Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen lazije A: Geen lineair veran, als x me oeneem, neem y nie sees me ezelfe waare oe. B: Lineair veran, als x me oeneem, neem y sees me, oe. C: Geen lineair veran, als x me oeneem, neem y nie sees me ezelfe waare af. a p 0 0 0 0 90 00 q 9 0 Bij een oename van p me, neem q me oe. p = : q = + =, p = : q = 0 + =, Als me oeneem, neem N me 900 00 = oe. = : N = 00 + = 900 N neem oe me 9 900 = neem us oe me =, o = +, =,. a e f Ja, voor elke m gas kom er een vas erag ij. Ja, per ijseenhei kom er eenzelfe afsan ij. Nee, e seen val sees sneller. Nee, e huurprijs wor sees me eenzelfe faor vermenigvulig. Ja, e omrek is vier keer e zije. Nee, e verhoging van e porokosen gaa nie per gram. lazije a e f He waer wor sees me hezelfe aanal liers per uur afgevoer. In uur wor er 0 m afgevoer. Di is 0 m per uur. Dus 0 m per pomp per uur. 0 = uur. Dus na + = uur, i is uur en 0 minuen. 0 He zwema heef e vorm van een alk. Na uur is er nog 900 0 = 00 m over. De oppervlake van he a is 0 = 0 m. De waerhooge is 00 : 0 = m =, m. Bij 0 m hoog zi er, 0 = 0 m waer in he zwema. Er is us na = 0 nog 900 0 = 0 m weggepomp. 0 : 0 =,. Dus na, uur is e waerhooge 0 m. Noorhoff Uigevers v
Moerne Wiskune Uiwerkingen ij vwo C eel Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen a De rekening gaa omhoog me een vas erag per kwh., 0, He verruik is = 00 kwh. 0 He prijsvershil ussen Buge en Sanaar is 09 per kwh en, voor he vasreh., Sanaar is ij een verruik van meer an = 99, kwh vooreliger an Buge. 09 He prijsvershil ussen Plus en Sanaar is 00 per kwh en, voor he vasreh., Plus is ij een verruik van meer an = 09 kwh vooreliger an Sanaar. 00 Enkelarief:, + 00 0 = 0 euro Laag- en normaal arief:, + 00 09 + 00 0 = 9,0 euro Ze kan us eer oversappen. lazije a v + 90g =, v =, 09g v =, 90g, 09g =, 90g 0g = 9, g 9, 9 v =, 09g ; g = 9,9 v =, 09 9, 9, ; us, e =, + 9g a q = + p q = 0 + 0 p ; q neem me 0 oe als p me oeneem. q = p + q = p + 0 ; q neem me oe als p me oeneem. q = 0 p q =, p ; q neem me, oe (of neem me, af) als p me oeneem. q = p q = p q = p ; q neem me oe als p me oeneem. a 9 + 0 = 90 + 0 9 +, = 90 +, 9 +, = 90 +,, = 9, ; na ruim jaar is Ieman goekoper. Noorhoff Uigevers v
Moerne Wiskune Uiwerkingen ij vwo C eel Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen lazije 9a + 9 =, 0 + = 0 =, 00 a = + a 0a = a =, + x +, = 9, 9 + x, x =, 0 x = 0a % BTW, alle eragen moeen keer,0. Vasreh wor,0, =, euro. Berag per m wor,0 (, + ) =,0 euro., a +, =,, a = 9, a = 9 ; us ij een verruik van 9 m. Berag per m voor he verruik oven e 00 m is,0, =, euro. Voor 90 m moe je us, 00 +, + 90, =,9 euro ealen. B =, 00 +, +, ( a 00) B =, +, ( a 00) a SV = 0 + SV =, 9 GV = 0 +, 0 = 9 SV = 9 + = 9, 0 0 = GV + GV = 0 = K +, 0 K =, 0 = 00 SV = ( K +, V) + SV = K + V + a = ; = en = lazije A: Ja, er wor nie sees me hezelfe geal vermenigvulig. B: Ja, als x me oeneem wor y me vermenigvulig. C: Nee, er wor nie sees me hezelfe geal vermenigvulig. Noorhoff Uigevers v
Moerne Wiskune Uiwerkingen ij vwo C eel Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen a p neem van o me oe. Bij p = is q =. Bij p = is q =,,, = p = us q =, = 9 p = 9 us q =, = p = us q =, = 09, p = us q = :, =, p 9 0 q, 9 09, a He aanal auo s neem nie oe me een vas aanal per jaar. He aanal neem oe me een vas perenage. De oename is me,%, e faor is us,0. 00:, miljoen :,0, miljoen. 009:, miljoen,0, miljoen lazije a Nee, i is een kwaraish veran. Nee, i is een lineair veran wan er kom een vas erag ij. Ja, he erag wor elk jaar me e faor,0 vermenigvulig. Ja, per perioe van maanen wor he aanal me e faor vermenigvulig. a Groei me een vas perenage, us exponeniële groei. 99:, miljoen; 9: 9, miljoen De groeifaor per 9 jaar is us,, 90. De groeifaor per jaar is us 9, 9, 90, 0. He aanal in 00 is an,0, miljoen. Dus meer an 0 miljoen., -: g =, 0 us een groei me,%.,, -: g =, us een groei me,%.,, -: g =, 090 us een groei me 9,0%., Gemiel is i (, +, + 9,0) : =,%. De groeifaor is,00. Di geef voor 99 volgens eze groei 9,,00 =, miljoen passagiers. Di is miljoen meer an he werkelijke aanal. Noorhoff Uigevers v
Moerne Wiskune Uiwerkingen ij vwo C eel Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen lazije a De groei is jaarlijks me een vas perenage. 00% + % = 0% 0 : 00 =, 00; e groeifaor is us,00. N =,, 00 In 00 is = en is N =,, 00,. In 00 zijn er volgens e formule zo n, miljoen alleensaanen. e In 990 is = en is N =,, 00,. In 990 waren er volgens e formule ongeveer, miljoen alleensaanen. a Op gron van eze gegevens kun je i nie vassellen. Exponeniële groei wan he aanal groei jaarlijks me eenzelfe perenage. De groeifaor per jaar is,., De groeifaor per jaar is ( ), 00,. Op = 0 is N=, e groeifaor is,00 us N =, 00. e In 00 is = en is N =, 00,. In 00 zijn er volgens e formule ongeveer, miljoen huishouens. 9a 00% + % = 0%; e groeifaor is 0 =, 0. 00 00% % = %; e groeifaor is =. 00 0 0 00% + 0% = 00%; e groeifaor is =, 000. 00 99, 00% % = 99,%; e groeifaor is = 99. 00 e 00% = 00%; e groeifaor is 00 =. 00 lazije 9 0a = 99 9 99, a 00% +,% = 0,%; e groeifaor is,0. De groeifaor per half uur is,; e groeifaor per uur is, =,. De groeifaor per kwarier is 9; e groeifaor per uur is 9., De groeifaor per, uur is ; e groeifaor per uur is 00. a g = 0 000 =, ; N = 000, 000 g = 9 ; N = 000 9 g = 99 ; N = 0 000 99, De groeifaor per, jaar is ; us g =, 00 per jaar; N = 0, 0 Noorhoff Uigevers v
Moerne Wiskune Uiwerkingen ij vwo C eel Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen a De groeifaor per maan is,0. De groeifaor per jaar is, 0, 99. De oename is 9,9% per jaar. 0 De groeifaor per 0 jaar is. De groeifaor per jaar is 99. De afname is,0% per jaar. 0 De groeifaor per 00 jaar is. De groeifaor per 0 jaar is 0 De oename is,% per ien jaar. a, 0, 0, 0 9,, 9, ;, ;, ; ; 9; 9 0,,,,, 9 De groeifaor per 0 seonen is. De groeifaor per 0 seonen 0 is 0 0,. De afname is,% per 0 seonen. Los e vergelijkingen 0 990 = 0 en 0 99 = 0 op. Di kan me e rekenmahine: Y= 0 990^X Y = 0 99^X Y = 0 De oörinaen van e snijpunen zijn (,9; 0) en (,; 0). He ijsvershil is,,9 = 9, seonen. Of me logarimen: 0 990 = 0 0 99 = 0 990 = 99 = 990 99 = log, = log, 9 lazije 0 a In e linker figuur zie je a e grafiek he snels sijg ussen uur en uur. Om uur heef he saafje in e reher figuur e groose posiieve waare. De emperauur is us ussen uur en uur he serks gesegen. Om uur is e emperauur + = C. Om 9 uur is e emperauur + = C. a Er is een oename van 0 00, lier per ag. 0 De groeifaor per 0 jaar is 0 =,. 00 0 De groeifaor per jaar is,, 00. Dus een oename van % per jaar. In 90 was he nie-huishouelijk verruik 00 = miljar lier per ag. In 90 was he + 00 + + 00 + 0 + 00 + = miljar lier. He perenage nie-huishouelijk verruik in 90 was 00% 9, %. 00 He perenage nie-huishouelijk verruik in 90 was 00% 9 %. 0 He perenage is in 90 hoger. Noorhoff Uigevers v 9
Moerne Wiskune Uiwerkingen ij vwo C eel Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen a = 0: C = 0 + 9 = = : C = 0 + 9, 0 00 Daling van e emperauur per minuen is C. De aling per minuu is us C. = : C,0 00, 00 =,00 : C = 0 + 9, 09 9 C, 09 9, 0 00 = = 00... =,... 00 00 Op = aal e emperauur ongeveer me C per minuu. lazije a De afsan s neem nie meer oe. Na seonen heef e auo ongeveer 0 meer (of meer) afgeleg. Gemiel is i us 0 : = meer per seone. (of : = meer per seone). He hellingsgeal van e raaklijn is ongeveer. De snelhei is us ongeveer meer per seone. = 0: s =, 0 + 0 0 = 0 = 00: s =, 00 + 0 00 = 09 99 s 09 99 0 00 = 9, 99. De snelhei op he momen van remmen is ongeveer, 0 m/s. e afsan in meers 0 0 000 ij in seonen 00 De snelhei ij he remmen is us 0 km per uur. 9a = : N = 0,, 0, 00 =, 00: N = 0,, N 9 = = 9, ; De helling in = is 9,. 00 Neem voor e venserinselling: Xmin= 0; Xmax =, Ymin = 0 en Ymax = 00. 0 Noorhoff Uigevers v
Moerne Wiskune Uiwerkingen ij vwo C eel Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen Bereken he snijpun van e grafiek van e hellingen me e lijn Y = 000 me je rekenmahine. De oörinaen van he snijpun zijn (0; 000). Dus voor = is e helling gelijk aan 000. 0a Oplossen van e vergelijking 0 + 0 = 0 + 0 me e rekenmahine oor he snijpun e erekenen van e grafieken ij e formules Y = 0X^ + 0 en Y = 0 + 0X X =,0; us na,0 0 = agen of 0 + 0 = 0 + 0 0 + 0 = 0 ( 0 + 0) = 0 = 0 of 0 + 0 = 0 0 = 0;,0,0 0 = agen De funie van e reee is een lineaire funie me hellingsgeal 0. He hou krimp in e reee me een onsane snelhei van 0 m per maan. L( ) = 0 + 0 = 9, 9 L(, 00) = 0, 00 + 0 9, 9 L = 000 0 = 0 ; In e lenge krimp he hou me 0 m per maan. 00 Oma 0 < 00 is e krimp in e reee sneller an ie in e lenge. Y = 0X^ + 0 en Y = nderiv (Y, X, X) Zoek in e ael voor welke waare van X gel a Y = 0 Di is voor X =,;, 0 =, Op e e ag is e krimp in e lenge gelijk aan e krimp in e reee. lazije a De afname is exponenieel wan he gaa me een vas perenage. De afname is me %, e groeifaor is us 9. P = 00 op = 0 us P = 00 9. mei 00 na januari 00 is + + = maanen, us =. P = 00 9, 9 Dus op mei 00 is volgens e formule ongeveer % van e munen Neerlans. De groeifaor per maanen is 0. De groeifaor per maan is 0 9. De afname is us,% gewees. Noorhoff Uigevers v
Moerne Wiskune Uiwerkingen ij vwo C eel Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen a De oename per wee jaar is 00. De oename in jaar is us 00 = 000 Di eeken a he aanal in 000 us 00 + 000 = 00 zou moeen zijn. De groeifaor per wee jaar is. De groeifaor per jaar is,. De we van Moore is A = 00 me in ijseenheen van jaar en = 0 in 9 (of A = 00, me in ijseenheen van jaar en = 0 in 9). Deze formule invoeren op e rekenmahine en een ael maken geef: jaar 9 9 9 99 99 99 999 000 ype hip 0 Pen I Pen II Pen III Penium aanal ransisors 0 000 0 000 90 000 0 000 00 000 9 000 000 000 000 Invoeren op e rekenmahine Y= 00 ^X en Y = 000 000 000 Snijpun voor X =,, =, jaar, i is us in he jaar 009 of: 00 = 000 000 000 = 00 000 = log 00 000,, =, jaar, i is us in he jaar 00. lazije a Bij een ph van, en een oename van KH me, neem C oe me,. Dus ij KH = is C=, +, = of Bij een ph van, en KH = is C = 9. KH en C zijn evenreig us als KH = an is C = 9 =. Een afname van 90% eeken groeifaor. Voor KH = en ph = is C = 0 ph =, is C = 0, ph =, is C = 0,, ph =, is C = 0, ph =, is C = 0, 0 ph =,0 is C = 0 =, ph =, en KH = voloen aan e voorwaaren. KH = en ph = geef C = 0 0 = 0., KH = en ph =, geefc = 0 =,. Aan alle rie e voorwaaren is volaan. lazije T-a Sees ezelfe sijging van e emperauur per 00 meer. 0 meer iep eeken a e emperauur sijg me, = C. De emperauur is an + =, C. Een sijging van C, us een iepe van : 00 = meer. Noorhoff Uigevers v
Moerne Wiskune Uiwerkingen ij vwo C eel Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen T-a v + m =, ( 0) v + m = v = m m + m = 0m + m = m = m = v = m us v = = Deze eselling esaa ui lier magere melk en lier volle melk. T-a Vanaf 9 is e afname proenueel. miljoen is e helf van miljoen en e halvering per jaar geef a in 00 e hoeveelhei haring opnieuw gehalveer is o in i geval miljoen on. De groeifaor per rie jaar is 0. In 99 was e hoeveelhei gelijk aan,,0 = 999, us ongeveer miljoen on. 9, e afname is ongeveer %. e De hoeveelhei in 9 was us, 9, miljoen on. lazije T-a De groeifaor per jaar is 90 0 N = 0 9 me = 0 in 00. 9. De groeifaor per jaar is 9. N = 0 9 me = 0 in 990. De groeifaor per jaar is,0; e groeifaor per jaar is,0,. P =, me = 0 op januari 00. T-a He is exponeniële groei me een groeifaor groer an. De grafiek ij e formule is us een sees sneller sijgene grafiek. = : P =, 9, = : P =, 9, P, = =, 9 ; e gemiele oename is us,9. = : P =, 9,, 00 =,00: P =, 9, P... =, ; P neem us oe me een snelhei van ruim. 00 Noorhoff Uigevers v
Moerne Wiskune Uiwerkingen ij vwo C eel Hoofsuk Lineaire en exponeniële veranen T-a De groeifaor per weken is 00. De groeifaor per week is 00 0 0 0,. De oename in 0 weken is gram. De oename per week is : 0 =, gram us a =,. Op = 0 is F = 0, = 9 us = 9. Je moe hier oplossen wanneer G F = 000. Invoeren op e rekenmahine: Y = 0 ^(X,) (X ) Y = 000 Venser inselling: Xmin = Xmax = Ymin = Ymax = 000 Snijpun voor X =,. Dus na, agen. Noorhoff Uigevers v