Basiswiskunde_Week_1_2.nb 1 Week 1_2 P.4 Functies en hun grafieken P.5 Combineren van functies
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 2 P.4 Functies en grafieken Een functie f van verzameling D in verzameling S is een recept, dat aan iedere x in D een uniek element f HxL in S toekent. De verzameling D wordt het domein van f genoemd en met DHf L aangegeven. De elementen f HxL worden de functiewaarden of beelden van f genoemd. Het bereik (range) van f, notatie RHf L, bestaat uit alle beelden f HxL, x in DHf L. Zie figuur P.35 in Adams De domeinconventie Als een functie f gedefinieerd is zonder het domein te noemen, dan bestaat DHf L uit alle x in R waarvoor f HxL een reëel getal is. Voorbeeld: de sinus is een functie en sinhxl is een functiewaarde.
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 3 P.4 Voorbeeld 1 Beschouw f HxL = 2 - x. Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek. DHf L = H-,2D, RHf L = @0, L Via gafiek van x. 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5-4 -2 2 4
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 4 P.4 Voorbeeld 2 Beschouw f HxL = 1 + x 2. Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek. DHf L = R, RHf L = @1, L Via f H0L = 1 en f HxL º x als x Ø 5 4 3 2 1-4 -2 2 4-1
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 5 P.4 Voorbeeld 3 Beschouw f HxL = x+1 x-2. Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek. DHf L = H-,2L H2, L We schetsen eerst grafiek van f. Als x Ø, dan f HxL º 1. Als x Ø 2 en x > 2, dan f HxL Ø. Als x Ø 2 en x < 2, dan f HxL Ø- 4 2-2 2 4 6-2 -4 RHf L = H-,1L H1, L
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 6 P.4 Voorbeeld 4 Beschouw f HxL = x2 +1. x Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek. DHf L = H-,0L H0, L Er geldt f HxL = x + 1 x. We schetsen eerst de grafiek via de grafieken van x en 1 x. 4 2-4 -2 2 4-2 -4 Omdat f HxL = 1-1 heeft f een maximum in x =-1 en een minimum in x = 1. x 2 De bijgehorende waarden zijn -2 respectievelijk 2. Dus RHf L = H-, -2D @2, L
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 7 P.4 Even en oneven functies Beschouw een functie f met domein DHf L zó, dat als x œ DHf L, dat dan -x œ DHf L. De functie f is even als f H-xL = f HxL voor alle x œ DHf L. De functie f is oneven als f H-xL =-f HxL voor alle x œ DHf L. 2 1-4 -2 2 4-1 -2 4 2-4 -2 2 4-2 -4 De eerste grafiek is van een oneven functie. Hij is symmetrisch tov oorsprong. De tweede grafiek is van een even functie. Hij is symmetrisch tov de y-as. Beschouw de sinus. Noem alle symmetrie-assen en -punten.
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 8 P.4 Vraag * Beschouw de grafiek van een functie f met domein DHf L = @0, 2D. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2-3 -2-1 1 2 3 Schets de grafieken van de functie g gedefineerd door ghxl = f H-xL, ghxl = f H2 - xl, ghxl = f HxL + 2, en ghxl = 2 - f HxL.
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 9 P.4 Antwoord 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2-3 -2-1 1 2 3 3.0 2.8 2.6 2.4 2.2-3 -2-1 1 2 3 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2-3 -2-1 1 2 3-3 -2-1 1 2 3
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 10 P.5 Combineren van functies Het combineren gaat op 3 manieren: é algebraïsch é samenstellen é plakken (zelf bestuderen) Enkele symbolen uit de verzamelingenleer: é a œ V a is een element van V. é De verzameling V W is de vereniging van V en W, dwz a œ V W als a œ V of a œ W é De verzameling V W is de doorsnede van V en W, dwz a œ V W als a œ V én a œ W. é «is de lege verzameling. Voorbeelden: H-3, 5D @2, 8L = H-3, 8L en H-3, 5D @2, 8L = @2, 5D Opmerking A B C is de vereninging van de verzamelingen A, B en C etc.
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 11 P.5 Algebraïsch combineren Laat f en g functies zijn met domeinen DHf L en DHgL. Som f + g met Hf + glhxl = f HxL + ghxl voor x œ DHf + gl = DHf L DHgL, Product f g met Hf glhxl = f HxL ghxl voor x œ DHf gl = DHf L DHgL, Quotiënt f met J f f HxL NHxL = voor x œ DJ f N. g g ghxl g Domein DJ f N uit alle x œ DHf L DHgL met ghxl 0. g Voorbeeld: Beschouw f HxL = 1 + x en ghxl = 1 - x. Wat zijn de domeinen DHf gl en DJ f N? g Nu is DHf L = @-1, L en DHgL = H-,1D. Antwoord DHf gl = @-1, 1D en DJ f N = @-1, 1N. g
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 12 P.5 Samenstellen Beschouw de functies f en g met hun domeinen. De samengestelde functie f é g is de functie gedefinieerd door Hf é glhxl = f HgHxLL waarbij DHf é gl bestaat uit alle x œ DHgL waarvoor ghxl œ DHf L. Zie figuur P.60 uit Adams
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 13 P.5 Voorbeeld 1 Beschouw ghxl = x+1 x+2 en f HxL = x+1 x. (1) Geef Hf é glhxl en bepaal DHf é gl. (2) Vereenvoudig de gevonden uitdrukking voor Hf é glhxl. (1) Nu is Hf é glhxl = f HgHxLL = ghxl+1 ghxl = x+1 x+2 +1 x+1 x+2 DHgL bestaat uit R behalve -2. DHf L bestaat uit R behalve 0. De vgl ghxl = 0 heeft een oplossing en wel x =-1. Dus DHf HgLL bestaat uit R behalve -2 en -1.. (2) Nu is x+1 x+2 +1 x+1 x+2 = x+1+x+2 x+1 = 2 x+3 x+1.
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 14 P.5 Voorbeeld 2 * Beschouw de functie f HxL = Bepaal ghxl. Nu is x x+1 en de onbekende functie g zodanig dat f HgHxLL = x2. ghxl ghxl+1 = x2. Dus ghxl = x 2 ghxl + x 2 ofwel ghxl = x2 1-x 2.