Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad

Transcriptie

1 Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad Koen De Naeghel Onze-Lieve-Vrouwecollege Brugge woensdag 8 oktober 2014 Eekhoutcentrum, DPB Brugge

2 Deze nascholing... Inleiding gaat over didactiek van de wiskunde: Vanuit eigen ervaring in de derde graad SO delen we een visie op didactiek en geven we enkele didactische wenken. NIET: zo moet het WEL: zo kan het (misschien) ook HOOP: inspiratie

3 Wie zijn jullie? Inleiding Stel jezelf even kort even voor: wie ben je school ASO/TKO/KSO/BSO graden/richtingen opleiding aantal jaren leservaring zij-instromer...

4 Inhoud Inleiding 1 Inleiding Leerproces stimuleren Leerlingen enthousiasmeren Aan de slag 2 1 Basisbegrippen in verband met functies 2 Homografische functies 3 Inverse functies, van exp. naar logaritmische functies 4 Toepassingen op matrices 5 Verloop van veeltermfuncties met afgeleiden 6 Extremumproblemen 7 Telproblemen zonder herhaling

5 Doelstelling Inleiding Leerproces stimuleren Leerlingen enthousiasmeren Aan de slag Uitleggen van leerstofonderdelen functie matrix afgeleide logaritme rijen kanswetten afstand punt vlak integraal asymptoten Wat: zie leerplan Wa:t zie wiskundige juistheid Wat: zie conventies Wat: zie folklore Hoe: zie? Waarom: zie? Keuzes maken met in het achterhoofd: Hoe leg ik het zo goed mogelijk uit?

6 De opbouw van de les Inleiding Leerproces stimuleren Leerlingen enthousiasmeren Aan de slag Hoe leg ik het zo goed mogelijk uit? Vroeger: start met de definitie en eigenschappen Vroeger: daarna de voorbeelden Tegenwoordig: start met de voorbeelden Trend: vanuit een verkenning de definitie, eigenschappen, Trend: werkwijzen etc. logisch maken Trend: heeft een historisch draagvlak!

7 De opbouw van de les Inleiding Leerproces stimuleren Leerlingen enthousiasmeren Aan de slag What is teaching? (1) Teaching is giving opportunity to the students to discover things by themselves. (2) First guess, then prove. (3) Finished mathematics consists of proofs, but mathematics in the making consists of guesses.

8 Type oefeningen oplossen Leerproces stimuleren Leerlingen enthousiasmeren Aan de slag Gebruik een recept Vb. Vraag Bepaal de nulpunten van f (x) Recept Los op: f (x) = 0 Vb. Vraag Vergelijking van raaklijn t in P(a, ) aan grafiek f. Recept De vergelijking is t : y f (a) = f (a)(x a) Stap 1: bereken f (x) Stap 2: bereken f (a) Stap 3: vul alles in Valkuil: leerlingen begrijpen niet wat ze doen

9 Formules toepassen Inleiding Leerproces stimuleren Leerlingen enthousiasmeren Aan de slag Lettervrees? Zoek alternatieven Vb. 3 log 9 =? Regel: a log y = x y = a x Kan ook zo: 3 log 9 = want 9 = 3 Vb. ( sin(7x 2 2) ) =? Regel: (f (g(x))) = f (g(x)) g (x) Kan ook zo: (sin ) = cos( ) ( ) ( Dus: sin 7x 2 2 = cos 7x 2 2 ) 7x 2 2

10 Formules onthouden Inleiding Leerproces stimuleren Leerlingen enthousiasmeren Aan de slag Link de leerstof met positieve emoties Vb. f (x) = ax 2 + bx + c Vorm van de parabool? Vb. sin( α) = sin α cos( α) = cos α Vb. sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β Vb. 7 3 = lachen/wenen sinus is braaf cosinus is stout sinus is sociaal cosinus is asociaal in de kelder Valkuil: leerlingen weten niet waarom de formules waar zijn

11 Enthousiasmeren Inleiding Leerproces stimuleren Leerlingen enthousiasmeren Aan de slag Top drie: (1) Zorg dat de leerlingen je vertrouwen (2) Laat leerlingen succeservaringen beleven (3) Verkoop je vak: Vertel over wiskunde Vb. Laatst zat ik met acht collega s aan tafel. Om het hoofdgerecht te serveren werden de borden van tafel gehaald en nadien terug op tafel geplaatst. Wat was de kans dat niemand z n eigen bord terug kreeg? 36, % 1 e

12 Enthousiasmeren Inleiding Leerproces stimuleren Leerlingen enthousiasmeren Aan de slag Top drie: (1) Zorg dat de leerlingen je vertrouwen (2) Laat leerlingen succeservaringen beleven (3) Verkoop je vak: Vertel over wiskunde Vb was warmste jaar sinds begin van metingen (1833) Klimaatsverandering volgens de wiskunde? vergelijk aantal keer warmterecord sinds 1833: verwachtingswaarde }{{} effectief aantal }{{} 5, 75...?

13 Enthousiasmeren Inleiding Leerproces stimuleren Leerlingen enthousiasmeren Aan de slag Top drie: (1) Zorg dat de leerlingen je vertrouwen (2) Laat leerlingen succeservaringen beleven (3) Verkoop je vak: Vertel over wiskunde Vb. De kans om lotto te winnen is 1/C45 6 Zoek een vergelijkbaar kansspel. = 1/ Werpen van 2 dobbelstenen, kans beiden zes is... Werpen van 3 dobbelstenen, kans allen zes is... Werpen van n dobbelstenen, kans allen zes is... Werpen van? dobbelstenen, kans allen zes is (ongeveer) kans op lotto winnen

14 Enthousiasmeren Inleiding Leerproces stimuleren Leerlingen enthousiasmeren Aan de slag Top drie: (1) Zorg dat de leerlingen je vertrouwen (2) Laat leerlingen succeservaringen beleven (3) Verkoop je vak: Vertel over wiskunde Vb. De kans om lotto te winnen is 1/C45 6 = 1/ Is de kans op winnen dan echt zo klein? Hoe lang duurt een miljoen seconden dagen Kans op lotto winnen één seconde uit... 3 maanden Vb. Hoe lang duurt een miljard seconden jaar 13 miljard euro elke seconde een euro... sinds 1601 besparen

15 Aan de slag Inleiding Leerproces stimuleren Leerlingen enthousiasmeren Aan de slag Vorm groepjes van drie Kies uit de onderwerpen vanuit de interesse Hoe leg je het uit? (1) opdracht - werkbundels - discussie kleine groep (2) verslag uitbrengen - bespreking in de ganse groep Voor de pauze 1 Basisbegrippen in verband met functies 2 Homografische functies 3 Inverse functies, van exp. naar logaritmische functies 4 Toepassingen op matrices

16 Aan de slag Inleiding Leerproces stimuleren Leerlingen enthousiasmeren Aan de slag Vorm groepjes van drie Kies uit de onderwerpen vanuit de interesse Hoe leg je het uit? (1) opdracht - werkbundels - discussie kleine groep (2) verslag uitbrengen - bespreking in de ganse groep 4 Toepassingen op matrices Na de pauze 5 Verloop van veeltermfuncties met afgeleiden 6 Extremumproblemen 7 Telproblemen zonder herhaling

17 1 Basisbegrippen in verband met functies B-58 (1) Wat is een functie? Wenk 1 Wenk 2 Wenk 3 Herhaal wat ze al gezien hebben Eerst de voorbeelden, daarna algemeen Maak het visueel Vb. Met elk getal x associëren we een ander getal y via y = 2x 1 Dit is een systeem f waarbij elke input x een output y heeft: x f y

18 1 Basisbegrippen in verband met functies B-58 (2) Basisbegrippen in verband met functies? Wenk 4 Wenk 5 Laat de leerlingen zelf ontdekken Wat is echt belangrijk? functievoorschift, tabel, grafiek domein nulwaarden, tekentabel Wenk 6 Een beeld zegt meer dan duizend woorden: y y y = f(x) y = f(x) O dom f x O x nulwaarden van f

19 2 Homografische functies B-64 (1) Wat is een homografische functie? Wenk 1 Vertrek vanuit de vorm van de grafiek Soms neemt de grafiek van een functie de vorm van een zogenaamde hyperbool aan: Eerste vorm of Tweede vorm Zo n functies hebben dus allen een gelijke }{{} homo grafiek. }{{} grafisch

20 2 Homografische functies B-64 (1) Wat is een homografische functie? Wenk 2 Stel een kernvraag Wat is het voorschrift f (x) van een homografische functie? Wenk 3 Laat de leerlingen eerst zelf ontdekken Vb. f (x) = 1 x, 2x 1 x, 3x + 1 2x 2, x + 1, 2 6x x + 4 Wenk 4 Daarna het antwoord op de kernvraag (definitie) f (x) = ax + b cx + d waarbij a, b, c, d R en c 0 en ad bc

21 2 Homografische functies B-64 (2) Basisoefeningen in verband met homografische functies? Wenk 5 Wenk 6 Maak modelvoorbeelden samen Maak voor elk type een stappenplan Gegeven: f (x) Gevraagd: (a) Toon aan homografische functie (b) Bepaal de asymptoten (c) Schets de grafiek zonder GRM Gegeven: Grafiek Gevraagd: Bepaal f (x) (3) Homografische functies in het dagelijkse leven?

22 3 Inverse functies, van exp. naar log. functies B-72 (1) Hoe inverse functies aanbrengen? Wenk 1 Wenk 2 Ga op ontdekking met een voorbeeld Uitgangspunt: wat kunnen de leerlingen al? Vb. f (x) = 2x + 1 g(y) = 1 2 y 1 2 x f (x) y g(y)

23 3 Inverse functies, van exp. naar log. functies B-72 (1) Hoe inverse functies aanbrengen? Wenk 1 Wenk 2 Ga op ontdekking met een voorbeeld Uitgangspunt: wat kunnen de leerlingen al? Vb. f (x) = 2x + 1 g(y) = 1 2 y 1 2 x f (x) y g(y) f (2) = 5 en 2 = g(5) als f (3) = dan 3 = g( ) als f (x) = y dan x = g(y) f (x) = y x = g(y)

24 3 Inverse functies, van exp. naar log. functies B-72 (2) Hoe logaritmische functies aanbrengen? Wenk 3 Gebruik inverse functies Vb. f (x) = 2 x x f (x) 1/ g(y) = 2 log y y 1/ g(y)

25 3 Inverse functies, van exp. naar log. functies B-72 (2) Hoe logaritmische functies aanbrengen? Wenk 3 Gebruik inverse functies Vb. f (x) = 2 x x f (x) 1/ g(y) = 2 log y y 1/ g(y) f (x) = y x = g(y) 2 x = y x = 2 log y

26 4 Toepassingen op matrices B-82 (1) Hoe een migratiematrix opstellen? Wenk 1 Werk volgens een stappenplan Vb. In een stad wonen mensen, op platteland wonen mensen. Vraag Aantal mensen in stad en platteland na 5 jaar? Na 100 jaar?

27 4 Toepassingen op matrices B-82 (1) Hoe een migratiematrix opstellen? Wenk 1 Werk volgens een stappenplan Vb. In een stad wonen mensen, op platteland wonen mensen. Stap 1 Start met een voorbeeld aantal stad 0, , = na één jaar: }{{}}{{} aandeel van stad aandeel van platteland Stap 2 Herken hierin een matrixvermenigvuldiging

28 4 Toepassingen op matrices B-82 (1) Hoe een migratiematrix opstellen? Wenk 1 Werk volgens een stappenplan Vb. In een stad wonen mensen, op platteland wonen mensen. Stap 1 Start met een voorbeeld aantal stad 0, , = na één jaar: }{{}}{{} aandeel van stad aandeel van platteland Stap 2 Herken hierin een matrixvermenigvuldiging [ ] aantal stad [ ] , 95 0, 03 = [ ] na één jaar: Stap 3 Voeg de rijen in matrix P en kolommen in matrix Q [ ] [ ] [ ] 0, 95 0, = 0, 05 0, }{{}}{{} P Q

29 4 Toepassingen op matrices B-82 (1) Hoe een migratiematrix opstellen? Wenk 1 Werk volgens een stappenplan Vb. In een stad wonen mensen, op platteland wonen mensen. Achteraf Tabel procentuele aandelen stad platteland stad 0, 95 0, 03 platteland 0, 05 0, 97 matrix P = [ 0, 95 ] 0, 03 0, 05 0, 97

30 5 Verloop van veeltermfuncties met afgeleiden B-90 (1) Verband tussen een functie en haar eerste afgeleide? Wenk 1 Wenk 2 Ga met de leerlingen op ontdekking Uitgangspunt: wat kunnen de leerlingen al? Functie f (x) = x 2 3 y f(x) = x 2 Afgeleide functie f (x) = 2x 3 y f (x) = 2x x x Tabel stijgen/dalen van f x 0 f (x) min Tekentabel van f x 0 f (x) 0 +

31 5 Verloop van veeltermfuncties met afgeleiden B-90 (2) Hoe pak je een modelvraag aan? Wenk 4 Maak een recept Gegeven: f (x) Gevraagd: Bepaal algebraïsch tabel stijgen/dalen van f Recept: Maak de tekentabel van f Stap 1 f (x) =... Stap 2 Nulwaarden f : Los op f (x) = 0 Stap 3 Tekentabel van f

32 6 Extremumproblemen B-94 (1) Hoe breng je de techniek aan? Wenk 1 Wenk 2 Start met een visueel voorbeeld Overtuig hen dat er een optimale situatie bestaat! Vb. Van een stuk karton maakt men een doos zonder deksel...

33 6 Extremumproblemen B-94 (2) Hoe maak je de oefeningen? Wenk 3 Giet de oplossing in een stappenplan Stap 1 Stel de goede vraag Voor welke... is }{{} functie maximaal/minimaal? Stap 2 Zoek het functievoorschrift Dus functie }{{} f (x) = inhoud van de doos }{{}... Stap 3 Stel de nieuwe vraag Voor welke x is f (x) = 4x 3 60x x maximaal? Recept: Maak de tekentabel van f

34 7 Telproblemen zonder herhaling B-98 Hoe breng je variaties, permutaties en combinaties zonder herhaling aan? Wenk 1 Wenk 2 Wenk 3 Wenk 4 Motiveer de leerlingen Ga met de leerlingen op ontdekking Neem voorbeelden uit hun leefwereld Maak het visueel

35 7 Telproblemen zonder herhaling B-98 (1) Hoe breng je variaties aan? V p n = n! (n p)! Vb. Loopwedstrijd met de klas, hoeveel mog. voor podium? 23 leerlingen Joke Karen. 1ste 2de 3de Joke Karen Piet Leonard Ann Joke. V 3 23 = = mogelijkheden = = 23! 20! = 23! (23 3)!

36 7 Telproblemen zonder herhaling B-98 (2) Hoe breng je permutaties aan? P n = n! Vb. Loopwedstrijd met de klas, hoeveel mog. voor tot. uitslag? 23 leerlingen Joke Karen. 1ste 2de... 23ste Hans Eva... Joke P 23 = = 23! = 2, mogelijkheden = V = 23! (23 23)! = 23! 0! = 23! daarom stellen we 0! = 1

37 7 Telproblemen zonder herhaling B-98 (3) Hoe breng je combinaties aan? C p n = n! p!(n p)! Vb. Loopwedstrijd met de klas, de eerste drie leerlingen vormen een selectieploeg voor het schoolkamioenschap. Hoeveel mog. voor de selectieploeg? 23 leerlingen 3 leerlingen Joke Karen Piet 1ste 2de 3de Joke Karen Piet C 3 23 }{{} V 3 23 dus C 3 23 P 3 = V 3 23 P 3 C 3 23 = V 3 23 P 3 = = 23! (23 3)! 3! 23! 3!(23 3)! = 1771 mogelijkheden

38 Aandacht besteden aan didactiek? Ja, maar in evenwicht met de overdracht van kennis, bewaak de kwaliteit van het wiskundeonderwijs, ASO: in functie van het hoger onderwijs, recept, stappenplan, ezelsbruggetje,... geen overdaad in functie van je doelstelllingen ook testen of ze nog weten wat ze doen ook testen of ze nog weten waarom iets geldt

39 Tot slot Inleiding Over theater zegt men: Of je publiek iets begrijpt van wat je vertelt hangt af van hoe je het vertelt. Met wiskundeonderwijs is dat net hetzelfde. Bedankt voor je bijdrage!