Inleiding tot groepentheorie

Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking (of samenstelling) op een verzameling A is een functie : A A! A :(a, b) 7! ((a, b)). We schrijven ook a b = ((a, b)). Merk op dat binnen de wiskunde niet alleen inwendige bewerkingen interessant zijn. Denk bijvoorbeeld aan de scalaire vermenigvuldiging R V! V in een vectorruimte V over de reële getallen. Definitie Een groep G, is een verzameling G die voorzien is van een inwendige bewerking : G G! G, waarbij voldaan is aan de volgende drie voorwaarden. (1) De bewerking is associatief: () G, heeft een neutraal element e: 8x, y, z G :(x y) z = x (y z). 9e G : 8x G : x e = e x = x. (3) Elk element x van G heeft een invers element: 8x G : 9y G : x y = y x = e. 19

Als een bewerking associatief is, heeft de plaats waar de haakjes staan geen belang. Een uitdrukking van de vorm x y z heeft dus een ondubbelzinnige betekenis. Definitie Een groep G, is commutatief (of abels) indien 8x, y G : x y = y x. Indien we te maken hebben met een commutatieve groep, noteren we vaak de bewerking door middel van een + i.p.v. een. We houden hierbij de groepen Z, +, Q, +, R, +,... (zie volgend onderdeel) in gedachten. We zeggen dan dat de groep additief genoteerd wordt in plaats van multiplicatief bij de -notatie. Stelling.1.1: In een groep G, is er precies één neutraal element. Bewijs. Stel dat e en e 0 beide neutrale elementen in de groep G, zijn. Dan geldt dat e = e e 0 (want e 0 is een neutraal element) = e 0 (want e is een neutraal element) Deze eigenschap laat ons dus toe om te spreken van het neutraal element van een groep G,. We zullen meestal e of e G gebruiken om het neutraal element van een groep G, aan te duiden. Bij het gebruik van de additieve notatie bij een commutatieve groep G, +noteertmenditneutraalelementvaakals0. Stelling.1.: In een groep G, heeft elk element x precies één invers element, m.a.w. 8x G : 9!y G : x y = y x = e. Bewijs. Stel dat y en y 0 beide inversen zijn van x, dusx y = y x = e = x y 0 = y 0 x. Dan geldt er dat y = y e = y (x y 0 )=(y x) y 0 = e y 0 = y 0. We kunnen dus spreken van het invers element van een gegeven element x G. We noteren dit element als x 1 in de multiplicatieve notatie of als x in de additieve notatie. 0

Stelling.1.3: Zij G, een groep, dan geldt 8x, y G dat (x y) 1 = y 1 x 1 en (x 1 ) 1 = x. Bewijs. Omdat en (x y) (y 1 x 1 )=x (y y 1 ) x 1 = x e x 1 = x x 1 = e (y 1 x 1 ) (x y) =y 1 (x 1 x) y = y 1 e y = y 1 y = e volgt uit Stelling.1. dat (x y) 1 = y 1 x 1.Dat(x 1 ) 1 = x volgt ook uit Stelling.1., want x en (x 1 ) 1 zijn beiden inversen van x 1. Door de voorgaande eigenschappen zijn de volgende notaties in een groep G, geoorloofd: x 0 = e, 8n N 0 : x n = x x {z x} en x n =(x n ) 1 =(x 1 ) n n keer x of in additieve notatie voor een abelse groep G, +: 0x =0, 8n N 0 : nx = x + x + + x {z } n keer x en ( n)x = (nx) =n( x) In de additieve situatie gebruiken we ook x y om x +( y) aanteduiden. Oefening: Toon aan dat x n x m = x n+m en (x n ) m = x nm voor alle elementen x in een groep G, en alle n, m Z. Enkele bekende groepen Hieronder volgen enkele voorbeelden van groepen, die we nog vaak zullen tegenkomen in deze cursus. Z, +, Q, +, R, +enc, +zijncommutatievegroepenmetneutraalelement0. R 0,, C 0, en R + 0, zijn commutatieve groepen met neutraal element 1. S 1, = {z C z =1}, is een commutatieve groep voor de vermenigvuldiging van de complexe getallen. R, + is een commutatieve groep. Herinner u dat R = {(a, b) a, b R} en dat de bewerking + componentsgewijs gedefinieerd is: +:R R! R :((a, b), (c, d)) 7! (a, b)+(c, d) =(a + c, b + d). Op analoge wijze kunnen we de groepen R n, +enc n, +invoeren. 1

De matrices met n rijen en m kolommen over de reële getallen vormen een commutatieve groep R n m, +voordeoptelling. Zij GL n (R) deverzamelingvanalleinverteerbarevierkanten n-matrices over de reële getallen. Dan is GL n (R), een groep die niet commutatief is voor n>1. De afkorting GL komt van General Linear Group. Met R[x] noteren we de verzameling van alle veeltermen in de veranderlijke x met coë ciënten in R, dus R[x] ={a 0 + a 1 x + a x + + a n x n n N en 8i {0, 1,...,n} : a i R}. Voor de natuurlijke optelling + is R[x], +eencommutatievegroep. De viergroep van Klein V, met V = {e, a, b, c} is gedefinieerd door de volgende samenstellingstabel of Cayleytabel:. e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e die je als volgt moet lezen: b a a b Zij n N 0 en beschouw de verzameling Z n = {[0] n, [1] n,...,[n uit n elementen. De bewerking + op Z n gedefinieerd door [x] n +[y] n =[(x + y) mod n] n 1] n } bestaande maakt van Z n een commutatieve groep. Als het duidelijk is in welke groep Z n, + gewerkt wordt, worden de elementen vaak als x of zelfs als x genoteerd in plaats van [x] n. Als voorbeeld geven we hier de Cayleytabel voor de groep Z 7, +(waarbijwe gebruik maken van de vereenvoudigde notatie van de elementen): + 0 1 3 4 5 6 0 0 1 3 4 5 6 1 1 3 4 5 6 0 3 4 5 6 0 1 3 3 4 5 6 0 1 4 4 5 6 0 1 3 5 5 6 0 1 3 4 6 6 0 1 3 4 5, met o.a. 4 + = 6. In Z n is het vaak handig om de notatie [x] n ook toe te laten voor gehele getallen x die niet tot {0,...,n 1} behoren. In dit geval wordt [x] n geïdentificeerd met [x mod n] n Z n. Bijvoorbeeld, in Z 7, +is[ 10] 7 =[4] 7 =[11] 7. Onder deze identificatie zouden we de optelling + op Z n ook kunnen definiëren door [x] n +[y] n =[x + y] n.

Zij X een willekeurige verzameling. Neem de verzameling SX = {f : X! X f is een bijectie } van alle permutaties van X (ter herinnering: een permutatie is een bijectie van een verzameling naar zichzelf). Indien de samenstelling van afbeeldingen voorstelt, dan kan men nagaan dat SX, een groep vormt. Neem als voorbeeld X = {1,, 3}, dan heeft SX zes elementen die we voorstellen in de onderstaande figuren: 1 1 X 1 t(3) 1 t(13) 3 3 3 1 t(1) 1 c 1 1 c 3 3 3 De Cayleytabel van deze groep wordt: 1 X c 1 c t(1) t(13) t(3) 1 X 1 X c 1 c t(1) t(13) t(3) c 1 c 1 c 1 X t(13) t(3) t(1) c c 1 X c 1 t(3) t(1) t(13) t(1) t(1) t(3) t(13) 1 X c c 1 t(13) t(13) t(1) t(3) c 1 1 X c t(3) t(3) t(13) t(1) c c 1 1 X In de bovenstaande tabel hebben we twee elementen aangeduid, daardoor zien we dat t(13) = c 1 t(1) en t(3) = t(1) c 1. Dit toont aan dat de groep S{1,, 3}, verkort als S 3, genoteerd. niet commutatief is. Deze groep wordt In het algemeen noteren we met S n, de groep SX,,waarbijX = {1,,...,n} (Hoeveel elementen heeft S n?). Deze groep wordt de symmetrische groep van graad n genoemd. 3

Beschouw een regelmatige zeshoek in het vlak. Met D 6 duiden we alle starre bewegingen van het vlak aan die deze 6-hoek op zichzelf afbeelden. De verzameling D 6 bevat 6 rotaties: 1=rotatierondo over een hoek van 0 graden in wijzerzin. a =rotatierondo over een hoek van 60 graden in wijzerzin. a =rotatierondo over een hoek van 10 graden in wijzerzin. a 3 =rotatierondo over een hoek van 180 graden in wijzerzin. a 4 =rotatierondo over een hoek van 40 graden in wijzerzin. a 5 =rotatierondo over een hoek van 300 graden in wijzerzin. o a In D 6 zitten echter niet alleen rotaties, maar ook spiegelingen om rechten. Bekijk bijvoorbeeld de spiegeling b om de rechte B: B b 4

We kunnen nu ook a b berekenen: 1 1 b a 3 6 33 6 4 1 5 4 4 5 a b 5 6 Dat levert de spiegeling om de rechte G op (zie figuur hieronder). Analoog vinden we dat: C B a a 3 a 4 a 5 b =spiegelingdoorf b =spiegelingdoore b =spiegelingdoord b =spiegelingdoorc D E F G Men kan intuïtief inzien dat de 6 rotaties en de 6 spiegelingen de enige elementen zijn in D 6. De Cayleytabel van D 6 ziet er als volgt uit (we verkorten a m b tot a m b): 1 a a a 3 a 4 a 5 b ab a b a 3 b a 4 b a 5 b 1 1 a a a 3 a 4 a 5 b ab a b a 3 b a 4 b a 5 b a a a a 3 a 4 a 5 1 ab a b a 3 b a 4 b a 5 b b a a a 3 a 4 a 5 1 a a b a 3 b a 4 b a 5 b b ab a 3 a 3 a 4 a 5 1 a a a 3 b a 4 b a 5 b b ab a b a 4 a 4 a 5 1 a a a 3 a 4 b a 5 b b ab a b a 3 b a 5 a 5 1 a a a 3 a 4 a 5 b b ab a b a 3 b a 4 b b b a 5 b a 4 b a 3 b a b ab 1 a 5 a 4 a 3 a a ab ab b a 5 b a 4 b a 3 b a b a 1 a 5 a 4 a 3 a a b a b ab b a 5 b a 4 b a 3 b a a 1 a 5 a 4 a 3 a 3 b a 3 b a b ab b a 5 b a 4 b a 3 a a 1 a 5 a 4 a 4 b a 4 b a 3 b a b ab b a 5 b a 4 a 3 a a 1 a 5 a 5 b a 5 b a 4 b a 3 b a b ab b a 5 a 4 a 3 a a 1 Deze tabel maakt duidelijk dat ook de groep D 6 een niet commutatieve groep is (waaruit blijkt dit?). 5

In het algemeen kan men analoog een groep D n invoeren voor elke n 3. Deze groep wordt de Diëdergroep van graad n genoemd en bestaat uit n rotaties 1, a,..., a n 1 en n spiegelingen b, ab,..., a n 1 b. De bewerking op D n is volledig bepaald door de volgende drie regels: a n =1, b =1enba = a 1 b. Bepaal zelf de Cayleytabel voor D 3,. Het is mogelijk om op basis van gekende groepen, nieuwe groepen te construeren. Eén van deze technieken is het direct product van twee (of meer) groepen te nemen. Definitie Het direct product van twee groepen G, en H, 3 bestaat uit de verzameling G H = {(x, y) x G, y H} voorzien van de bewerking : (G H) (G H)! (G H) : ((x 1,y 1 ), (x,y )) 7! (x 1,y 1 )(x,y )=(x 1 x,y 1 3y ). Oefening: Toon aan dat G H, inderdaad een groep is! Opmerking: Indien we voor H, 3 dezelfde groep nemen als G,, noteren we het direct product G H, als G,. In G, hebben we dus dat (g 1,g ) (g 3,g 4 )=(g 1 g 3,g g 4 ). Meer algemeen kunnen we op die manier ook G n, voor alle n N 0 invoeren. Voorbeeld: In Z 3 4, +geldtdat ([1] 4, [3] 4, [] 4 )+([1] 4, [] 4, [] 4 )=([1] 4 +[1] 4, [3] 4 +[] 4, [] 4 +[] 4 )=([] 4, [1] 4, [0] 4 ). 6

Werktekst: Cayleytabel van eindige groepen (Latijnse vierkanten) Een Latijns vierkant van orde n is een vierkante tabel met n rijen en n kolommen, gevuld met symbolen die elk precies één keer per rij en ook één keer per kolom voorkomen. De naam Latijns vierkant komt van Leonard Euler, die Latijnse symbolen gebruikte in zijn vierkanten. Een typisch voorbeeld is een sudoku, hier komen de cijfers van 1 tot 9 in elke rij en kolom juist eenmaal voor. Het zal je al opgevallen zijn dat ook de Cayleytabellen van eindige groepen in de cursustekst Latijnse vierkanten zijn. Een evidente vraag is dan na te gaan of dit toeval is of niet. Zou het kunnen dat elke verzameling G met een samenstellingswet, waarvan de Cayleytabel een Latijns vierkant is, automatisch een groep is? Het antwoord wordt deels gegeven door volgende oefening waar de Cayleytabel een Latijns vierkant is: Ga na dat G = {e, a, b, c, d, f}, met volgende Cayleytabel geen groep is omdat de bewerking niet associatief is. Hint: Bereken:(d c) d en d (c d). e a b c d f e e a b c d f a a b e f c d b b e a d f c c c d f b a e d d f c e b a f f c d a e b Een sluitend antwoord zullen we vinden dankzij volgende stelling: Stelling 1 Zij G, een niet-lege verzameling met associatieve samenstellingswet : G G! G, dan geldt G, is een groep m 8a, b G : 9! x G : b x = a (1) en 8a, b G : 9! y G : y b = a () 7

Of, anders geformuleerd: Stelling 1 Zij G, een niet-lege verzameling met associatieve samenstellingswet : G G! G, dan is G, een groep als en slechts als voor elke a en b uit G de vergelijkingen b x = a en y b = a in G unieke oplossingen hebben voor x en y. Bewijs van +: Eenvoudige oefening. Bewijs van *: Vul volgende redeneringen aan. Omdat G niet leeg is kunnen we er een element a uit kiezen. Volgens (1) bestaat er dus een unieke x G waarvoor geldt a x = a. We merken op dat dan ook voor elk willekeurig element h G geldt dat (h a) x = h a. Maar door () weten we dat elk element g G te schrijven is als g = h a voor een bepaalde h G. Toon als gevolg van vorige bedenkingen aan dat 8g G : g x = g. Toon op analoge manier aan dat 9!y G : 8g G : y g = g. Toon nu aan dat x = y. We hebben hiermee aangetoond dat er een neutraal element is in G. Waar precies heb je de associativiteit nodig gehad? Toon nu aan dat elk element van G een invers element heeft. We kunnen besluiten dat G een groep is. We hebben nu een antwoord op onze vraag, want we kunnen nu volgende stelling aantonen: Stelling Een niet-lege eindige verzameling G met samenstellingswet : G G! G is een groep als en slechts als de Cayleytabel van een Latijns vierkant is en de bewerking associatief is. Bewijs. Geef zelf het bewijs! 8

3 Deelgroepen Definitie Zij G, een groep en H G. DanisH een deelgroep van G, als en slechts als H, een groep is. Voorbeeld: Z, +iseendeelgroepvanq, +. R + 0, is geen deelgroep van R, +(waarom?). Z 0, is geen deelgroep van R 0, (waarom?). S 1, is een deelgroep van C 0,. Zij SL n (R) de verzameling van alle vierkante n n-matrices met determinant gelijk aan 1. Dan is SL n (R), een deelgroep van GL n (R),. De afkorting SL komt van Special Linear Group. H = {1, a, a,a 3,a 4,a 5 } is een deelgroep van D 6,. Ook K = {1,b} is een deelgroep van D 6,. De volgende eigenschap oogt misschien heel triviaal, maar moet toch eens vermeld en bewezen worden. Stelling.3.1: Zij H een deelgroep van G,. Dan geldt het volgende: (1) het neutraal element van H, is het neutraal element van G,, () voor alle x H is het invers van x in H, het invers van x in G,. Bewijs. Noem e H het neutraal element van H, en e G dat van G,. We duiden het invers van x in G, aan door x 1, terwijl we voor x H het invers van x in H, noteren als x. We vinden dat e H = e H e H (e H is neutraal in H, ) ene H = e H e G (e G is neutraal in G, ). Hieruit verkrijgen we e H e H = e H e G ) e 1 H (e H e H ) = e 1 ) (e 1 H e H) e H = (e 1 H H (e H e G ) e H) e G ) e G e H = e G e G ) e H = e G want... 9

Neem nu x H, dan geldt x x = x x = e H = e G = x x 1 = x 1 x en dus x = x 1 door de uniciteit van het invers element (Stelling.1.). Als we een deelverzameling H van een groep G, gegeven hebben en we willen nagaan of H, een deelgroep is, moeten we controleren of een inwendige bewerking is op H die voldoet aan de drie bijhorende voorwaarden. In de praktijk kan men dit werk echter sterk beperken. Dit wordt verklaard door de volgende stelling. Stelling.3.: Deelgroepcriterium Zij H een niet lege deelverzameling van een groep G,, dan zijn de volgende drie uitspraken equivalent: (1) H is een deelgroep van G,, () 8x, y H : x y H en x 1 H, (3) 8x, y H : x y 1 H. Bewijs. We bewijzen deze stelling volgens het schema (1) ) () ) (3) ) (1). (1) ) (): Volgt onmiddellijk uit het feit dat H, een groep is. () ) (3): Neem x, y H. Uit () volgt dat ook y 1 H. Aangezien x H en y 1 H volgt nu uit () dat x y 1 H. (3) ) (1): Neem een element h in H 6= ;. Uit (3) volgt dat h h 1 = e H. Voor alle x H impliceert (3) dat x 1 = e x 1 H. Neem nu willekeurige x, y H. Voor willekeurige x, y H weten we dus dat x en y 1 H, waaruit volgt dat x (y 1 ) 1 = x y H. We kunnen dus besluiten dat een inwendige bewerking is op H. De wet is associatief (waarom?) en e H is een neutraal element voor. Bovendien bezit elke x H een invers element x 1 dat ook tot H behoort. Dus is H, een groep. Als nu G, +eencommutatievegroepisdieadditiefwordtgenoteerdenh een niet-lege deelverzameling is van G, hebben we de volgende equivalentie: H is een deelgroep van G, +, 8x, y H : x y H. 30

Voorbeeld: Neem H = {(a, a) a R} R, dan is H een deelgroep van R, +. a H o a Inderdaad: H 6= ;, bv.(1, ) H. 8p, q H : p q H (we kunnen additief werken!), want neem twee willekeurige elementen p =(a, a) enq =(b, b) meta, b R, dan is p q =(a, a) (b, b) =(a b, (a b)) H. Op een analoge manier kan men aantonen dat elke rechte door o =(0, 0) een deelgroep is van R, +. 31

Werktekst: groepen met 6 elementen We zullen in deze sectie meer in detail kijken naar groepen met 6 elementen en hun eigenschappen. S 3 en D 3 De groep D 3 bestaat uit alle transformaties van het vlak die een gelijkzijdige driehoek op zichzelf afbeelden. Elk element kan gezien worden als een bepaalde samenstelling van de volgende twee types transformaties: een rotatie a over 10 (in wijzerzin) rond het middelpunt van de driehoek. een spiegeling b (met de middelloodlijn van een van de zijden als as). Andere elementen van D 3 zijn dan bijvoorbeeld a b of b a b b (in verkorte notatie: ab en bab. (Uiteraard geven sommige van deze samenstellingen aanleiding tot dezelfde transformatie!) Teken voor elk van de elementen van D 3 de overeenkomstige transformatie van de hoekpunten. Geef met pijlen en lussen aan wat de beelden zijn van de hoekpunten. 1 a a b ab a b We zullen nu de cayleytabel van D 3 opstellen. Je kan dit meetkundig doen, door voor elke samenstelling (zoals b a b) na te gaan wat de meetkundige interpretatie is, of je kan ook voor een meer rekentechnische benadering kiezen: Het is eenvoudig na te gaan dat a en b voldoen aan de relaties a 3 =1,b =1enba = a b. Dit kan je gebruiken om ingewikkelde samenstellingen te vereenvoudigen, bijvoorbeeld: b a b = b ba = b a =1 a = a. Vervolledig nu zelf onderstaande Cayleytabel: 1 a a b ab a b 1 1 a a b ab a b a a a 1 a b a a a b ab b b a ab ab b a b a b ab b a a 1 3

Anderzijds is er ook de Symmetrie-groep S 3, die alle mogelijke permutaties van de verzameling {1,, 3} beschrijft. Een Cayleytabel voor deze groep vind je op bladzijde 3. Label de hoekpunten van de driehoeken, bijvoorbeeld rechtsonder! 1, linksonder!, top! 3, en probeer elk element van S 3 te identificeren met een element van D 3. Geef de elementen van D 3 verschillende kleuren (en gebruik dezelfde kleuren voor de overeenkomstige elementen van S 3.) Schik nu de elementen in beide tabellen in dezelfde volgorde (herschrijf indien nodig), en kleur beide tabellen met de gekozen kleurcodes. Wat stel je vast? Als we de groep D 3 interpreteren als de groep van transformaties van de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek (verkregen door rotaties en spiegelingen), dan is het intuïtief duidelijk dat D 3 gezien kan worden als een deelgroep van S 3 (de permutatiegroep op 3 elementen). Omdat ze bovendien evenveel elementen bevatten, zijn beide groepen in feite hetzelfde. We zullen nu proberen deze intuïtie op een wiskundig rigoureuze manier te beschrijven. Als beide groepen hetzelfde zijn, wil dit zeggen dat het mogelijk moet zijn om een afbeelding : D 3! S 3 te construeren die de groepsstructuur bewaart. Concreet willen we dat voor alle x, y, z S 3 geldt dat z = x y ) (z) = (x) (y), en dus dat (x y) = (x) (y). Een dergelijke (niet noodzakelijk bijectieve) afbeelding wordt ook wel een (groeps)-homomorfisme genoemd. Kan je dit in verband brengen met de gekleurde Cayleytabellen van de vorige oefening? 33

Wanneer de afbeelding bovendien ook bijectief is, spreken we van een isomorfisme van groepen, en we zeggen dan dat de groepen D 3 en S 3 isomorfe groepen zijn. Gebaseerd op onze voorgaande exploraties lijkt de volgende keuze natuurlijk: (a) = c 1, (b) = t(1). Als we eisen dat een groepshomomorfisme is, leggen deze keuzes de rest van de afbeelding volledig vast. Inderdaad, we hebben bijvoorbeeld dat (a )= (a a) = (a) (a) =c 1 c 1 = c. Bepaal nu zelf ook de beelden van 1, ab, a b. Merk op dat dit groepsisomorfisme niet uniek is: we hadden bijvoorbeeld evengoed kunnen vertrekken met (a) =c ipv (a) =c 1. Ga na! We zijn echter wel degelijk beperkt in onze keuzes. Stel vast dat geen groepsisomorfisme kan zijn als we zouden eisen dat (b) =c 1 en (a) =t(3). Opmerking: We zouden op analoge wijze kunnen proberen om de groepen S 4 en D 4 te vergelijken. Aangezien in dit geval het aantal elementen verschillend is, kunnen we niet meer zeggen dat beide groepen isomorf zijn. Het is wel nog steeds mogelijk om D 4 te identificeren met een deelgroep van S 4 : we zouden een injectief groepshomomorfisme : D 4! S 4 kunnen construeren dat elementen van D 4 afstuurt op de elementen van S 4 die dezelfde permutaties voorstellen. * Probeer dit! Merk op dat er net als in het vorige voorbeeld soms meerdere keuzes mogelijk zijn. De cykelnotatie kan hierbij handig zijn: we schrijven bijvoorbeeld (13) geeft aan dat 1 wordt afgebeeld op, op 3, en 3 op 1 (4 blijft vast). De cykel (1)(34) geeft aan dat 1 en op elkaar afgebeeld worden, en analoog voor 3 en 4. 34

Commutatieve groepen met 6 elementen Maak een Cayleytabel van de volgende groepen. (Je kan eventueel gebruik maken van vereenvoudigde notaties (bv. 1 ipv [1] 6 ), maar enkel als de context duidelijk is, dus beter niet doen wanneer je elementen van twee groepen vergelijkt!) Z 6, +={[0] 6, [1] 6, [] 6, [3] 6, [4] 6, [5] 6 } (De bewerking is beschreven op p. van de cursus.) + [0] 6 [1] 6 [] 6 [3] 6 [4] 6 [5] 6 [0] 6 [1] 6 [] 6 [3] 6 [4] 6 [5] 6 Z Z 3, +(Ditiseendirectproductvangroepen,ziep.6) + ([0], [0] 3 ) ([0], [1] 3 ) ([0], [] 3 ) ([1], [0] 3 ) ([1], [1] 3 ) ([1], [] 3 ) ([0], [0] 3 ) ([0], [1] 3 ) ([0], [] 3 ) ([1], [0] 3 ) ([1], [1] 3 ) ([1], [] 3 ) We willen nu achterhalen of deze twee groepen hetzelfde zijn. De Cayley-tabel geeft hiervoor natuurlijk veel nuttige informatie. Verder kan ook het volgende criterium nuttig zijn: als twee groepen isomorf zijn, moet het ook mogelijk zijn om deelgroepen van beide groepen te identificeren. Geef voor Z 6, + en Z Z 3, + alle deelgroepen met en 3 elementen. Kan je ook deelgroepen met 4 elementen vinden? Gebruik bovenstaande informatie om een expliciet groepsisomorfisme te construeren (indien mogelijk). 35

D 3 versus Z 6. Dat een isomorfisme de groepsstructuur bewaart, impliceert dat twee isomorfe groepen altijd allebei commutatief (of niet-commutatief) zijn. Bijgevolg kunnen D 3, en Z 6, + niet dezelfde groep zijn, aangezien slechts een van beide commutatief is. We zullen nu expliciet laten zien dat er inderdaad geen (injectief) groepshomomorfisme mogelijk is. Een homomorfisme is een afbeelding die de groepsstructuur bewaart. Voor een homomorfisme : D 3,!Z 6, +zouditbetekenendatvoorelkex, y D 3 geldt dat (x y) = (x)+ (y). Stel dat we een dergelijke afbeelding willen construeren. Als we naar de deelgroepen van D 3 kijken, vinden we onder meer de deelgroepen {1, a, a } en {1,b}. Het lijkt logisch om elementen uit deze deelgroepen af te sturen op elementen van Z 6 die behoren tot deelgroepen met evenveel elementen, bijvoorbeeld: (a) = (b) = 3. Laat zien dat het onmogelijk is om dit verder uit te bouwen tot een injectief groepshomomorfisme. (Kan je meer algemeen aantonen dat andere kandidaatisomorfismen op dezelfde manier falen?) Stel hai := {1, a, a } en hbi := {1,b}. Beschouw nu de groep hai hbi,.metwelke van de bovenstaande groepen is deze groep isomorf? 36

Nog een andere groep? We kunnen ook de volgende groep definiëren: Z 7,. Groepen van dit type worden verder besproken in hoofdstuk 3. De groep bevat de elementen {1,, 3, 4, 5, 6}, en de bewerking is als volgt gedefinieerd: x y = (xy mod 7). Bepaal de Cayleytabel. Kan je verklaren waarom 0 geen element van deze groep kan zijn? 1 3 4 5 6 1 3 4 5 6 Is dit een groep dan de groepen die we besproken hebben in de vorige secties? Indien ja, wat is er dan precies anders, indien nee, kan je een expliciet isomorfisme geven? Zou je nu een lijst kunnen maken van alle niet-isomorfe groepen met 6 elementen? Elke dergelijke groep is in dit document in minstens één verschijningsvorm aan bod gekomen! 37