Eerste deel van de cursus Algebra

Eerste deel van de cursus Algebra Procentrekenen Toename met p%: groeifactor = 1 + p% Afname met p% : groeifactor = 1 p% Toename in procenten = Afname in procenten = toename beginwaarde afname beginwaarde TLP 1 In november is de prijs van een product X. In december wordt een korting toegekend van p% maar in januari geldt een prijs van X verhoogd met p%. Met hoeveel procent is de prijs van het product gestegen in vergelijking met de prijs van december. A B C p 100 p 100 p 100p 100 p 00p D 100 p Antwoord: D - Prijs in december = X(1 p%) - Prijs in januari = X (1 + P %) Procentuele stijging t.o.v. december = toename waarde in dec = p X(1 p%) X(1 p%) 100 p 00p % X(1 P%) p 1 100 p 100 p 100 Evenredigheden Twee grootheden waarbij de verhouding van overeenkomstige maatgetallen gelijk is, noemen we recht evenredige grootheden. Rottiers William Pagina 1

Twee grootheden waarbij de verhouding van elke twee maatgetallen van de ene grootheid gelijk is aan de omgekeerde verhouding van de overeenkomstige maatgetallen van de andere grootheid, noemen we omgekeerd evenredige grootheden. Als dus een grootheid vermenigvuldigd wordt met r dan wordt de omgekeerd evenredige grootheid vermenigvuldigt met 1 r. TLP 1 Bij een gegeven productie van CO in het menselijk lichaam is de arteriële partieeldruk van CO (pco ) omgekeerd evenredig met de alveolaire ventilatie. Als de alveolaire ventilatie van 5 tot 6,5 liter/minuut toeneemt, dan A zal de arteriële partieeldruk van pco afnemen met 0%; B zal de arteriële partieeldruk van pco afnemen met,5%; C zal de arteriële partieeldruk van pco afnemen met 5%; D kan de wijziging in de arteriële partieeldruk van pco hier niet uit afgeleid worden. De alveolaire ventilatie wordt vermenigvuldigd met 6,5 1,5. Omdat de alveolaire 5 ventilatie omgekeerd evenredig is met de arteriële partieeldruk is de vermenigvuldigheidsfactor bij pco gelijk aan 1 0,8 1,5. Dit is een afname van 0 %. Antwoord: A TLP De concentratie van stof A neemt af met 0%. Dit betekent dat de concentratie vermenigvuldigd wordt met 0,80 ( nl. 1 0%). De concentratie van stof B wordt dan, wegens de omgekeerd evenredigheid, 1 vermenigvuldigd met 0,80 1,5. Dit is een toename van 5 %. Antwoord: B. TLP 3 De concentraties van stof A en stof B zijn omgekeerd evenredig. Als de concentratie van stof A afneemt met 50 %, wat gebeurt er dan met stof B? A De concentratie van stof B neemt toe met 50% B De concentratie van stof B neemt toe met 100% Rottiers William Pagina

C De concentratie van stof B neemt toe met 5% D De concentratie van stof B neemt toe met 6,5% De concentratie van stof A neemt af met 50%. Dit betekent dat de concentratie vermenigvuldigd wordt met 0,50 ( nl. 1 50%). De concentratie van stof B wordt dan, wegens de omgekeerd evenredigheid, 1 vermenigvuldigd met 0,50. Dit is een toename van 100 %. Antwoord: B De cirkel Middelpuntsvergelijking De cirkel C(M,R) met M(x 1,y 1 ) heeft als vergelijking (x x)²(y 1 y)² 1R² Algemene vergelijking Als a² b² c > 0, dan is x² y² ax by c 0 de vergelijking van een cirkel C (M,R) met M( 4 4 a b, ) en R = a² b² 4c. 4 TLP 1 Wat is de straal van de cirkel met vergelijking x² 6x + y² 4y = 36? A 6 B 7 C 9 D 36 Breng eerst het rechterlid op nul: x² 6x + y² 4y 36 = 0 Co(M) = (3,) en R = 3² ² 36 7 Antwoord: B TLP Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-,3). Tweede bewering: De vergelijking y² + x² 6y 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor met straal. A B C Beide beweringen zijn juist. Alleen de eerste bewering is juist. Alleen de tweede bewering is juist. Rottiers William Pagina 3

D Beide beweringen zijn onjuist. - y² - 6y + 1 = 4x 1 3 1 x y² y 4 4 3 1 1 9 1 D = 4.. 4 4 4 4 D b De coördinaat van de top = (, ) = (-, 3) 4a a De eerste bewering is juist. - y² + x² 6y 4x + 4 = 0 is de vergelijking van een cirkel met middelpunt (,3) en straal ² 3² 4 9 3. De tweede bewering klopt niet. Antwoord: B TLP 3 Gegeven: de cirkel met vergelijking ax² + ay² + bx + cy = 6 gaat door de punten A(0,3), B(-1,0) en C(3,-3). A a = -1 B b = -5 C c = 1 D c = 5 We drukken uit dat de coördinaten van de punten A, B en C voldoen aan de vergelijking van de cirkel. 9a 3c 6 a b 6 9a 9a 3b 3c 6 3a c a b 6 6a b c c 3a b a 6 6a a 6 3a c 1 b 5 a 1 Antwoord: B Rottiers William Pagina 4

De parabool De parabool met vergelijking y = ax²+bx+c - Vorm parabool a > 0: dalparabool of holle zijde naar boven a < 0: bergparabool of holle zijde naar beneden. - Vergelijking symmetrieas: x = b a b D - Coördinaat van de top T = (, ) met D = b² 4ac. a 4a - De nulwaarden zijn de oplossingen van de vkv ax² + bx + c = 0 De parabool met vergelijking x = ay²+by+c De vergelijking van de parabool x = ay² + by + c ontstaat uit de parabool y = ax² + bx + c door x en y te verwisselen. Grafisch komt dit neer op een spiegeling om de eerste deellijn (bissectrice) bij een orthonormaal assenstelsel. Bijgevolg geldt: - De parabool stelt geen functie voor. - Vorm a > 0 : holle zijde naar rechts; a < 0: holle zijde naar links. - Vergelijking symmetrieas: y = b a D b - Co (T) = (, ) 4a a - Snijpunten met de y-as: y-waarden zijn de oplossingen van ay² + by + c= 0. Voorbeeld Bespreek de parabool met vergelijking x = y² 3y - Vorm: holle zijde naar rechts - Vergelijking symmetrieas: y = 3 17 - Co(T) = (, 3 4 ) - Snijpunten met de y-as: (0, 3 17 ) en (0, 3 17 ). Rottiers William Pagina 5

TLP 1 We beschouwen de parabool met vergelijking x = y² 3y. Welke uitspraak klopt? A De parabool raakt de y-as. B Deze parabool snijdt de y-as niet. C Deze parabool snijdt de y-as eens boven en eens onder de x-as. D Deze parabool snijdt de y-as in twee punten die allebei boven de x-as liggen. Snijpunt(en) met de y-as: stel x = 0 y² 3y 0(D 17) 3 17 3 17 y of y Bijgevolg snijdt de parabool de y-as eens boven en eens onder de x-as. Antwoord: C TLP In welk kwadrant ligt de top van de vergelijking 3x = 5y² + 6y + 7? A B C D I II III IV De vergelijking van de parabool herleid tot de standaardvorm: Rottiers William Pagina 6

Logaritmen Definitie Voor 5 7 x y² y 3 3 5 7 140 18 D = 4 4 4 3 3 3 3 18 D 3 18 3 xt 4a 0 0 5 3 b 6 3 yt a 10 10 5 3 De top ligt bijgevolg in het vierde kwadrant. Antwoord: D TLP 3 We beschouwen de twee parabolen met vergelijkingen y = -3x² + x + 5 en y = x² -3x +. Hoeveel punten hebben deze twee gemeenschappelijk? A 0 B 1 C D 4 De gemeenschappelijke punten worden bepaald door het stelsel S: y 3x² x 5 y 3x² x 5 y x² 3x 3x² x 5 x² 3x y 3x² x 5 5x² 4x 3 0 De discriminant van de tweede vergelijking is 16 4.5.(-3) = 76 >0. Bijgevolg heeft de vkv twee verschillende oplossingen x 1 en x. Hiermee corresponderen twee y-waarden. Antwoord: C a \ 1 en x geldt: 0 0 De exponent waartoe men a moet verheffen om x te bekomen, noemt men de logaritme van x met grondtal a. De logaritme van x met grondtal a noemen we kortweg de a - logaritme van x en we a noteren log x. In symbolen Rottiers William Pagina 7

a 0 x 0 \ 1, : a log x y x a a y Gevolg: log a y Voorbeelden 3 3 3 log 7 log3 3 y 3 log log log 3 8 1 1 3 3 3 6 4 6 5 5 5 5 5 5 log log log log 5 log 55 5 5 4 4 65 5 5 15 5 5 6 5 5 Rekenregels van bewerkingen Voor a \ 1 en x, y geldt: log x y log x log y 1 0 0 a a a x log log x log y y a a a a r a log x r log x met r 3 TLP Gegeven log = 0, 301 en log 3 = 0,477 Gevraagd: bepaal log(11 + 1 4 ) A 1,395 B 1,147 C 1,051 D 0,934 : C 1 45 log(11) log() log 45 4 4 log 4 log(9 5) log ² log9 log5 log 10 log3² log() log log3 log10 log log log 3 3log 1 0, 477 3 0,301 1 1,051 Deling van veeltermen Algemeen Bij de deling van een veelterm A(x) door een veelterm B(x) geldt steeds: A(x) = B(x).Q(x) + R(x) met gr R(x) < gr B(x) of R(x) = 0. Rottiers William Pagina 8

Euclidische deling van veeltermen Voorbeeld 1 4 Als 8x 10x³ 7px² 5qx 9r deelbaar is door 4x³ 7x² 1x 18, bepaal dan p + q + r. (TLP arts - aug 00) smethode : Euclidische deling 4 8x 10 x³ 7 px² 5qx 9r 4 x³ 7 x² 1x 18 4 8x 14 x³ 4 x² 36x x 1 4 x³(4 7) ²(36 p x 5) 9 q x r 4 x³ 7 x² 1x 18 (49 7) p ²(15 x 5) q9 x 18 r Deze deling is opgaand 49 7p 0 p 7 15 5q 0 q 3 9r 18 0 r Bijgevolg is p + q + r =1 Voorbeeld Bepaal de veelterm A(x) van de tweede graad die deelbaar is door x 3, die bij deling door x rest 1 heeft en die bij deling door x + 1 en x 1 dezelfde rest heeft. Stel A(x) = ax² + bx + c. We drukken de voorwaarden uit met behulp van de reststelling. A(3) 0 A() 1 A( 1) A(1) 9a 3b c 0 4a b c 1 a b c a b c Rottiers William Pagina 9

9a c 0 4a c 1 b 0 5a 1 c 1 4a b 0 1 a 5 b 0 9 c 5 TLP Antwoord: A(x) = 1 x² 9. 5 5 Euclidische deling 4 x x px qx r x x x 4 ³ 6 ² 4 ³ 3 ² 9 3 4 x x x x x 3 ³ 9 ² 3 1 x³(6 p9) ²(4 x 3) q xr x³ 3 x² 9x 3 (6p 1) x²(4 q1) xr3 Deze deling is opgaand 6p 1 0 p 4q 1 0 q 3 r 3 0 r 3 Bijgevolg: p.(q + r) =.6 = 1 Antwoord: A Rottiers William Pagina 10

Goniometrie Driehoeksmeting Goniometrische formules in een driehoek Rechthoekige driehoek Definities In een rechthoekige driehoek ABC geldt: Sinus van een scherpe hoek = lengte van de overstaande rhsz lengte van de schuine zijde Cosinus van een scherpe hoek = lengte van de aanliggende rhsz lengte van de schuine zijde Tangens van een scherpe hoek = lengte van de overstaande rhsz lengte van de aanliggende rhsz In formulevorm: sin = b a sin = c a cos = c a cos = b a tan = b c tan = c b Stelling van Pythagoras a² = b² + c² Willekeurige driehoek In een willekeurige driehoek onderscheiden we de siunus en de cosinusregel. 180 Sinusregel sin sin sin a b c Cosinusregel a² b² c² b.c.cos b² a² c² a.c.cos c² a² b² a.b cos TLP 009 Rottiers William Pagina 11

Gegeven: een driehoek met een hoek van 30, een aanliggende zijden met een lengte van cm en van Wat is de lengte van de andere zijde? 30 b c 3 3 cm. Gevraagd: a Cosinusregel: a² =4 + 3 4-3 cos 30 = 4+ 3 4-4 3 3 = 7 4 TLP Juli 010 a 7 De afmetingen van een rechthoek zijn 1 en. Bereken de afstand van een hoekpunt tot de diagonaal waartoe het hoekpunt niet behoort. Stelling van Pyth.: D( ) 1 9 D 3 Oppervlakte gearceerde driehoek is enerzijds = D x Anderzijds: 1 Rottiers William Pagina 1

Bijgevolg geldt: D x = x 3 Tweede methode Stel de hoek tussen de diagonaal en een zijde (zie tekening). Dan geldt : sin D 3 x Anderzijds: sin x 1 Uit beide resultaten volgt: x = 3 Goniometrische vergelijkingen van de vorm n n p.sin(ax b) q en p.cos(ax b) q met n 1of n 1 p.sin(ax + b) = q of p.cos(ax + b) = q p.sin(ax + b) = q q sin(ax b) p Voor p 1 1 geldt: q 1 p 1 p ax + b = sin k.360 of ax b 180 sin k.360 q q Los de beide vergelijkingen verder op naar x. Omdat het rekentoestel niet toegelaten is zal één hoek een merkwaardige of bijzondere hoek zijn. Analoog voor de p.cos(ax + b) = q Hierbij is het dus nodig volgende tabel van buiten te kennen: Hoek 0 30 45 60 90 180 360 Sin 0 1 3 1 0 0 Cos 1 3 1 0 1 1 Ook kennis van de sinus- en cosinusformules van verwante hoeken is nodig: Rottiers William Pagina 13

sin(180 - x) = sin x sin( x ) = sin x sin( 180 + x) = - sin x sin(90 x) = cos x cos (180 x) = cos x cos ( x ) = cos x cos (180 + x ) = cos x cos( 90 x) = sin x Voorbeeld 1 sin(x + 40 ) = 3 sin(x + 40 ) = 3 sin(x 40) sin 60 x 40 60 k.360 of x 40 10 k.360 x 0 k.360 of x 80 k.360 x 10 k.180 of x 40 k.180 De vergelijking heeft dus 4 verschillende oplossingen in het interval [0,360 ]: 10, 190, 40, 0. Voorbeeld cos(x 30) 1 1 cos(x 30)( cos 60) x 30 60 k.360 x 30 k.360 of x 90 k.360 x 15 k.180 of x 45 k.180 Verschillende oplossingen in [0,360 ] zijn: 15,195,135, 315. Antwoord: B Alternatief Rottiers William Pagina 14

Zijn de antwoordmogelijkheden hoeken dan kan je soms vlugger het antwoord bepalen door de hoeken te vervangen. x = 10 :.cos(70 ) = 0 x =135 :.cos (300 ) =.cos(-60 ) =.cos 60 = 1 Dus B = oplossing. p.sin (ax + b) = q of p.cos (ax + b) = q Voorbeeld 1 (TLP 010) Vermits de antwoordalternatieven hoeken zijn kan je beter de mogelijkheden nagaan. x = 140 : cos² 450 = cos² 90 = 0 x = 145 : cos² 465 = cos² 105 105 is geen geen merkwaardige. Hoek 1 1 x = 150 : cos² 480 = cos² 10 = (-cos 60 )² =. 4 x = 155 : cos² 495 = cos² 135 = (- cos 45 ) 1 =. 1 D is de oplossing. Voorbeeld (TLP juli 00) Welke van de volgende waarden voldoet aan de vergelijking: 4sin ²(x 40) 3 A -50 B -0 C 0 Rottiers William Pagina 15

D 50 Voorbeeld 3 (TLP 009) Hoeveel oplossingen tussen 0 en 360 heeft de vergelijking sin² x = 1 A 1 B C 4 D 8 1 sin ²x sin x of sin x sin x sin 45 of sin x sin( 45) x 45 k.360 of x 135 k.360 of x 45 k.360 of x 5 k.360 x 30' k.180 of x 6730' k.180 of x 30' k.180 of x 1130' k.180 Verschillende oplossingen : 30 ; 0 30 ; 67 30 ; 47 30 ; 157 30 ; 337 30, 11 30 ; 9 30 Antwoord: D Verdubbelingsformules sin x = sinx.cos x cos x = cos²x sin²x = 1 - sin² x = cos² x 1 Afgeleide formules sin 4x = sinx.cos x cos 4x = 1 sin² x = cos² x 1 1 cos 4x = sin² x 1 + cos 4x = cos² x sin 6x = sin 3x. cos 3x cos 6x = 1 sin² 3x = cos² 3x 1 1 cos 6x = sin² 3x 1 + cos 6x = cos² 3x Rottiers William Pagina 16

1 cos x sin ²x 1 cos x cos ²x 1 cos 4x sin ²x 1 cos 4x cos ²x. Formules van Simpson De formules van Simpson vormen een som of product van sinus of cosinus om in een product. p q p q sin p + sin q = sin.cos p q p q sin p sin q cos.sin p q p q cos p cos q cos.cos p q p q cos p cos q sin.sin Goniometrische functies Algemeen In de vorm f(x) = a.sin[b(x-c)] + d bepalen de coëfficiënten a, b, c en d de kenmerken van de grafiek. - De amplitude is a. - Het bereik van f is [- a +d, a + d ]. - De periode is b. - Het fasepunt van de grafiek van f is (c,d). - De evenwichtslijn van de grafiek van f is de rechte y = d. - Als a negatief is, is de grafiek gespiegeld om de evenwichtslijn. Rottiers William Pagina 17

TLP geneeskunde 1997 Een volwassene ademt gemiddeld 1 keer per minuut. De luchtstroomsnelheid (in liter/seconde) wordt bij het inademen positief en bij het uitademen negatief gerekend. De luchtstroomsnelheid kan benaderd worden met de volgende sinusoïde. Bij hardlopen wordt de periode van de ademhalingscyclus gedeeld door 3 en de luchtstroomsnelheid wordt vier keer zo groot. Gevraagd: a. Bepaal het functievoorschrift van de getekende sinusoïde. b Bepaal het functievoorschrift van de sinusoïde bij hardlopen. a De functie is van de vorm f(x) = a.sin(bx + c) + d Het fasepunt is de oorsprong. Bijgevolg is c = d = 0. a = 0,5 (amplitude) Periode = 5 = b. b 5 Dus f(x) = 0,5.sin( 5.x) b amplitude = 4 x 0,5 = periode = 5 6 s b 3 5 Bij hardlopen: f(x) =.sin( 6 5.x) Rottiers William Pagina 18

De functie is van de vorm f(x) = a.sin(bx + c) + d Het fasepunt is de oorsprong. Bijgevolg is c = d = 0. a = 50 (amplitude) Periode = 1 = b. b Na inspanning: amplitude = 4 x 50 = 1000 De periode is omgekeerd evenredig met de frequentie. Als de frequentie verdubbelt, dan wordt de periode gehalveerd. Periode = 1 b 4 Dus f(x) = 1000.sin 4t Antwoord: B Rottiers William Pagina 19