Opgaven Mateie in een magnetostatisch veld. A. Magnetisatie en magnetisatiestoom Als in mateie de kingstoompjes elkaa niet oveal compenseen blijft e een esulteende stoom ove. Deze heet de magnetisatiestoom I m. Een magnetisatiestoom kan langs het oppevlak van de mateie lopen, dan stellen we de oppevlaktestoomdichtheid voo doo j m s ( wo in het dictaat doo J m voogesteld ). Loopt e een magnetisatiestoom binnen de mateie, dan stellen we de uimtestoomdichtheid voo doo J m. Als e in een bok mateie een magnetisatiestoom I m loopt, d.w.z. een esulteende kingstoom, geeft deze in het mateiaal een magnetisch moment. Het magnetisch moment pe volume-eenheid wo voogesteld doo M. Het veband tussen I m en M wo gegeven doo de wet van Ampèe: M ds s = I m, omsloten Hiemee kunnen we M beekenen als I m gegeven is, en I m beekenen als M gegeven is. Omdat de magnetisatiestoom I m in feite uit geichte atomaie kingstoompjes bestaat, is I m zelf ook altijd een kingstoom, die in de mateie blijft. Buiten de mateie is I m = 0. De doo I m veoozaakte magnetisatie M is altijd loodecht op I m geicht. M.1 Welke eenheden gebuiken we om j m, J m en M in uit te dukken? M.2 Een pemanent gemagnetiseede viekante staaf heeft een lengte l, de zijde van een doosnede loodecht op de lengteichting is b ( l >> b ). Ove het oppevlak van de staaf loopt een magnetisatiestoom met stoomdichtheid j m loodecht op de lengteichting van de staaf. Binnen de staaf loopt geen magnetisatiestoom. Gevaagd M. Deelvagen: a) wat is de ichting van M? b) Pas de wet van Ampèe toe. M.3 We plaatsen de staaf uit vaagstuk 2.2 in een zwak homogeen magnetisch veld met inductie B. De ichting van B in lucht maakt een hoek α met de lengteichting van de staaf. Beeken het koppel dat de staaf ondevin. Welke twee methoden zijn e om dit koppel te beekenen? M.4 Een bok mateie is gemagnetiseed, de magnetisatie is niet homogeen. Het bovenvlak van het bok is evenwijdig aan het xy-vlak. In het bovenvlak loopt een magnetisatiestoom in de y-ichting met oppevlaktestoomdichtheid j m. Wat weet U van de magnetisatie M in een punt dat zee dicht onde het bovenvlak ligt? 1
M.5 In een onde staaf met lengte 1 en staal R loopt, loodecht op de lengteichting van de staaf, een magnetisatiestoom met unifome stoomdichtheid J om. Als we de as van de staaf als z-as nemen, is de magnetisatiestoomdichtheid J om eφ. E loopt geen magnetisatiestoom op het oppevlak van de staaf. Gevaagd wo: 1. M in een punt op de as; 2. M in een punt op afstand van de as, < R. M.6 Een cilindische staaf met lengte 1 en staal R is in de lengteichting gemagnetiseed. Als we de as van de staaf als z-as nemen wo de magnetisatie in een punt op afstand 2 van de as gegeven doo : M = ( M 0 β ) ez. Gevaagd wo: 1. In welke eenheid zou U β opgeven? 2. De oppevlaktemagnetisatiestoomdichtheid j m. 3. De totale magnetisatie-uimtestoom I m doo een halfvlak begensd doo de as. 4. De magnetisatie-uimtestoomdichtheid J m (). Deelvagen: a) Hoe moeten we de king kiezen opdat alleen de oppevlaktemagnetisatiestoom omsloten wo? b) Hoe moeten we de king kiezen om de totale magnetisatie-uimte-stoom te omsluiten? c) Hoe moeten we een king kiezen opdat we binnen de king de uimtestoomdichtheid J m () als constant mogen beschouwen? 2
B. Veband tussen B, H en M, wet van Ampèe algemeen. M.7 Een in vacuüm geplaatste spoel heeft een lengte van π/2 mete, een diamete van 8 cm en 1250 windingen, waadoo een stoom van 2 A loopt. µ 0 = 4π x 10-7 webe / (ampèe x mete). Gevaagd wo: 1. B binnen de spoel; 2. H binnen de spoel; 3. het magnetisch moment van de spoel. Vemeld steeds de eenheden bij Uw antwood, π mag in Uw antwood blijven staan. M.8 In de spoel uit vaagstuk M.7 schuiven we een staaf mateie die de spoel pecies helemaal opvult. De staaf is π/2 mete lang en heeft een staal van 4 cm. We meten de magnetische inductie in de mateie, deze blijkt 2,4 x 10-3 tesla te zijn. Gevaagd wo: 1. H binnen de mateie; 2. M binnen de mateie; 3. Het magnetisch moment van het stuk mateie; 4. Het magnetisch moment van de spoel met mateie; 5. De magnetische susceptibiliteit van het mateiaal; 6. De elatieve magnetische pemeabiliteit van het mateiaal. M.9 Een goot bok feiet is in vacuüm geplaatst, met het bovenvlak evenwijdig aan het xy-vlak. Op het bovenvlak is een zee dun laagje kope aangebacht. In het feiet heest een magnetische inductie B = 8π 10 4 e1 tesla en een magnetische veldstekte H = 1600e 1 A/m. In het vacuüm is B = 2π 10 4 e1 tesla. Gevaagd woden gootte en ichting van de oppevlaktestoomdichtheid j m van de magnetisatiestoom en de oppevlaktestoomdichtheid j v van de vije stoom. Aanwijzing: Pas op dezelfde king ampèe tweemaal toe met M s ds en H s ds. M.10 Een goot bok feiet is in vacuüm geplaatst, met het bovenvlak evenwijdig aan het xy-vlak. Op het bovenvlak is een zee dun laagje kope aangebacht. In het feiet heest een magnetische inductie B = 8π 10 4 e3 tesla en een magnetische veldstekte H = 1600e 3 A / m. 1. Hoe goot is de oppevlaktestoomdichtheid j m in het bovenvlak? 2. Beeken B in het vacuüm. 3. Beeken H in het vacuüm. 3
M.11 Een goot bok feiet is in vacuüm geplaatst, met het bovenvlak evenwijdig aan het xy-vlak. Op het bovenvlak is een zee dun laagje kope aangebacht. In het feiet 4 heest een magnetische inductie B = π 10 (10e2 + 8e3) tesla en een magnetische veldstekte H = 2000e2 + 1600e3 A/m. Ove het bovenvlak loopt een vije oppevlaktestoom met een stoomdichtheid j v = 750e1 A / m. Gevaagd wo: 1. B en H in het vacuüm. 2. De magnetisatiestoomdichtheid j m in het bovenvlak. Deelvagen: a) Van welke veldgootheid kunt U de loodechte component gemakkelijk beekenen? Hoe? b) Van welke veldgootheid kunt U de component evenwijdig aan het vlak beekenen? Hoe? M.12 Een echte stoomdaad met staal R. bestaat uit stukken kopedaad waatussen een kope ijze kope stuk ijzedaad gelast is. We nemen de as van de daad als z-as. Doo de daad loopt een vije stoom met stoomdichtheid J e v z. Het ijze heeft een magnetische susceptibiliteit χ m, voo het kope is de susceptibiliteit nul. De afstand van een punt tot de z-as geven we aan doo. Gevaagd wo: 1. B en H buiten de daad als functie van. 2. B en H en M in het kope als functie van. 3. B, H en M in het ijze als functie van. 4. De oppevlaktestoomdichtheid van magnetisatie j m. 5. De uimtestoomdichtheid J m () van magnetisatie als functie van. Deelvaag bij 5: Hoe moeten we een king kiezen opdat we binnen de king J m () beschouwen? als constant mogen 4
C. Enegie M.13 Beeken voo de lege spoel uit vaagstuk M.7: 1. De enegiedichtheid w. 2. De coëfficiënt van zelfinductie L v. 3. De totale enegie W met behulp van de enegiedichtheid w. 4. De totale enegie W met behulp van L v. M.14 Beeken voo de met mateie gevulde spoel uit vaagstuk M.8: 1. De enegiedichtheid w. 2. De coëfficiënt van zelfinductie L m. 3. De totale enegie W met behulp van de enegiedichtheid w. 4. De totale enegie W met behulp van L m. M.15 In een homogeen magnetisch veld met veldstekte H 0 ligt een lange en dunne staaf nikkel evenwijdig aan de veldlijnen. De elatieve magnetische pemeabiliteit van nikkel is µ. Gevaagd woden H en B in het nikkel; het ontmagnetiseende veld H ontm, en de ontmagnetiseende facto N van de staaf. Deelvagen: a) Waa is het veld homogeen, en waa vestood? b) Welke stelling moet U toepassen: sds = I vij omsloten Waaom? H, of = g. o. B da n 0? M.16 In een homogeen magnetisch veld met inductie B 0 staat een dunne plaat nikkel, loodecht op de veldlijnen. Gevaagd woden H en B in het nikkel, het ontmagnetiseende veld H ontm en de ontmagnetiseende facto N van de plaat. De elatieve pemeabiliteit van nikkel is µ. Voo deelvagen zie vaagstuk M.5. M.17 Een bol van paamagnetisch mateiaal met magnetische susceptibiliteit χ m en staal R is geplaatst in een homogeen magnetisch veld in vacuüm. De veldstekte in vacuüm is H. 1. Beeken de magnetisatie M van de bol. 2. Beeken de oppevlaktestoomdichtheid van magnetisatie als functie van de plaats op het boloppevlak. 3. Beeken het magnetisch moment van de bol. 4. Beeken de magnetische veldstekte binnen de bol, indien de bol gemaakt is van feomagnetisch mateiaal. M.18 Een tooïde heeft 1200 windingen, waadoo een stoom van 0,1 ampèe gaat. De hatlijn van de tooïde heeft een staal van 1/ π mete. De tooïde is gevuld met ijze, waain een spleet van 1 mm beee zit. De loodechte doosnede van het ijze heeft een oppevlak van 4 cm 2. We meten de magnetische inductie in de spleet, en vinden B 1 = 8π 10-3 V s m -2. µ 0 = 4π 10-7 N A -2. Gevaagd wo: 1. De veldstekte in het ijze H ij. 2. De magnetische pemeabiliteit van het ijze. 3. De totale flux Φ doo het ijze. 5
De wetten van Maxwell. M.19 Een lange solenoïde heeft de lengte l en een staal R. (R << l). Het aantal windingen is N. Doo de solenoïde loopt een stoom I, die lineai van de tijd afhangt: I(t) = I 0 + at Beeken de elektische veldstekte E in een punt gelegen in het middelloodvlak van de solenoïde op een afst and van zijn omwentelingsas en wel 1) als R. 2) als > R, maa << l. Deelvagen: a) Hoe goot is de magnetische inductie B binnen en buiten de solenoïde? b) Hoe goot is db/ binnen en buiten de solenoïde en wat is zijn ichting? c) Welke symmetie heeft het systeem en hoe lopen de elektische veldlijnen? d) Hoe goot is de magnetische flux Φ die wo omvat doo een cikel in het middelloodvlak met staal en middelpunt op de as als R? e) Hoe goot is die flux als > R? f) Welke gedaante kijgt de spanningswet van Maxwell als de gegevens voo R zijn ingevuld? g) Wat is de gedaante als > R is ingevuld? M.20 Een vlakke condensato met cikelvomige platen bevin zich in vacuüm. De toe- en afvoedaden vallen samen met de omwentelingsas. De plaatafstand a is klein ten opzichte van de staal R van de platen. De condensato wo geladen met een constante stoom I. Beeken de magnetische veldstekte H in een punt gelegen in het vlak midden tussen de platen op een afstand van de omwentelingsas en wel 1) als R 2) als > R Deelvagen: a) Hoe goot is de diëlektische veplaatsing D binnen en buiten de condensato als de lading op t = 0 gelijk is aan Q 0. b) Hoe goot is dd/ binnen en buiten de condensato en wat is zijn ichting? c) Welke symmetie heeft het systeem en hoe lopen de magnetische veldlijnen? d) Hoe goot is de elektische flux Ψ doo het vlak van een cikel in het middenvlak met staal en middelpunt op de as als R? e) Hoe goot is die flux als > R? f) Welke gedaante kijgt de stoomwet van Maxwell als de gegevens voo R zijn ingevuld? g) Wat is de gedaante als > R is ingevuld? h) Kan men de magnetische veldstekte voo > R ook beekenen doo een oppevlak te kiezen waadoo geen elektische flux loopt? Wat voo oppevlak is dat en wat is nu de gedaante van de stoomwet? M.21 Gegeven is dezelfde condensato als in vaagstuk M.20, maa nu gevuld met een magnetisch mateiaal: χ m 0 en χ e = 0. 1. Beeken B() in het mateiaal in het middenvlak tussen de platen op afstand ( < R ) van de as. 2. Welke magnetisatiestoom (-stomen) zal (zullen) in dit mateiaal gaan lopen? 6
Deelvagen: a. Hoe goot zijn H, M en B op een cikel met staal in het middenvlak met middelpunt op de as? b. Wat is het veband tussen M op de cikelomtek en de totale magnetisatiestoom I m () doo het cikeloppevlak? c. Wat is de magnetisatiestoomdichtheid in het mateiaal, als functie van? d. Langs welke weg loopt de magnetisatiestoom teug? M.22 Gegeven is dezelfde condensato als in vaagstuk M.20, maa nu gevuld met een diëlekticum: χ e 0 en χ m = 0. 1. Beeken wee B() als functie van in het mediaanvlak. 2. Welke polaisatiestoom (-stomen) gaat (gaan) in het mateiaal lopen? Deelvagen: a. Hoe goot zijn D, E en P binnen de condensato als de lading op t = 0 gelijk is aan Q 0? b. Hoe goot zijn dd/, de/ en dp/? c. Duk dp/ uit in de polaisatiestoom I p () doo de cikel met staal om de as. d. Beeken de polaisatiestoomdichtheid in het mateiaal. e. Waa blijft de polaisatiestoom? M.23 Welke temen uit de vegelijking 1 µ 0 B ds = J vij da + ε 0 d E da + M ds + d P da spelen een ol bij de vaagstukken M.20, M.21 en M.22? M.24 Voo een willekeuig oppevlak gel de volgende betekking: 1 µ 0 = d B ds I + E da s totaal ε0 n Hiein is de king, waaove in het linkelid geïntegeed wo, de and van het oppevlak; I totaal is de totale stoom die het oppevlak snij en E n da is de integaal van E n ove datzelfde oppevlak. Leid uit deze gegevens de stoomwet van Maxwell af. M.25 Een geleidende bol met staal R hangt aan een dunne geleidende daad. Hiedoo loopt een constante stoom I naa de bol, zodat deze geladen wo. Buiten de bol ligt een punt P op afstand > R van het middelpunt M van de bol. De voestaal MP maakt een hoek θ met de ophangdaad. 1) Duk de magnetische veldstekte H in het punt P uit in I en als gegeven is dat θ = π/2. 2) Duk H uit in I, en θ als θ willekeuig is. Deelvagen: a) Wat voo symmetie heeft het systeem en hoe lopen de magnetische veldlijnen? 7
b) Hoe lopen de elektische veldlijnen uit de bol? c) Hoe kiest men de integatieking van de magnetische veldstekte en hoe kiest men het bijbehoende oppevlak in geval 1) (die mogelijkheden! )? d) Hoe kiest men king en oppevlak in het algemene geval (ook hie die mogelijkheden)? M.26 En hoevee kan de wet van Gauss voo een elektisch veld woden afgeleid uit de stoomwet van Maxwell en de wet van behoud van lading? Aanwijzing. Kies een willekeuig gesloten oppevlak en een gesloten komme op dat oppevlak. De komme vedeelt het gesloten oppevlak in twee niet-gesloten oppevlakken. Pas op beide oppevlakken de stoomwet van Maxwell toe. M.27 Een lange holle cilinde van baiumtitanaat ( ε >> 1) is geheel gevuld met feoxcube (µ >> 1). De cilinde heeft een lengte 1 en een wanddikte a en de staal van de binnenwand is R. l >> R >> a. Dit systeem stopt men in een solenoïde waadoo een constante stoom loopt. Hiedoo heest e in de cilinde een magnetische veldstekte H 0. Op het tijdstip t = 0 wo de stoom in de spoel plotseling uitgeschakeld. Beeken de magnetische veldstekte H in het feoxcube en de elektische veldstekte E in het baiumtitanaat als functie van de tijd. (de velden buiten het systeem mag men vewaalozen.) Deelvagen: a) Wat is het veband tussen de elektische veldstekte in het baiumtitanaat en de magnetische flux in het feoxcube? b) Wat is het veband tussen de magnetische veldstekte in het feoxcube en de elektische flux in het baiumtitanaat? c) Welke diffeentiaalvegelijking in H kijgt men als men a) naa de tijd diffeentieet en E elimineet? M.28 Het magnetische veld van een bewegend elekton. Een elekton beweegt zich met een constante snelheid v. Beeken de magnetische veldstekte H in een punt P gelegen op een afstand van het elekton. (De lading van het elekton is -e.) Deelvagen: a) Beschouw het boloppevlak met staal en met zijn middelpunt in het elekton. De magnetische veldlijn doo P ligt in dat boloppevlak. Wat is de vom van die veldlijn en hoe is zijn ligging ten opzichte van de baan van het elekton? b) Duk dat deel van het boloppevlak, dat doo de veldlijn begensd wo, uit in en de hoek θ tussen v en. Hoe goot is de elektische flux ψ(θ) doo dat deel van het boloppevlak. dθ dψ c) Duk uit in, θ en v, en beeken. d) Pas nu de stoomwet van Maxwell toe; men vin H uitgedukt in, θ en v. Leid hieuit af hoe H wo uitgedukt in v en. dθ d) Waaom is het niet coect om bij c) te schijven cos θ = -vt/, dus sin θ = v /, dθ dus = v/ sin θ? 8