wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord behld kunnen worden. Voor de uitwerking vn de vrgen 9, 10, 11, 15, 17 en 18 is een uitwerkbijlge toegevoegd. ls bij een vrg een verklring, uitleg of berekening vereist is, worden n het ntwoord meestl geen punten toegekend ls deze verklring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer ntwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dn er worden gevrgd. ls er bijvoorbeeld twee redenen worden gevrgd en je geeft meer dn twee redenen, dn worden lleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. 400014-1-22o egin
chten vn een derdegrdsfunctie Gegeven is de functie 3 2 1 3 4 4 f ( x) = x x op het domein [0, 3]. V is het gebied ingesloten door de grfiek vn f en de x-s. 5p 1 ereken lgebrïsch de excte wrde vn de oppervlkte vn V. p 2 3 Op het domein [0, 3] bekijken we de functies g p( x) ( f( x)) ( 3 x 4 1 x 4 ) = =, wrbij p > 0. In figuur 1 zijn de grfieken vn g p getekend voor p = 10, p = 2, p = 1, p = 0,5 en p = 0,1. l deze grfieken gn door de punten O(0, 0), T(2, 1) en S(3, 0). p figuur 1 y T O S x 3p 2 Voor elke positieve wrde vn p gt de grfiek vn g p door O, T en S. Toon dt n. 400014-1-22o 2 Lees verder
Krsloten eze opgve gt over krsloten wrmee je 3 euro of 6 euro of niets kunt ontvngen. Elk krslot heeft drie vkjes, die je open kunt krssen. Zie figuur 2. figuur 2??? een nog niet opengekrst lot In één vn de vkjes is een IN ( ) verborgen, in de ndere twee een PLUS (+). Je kunt het krslot inleveren n één vkje of n twee vkjes te hebben opengekrst. Voor elke opengekrste PLUS ontvng je 3 euro, mr ls je de IN hebt opengekrst, is het lot wrdeloos geworden. Zie figuur 3. figuur 3 +? +? _ + bij inlevering 6 euro wrd wrdeloos lot ij de mensen die de krsloten kopen onderscheiden we twee typen krssers: wghlzen: krssen een tweede vkje open ls het eerste vkje een PLUS oplevert; ngsthzen: krssen één vkje open en stoppen. 4p 3 5p 4 6p 5 Je kunt je fvrgen welk type krsser het slimste is. ereken voor zowel de wghlzen ls de ngsthzen welk bedrg zij nr verwchting per opengekrst lot zullen ontvngen. ij een beplde kiosk is gebleken dt 65% vn de krssers wghls is en 35% ngsths. Op zekere dg komen 500 mensen een lot kopen bij deze kiosk en krssen het open. ereken hoeveel vn deze mensen nr verwchting niets uitbetld krijgen. Vn een groep mensen bestnde uit 65 wghlzen en 35 ngsthzen heeft ieder precies één lot opengekrst. ereken de kns dt uiteindelijk meer dn 60 mensen vn deze groep precies één vkje hebben opengekrst. 400014-1-22o 3 Lees verder
Een verzmeling functies Op het domein [0, 2π] zijn gegeven de functies: f n (x) = 1 + sin 2 x + cos nx wrbij n een positief geheel getl is. 4p 6 1 e grfiek vn f n gt voor beplde wrden vn n door het punt ( 1 π, ). Onderzoek voor welke wrden vn n tussen 0 en 50 dit geldt. 6 4 f 4 ( x) is te schrijven ls 1 1 f ( x) = 1 cos2x+ cos4 x. 4 2 2 3p 7 7p 8 Toon n dt dit juist is. Gegeven is de rechthoek O met (2π, 0) en (0, 3). e grfiek vn f 4 verdeelt deze rechthoek in twee gebieden. Toon n met behulp vn integreren dt deze twee gebieden exct dezelfde oppervlkte hebben. irkel met lijnen Gegeven is de cirkel c met middellijn en middelpunt. Lijn k rkt c in. Lijn l is een lijn door die c in nog een nder punt (ongelijk n ) snijdt. P is het snijpunt vn k en l. Zie figuur 4. eze figuur stt ook op de uitwerkbijlge. figuur 4 k c 5p 9 Er zijn twee cirkels die l rken en bovendien cirkel c in rken. Teken in de figuur op de uitwerkbijlge de twee middelpunten vn deze twee cirkels. Licht je werkwijze toe. l P 7p 10 We gn uit vn dezelfde situtie ls in figuur 4. Verder is gegeven dt P = P. S is het snijpunt vn en P. Zie figuur 5. eze figuur stt ook op de uitwerkbijlge. ewijs dt S = PS = S. figuur 5 k c S l P 400014-1-22o 4 Lees verder
Grondprijs Een nieuw industrieterrein grenst n een recht knl en heeft de vorm vn een rechthoek O. O = 400 m en O = 200 m. Zie figuur 6. figuur 6 e grondprijs is fhnkelijk vn de fstnd tot het knl: hoe dichter bij het knl, hoe duurder de grond. Het verbnd tussen de grondprijs P (in euro per m 2 ) en de fstnd tot het knl x (in meters) wordt gegeven door de formule: knl P = 63 P(x) = 100 0,998 x e punten wr P gelijk is n 63 liggen op een lijn. eze lijn is in figuur 6 getekend. eze figuur stt ook vergroot op de uitwerkbijlge. O 4p 11 Teken in de figuur op de uitwerkbijlge de lijn wrop lle punten liggen wr P gelijk is n 55. Licht je ntwoord toe. Iemnd wil een schtting mken vn de grondprijs vn het gehele terrein. rtoe verdelen we rechthoek O in rechthoekjes met lengte 200 meter en breedte x meter. In figuur 7 is één zo n rechthoekje getekend op x meter vn het knl. Neem P(x) ls de prijs per m 2 voor het hele rechthoekje x meter vn het knl. e totle grondprijs is dn bij bendering de som vn de grondprijzen vn deze rechthoekjes. figuur 7 knl 5p 12 4p 13 ereken op deze mnier de totle grondprijs ls x = 5 meter. Geef je ntwoord in miljoenen euro, fgerond op twee decimlen. e totle grondprijs is nuwkeuriger te berekenen met behulp vn een integrl. ereken de totle grondprijs met behulp vn deze integrl. 400014-1-22o 5 Lees verder
Ingesloten In figuur 8 is een vierknt getekend met middelpunt en zijden 2. In het vierknt zijn de horizontle en verticle symmetries getekend. Op fstnd vn de middens vn de zijden liggen de punten,, en. Hierbij is 0 < 1. We gn een rij punten op de symmetriessen construeren. ls strtpunt P 0 kiezen we het midden vn de rechterzijde P 0 snijdt een s in P 1 P 1 snijdt een s in P 2 P 2 snijdt een s in P 3 P 3 snijdt een s in P 4 enzovoort. In figuur 8 zijn de eerste drie stppen (dus tot en met punt P 3 ) uitgevoerd. ij elke stp ontstn twee gelijkvormige driehoeken. figuur 8 P 2 P 3 P 1 P 0 e lengte vn P n noemen we u n (n = 0, 1, 2, 3,...). us u 0 = P 0 = 1. Neem = 1. n liggen de punten,, en op de hoekpunten vn het vierknt. 5p 14 ereken voor dit gevl u 1, u 2 en u 3. We kiezen nu voor een getl tussen 0 en 1. In figuur 9 zie je hoe uit u n de volgende term u n+1 wordt gevonden. Figuur 9 stt ook op de uitwerkbijlge. figuur 9 1 P n+1 5p 15 Toon n dt de volgende recursieve un betrekking geldt: un + 1 = u +. n u n+1 u n P n 5p 16 2 We kiezen nu =. 3 Het proces wordt eindeloos herhld. Er is een vierknt rond dt steeds nuwer wordt ingesloten. Zie figuur 10. ereken de oppervlkte vn dit vierknt exct. Licht je ntwoord toe met een berekening. figuur 10 P 1 P 2 P 0 P 3 400014-1-22o 6 Lees verder
Ellipsen in een vierknt Gegeven is een vierknt wrvn één digonl verticl is. innen dit vierknt tekenen we ellipsen die er precies in pssen: de ellipsen rken n de vier zijden vn het vierknt. e brndpunten liggen op de verticle digonl vn het vierknt. In figuur 11 zie je het vierknt met drin enkele mogelijke ellipsen getekend. figuur 11 In figuur 12 en op de uitwerkbijlge is het vierknt nogmls getekend met drin één vn de hierboven beschreven ellipsen. P, Q, R en S zijn de hoekpunten vn het vierknt.,, en zijn de rkpunten vn de ellips met het vierknt. F 1 en F 2 zijn de brndpunten vn de ellips. e lijn PR is een symmetrie-s vn deze figuur. figuur 12 P S F 2 R Er geldt: PF 1 = QF 1. F 1 5p 17 4p 18 ewijs dit. PF 1 is een koordenvierhoek. ewijs dit. Q Einde 400014-1-22o 7 Lees verder