Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Voorkennis V-a Van lijn k is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = +. Van lijn l is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = +. Van lijn m is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = Van lijn n is het hellingsgetal en het startgetal 6 en e formule is = 6. Het hellingsgetal van eze lijn is ook. De formule is van e vorm = +. Invullen van = en = geeft = + oftewel = +, us =. Een formule van eze lijn is =. V- Bij paraool hoort e funtie =,. Bij paraool hoort e funtie =. Bij paraool hoort e funtie =. Bij paraool hoort e funtie = +. V-a = ( ) = = ( + ) + = = ( + ) + = = ( + ) 6 + + = + e = ( ) = f = ( ) + = + V-a Het hellingsgetal is, us het funtievoorshrift is van e vorm f ( ) = +. Invullen van = en = geeft = +, us =. Het funtievoorshrift van f is f ( ) =. Het hellingsgetal is, us het funtievoorshrift is van e vorm g( ) = +. Invullen van = en = geeft = + oftewel = 6 +, us = 6. Het funtievoorshrift van g is g( ) = 6. Het hellingsgetal is, us het funtievoorshrift is van e vorm h( ) = +. Invullen van = en = geeft = + oftewel = 6 +, us =. Het funtievoorshrift van h is h( ) =..
V-a O a = 6 6 a = a = k Het hellingsgetal van lijn k is = en het startgetal van lijn k is. Een formule van lijn k is =. Zie e tekening hieroven. V-6a Het hellingsgetal is = =, en het startgetal is. Een formule ie hoort ij eze grafiek is K =, t +. Bij elminuten moet je + = + = euro etalen. Bij Belmeer etaal je voor elminuten = 6 euro. Bij Belmeer zijn e kosten per geele minuut 6 : =, euro. Nee, ie zijn niet twee keer zo hoog als ij Telon, maar rie keer zo hoog. V-7a kosten K per maan in euro s 6 e tij t in minuten Bij Beleter hoort e formule K =, t +. e Zie e tekening hieroven. Bij Beleter hoort nu e formule K =, t +. De grafiek ij a = is een alparaool. De grafieken ie horen ij a = en a = zijn alparaolen. Voor a > zijn e ijehorene grafieken alparaolen. Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken 7
Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken V-a O a = a = a = a = Invullen van = en = geeft = a oftewel = a, us a =. Invullen van = en = geeft = a ( ) oftewel = 9a, us a = 9. e Zie e tekening hieroven. V-9a a/ 6 O 6 f() = ( ) + Invullen van = en = 6 geeft 6 = a( ) + oftewel 6 = a +, us a = en a =. 6- Perioieke grafieken spanning in millivolt,,,,, P R T P R T P R 6 7 9 De grafiek herhaalt zih na seonen. Dit hart klopt slagen per minuut. tij in seonen
a e/f In e maan juni is het aantal uren agliht het grootst. Dat is ongeveer uur. In e maan eemer is het aantal uren agliht het kleinst. Dat is ongeveer 6, uur. In e maanen januari, feruari, maart, septemer, oktoer, novemer en eemer is er miner an uur liht per ag. aantal uren agliht 6 6 j f m a m j j a s o n j f m a m j j a s o n Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken tij in maanen a Tussen twee opeenvolgene tijstippen van hoogwater zit 6. +. =. uur. Het gemiele van hoogwater en laagwater ligt op ( 6) : = 6 m. De waterstan komt 6 = + 6 = m oven e gemiele hoogte en 6 6 = 6 + 6 = m oner e gemiele hoogte. waterhoogte in m oven NAP 6 6 6 6 7 9 6 7 9 tij in uren e De ere keer laagwater wer het om 6. +. = 6. +. =. uur. Dat is om 7. uur e volgene ag. a Grafiek kan perioiek zijn met perioe 6, grafiek kan niet perioiek zijn en grafiek kan perioiek zijn met perioe. Bij grafiek is e evenwihtsstan ( + ) : = en e amplitue = en ij grafiek is e evenwihtsstan ( + ) : = en e amplitue =. 9
a Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken temperatuur in C 6 6 6 amplitue evenwihtsstan j f m a m j j a s o n maan De evenwihtsstan is ( + ) : =, C en e amplitue is, =, C. Zie e tekening hieroven. 6a In 6 seonen raait het reuzenra één keer ron, us na seonen is aine A voor het eerst op e hoogte van e as. Het uurt aarna seonen voor aine A weer op ie hoogte is. Na seonen neemt e hoogte het snelst toe. hoogte in m 6 tij in seonen e De evenwihtsstan is een hoogte van (, +, ) : =, meter. f De amplitue is,, = meter en e perioe is 6 seonen. g In seonen raait het reuzenra : 6 =, keer ron. De aine is an op een hoogte van, meter. In seonen raait het reuzenra : 6 =, 7 keer ron. De aine is an op een hoogte van, meter.
7a 6- Optellen Voor ongeveer, uur en voor ongeveer uur is e waterstan lager an meter en geshikt om een stranwaneling te maken. Daar, uur van afhalen geeft,, = uur en, =, uur. Jo kan e stranwaneling uiterlijk om uur of uiterlijk om. uur eginnen. waterstan in m 6 6 tij in uren Bij e grafiek van e nieuwe situatie wort e hoogste waterstan van ongeveer, meter na ongeveer, uur en na ongeveer, uur ereikt en e laagste waterstan van ongeveer, meter na ongeveer uur ereikt. Bij e grafiek van e nieuwe situatie hoort een perioe van ongeveer,, = uur, een evenwihtsstan van ongeveer (, +, ) : =, meter en een amplitue van ongeveer,, = meter. Voor ongeveer uur en voor ongeveer, uur is e waterstan lager an meter en geshikt om een stranwaneling te maken. Daar, uur van afhalen geeft, =, uur en,, = uur. Jo kan e stranwaneling nu uiterlijk om. uur of uiterlijk om uur eginnen. a Met e formule B =, M + kun je het erag uitrekenen at je moet etalen. B B =,M + B =,M + 6 7 9 M De nieuwe formule waarmee je het erag kunt erekenen wort B =, M +. Zie e tekening hieroven. 9a Lijn l is e grafiek van f. Je moet lijn n omhoog vershuiven om lijn l te krijgen. Bij lijn n hoort het funtievoorshrift n( ) =. Bij lijn m hoort het funtievoorshrift m( ) =. Je moet lijn m omhoog vershuiven om lijn l te krijgen. e Bij e funtiewaaren van f moet je 7 = optellen om e funtiewaaren van g te krijgen. Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken
a/ Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken O f O g De funtievoorshriften ie ij e nieuwe grafieken horen zijn F( ) = + oftewel F( ) =, G( ) = + oftewel G( ) = en H( ) = oftewel H( ) =. 6 7 O a Bij eze funties hoort het omein. Het ereik van e funtie ij grafiek is, het ereik van e funtie ij grafiek is en het ereik van e funtie ij grafiek is. Bij grafiek is =, ij grafiek is = en ij grafiek is =. Grafiek moet je omhoog vershuiven om grafiek te krijgen. e Grafiek moet je omlaag vershuiven om grafiek te krijgen. a Invullen van = en = geeft = a +, us =. Invullen van = en = geeft = a + oftewel = a +. Hier = invullen geeft = a + oftewel a =, us a =. Bij e nieuwe grafiek hoort het funtievoorshrift F( ) = + oftewel F( ) = 7. Bij e nieuwe grafiek hoort het funtievoorshrift G( ) = oftewel G( ) =. a Op t = is h = =, us e rots waar Joop op staat is meter hoog. t = t = t = t =, of t =, Na ongeveer, seonen komt e steen op e gron. 6 6 h
/ h in m 6 Ciss Joop t in seonen e Met e formule h = 6 t kun je e hoogte van e steen van Ciss erekenen. 6- Vermenigvuligen a Op een normale ag is e hoogste waterstan m. Bij springtij is at % hoger en an is e waterstan +, = m. Je moet e hoogste waterstan op een normale ag met e fator, vermenigvuligen om ie ij springtij te krijgen. De laagste waterstan ij springtij is, = m. 6 6 tij in uren a/ P' Q' P Q R' O R 6 7 S S' Het punt R(, ) lijft op zijn plaats liggen. Het hellingsgetal wort keer zo groot. e Het funtievoorshrift van g is g( ) =. f Het funtievoorshrift van f met vermenigvuligen geeft F( ) = ( ) oftewel F( ) = en at is het funtievoorshrift van g. waterstan in m Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken
6a Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken O 6 7 a Er wort vermenigvulig met een negatief getal en een ergparaool wort an een alparaool. Er wort vermenigvulig met een getal at tussen en in ligt en an wort e grafiek ingerukt. Zie e tekening hieroven. Bij een vermenigvuliging ten opzihte van e -as lijven e snijpunten van e grafiek met e -as op hun plaats. 7a Invullen van = en = geeft = a ( ) + oftewel = a +, us =. Invullen van =, = en = geeft = a ( ) oftewel = a, us a = en a =. / O 6 7 g e Bij e grafiek van g hoort het funtievoorshrift g( ) = ( ). Bij opraht hoort het funtievoorshrift ( ) = ( ( ) ) oftewel ( ) = ( ). Bij opraht hoort het funtievoorshrift ( ) = ( ( ) ) oftewel ( ) = ( ) +.
a Bij e nieuwe grafiek hoort het funtievoorshrift H( ) =. Ja, want invullen van = en = geeft = ( ) oftewel = en at klopt. Bij e nieuwe grafiek hoort het funtievoorshrift K( ) = k. Invullen van = en = 6 geeft 6 = k oftewel 6 = 7k, us k = 6. 9a e f De lijnen q en s zijn ontstaan oor lijn p ten opzihte van e -as te vermenigvuligen. Om lijn q te krijgen is lijn p met e fator vermenigvulig. Om lijn s te krijgen is lijn p met e fator vermenigvulig. Bij een vermenigvuliging ten opzihte van e -as lijven e snijpunten van e grafiek met e -as op zijn plaats en at is ij lijn r niet het geval. Om e -as zelf te krijgen moet je lijn p met e fator vermenigvuligen. De vertiale lijn oor het punt (, ) kun je niet krijgen ij zo n vermenigvuliging. Als je een lijn ie evenwijig is aan e -as met een fator vermenigvuligt, an krijg je wel een lijn ie evenwijig is met ie lijn. 6- Comineren a Bij eze lijn hoort het funtievoorshrift l( ) = +. / n O l k m Bij lijn m hoort het funtievoorshrift m( ) = ( + ) oftewel m( ) = +. Bij lijn n hoort het funtievoorshrift n( ) = + oftewel n( ) = +. e Zie e tekening hieroven. Bij lijn k hoort het funtievoorshrift k( ) =. f Lijn l eerst omlaag vershuiven geeft h( ) = + oftewel h( ) = en aarna ten opzihte van e -as met vermenigvuligen geeft k( ) = ( ) oftewel k( ) =. Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken
a/ 6 Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken O 6 7 9 6 f () = Het funtievoorshrift van e nieuwe grafiek is ( ) =. Zie e tekening hieroven. Het funtievoorshrift van e nieuwe grafiek is ( ) = ( ) oftewel ( ) =. e 6 6 O 6 g Het funtievoorshrift van e nieuwe grafiek is ( ) = ( + ) oftewel ( ) = +, us ( ) = + 9. Het funtievoorshrift van e nieuwe grafiek ij het omraaien van e volgore is ( ) = ( + ) oftewel ( ) =. a De formule wort S =, ( l + ) + 7 oftewel S = l + + 7, us nieuw nieuw S = l + 9. nieuw Je krijgt e formule S =, ( l + + 7 ) oftewel S =, ( l + 7 ), us nieuw nieuw S = l +,. nieuw a Een formule is V =, 9( I + ) oftewel V =, 9I + 9. =, 9I + 9, 9I = I, De inkoopprijs van it artikel is ongeveer e,. 6
a Invullen van = en = geeft = a oftewel = a, us a =. Het funtievoorshrift van g is van e vorm g( ) = + p. Invullen van = en = geeft = + p oftewel = + p, us p =. Het funtievoorshrift van g is g( ) = +. Of: Invullen van = geeft f ( ) = =. Het punt (, ) ligt op e grafiek van f. Je moet an omhoog vershuiven om het punt (, ) te krijgen. Het funtievoorshrift van g is g( ) = +. Het funtievoorshrift van h is van e vorm h( ) = ( + ) oftewel h( ) = + 6. Invullen van = en = geeft = + 6 oftewel = + 6 en at klopt. Of: Invullen van = geeft g( ) = + = + = 6. Het punt (, 6) ligt op e grafiek van g. Ten opzihte van e -as met vermenigvuligen geeft het punt (, ). a Door ten opzihte van e -as te vermenigvuligen veranert het hellingsgetal van f in het hellingsgetal van h. Je moet met e fator vermenigvuligen. De grafiek van f met e fator vermenigvuligen geeft e grafiek van F( ) = ( + ) oftewel F( ) =. De grafiek wort vervolgens omlaag vershoven. Eerst vershuiven geeft e grafiek van G( ) = + + p. Daarna met e fator vermenigvuligen geeft e grafiek van K( ) = ( + + p) oftewel K( ) = p. Dat moet e grafiek van k opleveren, us moet gelen p = oftewel p =, us p = 6. Je moet e grafiek van f an eerst 6 omhoog vershuiven en aarna ten opzihte van e -as met vermenigvuligen. 6a Door e grafiek van f eerst ten opzihte van e -as met te vermenigvuligen, krijg je e grafiek van F( ) = oftewel F( ) =. Door eze grafiek aarna omhoog te vershuiven krijg je e grafiek van g. Eerst vershuiven geeft e grafiek van G( ) = + p. Daarna ten opzihte van e -as met te vermenigvuligen geeft e grafiek van H( ) = ( + p) oftewel H( ) = + p. Dat moet e grafiek van g opleveren, us moet gelen p =, us p =. Je moet e grafiek van f an eerst omhoog vershuiven en aarna ten opzihte van e -as met vermenigvuligen. Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken 7
Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken 6- Gemenge oprahten 7a De oppervlakte is = m. De huur voor het stuk gron is + = euro per jaar. De lengte is an. Voor e oppervlakte van het stuk gron gelt oppervlakte = lengte reete oftewel oppervlakte =, us oppervlakte =. Een formule voor h is h = + oftewel h = +. Invullen van = geeft h = + = + = en at klopt. e De jaarlijkse huur voor een stuk gron van m is + = euro per jaar. f Het vast erag moet met 6 = euro per jaar woren verhoog. g De fator is 6 : =. h Hierij hoort e formule h = ( + ) oftewel h = + 66 a Bij e nieuwe grafiek hoort het funtievoorshrift g( ) = ( + + ) oftewel g( ) = ( + ), us g( ) = 6 +. De vermenigvuliging lijft hetzelfe, us met e fator. De grafiek van f met e fator vermenigvuligen geeft h( ) = ( + ) oftewel h( ) = 6 + 9. Je moet e grafiek van h aarna 9 = 6 omhoog vershuiven. 6 O l f Bij e tweee grafiek hoort het funtievoorshrift l( ) = + 7. e De grafiek van f omhoog vershuiven levert ezelfe grafiek op. 9a Lijn l eerst ten opzihte van e -as met een fator p vermenigvuligen geeft een lijn met e formule = p( + ). Deze lijn aarna q vershuiven geeft at ij lijn m e formule = p( + ) + q hoort. Het hellingsgetal van lijn m is = =. Bij lijn m hoort e formule = p( + ) + q oftewel = p + p + q. Het hellingsgetal van lijn m is p =, us p =. Invullen van p =, = en = geeft = ( + ) + q oftewel = + q, us q = 6. Het hellingsgetal van lijn n is = =. Bij lijn n hoort e formule = p( + ) + q oftewel = p + p + q. Het hellingsgetal van lijn n is p =, us p =. Invullen van p =, = en = geeft = ( + ) + q oftewel = 6 + q, us q = 9..
a Het nieuwe funtievoorshrift wort g( ) = ( ) + oftewel g( ) = + + +, us g( ) = + +. Het nieuwe funtievoorshrift wort h( ) = ( + ) oftewel h( ) = ( + ), us h( ) = +. Door van e funtie uit opraht a af te trekken krijg je e funtie uit opraht. Je hoeft niet te vermenigvuligen, of met e fator vermenigvuligen. a De omtrek van het voorwiel is π, m. Bij één trapeweging wort ongeveer, m afgeleg. Na een halve omwenteling, us na ongeveer 6, m ereikt punt A zijn hoogste stan. Dat is m hoog. hoogte in m Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken 6 7 9 afstan in m Roel vint op eze manier e juiste maimale hoogte van m van punt B. Het hoogste punt van e grafiek wort ehter eerer ereikt an ij 6, m. e De omtrek van het ahterwiel is rie keer zo klein als e omtrek van het voorwiel. Het ahterwiel raait rie keer ron als het voorwiel één keer ron raait. f De perioe van e hoogte van punt B is π :, m. g Zie e tekening hieroven. fi ICT Vermenigvuligen I-a Bij eze grafiek hoort e formule totaalerag = tij +. - Ja, e totaaleragen in tael B zijn telkens e helft van ie in tael A. - e Bij tael C hoort e formule totaalerag =, ( tij + ) oftewel totaalerag =, tij +. f Ja, ij opraht e is e juiste formule gevonen. I-a Bij e lijn l ie je op je sherm ziet hoort e formule =.,,, Alle -waaren zijn keer zo groot. 6,,, e In e eerste tael is e -waare ij = gelijk aan,. Deze -waare moet woren, us je moet met vermenigvuligen. Je moet a e waare geven zoat e grafiek oor het punt (, ) gaat. 9
Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken I-a Op een normale ag is e hoogste waterstan m. Bij springtij is at % hoger en an is e waterstan +, = m. De laagste waterstan ij springtij is, = m. Voor e parameter a moet je het getal, invullen. I-a Je moet e grafiek met e fator, vermenigvuligen. Er wort vermenigvulig met een negatief getal en een ergparaool wort an een alparaool. Er wort vermenigvulig met een getal at tussen en in ligt en an wort e grafiek ingerukt. Bij eze vermenigvuliging lijven e snijpunten van e grafiek met e -as op hun plaats. I-a Invullen van = en = geeft = a ( ) + oftewel = a +, us =. Invullen van =, = en = geeft = a ( ) oftewel = a, us a = en a =. - - e Bij e grafiek van g hoort het funtievoorshrift g( ) = ( ). Bij opraht hoort het funtievoorshrift ( ) = ( ( ) ) oftewel ( ) = ( ). Bij opraht hoort het funtievoorshrift ( ) = ( ( ) ) oftewel ( ) = ( ) +. I-6a Bij e nieuwe grafiek hoort het funtievoorshrift H( ) =. Ja, want invullen van = en = geeft = ( ) oftewel = en at klopt. Bij e nieuwe grafiek hoort het funtievoorshrift K( ) = k. Invullen van = en = 6 geeft 6 = k oftewel 6 = 7k, us k = 6. I-7a e f De lijnen q en s zijn ontstaan oor lijn p ten opzihte van e -as te vermenigvuligen. Om lijn q te krijgen is lijn p met e fator vermenigvulig. Om lijn s te krijgen is lijn p met e fator vermenigvulig. Bij een vermenigvuliging ten opzihte van e -as lijven e snijpunten van e grafiek met e -as op zijn plaats en at is ij lijn r niet het geval. Om e -as zelf te krijgen moet je lijn p met e fator vermenigvuligen. De vertiale lijn oor het punt (, ) kun je niet krijgen ij zo n vermenigvuliging. Als je een lijn ie evenwijig is aan e -as met een fator vermenigvuligt, an krijg je wel een lijn ie evenwijig is met ie lijn. 6
T-a e f/g Test jezelf Na seonen egint eze persoon in te aemen, want e hoeveelhei luht in e longen wort aarna groter. Bij één keer in- en uitaemen wort liter luht ververst, want e hoeveelhei luht gaat van, liter naar, liter. Bij eze persoon evint zih altij nog, liter luht in e longen. De perioe van zijn aemhaling is seonen. Gemiel zit er liter luht in e longen van eze persoon. De grafiek vanaf e e seone tot e 9e seone is gelijk aan e grafiek vanaf e 7 = e seone tot e 9 7 = e seone. hoeveelhei luht in liters amplitue perioe 6 7 9 tij in seonen T-a Je moet e grafiek van e funtie g omhoog vershuiven om eze e grafiek van e funtie h te laten woren. Het funtievoorshrift van e nieuwe grafiek wort F( ) = ( + ) + oftewel F( ) = +, us F( ) =. De funtie f kun je shrijven als f ( ) =. Je moet e grafiek van e funtie f omhoog vershuiven om eze over te laten gaan in e grafiek van e funtie h. T-a O 6 7 f Bij e grafiek hoort het funtievoorshrift g( ) = ( + ) oftewel g( ) = +. Het funtievoorshrift van h is van e vorm h( ) = a( + ). Invullen van = en = 6 geeft 6 = a( + ) oftewel 6 = a( 6 + 6 ), us 6 = a en a =. Het funtievoorshrift van h is h( ) = ( + ) of h( ) = + 6. Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken 6
Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken T-a/ 6 g O 6 6 7 f Het funtievoorshrift van g is g( ) = ( + ) oftewel g( ) = ( ), us g( ) =. Het funtievoorshrift van h is h( ) = ( ) + oftewel h( ) = 7 +, us h( ) =. e Het hellingsgetal van e funtie f is en het hellingsgetal van e funtie j is, us er is met e fator vermenigvulig. Door e grafiek van e funtie f met te vermenigvuligen ontstaat e grafiek van e funtie F( ) = ( ) oftewel F( ) =. De grafiek is vervolgens omhoog vershoven. f Je moet weer met e fator vermenigvuligen. Door e volgore om te raaien ontstaat e grafiek van e funtie J( ) = ( + p) oftewel J( ) = + p. Er moet gelen + p = oftewel p =, us p = 7. Je moet e grafiek van f an eerst 7 omhoog vershuiven en aarna ten opzihte van e -as met vermenigvuligen. T-a Bij lijn g hoort het funtievoorshrift g( ) = +. + = ( ) = = of = = of = De smmetrieas ligt ij =. Invullen van = geeft g( ) = + = + =. De oörinaten van e top van e paraool zijn (, ). 6
O 6 7 g h f Bij eze nieuwe paraool hoort het funtievoorshrift h( ) = + +. e Het funtievoorshrift at ij e nieuwe lijn hoort is k( ) = + 6 oftewel k( ) =. f Invullen van = in het funtievoorshrift van lijn g geeft g( ) = + =. De paraool wort = omhoog vershoven. Het funtievoorshrift at ij eze nieuwe paraool hoort is l( ) = + +. T-6a De grafiek is omhoog vershoven. Invullen van = in het funtievoorshrift van f geeft f ( ) = + =. Invullen van = in het funtievoorshrift van g geeft g( ) = + + =. Er is omhoog vershoven, us = + =. Door e grafiek van f eerst ten opzihte van e -as met te vermenigvuligen en an te vershuiven ontstaat e grafiek van e funtie h( ) = ( + ) + p oftewel h( ) = + + p. Invullen van = en = geeft = + + p oftewel = + + p, us = + p en p =. De grafiek is omhoog vershoven. Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken 6