Uitwerkingen tentamen 8C8 - april Opgave. Mutual information Gegeven zijn twee D datasets van dezelfde patient, nl. een CT scan en een MRI scan van het hoofd. Grid@im = RandomInteger@8, <, 85, 5<D, Frame AllD Grid@im = RandomInteger@8, <, 85, 5<D, Frame AllD a. Beschrijf hoe de Joint Probability Density Function van deze twee datasets eruit ziet. Antw: JPDF is een D histogram van paren. De waarden van t/m komen voor in elk element van het paar intensiteitswaarden, dus het JPDF is x. counts = BinCounts@Flatten@Transpose@8im, im<, 8,, <D, D, 8, 5, <, 8, 5, <D MatrixForm b. Geef de formule voor de Mutual Information MI(A,B) van de twee datasets. Antwoord: De mutual information is: N a H[A] = -Úa= p@ad Log@p@aDD N b H[B] = -Úb= p@bd Log@p@bDD a b H[A,B] = -Úa= p@a, bd Log@p@a, bdd Úb= MI[A,B]=H[A] + H[B] - H[A,B] N N De normalized mutual information is: MInorm @A, BD = H@AD+H@BD H@A,BD Opgave. Afgeleide van Fourier reeks
Uitwerking tentamen 8C8.nb Opgave. Afgeleide van Fourier reeks Van een gegeven periodiek signaal, een electro-cardiogram, is de Fourier reeks bekend. Men berekent vervolgens de grootte van de eerste afgeleide van dit signaal om de tijdstippen waarop het signaal snel verandert te kunnen vinden. a. Beschrijf wat er in het Fourier reeks van dit signaal gebeurt met de Fourier coefficient a[]. Leg uit waarom je denkt dat dit zo is. b. Wat gebeurt er met de overige Fourier coëfficienten? ã Antwoord: a: De afgeleide van een constante is nul. Er is dus geen DC component meer: a@d =. D@Constant, xd b: De Fourier reeks bestaat uit een grote reeks van cos en sin functies, met steeds hogere frequenties. Voor de eerste frequenties: f@x_d = Sum@an Cos@n xd + bn Sin@n xd, 8n,, <D a + Cos@xD a + Cos@ xd a + Cos@ xd a + Cos@ xd a + Sin@xD b + Sin@ xd b + Sin@ xd b + Sin@ xd b Als we de afgeleide nemen, zien we dat alle frequenties met n en l worden vermenigvuldigd: D@f@xD, xd - Sin@xD a - Sin@ xd a - Sin@ xd a - Sin@ xd a + Cos@xD b + Cos@ xd b + Cos@ xd b + Cos@ xd b Cos termen worden -sin termen, en sin termen worden cos termen. En de hogere frequenties worden dus evenredig met de frequentie versterkt! Daarom neemt de ruis toe bij het nemen van afgeleiden. Opgave. Fourier reeks zaagtandfunctie Bereken alle Fourier coefficienten van de volgende periodieke functie (-Π x Π): de zaagtandfunctie: f[x_]:= Mod[x-Π/,Π]-Π/. f@x_d := Mod@x - Π, ΠD - Π
Uitwerking tentamen 8C8.nb Plot@f@xD, 8x, - Π, Π<, ImageSize, AspectRatio.D.5..5-6 - - -.5 -. -.5 6 We berekenen de Fourier coefficienten door de definitie toe te passen. We integreren de functie daarbij van -Π tot +Π. Bij het berekenen van de integralen met de hand, moet je de functies opsplitsen in drie deelintegralen over het domein -Π tot +Π : Clear@bD; -Π Π Π bp@l_d = Hx + ΠL Sin@l xd â x + à x Sin@l xd â x + à Hx - ΠL Sin@l xd â x; à Π -Π Π -Π Π Π Elk kan op de normale manier worden uitgerekend, met partieel integreren. a = Π Integrate@f@xD, 8x, - Π, Π<D Dit hadden we ook direct kunnen zien: het gemiddelde van de functie is nul. Ook voor de berekening van de a@nd, de cosinus coefficienten, gebruiken we de definitie: Clear@aD; a@n_d = Integrate@f@xD Cos@ n xd, 8x, - Π, Π<D Π Alle cosinus termen zijn dus nul. Dit hadden we ook direct kunnen zien: het is een anti-symmetrische functie, hij heeft dezelfde symmetrie als een sinus functie. Er zijn dus alleen sinus coefficienten. De berekening van deze sinus coefficienten: Clear@bD; b@l_d := Integrate@f@xD Sin@ l xd, 8x, - Π, Π<D Π b@ld lπ l l Π CosB Π F - Sin@l ΠD De sinusterm is altijd nul, voor l integer.
Uitwerking tentamen 8C8.nb Simplify@b@lD, l Î IntegersD CosA l lπ E Table@b@lD, 8l,, 7<D :,,, -,, -,,,, -,, 5 6,, -,, 7, > 8 ListPlot@Table@b@lD, 8l,, <D, PlotRange AllD..8.6.. -. -. En inderdaad, ze tellen allemaal netjes op tot de zaagtandfunctie, hoe meer termen, hoe beter de gelijkenis. lπ ManipulateBPlotBSumB - l l Π CosB Π 8x, - Π, Π<F, 88n, <,, 5, <F F - Sin@l ΠD n.5..5-6 - - -.5 -. -.5 6 Sin@l xd, 8l,, n<f,
Uitwerking tentamen 8C8.nb 5 Opgave. Geometrische transformatiematrix D transformatie om een beeld in elke richting % kleiner te maken: En % groter, met de inverse van deze matrix: transform = InverseB::,, >, :,, >, :,, >>F MatrixForm Een shear transformatie heeft of meer elementen buiten de diagonaal die niet nul zijn. Bijvoorbeeld: Opgave 5. Interpolatie Lineaire interpolatie in D heet ook wel bi-lineaire interpolatie. In D heet het tri-lineaire interpolatie. a. Bereken de tri-lininair geïnterpoleerde waarde van de intensiteit op locatie {x,y,z}={.6,.,.7}. Teken eerste de geometrische situatie:
6 Uitwerking tentamen 8C8.nb origin = 8x, y, z< = 8,, <; pt = 8.6,.,.7<; points = Point 88x, y, z<, 8x, y, z + <, 8x, y +, z<, 8x, y +, z + <, 8x +, y, z<, 8x +, y, z + <, 8x +, y +, z<, 8x +, y +, z + <<; lines = 8Line@88x +.6, y +., z<, 8x +.6, y +., z + <<D, Line@88x +.6, y, z +.7<, 8x +.6, y +, z +.7<<D, Line@88x, y +., z +.7<, 8x +, y +., z +.7<<D<; target = Point@ptD; GraphicsD@basis = 8points, Red, target, Green, lines<, ImageSize D Antwoord: Dit houdt drie maal een lineaire interpolatie in: we moeten eerst de bi-lineaire interpolaties uitrekenen van het centrale punt dat projecteert op de vlakken z= en z=. De waarde van de intensiteit in die projectiepunten (A, resp. B) vinden we in twee stappen: projectie van A resp. B op de lijnen evenwijdig aan de y-as, en daarna de berekening van de intensiteit hiervan door lineaire interpolatie met de hoekpunten. In[]:= Clear@a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s, u, vd; p =. a +.6 b; q =. e +.6 f; r =. c +.6 d; s =. g +.6 h; u =. p +. q; v =. r +. s; opl =. u +.7 v Out[8]= In[]:= Out[]=. H. H. a +.6 bl +. H. e +.6 fll +.7 H. H. c +.6 dl +. H. g +.6 hll opl Simplify.8 a +.6 b +.5 c +.78 d +. e +.8 f +.8 g +. h b. Berekende tri-lineair geïnterpoleerde waarde op lokatie {.5,.5, }.
Uitwerking tentamen 8C8.nb Antwoord: dit is het gewogen gemiddelde middenin, evenver van alle naburige punten, met het gelijke gewicht van / van elk hoekpunt, in het vlak z=. opl = Hc + d + g + hl 6. Noord-Oost en Zuid-West operatoren << MathVisionTools` MathVisionTools 8 Biomedical Image-Analysis, Technische Universiteit Eindhoven, the Netherlands This Mathematica add-on, version.. (July rd, ) is for academic use only. Please, contact Dr. Markus van Almsick or Prof. Bart ter Haar Romeny for bug reports and commercial use. Een digitaal beeld wordt geconvolueerd met het digitale x filter J - N.Beschijf het effect van dit filter op het beeld, en geef wiskundig aan wat hier gebeurt, liefst in formules. Antwoord: dit filter rekent de afgeleide uit in de diagonale richting. Het trekt immers twee pixelwaarden van elkaar af die diagonaal naast elkaar liggen. Het is een zogenaamde richtingsafgeleide. disk = TableAIfAx + y > 5,, E, 8y, -, <, 8x, -, <E; - filter = K O; - filter = K O; RasterPlot@diskD 5 5 5 5 RasterPlot@d = ListConvolve@filter, diskdd 5 5 5 5 7
8 Uitwerking tentamen 8C8.nb RasterPlot@d = ListConvolve@filter, diskdd 5 5 5 5 De grootte van de gradient kan met deze twee orthogonale componenten weer worden berekend met Pythagoras: RasterPlotB d + d F 5 5 5 5