Hoofdstuk 1 - Logaritmische functies

Transcriptie

1 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel Voorkennis: Mhen en eponenen lzije 7 V-, ( ) ; 0, V- e ( ) f ( 8 8 ) : ( 8 ) 8 7 ( ) ( ) V- 7,,,,,,,, 0 ( ), ( ),, e ( ),, f 7 7, ,,, ( ), ( ),,, h ( ), ( ),,,, 8 V- 0 f() In e el zie je e srwre elijk is n en e roeifor elijk is n Dus he funievoorshrif is e shrijven ls f ( ) De srwre eef he snijpun ( ) me e y-s De roeifor eeken een sijene rfiek, ls me oeneem wor f() weeml zo roo lzije V- De rfiek vn p is len en e rfiek vn q is sijen p( ) 8( ) q( ) 0 ( ) V- De roeifor is een kleiner n, e rfiek l us De roeifor is elijk n,, us e rfiek l, De rfiek vn sij, e rfiek vn l en e rfiek vn f ( ) l ook De roeifor is elijk n ( ), us e rfiek sij e He funievoorshrif kun je shrijven ls l( ) ( ) Om e roeifor roer is n, sij e rfiek f He funievoorshrif is e shrijven ls m( ) ( ) De roeifor is us kleiner 7 n en e rfiek l Noorhoff Uievers v

2 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel V-7 Er el f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m( ),,, ( 8 ), n( ) V-8 Door e spieelen in e -s, wor e y-oörin vn elk pun op e rfiek vn f me vermenivuli Dus ( ), Als je spieel in e y-s wor e -oörin vn elk pun me vermenivuli Er el us h( ), V- De einhoeveelhei is elijk n M( 0),,, 8 en e roeifor per uur is,, De roeifor per uur is,, us e roeifor per hlf uur is,, Dn el, 8 en, Lorimen lzije B( ) Als je e rfieken vn y en y plo, kun je me e opies vn e rekenmhine he snijpun opzoeken Je vin n Je moe n e verelijkin oplossen Me een el vin je e volene wren: e,, B In eie evllen er mn voorij, wn in ie ij wor e oppervlke, ie oor e werplnen eek wor, rie keer zo roo lzije eef lo, eef lo en eef lo lo is e oplossin vn e verelijkin en lo is e oplossin vn e verelijkin lo is e ij ie noi is om ies keer zo roo e len woren wnneer e roeifor is lo is e ij ie noi is om ies keer zo roo e len woren wnneer e roeifor is Gehele ellen krij je ls her he woor lo een mh vn he ronl s Dus ij lo, lo, lo, lo 7, lo 8, lo, lo 7 lo 7 om 7 lo om lo om lo 0 om lo li ussen en, wn lo 000 li ussen en, wn lo li ussen en wn 0 0 lo li ussen 0 en, wn ( ) ( ) Noorhoff Uievers v

3 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel lo 8 kun je opven ls e ij ie noi is om een 8 keer zo roe hoeveelhei e krijen ij roeifor Als je ie ij neef me, n el us 8 He snijpun vn eie rfieken is ij enerin he pun me oörinen (,7; 8) lo 8, 7 7 Je los e verelijkin ( ) op Je vin, Je los e verelijkin 0 00 op Je vin, 0 Je los e verelijkin op Je vin, Je los e verelijkin op Je vin, 8 Je los op 00 0 Je vin 8 Dus n ruim 7 en He uur, mnen voor he nl muizen 0 is Dus uur he, 8 7 mnen om he nl muizen e len roeien vn 0 nr 0 D is oneveer en De einhoeveelhei is 00 muizen, us he uur, mnen om he nl e len roeien o 0 D is oneveer 0 en rekenreels voor lorimen lzije Je moe n oplossen Je vin me e rekenmhine, 8 Bij roeifor uur he mnen wn en ls e roeifor elijk is n uur he oneveer,8 mnen Als he nl muizen keer zo roo wor, n el je e ij ie noi is om he nl muizen vier keer zo roo e mken op ij e ij ie noi is om r op volen he nl muizen rie keer zo roo e mken De ole ij ie noi is, is us, 8, 8 mnen Als ij roeifor e ij ie noi is om he nl muizen rie keer zo roo e mken opeel wor ij e ij ie noi is om he nl muizen vijf keer zo roo e mken, krij je e ij ie noi is om he nl muizen keer zo roo e mken e Als he nl muizen keer zo roo wor zijn rvoor lo mnen noi en ls he nl muizen keer zo roo wor, zijn rvoor lo mnen ij noi Als je eze ijen opel, krij je e ij ie noi is om he nl muizen keer zo roo e mken 0 De roeiij ie noi is om ij roeifor e einhoeveelhei 7 keer zo roo e mken is elijk n lo 7 Als je eze roeiij veruel, wor e einhoeveelhei keer zo roo Di eeken lo 7 lo 7 Als je e roeiij keer zo roo mk, n wor e einhoeveelhei keer zo roo en e roeiij ie rvoor noi is kun je neven me lo 7 mr ook me lo 7 Als je e roeiij k keer zo roo mk, n wor e einhoeveelhei k keer me vermenivuli en us k keer zo roo Er el us lo k k lo Als e einhoeveelhei elijk is n en je mk ie keer zo klein, n is e ijehorene roeiij elijk n lo, wn je vnf he einijsip eru in e ij Noorhoff Uievers v

4 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel lo lo 7 lo 7 lo us lo lo lo 7 lo lo lo( ) lo Als je vn zowel he linkerli ls he reherli vn e verelijkin vn oprh lo frek, krij je lo lo lo lzije 7 lo lo lo lo lo lo lo lo( ) lo 80 lo lo lo lo lo lo lo 0 lo lo 0 lo( 0) lo 0 lo He linkerli kun je shrijven ls lo lo lo De verelijkin wor n lo lo( 7) Ui 7 vol 7 Invullen eef lo 7 lo lo lo lo 0 lo lo lo lo lo lo lo lo lo( ) 0 lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo 7 lo 8 lo lo 7 lo 8 lo lo lo lo lo 00 lo( 00) lo 00! De verelijkin ie opelos moe woren is us e shrijven ls lo lo 00! De oplossin is 00! Lorimen erekenen lzije 8 lo 00 ; lo 0 ; lo0 ; lo, 80 en lo00 Dn is He ronl 0 hoor ij e lo-oes lo wn en lo 000 wn lo 77 ; lo 0, 77 ; lo 00, 77 en lo0 lo lo lo lo lo 00 lo lo lo000 lo lo, us 000 Noorhoff Uievers v 7

5 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel 8 Een vn e rekenreels ze k lo lo k Als je ie reel oeps op he 0 0 linkerli vn e verelijkin, n krij je lo lo Als je linker- en reherli vn e verelijkin vn oprh 8 eel oor 0 lo 0 lo krij je 0 lo De oorspronkelijke verelijkin heef ls oplossin lo 0 Drui vol lo lo 0 lo Me e rekenmhine vin je lo lo, Invullen in e verelijkin eef, lo, De verelijkin 7 heef ls oplossin 7 lo Je kun e verelijkin 7 ook shrijven ls lo lo en rui vol lo 7 lo us lo 7 lo lzije 0 lo 7 lo 7, 807 lo 8 lo 8 lo 7 lo lo lo lo lo lo lo lo 8 7, lo 8 lo 8, 7 en lo 8 lo D kom om 8 nie e shrijven is ls een mh me he ronl, mr wel ls een mh me ronl, wn Dn moe je e verelijkin 7 oplossen De oplossin is 7 lo De veruelinsij is us oneveer 0 en Die ij is rieml zo ln ls e veruelinsij De hoeveelhei wor us h keer zo roo in 0 0 en Als je rie keer veruel wor e hoeveelhei ie er ws 8 keer zo roo De einhoeveelhei is 00% en e roeifor is % = us e formule is P 00 Dn moe elen lo De oplossin is lo 7 uren lo Je los op 00 0 Drui vol Je vin uren Als he nl uren no roer wor, l he perene oner e 0%, us e erij is oneveer uren e eruiken e Ui P 00 vol P Dus P lo Je vul voor P eers 0 en n 0 in en je vin hereenvolens oneveer 7 en oneveer uren 8 Noorhoff Uievers v

6 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel Lorimishe funies lzije 0 f ( ), f ( ), f ( 0) 0, f ( ), f ( ) en f ( ) 8 ( ) lo, ( ) lo, ( ) 0, ( ), ( ) en ( 8) y O De rfiek vn f heef e -s ls sympoo en e rfiek vn heef e y-s ls sympoo y O He omein vn f is en he ereik is he inervl He omein vn k is he inervl en he ereik is De horizonle sympoo vn e rfiek vn f heef e verelijkin y 0 De verile sympoo vn e rfiek vn k heef e verelijkin 0 De rfiek vn f snij e y-s in he pun ( ) en e rfiek vn k snij e -s in he pun (, 0) e De verelijkin,, heef ls oplossin lo, 7 Dus f ( ) ls, 7 De verelijkin, lo heef ls oplossin,, 7 Dus k( ) ls 0, 7 sijen/len omein ereik sympoo snijpun -s f sijen y-s (, 0) sijen y-s (, 0) h sijen y-s (, 0) Als he ronl roer is n, zl e rfiek sees miner serk sijen Als he ronl sees een el ussen 0 en lijf, zl e rfiek sees serker len Dn zl e rfiek sees serker sijen Noorhoff Uievers v

7 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel He vershil is e rfieken vn m en n len erwijl he omein, he ereik, e sympoo en he snijpun me e -s overeenkomen me ie zelfe eienshppen vn e funies vn oprh e Als 0 n is e rfiek len, mr ls n is e rfiek sijen lzije 7 f ( ) 0, 0 lo 0, ( ) 0, 0 lo 0, y O e 8 De rfieken zijn elkrs spieeleel ij spieelin in e -s Tussen e rfieken vn k en m es hezelfe vern lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo O Je los op lo 0, lo, Dus he snijpun heef e oörinen (, 0 ) Dn moe e rfiek vn h één eenhei nr oven woren vershoven ( ) 0, 0 lo 0,, ( ), lo,, 8 e Je los eers op f ( ), lo, lo, 8 De oplossinen vn e onelijkhei f ( ) zijn e ellen ui he inervl 8, Ui f ( ) vol lo, lo, De oplossinen vn e onelijkhei f ( ) zijn e ellen ui he inervl 0;, 0 Noorhoff Uievers v

8 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel f lo is e ij ie noi is om ij roeifor e einhoeveelhei keer zo roo e mken Die roeiij is ook elijk n lo, wn in ijseenhei wor e einhoeveelhei veruel om e roeifor elijk is n en ls je er n no e ij ij opel ie noi is om ie uele einhoeveelhei keer zo roo e mken krij je een hoeveelhei ie keer zo roo is ls e einhoeveelhei He omein vn funie f is,, wn er moe elen 0, us He omein vn funie is,, wn er moe elen 0, us De sympoo vn e rfiek vn f heef e verelijkin De sympoo vn e rfiek vn heef ls verelijkin Je moe e verelijkin lo( ) lo( ) oplossen Om lo kun je e verelijkin shrijven ls lo( ) lo lo( ) lo ( ) Dus ( ),,, Invullen vn eze wre in één vn eie funievoorshrifen eef y lo He snijpun vn eie rfieken heef e oörinen (, lo 8 ) Je he ij oprh e oörinen vn he snijpun uiereken De oplossinen vn e onelijkhei zijn e ellen vn he inervl, Lorimishe shlen lzije 0 e De onenrie is elijk n 0 n oneveer en N oneveer en is e onenrie elijk n 00 N oneveer 7 en en n en is e onenrie elijk n 000 De onenrie neem nie sees me ezelfe hoeveelhei oe Vn o neem e onenrie oe vn 0 o 00 en n is er us een oenme me 0 eenheen Mr vn o 7 is ie oenme = 00 De shlverelin op e horizonle s is lineir Elk hokje s voor hezelfe nl eenheen Bij e shlverelin op e verile s is nie he evl De eponenen vn e mhen vn 0 nemen lineir oe 0 0, 0, 0 0, 0 0, 00 0, en , D is he el 0 Bij he el op e lineire shl hoor he el op loshl en ij he el op e lineire shl hoor he el op loshl Bij he el, op e lineire shl hoor n he el, vn loshl Op loshl : Je shrijf 0 en 0 ls mh vn 0 Droe los je e verelijkinen 0 0 en 0 0 op Je vin lo 0, en lo 0, 7 He el 0 vin je us ussen 0 en 00 op een fsn vn oneveer, eenheen vn he el He el 0 li op,7 eenheen rehs vn he el Op loshl : Je shrijf 0 en 0 ls mh vn Je los op 0 en vin lo 0, De oplossin vn e verelijkin 0 is lo 0, 8 Je us vn he el op loshl oneveer, eenheen nr rehs om e pls vn he el 0 e vinen en,8 eenheen nr rehs om e pls vn he el 0 e vinen, e D is he el 0 Noorhoff Uievers v

9 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel lzije De renzen vn e olflene vn Rönensrlin zijn 0 en 0 8, De linkerrens is oneveer 0 0, 0 0, : 0 nnomeer en e reherrens is oneveer 0 8, : 0 0, nnomeer Je shrijf e renzen vn he zihr lih ls mh vn 0, 8, 80 nnomeer = meer, 88, 70 nnomeer = meer Op e ellenlijn kun je nu reelijk nuwkeuri e pls vn e renzen neven in uren 0 O in km,08,,7, 87,8 y O N oneveer, uren is e oppervlke oneveer km Je los op 0 lo 8,,,, 0 Dus n oneveer uren lo, 8 e in uren, 7,,0, 8, O in km f O 0 Hlf neen s morens kom overeen me he ijsip, Dn is e oppervlke oneveer elijk n 0 km Noorhoff Uievers v

10 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel Gemene oprhen lzije De roeifor is elijk n Om e hlfwreij e eplen moe je e verelijkin oplossen Dus h lo, 7 en of ruim uren De verelijkin ie je moe oplossen is 00, us en N en is er no m over Je los n op lo 8 8 Drui vol, 7 en lo Sees ls e hoeveelhei wor ehlveer moe je e hlverinsij opellen ij e ij ie l versreken ws Dus he nwoor op oprh is elijk n he nwoor op oprh plus e hlverinsij vn oprh r D, 0,0 88 Je kun e formule kun je herleien o D 0 lo(, 0 ) 0 lo r, us D, 0 lo r Drui vol A, en B 0, 0 Dn moe elen lo r r = 700 meer 0, us 0, r en r Drui vol e lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo 7 7 lo 7 lo lo 7 lo lo 7 lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo 7 lo is nie oeesn ls ronl vn e lorime Als en n is lo 0 en n zou e noemer vn e reuk elijk zijn n nul lzije 7 De levensuur vn koper is n : 8, 7 jr en e levensuur vn hroom is 0 :, 7 ml zo roo Als 0 he jr 70 voorsel, el voor e jrlijks verruike hoeveelhei koper e formule K( ) 8, 7, 08 me K( ) in miljoenen on Voor hroom is ie formule C( ),, 0 Er moe elen 8, 7, 08,, 0 De ijehorene verelijkin kun je herleien o, 08,, 0 of, 0, 0 Drui vol, Dus vnf he jr 8 8, 7 Noorhoff Uievers v

11 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel In e formule moe je voor p he el, invullen en voor L he el 0 0 lo( 0, 00) 0 Dn el L * 8, 7 Dn zou in he jr 0 e, voorr hroom uiepu zijn Dn is L * 0 en p, Invullen in e formule eef 0 lo( L, 00) 0 0, Drui vol 0 lo(, L 00) 0, 0 8 us 0 lo(, L 00) Dus lo(, L 00), 77,, 77, L 00 0, 7,, L, 7 en L 8 Dus n zou in he jr 0 e voorr luminium zijn uiepu ICT Lorimishe funies lzije I- De rfiek vn f heef e -s ls horizonle sympoo en e rfiek vn h heef e y-s ls verile sympoo f h omein ereik W opvl is he omein vn f elijk is n he ereik vn h en omekeer De rfiek vn f snij e y-s in he pun ( ) en e rfiek vn h snij e -s in he pun (, 0) Ze zijn elkrs spieeleel ij spieelin in e lijn y e,f Je vin ij e vren o en me weer ezelfe nwooren I- sympoo omein ereik snijpun -s snijpun y-s k -s een ( ) m y-s (, 0) een Ook nu zijn e rfieken espieel en opzihe vn e lijn me verelijkin y Nee, e nwooren lijven ezelfe I- Als oeneem sij e rfiek miner serk He omein, he ereik, e sympoo en he snijpun me e -s lijven elijk De rfiek is n heel seil Hoe iher in e uur kom vn he el es e meer lijk e rfiek op e rfiek vn e lijn Bij hoor een rfiek Als je in e verelijkin lo lo voor he el lo invul is e noemer vn he reherli elijk n nul en n es lo nie Als een el is ussen 0 en, n is e rfiek vn f een lene rfiek, mr he omein, he ereik, e sympoo en he snijpun me e -s lijven elijk Noorhoff Uievers v

12 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel lzije 7 I- De rfieken vn f en h zijn elkrs spieeleel ij spieelin in e -s De rfiek vn f sij sees lnzmer en e rfiek vn h l sees lnzmer lo lo lo lo lo lo lo lo f ( ), lo, h( ), lo, ( ) e Drui vol lo lo lo, lo lo 0, lo 0, 0 Dus ls f ( ) h( ) n is he prou vn en elijk n I- omein sympoo f,, Je moe e verelijkin lo( ) lo( ) oplossen Om lo kun je e verelijkin ners shrijven Je krij lo( ) lo lo( ) lo ( ) Dus ( ),,, Invullen vn eze wre in één vn eie funievoorshrifen eef y lo He snijpun vn eie rfieken heef e oörinen (, lo 8 ) Je he ij oprh e oörinen vn he snijpun uiereken De oplossinen vn e onelijkhei zijn e ellen vn he inervl, I- He omein vn elk vn eie funies lijf hezelfe Ook e sympoo vn elk vn eie funies is ezelfe De nwooren ij e oprhen I- en verneren wel wn ls je e verelijkin f ( ) ( ) oplos, shrijf je he el ls een lorime en ij oprh I- eef lo, mr ij oprh I- krij je lo Je krij nu e verelijkin: ( ) op e lossen Drui vol, us en 7 He snijpun vn e rfieken heef e oörinen (, lo 0 ) De oplossinen vn e onelijkhei vn oprh I- zijn e ellen ui he inervl, I-7 Als je e rfiek vn h één eenhei nr oven vershuif, krij je e rfiek vn f De rfiek vn is ezelfe ls e rfiek vn f He el lo is e roeiij ie noi om e einhoeveelhei keer zo roo e len woren ij roeifor Als je ij ie roeifor opel wor e hoeveelhei no eens wee keer zo roo D eeken je e roeiij krij ie ij e hoeveelhei hoor lo lo lo lo Je los op lo 0, lo, Dus e oörinen vn he snijpun me e -s zijn (, 0 ) e ( ) 0, 0 lo 0,, ( ), lo,, 8 Noorhoff Uievers v

13 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel Tes jezelf lzije 0 T- Een pssene formule is B 00 me B he nl eriën n en Vn e verelijkin 0 Dn zijn er volens e formule eriën T- lo lo 7 lo lo 7 lo lo lo lo lo( ) lo 70 lo lo lo lo lo( ) lo lo lo lo lo lo lo e lo lo 00 lo lo f lo 0 lo 0 lo( 0 ) lo( 0 0 ) lo 0 T- lo 7 lo 7, 87 lo lo 0, e lo lo lo, 70 lo lo 7 lo 7, 807 lo lo f lo = lo =, 80 T- Als je e verelijkin, oplos, vin je e roeifor Er el, Vervolens los je op De ee oplossin vn e verelijkin ij oprh is 0, lo Ui 0 vol lo 0, 7 us n oneveer jr is er no % over T- D f,, D, en D h De verile sympoo vn e rfiek vn f is e lijn me verelijkin De verile sympoo vn e rfiek vn is e lijn me verelijkin De verile sympoo vn e rfiek vn h is e lijn me verelijkin 0 Ui e verelijkin lo( ) lo vol us Mr ie oplossin voloe nie om i el nie o he omein vn e funies f en h ehoor Er is us een snijpun Je los n e verelijkin lo( ) lo op Je vin us en He snijpun heef e oörinen (, lo ) lzije T- in en h in m Vn 0 o 0 en is e roeifor per en oneveer elijk n, Vnf e winise is e roei heel erin en nie meer eponenieel De rfiek is een rehe lijn ls e verile s een lorimishe shlverelin heef h 7(, ) 7, me in en Noorhoff Uievers v

14 Hoofsuk - Lorimishe funies Moerne wiskune e eiie vwo B eel T-7 Di is zo om lo lo h( ) lo 8 lo 8 lo Als je e rfiek vn f us lo 8, 8 eenheen nr oven vershuif, krij je e rfiek vn h T-8 lo( ) lo, lo lo( ) lo, lo ( ) lo, ( ),, 0 Me e formule vin je us of eie oplossinen voloen T- Kies, n heef e rfiek e lijn ls verile sympoo Als je e oörinen vn e wee eeven punen invul vin je f ( ) lo 0 en f ( ) lo Dus lo, mr ook lo Los nu op lo lo lo lo, lo, lo us Verer el lo 0, us 0 Drui vol T-0 He vern is k lo p k ls p ui k ijfers es Dus ls p ijvooreel een el vn ijfers is n el lo p Noorhoff Uievers v 7