 Jan 1971 07 Jan 1971 25/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Maar sinussen zijn zeker niet de enige bouwstenen die we gebruiken. Andere veel verschillende bouwstenen zijn: (i) Wavelets (ii) Polynomen maar ook probleemgerelateerde bouwstenen. 26/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
27/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI