Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000 36 5 96 d 5 6 5 e 7 3 3 8 5 8 5 39 f 8 6 3 7 5 6 5 g (5 ) 3 ( 3) 5 3 3 5 5 9 3 5 5 5 h (9 3) 3 5 3 5 8 i 3 (5) 5 3 5 5 50 j 5 3 (6 3 ) 5 5 3 (6 9) 5 5 3 3 5 5 V-3a p 3 0 3 q 7 5 3 3 5 7 9 q 0 8 6 q = p + q = p 3 5 3 O 3 5 p 6 8 0 b p 3 0 3 q 9 7 5 3 3 5 Zie de tekening hierboven. V-a Invullen van a 5 geeft b 5 3 3 5 3 3 5. b Invullen van a 5 geeft b 5 3 3 5 3 3 6 5 8, invullen van a 5 7 geeft b 5 3 3 7 5 3 3 9 5 7 en invullen van a 5 geeft b 5 3 3 5 3 3 5 3. c Invullen van k 5 0 in de eerste formule geeft m 5 0 3 0 5 00 0 5 0. Invullen van k 5 0 in de tweede formule geeft m 5 3 3 0 5 3 3 00 5 300. De uitkomsten zijn niet hetzelfde, dus de formules zijn niet hetzelfde. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo 3
V-5a b 5 9a f k 5 5l m b t 5 3s g p 5 6w 6 c kan niet korter h s 5 5t d r 5 0s i y 5 x x e kan niet korter j r 5 p 5p V-6a Tonja vindt 50 35 5 85 tegels en Dima vindt 00 5 5 85 tegels. Ja, dat is hetzelfde aantal tegels. b - c Het tegelpad wordt 37 3 30 5 0 cm lang en 5 3 30 5 50 cm breed. V-7a q 5 5p 5 e a 5 6b b b s 5 3t f w 5 5z z c r 5 0v 35 g y 5 x x d t 5 3s 8 h p 5 3q q q t 5 3s 0 p 5 q 5q V-8a De formule y 5 x is een kwadratische formule. b Invullen van x 5 3 geeft y 5 3 3 5 3 9 5 8 5 7. c x 3 0 3 y 7 7 7 7 5- Kwadratische formules a nummer n 3 b c aantal driehoeken a 9 6 +3 +5 +7 In de toenamen komt steeds meer bij. n = 5 Er zitten 5 driehoeken in deze figuur. Het aantal driehoeken neemt met 5 6 5 9 toe. Dat is weer meer dan 7. Dus het klopt. d Bij deze rij figuren hoort de formule a= n. e In de 7 e figuur zitten 7 5 79 driehoeken. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo
a Invullen van n = geeft g = + =, invullen van n = geeft g = + = 3, invullen van n = 3 geeft g = 3 + 3= 6, invullen van n = geeft g = + = 0 en dat klopt. b Invullen van n = geeft b = = 0, invullen van n = geeft b = =, invullen van n = 3 geeft b = 3 3= 3, invullen van n = geeft b = = 6 en dat klopt. Voor het aantal driehoeken geldt a= g+ b. Invullen van g = n + n en b= n n geeft a= n + n+ n n dus a= n en dat klopt. 3a Invullen van x = geeft y = ( ) = =. b x 3 0 3 y 9 0 9 c 5 y 0 8 6 3 O 3 5 x y = x 6 y = x d x 3 0 3 y 5 0 3 3 0 5 Zie de tekening hierboven. e De coördinaten van het laagste punt van de grafiek van y= x zijn (0, ). a Invullen van x = geeft y = ( ) = =. b x 3 0 3 y 9 0 9 c 5 y 3 O 3 5 x 6 y = x 8 0 y = x + d x 3 0 3 y 8 3 0 0 3 8 e Zie de tekening hierboven. De y-as of de lijn x = 0 is in beide gevallen de symmetrieas. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo 5
6 5a Bij een stapgrootte van bijvoorbeeld zou het assenstelsel veel te hoog worden. b Invullen van x = in de formule geeft y = ( ) = = 8 en niet y = 8 c De coördinaten van de top zijn (0, 0). d x 3 0 3 y 3 3 3 5 3 3 3 e f 6a Het kwadraat van een getal en het kwadraat van het tegengestelde getal zijn altijd gelijk, bijvoorbeeld 3 = ( 3) = 9. 5 y 0 35 30 5 0 5 0 y = x 5 y = x 5 3 O 3 5 x 5 g De coördinaten van de top zijn (0, 5). afstand s in meters 30 0 0 00 90 80 70 60 50 0 30 0 0 0 0 3 5 tijd t in seconden b Je ziet maar een halve parabool omdat je voor de tijd geen negatieve getallen kunt invullen. c Bij de tabel hoort de formule s= 5t. d Als de steen op de grond komt, dan moet gelden 5t = 80 oftewel t = 36. Dat is zo als t = 6. Na 6 seconden komt de steen op de grond. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo
7a/b 8a b c d y 0 8 6 5 3 O 3 x 5 6 8 y = x + 8 0 y = x + 8 5- Haakjes wegwerken met positieve getallen De breedte van de rechthoek is 5 en de lengte is 3 x x en dat is 3 x. De oppervlakte A is breedte keer lengte, dus A 5 5 3 (3 x) oftewel A 5 5(3 x). A 5 5 0x C C A 5 c c I 9a Als b 5 8, dan is de oppervlakte van het huis 8 3 8 5 6 m. De oppervlakte van de tuin is dan 8 3 7 5 56 m. De oppervlakte van het hele stuk grond is dan (8 ) 3 (8 7) 5 3 5 5 80 m. b De formule voor de oppervlakte A van het huis is A 5 b. De formule voor de oppervlakte A van de tuin is A 5 7b. De formule voor de oppervlakte A van de oprit is A 5 b. De formule voor de oppervlakte A van de garage is A 5 8. c De totale oppervlakte A is te berekenen met de formule A 5 b 7b b 8, of korter A 5 b b 8. d Voor de oppervlakte A van het stuk grond geldt de formule A 5 (b )(b 7). 0a Voor de oppervlakte A van de rechthoek geldt de formule A 5 (a )(a 6). b a 6 a a 6a a c A 5 a a 6a d De gelijksoortige termen zijn a en 6a, dus de formule wordt A 5 a 8a. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo 7
a/b a 8 z z 3z z 3 z c Zonder haakjes krijg je de formule A 5 z z 3z of korter A 5 z 7z. b c x x x 5 x d 5x 0 k k 5k 5 k 5 5k 5 y 5 x 5x x 0 n 5 k 5k 5k 5 y 5 x 7x 0 n 5 k 0k 5 t t t t t e y y y 3 y 3y 3 h 5 t t t x 5 y 3y y 3 h 5 t 5t x 5 y y 3 u u 3u u 3 f u q q q 3 q 3q 6 k 5 u u 3u h 5 q 3q q 6 k 5 u 7u h 5 q 5q 6 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo
3a r 5 f 3f 8f r 5 f f b k 5 6n 8n 8n k 5 6n 6n c y 5 8x x 6x 3 y 5 8x 0x 3 d b 5 v 3v 3v 8 b 5 v 35v 8 e m 5 j j 0 0j m 5 j j 0 f a 5 3c 0,5 c c a 5 c 7c 0,5 g z 5 8k k 6k z 5 k k h p 5 3q q 6q 8 p 5 3q 0q 8 a s 5 t t 8t 6 s 5 t 0t 6 b Invullen van t 5 9 in de formule geeft s = ( 9+ )( 9+ 8) = 7 = 7. c t 9 8 7 6 5 3 s 7 0 5 8 9 8 5 0 7 d e s = (t + ) (t + 8) 9 8 7 6 5 3 O t 6 8 0 De grafiek van opdracht d is een dalparabool. 8 6 s 5a Het schilderij met lijst is 50 b cm lang en 30 b cm breed. b De formule voor de totale oppervlakte A in cm wordt A= ( 50 + b)( 30+ b). c A= 500 + 60b+ 00b+ b A= b + 60b + 500 d Voor b 5 is de totale oppervlakte 66 cm, voor b 5 is de totale oppervlakte 836 cm, voor b 5,5 is de totale oppervlakte 95 cm en voor b 5 5 is de totale oppervlakte 00 cm, dus voor b 5,5. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo 9
30 5-3 Haakjes wegwerken met negatieve getallen 6 A= x + 3x 7a r = t( t + 9) e w= 05, ( t+ 3) 3 t 9 t t 9t 3 t 3 0,5 t,5 r = t + 9 t w= t+5, b h= a( 6+ a) f a= ( k + 8) 3 6 a 3 k 8 a 6a a k h= 6a+ a a= k + c y= 3x( 5x + ) g h= m( 8m + ) 3 5x 3 8m 3x 5x 6x 9m + m y= 5x + 6x h= 9m + m d b= 7 6+ q h q= t( 3 + t) 3 6 q 3 3 t 7 5 30q t 3t t b= 5 + 30 q q= 3t+ t 8a p= 5( b+ 3) 3 b 3 5 5b 5 p= 5b 5 b p= 5( b 3) 3 b 3 5 5b 5 p= 5b+ 5 c k = ( m 7) 3 m 7 m 7 k = m+ 7 v= 8 ( + w) 3 8 w 8 w v= 8 w 9a s= 3( t+ 5) c p= ( q ) 3 t 5 3 3t 5 3 q q s= 3t 5 p= q+ b y= 3( x+ 5) d b= ( a 7) 3 x 5 3 3x 5 y= 3x 5 b= a+7 3 a 7 a 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo
0a De oppervlakte van de boomgaard is 70 3 50 5 3500 m. De oppervlakte van het weiland zonder weg is 0 ( 60 b ) m. Voor de overblijvende oppervlakte A in m geldt dan A= 3500 + 0 ( 60 b). b Je moet eerst vermenigvuldigen en dan pas optellen. c 3 60 b 0 700 0b A= 3500 + 700 0b d A= 0 700 0b e Invullen van b = 6 in de formule van Ruben geeft A = 3500 + 0 ( 60 6) = 3500 + 0 5 = 3500 + 680 = 9980. Invullen van b = 6 in de formule van opdracht d geeft A = 0 700 0 6= 0 700 70 = 9980. Ja, je krijgt dezelfde uitkomst. a h= ( t 5) e b= r+ rr ( + 6) 3 t 5 t 0 3 r 6 r r r h= t+ 0 b= r+ r + r b= r + 6r b y= 3( 3x+ ) f p= q+ 3 3 3x 3 q 3 3 9x 0q 7 y= 9x p= 0q 7 c k = ( t 6 ) g h= 8 x( 3x + ) 3 t 6 t 6 3 3x x 6x 8x k = t+ 6 h= 8+ 6x 8x d j = 5a ( 5a 5) h y= + 6t 3 3 5a 5 3 6t 5a 5 t j = 5a 5a + 5 y= + t j = 5 y= t a b= f( 3f 7) + 6 c g = 53 ( p) + 6p 3 3f 7 f f 8f 3 3 3 p 5 5 5p b= f 8 f + 6 g = 5 + 5p+ 6p g = 5 + p De formule is niet kwadratisch. b p= 3m+ 5 ( m + 3) d a= 7k 0 3 5m 3 3 7k 0 0m 6 3 k 5 p= 3m+ 0m + 6 a= 3 k+ 5 a= 6 3 k De formule is niet kwadratisch. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo 3
3 3a x 0 3 y 8 3 0 0 3 8 b/c a y y = x ( x) 3 O 3 5 x 6 6 8 0 d De coördinaten van de top van de parabool zijn (0, ). e Het is een bergparabool. f De snijpunten van de grafiek met de horizontale as zijn (0, 0) en (, 0). 5- Formules met dubbele haakjes x x 7x x 7 x b A= x + x+ 7x+ A= x + 9x + 5a 3 p 6 p p 6p p b Samennemen van 6p en p geeft p. c h= p + p Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo
6a y= ( x+ 5)( x + ) e q= ( 8, 3t)( t) 3 x x x x 5 5x 0 3 t 8, 8, 6,t 3t 3t 6t y= x + 7x + 0 q= 6t 9, t + 8, b k = ( t+ )( t + ) f s= ( c )( c ) 3 t 3 c t t t c c c + + t 0 c k = t + 6 t + 0 s= c 3c + c a= ( n )( n + ) g p= ( q+ 3)( q 5) 3 n n n n n 8 3 q 5 q q 0q 3 3q 5 a= n + n 8 p= q 7q 5 d m= ( e 3)( 8 e) h l = ( m+ 5)( m 5) 3 8 e 3 m 5 e 8e e m 6m 0m 3 3e 5 0m 5 m= e + e l = 6m 5 7a k = ( r+ 3)( r + ) + e w= ( x+ )( x+ 6) 5x 3 r r r r 3 3r 6 3 x 6 x x x x k = r + 5r + 6+ w= x + 8x+ 5x k = r + 5r + 0 w= x + 3x + b b= ( g+ 3)( g) g f n= 3t + ( t+ )( 0 t) 3 g g g g 3 3g 3 0 t t 0t t 0 t b= g + g+ g n = 3t t + 6t+ 0 b= g 3g + n= t + 6t + 0 c g = k+ ( 5 k)( k) g h= ( f + 5)( f 5) f 3 k 5 5 5k k k k 3 f 5 f f 0f 5 0f 5 g = k+ k 6k+ 5 h= f 5 f g = k k + 5 h= f f 5 d m= ( v+ 3)( v 7) + v h z= ( q 6)( 3+ q) q 3 v 7 3 3 q v v 7v q 6q q 3 3v 6 8 6q m= v v + v z= q 8 q m= 3v v z = 8 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo 33
3 8a x 3 0 y 5 0 3 3 0 5 b y 5 6 5 3 O 3 x 3 6 8 0 y = (x + 3)( x) c Je hebt een bergparabool getekend. d Zie de stippellijn in de tekening hierboven. e De coördinaten van de top zijn (, ). f De coördinaten van de snijpunten met de horizontale as zijn (3, 0) en (, 0). Je kunt dit met de formule vinden omdat dan geldt x + 3= 0 of x = 0. g 3 x x x x 3 3 3x y= x x + 3 h Een voordeel van de formule uit opdracht g is dat je direct kunt zien dat de grafiek een parabool is. Een nadeel is dat je de snijpunten met de horizontale as niet vlug kunt zien. i Invullen van x = in de formule geeft y = ( + 3)( ) = 7 3=. j Van x = moet je vijf naar links om bij de symmetrieas te komen. Als je vanaf de symmetrieas weer vijf naar links gaat, dan kom je uit bij x = 5= 6. Het punt (6, ) ligt ook op de grafiek. 9a x 3 0 3 y = ( x + 3)( x 3) 7 0 5 8 9 8 5 0 7 b y = x 6 9 0 9 6 y = x y 6 0 8 6 5 3 O 3 x 5 6 8 0 y = (x +3)(x 3) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo
c Bij opdracht b kreeg je dalparabolen. d Je had dat alleen kunnen voorspellen als je de haakjes wegwerkt, anders niet. e De coördinaten van de snijpunten met de horizontale as van de grafiek bij de formule y= ( x+ 3)( x 3 ) zijn (3, 0) en (3, 0). De coördinaten van het snijpunt met de horizontale as van de grafiek bij de formule y= x zijn (0, 0). f De coördinaten van de top van de grafiek bij de formule y= ( x+ 3)( x 3 ) zijn (0, 9). De coördinaten van de top van de grafiek bij de formule y= x zijn (0, 0). g 3 x 3 x x 3x 3 3x 9 y= x 9 30a De coördinaten van de top van de grafiek zijn (0, ). b De coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de horizontale as zijn (, 0) en (, 0). c De lijn x = 0 is de symmetrieas van de grafiek. d y= ( x )( x + ) 3 x x x x x y= x De fout die Tirza gemaakt heeft is dat de top bij haar bij (0, ) ligt. Bij de grafiek hoort wel de formule y= ( x )( x + ) of y= ( x)( x + ) of y= ( x )( x ). 5-5 Kwadratische vergelijkingen 3a Invullen van r = 3 geeft A = 6 3 = 6 9= 5. b Dan moet gelden r =. En dan is r =. 3a x 3 0 3 y 0 5 5 0 b 5 y 0 8 6 y = x + 3 O 3 5 x c Bij y = 5 horen x = en x =. d Bij y = 0 horen x = 3 en x = 3. Invullen van y = 0 in de formule geeft x + = 0. e De vergelijking x + = heeft één oplossing, namelijk x = 0. f De vergelijking x + = 0 heeft geen oplossing, want de kleinste waarde van x + is. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo 35
36 33a x = 3 x = x = of x = b x = x = 0 x = 0 c De horizontale lijn door y = heeft geen snijpunten met de grafiek, want het laagste punt van de grafiek is (0, ), dus de vergelijking x = heeft geen oplossingen. 3a 5 s = p s 8 6 3 O 3 5 p 6 b De vergelijking p = 5 heeft twee oplossingen. c De vergelijking p = 3 heeft twee oplossingen. d De vergelijking p = 5 heeft geen oplossingen. 35a Dan moet gelden x = 9. b De vergelijking x = 8 heeft de twee oplossingen x = 7 en x = 7. c Dan moet gelden x = 6. d De tweede oplossing is x = 6. e Invullen van x = 6 geeft 6 = 6 = 5 en dat klopt. Invullen van x = 6 geeft ( 6) = 6 = 5 en dat klopt. 36a x + = 8 x = x = of x = Invullen geeft + = + = 8 en ( ) + = + = 8 en dat klopt. b x + = x = 0 x = 0 Invullen geeft 0 + = 0+ = en dat klopt. c Als x + =, dan moet gelden x = 3. Dat kan niet, want een kwadraat kan niet negatief zijn. d Een kwadratische vergelijking kan twee, één of nul oplossingen hebben. 37a x = 6 x = of x = Invullen geeft = 6 en ( ) = 6 en dat klopt. b p + = 0 p = 9 p = 3 of p = 3 Invullen geeft 3 + = 9+ = 0 en ( 3) + = 9+ = 0 en dat klopt. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo
c a = 3 a = a = of a = Invullen geeft = = 3 en ( ) = = 3 en dat klopt. d x + 5= 7 x = x = of x = Invullen geeft + 5 = + 5 = 7 en ( ) + 5= + 5= 7 en dat klopt. e 9 y = 0 y = 9 y = 7 of y = 7 Invullen geeft 9 7 = 9 9= 0 en 9 ( 7) = 9 9= 0 en dat klopt. f y = 5 y = 6 y = of y = Invullen geeft = 6= 5 en ( ) = 6= 5 en dat klopt. g 0 + x = 3 x = 3 x = 3 of x = 3 Invullen geeft 0 + 3 = 0+ 3= 3 en 0 + ( 3) = 0+ 3= 3 en dat klopt. h 5+ x = 5 x = 0 x = 0 Invullen geeft 5+ 0 = 5+ 0= 5 en dat klopt. i ( x + ) = x + = of x + = x = 0 of x = Invullen geeft ( + 0) = = en ( + ) = ( ) = en dat klopt. j 8 k = k = 9 k = 3 of k = 3 Invullen geeft 8 3 = 8 9= en 8 ( 3) = 8 9= en dat klopt. k ( x 3) = 0 x 3= 0 x = 3 Invullen geeft ( 3 3) = 0 = 0 en dat klopt. l ( x ) = 36 x = 6 of x = 6 x = 7 of x = 5 Invullen geeft ( 7 ) = 6 = 36 en ( 5 ) = ( 6) = 36 en dat klopt. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo 37
38 5-5 Gemengde opdrachten 38a 90 a = 0 a = 90 a = 36 a = 6 (of a = 6 ) Na 6 dagen zit er geen vitamine C meer in het pak. b a 0 3 5 c d p p 90 87 80 67 50 7 00 90 80 70 60 50 0 30 0 0 0 0 3 p = 90 a 5 6 7 8 a De grafiek snijdt de horizontale as in het punt (6, 0) en dat klopt. 39a x= ( 6q 7 ) e m= 5e+ 3e( e) 3 6q 7 6q 7 3 e 3e e 6e x= 6q+ 7 m= 5e+ e 6e m= 7e 6e b v= d( d) f k = ( h )( h + ) 3 d 3 h d d d h h h v= d+ d h k = h c m= 9q( 5 q) g k = d( 5d ) + 7d 3 5 q 3 5d 9q 5q 8q d 0d d m= 5q 8q k = 0d d+ 7d k = 0d + 5d d b= 7 7( y+ ) h p= 8u u( u 5) 3 y 7 7y 7 3 u 5 u 8u 0u b= 7 7y 7 p= 8u 8u + 0u b= 7y p= 0u Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo
0a a= ( x+ )( x + ) 3 x x x x x a= x + x + b= ( x 3) 3 x 3 x x 3x 3 3x 9 b= x 6x + 9 c= ( x+ )( x ) 3 x x x x x 6 c= x 6 d= ( x )( x + ) 3 x x x x x d= x b De formules c= ( x+ )( x ) en d= ( x )( x + ) kun je als een tweeterm schrijven. c p= ( a+ 3)( a 3) 3 a 3 a a 3a 3 3a 9 p= a 9 q= ( a+ 5)( a + 5) 3 a 5 a a 5a 5 5a 5 q= a + 30a + 5 r = ( a ) 3 a a a a a 5 r = a a + 5 s= ( a, )( a +, ) 3 a, a a,a,,a 5, s= a 5, De formules p= ( a+ 3)( a 3 ) en s= ( a, )( a +, ) kun je als een tweeterm schrijven. d De overeenkomst van alle vier moet zijn y= ( x+ getal)( x getal). Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo 39
0 a y= ( x+ 5)( x 5 ) d y= x + ( x+ )( x 5) 3 x 5 x x 0x 5 0x 5 3 x 5 x x 5x x 0 y= x 5 y= x + x x 0 y= 3x x 0 b y= ( x+ 5)( x 3 ) e y= ( x+ )( x 7) 3 x 3 x x 3x 5 5x 5 3 x 7 x x 7x 8x 8 y= x + x 5 y= x + x 8 c y= ( x 7)( x + 7 ) f y= ( x 0)( x+ 0) 6x 3 x 7 x x 7x 7 7x 9 3 x 0 x x 0x 0 0x 00 y= x 9 y= x 00 6x a 99 0 = ( 00 )( 00 + ) = 00 = 0 000 = 9999 b 33 7 = ( 30 + 3)( 30 3) = 30 3 = 900 9 = 89 c 88 = ( 00 )( 00 + ) = 00 = 0 000 = 9856 d 999 00 = ( 000 )( 000 + ) = 000 = 000 000 = 999 999 3a x = 36 x = 6 of x = 6 Invullen geeft 6 = 36 en ( 6) = 36 en dat klopt. b p = p = 5 p = 5 of p = 5 Invullen geeft 5 = 5 = en ( 5) = 5 = en dat klopt. c 3 c = 5 c = Dit kan niet. De vergelijking heeft geen oplossing. d ( x + ) + 5= ( x + ) = 6 x + = of x + = x = 3 of x = 5 Invullen geeft ( 3+ ) + 5= + 5= 6+ 5= en ( 5+ ) + 5= ( ) + 5= 6+ 5= en dat klopt. e 8 3e = 0 3e = 8 e = 6 e = of e = Invullen geeft 8 3 = 8 3 6= 0 en 8 3 ( ) = 8 3 6= 0 en dat klopt. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo
f ( a + ) = 9 a + = 7 of a + = 7 a = 6 of a = 8 a = 3 of a = Invullen geeft ( 3+ ) = ( 6+ ) = 7 = 9 en ( + ) = ( 8+ ) = ( 7) = 9 en dat klopt. g ( + x ) = 8 ( + x ) = 9 + x = 3 of + x = 3 x = of x = Invullen geeft ( + ) = 3 = 9= 8 en ( + ) = ( 3) = 9= 8 en dat klopt. h + g = 7 g = 6 g = 6 of g = 6 Invullen geeft + 6 = + 6= 7 en + ( 6) = + 6= 7 en dat klopt. Voor figuur geldt A= x( x + ) en A= x + x. Voor figuur geldt A= x( x ) en A= x x. Voor figuur 3 geldt A= ( x )( x ) en A= x 8x + 6. Voor figuur geldt A= ( x+ )( x + ) en A= x + 8x + 6. Voor figuur 5 geldt A= ( x+ 8)( x + 8 ) en A= x + 6x + 6. 5a Je krijgt 5 5 5, 5 5 65, 35 5 5 en 5 5 05. De regelmaat is dat je van 5 naar 65 er 00 bij moet doen, van 65 naar 5 er 600 bij moet doen en van 5 naar 05 er 800 bij moet doen, dus 00, 600, 800, enzovoort. b 65 5 60 3 70 5 5 5 en 75 5 70 3 80 5 5 565 c y= ( a+ 5) 3 a 5 a a 5a 5 5a 5 y= a + 0a + 5 y= a( a + 0) + 5 3 a 0 a a 0a y= a + 0a + 5 Na het wegwerken van de haakjes krijg je dezelfde formule. 6a Invullen van x = geeft y = ( ) + ( 05, ) =, 5= 5=. Invullen van x = geeft y = ( ) + ( 05, ) =, 5= 5, = 05,. Invullen van x = 0 geeft y = 0 + 0 ( 05, 0) = 0 0 0, 5= 0 0= 0. Invullen van x = geeft y = + ( 05, ) = + 0, 5= 05, = 05,. Invullen van x = geeft y = + ( 05, ) = +, 5= 3=. De grafiek kan bij de formule horen. b Sacha, kijk eens wat beter naar de formule en werk de haakjes weg. c De formule zonder haakjes schrijven geeft y= x + 05, x x oftewel y= 05, x en de grafiek daarbij is een rechte lijn. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo
fi I-a ICT Formules met dubbele haakjes x x 7x x 7 x x + 7 b A= x + x+ 7x+ A= x + 9x + c a r = s + 5s + 3 b k = n + 9n + c y= 0x + 9x + d b= v + v + e h= j + j + f d= c + 7c + g z= 0, y + 0, 6y + 30 h p= q + q + I-a 3 p 6 p p 6p p x + b Samennemen van 6p en p geeft p. c h= p + p I-3a y= x + 7x + 0 b k = t + 6 t + 0 c a= n + n 8 d m= e + e e q= 6t 9, t + 8, f s= c 3c + g p= q 7q 5 h l = 6m 5 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo
I-a k = ( r+ 3)( r + ) + e w= ( x+ )( x+ 6) 5x 3 r r r r 3 3r 6 3 x 6 x x x x k = r + 5r + 6+ w= x + 8x+ 5x k = r + 5r + 0 w= x + 3x + b b= ( g+ 3)( g) g f n= 3t + ( t+ )( 0 t) 3 g g g g 3 3g 3 0 t t 0t t 0 t b= g + g+ g n = 3t t + 6t+ 0 b= g 3g + n= t + 6t + 0 c g = k+ ( 5 k)( k) g h= ( f + 5)( f 5) f 3 k 5 5 5k k k k 3 f 5 f f 0f 5 0f 5 g = k+ k 6k+ 5 h= f 5 f g = k k + 5 h= f f 5 d m= ( v+ 3)( v 7) + v h z= ( q 6)( 3+ q) q 3 v 7 v v 7v 3 3v 3 3 q q 6q q 6 8 6q m= v v + v z= q 8 q m= 3v v z = 8 I-5a Je krijgt een bergparabool te zien. b De lijn x = is de symmetrieas van de grafiek. c De coördinaten van de top zijn (, ). d De coördinaten van de snijpunten met de horizontale as zijn (3, 0) en (, 0). Je kunt dit met de formule vinden omdat dan geldt x + 3= 0 of x = 0. e 3 x x x x 3 3 3x y= x x + 3 Ja, de twee grafieken vallen samen. f Invullen van x = in de formule geeft y = ( + 3)( ) = 7 3=. Van x = moet je vijf naar links om bij de symmetrieas te komen. Als je vanaf de symmetrieas weer vijf naar links gaat, dan kom je uit bij x = 5= 6. Het punt (6, ) ligt ook op de grafiek. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo 3
I-6a - b Je kreeg dalparabolen. c Je had dat alleen kunnen voorspellen als je de haakjes wegwerkt, anders niet. d De coördinaten van de snijpunten met de horizontale as van de grafiek bij de formule y= ( x+ 3)( x 3 ) zijn (3, 0) en (3, 0). De coördinaten van het snijpunt met de horizontale as van de grafiek bij de formule y= x zijn (0, 0). e De coördinaten van de top van de grafiek bij de formule y= ( x+ 3)( x 3 ) zijn (0, 9). De coördinaten van de top van de grafiek bij de formule y= x zijn (0, 0). f 3 x 3 x x 3x 3 3x 9 y= x 9 I-7a De coördinaten van de top van de grafiek zijn (0, ). b De coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de horizontale as zijn (, 0) en (, 0). c De lijn x = 0 is de symmetrieas van de grafiek. d y= ( x )( x + ) 3 x x x x x y= x De fout die Tirza gemaakt heeft is dat de top bij haar bij (0, ) ligt. Bij de grafiek hoort wel de formule y= ( x )( x + ) of y= ( x)( x + ) of y= ( x )( x ). I-8a Bij de grafiek op je scherm hoort de formule y= x. b Bij deze parabool hoort de formule y= x. c De grafiek snijdt de horizontale as in de punten (, 0) en (, 0) en dat is ook het geval bij de grafiek bij de formule y= ( x )( x + ). Verder krijg je als je in de formule y= ( x )( x + ) de haakjes wegwerkt de formule y= x. d y= x en y= ( x )( x + ) I-9a Je ziet nu de grafiek bij de formule y= x op je scherm. b Bij deze parabool hoort de formule y= x. c x = 0 x = x = x = of x = Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo
T-a b T-a b Test jezelf 5 y 0 8 6 3 O 3 5 x 6 8 Een grafiek als die uit opdracht a noem je een dalparabool. De coördinaten van de top zijn (0, 0) en het is een dalparabool. De coördinaten van de top zijn (0, 3) en het is dalparabool. 3 De coördinaten van de top zijn (0, 3) en het is bergparabool. De coördinaten van de top zijn (0, 6) en het is bergparabool. Bij formule A hoort parabool, bij formule B hoort parabool, bij formule C hoort parabool 3 en bij formule D hoort parabool 3. T-3a r = 83 ( s+ ) d b= 5c( c + 7) 3 3s 8 s 3 3 c 7 5c 0c 35c r = s+ 3 b= 0c + 35c b k = ( 3p+ )( p + 5 ) e h= ( 5+ j)( 3j + 7) 3 p 5 3p 3p 5p p 0 3 3j 7 5 5j 35 j 3j 7j k = 3p + 7p + 0 h= 3j + j + 35 c y= ( x+ )( 3x + 6 ) f a= ( b+ 6)( b + 05, ) 3 3x 6 x 6x x 3x 6 y= 6x + 5x + 6 3 b 0,5 b b 6b 6 b 3 a= b + 8b + 3 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo 5
6 T-a t = ( w+ ) e p= 5g+ gg ( + 7) 3 w 8w 3 g 7 g g 8g t = 8w+ p= 5g+ g + 8g p= g + 33g b r = 3( 5 n) f y= ( 5 + x) 3 5 n 3 5 x 3 65 3n 5 x r = 65 3 n y= 5 x y= 9 x c k = 9( a 6) g h= c+ c( 3 + c) 3 a 6 9 9a 5 3 3 c c 6c c k = 9a+ 5 h = c+ 6c+ c h= 0c+ c d f = b( b + 7 ) h q= 6e+ 3e( 5e 8) 3 b 7 b b 7b f = b 7b 3 5e 8 3e 5e e q= 6e+ 5e e q= 5e 0e T-5a q= ( r )( r + 0 ) e w= ( t+ )( t+ 5) t 3 r 0 r r 0r r 3 t 5 t t 5t t 0 q= r + 9r 0 w= t + 7t+ 0 t w= t + 3t + 0 b n= ( x )( x 6 ) f g = ( b+ )( b ) 3 x 6 3 b x x 6x b b b x 3 b 6 n= x 6 x + 3 g = b 6 c y= ( 5+ e)( e ) g d= ( 3+ a)( a) 8a 3 e 5 5e 0 e e e 3 a 3 6 a a 8a 6a y= e + 3e 0 d= 6a a+ 6 8a d= 6a a + 6 d v= ( h 8)( h 8 ) h p= ( k )( k ) + 5k 3 h 8 h h 8h 8 8h 6 3 k k k 6k k v= h 6h + 6 p= k 7k+ + 5k p= k k Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo
T-6a a 9 = 0 d 5 d = 5 a = 9 d = 0 a = 7 of a = 7 d = 0 b e + 3= 0 e x = e = 3 x = 9 Dit kan niet. x = 3 of x = 3 c ( y + ) = 5 f ( k )( k+ ) = 0 y + = 5 of y + = 5 k = 0 y = of y = 6 k = k = of k = T-7a h= ( d+ )( d + 3) 3 d 3 d d 3d d h= d + 7d + Er is 3 5 7 gedaan in plaats van 3 3. b k = ( c+ )( c, 5) 3 c,5 c c 9c c 9 k = c 5c 9 Er is c 9c gedaan in plaats van c 9c. c m= ( s )( + s) + 3 s s s s 8 s m= s 8+ m= s 6 Er is s s en 8 gedaan in plaats van s s en 8. T-8a De oppervlakte van het vierkant is 0 3 0 5 00 cm. Elk van de vier kleine vierkantjes heeft oppervlakte z 3 z 5 z cm. Voor de oppervlakte A in cm van deze figuur geldt dan A= 00 z. b Bij de lengte van 0 cm komt links en rechts z cm bij. Voor de lengte van die figuur geldt dan l = 0 + z. Voor de breedte geldt de formule b= 0 z. c A= ( 0 + z)( 0 z) d 3 0 z 0 00 0z z 0z z A= 00 z Het blijkt dat de oppervlakte van figuur gelijk is aan de oppervlakte van figuur. Dat komt omdat figuur uit figuur ontstaat door te knippen te plakken. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo 7
8 T-9a Dan is de rechthoek 5,5 5 7,5 bij 5 8 53 en is de oppervlakte 7,5 3 3 5 97,5. b Een formule met haakjes is A= ( c+ 5, )( c + 8 ). c 3 c 8 c c 8c,5,5c 0 d A= c + 0, 5c + 0 f f 3 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen A havo/vwo