oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 7 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde factor. Zijde met lengte wordt vergroot tot zijde Q met lengte 7. e vergrotingsfactor is dus 7. c Ook de andere zijden worden vergroot met factor 7, dus R 7 7 5, 5 en 7 7 RQ, 5. V-a cm 0 cm 60 cm e vergrotingsfactor is 0 00. c Lijnstuk is de afstand tot de toren. us 60 0 000 cm = 00 meter. V-a Nee, arlo heeft geen gelijk. e lijnen vormen geen Z-figuur, want en zijn niet evenwijdig. want en zijn evenwijdig en worden gesneden door. c 60 (Z-oeken), 50 (Z-oeken), 60, 0 60 0, 0 60 50 70, 0 70 0, 0 50 0. e andere hoeken zijn niet te erekenen omdat de ligging van lijn niet epaald is. ladzijde 79 V-a e drie driehoeken zijn gelijkvormig omdat ze overeenkomstige hoeken gelijk heen. In volgorde van,, geldt: en 90 en dus geldt ook.. 6. c 6 6 0, 9 en 6 0, 7.
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel V-5a tan tan ( ) 7. V-6a cos cos 0 cos 0, 06. sin sin 0 sin 0, 57. 0 tan tan 6 7 7., tan 6 9 6 6 sin sin 6 7 7, sin 6 9. 7 c tan tan 50, tan 50 0 07. sin sin 50, sin 50 5 66. 50 V-7a cos cos 6 cos, 7. 6, 55 5,., tan 7, 6 67. c sin sin 6 sin, 69. 6 Oppervlakte, 7 (, 69 ), 5. 0. e cosinusregel ladzijde 0 a sin sin 0 0 sin 0 9, 5. 0 cos cos 0 0 cos 0, 7. 0 5, 7, 6.
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel c 9, 5, 6 6, 5. a cos cos 0 0 cos 0 9, 0. 0 9, 0 5, 0. 00, 0,., 70 9, 6 5, 6. a sin sin. cos cos en c cos a ( sin ) ( c cos ) a sin ( c c cos cos ) a sin cos c c cos c a (sin cos ) c c cos a c c cos ladzijde a cos 5 9 59 cos9 9 5 6, 97, 07, 0 9 5 R QR Q RQ Q RQ cos 5 QR 5 5cos5 5 Q QR 5 69 5, 95 95, 95 QR, c 5 5cos 0 cos 6 5 5 5 cos 5 5 0 5 cos 9 cos 6 5 7 cos 7 95 9 5
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel 5a W,75 km (5,50 cm op schaal),7 km (9, cm op schaal) K WK K W K W cos WK, 75, 7, 75, 7 cos WK 7, 56, 9, 9 0, 55 WK, 5. e afstand van de watertoren tot de kerktoren is dus,5 km. 6 Q iernaast staat een tekening van de situatie. e hoek tussen noord-oost en zuid is 5. km RQ R Q R Q cos,5 km 5 RQ, 5, 5cos 5 RQ, 5, 5, 7 RQ,. us de afstand tussen R en Q is, km. R 7a 9, 6 0 0, 9 6 5 5. cos 5 0 5 0 cos cos 5 0 0, 755. 0 0 cos 5 0 0 cos cos 0 5 0, 76. 0 n dus 0 76 60 ij een gelijkenige driehoek zijn twee zijden van de driehoek even lang. ij driehoek ligt zijde vast op 5. unt kun je alleen verplaatsen over rie. = kan niet omdat de driehoeken waarin deze zijden voorkomen zijde gemeenschappelijk heen en de andere zijden ongelijk zijn. us is gelijkenig als = = 5 of als = = 5. e geval: = = 5. Voor moet dan volgens de stelling van ythagoras gelden: 5 5 6 9. e geval: = = 5. Voor moet dan volgens de stelling van ythagoras gelden: 6 5 5 9 6.
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel c ij een gelijkzijdige driehoek zijn alle drie zijden even lang. Voor moet dus gelden dat alle zijden 5 zijn want heeft een vaste lengte van 5. ij opdracht he je erekend in welke gevallen gelijkenig is. lleen in deze gevallen zou de driehoek dus ook nog gelijkzijdig kunnen zijn. Maar de lengte van is verschillend om elk van de zijden 5 te laten zijn. et kan dus niet. 0. e hoek tussen twee lijnen ladzijde a e lijnen en liggen in het voorvlak. (,) = = 5 want diagonaal deelt in het vierkant de hoek middendoor. en liggen in vlak. Omdat in de zijden diagonalen zijn van even grote vierkanten zijn de zijden ook even groot. is dus gelijkzijdig. an is de hoek tussen en dus 60. c 6 6 d Noem het snijpunt van en. e scherpe hoek die maakt met is gelijk aan. eken de loodlijn. e scherpe hoek waaronder en elkaar snijden is gelijk aan.. tan 5, (, ) 7 e Je kunt de hoek van kruisende lijnen erekenen door één van de lijnen evenwijdig te verschuiven tot deze de andere lijn snijdt. Omdat evenwijdig is aan, geldt dus dat (, ) (, ). f (, ) (, ) 5. 9a ( M, ) ( M, ) M. tan M M 6 ( M, ) ( M, ) M 90. c ( N, ) ( N, ) N. N 0 tan N N 0 N d ( N, ) ( N, ) ( N, N) unt is het midden van. ereken de zijden van driehoek N. 6 0 6 0 6 ; N ; N 0 6 6. osinusregel in N : N N N N cos N 6 6 6 cos N cos N 6 6 N 76. 7
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel ladzijde 0a c en K liggen in vlak. it vlak snijdt op hoogte. an liggen K en L ook op hoogte, dus K ligt in het midden van en L in het midden van. e paren K en L en Len K zijn evenwijdig dus is vierhoek KL een parallellogram. Omdat K = L = L = K = 0 is, is KL zelfs een ruit. Omdat KL het eeld is van na een evenwijdige verplaatsing aan zichzelf, is de hoek tussen de lijnen en gelijk aan de hoek tussen de lijnen KL en. e lijnen KL en zijn de diagonalen in de ruit KL en snijden elkaar dus loodrecht. us (, ) ( KL, ) 90. a en liggen in het vlak en vierkant waarin de diagonaal de hoek middendoor deelt. us (, ) 5. 90 dus 6 0 In geldt: sin M M M 6, 6 0 M us (, ) M 5. c 6 6 en M sin M M 0, 7 M 0 en 0 0 M N d sin N N 9, N 7. 0 K is het midden van en M is het midden van. an geldt: // KM en // K. us (, ) ( K, KM) MK. K 0 ; KM ; M. In KM geldt: M K KM K KM cos MK 0 0 cos MK cosmk us (, ) 90. 0 0 MK 90. 0 a = N Q = = = is de projectie van op het grondvlak. an geldt: 6 9 5 5 meter.
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel ekijk. r geldt: 5 5, meter. ekijkq. r geldt Q 9 5 5 meter. c,5 59 59 5 d ekijk. = 6, = =. M is het midden van sin M M (, ) 6. e Omdat // geldt (, ) (, ). a Lijnen die loodrecht kruisen zijn zijn alle lijnen in vlak die niet door gaan, dus ijvooreeld en. (, ) (, ). tan. us (, ). 5 c (, ) (, ). riehoek is rechthoekig ij hoek en 5 9. us tan 9. (, ) 9. 5 a lke piramide heeft een hoogte die gelijk is aan de hoogte van driehoek. Voor deze hoogte h geldt: h meter. e diagonalen van snijden elkaar in punt M. M meter. us geldt: Q M QM Q 5, meter. et midden van is K. an geldt: (, Q) ( QK, Q) QK. Verder is K 5, QK en Q Q 5. e cosinusregel in driehoek KQ geeft: K KQ Q KQ Q cos QK 5 5 5 cosqk cosqk 9 5 QK 6. 5 c (, Q) ( QK, Q) QK. QK QK, dus geldt QK QK ( Q, ) 6. 0. e hoek tussen lijn en vlak ladzijde 5a - (, ) 90, want is een rechthoek. c (, ) (, ) 90, want ook is een rechthoek. (, ) 90, (, ) 90, want en zijn vierkanten. d Voor elke lijn in vlak geldt dat de hoek met 90 is. 9
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel 6a We tonen aan dat loodrecht staat op twee snijdende lijnen in vlak. staat loodrecht op vlak want:, dus:. c. d Wanneer zou staan, dan zou loodrecht op elke lijn staan in, maar dat is niet zo want ijvooreeld (, ) 5. us staat niet loodrecht op vlak. e en staan loodrecht op vlak, dus staan en loodrecht op. en staan loodrecht op vlak, dus staan en loodrecht op. en staan loodrecht op vlak, dus staan en loodrecht op. f Vlakken gevormd door de zijvlaksdiagonalen uit opdracht e staan loodrecht op. us staat ook loodrecht op. 7a riehoek is een gelijkzijdige driehoek met zijde 6. riehoek is en gelijkenige driehoek met zijden 6 en 6. 6 6 6 6 6 6 Noem het midden van punt M. an is vlak M het loodvlak van dat door gaat want: M M. M M c d 50 Zie de tekening hieroven. e lijn door die loodrecht snijdt is M. eken door U de lijn Q // en de lijn UK //M. eken vervolgens de lijnen KN // M en KL//M. Vlak QLKN gaat door U en is evenwijdig aan M, K dus staat loodrecht op. N U L M Q
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a riehoek is rechthoekig dus geldt tan 5 Omdat de paal nu scheef staat is ' ' en ', dus ' ' tan ' ' tan ' '. ' ladzijde 5 9a e projectie van op vlak is, op vlak is, op vlak is, op vlak is, op vlak is en op vlak is. e grootte van een hoek hangt niet af van de afmetingen van de enen van die hoek, maar van de verhoudingen en die lijven ij een kuus steeds hetzelfde. c We nemen de rie van de kuus a, dan geldt: (, ) (, ). ligt in vlak. tan a 5. a e hoeken van met de andere zijvlakken zijn ook 5, want steeds worden dezelfde driehoeken gevormd. d (, ) (, ) M M a tan M M 55. us (, ) 55. M a 0a e loodrechte projectie van op vlak is. (, ) (, ) 5 e projectie van op is punt R, het snijpunt van en. us (, ) (, R) R. a sin R R 0 a a a R 5
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel c e projectie van op vlak is het snijpunt van de diagonalen en. e projectie van Q op vlak komt ook op terecht, dus ( Q, ) ( Q, ) Q 0,5a Q a a ekijk driehoek Q. 5 en tan 7. a us is 0 5 7 0 Q ( Q, ) 0 0 7 Om de projectie van op te vinden moet je vanuit loodrecht naar. Wanneer de hoogtelijn in driehoek is, dan is de projectie van dus. (, ) (, ). oogtelijn vanuit. heeft lengte 5. Oppervlakte van 5 5. Nu (, ) erekenen: 0 5 5 sin. 0 0. e hoek tussen twee vlakken ladzijde 6 a Zet de hoekpunten erij. Je ziet dat ijvooreeld de lijn niet evenwijdig loopt met vlak en dat geen rechte hoek maakt met vlak. 5
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel c d Leg ijvooreeld je geodriehoek loodrecht op vlak langs de lijn en met het nulpunt in hoek. e hoek is meer dan 90. Leg je geodriehoek met een rechthoekszijde loodrecht op vlak. et is mogelijk om de andere rechthoekszijde dan precies langs vlak te leggen. e hoek die de eide vlakdelen met elkaar maken is dus de rechte hoek van je geodriehoek, dus 90. ls je kijkt in de richting of dus in het verlengde van of langs de vouwlijn. a - Je hangt de zwaaihaak loodrecht met de enen over de snijlijn van eide vlakken heen. et ene een van de zwaaihaak ligt in het ene vlak en het andere een in het andere vlak. eide enen staan loodrecht op de snijlijn van de twee vlakken en vormen zo een standhoek. (een standhoek is getekend in de figuur ij deze som in je oek). ladzijde 7 a e snijlijn van eide vlakken is de lijn. en. us een standvlak is vlak. (, ) (, ). tan. us (, ). 0 e snijlijn is de lijn.. en standvlak zou dus door kunnen gaan. eken nu door een lijn loodrecht op. eze snijdt in.. us is en standvlak en (, ) (, ). 0 00 6 6. Verder geldt: 6 0 tan 0, 60 0 6 0 6.. us (, ) c e snijlijn van eide vlakken is. Omdat is dit dus en standvlak en geldt: (, ) (, ). tan 0 5. us (, ) 5. 5a e snijlijn van die twee gezochte vlakken is. en zijn eide hoogtelijnen in de gelijkzijdige driehoeken en. en staan dus loodrecht op de snijlijn en dus is vlak een standvlak van de vlakken en. 5
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Noem het snijpunt van en M. an geldt: (, ) M. 6 6. 6 6 M. sin M M M 5, 7 09. Omdat de hoek van twee vlakken altijd de scherpe hoek van die vlakken is geldt dus: (, ) 7. 6a Om deze hoek te erekenen moet je projecteren op vlak Q. M is het snijpunt van de diagonalen en. e projectie van is het snijpunt N van met Q, want en / / Q Q. MN snijdt in, net =. us (, Q ) (, MN) M. M a a a Wanneer de lengte van de rie a genoemd wordt geldt: tan M a M 9. a us (, Q ) 9. e snijlijn van eide vlakken is de lijn. rek de lijn door loodrecht op. et snijpunt is R. r geldt: en R R is het standvlak en dus is (, Q ) ( R, R) R. 0,5a R V a 5 cosr R R. Maar ook geldt: a cos R V us R a a a ( a) R a 5 5. a a 5 5.
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a a /,5 R tan R a 5 R R a 5 us (, Q ) 7a 5 ls je de zijden van het ovenvlak projecteert op het grondvlak, krijg je de getekende figuur. Je ziet dat de draaihoek van ijvooreeld punt naar 5 is. c h 7 7 h 7 7, cm. 55
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel d M R 7 hoogte 7 Q e e punten en Q zijn volgens de tekening ij vraag de middens van en. e hoogte van de doos is de lengte van R uit de vorige vraag. R ( ) 7 7, 9. us geldt in R : f R ( 7 ) ( 7 7), e hoek van een zijvlak met het grondvlak kun je zien in de verticale doorsnede ij opdracht d. ( zijvlak, grondvlak) Q, maar omdat de hoek scherp moet zijn wordt het R., r geldt: tan R, 07 R 76., 9 0.5 e afstand tot een lijn ladzijde a 5, 7 M M is het midden van. riehoek is een gelijkzijdige driehoek en dan is de zwaartelijn (naar het midden van een zijde) ook hoogtelijn (loodrecht op die zijde). c d(, ) M ( ) ( ), 9 9a et lijnstuk, want. et lijn stuk, want en, dus. c d(, ) 9 6 5 d d(, ) 00 6 6 0, 56
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel 0a en liggen in vlak. 0 L 5 c d at is L. L L L 90 L L 5 L 50 0 5 5, 5 ladzijde 9 a Laat in driehoek een loodlijn vanuit neer op. d(, ) 6 6 5. Q 90 6 5 5 d(, ) Q. Q Q Q 90 Q Q Q 6 6 6 ( ) 6 ( ),., 6 a, ; 0, 9. riehoek is gelijkenig, dus als M het midden is van dan staat M loodrecht op. r geldt dan : M ( 0) ( ) 0 6, 9 c Oppervlakte M 9, d e oppervlakte van een driehoek is: de helft van de hoogte maal de asis. Wanneer je als asis neemt is M de hoogte, maar wanneer je als asis neemt is de afstand van tot, dus d, de hoogte. r geldt dus : oppervlakte 9, e Oppervlakte 9, d d 0 9, d,. 0 57
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a 6 6 59 50, 9 meter. ( 59), 65 meter. e lengte van de opstaande zijden is dus,65 meter. e afstand van tot is (omdat driehoek stomphoekig is valt uiten de driehoek). Oppervlakte 59 59, 9 meter. c e afstand van tot is de hoogtelijn vanuit, dus. Noem het midden van punt M. an geldt:m 0,. Oppervlakte M 0 6 6 0 0, meter. e afstand van tot is dus ongeveer 0, meter. d (, ) M. Want M en M eide loodrecht op de snijlijn. M tan M M 5. M e e lengte van het spoor is de helft van M, dus is ongeveer, meter. 0.6 e afstand tot een vlak ladzijde 90 a en. us vlak V. s is de lijn M. c M s 5 d d(, s) =. M, M ( ),. M M,
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel 5a Vlak J snijdt volgens de lijn I. Omdat IJ, staan de vlakken JI en dus loodrecht op elkaar. d(, JI) = d(, I) =. r geldt, I, I 6 0. Uit de formule voor de oppervlakte van driehoek I volgt: I I I I 0, 0 6a c et vlak staat loodrecht op vlak (want staat loodrecht op ). e snijlijn van en is de lijn. We moeten dus de afstand van tot erekenen. it is de helft van diagonaal 5, 7. Werk in vlak. Laat uit een loodlijn neer op. evraagd is nu de lengte. e driehoeken en zijn gelijkvormig. us:,. Vlak staat loodrecht op, de snijlijn is. us de afstand van tot vlak is de afstand van tot. e lijn door loodrecht snijdt in punt R. e lijn snijdt in U. r geldt: U 5, 7, U U 5, 7 5, 9 d ekijk driehoek. r geldt: 5, 7 R U R 5, 9 5, 7 R 7,0 5, 9 et vlak staat loodrecht op vlak. e snijlijn is de lijn. en met pythagoras volgt. us dan is 6. e lijn door loodrecht op snijdt in Q. d(, ) = Q. ekijk driehoek. r geldt: Q Q 6 Q 6, 56. ladzijde 9 7a Inhoud = oppervlakte 6 6 6 6. Inhoud = Inhoud kuus inhoud = 6 6 7. c is gelijkzijdig met zijden 7. e hoogte van de driehoek is dan 7 5. us oppervlakte 5 7,. d Net als ij oppervlakten, kun je ook de inhoud op verschillende manieren erekenen al naar gelang de hoogte en het grondvlak dat je kiest. Inhoud d(, ) oppervlakte 7. d(, ) 7 6, 9., 59
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a ekijk piramide. en ereken de inhoud op twee manieren. 6 M M 6 Inhoud. = d(, ) oppervlakte oppervlakte d(, ) 6 6 6 d(, ) 6 6, 9. 6 (, ) (, ) M. tan M M M us (, ). 6 Q M 6 c is het snijpunt van en. (, ) M M. tan M M 6, 7 M 9. us de scherpe hoek van de vlakken is 7. d e snijlijn van de vlakken is. Omdat (, ) 5 5. d(, ) Q. Omdat 5 5 Q Q. Omdat = 6 volgt Q 6,. 9a en vlak door l dat loodrecht op V staat heeft s als snijlijn met V. e afstand van l tot V is gelijk aan de afstand van een willekeurig punt op l tot s. Omdat de afstand van l tot V steeds gelijk is (l loopt evenwijdig met V) heeft elk punt op l dezelfde afstand tot V. l snijdt het vlak in. e afstand is dan 0. e kortste afstand is 0. 0a d(, ) d(, ) hoogtelijn uit ( ) ( ). Kies het midden M van. c N is het midden van. ekijk vlak NM. d(, ) d( M, ) M. N = 5. r geldt: M N M MN M 5 M,. us d(, ). M a d(, R ) d(, R ) hoogtelijnop vauit = N. r geldt in: N N 5 N,. us d(, R ), Om dezelfde reden geldt ook d(, Q ),. c / / vlak R d(, R ) d(, R ),. d ie afstanden zijn steeds gelijk omdat eide vlakken evenwijdig zijn. e eide vlakken staan loodrecht op vlak. e afstand tussen eide vlakken is dus de afstand tussen U en M en die afstand is NU. UN M UN UN U M 0 60 UN 0, M N U N
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel 0.7 emengde opdrachten ladzijde 9 a Voor elke zijde van de piramide he je meter dus uizen nodig. r zijn rien, dus etekent dat = 6 uizen. Voor de middenstukken he je nog eens meter dus uizen nodig. r zijn vlakken waarin je dat aantal nodig het, dus = uizen. In totaal he je dus 6 + = meter uis nodig. In driehoek is evenwijdig aan omdat en de middens van de zijden van en zijn. Om dezelfde redenen is in driehoek het lijnstuk Q evenwijdig aan. an is ook evenwijdig aan Q. e uizen Q en zijn dus evenwijdig. c In driehoek is evenwijdig aan. In driehoek is evenwijdig aan. e uizen, en zijn dus evenwijdig aan. d (, Q) Q Q Q Q Q( ZZZ) Q Q 90 Q Q (, ) (, ) 60 omdat gelijkzijdig is. e Noem M het snijpunt van en. Wanneer je vanaf recht omhoog klimt, klim je langs de lijn. e hoek die maakt met het grondvlak is M. In driehoek M is, M dusm. r geldt: tan M M M 5, 7. M Wanneer je langs recht omhoog klimt, klim je langs de lijn. e hoek die maakt met het grondvlak is M. r geldt: tan M M M 5. M et scheelt dus 9, 7 0. Vlak staat loodrecht op vlak. us de projectie van K op het grondvlak is. aaruit volgt ( K, ) ( K, ) K. tan K K 5. e andere opstaande rien maken dezelfde hoek met het grondvlak. KL verindt de middens van en. us KL / /. Omdat / / volgt ( KL, ) (, ) 60. ( KL, ) 0 omdat deze twee evenwijdig zijn. Uit symmetrie overwegingen geldt dus dat de hoek van een rie van het ovenvlak met een rie van het ondervlak 0 of 60 is. 6
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel c Noem het midden van ML punt en het midden van punt. an geldt: ( LM, ). e afstand van tot is. Verder geldt M 5 weer datq 5 ( ), 75. sin 57., 75 en daaruit volgt ladzijde 9 a 6 5. 6 ( 6 ) 6 9 5 cm. us =. c 5 cm, 7 cm. is dus gelijkenig. 7 cos 50, 7 5 en dus is ook 50, 7 en 0 50, 7 7, 6 d e minimale lengte van het lint krijg je als loodrecht op staat. Vanwege symmetrie staat dan ook loodrecht op. sin sin 7, 6 5 5 sin 7, 6 6,6. et hele lint wordt dus. 6, 5, cm. e et lichaam Is op te vatten als twee dezelfde piramides met toppen en en grondvlak. Oppervlakte = 6 6 9 7 cm. Inhoud = inhoud. 7 7 7 9, 5 cm f Omdat de vlakken en evenwijdig zijn, is de afstand tussen en gelijk aan de afstand van tot. Noem N het midden van, dan staat N loodrecht op (omdat = ) en N staat loodrecht op (want staat loodrecht op vlak en N is evenwijdig aan vlak ). e gezochte afstand is dus N. N 5 ( 7) 7 5,. e afstand van de lijnen en is dus 5, cm. 6
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel 5a m Q M R l M R et midden van is Q. et vlak Q is evenwijdig met en Q ligt erin. et vlak staat loodrecht op. snijdt Q langs de lijn M, waarij M het midden van is. M, 6 6, M In M geldt: R M M R, 6 e lijn l ligt in vlak Q en gaat door R. c lke lijn in vlak Q die evenwijdig is aan l voldoet hieraan. ijvooreeld de lijn Q. I e hoek tussen twee lijnen ladzijde 9 I-a lle hoeken in de vlakken en zie je op ware grootte. ijvooreeld en. e hoeken zie je op ware grootte als je ijvooreeld het ovenvlak evenwijdig neemt aan het vlak van tekening: je kijkt er dan van oven op. I-a Omdat, en zijvlaksdiagonalen zijn geldt = = en is de driehoek gelijkzijdig met hoek 60. e hoek tussen en is 60. raai de kuus in de kijkrichting M met M op zo, dat M loodrecht op het vlak staat. c I-a et lijkt erop dat JI 90 dus stomp is. - c J 6 0 ; JI ; I 6 0 ; I 6 0 6 6. d I J IJ J IJ cos JI e 6 0 0 cos JI cos JI 6 JI 9,. 0 unt ligt niet in het vlak en en zijn niet evenwijdig, dus kruisen deze lijnen. f e hoek tussen twee kruisende lijnen verandert niet wanneer je de lijnen evenwijdig verschuift, en // g (, ) (, ) 5. 6
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel ladzijde 95 I-a ( M, ) ( M, ) M. tan M M 6 ( M, ) ( M, ) M 90. ( N, ) ( N, ) N. N 0 tan N N 0 N ( N, ) ( N, ) ( N, N) unt is het midden van. ereken de zijden van driehoek N. 6 0 6 0 6 ; N ; N 0 6 6. osinusregel in N : N N N N cos N 6 6 6 cos N cos N 6 6 N 76 I-5a en liggen in het vlak en vierkant waarin de diagonaal de hoek middendoor deelt. us (, ) 5. 90 dus 6 0 In geldt: sin M M M 6, 6 0 M us (, ) M 5 c 6 6 en M sin M M 0, 7 M 0 en sin N N 9, N 7 0 M 0 0 N d K is het midden van en M is het midden van. an geldt: // KM en // K. us (, ) ( K, KM) MK. K 0 ; KM ; M. InKM geldt: M K KM K KM cos MK 0 0 cos MK cos MK 0 0 MK 90. 0 us (, ) 90. 6
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel I-6a - I J I 5 Noem het midden van en het midden van, en ekijk vierhoek IJ. r geldt: I 5. In driehoek I geldt: ( I, I ) I I. tan I I 7, ( I, I ) 5 c I J d e I I 9 ; ( I, ) I. cosi I 6. us ( I, ) 6. Omdat IJ en evenwijdig lopen, valt het eeld van na een evenwijdige verplaatsing aan zichzelf met IJ samen en is de hoeken tussen I en even groot als de hoek tussen I en IJ. en IJ zijn evenwijdig, dus liggen I en J in vlak JI. I en J zijn niet evenwijdig, dus snijden I en J elkaar. I en J snijden elkaar in punt. an is driehoek gelijkenig, dus 6. ( I, J) 0 6 5 est jezelf ladzijde 9 -a osinusregel in geeft: cos 5 00 50 cos 0 75 75,. M M ( 75) 7, 5 7, 5 9,. c cos 00 5 75 5 75 cos cos 5 75 00 0. 0 75 75 65
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel -a R Q Omdat Q, zijn de uizen alle drie meter lang. c ijvooreeld de paren Q en ; Q en ; en Q en en R. Om de paren te vinden, kun je uitgaan van drie punten in een vlak gelegen. rek door twee van de drie punten een lijn en verind het overgeleven punt met een punt niet liggend in het gekozen vlak. ontroleer nog even of de lijnen niet evenwijdig lopen, want die mogelijkheid he je dan nog wel. d Omdat vlak QR evenwijdig loopt met vlak, kun je die hoek in het ovenaanzicht vinden. ( Q, ) 60 e Q N M f Noem het snijpunt van en Q, M het midden van, het midden van en N het midden van M. e hoek tussen en Q is gelijk aan de hoek tussen en M. 0, 5 sin N N, M N 9. e hoek tussen en Q is ongeveer 9. R en lopen evenwijdig. Je kunt R dus evenwijdig aan zichzelf verplaatsen totdat het eeld van R samenvalt met. et eeld van zal dan halverwege komen. '. (, R) (, ' ) '. cos ' ' 55. -a 66
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Omdat / / geldt dat (, V) (, V ). e loodrechte projectie van op V ligt op de lijn. us (, V) 5 want = = en 90. c (, V) (, V ). us projecteren op V, dus op. Q ligt op, zodat Q =. an is Q een vierkant en dus Q. e projectie van op V is dan punt. e projectie van op V is punt. r geldt: (, V) (, ) K. d Q 5 en tan 5. us is K 5 5 K 90. e hoek tussen en V is ongeveer. Q K K e (, ) (, K) K. eruik makend van de oppervlakte van driehoek geeft dit: K K 5 K, K, sin K K 9. us (, ) 9. 5 a Uit het ovenaanzicht volgt dat de hoek tussen twee aangrenzende vierkanten, de hoek van een regelmatige achthoek is. 0 60 5. e hoek van twee aangrenzende vierkanten is dus 5. M ieronder staat een stukje van de rhomikuoctaëder getekend. e hoek tussen een vierkant en een aangrenzende driehoek is QR. Q R 67
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Licht QR eruit. + 7 7 Q R QR is een gelijkenig trapezium met QR =, Q R 6 0 en 7. cosr 7 R 5 RQ QR 0 5 5. 0 e hoek tussen een vierkant en aangrenzende driehoek is dus 5. ladzijde 99-5a 6 6 5, 66 ; 5, 7 ; 6 6 5, 66 ; 6 9 5 5. x 6 x 6x x x x. 6 us 6 6. x c is gelijkenig want 6 6 5 ; Noem het midden van punt. d(, ) ( 5) ( ) 5. 6, 6 d e hoogtelijn uit op zijde is N. In geldt dan: N N 5 N 5 5,. -6a M L K 6 Laat uit in driehoek K een hoogtelijn neer op K. Omdat KL loodrecht staat op vlak, is de afstand van tot vlak KL, want loodrecht K en loodrecht KL. In driehoek K geldt: K 6 0. Ook geldt: K K 0, 0 us de afstand van tot vlak KL is ongeveer,.
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel c Laat uit een loodlijn neer op vlak K. eze snijdt het vlak in M. e afstand van tot vlak K is dan M. Om M te erekenen kun je de inhoud van de piramide.k op twee manieren erekenen. erst ereken je de oppervlakte van driehoek K. In K geldt: K K K cos K 6 0 0 0 0 cos K cos K 0 0 6 K 66,. 0 0 sin K NK NK 0 sin 66,,. K us oppervlakte K, 0,. Inhoud piramide.k = Inhoud piramide.k (zelfde piramide). us: M, M, 75., e afstand van tot vlak K is,75. 0 6 N 0-7a U is een vierkant met zijden 6. e diagonaal is U 6 6 7, 5 Kijk naar de doorsnede met vlak. an zie je dat de gevraagde afstand gelijk is aan: d(, ) 7, (je moet twee maal door delen: ten eerste omdat op halve hoogte ligt tussen en en ten tweede omdat het vlak halverwege en ligt). c Neem M het midden van en N het midden van. Vlak MN staat loodrecht op vlak. Vlak snijdt N in, is het midden van N. MN = 6 ; M = N = 7 ; = N = 7. ekijkmn, er geldt: M MN N MN N cos NM M N 7 6 7 6 7 cos MN cosmn 6 7 7. MN NM cos NM ekijk driehoek MN; 7 M MN N MN N cos NM M 6 7 6 7, 75 M, 97. 7 Oppervlakte M oppervlakte MN ( 7) 6 7,6. e afstand van tot vlak is dus ongeveer,6. U 69
oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel d Neem het midden van en het midden van. Vlak staat loodrecht op. e oppervlakte van driehoek wordt erekend als in onderdeel c: 7. eze oppervlakte is tevens gelijk aan zodat de gezochte afstand gelijk is aan: 7 7, 6 e ( U, ) U. Net als in onderdeel c geldt f cos 5, 7. 7 U 5, 7 09. e snijlijn van de vlakken en is de lijn. Noem het midden van punt K. Omdat en eide gelijkzijdige driehoeken zijn staan K en K dus loodrecht op. us staat vlak K loodrecht op. Vlak K is het standvlak. (, ) K. ieronder staat vlak K. K KL. sin KL KL 5, 7 K (, ) 09 K U L 6 g is het midden van, is het midden van. d( U, ) d(, U) d(, U) R. r geldt: R U UV R 7 6 R 7, 9. us d( U, ), 9. R U V 6 -a lle horizontale vlakken zijn evenwijdig is waar. lle verticale vlakken zijn evenwijdig is niet waar; twee aanliggende verticale vlakken van een kuus snijden elkaar en zijn dan niet evenwijdig. c lle verticale lijnen zijn evenwijdigis waar (ehalve als ze samenvallen) d lle horizontale lijnen zijn evenwijdig is niet waar In een kus. zijn en horizontaal, maar niet evenwijdig. e Waar. f Waar, dat geldt voor alle vlakken, het horizontaal en verticaal zijn is hierij niet van elang, wanneer er maar twee evenwijdig zijn. g Waar, zie f. 70