Toepassingen op matrices - Opgave Toepassing. Matrices en aantal verbindingen in grafen Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilië en Canada. Het getal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld, van luchthaven b 3 in Brazilië zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c 3 in Canada, maar geen enkele vlucht naar c 2 in Canada. Bereken het aantal dagelijkse vluchten van a i naar c j met een tussenlanding in Brazilië (voor elke i en j). Algerije Brazilië Canada 2 b 3 a 2 2 c b 2 a 2 3 2 b 3 4 c 2 c 3 b 4 Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merken kunnen we zo n soort problemen wat efficiënter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal vluchten van a naar c via B is 2 3 + 2 + 0 + 0 = 8 via b via b 2 via b 3 via b 4 Analoog bereken je bijvoorbeeld: ( ) aantal vluchten van a 2 naar c via B is aantal vluchten van a 2 naar c 3 via B is A-90
Stap 2. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal vluchten van a naar c via B is 3 [ ] 2 0 2 = [ 8 ] 0 Analoog herken je: aantal vluchten van a 2 naar c via B is aantal vluchten van a 2 naar c 3 via B is [ ] = [ ] = Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P, en alle kolommen in een matrix Q. Om met één bewerking het aantal dagelijkse vluchten van a i naar c j via Brazilië te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: [ ] 3 0 2 2 0 2 0 0 3 0 2 0 4 = 0 0 P Q Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a 2 naar c 3 met een tussenlanding in Brazilië gelijk aan het (, )-de element van de matrix P Q, en dat is gelijk aan Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilië voor, ook wel de directe-wegenmatrix (of éénstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilië genoemd. b b 2 b 3 b 4 a 2 0 a 2 0 2 matrix P = [ 2 0 ] 0 2 P ik = aantal directe wegen van a i naar b k De notatie a b wijst op het aantal wegen van a naar b, namelijk a b = 2. Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazilië naar Canada voor. c c 2 c 3 b 3 0 2 b 2 2 0 0 b 3 0 4 b 4 0 0 3 0 2 matrix Q = 2 0 0 0 4 0 0 Q kj = aantal directe wegen van b k naar c j A-9
Modelvoorbeeld De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tussen vier stations s, s 2, s 3 en s 4. (a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s i naar s j met één tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j). (b) Wat is het aantal verbindingen van s 2 naar s 3 met één tussenstop? Lees dit af uit je antwoord op (a). (c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s 4 naar s met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Metro van Londen (d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s naar s met tien tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. s 2 s s 4 s 3 Oplossing. (a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal verbindingen van s naar s 4 via één tussenstop is.. +.. +.. +.. = ( ) via s via s 2 via s 3 via s 4 Stap 2. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal verbindingen van s naar s 4 [ ] via één tussenstop is = Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P, en alle kolommen in een matrix Q. Om met één bewerking het aantal verbindingen van s i naar s j via één tussenstop te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: = P Q Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P. Dat komt omdat het beginstation, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P de directe-wegenmatrix (of éénstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf. (b) Het aantal verbindingen van s 2 naar s 3 met één tussenstop gelijk aan het (, )-de element van de matrix P 2, en dat is gelijk aan A-92
(c) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal verbindingen van station s i naar s j met twee tussenstops berekenen? Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine. 2ND MATRIX EDIT :[A] 4 ENTER etc. 2ND QUIT 2ND MATRIX ENTER ENTER > Zo is het aantal wegen van s 4 naar s met twee tussenstops gelijk aan het (, )-de element van de matrix en dus gelijk aan Opmerking. De matrix noemen we de stapsverbindingsmatrix van de totale graaf. (d) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal verbindingen van station s i naar s j met tien tussenstops berekenen? Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine. Zo is het aantal wegen van s naar s met tien tussenstops gelijk aan het (, )-de element van de matrix en dus gelijk aan Opmerking. De matrix noemen we de stapsverbindingsmatrix van de totale graaf. A-93
Toepassing 2. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen Op ontdekking We beschouwen een eenvoudig model voor de verandering van het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland. Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar het platteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizen naar de stad. Stel in 202 wonen er 60000 mensen in de stad en 40000 mensen op het platteland. (a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar en na vijf jaar. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Jan Van Eyckplein,Brugge (b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf: 0, 05 0, 97 0, 95 platteland stad 0, 03 Ook hier kunnen we het probleem wat efficiënter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal mensen in de stad na één jaar: Analoog bereken je bijvoorbeeld: aantal mensen op platteland na één jaar: 0, 95 60000 aandeel van stad Stap 2. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal mensen in de stad na één jaar: Analoog herken je: aantal mensen op platteland na één jaar: + 0, 03 40000 = 58200 aandeel van platteland [ ] [ ] 60000 0, 95 0, 03 = [ 58200 ] 40000 [ [ ] ] = Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P, en alle kolommen in een matrix Q. Om met één bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na één jaar te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: [ ] [ ] 0, 95 0, 03 60000 = 0, 05 0, 97 40000 P Q Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert voor een andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix (of migratiematrix) genoemd. stad platteland stad 0, 95 0, 03 platteland 0, 05 0, 97 matrix P = [ 0, 95 ] 0, 03 0, 05 0, 97 P ij = proc. aandeel van plaats j naar i De notatie stad platteland wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijk stad platteland = 0, 05. Een overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 00%. A-94 ( )
(a) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar berekenen? En na vijf jaar? (b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert? A-95
Modelvoorbeeld De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij beschikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 000 insecten. Elke levensfase (ei, larve en insect) duurt één maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in een afgesloten ruimte. Na één maand is de situatie als volgt: Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen. Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood. Van de oorspronkelijke insecten is er niet één meer over. Maar ze hebben elk gemiddeld 00 eitjes voortgebracht. (a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf. (b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten na één maand, twee maanden en acht maanden. (c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Oplossing. Roodkopvuurkever (Pyrochroa serraticornis) (a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf: 00 eitje larve insect 0, 05 0, 2 (b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal eitjes na één maand: aandeel van eitjes + aandeel van larven +.. = ( ) aandeel van insecten Stap 2. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal eitjes [ ] = [ ] na één maand: Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P, en alle kolommen in een matrix Q. Om met één berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na één maand te kennen maken we de volgende matrixvermenigvuldiging: P Q = Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ook wel een Leslie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd. 2 Een Leslie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaal mogen verschillen van het getal 0. Het model van Leslie werd beschreven door P.H. Leslie 945 [6], en vereist een populatie die niet onderhevig is aan migratie en waarbij slechts één sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd. A-96
(b) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? En na acht maanden? (c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft? A-97