Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer
|
|
- Nele Verbeek
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Dag van de Wiskunde de en 3 de graad Module 6: Tweede sessie Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer Volgens het leerplan is in de doelstellingen het gebruik van ICT-hulpmiddelen opgenomen, zowel voor illustratie en demonstratie van begrippen en eigenschappen, als het effectieve gebruik ervan door de leerlingen bij het uitvoeren van berekeningen, het onderzoeken van eigenschappen en het verwerken van informatie. DERIVE biedt heel wat mogelijkheden en zorgt voor een actief en dynamisch wiskundeonderwijs. Het leren van de leerlingen wordt erdoor gestimuleerd. Het pakket kan een rol vervullen bij het aanbrengen van begrippen, analyseren van gegevens, de begripsvorming, de verwerking, interpretatie en controle. Bij het zelfstandig verwerven en verwerken van leerstof zijn werkbladen waarin DERIVE gebruikt wordt, zeer handig. Heel wat handboeken bevatten oefeningen waarin ICT kan gebruikt worden. C. DECRAEMER
2 In de tweede graad kan DERIVE nuttig zijn voor o.a. de studie van functies en de studie van rijen. Hierbij kunnen de leerlingen heel wat vaardigheden aanleren. Enkele voorbeelden: Het functievoorschrift invoeren Het kiezen van een passend venster Op een passende manier inzoomen op een grafiek Het doorlopen van een grafiek Aflezen van informatie op een grafiek Berekenen van functiewaarden -waarden en y-waarden berekenen in decimale vorm en breukvorm Nulpunten bepalen Etreme waarden bepalen Snijpunt(en) van twee grafieken bepalen Opstellen en interpreteren van tabellen met functiewaarden De gevonden resultaten kritisch interpreteren en controleren In de derde graad zijn de toepassingsmogelijkheden haast onbeperkt. Hier volgen enkele mogelijkheden, maar de lijst kan afhankelijk van de creativiteit van de leerkracht onbeperkt uitgebreid worden: Grafisch onderzoek van alle types van functies: veeltermfuncties, homografische, rationale, irrationale, goniometrische, cyclometrische, eponentiële en logaritmische functies. Verkennen van een onbekende functie door een onderzoek van de grafiek als de functie gegeven is door haar voorschrift Ondersteuning van de begripsvorming bij limiet en asymptoten. Ondersteuning van de begripsvorming bij afgeleide. Ondersteuning van de begripsvorming bij integraal. De grafische illustratie helpt het verband ontdekken tussen bepaalde integraal en oppervlakte. Matriberekeningen, berekenen van determinanten en oplossen van stelsels. C. DECRAEMER 2
3 LESVOORBEELD : TWEEDEGRAADSFUNCTIES. Grafieken van de functies y = a ². Definieer de functies f() = ² en g() = - ². Maak een tabel met functiewaarden bij deze functies. Vergelijk de waarden van beide functies. Wat stel je vast? Wis de vorige gegevens. Teken in hetzelfde venster de grafieken van y = ², y = 2² en y = 2 ². Je kunt vaststellen dat: de grafiek telkens een is de grafiek van y = 2² wordt bekomen door de grafiek van y = ² naarmate de coëfficiënt van ² groter is, wordt de symmetrieas van elk van de parabolen is de top van elk van deze parabolen is. Teken nu ook op eenzelfde scherm de grafieken van y = - ², y = - 2² en y = - 2 ². Je kunt vaststellen dat: de grafiek telkens een is de grafiek van y = - 2² wordt bekomen door de grafiek van y = 2 ² naarmate de absolute waarde van de coëfficiënt van ² groter is, wordt de symmetrieas van elk van de parabolen is de top van elk van deze parabolen is. 2. Grafieken van de functies y = a ( a)² Wis de vorige gegevens. Teken in hetzelfde venster de grafieken van f() = 2 ², g() = 2( - )² en h() = 2( + 2 )². Kies een aangepast venster. Bepaal dan met behulp van de knop Grafiek Volgen elk van deze drie grafieken de -waarden waarvoor f() = 2, g() = 2 en h() = 2. Bepaal ook telkens de top. op Je kunt vaststellen dat: ) Voor de functie g, met α > 0 geldt: de grafiek van g wordt bekomen door de grafiek van f naar te verschuiven over een afstand de symmetrieas van g is de top van g is. 2) Voor de functie h, met α < 0 geldt: C. DECRAEMER 3
4 de grafiek van h wordt bekomen door de grafiek van f naar te verschuiven over een afstand de symmetrieas van h is de top van h is. 3. Grafieken van de functies y = a ( a)² + b Wis de vorige gegevens. Teken in hetzelfde venster de grafieken van f() = 2( - )², g() = 2( - )² + 2 en h()= 2 (-)² - Kies een aangepast venster. Bepaal dan met behulp van de knop Grafiek Volgen elk van deze drie grafieken het punt met = 2. Bepaal ook telkens de top. op Je kan vaststellen dat: ) Voor de functie g, met β > 0 geldt: de grafiek van g wordt bekomen door de grafiek van f naar te verschuiven over een afstand de symmetrieas van g is de top van g is. 2) Voor de functie h, met β < 0 geldt: de grafiek van h wordt bekomen door de grafiek van f naar te verschuiven over een afstand de symmetrieas van h is de top van h is. ALGEMEEN BESLUIT: De grafiek van de functie f() = a ( - α )² + β is een. Invloed van de parameter a: Als a > 0, is dit een. parabool Als a < 0, is dit een. parabool De symmetrieas is de rechte met vergelijking De top van de parabool heeft als coördinaat.. Invloed van de parameter α:. Invloed van de parameter β: C. DECRAEMER 4
5 OPDRACHTEN:. Teken de grafieken van de volgende functies. Bepaal ook telkens de symmetrieas en de top. ) y = (+4)² + 3) y = 2) y = 2( -,5)² -2 4) y = - 2 y= (² +6 +9) 2. Teken de grafieken van de functies y =², y = ( 6)² en y = ² - 6. Vergelijk de grafieken. 3. Teken in één assenstelsel de grafieken van de functies f() = ² en g() =. Voor welke waarden van geldt f() = g(), f() > g() en f() < g()? LESVOORBEELD 2: HOMOGRAFISCHE FUNCTIES Je kunt vrij gemakkelijk werkbladen opstellen voor de grafiek van de homografische functies door toepassen van transformaties op de grafiek van y = OPDRACHT: 5 7 Gegeven is de functie f met voorschrift y =. + 2 k Schrijf het voorschrift van f in de vorm y= + b met behulp van a Vereenvoudigen uitwerken. Door welke opeenvolgende transformaties kunnen we van de grafiek van y = overgaan naar de grafiek van f? Illustreer telkens door de grafiek van de functie te tekenen. LESVOORBEELD 3: DE GRAFIEKEN VAN y=, y=, y= en y= 3 3 OPDRACHT: Plot in het grafiek venster de grafieken van de volgende functies. Door welke transformatie kan je telkens overgaan naar de volgende grafiek? ) f ( ) = 2) f ( ) = 3 3) f ( ) = 2 3 4) f ( ) = C. DECRAEMER 5
6 LESVOORBEELD 4: GRAFIEKEN VAN FUNCTIES PLOTTEN In de volgende opgaven kan DERIVE gebruikt worden om de grafieken te tekenen en te bespreken. OPGAVE : Beschouw de functies 2 f ( ) =, g ( ) = en h ( ) = Voor welke waarden van geldt dan: ) f ( ) < h ( ) < g ( ) 2) f ( ) > h ( ) > g ( ) OPGAVE 2: Plot de hyperbool y = en de parabool zo de volgende ongelijkheid op: > 2 y 2 = in hetzelfde venster en los OPGAVE 3: Plot de hyperbool y = en de rechte y = in hetzelfde venster en bepaal zo welke getallen kleiner zijn dan hun omgekeerde. OPGAVE 4: Plot de hyperbool de ongelijkheid op: 2 > y = en de rechte y = -2 in hetzelfde venster en los zo OPGAVE 5: Los grafisch op: 4 2 = 3 OPGAVE 6 eerstegraadsfuncties - Plot de grafiek van de eerstegraadsfunctie y = 0, Laat daarbij en y veranderen van -0 tot 0. Welk soort rechte zie je? Waarom kan dit niet volledig correct zijn? - Bepaal de snijpunten met de assen. Pas nu het venster aan zodat deze snijpunten goed in beeld komen en plot opnieuw de grafiek. Noteer deze nieuwe vensterinstellingen. OPGAVE 7 tweedegraadsfuncties Vanop 20 meter van het doel ziet Piet dat de doelman te ver van zijn doel staat. Hij probeert de bal met een boog met als baan y= + over de doelman te krijgen. C. DECRAEMER 6
7 - Plot een grafiek die de baan zo duidelijk mogelijk weergeeft. Noteer de vensterinstellingen. - Het doel is 2,54m hoog. Belandt de bal in het doel? OPGAVE 8 derdegraadsfuncties Plot de grafiek van de derdegraadsfunctie y= Laat daarbij en y eerst veranderen van -0 tot 0. - Er zijn 3 snijpunten met de -as en 2 toppen. Pas het venster aan zodat de snijpunten met de assen en de toppen goed in beeld komen. Plot opnieuw de grafiek. Noteer de nieuwe vensterinstellingen. Bepaal ook de snijpunten met de assen en de toppen. OPGAVE 9 rationale functies Bij een operatie wordt soms een verdovingsmiddel in het bloed gespoten. Als de concentratie van het verdovingsmiddel voldoende hoog is, raakt de patiënt buiten bewustzijn en kan er geopereerd worden. De concentratie C (in %) is een functie van de tijd t (in minuten) die verlopen is vanaf het moment dat het verdovingsmiddel wordt ingespoten. Het voorschrift is Ct () = 200t ( t + 0) 2. De arts kan opereren zolang de concentratie hoger is dan %. - Plot de grafiek van C(t) - Hoeveel minuten na de inspuiting kan met de operatie begonnen worden? - Hoeveel minuten na de inspuiting moet de chirurg stoppen met opereren? - Tot welke waarde nadert C na verloop van tijd? OPGAVE 0 eponentiële functies Op de E40 kantelde vorige week een tankwagen. De tank scheurde en de inhoud van de tank stroomde weg volgens de formule Vt () = t Hierbij is V de resterende hoeveelheid in het vat in liter en t de tijd in minuten. Plot de grafiek van V in een aangepast venster en beantwoord de volgende vragen: ) Hoeveel liter vloeistof zat er in de tank? 2) Na hoeveel minuten was de helft van de inhoud weggestroomd? 3) Wanneer was de uitstroomsnelheid maimaal? 4) Hoeveel tijd nadien was de uitstroomsnelheid afgenomen tot de helft van de maimale uitstroomsnelheid? 2 C. DECRAEMER 7
8 LESVOORBEELD 5: PARAMETERVERGELIJKING VAN EEN FAMILIE PARABOLEN. De parametervergelijking y = ² + (m+) + m stelt een verzameling parabolen voor. Bepaal telkens m zodat: de y-as een symmetrieas is; de parabool door de oorsprong gaat; de parabool door het punt (-,0) gaat. Controleer met een grafiek. Oplossing: Je kan met behulp van DERIVE een aantal parabolen uit deze verzameling tekenen. Voer eerst de volgende uitdrukking in: Kies in het menu Analyse Vector. Je krijgt dan dit dialoogvenster te zien: Let erop dat je voor de variabele m ingeeft. De startwaarde, de eindwaarde en de stapwaarde kan je zelf kiezen. Klik dan op OK. Ga dan naar het grafiek venster en plot de grafieken. Beantwoord dan de vragen. C. DECRAEMER 8
9 LESVOORBEELD 6: OPLOSSEN VAN VERGELIJKINGEN. Vergelijkingen van de vorm f() = a, waarbij f() een functievoorschrift is en a een gekende constante, kunnen met behulp van Derive op drie manieren opgelost worden. We nemen het volgende voorbeeld: Piet wil met 30 meter kippengaas een rechthoekige plaats voor zijn konijnen afrasteren. Hij gebruikt daarvoor de zijmuur van de garage. Hoe lang moet hij de lengte en de breedte maken, opdat de oppervlakte van het hok 90 m² is? ste methode: tabel met functiewaarden Met behulp van de figuur kunnen we het voorschrift voor de oppervlakte van de rechthoek in functie van de breedte opstellen. Definieer in Derive de functie f() : = (30 2 ). Kies in het menu Analyse Tabel. Uit de tabel blijkt dat er een oplossing ligt tussen 4 en 5 en voorbij 0. Maak nu een tabel met waarden tussen 4 en 5, en een tweede tabel met waarden juist voorbij 0. Bepaal op die manier beide oplossingen op cm nauwkeurig. C. DECRAEMER 9
10 2 de methode: snijpunt van twee grafieken De grafische oplossing bestaat erin het snijpunt te bepalen van de parabool y = ( 30 2) met de horizontale rechte y = 90. Geef beide functievoorschriften in en teken beide grafieken in een passend venster, via Instellen Grafiekbereik. Klik op om het snijpunt van beide grafieken af te lezen. 3 de methode: oplossen van de vergelijking Geef in het invoervak de vergelijking in. Via Oplossen Uitdrukking vind je dan de oplossingen. C. DECRAEMER 0
11 LESVOORBEELD 7: Oplossen van ongelijkheden en vergelijkingen DERIVE bezit heel wat mogelijkheden om ongelijkheden en vergelijkingen zowel algebraïsch als grafisch op te lossen. In de volgende tekst volgt daarvan een overzicht. Door in DERIVE 3-5 < 5+5 in het invoervak in te typen, gevolgd door ENTER, kunnen we de ongelijkheid 3 5 < oplossen. Kies in het menu Oplossen Uitdrukking. Na het klikken op = volgt: We kunnen de oplossing ook grafisch laten zien. We maken regel # actief door erop te klikken. Vervolgens gaan we naar het grafiekvenster en tekenen de grafiek: Het gekleurde gedeelte van het grafiekvenster geeft het gebied > -5. Tweedegraads, derdegraads en vierdegraads vergelijkingen kunnen we met DERIVE algebraïsch oplossen omdat er formules voor bestaan. Vijfdegraads en hogeregraads vergelijkingen moeten we numeriek oplossen. Probeer maar eens de vergelijking = 0 op te lossen, eerst algebraïsch en daarna numeriek. Het is natuurlijk ook mogelijk om als oplosmethode Beide te kiezen. DERIVE probeert het dan eerst algebraïsch. Als dat dan niet lukt, wordt een numerieke methode toegepast. C. DECRAEMER
12 DERIVE lost alleen ongelijkheden rechtstreeks op die uit veeltermen bestaan. Andere ongelijkheden moeten we op een andere manier oplossen. We gaan dat bekijken aan de hand van het volgende voorbeeld: We willen de ongelijkheid 5 ln() < 0 oplossen. De grafiek ziet er als volgt: Als we de nulpunten bepalen vinden we de volgende oplossing: DERIVE geeft maar één oplossing, namelijk, De andere oplossing moeten we als volgt bepalen: We zien in de grafiek dat die andere oplossing ergens tussen 2 en 4 ligt. We gaan nu gebruik maken van de begrenzingsoptie in het oplosvenster: Na klikken op Oplossen volgt: Omdat we de grafiek al kennen kunnen we direct de oplossing geven: 5 ln() < 0 als, < < 2, C. DECRAEMER 2
13 LESVOORBEELD 8: BESTPASSENDE KROMME. In de techniek krijgen we vaak te maken met grootheden die door meting verkregen zijn en aan een vergelijking moeten voldoen. We willen bijvoorbeeld de formule bepalen van de snelheid v van een lichaam op tijdstip t. De versnelling van het lichaam is constant en noemen we a. De beginsnelheid noemen we v0. De gevraagde formule heeft de vorm v = v 0 + a t. De grootheden v 0 en a willen we bepalen door op een aantal tijdstippen de snelheid te meten. Die metingen leveren bijvoorbeeld de volgende resultaten: t sec v,9 3,7 5,3 6,5 8, m/sec Klik in DERIVE in de werkbalk op het matri icoon en kies voor vijf rijen en twee kolommen. Klik op OK waarna we in het volgende venster onze meetgegevens intypen. Klik tenslotte op OK. Ga vervolgens naar het grafiekvenster en kies voor Venster - Naast Elkaar. Het resultaat is dat we het algebra venster en het grafiek venster naast elkaar zien. Klik in het grafiek venster op het icoon Grafiek Tekenen waarna we de punten zien verschijnen: C. DECRAEMER 3
14 de horizontale as benoemen we met t (s) en de verticale as met v (m/s) via Opties Weergave assen Door deze vijf punten moeten we nu zo goed mogelijk een rechte lijn trekken. Meestal liggen niet alle meetpunten daar precies op. Dat is het gevolg van meetfouten die we maken. Door de best passende lijn of trendlijn te trekken worden de meetfouten eruit gemiddeld. Dergelijke zogenaamde regressiemethodes vereisen nogal veel rekenwerk. We laten dat daarom door DERIVE doen. Met de opdracht FIT berekenen we de vergelijking van de best passende lijn. In het invoervak typen we FIT([t,at+b], waarna we de matri uit het algebra venster kopiëren en in het invoervak achter de komma plakken met functietoets F3. Daarna typen we nog een sluithaakje: Na het klikken op ENTER zien we in het algebra venster de volgende regel #2: Klikken op levert op regel #3 de vergelijking v =,52 t + 2,06 op. Dat is de vergelijking van de trendlijn door de gegeven meetpunten. Hieruit volgt dan v 0 = 2,06 m / s en a =,52 m / s 2. In onderstaande grafiek zien we hoe die gevonden trendlijn door de meetpunten loopt. C. DECRAEMER 4
15 Willen we de vergelijking van de trendlijn die eact door alle vijf punten gaat dan moeten we uitgaan van een vierdegraads functie (graad is altijd één lager dan het aantal punten). De algemene gedaante van een vierdegraads functie is: y = a 4 + b 3 + c 2 + d + e. Als we onze variabele t noemen typen we in het invoervlak de volgende uitdrukking: Na het klikken op ENTER zien we in het algebravlak de volgende regel #4: Klikken op levert op regel #5 de vergelijking van de trendlijn die eact door alle gegeven meetpunten loopt. In onderstaande grafiek zien we hoe die gevonden trendlijn eact door alle meetpunten loopt. C. DECRAEMER 5
16 LESVOORBEELD 9: DE BINOMIAALFORMULE EN DE DRIEHOEK VAN PASCAL In het volgende werkblad worden de binomiaalformule van Newton en de driehoek van Pascal opgesteld. We werken de volgende uitdrukking uit met Vereenvoudigen Uitwerken. Het resultaat ziet er vrij ingewikkeld uit. Noteer de ste term:.. de 4 de term:.. de laatste term: ( 4y 2 3y 3 ) 8 Laat DERIVE nu de volgende machten van (a + b) uitwerken en noteer enkel de coëfficiënten van de termen: n = 4: ( a+ b) 4 : n = 5: ( a+ b) 5 : n = 6: ( a+ b) 6 : n = 7: ( a+ b) 7 : Zie je hierin een systeem? Vul dan de lijnen met n = 8 en n = 9 aan. Controleer je resultaat met DERIVE. Vul het schema ook bovenaan aan ( n = 3, n = 2 en n = ). Welk is het getal bij n = 0? C. DECRAEMER 6
17 Noteer nu de bekomen coëfficiënten in de vorm van een driehoek: n = 0 n = n = 2 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9 n = 0 n = Deze driehoek van getallen noemt men de driehoek van Pascal. (Blaise Pascal, ) Bepaal de som van de getallen op elke lijn. Wat merk je op? Hoe kan je dit bewijzen? (Hint: vervang a en b) Kijk nu naar de eponenten van a en b in elk van de uitwerkingen van de machten van (a + b). Wat merk je op? Probeer nu zelf de uitwerking van ( a b) 8 ( a b) 8 + =. + op te schrijven. Controleer je resultaat met DERIVE. Doe nu hetzelfde met ( 2+ 3y) 5 ( 2 3y) 5 + =. C. DECRAEMER 7
18 Controleer opnieuw met DERIVE. Je kan daarvoor DERIVE ( 2+ 3y) 5 laten uitrekenen, maar dit kan ook als volg: Ontwikkel ( a b) 5 +, en vervang dan a door 2 en b door 3y. Werk nu uit, eerst manueel en dan met DERIVE: ( 4z+ 2u) 6 = Welk is de invloed van een verandering van teken ( a b ) n? Ga dit na met DERIVE en formuleer je besluit:. OPDRACHTEN: Geef de uitwerking voor de volgende uitdrukkingen. Contorleer telkens met DERIVE. ) ( z + 4) 6 = 2) ( 4y 2 3y 3 ) 8 = 2 3) ( 5ab+ 2b ) 9 Geef de 3 de term:.. Geef de 7 de term:.. C. DECRAEMER 8
19 LESVOORBEELD 0: EXPONENTIELE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES. De volgende tekst illustreert een mogelijkheid om het getal e te definiëren. Dit gebeurt klassikaal als demonstratie. De leerlingen beschikken over een begeleidende tekst. De grafiek van de eponentiële functie is gekend.. Het getal e We bekijken eerst de grafieken van de functies f() = 2 en g() = +. We zien dat beide grafieken mekaar snijden in (0,) en (,2) We trachten nu de waarde voor a te bepalen, waarvoor de grafieken van f() = a en g() = + elkaar, naast (0,) ook snijden in, Daarvoor moeten we de vergelijking a = + oplossen. 2 2 Dit kan door beide vergelijkingen te kwadrateren: a = ( + ) = = 2.25 Ter controle plotten we nu de grafieken van f ( ) = 2.25 en g() = +. We passen het venster aan, zodat we goed de snijpunten zien. C. DECRAEMER 9
20 We trachten nu de waarde voor a te bepalen, waarvoor de grafieken van f() = a en g() = + elkaar, naast (0,) ook snijden in, Daarvoor moeten we de vergelijking a = + oplossen. 4 4 Daarvoor werken we nu met DERIVE. In het invoervak voeren we de vergelijking en via Oplossen Uitdrukking vullen we het dialoogvenster in: We vinden: C. DECRAEMER 20
21 We berekenen daaropvolgend de waarde voor a, zodat beide grafieken elkaar snijden in het punt met = 0 en we vinden: a =... Tenslotte berekenen we de waarde voor a, zodat beide grafieken elkaar snijden in het punt met = en we vinden: a = Om a te bepalen, hebben we dus telkens de vergelijking a = + opgelost naar a. Deze vergelijking kunnen we ook schrijven als: a ( ) = + We brengen nu het tweede snijpunt nog dichter in de buurt van (0,), waardoor we de waarde van a kunnen vinden waarvoor de grafieken van f() = a en g() = + aan elkaar raken in (0,). Dit wil zeggen dat naar 0 nadert en dat we voor deze waarde van a de limiet moeten nemen waarbij 0 lim( 0 De uitkomst van deze limiet is het getal e, het getal van Euler: + ) lim( 0 ) + = e De waarde van het getal e kunnen we ook berekenen, door op vinden: e = te klikken. We Dit getal is genoemd naar de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, die in 73 deze notatie voor het eerst gebruikte. Het is de eerste letter van eponentieel ( en ook van de naam Euler!) Met een tabel kunnen we benaderingen berekenen van de limiet die het getal e bepaalt. Geef daarvoor in het invoervak de volgende uitdrukking in, en klik dan op. Vul nu de tabel aan: ( ) + ( ) C. DECRAEMER 2
22 Stel nu een tabel op waarmee je de volgende limiet kan berekenen: lim ± Besluit: We kunnen e ook als volgt definiëren:.. 2. De grafiek van de eponentiële f() = e. + Teken de grafiek van de eponentiële functie f() = e en van de raaklijn g() = + in het punt (0,) We weten dus dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de functie f() = e in ( 0,) gelijk is aan. Stel een tabel op met de functiewaarden van e, waarbij varieert van -3 tot 3. Vul de bekomen waarden in: e Controleer de waarden ook op de grafiek. C. DECRAEMER 22
23 3. De grafiek van de natuurlijke logaritme. Zoals alle andere eponentiële functies, heeft ook f() = e een inverse: de logartimische functie met grondtal e. Logaritmen met grondtal e worden natuurlijke of Neperiaanse logaritmen genoemd, naar de Schotse wiskundige John Napier (550 63). In de notatie laat men e weg en schrijft men ln in plaats van e log. In DERIVE moet je intoetsen ln(). Bereken nu de natuurlijke logaritme van de volgende getallen met behulp van DERIVE ln Plot nu ook de grafieken van y = ln, y = e en y =. Welk verband bestaat er tussen de grafieken van y = ln, y = e 4. De afgeleide functie van de eponentiële functie f( ) = a Definieer de functie f() := 2^ in het invoervak. Selecteer 2^. We bepalen de afgeleide functie, zonder ze te laten berekenen via Analyse Afgeleide. Klik dan in het dialoogvenster op OK. C. DECRAEMER 23
24 Definieer de functie g(). (Gebruik F3) Plot nu f() en g() in het grafiekvenster: We merken op dat de grafiek van de afgeleide functie lijkt op een eponentiële functie. We kijken nu naar het quotiënt van g() en h(). We definiëren h() : = g() / h() en tekenen de grafiek van h(). We vinden een constante, die we kunnen bepalen met Volg Cursor. We lezen af: Besluit: D(2 ) 2 = Herhaal nu de vorige bewerkingen met de eponentiële functie met grondtal 3. D(3 ) Je vindt als resultaat: =... 3 Ga nu even na waar we die waarden ook gevonden hebben. Besluit: Da ( ) = ln a of Da ( ) = a ln a a Speciaal geval: De ( ) e =, want ln e = C. DECRAEMER 24
Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer
Dag van de Wiskunde 003 de en 3 de graad Module 6: Eerste sessie Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer Je kunt Derive het best vergelijken met een uitgebreid rekentoestel. Niet enkel numerieke,
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatieEen verband tussen x en y wordt gegeven door de volgende grafiek:
Grafieken 2 Een verband tussen x en y wordt gegeven door de volgende grafiek: Als we de functiewaarde voor x = 6 willen bepalen vallen we buiten de grafiek. Wat we wel kunnen doen is de bijbehorende functie
Nadere informatieGrafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top.
Grafieken 1 In het moduul verbanden hebben we gezien hoe we de grafiek van een lineair verband zoals y = 3 x + 5 moeten tekenen, dat wordt een rechte lijn. We noemen de functie y = 3 x + 5 ook wel een
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieTransformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1
Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen
Nadere informatievoorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieINLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN
INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN...1 2. FUNCTIES...2 3. ARGUMENT EN BEELD...3 4. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...4 5. DE FUNCTIEWAARDETABEL...5 6. DE GRAFIEK...6 7. FUNCTIES HERKENNEN...7 8. OPLOSSINGEN...9
Nadere informatieVoorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatierekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar
Hoofdstuk 5 - machten, eponenten en logaritmen rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar 0. voorkennis HERLEIDEN VAN MACHTEN - rekenregels voor machten Bij het vermenigvuldigen van
Nadere informatieReële functies. Deel I. 1. Rationale functies. 1. Definitie: gezien. 2. Homografische functies: zie onder
Deel I Reële functies. Rationale functies. Definitie: gezien. Homografische functies: zie onder 3. Domein, nulpunten en tekenonderzoek: gezien. De functie f :. Domein f. Snijpunten met de X-as en de Y
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieDag van GeoGebra Probleemoplossende vaardigheden en onderzoekscompetentie wiskunde 28 mei 2011 Gent
1 VERBORGEN FIGUREN 1.1 OPGAVE In heel wat klassieke opdrachten uit de meetkunde is het de bedoeling om een bepaalde figuur te tekenen indien een aantal punten gegeven zijn. De eigenschappen van deze figuur
Nadere informatie18de T3 Vlaanderen Symposium Oostende 24 & 25 augustus 2015 Introductie tot TI-Nspire CAS m.b.v. ipad met voorbeelden uit de tweede graad
18de T Vlaanderen Symposium Oostende 24 & 25 augustus 2015 Introductie tot TI-Nspire CAS m.b.v. ipad met voorbeelden uit de tweede graad Paul Verbelen 97 Inleiding tot TI-Nspire CAS ipad app gebruik van
Nadere informatieMeergraadsvergelijkingen
Meergraadsvergelijkingen Meergraads vergelijkingen In dit hoofdstuk gaan we ons bezig houden met tweede- en hogeregraads vergelijkingen. In een tweedegraads vergelijking komt de onbekende x tot de tweede
Nadere informatie5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.
5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
7 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: functie invoerwaarde
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
wiskunde B pilot vwo 017-II Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin(
Nadere informatieHet installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/.
Softmaths 1 Softmaths Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. De code kan je bekomen op de school. Goniometrie en driehoeken Oplossen van driehoeken - Start van het programma:
Nadere informatieDidactische wenken bij het onderdeel analyse
Didactische wenken bij het onderdeel analyse Didactische wenken bij het onderdeel analyse 1/21 1. Eindtermen analyse Eindtermen ASO tweede graad ET 22 3 (4) aspecten van een functie ET 23 Standaardfuncties
Nadere informatieLesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)
Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem
Nadere informatie1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur
Eamen VW 017 tijdvak woensdag 1 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 74 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2008-I
Landing In deze opgave bekijken we een eenvoudig wiskundig model van de baan van een vliegtuig bij de landing. en vliegtuig vliegt op een hoogte van 8 km. Op een afstand van 00 km van het vliegveld (horizontaal
Nadere informatiedr. Luc Gheysens ICT : het gebruik van de grafische rekenmachine TI-83 (Plus) LESVOORBEELD 1 : RECHTEN EN PARABOLEN RADEN
3 T EUROPE dr. Luc Gheysens ICT : het gebruik van de grafische rekenmachine TI-83 (Plus) LESVOORBEELD 1 : RECHTEN EN PARABOLEN RADEN Door het feit dat op een grafische rekenmachine kan geprogrammeerd worden,
Nadere informatieHoofdstuk 7 - veranderingen. getal & ruimte HAVO wiskunde A deel 2
Hoofdstuk 7 - veranderingen getal & ruimte HAVO wiskunde A deel 2 0. voorkennis Plotten, schetsen en tekenen Een grafiek plotten Een grafiek schetsen Een grafiek tekenen Na het invoeren van de formule
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 woensdag 28 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 2008 tijdvak woensdag 28 mei 3.30-6.30 uur wiskunde,2 ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 20 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 82 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur
Eamen HAV 019 tijdvak woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I
en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 2019 tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieBijlage 11 - Toetsenmateriaal
Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Nadere informatieEen checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...
Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een
Nadere informatieStudie van functies en de analytische meetkunde in het vierde jaar van het ASO-TSO-KSO
GeoGebra in het vierde jaar Studie van functies en de analytische meetkunde in het vierde jaar van het ASO-TSO-KSO R. Van Nieuwenhuyze Docent wiskunde aan HUB, Brussel Auteur Van Basis tot Limiet. Pedagogisch
Nadere informatieDocentenversie. Hoofdstuk A9 Hellinggrafieken - alternatief. snelheid (m/s)
Docentenversie Vooraf Dit hoofdstuk bestaat uit drie delen: Wat zijn hellinggrafieken en hoe maak je ze? Met het differentiequotient voor alle punten van de grafiek de helling uitrekenen. Die waarden kun
Nadere informatieEliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra
Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra Guido Herweyers, KHBO Campus Oostende Dirk Janssens, K.U.Leuven 1. Inleiding Uitgaande van parametervergelijkingen van rechten en vlakken illustreren
Nadere informatieWISNET-HBO NHL update jan. 2009
Tweedegraadsfuncties Parabolen maken WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Inleiding In deze les leer je wat systeem brengen in het snel herkennen van tweedegraadsfuncties. Een paar handige trucjes voor het
Nadere informatieChecklist Wiskunde B HAVO HML
Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten
Nadere informatie2.1 Lineaire formules [1]
2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatieexponentiële standaardfunctie
9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is
Nadere informatie( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong
Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van
Nadere informatieSamenvatting wiskunde B
Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2015-I
Hangar Door constructies in de vorm van een bergparabool te gebruiken, kunnen grote gebouwen zonder inwendige steunpilaren gebouwd worden. Deze manier van bouwen werd begin vorige eeuw veel gebruikt voor
Nadere informatieWerk het Practicum Functies en de [GR] door tot aan Families van functies. Onthoud alvast de uitdrukking karakteristieken van een functie.
2 Domein en bereik Verkennen grafieken Domein en bereik Inleiding Verkennen Werk het Practicum Functies en de [GR] door tot aan Families van functies. Onthoud alvast de uitdrukking karakteristieken van
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2016-I
De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2 C liggen op c. Punt Q is het midden van
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k
Nadere informatieDag van de wiskunde 22 november 2014
WISKUNDIGE UITDAGINGEN MET DE TI-84 L U C G H E Y S E N S VRAGEN/OPMERKINGEN/ peter.vandewiele@telenet.be TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX Opstarten programma en naamgeven! Peter Vandewiele 1 TOEPASSING 1:
Nadere informatie7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]
7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1:
Nadere informatieFamilies parabolen en fonteinen met de TI-Nspire
Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire Dr Didier Deses Samenvatting We bestuderen 1-parameterfamilies van parabolen. De klassieke families (bijv.: y = ax 2 ) komen aan bod alsook de parabolen
Nadere informatieOpdracht 1 bladzijde 8
Opdrachten Opdracht bladzijde 8 Uit een stuk karton met lengte 45 cm en breedte 8 cm knip je in de vier hoeken vierkantjes af met zijde cm. Zo verkrijg je een open doos. 8 cm 45 cm Hoe groot is het volume
Nadere informatie1.1 Lineaire vergelijkingen [1]
1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg
Nadere informatieHoofdstuk 3 - Transformaties
Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 V-a f () = g () = sin h () = k () = log m () = n () = p () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D
Nadere informatieFuncties. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm
Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II
ier tappen ij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een
Nadere informatieDomein A: Vaardigheden
Examenprogramma Wiskunde A havo Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Algebra en tellen
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatie3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieVoorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatieVergelijkingen van cirkels en lijnen
Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B Profi
Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen HAV 018 tijdvak woensdag 0 juni 1.0-16.0 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Rekenregels machten: 5) a 0 = 1. p p q p q a p q q. p q pq p p p. Willem-Jan van der Zanden
2.0 Voorkennis Voorbeeld: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = (a +b)(a2 + 2ab + b2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b +2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Rekenregels machten: p p q pq a pq 1) a a
Nadere informatieMachtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie
Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0
Nadere informatieStandaardfuncties. x c
Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 16 mei uur
Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 6 mei 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 9 punten te behalen; het eamen bestaat uit 7 vragen.
Nadere informatieEenparig rechtlijnige beweging met de NXT
Eenparig rechtlijnige beweging met de NXT Project tweede graad : VRIJ TECHNISCH INSTITUUT VEURNE Iepersesteenweg 90 8630 VEURNE e-mail: info@vtiveurne.be vzw Katholiek Secundair Onderwijs Veurne Nieuwpoort,
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieParagraaf 4.1 : Kwadratische formules
Hoofdstuk 4 Werken met formules H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 41 : Kwadratische formules Les 1 : Verschillende vormen Er zijn verschillende vormen van kwadratische vergelijkingen die vaak terugkomen
Nadere informatieHoofdstuk 6 - de afgeleide functie
Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 007 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde 1, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieVAARDIGHEDEN EXCEL. MEETWAARDEN INVULLEN In de figuur hieronder zie je twee keer de ingevoerde meetwaarden, eerst ruw en daarna netjes opgemaakt.
VAARDIGHEDEN EXCEL Excel is een programma met veel mogelijkheden om meetresultaten te verwerken, maar het was oorspronkelijk een programma voor boekhouders. Dat betekent dat we ons soms in bochten moeten
Nadere informatieProbeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.
1 Het begrip functie Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Functies en grafieken Het begrip functie Inleiding Verkennen Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatiewiskunde B havo 2018-II
Piano In figuur 1 zijn de witte en zwarte toetsen van een gewone piano getekend. In totaal heeft deze piano 88 toetsen. figuur 1 De toetsen worden genummerd van links naar rechts. Zie figuur, waarin de
Nadere informatietoelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.
Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag
Nadere informatieVragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo
Bijlage 7 Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Deze vragen kunnen gebruikt worden om aan het eind van klas 3 havo/vwo na te gaan in hoeverre leerlingen in staat zijn te
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieTentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 19 december Aantal opgaven: 5
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Datum: 19 december 2018 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Tentamen Wiskunde B Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieH. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
Nadere informatieAlgebra leren met deti-89
Algebra leren met deti-89 Werkgroep T 3 -symposium Leuven 24-25 augustus 2001 Doel Reflecteren op het leren van algebra in een computeralgebra-omgeving, en in het bijzonder op het omgaan met variabelen
Nadere informatieSchoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden
Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak
Nadere informatie5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking
5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in
Nadere informatie2. Een eerste kennismaking met Maxima
. Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen
Nadere informatieZelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde
In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen HAV 2016 tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor
Nadere informatieReferentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen
Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door
Nadere informatieNotatieafspraken bovenbouw, wiskunde A
Notatieafspraken bovenbouw, wiskunde A Bewaar dit document zorgvuldig Het wordt slechts éénmaal verstrekt Dit document bevat afspraken voor de correcte notatie volgens de gehele sectie wiskunde van het
Nadere informatieDe eerste stappen met de TI-Nspire 2.1 voor de derde graad
De eerste stappen met TI-Nspire 2.1 voor de derde graad. Technisch Instituut Heilig Hart, Hasselt Inleiding Ik gebruik al twee jaar de TI-Nspire CAS in de derde graad TSO in de klassen 6TIW( 8 uur wiskunde)
Nadere informatieDe rekenmachine-toepassing, de grafieken en meetkunde toepassing
Duur 45 minuten Overzicht Tijdens deze lesactiviteit leer je dat je een vraagstuk soms op verschillende manieren kan oplossen en dat de interpretatie van je antwoord van groot belang is bij het formuleren
Nadere informatieMETA-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies
META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies Wat heb ik nodig: GR of afgeleide? Hoe ziet de grafiek eruit? Moet ik de afgeleide berekenen? Kan ik bij deze functie de afgeleide berekenen? Welke
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo 2008-I
Eindeamen wiskunde B vwo 008-I Landing In deze opgave bekijken we een eenvoudig wiskundig model van de baan van een vliegtuig bij de landing. Een vliegtuig vliegt op een hoogte van 8 km. Op een afstand
Nadere informatieCalculus I, 19/10/2015
Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 28 mei uur
Eamen VWO 2008 tijdvak woensdag 28 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord
Nadere informatieAntwoordenboekje. Willem van Ravenstein
Antwoordenboekje Willem van Ravenstein 2006-2007 versie 2 herzien in 2010 1 Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 2 Vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken... 3 Breuken en haakjes... 4 Machten en wortels...
Nadere informatieAnnelies Droessaert en Etienne Goemaere
De meerwaarde van TI-Nspire in de 2 de graad Annelies Droessaert en Etienne Goemaere 1. INLEIDING De meeste scholen kiezen er momenteel voor om een grafisch rekentoestel in te voeren vanaf de 2 de graad.
Nadere informatie