De rechte van Euler maimumscore De straal r van c is ( 0 ) ( ) + 5 = + = 5 Hieruit volgt r = 5 ( r ) ( een gelijkwaardige uitdrukking) Een vergelijking van c is ( ) ( ) Een vergelijking van c is ( ) ( ) Invullen van de coördinaten van A geeft y 9 r + = 5 Dus een vergelijking van c is ( ) ( ) + y = r + = y maimumscore 5 + 0 0+ De coördinaten van P zijn (, = ) (,) l heeft richtingscoëfficiënt ( 0 = ) (dus l heeft een vergelijking van de vorm y = + b) Invullen van de coördinaten van C (, 0) in y = + b geeft 6 b = 6 (dus een vergelijking van l is y = + ) 6 6 Uit + = + volgt 5 5 Dit geeft 6 y = 5 + 5 = = (dus de -coördinaat van S is ) (dus de y-coördinaat van S is ) + 0 0+ De coördinaten van P zijn (, = ) (,) l heeft richtingscoëfficiënt ( 0 = ) (dus l heeft een vergelijking van de vorm y = + b) Invullen van de coördinaten van C (, 0) in y = + b geeft 6 b = (dus een vergelijking van l is 6 y = + ) + = + = = (dus S ligt op l) 6 8 6 8 0 5 5 5 5 5 + = + = = (dus S ligt op k)
maimumscore 7 De lijn door A en B heeft richtingscoëfficiënt De richtingscoëfficiënt van n is ( = ) (dus n heeft een vergelijking van de vorm y = + b) Invullen van de coördinaten van (, 0) Dus de coördinaten van T zijn ( ) C in y = + b geeft b = 0, Een vergelijking van de lijn door twee van de drie punten M, S en T is y = 5+ Het controleren dat het derde punt op deze lijn ligt (dus M, S en T liggen op één lijn) De lijn door A en B heeft richtingscoëfficiënt De richtingscoëfficiënt van n is ( = ) (dus n heeft een vergelijking van de vorm y = + b) Invullen van de coördinaten van (, 0) Dus de coördinaten van T zijn ( ) C in y = + b geeft b = 0, De richtingscoëfficiënt van de lijn door twee van de drie punten M, S en T is 5 De richtingscoëfficiënt van de lijn door twee, maar niet dezelfde twee, van de punten M, S en T is 5 De richtingscoëfficiënten van deze twee lijnen zijn gelijk en deze twee lijnen hebben een punt gemeenschappelijk, dus deze lijnen vallen samen (dus M, S en T liggen op één lijn)
Een wortelfunctie maimumscore 5 De vergelijking 7 7 + 6 = + moet worden opgelost Dit geeft 9 98 9 6 8 + 6= + Dit herleiden tot 9 8+ 00 = 0 ( bijvoorbeeld 9 7 5 + = ) 6 0 Beschrijven hoe deze vergelijking eact opgelost kan worden 50 = = (dus de gevraagde -coördinaten zijn en 50 9 9 ) 5 maimumscore 6 De afstand tussen A en B is maimaal als v( p) = p+ 6 7 7 ( p+ ) maimaal is v' ( p) = + 7 p + 6 ( een gelijkwaardige vorm) (Als v( p ) maimaal is dan is v' ( p ) = 0, dus) de vergelijking + 7 = 0 moet worden opgelost p + 6 Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden p, 8 ( nauwkeuriger) ( p = 86 ) (dus de afstand is maimaal voor 9 p, 8 ( nauwkeuriger) ( p = 86 )) De afstand tussen A en B is maimaal als f' ( ) gelijk is aan de helling 9 van de lijn 7 7 y = + f' ( ) = ( een gelijkwaardige vorm) + 6 De vergelijking = 7 moet worden opgelost + 6 Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden p, 8 ( nauwkeuriger) ( p = 86 ) (dus de afstand is maimaal voor 9 86 p, 8 ( nauwkeuriger) ( p = )) Opmerking Als een kandidaat bij het differentiëren de kettingregel niet niet correct heeft toegepast, voor deze vraag maimaal scorepunten toekennen. 9
Schijngestalten van de maan 6 maimumscore π De periode van P is 0,769 (dagen) Dit is (ongeveer) 9,505 ( nauwkeuriger) (dagen) Het antwoord 5 minuten ( 9 dagen, uur en minuten) Beschrijven hoe met behulp van de GR twee maima ( twee minima, een maimum en een minimum) kunnen worden gevonden Hieruit volgt de periode 9,505 ( nauwkeuriger) (dagen) Het antwoord 5 minuten ( 9 dagen, uur en minuten) 7 maimumscore Er wordt gevraagd naar de kleinste (niet-negatieve) waarde van t waarvoor P = 0 Beschrijven hoe deze waarde van t gevonden kan worden t 7,05 ( nauwkeuriger) dus op 8 januari (07) 8 maimumscore februari (van 0:00 uur tot :00 uur) ligt tussen t = 5 en t = 5 Dan is P ( nauwkeuriger) respectievelijk P ( nauwkeuriger) Dus blijkt (bijvoorbeeld uit de grafiek) dat P (tussen t = 5 en t = 5) afneemt Dus tussen laatste kwartier en nieuwe maan Opmerking Als de kandidaat rekent met t = 5 en t = 5, voor deze vraag maimaal scorepunten toekennen.
Gebroken functie en raaklijn 9 maimumscore f( ) = ( ) + f' ( ) = ( ) ( f' ( ) = ) ( ) Dus (0) ( 0 ) ( ) f' = = (dus de richtingscoëfficiënt van l is inderdaad ) 0 maimumscore 6 De richtingscoëfficiënt van k is ( = ) Dus een vergelijking van k is y = Uit volgt ( )( ) = Dit geeft 5 = 5 = 0 (want 0 ) Dit geeft y = ( 5 = ) 5 (dus de coördinaten van het gevraagde punt zijn 5 5 ( ), ) 5
Klok maimumscore 7 5 De hoek die de grote wijzer maakt met de verticale as is ( = ) 0 De kleine wijzer heeft 5 deel van de hoek tussen de en de afgelegd De hoek die de kleine wijzer met de verticale as maakt is 0 5 + 0 = 7,5 Dus de hoek die beide wijzers met elkaar maken is 80 0 7,5 = 77,5 AB =,5 + 8,5,5 8,5 cos (77,5 ) AB 8,5 De afstand tussen A en B is 5 mm (,5 cm) De hoek die de grote wijzer maakt met de horizontale as is 0 ( = ) De kleine wijzer heeft 5 deel van de hoek tussen de en de afgelegd (en moet dus nog 5 deel) De hoek die de kleine wijzer met de horizontale as maakt is 5 0 = 7,5 Dus de hoek die beide wijzers met elkaar maken is + 7,5 = 77,5 AB =,5 + 8,5,5 8,5 cos (77,5 ) AB 8,5 De afstand tussen A en B is 5 mm (,5 cm) 6
Karpers maimumscore log(0,8) 0, Aflezen uit de figuur geeft log( G), Beschrijven hoe hieruit G berekend kan worden G 0,005 (dus het gevraagde gewicht is 5 mg) Opmerking Als de kandidaat een waarde van log( G ) afleest tussen -, en -,, deze grenzen inbegrepen, en hiermee correct doorrekent, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. maimumscore b De vergelijking 0,0,9 = 0,5 moet worden opgelost Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden De gevraagde waarde van b is,9 maimumscore Uit G 0,0 L =,5 volgt log( G) log( 0,0,5 L ),5 Hieruit volgt log( G) log(0,0) log( L ) = = + Dus log( G) = log(0,0) +,5 log( L) Dit geeft (in één decimaal nauwkeurig) log( G) =,9 +,5 log( L) (dus p =, 9 en q =,5 ) 5 maimumscore (Een karper van 9 cm is) 9 0 ( = 9, ) keer zo lang (als een karper van 0 cm) (Omdat G evenredig is met, L is een karper van 9 cm) ( 9, ), keer zo zwaar (als een karper van 0 cm) (Afgerond op honderdtallen is dit) dus 00 keer zo zwaar (Voor volwassen karpers kan het verband tussen L en G worden, beschreven met een formule van de vorm G = a L, dan geldt) L = 0 geeft G 9 a en L = 9 geeft G 9906 a ( nauwkeuriger) 9906 a 9906 (Een karper van 9 cm is) = 9 a 9 keer zo zwaar (als een karper van 0 cm) (Afgerond op honderdtallen is dit) dus 00 keer zo zwaar 7
Eponentiële functie 6 maimumscore Uit = volgt = Hieruit volgt = ( log() = )5 Dus = 6 7 maimumscore ( ) h ( ) = 6 = Hieruit volgt Dus h ( ) = h ( ) = (en dat is hetzelfde functievoorschrift als voor f) 8 maimumscore Bij vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor a is het punt 0, 8 verkregen vanuit het punt van de grafiek van g met y- ( ) coördinaat 8 Dus de vergelijking g ( ) = = 8 moet worden opgelost (om de - coördinaat van dat punt te vinden) Hieruit volgt = Dus a = 0 = 5 (Bij vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor a punt ( 0, 8) afgebeeld op het punt) ( 0, 8) a wordt het 0 (Dit punt ligt op de grafiek van g, dus) a = 8 ( = ) Hieruit volgt ( 0 =, dus) 0 = a a Dus a = 5 (Door vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor a wordt a de formule voor k ) k= ( ) (Punt ( 0, 8) ligt op de grafiek van k, dus) 0 8= a Hieruit volg 0 = a Dus a = 5 Opmerking Als gerekend is met het omgekeerde van de juiste factor, voor deze vraag maimaal scorepunten toekennen. 8