Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Laplace transformatie éénzijdige Laplace-transformatie: F.s/ D Z 1 f.t/e st dt: 0 2/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Eigenschappen en rekenregels 1) Lineariteit Lfa 1 f 1.t/ C a 2 f 2.t/g D a 1 Lff 1.t/g C a 2 Lff 2.t/g: 2) Schaalverandering Lff.at/g D 1 a F s a.a > 0; re.s/ > a /: 3/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Eigenschappen en rekenregels 3) Verschuiving in het tijddomein Lff.t t 0 / ½.t t 0 /g D F.s/e st 0.t 0 > 0; re.s/ > /. 4) Verschuiving in het s-domein Lff.t/e s0t g D F.s s 0 /.re.s/ > re.s 0 / C /. 4/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Eigenschappen en rekenregels 5) Differentiatie naar de tijd Lff 0.t/g D sf.s/ f.0 /.re.s/ > / 6) Integratie naar de tijd Zij g.t/ D R t 0 f./ d. Dan geldt Lfg.t/g D F.s/ s.re.s/ > max.0; //: 5/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Eigenschappen en rekenregels 7) Differentiatie naar s Lf tf.t/g D F 0.s/.re.s/ > /: 6/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
f.t/ F.s/ D Lff.t/g conv.-abscis e at 1 ½.t/ re.a/ s a t n nš ½.t/.n D 0; 1; : : :/ 1 s nc1 0 t n nš eat ½.t/.n D 0; 1; : : :/ 1.s a/ nc1 re.a/ 7/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
f.t/ F.s/ D Lff.t/g conv.-abscis cos.bt/ ½.t/ sin.bt/ ½.t/ e at cos.bt/ ½.t/ e at sin.bt/ ½.t/ s s 2 C b 2 0 b s 2 C b 2 0 s a.s a/ 2 C b 2 re.a/ b.s a/ 2 C b 2 re.a/ ı.t/ 1 1 8/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Z 1 0 sin t t dt D 2 9/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Convolutie.f g/.t/ D 0 @ ZtC f./g.t 1 / da ½.t/ 0 Gelijk aan standaard definitie als f.t/ en g.t/ causale signalen. 10/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Stelling (Convolutiestelling bij de Laplace-transformatie) f.t/ en g.t/ signalen met Laplace-getransformeerden F.s/ en G.s/. Lf.f g/.t/g D F.s/G.s/: De convergentie-abscis van.f g/.t/ is kleiner of gelijk aan het maximum van de convergentie-abscissen van f.t/ en g.t/. 11/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeelden Integratie: Delta-functie: L f.f ½/.t/g D F.s/ s L f.f ı/.t/g D F.s/ 12/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Eindwaardestelling Stelling (Eindwaarde stelling) Laat f.t/ een signaal zijn waarvoor f.1/ bestaat en zij F.s/ de Laplace-getransformeerde van f.t/. Dan geldt lim sf.s/ D f.1/: s#0 13/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Periodieke signalen We hebben voor een T -periodiek signaal: Hierin is F.s/ D Lff.t/g D F T.s/ D F T.s/ 1 e st.re.s/ > 0/: Z T f.t/e st dt: 0 14/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten y.n/.t/ C p n 1 y.n 1/.t/ C C p 1 y.1/.t/ C p 0 y.t/ D f.t/ 15/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
y.n/.t/ C p n 1 y.n 1/.t/ C C p 1 y.1/.t/ C p 0 y.t/ D f.t/ y.t/ $ Y.s/ f.t/ $ F.s/ 16/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
f en y causale signalen s n C p n 1 s n 1 C C p 1 s C p 0 Y.s/ D F.s/ y.t/ $ Y.s/ f.t/ $ F.s/ 17/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
f en y causale signalen Y.s/ D F.s/ s n C p n 1 s n 1 C C p 1 s C p 0 y.t/ $ Y.s/ f.t/ $ F.s/ 18/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Elektrisch netwerk u C i R C y 19/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
We hebben: met en y 0.t/ C y.t/ D u.t/ D 1 RC u.t/ D e 2 t ½.t/ 20/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Filters beschreven door differentiaalvergelijkingen: p n y.n/.t/ C p n 1 y.n 1/.t/ C C p 1 y.1/.t/ C p 0 y.t/ D q m u.m/.t/ C q m 1 u.m 1/.t/ C C q 1 u.1/.t/ C q 0 u.t/ Ingang u.t/, Uitgang y.t/. 21/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Overdrachtsfunctie We definiëren: G.s/ D q ms m C q m 1 s m 1 C C q 1 s C q 0 p n s n C p n 1 s n 1 C C p 1 s C p 0 22/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voor causale signalen u and y hebben we: Y.s/ D G.s/U.s/ 23/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Differentiaalvergelijkingen met begincondities p n y.n/.t/ C p n 1 y.n 1/.t/ C C p 1 y.1/.t/ C p 0 y.t/ D q m u.m/.t/ C q m 1 u.m 1/.t/ C C q 1 u.1/.t/ C q 0 u.t/ y.0/ D y 0 y.1/.0/ D y 1 : : y.n 1/.0/ D y n 1 24/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld y 000.t/ 3y 00.t/ C 2y 0.t/ D ½.t/ met y.0 / D 1 y 0.0 / D 0 y 00.0 / D 0 25/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Voorbeeld y 000.t/ 3y 00.t/ C 2y 0.t/ D ½.t/ met y.1 / D 1 y 0.1 / D 0 y 00.1 / D 0 26/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Proeftentamen 1 Signalen en Transformaties (201100109). De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Bovendien dient U in alle gevallen uw antwoord te beargumenteren! 27/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
1. Zij f.t/ de 2-periodieke functie die voor t 2 Œ 1; 1/ wordt gegeven door f.t/ D e jtj a) Toon aan dat de functie f.t/ even is. b) Toon aan dat de complexe Fourierreeks van f.t/ gegeven wordt door: 1X kd 1. 1/ k e 1 2 k 2 C 1 eikt c) Bepaal de reële Fourierreeks van f.t/. d) Bereken de gegeneraliseerde afgeleide f 0.t/ van f.t/. e) Bepaal het vermogen van f. 28/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
2. Voor een filter wordt de impulsresponsie h.t/ gegeven door h.t/ D cos2.t/.t C 2 /2 a) Laat zien dat de frequentieresponsie y h.!/ van het systeem gegeven wordt door e i!=2 trian 2.!/: Aan het systeem wordt een ingangssignaal u.t/ D 1 C cos.t/ sin.4t/ toegevoerd. Zij y.t/ de responsie van het systeem op het gegeven ingangssignaal u.t/. b) Bereken de responsie y.t/ en toon aan dat y.t/ een reëel signaal is. 29/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
3. Bepaal de convolutie van f.t/ D e t ½. t/ en g.t/ D f.1 t/ op twee verschillende manieren. 30/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
4. Gegeven is de ruimte `2 van oneindige rijtjes: x D.x 1 ; x 2 ; x 3 ; : : :/ waarvoor geldt: kxk D v ux t 1 x 2 i < 1 id1 We hebben de volgende lineaire afbeelding A W `2! `2 gedefinieerd door:.x 1 ; x 2 ; x 3 ; : : :/!.0; 2x 1 C x 2 ; 2x 2 C x 3 ; 2x 3 C x 4 ; : : :/ Met andere woorden Ax D y met y ic1 D 2x i C x ic1 voor i > 1 en y 1 D 0. a) Bepaal de nulruimte van de afbeelding A, d.w.z. ker.a/. b) Toon aan dat A een begrensde lineaire afbeelding is. 31/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
4. Gegeven is de differentiaalvergelijking y.2/.t/ C y.1/.t/ 2y.t/ D 3u.1/.t/ C 9u.t/: (*) a) Bepaal de impulsresponsie van (*). b) Bepaal de stapresponsie van (*). c) Als ingang kiezen we u.t/ D e t. Bepaal de oplossing voor t > 0 van (*) met y.0 / D 1 en y 0.0 / D 0. 32/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Formuleblad Signalen en Transformaties (201100109) INTEGRAALTRANSFORMATIES Tabel Fourier transformaties y f.!/ D Z 1 1 f.t/e i!t dt f.t/ D 1 2 Z 1 1 y f.!/e i!t d! 33/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
f.t/ y f.!/ rect a.t/ D 8 < 1 voor jtj < a 2 : 0 voor jtj > a 2 a > 0 a! 2 sin 2! trian a.t/ D 8 < 1 jtj a voor jtj < a : 0 voor jtj > a a > 0 4 sin 2 a! 2 a! 2 34/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
e ajtj ; re a > 0 2a a 2 C! 2 t n nš e at ½.t/; re a > 0; n D 0; 1; 2; : : : 1.aCi!/ nc1 e at2 ; a > 0 q a e.!2 4a / 35/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
ı.t/ 1 ½.t/ D 8 < 1 voor t > 0 : 0 voor t < 0 1 i! C ı.!/ sgn.t/ 2 i! 36/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Tabel Laplace transformaties F.s/ D Z 1 f.t/e st dt éénzijdige Laplace transformatie 0 37/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
f.t/ F.s/ conv. abscis e at ½.t/ 1 s a re a t n nš eat ½.t/; n D 0; 1; 2; : : : 1.s a/ nc1 re a 38/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
cos.bt/ ½.t/; b 2 R s s 2 Cb 2 0 sin.bt/ ½.t/; b 2 R b s 2 Cb 2 0 ı.t/ 1 1 39/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Rekenregels Fourierreeksen (periode T,! 0 D 2 T ) f.t/! f k D 1 T ZT=2 f.t/e ik! 0t dt f.t /! e ik! 0 f k T=2 e in! 0t f.t/! f k n.n geheel/ 40/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Fourier transformatie f.t f.t/! y f.!/ t 0 /! e i!t 0 y f.!/.t0 2 R/ e i! 0t f.t/! f 0.t/! i! y f.!/ y f.t/! 2f.!/ y f.!! 0 /.! 0 2 R/ 41/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Laplace transformatie f.t/! F.s/ f.t t 0 / ½.t t 0 /! e st 0 F.s/.t 0 > 0/ e s0t f.t/! F.s s 0 /.s 0 2 C/ f 0.t/! sf.s/ f.0 / 42/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI